Opgave 1

I nogle sektioner, rektangulære bjælker 20 × 30 cm M= 28 kNm, Q= 19 kN.

Påkrævet:

a) Bestem normal- og forskydningsspændingerne på et givet punkt TIL, i afstand fra neutralaksen i en afstand på 11 cm,

b) kontroller styrken af ​​en træbjælke, hvis [σ] = 10 MPa, [τ] = 3 MPa.

Opløsning

a) For at bestemme σ ( TIL) , τ ( TIL) og maxσ, maxτ du skal kende værdierne for det aksiale inertimoment for hele sektionen I N.O., aksialt modstandsmoment W N.O., det statiske moment af afskæringsdelen og det statiske moment for halvdelen af ​​sektionen Smax:

b) Styrketest:

— ved tilstanden af ​​styrken af ​​normale spændinger:

— ved tilstanden af ​​forskydningsspændingsstyrken:

Opgave 2

I en del af bjælken M= 10kNm, Q= 40kN. Tværsnittet er trekantet. Find normal- og forskydningsspændingerne i et punkt 15 cm fra neutralaksen.

hvor

Derefter

Opgave 3

Vælg et tværsnit af en træbjælke i to versioner: rund og rektangulær (med h/b= 2), hvis [σ] = 10 MPa, [τ] = 3 MPa, og sammenlign dem med hensyn til materialeforbrug.

EN og V og komponer ligningerne for statik:

(1) ∑M(V) = F·otte - M– EN 6+ ( q 6) 3 = 0,

(2) ∑M(EN) = F 2 - M+ V 6 - ( q 6) 3 = 0,

Iplot

∑M(MED) = M(z 1) +F· z 1 =0,

MM(z 1) = -F· z 1 = - 30 z 1 —

- ligningen lige.

På z 1 = 0: M = 0,

z 1 = 2: M = - 60 kNm.

∑på= — F — Q(z 1) = 0,

Q(z 1) = — F= -30 kN - konstant funktion.

II afsnit

hvor

- ligningen parabler.

På z 2 =0: M= 0,

z 2 = 3m: M= 30 3 - 5 3 2 = 90 - 45 = 45 kNm,

z 2 = 6m: M= 30 6 - 5 6 2 = 180 - 180 = 0.

∑på= Q(z 2) — q· z 2 + B= 0,

Q(z 2) = q· z 2 — B= 10 z 2 - 30 - ligning lige,

på z 2 = 0: Q= -30,

z 2 = 6m: Q= 10 6 - 30 = 30.

Bestemmelse af det analytiske maksimum for den anden sektions bøjningsmoment:

fra tilstanden finder vi:

Og så

Bemærk, at springet i ep. M placeret hvor det koncentrerede moment påføres M= 60kNm og er lig med dette moment, og springet i ep. Q- under koncentreret kraft EN= 60 kN.

Udvælgelsen af ​​bjælkernes sektion er foretaget på basis af styrketilstanden i forhold til normale spændinger, hvor det største bøjningsmoment i absolut værdi fra diagrammet skal erstattes M.

I dette tilfælde er det maksimale moment modulo M = 60kNm

hvor: :

en) rund sektion d=?

b) rektangulært snit ved h/b = 2:

derefter

Sektionens dimensioner, bestemt ud fra styrketilstanden i forhold til normale spændinger, skal også opfylde styrkebetingelsen med hensyn til forskydningsspændinger:

For simple tværsnitsformer kendes kompakte udtryk for den maksimale forskydningsspænding:

— for rund sektion

— for rektangulært snit

Lad os bruge disse formler. Derefter

- for en rund stråle kl :

- for en rektangulær bjælke

For at finde ud af, hvilken sektion der kræver mindre materialeforbrug, er det nok at sammenligne værdierne af tværsnitsarealerne:

EN rektangulær = 865,3 cm 2< EN rund = 1218,6 cm 2, altså en rektangulær bjælke i denne forstand er mere fordelagtig end en rund.

Opgave 4

Vælg I-sektionen af ​​stålbjælken, hvis [σ] = 160MPa, [τ] = 80MPa.

Indstilling af retninger for støttereaktioner EN og V og komponer to statiske ligninger for at bestemme dem:

(1) ∑M(EN) = – M 1 –F 2 - ( q 8) 4+ M 2 + V 6 = 0,

(2) ∑M(V) = – M 1 – EN 6+ F 4+ ( q 8) 2+ M 2 =0,

Undersøgelse:

∑på = EN – F – q 8+ V= 104 - 80 - 20 8 + 136 = 240 - 240 ≡ 0.

∑M(MED) = M(z 1) -M 1 =0,

M(z 1) = M 1 = 40 kNm - konstant funktion.

∑på= — Q(z 1) = 0,

Q(z 1) = 0.

II afsnit

— parabel.

På z 2 =0: M= 40 kNm,

z 2 = 1m: M= 40 + 104 - 10 = 134 kNm,

z 2 = 2m: M= 40+ 104 2 - 10 2 2 = 208 kNm.

∑på=EN— q· z 2 — Q(z 2) = 0,

Q(z 2) =EN— q· z 2 = 104 - 20 z 2 - ligning lige,

på z 2 = 0: Q= 104kN,

z 2 = 6m: Q= 104 - 40 = 64kN.

III afsnit

- parabel.

På z 3 =0: M= 24 + 40 = -16 kNm,

z 3 = 2m: M= 24 + 136 2 - 10 (2 + 2) 2 = 24 + 272 - 160 = 136 kNm,

z 3 = 4m: M= 24 + 136 4 - 10 (2 + 4) 2 = 24 + 544 - 360 = 208 kNm.

∑på=V— q(2+z 3) + Q(z 3) = 0,

Q(z 3) =- V+ q(2+z 3) = -136 + 20 (2+z 3) - ligning lige,

på z 3 = 0: Q= -136 + 40 = - 94kN,

z 3 = 4m: Q= - 136 + 20 (2 + 4) = - 136 + 120 = - 16kN.

IV afsnit

-parabel.

z 4 =0: M= 0kNm,

z 4 = 1m: M= - 10kNm,

z 4 = 2m: M= -40kNm.

∑på=- q· z 4 + Q(z 4) = 0,

Q(z 4) =q· z 4 = 20 z 4 - ligning lige.

På z 4 = 0: Q= 0,

z 4 = 2m: Q= 40kN.

Kontrol af springene i diagrammerne:

a) I diagrammet M et hop på højre støtte på 24kNm (fra 16 til 40) er lig med det koncentrerede moment M 2 = 24 vedhæftet på dette sted.

b) I diagrammet Q tre hop:

den første af dem på venstre støtte svarer til en koncentreret reaktion EN= 104kN,

den anden - under kraften F= 80kN og er lig med den (64 + 16 = 80kN),

den tredje er på den højre støtte og svarer til den højre støttereaktion 136 kN (94 + 40 = 136 kN)

Til sidst designe I-sektionen.

Valget af dets dimensioner er foretaget på grundlag af styrkeforholdet for normale spændinger:

∑M(MED) = M(z 1) +F· z 1 =0,

M(z 1) = -F· z 1 = -20 z 1 .

På z 1 =0: M= 0,

z 1 = 2m: M= - 40kNm,

∑på= - F— Q(z 1) = 0,

Q(z 1) = - 20kN.

II afsnit

z 2 =0: M= - 20 - 40 = -60 kNm,

z 2 = 4m: M= 200 - 20 - 120 = 200 - 140 = 60 kNm.

∑på=- F+EN— Q(z 2) = 0,

Q =- F+A =-20 + 50 = 30kN.

III afsnit

-parabel.

På z 3 =0: M= - 20 4 = - 80 kNm,

z 3 = 2m: M= 210 2 - 20 (2 + 2) 2 = 420 - 320 = 100 kNm,

z 3 = 4m: M= 210 4 - 20 (2 + 4) 2 = 840 - 720 = 120 kNm.

∑på= Q(z 3) + V— q· (2+ z 3) = 0,

Q(z 3) = — V+ q· (2+ z 3) = - 210 + 40 (2+ z 3) - ligning lige.

På z 3 = 0: Q= -130kN,

z 3 = 4m: Q= 30kN.

Q(z 0) = - 210 + 40 (2+ z 0) = 0,

- 210 + 80 + 40 z 0 = 0,

40 z 0 = 130,

z 0 = 3,25 m,

IV afsnit

parabel.

På z 4 =0: M= 0 kNm,

z 4 = 1m: M= - 20kNm,

z 4 = 2m: M= - 80kNm.

∑på=- q· z 4 + Q(z 4) = 0,

Q(z 4) =q· z 4 = 40 z 4 - ligning lige,

z 4 = 0: Q= 0,

z 4 = 2m: Q= 80kN.

3. Valg af sektioner (farlig strækning langs σ: | maxM| = 131,25 kNm,

farligt afsnit i τ: | maxQ| = 130kN).

Mulighed 1. Rektangulær træ ([σ] = 15MPa, [τ] = 3MPa)

Vi accepterer: B = 0,24m,

H = 0,48m.

Kontrol med τ:

Mulighed 2. Træ rund

Kapitel 1. BØJNING AF LIGE BJÆLKER OG BJÆLKESYSTEMER

1.1. De vigtigste afhængigheder af teorien om bøjning af bjælker

Bjælker Det er sædvanligt at kalde stænger, der arbejder i bøjning under påvirkning af en tværgående (normalt på stangens akse) belastning. Bjælker er de mest almindelige elementer i skibskonstruktioner. Strålens akse er stedet for tyngdepunkterne for dens tværsnit i udeformeret tilstand. En stråle kaldes en ret linje, hvis aksen er en ret linje. Lokuset for tyngdepunkterne for bjælkens tværsnit i bøjet tilstand kaldes bjælkens elastiske linje. Følgende retning af koordinatakserne er overtaget: akse OKSE justeret med stråleaksen og aksen OY og OZ- med de vigtigste centrale inertiakser af tværsnittet (fig. 1.1).

Bjælkebøjningsteori er baseret på følgende antagelser.

1. Hypotesen om flade sektioner er accepteret, ifølge hvilken bjælkens tværsnit, oprindeligt fladt og vinkelret på bjælkens akse, forbliver efter dets bøjning fladt og vinkelret på bjælkens elastiske linje. På grund af dette kan bjælkens bøjningsdeformation betragtes uafhængigt af forskydningsdeformationen, hvilket forårsager forvrængning af bjælkens tværsnits planer og deres rotation i forhold til den elastiske linje (fig. 1.2, -en).

2. Normale spændinger i områder parallelt med bjælkeaksen negligeres på grund af deres lillehed (fig. 1.2, b).

3. Bjælkerne anses for at være tilstrækkeligt stive, dvs. deres afbøjninger er små i forhold til bjælkernes højde, og sektionernes rotationsvinkler er små i sammenligning med enheden (fig. 1.2, v).

4. Spændinger og belastninger er lineært relaterede; Hookes lov er gyldig (fig. 1.2, G).

Ris. 1.2. Bøjningsteori-antagelser

Vi vil overveje de bøjningsmomenter og forskydningskræfter, der opstår under bøjning af en bjælke i dens sektion som et resultat af virkningen af ​​den del af bjælken, der mentalt kastes over sektionen på dens resterende del.

Momentet for alle kræfter, der virker i afsnittet om en af ​​hovedakserne, kaldes bøjningsmomentet. Bøjningsmomentet er lig med summen af ​​momenterne af alle kræfter (inklusive støttereaktioner og -momenter), der virker på den kasserede del af bjælken, i forhold til den specificerede akse i det betragtede afsnit.

Projektionen på snitplanet af hovedvektoren af ​​de kræfter, der virker i sektionen, kaldes forskydningskraften. Det er lig med summen af ​​projektionerne på snitplanet af alle kræfter (inklusive støttereaktioner), der virker på den kasserede del af strålen.

Vi begrænser os til at overveje bøjningen af ​​strålen, der forekommer i planet XOZ. En sådan bøjning vil forekomme, når sidebelastningen virker i et plan parallelt med planet XOZ, og dens resultant i hver sektion passerer gennem et punkt kaldet midten af ​​sektionens bøjning. Bemærk, at for sektioner af bjælker med to aksesymmetrier falder bøjningscentret sammen med tyngdepunktet, og for sektioner med en symmetriakse ligger det på aksesymmetrien, men falder ikke sammen med tyngdepunktet.

Belastningen af ​​de bjælker, der indgår i skibets skrog, kan enten være fordelt (oftest jævnt fordelt langs bjælkens akse, eller ændres efter en lineær lov), eller påføres i form af koncentrerede kræfter og momenter.

Lad os betegne intensiteten af ​​den fordelte belastning (belastning pr. længdeenhed af stråleaksen) gennem q(x), ekstern koncentreret kraft - som R, og det ydre bøjningsmoment - som M... Fordelt belastning og koncentreret kraft er positive, hvis deres virkningsretninger falder sammen med aksens positive retning OZ(fig. 1.3, -en,b). Det ydre bøjningsmoment er positivt, hvis det er rettet med uret (Figur 1.3, v).

Ris. 1.3. Tegn regel for eksterne belastninger

Vi betegner afbøjningen af ​​en lige bjælke under dens bøjning i planet XOZ et kors w, og omdrejningsvinklen for snittet gennem θ. Vi vil acceptere tegnreglen for bøjningselementer (fig. 1.4):

1) afbøjningen er positiv, hvis den falder sammen med den positive retning af aksen OZ(fig. 1.4, -en):

2) sektionens rotationsvinkel er positiv, hvis sektionen som følge af bøjning roterer med uret (fig. 1.4, b);

3) bøjningsmomenter er positive, hvis bjælken under deres indflydelse bøjer konveks opad (fig. 1.4, v);

4) forskydningskræfter er positive, hvis de roterer det valgte bjælkeelement mod uret (fig. 1.4, G).

Ris. 1.4. Skilteregel for bøjningselementer

Ud fra hypotesen om flade snit kan det ses (fig. 1.5), at den relative fiberforlængelse ε x placeret kl z fra den neutrale akse, vil være lig med

ε x= −z/ρ ,(1.1)

hvor ρ - bjælkens krumningsradius i det pågældende afsnit.

Ris. 1.5. Bjælkebøjningsskema

Den neutrale akse af tværsnittet er stedet for punkter, for hvilke den lineære deformation under bøjning er nul. Mellem krumning og derivater af w(x) der er en afhængighed

I kraft af den accepterede antagelse om små rotationsvinkler for tilstrækkeligt stive bjælker, er mængdenlille i forhold til enhed, så det kan vi antage

Erstatter 1 / ρ fra (1.2) til (1.1), får vi

Normale bøjningsspændinger σ x baseret på Hookes lov vil være lige

Da det følger af definitionen af ​​bjælkerne, at der ikke er nogen langsgående kraft rettet langs bjælkens akse, skal hovedvektoren for normale spændinger forsvinde, dvs.

hvor F Er bjælkens tværsnitsareal.

Fra (1.5) får vi, at det statiske moment af bjælkens tværsnitsareal er lig med nul. Det betyder, at sektionens neutrale akse passerer gennem sit tyngdepunkt.

Momentet af indre kræfter, der virker i tværsnittet i forhold til den neutrale akse, Min vilje

I betragtning af, at inertimomentet af tværsnitsarealet i forhold til den neutrale akse OY er lig, og substituer denne værdi i (1.6), så får vi en afhængighed, der udtrykker den grundlæggende differentialligning for bjælkebøjningen

Moment af indre kræfter i afsnittet om aksen OZ vilje

Siden akserne OY og OZ efter betingelse er de vigtigste centrale akser i sektionen, så .

Det følger heraf, at under påvirkning af en belastning i et plan parallelt med hovedbøjningsplanet, vil bjælkens elastiske linje være en flad kurve. Denne bøjning kaldes flad... Ud fra afhængigheder (1.4) og (1.7) får vi

Formel (1.8) viser, at normalspændingerne under bøjning af bjælker er proportionale med afstanden fra bjælkens neutrale akse. Dette følger naturligvis af hypotesen om flade sektioner. I praktiske beregninger bruges bjælkedelens modstandsmoment ofte til at bestemme de højeste normalspændinger.

hvor | z| max er den absolutte værdi af afstanden af ​​den fjerneste fiber fra den neutrale akse.

Herefter abonnenter y udeladt for nemheds skyld.

Der er en sammenhæng mellem bøjningsmomentet, forskydningskraften og intensiteten af ​​den tværgående belastning, der opstår fra ligevægtstilstanden for elementet mentalt isoleret fra bjælken.

Overvej et bjælkeelement af længde dx (fig. 1.6). Det antages her, at elementets deformationer er ubetydelige.

Hvis momentet virker i elementets venstre del M og skærekraft N, så i dens højre sektion vil de tilsvarende indsatser have trin. Overvej kun lineære trin .

Figur 1.6. Kræfter, der virker på et bjælkeelement

Er lig med nul projektionen på aksen OZ af alle anstrengelser, der virker på elementet, og tidspunktet for alle anstrengelser i forhold til den neutrale akse i højre sektion, opnår vi:

Fra disse ligninger får vi op til mængder af højere størrelsesorden

Det følger af (1.11) og (1.12), at

Afhængigheder (1.11) - (1.13) er kendt som Zhuravsky – Schwedler-sætningen. Af disse afhængigheder følger det, at forskydningskraften og bøjningsmomentet kan bestemmes ved at integrere belastningen q:

hvor N 0 og M 0 - forskydningskraft og bøjningsmoment i et snit svarende tilx =x 0 , som tages som oprindelsen; ξ,ξ 1 - variabler for integration.

Permanent N 0 og M 0 for statisk definerbare stråler kan bestemmes ud fra betingelserne for deres statiske ligevægt.

Hvis bjælken er statisk definerbar, kan bøjningsmomentet i ethvert snit findes fra (1.14), og den elastiske linje bestemmes ved dobbelt integration af differentialligningen (1.7). Imidlertid er statisk definerbare bjælker ekstremt sjældne i skibsskrogstrukturer. De fleste af de bjælker, der udgør skibsstrukturer, danner statisk ubestemte systemer mange gange. I disse tilfælde er ligning (1.7) upraktisk til at bestemme den elastiske linje, og det er tilrådeligt at gå over til en fjerdeordens ligning.

1.2. Differentialstrålebøjningsligning

Differentieringsligning (1.7) for det generelle tilfælde, hvor sektionens inertimoment er en funktion af x under hensyntagen til (1.11) og (1.12) får vi:

hvor primtal betegner differentiering mhp x.

For prismatiske bjælker, dvs. bjælker med konstant tværsnit, får vi følgende differentialligninger for bøjning:

En almindelig inhomogen lineær differentialligning af fjerde orden (1.18) kan repræsenteres som et sæt af fire differentialligninger af første orden:

Vi bruger yderligere ligning (1.18) eller ligningssystemet (1.19) til at bestemme afbøjningen af ​​bjælken (dens elastiske linje) og alle ukendte bøjningselementer: w(x), θ (x), M(x), N(x).

Integrering (1.18) sekventielt 4 gange (forudsat at den venstre ende af strålen svarer til sektionenx= x a ), vi får:

Det er let at se, at integrationen er konstant N a,M a,θ a , w a have en vis fysisk betydning, nemlig:

N a- forskydningskraften ved udspringet, dvs. på x =x a ;

M a- bøjningsmoment ved oprindelsen;

θ a - drejningsvinkel ved oprindelsen;

w a - afbøjning i samme sektion.

For at bestemme disse konstanter kan du altid oprette fire grænsebetingelser - to for hver ende af en enkelt-span bjælke. Grænsebetingelserne afhænger naturligvis af placeringen af ​​bjælkeenderne. De enkleste forhold svarer til hængslet understøtning på stive understøtninger eller stiv afslutning.

Når enden af ​​bjælken er drejeligt understøttet på en stiv understøtning (fig. 1.7, -en) bjælkens afbøjning og bøjningsmomentet er lig med nul:

Med en stiv afslutning på en stiv understøtning (fig. 1.7, b) afbøjningen og rotationsvinklen for sektionen er lig med nul:

Hvis enden af ​​bjælken (konsollen) er fri (fig. 1.7, v), så i dette afsnit er bøjningsmomentet og forskydningskraften lig med nul:

En situation forbundet med en glidende terminering eller en symmetriterminering er mulig (fig. 1.7, G). Dette fører til følgende randbetingelser:

Bemærk, at grænsebetingelserne (1.26) vedrørende udbøjninger og rotationsvinkler normalt kaldes kinematisk, og betingelser (1.27) - strøm.

Ris. 1.7. Typer af randbetingelser

I skibskonstruktioner er det ofte nødvendigt at forholde sig til mere komplekse randforhold, som svarer til støtten af ​​bjælken på elastiske understøtninger eller elastisk afslutning af enderne.

En elastisk støtte (fig. 1.8, -en) kaldes en understøtning, der har en nedtrækning, der er proportional med reaktionen, der virker på understøtningen. Vi vil overveje reaktionen af ​​den elastiske støtte R positiv, hvis den virker på støtten i retning af aksens positive retning OZ... Så kan du skrive:

w =AR,(1.29)

hvor EN- proportionalitetskoefficienten, kaldet overensstemmelseskoefficienten for den elastiske støtte.

Denne koefficient er lig med nedsynkningen af ​​den elastiske støtte under reaktionens virkning R = 1, dvs. A =w R = 1 .

Elastiske understøtninger i skibskonstruktioner kan være bjælker, der understøtter den pågældende bjælke, eller søjler og andre trykkonstruktioner.

For at bestemme overensstemmelseskoefficienten for en elastisk støtte EN det er nødvendigt at belaste den tilsvarende struktur med en enhedskraft og finde den absolutte værdi af nedsynkningen (afbøjning) på stedet for påføring af kraften. Stiv støtte er et særligt tilfælde af elastisk støtte, når A = 0.

Elastisk tætning (fig. 1.8, b) kaldes en sådan støttekonstruktion, der forhindrer sektionens frie rotation, og hvor drejningsvinklen θ i dette snit er proportional med momentet, dvs. har en afhængighed

θ = Â M.(1.30)

Proportionalitetsmultiplikator  kaldes den elastiske tætningskoefficient og kan defineres som rotationsvinklen for den elastiske tætning ved M = 1, dvs.  = θ M = 1 .

Et særligt tilfælde af en elastisk tætning, når  = 0 er en hård afslutning. I skibskonstruktioner er elastiske fastgørelser sædvanligvis bjælker, der er normale på den betragtede og ligger i samme plan. Eksempelvis kan bjælker og lignende betragtes som elastisk tætte på rammer.

Ris. 1.8. Elastisk støtte ( -en) og elastisk tætning ( b)

Hvis enderne af bjælken er lange L understøttet på elastiske understøtninger (fig. 1.9), så er understøtningernes reaktioner i endestykkerne lig med forskydningskræfterne, og grænsebetingelserne kan skrives:

Minustegnet i den første tilstand (1.31) accepteres, fordi den positive forskydningskraft i venstre støttesektion svarer til reaktionen, der virker på bjælken fra top til bund, og på støtten fra bund til top.

Hvis enderne af bjælken er lange Lfjedrende forseglet(Fig. 1.9), så for støttesektioner, under hensyntagen til reglen om tegn for vinklerne for rotation og bøjningsmomenter, kan du skrive:

Minustegnet i den anden tilstand (1.32) er overtaget, fordi med et positivt moment i den højre støttesektion af bjælken, er det moment, der virker på den elastiske tætning, rettet mod uret, og den positive rotationsvinkel i denne sektion er rettet med uret, dvs momentets retninger og omdrejningsvinklen er ikke sammenfaldende.

Betragtning af differentialligningen (1.18) og alle randbetingelser viser, at de er lineære med hensyn til både afbøjningerne og deres afledte deri inkluderet, og de belastninger, der virker på bjælken. Linearitet er en konsekvens af antagelserne om gyldigheden af ​​Hookes lov og den lille afbøjning af strålen.

Ris. 1.9. En bjælke, hvis begge ender er elastisk understøttet og elastisk forseglet ( -en);

kræfter i elastiske understøtninger og elastiske beslag svarende til positiv
retninger for bøjningsmoment og forskydningskraft ( b)

Når flere belastninger påføres en bjælke, er hvert bøjningselement i bjælken (afbøjning, omdrejningsvinkel, moment og forskydningskraft) summen af ​​bøjningselementerne fra virkningen af ​​hver af belastningerne separat. Denne meget vigtige position, kaldet superpositionsprincippet eller princippet om summering af virkningen af ​​belastninger, er meget brugt i praktiske beregninger og især til at afsløre den statiske usikkerhed af bjælker.

1.3. Indledende parametermetode

Det generelle integral af differentialligningen for bjælkebøjning kan bruges til at bestemme den elastiske linje af en enkelt-span bjælke i det tilfælde, hvor belastningen af ​​bjælken er en kontinuerlig funktion af koordinaten gennem hele spændvidden. Hvis lasten indeholder koncentrerede kræfter, momenter eller en fordelt last virker på en del af bjælkelængden (fig. 1.10), så kan udtryk (1.24) ikke anvendes direkte. I dette tilfælde ville det være muligt ved at angive de elastiske linjer i sektionerne 1, 2 og 3 til og med w 1 , w 2 , w 3, nedskriv for hver af dem integralet i formen (1.24) og find alle vilkårlige konstanter fra randbetingelserne for enderne af bjælken og konjugationsbetingelserne ved grænserne for sektionerne. Konjugationsbetingelserne i dette tilfælde er udtrykt som følger:

på x = a 1

på x = a 2

på x = a 3

Det er let at se, at denne måde at løse problemet på fører til et stort antal vilkårlige konstanter svarende til 4 n, hvor n- antallet af sektioner langs bjælkens længde.

Ris. 1.10. Bjælke, i nogle sektioner, hvor belastninger af forskellige typer påføres

Det er meget mere bekvemt at repræsentere bjælkens elastiske linje i formen

hvor vilkårene bag dobbeltbjælken tages i betragtning hvornår x³ -en 1, x³ -en 2 osv.

Det er klart, δ 1 w(x)=w 2 (x)−w 1 (x); δ 2 w(x)=w 3 (x)−w 2 (x); etc.

Differentialligninger til bestemmelse af korrektionerne til den elastiske linje δ jegw (x) baseret på (1.18) og (1.32) kan skrives i formen

Generelt integral for enhver korrektion δ jegw (x) til den elastiske linje kan skrives på formen (1.24) for x a = et i ... I dette tilfælde parametrene N a,M a,θ a , w a har betydningen af ​​henholdsvis en ændring (spring): i forskydningskraften, bøjningsmomentet, omdrejningsvinkel og afbøjningspil ved passage gennem sektionen x =et i ... Denne teknik kaldes metoden med indledende parametre. Det kan vises, at for bjælken vist i fig. 1.10, vil den elastiske linjeligning være

Således gør metoden med indledende parametre det muligt, selv i nærvær af diskontinuitet i belastningerne, at skrive ligningen for en elastisk linje i en form, der kun indeholder fire vilkårlige konstanter N 0 , M 0 , θ 0 , w 0, som er bestemt ud fra randbetingelserne ved enderne af bjælken.

Bemærk, at der for en lang række varianter af enkelt-spænds bjælker, som man støder på i praksis, er udarbejdet detaljerede bukketabeller, som gør det nemt at finde udbøjninger, omdrejningsvinkler og andre bukkeelementer.

1.4. Bestemmelse af forskydningsspændinger ved bøjning af bjælker

Hypotesen om plane sektioner accepteret i teorien om bøjning af bjælker fører til, at forskydningsdeformationen i bjælkens sektion viser sig at være lig nul, og vi har ikke mulighed for, ved hjælp af Hookes lov, at bestemme tangentielle spændinger. Men da der i det generelle tilfælde virker forskydningskræfter i bjælkeafsnittene, bør de tilsvarende forskydningsspændinger opstå. Denne modsigelse (som er en konsekvens af den accepterede hypotese om flade sektioner) kan omgås ved at overveje ligevægtsbetingelserne. Vi vil antage, at når en bjælke sammensat af tynde strimler bøjes, er forskydningsspændingerne i tværsnittet af hver af disse strimler ensartet fordelt over tykkelsen og rettet parallelt med de lange sider af dens kontur. Denne position bekræftes praktisk talt af de nøjagtige løsninger af elasticitetsteorien. Overvej en bjælke af en åben tyndvægget I-profil. I fig. 1.11 viser den positive retning af forskydningsspændinger i flangerne og profilbanen under bøjning i bjælkebanens plan. Vi vælger med et længdesnit jeg -jeg og to tværsnit et længdeelement dx (fig. 1.12).

Vi betegner forskydningsspændingen i det angivne længdesnit med τ, og normalkræfterne i det indledende tværsnit med T... Normalkræfterne i den sidste sektion vil have trin. Overvej derfor kun lineære stigninger.

Ris. 1.12. Længdekræfter og forskydningsspændinger
i bjælkens bælteelement

Betingelsen for statisk ligevægt for elementet valgt fra strålen (lighed med nul af projektionerne af kræfterne på aksen OKSE) vil

hvor ; f- området af den del af profilen, afskåret af linjen jeg -jeg; δ– profiltykkelse ved sektionen.

Fra (1.36) følger:

Da normalspændingerne σ x er defineret af formel (1.8), så

I dette tilfælde antager vi, at bjælken har en sektionskonstant langs dens længde. Det statiske moment af en del af profilen (ved klippelinjen jeg -jeg) i forhold til bjælkeafsnittets neutralakse OY er et integral

Så fra (1.37) for den absolutte værdi af spændinger får vi:

Naturligvis er den opnåede formel til bestemmelse af forskydningsspændingerne også gyldig for ethvert længdesnit, f.eks. II -II(se fig. 1.11), og det statiske moment S Ot beregnes for den afskårne del af arealet af bjælkeprofilen i forhold til neutralaksen uden at tage hensyn til tegnet.

Formel (1.38) i den konklusions betydning, bestemmer forskydningsspændingerne i bjælkens længdesnit. Af sætningen om parringen af ​​tangentielle spændinger, kendt fra materialers modstandsforløb, følger det, at de samme tangentielle spændinger virker i de tilsvarende punkter i bjælkens tværsnit. Naturligvis er projektionen af ​​hovedvektoren af ​​forskydningsspændinger på aksen OZ skal være lig med forskydningskraft N i denne del af bjælken. Da i bælterne bjælker af denne type, som vist i fig. 1.11 er forskydningsspændinger rettet langs aksen OY, dvs. vinkelret på lastens aktionsplan, og er generelt afbalancerede, skal forskydningskraften afbalanceres af forskydningsspændingerne i bjælkebanen. Fordelingen af ​​forskydningsspændinger langs væggens højde følger variationsloven for det statiske moment S den afskårne del af området i forhold til den neutrale akse (ved konstant vægtykkelse δ).

Overvej et symmetrisk udsnit af en I-bjælke med et bælteområde F 1 og vægareal ω = hδ (fig. 1.13).

Ris. 1.13. I-bjælke sektion

Det statiske moment af den afklippede del af området for et punkt beliggende ved z fra den neutrale akse, vil være

Som det fremgår af afhængigheden (1.39), ændres det statiske moment med z efter loven om en kvadratisk parabel. Højeste værdi S fra og følgelig forskydningsspændingerne τ , vil vise sig ved den neutrale akse, hvor z = 0:

Den største forskydningsspænding i bjælkebanen ved den neutrale akse

Da inertimomentet af sektionen af ​​den betragtede stråle er

så vil den største forskydningsspænding være

Holdning N/ ω er intet andet end den gennemsnitlige forskydningsspænding i væggen, beregnet under forudsætning af en ensartet fordeling af spændinger. Tager for eksempel ω = 2 F 1, ved formel (1.41) opnår vi

Således har den betragtede bjælke den højeste forskydningsspænding i væggen ved den neutrale akse med kun 12,5 % overstiger gennemsnitsværdien af ​​disse spændinger. Det skal bemærkes, at for de fleste profiler af bjælker, der anvendes i skibets skrog, er overskridelsen af ​​de maksimale forskydningsspændinger over gennemsnittet 10–15 %.

Hvis vi betragter fordelingen af ​​forskydningsspændinger under bøjning i sektionen af ​​bjælken vist i fig. 1.14, så kan man se, at de danner et moment i forhold til sektionens tyngdepunkt. I det generelle tilfælde er bøjningen af ​​en sådan bjælke i planet XOZ vil blive ledsaget af vridning.

Bøjningen af ​​bjælken er ikke ledsaget af vridning, hvis belastningen virker i et plan parallelt med XOZ passerer gennem et punkt kaldet midten af ​​bøjningen. Dette punkt er kendetegnet ved, at momentet af alle tangentielle kræfter i sektionen af ​​bjælken i forhold til det er nul.

Ris. 1.14. Forskydningsspændinger under bøjning af kanalbjælken (punkt EN - bøj center)

Angivelse af afstanden til midten af ​​bøjningen EN fra bjælkevæggens akse igennem e, nedskriver vi betingelsen for lighed til nul af momentet af tangentielle kræfter i forhold til punktet EN:

hvor Q 2 - forskydningskraft i væggen, lig med forskydningskraften, dvs. Q 2 =N;

Q 1 =Q 3 - indsatsen i bæltet, bestemt på grundlag af (1,38) af afhængigheden

Forskydningsdeformation (eller forskydningsvinkel) γ varierer langs bjælkevæggens højde på samme måde som forskydningsspændinger τ , når den største værdi ved den neutrale akse.

Som det er vist, er ændringen i forskydningsspændinger langs væggens højde for bjælker med bånd meget ubetydelig. Dette giver os mulighed for yderligere at overveje en vis gennemsnitlig forskydningsvinkel i bjælkevæggen

Forskydningsdeformation fører til, at den rette vinkel mellem planet for bjælkens tværsnit og tangenten til den elastiske linje ændres med værdien γ ons Et forenklet diagram over forskydningsdeformationen af ​​et bjælkeelement er vist i fig. 1.15.

Ris. 1.15. Forskydningsdeformationsdiagram af et bjælkeelement

Ved at betegne afbøjningspilen forårsaget af gennemskydningen w sdv, du kan skrive:

I betragtning af tegnreglen for forskydningskraft N og rotationsvinklen finder vi

For så vidt,

Ved at integrere (1.47) opnår vi

Konstant -en, inkluderet i (1.48), bestemmer forskydningen af ​​bjælken som et stift legeme og kan tages lig med en hvilken som helst værdi, da ved bestemmelse af den samlede pil af afbøjningen fra bøjning w eksil og skifte w SDV

summen af ​​integrationskonstanterne fremkommer w 0 +-en bestemt ud fra randbetingelserne. Her w 0 - afbøjning fra bøjning ved origo.

I det følgende sætter vi -en= 0. Derefter tager det endelige udtryk for den elastiske linje, forårsaget af forskydningen, formen

Bøjnings- og forskydningskomponenterne i den elastiske linje er vist i fig. 1.16.

Ris. 1.16. Bøjning ( -en) og klippe ( b) komponenter i bjælkens elastiske linje

I det betragtede tilfælde er rotationsvinklen for sektionerne under forskydning lig med nul, og under hensyntagen til forskydningen er sektionernes rotationsvinkler, bøjningsmomenter og forskydningskræfter kun forbundet med derivaterne af den elastiske linje fra bøjning:

Noget anderledes er situationen ved påvirkning af bjælken af ​​koncentrerede momenter, der, som det vil blive vist nedenfor, ikke forårsager afbøjninger fra forskydning, men kun fører til en yderligere rotation af bjælkeafsnittene.

Overvej en bjælke frit understøttet på stive understøtninger, i hvis venstre del øjebliks handlinger M... Skærekraften i dette tilfælde vil være konstant og lige

Til den rigtige støttesektion indhenter vi henholdsvis

.(1.52)

Udtryk (1.51) og (1.52) kan omskrives som

Udtryk i parentes karakteriserer den relative tilføjelse til sektionens rotationsvinkel forårsaget af forskydning.

Hvis vi f.eks. betragter en frit understøttet bjælke, der belastes midt i sit spænd af kraften R(Fig. 1.18), så vil bjælkens afbøjning under kraften være lig med

Bøjningsafbøjningen kan findes fra bjælkernes bukketabeller. Forskydningsafbøjningen bestemmes af formlen (1,50) under hensyntagen til, at .

Ris. 1.18. Diagram af en frit understøttet bjælke belastet med en koncentreret kraft

Som det fremgår af formel (1.55), har den relative addition til bjælkeafbøjningen på grund af forskydning samme struktur som den relative addition til omdrejningsvinklen, men med en anden numerisk koefficient.

Lad os introducere notationen

hvor β er en numerisk koefficient, der afhænger af det specifikke problem, der tages i betragtning, arrangementet af understøtningerne og belastningen af ​​bjælken.

Lad os analysere afhængigheden af ​​koefficienten k fra forskellige faktorer.

Tager vi det i betragtning, får vi i stedet for (1,56).

Træghedsmomentet for et bjælkeafsnit kan altid repræsenteres som

,(1.58)

hvor α er en numerisk koefficient afhængig af tværsnittets form og karakteristika. Så for en bjælke af en I-profil ifølge formlen (1.40) ved ω = 2 F 1 fund jeg = ωh 2/3, dvs. α = 1/3.

Bemærk, at med en stigning i størrelsen af ​​bjælkeflangerne, vil koefficienten α stige.

Under hensyntagen til (1.58), i stedet for (1.57), kan vi skrive:

Således værdien af ​​koefficienten k afhænger væsentligt af forholdet mellem længden af ​​bjælkespændet og dets højde, af sektionsformen (gennem koefficienten α), understøtningsanordningen og belastningen af ​​bjælken (gennem koefficienten β). Jo relativt længere strålen ( h /L lille), jo mindre er effekten af ​​forskydningsdeformation. Til rullede profilbjælker relateret h /L mindre end 1/10 ÷ 1/8, kan skiftkorrektionen praktisk talt ignoreres.

Men for bjælker med brede bånd, som f.eks. køl, stringere og flora i bundetagen, virkningen af ​​forskydning og ved den angivne h /L kan være væsentlig.

Det skal bemærkes, at forskydningsdeformationer ikke kun påvirker stigningen i bjælkeafbøjninger, men i nogle tilfælde også resultaterne af at afsløre den statiske ubestemmelighed af bjælker og bjælkesystemer.

Bøjning deformation kaldes, hvor stangens akse og alle dens fibre, det vil sige de langsgående linjer parallelt med stangens akse, bøjes under påvirkning af ydre kræfter. Det enkleste tilfælde af bøjning opnås, når ydre kræfter ligger i et plan, der passerer gennem stangens centrale akse og ikke giver fremspring på denne akse. Dette tilfælde af bøjning kaldes tværgående bøjning. Skelne mellem flad bøjning og skrå.

Flad bøjning- sådan et tilfælde, når stangens buede akse er placeret i det samme plan, hvori ydre kræfter virker.

Skrå (kompleks) bøjning- et sådant tilfælde af bøjning, når stangens buede akse ikke ligger i ydre kræfters handlingsplan.

Bøjningsstangen omtales almindeligvis som bjælke.

Med en plan tværbøjning af bjælker i et snit med et koordinatsystem y0x kan der opstå to indre kræfter - en tværgående kraft Q y og et bøjningsmoment M x; i det følgende indføres notationen for dem Q og M. Hvis der ikke er nogen tværgående kraft i sektionen eller på sektionen af ​​bjælken (Q = 0), og bøjningsmomentet ikke er nul eller M - const, så kaldes en sådan bøjning normalt ren.

Tværgående kraft i enhver sektion af strålen er numerisk lig med den algebraiske sum af projektionerne på y-aksen af ​​alle kræfter (inklusive støttereaktioner) placeret på den ene side (en hvilken som helst) af det tegnede snit.

Bøjningsmoment i sektionen af ​​bjælken er numerisk lig med den algebraiske sum af momenterne af alle kræfter (inklusive støttereaktioner) placeret på den ene side (en hvilken som helst) af det tegnede snit i forhold til tyngdepunktet af dette snit, mere præcist i forhold til aksen, der går vinkelret på tegningens plan gennem tyngdepunktet af det tegnede snit.

Tving Q er resulterende fordelt over sektionen af ​​intern forskydningsspændinger, a øjeblik M– summen af ​​øjeblikke omkring den centrale akse af sektionen X indvendig normale spændinger.

Der er et differentielt forhold mellem interne indsatser

som bruges ved konstruktion og kontrol af plot Q og M.

Da nogle af bjælkefibrene er strakte, og nogle er komprimerede, og overgangen fra spænding til kompression sker jævnt uden spring, er der et lag i den midterste del af bjælken, hvis fibre kun er bøjet, men ikke oplever enten spænding eller kompression. Dette lag kaldes neutralt lag... Linjen, langs hvilken det neutrale lag skærer bjælkens tværsnit, kaldes neutral linje th eller neutral akse afsnit. Neutrale linjer er spændt på stråleaksen.

Linjer tegnet på siden af ​​bjælken vinkelret på aksen forbliver flade, når de bøjes. Disse eksperimentelle data giver os mulighed for at sætte hypotesen om flade sektioner som grundlag for konklusionerne af formlerne. Ifølge denne hypotese er sektionerne af bjælken flade og vinkelrette på dens akse før bøjning, forbliver flade og viser sig at være vinkelrette på bjælkens buede akse under bøjning. Bjælkens tværsnit forvrænges, når den bøjes. På grund af tværgående deformation øges dimensionerne af tværsnittet i bjælkens komprimerede zone, og i den strakte zone komprimeres de.

Forudsætninger for udledning af formler. Normale spændinger

1) Hypotesen om flade sektioner er opfyldt.

2) Langsgående fibre presser ikke mod hinanden og derfor under påvirkning af normale spændinger, lineær spænding eller kompressionsarbejde.

3) Deformationer af fibre afhænger ikke af deres placering på tværs af sektionsbredden. Følgelig forbliver de normale spændinger, der ændrer sig langs sektionens højde, de samme langs bredden.

4) Bjælken har mindst et symmetriplan, og alle ydre kræfter ligger i dette plan.

5) Bjælkens materiale adlyder Hookes lov, og elasticitetsmodulet i spænding og kompression er det samme.

6) Forholdet mellem bjælkens dimensioner er således, at den fungerer under plane bøjningsforhold uden vridning eller vridning.

Med ren bøjning virker bjælkerne på platformene i dens sektion kun normale spændinger bestemt af formlen:

hvor y er koordinaten for et vilkårligt punkt i sektionen, målt fra den neutrale linje - den centrale hovedakse x.

Normale bøjningsspændinger langs sektionshøjden er fordelt over lineær lov... Ved de yderste fibre når normalspændingerne deres maksimale værdi, og i tyngdepunktet er sektionerne lig nul.

Arten af ​​diagrammerne over normale spændinger for symmetriske sektioner i forhold til den neutrale linje

Arten af ​​diagrammerne over normale spændinger for sektioner, der ikke har symmetri om neutrallinjen

Punkterne længst væk fra den neutrale linje er farlige.

Lad os vælge et afsnit

For ethvert punkt i afsnittet, lad os kalde det et punkt TIL, betingelsen for bjælkens styrke under normale spændinger er som følger:

, hvor n.o. - det neutral akse

det sektionens aksiale modstandsmoment i forhold til den neutrale akse. Dens dimension er cm 3, m 3. Modstandsmomentet karakteriserer indflydelsen af ​​tværsnittets form og dimensioner på størrelsen af ​​spændingerne.

Styrketilstand for normale belastninger:

Normal spænding er lig med forholdet mellem det maksimale bøjningsmoment og sektionens aksiale modstandsmoment i forhold til den neutrale akse.

Hvis materialet ikke lige så modstår strækning og kompression, så er det nødvendigt at bruge to styrkeforhold: for trækzonen med en tilladt trækspænding; for en kompressionszone med en tilladt trykspænding.

Med tværgående bøjning fungerer bjælkerne på platformene i sin sektion som normal og tangenter spænding.

Ved beregning af bøjningselementer af bygningskonstruktioner for styrke, anvendes beregningsmetoden ved begrænsende tilstande.

Normale spændinger i tværsnit er i de fleste tilfælde af primær betydning ved vurdering af styrken af ​​bjælker og rammer. I dette tilfælde bør de højeste normalspændinger, der virker i de yderste fibre af bjælken, ikke overstige en vis værdi, der er tilladt for et givet materiale. I beregningsmetoden for begrænsende tilstand antages denne værdi at være lig med designmodstanden R, ganget med arbejdstilstandsfaktoren på s.

Styrketilstanden er som følger:

Værdierne R og med for forskellige materialer er givet i SNiP på bygningskonstruktioner.

For bjælker lavet af plastmateriale, der lige modstår spænding og kompression, er det tilrådeligt at bruge sektioner med to symmetriakser. I dette tilfælde er styrkebetingelsen (7.33), under hensyntagen til formel (7.19), skrevet i formen

Nogle gange anvendes af designmæssige årsager bjælker med et asymmetrisk tværsnit som en T-bjælke, en I-bjælke osv. I disse tilfælde skrives styrkebetingelsen (7.33), under hensyntagen til (7.17), i skemaet

I formlerne (7.34) og (7.35) W z og W HM - modstandsmomenter af sektionen i forhold til den neutrale akse Oz „ M nb - det største i absolut værdi bøjemoment på grund af designbelastningerne, dvs. under hensyntagen til sikkerhedsfaktoren for belastningen y ^.

Den sektion af bjælken, hvori det største bøjningsmoment virker i absolut værdi, kaldes farlig sektion.

Ved beregning af styrken af ​​strukturelle elementer, der arbejder i bøjning, løses følgende opgaver: kontrol af bjælkens styrke; sektionsvalg; bestemmelse af bjælkens bæreevne (bæreevne), de der. bestemmelse af de belastningsværdier, ved hvilke de højeste spændinger i den farlige del af bjælken ikke overstiger værdierne y c R.

Løsningen af ​​det første problem er reduceret til at kontrollere opfyldelsen af ​​styrkebetingelserne under kendte belastninger, sektionens form og dimensioner og materialets egenskaber.

Løsningen på det andet problem er reduceret til at bestemme dimensionerne af en sektion af en given form under kendte belastninger og materialeegenskaber. Først ud fra styrkebetingelserne (7.34) eller (7.35) bestemmes værdien af ​​det krævede modstandsmoment

og derefter indstilles sektionens dimensioner.

For rullede profiler (I-bjælker, kanaler), i henhold til værdien af ​​modstandsmomentet, vælges sektionen i henhold til sortimentet. For ikke-valsede sektioner indstilles sektionens karakteristiske dimensioner.

Når man løser problemet med at bestemme en bjælkes bæreevne, først ud fra styrkeforholdene (7.34) eller (7.35), findes værdien af ​​det største designbøjningsmoment af formlen

Derefter udtrykkes bøjningsmomentet i den farlige sektion i form af de belastninger, der påføres bjælken, og de tilsvarende værdier af belastningerne bestemmes ud fra det opnåede udtryk. For eksempel, for stål I-bjælken 130 vist i fig. 7.47, kl R = 210 MPa, med = 0,9, W z= 472 cm 3 finder vi

Fra diagrammet over bøjningsmomenter finder vi

Ris. 7,47

I bjælker belastet med store koncentrerede kræfter tæt på understøtningerne (fig. 7.48) kan bøjningsmomentet M nb være relativt lille, og forskydningskraften 0 nb i absolut værdi kan være signifikant. I disse tilfælde er det nødvendigt at kontrollere bjælkens styrke for de højeste forskydningsspændinger t nb. Styrkebetingelsen for forskydningsspændinger kan skrives som

hvor R s - design forskydningsmodstand af bjælkematerialet. Værdierne R s for grundlæggende byggematerialer er angivet i de relevante afsnit af SNiP.

Forskydningsspændinger kan være betydelige i banerne af I-bjælker, især i de tynde baner af polybjælker.

Forskydningsspændingsanalyse kan være kritisk for træbjælker, da tømmeret ikke modstår flisning godt langs årerne. Så, for eksempel, for fyr, design træk- og trykmodstand i bøjning R = 13 MPa, og ved kløvning langs fibrene R CK= 2,4 MPa. En sådan beregning er også nødvendig ved vurdering af styrken af ​​sammenføjningselementerne i sammensatte bjælker - svejsninger, bolte, nitter, dyvler osv.

Betingelsen for forskydningsstyrke langs årerne for en træbjælke med rektangulært tværsnit, under hensyntagen til formel (7.27), kan skrives som

Eksempel 7.15. For bjælken vist i fig. 7,49, en, bygge diagrammer Q y og M v vælg bjælkens tværsnit i form af en valset stål I-bjælke og byg diagrammer med x og m i afsnit med den største Q y og M z. Belastningssikkerhedsfaktor y f = 1.2, design modstand R= 210 MPa = 21 kN / cm 2, koefficient for arbejdsforhold med = 1,0.

Vi begynder beregningen med at bestemme støttereaktionerne:

Lad os beregne værdierne Q y og M z i de karakteristiske sektioner af bjælken.

Tværkræfter inden for hver sektion af bjælken er konstante værdier og har spring i sektioner under kraften og på støtten V. Bøjningsmomenterne ændres lineært. Diagrammer Q y og M z er vist i fig. 7,49, b, c.

Et farligt afsnit er midt i bjælkespændet, hvor bøjningsmomentet er af størst betydning. Lad os beregne den beregnede værdi af det største bøjningsmoment:

Det nødvendige modstandsmoment er

I henhold til sortimentet tager vi sektion 127 og skriver de nødvendige geometriske karakteristika af sektionen (fig. 7.50, en):

Lad os beregne værdierne af de højeste normale spændinger i den farlige del af bjælken og kontrollere dens styrke:

Bjælkens styrke er sikret.

Forskydningsspændinger har de største værdier i sektionen af ​​bjælken, hvor den største forskydningskraft i absolut værdi virker (2 nb = 35 kN.

Beregnet forskydningskraft

Lad os beregne værdierne af forskydningsspændingerne i I-bjælkevæggen på niveau med den neutrale akse og på niveau med grænsefladen mellem væggen og hylderne:

Diagrammer med x og x, i snit l: = 2,4 m (til højre) er vist i fig. 7,50, b, c.

Forskydningsspændingernes fortegn tages som negativt, svarende til forskydningskraftens fortegn.

Eksempel 7.16. For en træbjælke med rektangulært tværsnit (fig. 7.51, en) bygge diagrammer Q og M z, bestemme sektionens højde h fra styrketilstanden, tager R = = 14 MPa, yy = 1,4 og med = 1,0, og kontroller bjælkens forskydningsstyrke langs det neutrale lag ved at tage R CK = 2,4 MPa.

Lad os definere supportreaktioner:

Lad os beregne værdierne Q v og M z
i de karakteristiske sektioner af bjælken.

Inden for den anden sektion forsvinder den laterale kraft. Vi finder placeringen af ​​dette afsnit ud fra ligheden mellem trekanter på diagrammet Q y:

Lad os beregne den ekstreme værdi af bøjningsmomentet i dette afsnit:

Diagrammer Q y og M z er vist i fig. 7,51, b, c.

Den del af bjælken, hvor det maksimale bøjningsmoment virker, er farlig. Lad os beregne den beregnede værdi af bøjningsmomentet i dette afsnit:

Påkrævet modstandsmoment for sektionen

Lad os udtrykke ved hjælp af formlen (7.20) modstandsmomentet gennem sektionens højde h og sidestille det med det krævede modstandsmoment:

Vi accepterer et rektangulært snit på 12x18 cm.Beregn sektionens geometriske karakteristika:

Lad os bestemme de højeste normale spændinger i den farlige del af bjælken og kontrollere dens styrke:

Styrkebetingelsen er opfyldt.

For at kontrollere bjælkens forskydningsstyrke langs fibrene er det nødvendigt at bestemme værdierne for de maksimale forskydningsspændinger i sektionen med den højeste absolutte værdi af tværkraften 0 nb = 6 kN. Den beregnede værdi af forskydningskraften i dette afsnit

De maksimale forskydningsspændinger i tværsnittet virker i niveau med den neutrale akse. Ifølge loven om parring virker de også i det neutrale lag og forsøger at forårsage en forskydning af den ene del af strålen i forhold til den anden del.

Ved hjælp af formlen (7.27) beregner vi værdien af ​​m max og kontrollerer bjælkens forskydningsstyrke:

Forskydningsstyrkebetingelsen er opfyldt.

Eksempel 7.17. For en træbjælke med cirkulært tværsnit (fig. 7.52, en) bygge diagrammer Q y n M z n bestemme den nødvendige tværsnitsdiameter ud fra styrkeforholdet. I beregningerne tager vi R= 14 MPa, yy = 1,4 og med = 1,0.

Lad os definere supportreaktioner:

Lad os beregne værdierne Q og M 7 i de karakteristiske sektioner af bjælken.

Diagrammer Q y og M z er vist i fig. 7,52, b, c. Afsnittet om støtten er farligt. V med det største bøjningsmoment i absolut værdi M nb = 4 kNm. Den beregnede værdi af bøjningsmomentet i dette afsnit

Vi beregner det nødvendige modstandsmoment for sektionen:

Ved at bruge formlen (7.21) for modstandsmomentet for et cirkulært snit finder vi den nødvendige diameter:

Vi vil acceptere D = 16 cm og bestem de højeste normalspændinger i bjælken:

Eksempel 7.18. Bestem bæreevnen for en kassesektionsbjælke 120x180x10 mm, belastet i henhold til diagrammet i fig. 7,53, en. Lad os bygge diagrammer med x og t i et farligt afsnit. Bjælkemateriale - stålkvalitet ВСтЗ, R = 210 MPa = 21 kN/cm 2, Y / = U, Os =° '9 -

Diagrammer Q y og M z er vist i fig. 7,53, en.

Farligt er tværsnittet af bjælken nær indstøbningen, hvor det største i absolut værdi bøjningsmoment M nb virker - Р1 = 3,2 R.

Lad os beregne inertimomentet og modstandsmomentet for kassesektionen:

Under hensyntagen til formlen (7.37) og den opnåede værdi for L / nb, bestemmer vi den beregnede værdi af kraften R:

Normativ værdi af kraft

De største normalspændinger i bjælken fra designkraften

Vi beregner det statiske moment af halvdelen af ​​sektionen ^ 1/2 og det statiske moment af hyldens tværsnitsareal S n om den neutrale akse:

Forskydningsspændinger på niveau med den neutrale akse og på niveau med grænsefladen mellem flangen og væggene (fig. 7.53, b) er lige:

Diagrammer Åh og t wow i sektionen nær indstøbningen er vist i fig. 7,53, i, g.

For en udkragningsbjælke belastet med en fordelt belastning af intensiteten kN/m og et koncentreret moment spænder kN tangentielle spændinger ved en tilladt tangential spænding kN/cm2. Bjælkemål m; m; m.

Designmodel for problemet med lige tværbøjning

Ris. 3.12

Løsningen på problemet "lige tværgående bøjning"

Bestemmelse af støttereaktioner

Den vandrette reaktion i indstøbningen er nul, da eksterne belastninger i z-retningen ikke virker på bjælken.

Vi vælger retningerne for de resterende reaktive kræfter, der opstår i forseglingen: Ret den lodrette reaktion, for eksempel nedad, og øjeblikket - med uret. Deres værdier bestemmes ud fra ligningerne for statik:

Ved at sammensætte disse ligninger anser vi momentet for at være positivt, når vi roterer mod uret, og projektionen af ​​kraften er positiv, hvis dens retning falder sammen med den positive retning af y-aksen.

Fra den første ligning finder vi tidspunktet i afslutningen:

Fra den anden ligning - lodret reaktion:

De positive værdier, vi opnåede for øjeblikket, og lodret reaktion i afslutningen indikerer, at vi gættede deres retninger.

I overensstemmelse med arten af ​​fastgørelsen og belastningen af ​​bjælken opdeler vi dens længde i to sektioner. Langs grænserne for hver af disse sektioner skitserer vi fire tværsnit (se fig. 3.12), hvor vi vil beregne værdierne af forskydningskræfter og bøjningsmomenter ved hjælp af sektionsmetoden (ROSU).

Afsnit 1. Lad os mentalt kassere den højre del af strålen. Udskift dens handling på den resterende venstre side med en forskydningskraft og et bøjningsmoment. For at gøre det nemmere at beregne deres værdier dækker vi den kasserede højre side af strålen med et stykke papir, og justerer den venstre kant af arket med den sektion, der overvejes.

Husk, at forskydningskraften, der opstår i ethvert tværsnit, skal afbalancere alle ydre kræfter (aktive og reaktive), der virker på den del af bjælken, der overvejes (dvs. synlig). Derfor skal forskydningskraften være lig med den algebraiske sum af alle de kræfter, vi ser.

Lad os også give tegnreglen for forskydningskraften: en ekstern kraft, der virker på den betragtede del af bjælken og har tendens til at "rotere" denne del i forhold til sektionen med uret, forårsager en positiv forskydningskraft i sektionen. En sådan ekstern kraft er inkluderet i den algebraiske sum for definitionen med et plustegn.

I vores tilfælde ser vi kun reaktionen af ​​støtten, som roterer den del af strålen, vi ser i forhold til den første sektion (i forhold til kanten af ​​papirarket) mod uret. Så

kN.

Bøjningsmomentet i enhver sektion skal balancere det moment, der skabes af de ydre kræfter, der er synlige for os, i forhold til det pågældende afsnit. Derfor er det lig med den algebraiske sum af momenterne af alle anstrengelser, der virker på den del af den stråle, der overvejes, i forhold til det pågældende afsnit (med andre ord i forhold til kanten af ​​papirarket). I dette tilfælde forårsager den eksterne belastning, der bøjer den betragtede del af bjælken med konveksiteten nedad, et positivt bøjningsmoment i sektionen. Og det øjeblik, der er skabt af en sådan belastning, er inkluderet i den algebraiske sum for definitionen med et plustegn.

Vi ser to indsatser: reaktion og øjeblik i afslutning. Kraften har dog en skulder i forhold til sektion 1 lig nul. Så

kN m.

Vi tog plustegnet, fordi det reaktive moment bøjer den synlige del af strålen med en bule nedad.

Afsnit 2. Som før vil vi dække hele højre side af bjælken med et stykke papir. Nu, i modsætning til det første afsnit, har kraften en skulder: m. Derfor

kN; kN m.

Afsnit 3. Lukning af højre side af bjælken, finder vi

kN;

Afsnit 4. Luk venstre side af bjælken med et blad. Derefter

kN m.

kN m.

.

Ved hjælp af de fundne værdier plotter vi diagrammerne over forskydningskræfter (fig. 3.12, b) og bøjningsmomenter (fig. 3.12, c).

Under de ubelastede sektioner løber forskydningskraftdiagrammet parallelt med bjælkeaksen og under den fordelte belastning q langs en skrå lige linje opad. Under støttereaktionen på diagrammet er der et hop ned med værdien af ​​denne reaktion, det vil sige med 40 kN.

I bøjningsmomentdiagrammet ser vi et knæk under støttereaktionen. Bøjningsvinklen er rettet mod understøtningens reaktion. Under en fordelt belastning q ændres diagrammet langs en kvadratisk parabel, hvis konveksitet er rettet mod belastningen. I sektion 6 på diagrammet er der et ekstremum, da diagrammet over forskydningskraften på dette sted passerer gennem en nulværdi her.

Bestem den nødvendige tværsnitsdiameter af bjælken

Den normale stressstyrketilstand er som følger:

,

hvor er bjælkens modstandsmoment under bøjning. For en bjælke med cirkulært tværsnit er det lig med:

.

Det største bøjningsmoment i absolut værdi forekommer i den tredje sektion af bjælken: kN cm.

Derefter bestemmes den nødvendige bjælkediameter af formlen

cm.

Vi accepterer mm. Derefter

kN / cm2 kN / cm2.

"Overspænding" er

,

hvad er tilladt.

Vi kontrollerer bjælkens styrke for de højeste forskydningsspændinger

De største forskydningsspændinger, der opstår i tværsnittet af en cirkulær bjælke, beregnes med formlen

,

hvor er tværsnitsarealet.

Ifølge diagrammet er forskydningskraften med den højeste algebraiske værdi kN. Derefter

kN / cm2 kN / cm2,

det vil sige, at styrkebetingelsen for forskydningsspændinger også er opfyldt, og med stor margin.

Et eksempel på løsning af problemet "lige tværbøjning" nr. 2

Betingelse af et eksempel på et problem på et lige tværbøjning

For en drejeligt understøttet bjælke belastet med en fordelt belastning af intensitet kN/m, koncentreret kraft kN og koncentreret moment kN tilladelig forskydningsspænding kN/cm2. Bjælkespænd m.

Et eksempel på et problem med lige bøjninger - designmodel

Ris. 3.13

Løsning af et eksempel på et problem med lige bøjninger

Bestemmelse af støttereaktioner

For en given hængslet understøttet bjælke er det nødvendigt at finde tre støttereaktioner:, og. Da kun lodrette belastninger vinkelret på dens akse virker på bjælken, er den vandrette reaktion af det faste drejeleje A nul:.

Retninger af lodrette reaktioner og vi vælger vilkårligt. Lad os f.eks. rette begge lodrette reaktioner opad. For at beregne deres værdier, lad os sammensætte to statiske ligninger:

Husk på, at den resulterende lineære belastning, ensartet fordelt over en sektion af længden l, er lig, det vil sige lig med arealet af diagrammet for denne belastning, og den påføres ved tyngdepunktet af dette diagram, dvs. midt i længden.

;

kN.

Vi laver et tjek:.

Husk, at kræfter, hvis retning falder sammen med den positive retning af y-aksen, projiceres (projiceres) på denne akse med et plustegn:

det er sandt.

Plotning af forskydningskræfter og bøjningsmomenter

Vi opdeler bjælkens længde i separate sektioner. Grænserne for disse sektioner er anvendelsespunkterne for koncentrerede indsatser (aktive og/eller reaktive), såvel som punkter, der svarer til begyndelsen og slutningen af ​​den fordelte belastnings handling. Der er tre sådanne områder i vores problem. Langs grænserne for disse sektioner skitserer vi seks tværsnit, hvor vi vil beregne værdierne af forskydningskræfter og bøjningsmomenter (fig. 3.13, a).

Afsnit 1. Lad os mentalt kassere den højre del af strålen. For at gøre det nemmere at beregne forskydningskraften og bøjningsmomentet, der opstår i dette afsnit, dækker vi den del af bjælken, der er kasseret af os, med et stykke papir, idet den venstre kant af papiret flugter med selve sektionen.

Forskydningskraften i bjælkeafsnittet er lig med den algebraiske sum af alle ydre kræfter (aktive og reaktive), som vi ser. I dette tilfælde ser vi reaktionen af ​​støtten og den lineære belastning q, fordelt over en uendelig lille længde. Den resulterende lineære belastning er nul. Så

kN.

Plustegnet tages, fordi kraften roterer den synlige del af strålen i forhold til den første sektion (kanten af ​​papirarket) med uret.

Bøjningsmomentet i sektionen af ​​bjælken er lig med den algebraiske sum af momenterne af alle de kræfter, som vi ser, i forhold til sektionen under overvejelse (det vil sige i forhold til kanten af ​​papirarket). Vi ser reaktionen af ​​støtten og den lineære belastning q, fordelt over en uendelig lille længde. Styrken har dog en skulder på nul. Den resulterende lineære belastning er også nul. Så

Afsnit 2. Som før vil vi dække hele højre side af bjælken med et stykke papir. Nu ser vi reaktionen og belastningen q, der virker på et længdesnit. Den resulterende lineære belastning er lig med. Den er fastgjort i midten af ​​en lang sektion. Så

Husk på, at når vi bestemmer tegnet på bøjningsmomentet, frigør vi mentalt den del af bjælken, der er synlig for os, fra alle faktiske støttefikseringer og forestiller os, at den er fastspændt i det pågældende afsnit (det vil sige den venstre kant af papirarket er mentalt repræsenteret af os som en stiv sæl).

Afsnit 3. Luk højre side. Vi får

Afsnit 4. Luk højre side af bjælken med et ark. Derefter

Nu, for at kontrollere korrektheden af ​​beregningerne, vil vi dække venstre side af strålen med et stykke papir. Vi ser den koncentrerede kraft P, reaktionen af ​​den rigtige støtte og den lineære belastning q, fordelt over en uendelig lille længde. Den resulterende lineære belastning er nul. Så

kN m.

Det vil sige, at alt er korrekt.

Afsnit 5. Luk som før venstre side af bjælken. Vil have

kN;

kN m.

Afsnit 6. Luk igen venstre side af strålen. Vi får

kN;

Ved hjælp af de fundne værdier plotter vi diagrammerne over forskydningskræfter (fig. 3.13, b) og bøjningsmomenter (fig. 3.13, c).

Vi sørger for, at forskydningskraftdiagrammet under den ubelastede sektion løber parallelt med bjælkeaksen og under den fordelte belastning q - langs en lige linje, der skråner nedad. Der er tre hop på diagrammet: under reaktionen - opad med 37,5 kN, under reaktionen - opad med 132,5 kN, og under kraften P - nedad med 50 kN.

På diagrammet over bøjningsmomenter ser vi knæk under den koncentrerede kraft P og under støttereaktionerne. Vinklerne på knæk er rettet mod disse kræfter. Under en fordelt belastning af intensiteten q ændres diagrammet langs en kvadratisk parabel, hvis konveksitet er rettet mod belastningen. Under det koncentrerede øjeblik - et spring på 60 kN · m, det vil sige i størrelsen af ​​selve momentet. I sektion 7 på diagrammet er der et ekstremum, da diagrammet over forskydningskraften for denne sektion går gennem nulværdien (). Bestem afstanden fra sektion 7 til venstre støtte.