For to lige linjer i rummet er fire tilfælde mulige:

De lige linjer matcher;

Linjer er parallelle (men ikke ens);

Lige linjer skærer hinanden;

Lige linjer krydses, dvs. ikke har fælles punkter og er ikke parallelle.

Overvej to måder at beskrive lige linjer på: kanoniske ligninger og generelle ligninger... Lad linierne L 1 og L 2 gives ved de kanoniske ligninger:

L 1: (x - x 1) / l 1 = (y - y 1) / m 1 = (z - z 1) / n 1, L 2: (x - x 2) / l 2 = (y - y 2) / m 2 = (z - z 2) / n 2 (6,9)

For hver lige linje ud fra dens kanoniske ligninger bestemmer vi straks et punkt på det M 1 (x 1; y 1; z 1) ∈ L 1, M 2 (x 2; y 2; z 2) ∈ L 2 og koordinaterne af retningsvektorer s 1 = (l 1; m 1; n 1) for L 1, s 2 = (l 2; m 2; n 2) for L 2.

Hvis de lige linjer falder sammen eller er parallelle, så er deres retningsvektorer s 1 og s 2 kollinære, hvilket svarer til ligestillingen af ​​forholdet mellem koordinaterne for disse vektorer:

l 1 / l 2 = m 1 / m 2 = n 1 / n 2. (6.10)

Hvis de lige linjer falder sammen, er retningsvektorerne kollinære og vektoren M 1 M 2:

(x 2 - x 1) / l 1 = (y 2 - y 1) / m 1 = (z 2 - z 1) / n 1. (6.11)

Denne dobbelte lighed betyder også, at punktet М 2 tilhører linjen L 1. Derfor er betingelsen for linjernes sammenfald opfyldelsen af ​​ligheder (6.10) og (6.11) samtidigt.

Hvis linjerne krydser eller skærer hinanden, så er deres retningsvektorer ikke-kollinære, dvs. betingelse (6.10) er overtrådt. De krydsende linjer ligger i det samme plan, og derfor vektorer s 1, s 2 og M 1 M 2 er coplanarafgørende for den tredje orden sammensat af deres koordinater (se 3.2):

Betingelse (6.12) er opfyldt i tre tilfælde ud af fire, da linjerne for Δ ≠ 0 ikke tilhører det samme plan og derfor skærer hinanden.

Lad os bringe alle betingelserne sammen:

Det indbyrdes arrangement af lige linjer er kendetegnet ved antallet af løsninger til systemet (6.13). Hvis de lige linjer falder sammen, så har systemet uendeligt mange løsninger. Hvis linjerne krydser hinanden, har dette system en unik løsning. I tilfælde af parallelle eller skærende direkte løsninger er der ingen direkte løsninger. De to sidste tilfælde kan adskilles ved at finde retningsvektorerne for lige linjer. For at gøre dette er det nok at beregne to vektorprodukter n 1 × n 2 og n 3 × n 4, hvor n i = (A i; B i; C i), i = 1, 2, 3,4. Hvis de opnåede vektorer er kollinære, er disse linjer parallelle. Ellers krydser de hinanden.

Eksempel 6.4.

Retningsvektoren s1 for den lige linje L1 findes ved de kanoniske ligninger for denne lige linje: s 1 = (1; 3; -2). Retningsvektoren s 2 for den lige linje L2 beregnes ved hjælp af vektorproduktet af planernes normale vektorer, hvis skæringspunkt er:

Da s 1 = -s 2 er linjerne parallelle eller sammenfaldende. Lad os finde ud af, hvilken af ​​disse situationer der realiseres for de givne linjer. For at gøre dette erstatter vi koordinaterne for punktet M 0 (1; 2; -1) ∈ L 1 i de generelle ligninger for linjen L 2. For den første af dem får vi 1 = 0. Derfor hører punktet М 0 ikke til linjen L 2, og de pågældende linjer er parallelle.

Vinkel mellem lige linjer... Vinklen mellem to linjer kan findes ved hjælp af guide vektorer direkte. En spids vinkel mellem lige linjer er lig med vinklen mellem deres retningsvektorer (fig. 6.5) eller er komplementær til den, hvis vinklen mellem retningsvektorerne er stump. Så hvis deres retningsvektorer s x og s 2 er kendt for linjerne L 1 og L 2, bestemmes den spidse vinkel φ mellem disse linjer gennem skalarproduktet:

cosφ = | S 1 S 2 | / | S 1 || S 2 |

Lad os for eksempel s i = (l i; m i; n i), i = 1, 2. Brug formler (2.9) og (2.14) til at beregne vektor længde og skalærprodukt i koordinater, får vi

I denne artikel vil vi dvæle ved et af de primære begreber inden for geometri - begrebet en lige linje på et plan. Lad os først definere de grundlæggende udtryk og betegnelser. Dernæst vil vi diskutere den relative position af en linje og et punkt, samt to lige linjer på flyet, og give de nødvendige aksiomer. Afslutningsvis vil vi overveje måder at definere en lige linje på et fly og give grafiske illustrationer.

Side navigation.

En lige linje på et fly er et begreb.

Inden man giver konceptet om en lige linje på et fly, bør man klart forstå, hvad flyet er. Fly koncept giver dig mulighed for f.eks. at få en flad bordoverflade eller væg i et hus. Det skal dog huskes på, at bordets dimensioner er begrænsede, og planet strækker sig ud over disse grænser til uendeligt (som om vi har et vilkårligt stort bord).

Hvis du tager en godt skærpet blyant og rører den med en stang til overfladen af ​​"bordet", så får vi et billede af et punkt. Sådan får vi det idé om et punkt på et fly.

Nu kan du gå til begrebet en lige linje på et fly.

Vi lagde et ark tomt papir på bordets overflade (på et fly). For at kunne skildre en lige linje, skal vi tage en lineal og tegne en linje med en blyant, så langt som linealens og papirarkets dimensioner tillader det. Det skal bemærkes, at vi på denne måde kun får en del af den lige linje. En hel lige linje, der strækker sig til det uendelige, kan vi kun forestille os.

Gensidigt arrangement af en lige linje og et punkt.

Vi bør starte med aksiomet: der er punkter på hver lige linje og i hvert plan.

Det er sædvanligt at angive punkter med store latinske bogstaver, f.eks. Punkterne A og F. Til gengæld betegnes lige linjer med små latinske bogstaver, for eksempel lige a og d.

Muligt to muligheder for den relative position af en lige linje og et punkt på flyet: enten ligger et punkt på en lige linje (i dette tilfælde siger de også, at en lige linje passerer gennem et punkt), eller et punkt ligger ikke på en lige linje (de siger også, at et punkt ikke tilhører en lige linje linje eller en lige linje passerer ikke gennem et punkt).

For at angive, at et punkt tilhører en bestemt lige linje, bruges symbolet "". For eksempel, hvis punkt A ligger på den lige linje a, kan du skrive. Hvis punkt A ikke tilhører lige linje a, så optag.

Følgende udsagn er sandt: en enkelt lige linje passerer gennem to punkter.

Denne erklæring er aksiomatisk og bør accepteres som faktum. Derudover er dette ganske indlysende: vi markerer to punkter på papir, lægger en lineal på dem og tegner en lige linje. En lige linje, der går gennem to givne punkter (f.eks. Gennem punkterne A og B), kan betegnes med disse to bogstaver (i vores tilfælde en lige linje AB eller BA).

Det skal forstås, at uendeligt mange forskellige punkter ligger på en lige linje defineret på et plan, og alle disse punkter ligger i det samme plan. Denne erklæring er fastlagt af aksiomet: hvis to punkter på en lige linje ligger i et bestemt plan, så ligger alle punkter på denne lige linje i dette plan.

Sættet med alle punkter placeret mellem to punkter givet på en lige linje, sammen med disse punkter kaldes linjestykke eller simpelthen segment... De punkter, der afgrænser en linje, kaldes linieender. Segmentet betegnes med to bogstaver, der svarer til punkterne i segmentets ender. Lad f.eks. Punkterne A og B være enderne på et segment, så kan dette segment betegnes AB eller BA. Bemærk, at denne betegnelse for et linjesegment falder sammen med betegnelsen for en lige linje. For at undgå forvirring anbefaler vi at tilføje ordet "segment" eller "lige" til betegnelsen.

For kort at registrere, at et punkt tilhører og ikke tilhører et bestemt segment, bruges alle de samme symboler og bruges. For at vise, at et bestemt segment ligger eller ikke ligger på en lige linje, skal du bruge symboler og hhv. For eksempel, hvis segmentet AB tilhører den lige linje a, kan du skrive det kort.

Vi bør også dvæle ved sagen, når tre forskellige punkter tilhører den samme lige linje. I dette tilfælde ligger et, og kun et, punkt mellem de to andre. Denne erklæring er et andet aksiom. Lad punkterne A, B og C ligge på en lige linje, og punkt B ligger mellem punkterne A og C. Så kan vi sige, at punkterne A og C er på hver sin side af punkt B. Du kan også sige, at punkterne B og C ligger på den samme side af punkt A, og punkterne A og B ligger på den samme side af punkt C.

For fuldstændighedens skyld skal du bemærke, at ethvert punkt på en lige linje deler denne lige linje i to dele - to stråle... I dette tilfælde er der givet et aksiom: et vilkårligt punkt O, der tilhører en lige linje, deler denne lige linje i to stråler, og to punkter af en stråle ligger på samme side af punktet O, og to punkter af forskellige stråler er på hver sin side af punktet O.

Gensidig opstilling af lige linjer på et fly.

Lad os nu besvare spørgsmålet: "Hvordan kan to lige linjer placeres på et plan i forhold til hinanden?"

Først to lige linjer i et fly kan sammenfald.

Dette er muligt, når linjerne har mindst to punkter til fælles. I kraft af aksiomet i det foregående afsnit passerer den eneste lige linje gennem to punkter. Med andre ord, hvis to lige linjer passerer gennem to givne punkter, så falder de sammen.

For det andet kan to lige linjer på et fly kryds.

I dette tilfælde har linjerne et fælles punkt, som kaldes linjernes skæringspunkt. Skæringspunktet mellem linjer er betegnet med symbolet "", for eksempel betyder posten, at linjer a og b skærer hinanden ved punkt M. Krydsende lige linjer fører os til begrebet vinklen mellem skærende lige linjer. Separat er det værd at overveje placeringen af ​​de rette linjer på flyet, når vinklen mellem dem er lig med halvfems grader. I dette tilfælde kaldes linjerne vinkelret(vi anbefaler artiklen vinkelret lige linjer, vinkelret på lige linjer). Hvis linje a er vinkelret på linje b, kan der bruges en kort notation.

For det tredje kan to lige linjer på et plan være parallelle.

Fra et praktisk synspunkt er det praktisk at overveje en lige linje på et fly sammen med vektorer. Af særlig betydning er ikke -nulvektorer, der ligger på en given linje eller på en af ​​de parallelle linjer, de kaldes styre vektorer af den lige linje... I artiklen, der leder vektoren for en lige linje på et plan, er eksempler på retningsvektorer givet, og muligheder for deres anvendelse til at løse problemer vises.

Du bør også være opmærksom på ikke -nulvektorer, der ligger på en af ​​linjerne vinkelret på den givne. Sådanne vektorer kaldes normale vektorer af linjen... Anvendelsen af ​​normale vektorer af en lige linje er beskrevet i artiklen Normal vektor af en lige linje på et plan.

Når der gives tre eller flere lige linjer på et fly, er der mange forskellige muligheder for deres relative position. Alle linjer kan være parallelle, ellers krydser nogle eller alle af dem. I dette tilfælde kan alle linjer krydse hinanden på et enkelt punkt (se artiklen en blyant af linjer), eller de kan have forskellige skæringspunkter.

Vi vil ikke dvæle nærmere ved dette, men vi vil uden bevis give flere bemærkelsesværdige og meget ofte anvendte fakta:

• hvis to lige linjer er parallelle med den tredje lige linje, så er de parallelle med hinanden;
• hvis to lige linjer er vinkelret på den tredje lige linje, så er de parallelle med hinanden;
• hvis en lige linje på et plan skærer en af ​​to parallelle lige linjer, så skærer den også den anden lige linje.

Metoder til angivelse af en lige linje på et fly.

Nu vil vi liste de vigtigste måder, hvorpå du kan definere en bestemt linje på et fly. Denne viden er meget nyttig ud fra et praktisk synspunkt, da løsningen på mange eksempler og problemer er baseret på den.

For det første kan en linje defineres ved at angive to punkter på flyet.

Fra det aksiom, der er omtalt i denne artikels første afsnit, ved vi faktisk, at en lige linje passerer gennem to punkter og i øvrigt kun et.

Hvis koordinaterne for to ikke-sammenfaldende punkter er angivet i et rektangulært koordinatsystem på et plan, er det muligt at skrive ligningen for en lige linje, der går gennem to givne punkter.

For det andet kan en linje specificeres ved at angive det punkt, hvorigennem den passerer, og den linje, som den er parallel med. Denne metode er gyldig, da en enkelt lige linje parallelt med en given lige linje passerer gennem et givet punkt i flyet. Beviset for dette faktum blev udført i geometielektioner i gymnasiet.

Hvis en lige linje på et plan sættes på denne måde i forhold til det indførte rektangulære kartesiske koordinatsystem, er der mulighed for at sammensætte ligningen. Dette er beskrevet i artiklen, ligningen af ​​en lige linje, der passerer et givet punkt parallelt med en given lige linje.

For det tredje kan en lige linje specificeres ved at specificere det punkt, hvorigennem den passerer, og dens retningsvektor.

Hvis en lige linje er angivet i et rektangulært koordinatsystem på denne måde, er det let at sammensætte dens kanoniske ligning for en lige linje på et plan og parametriske ligninger for en lige linje på et plan.

Den fjerde måde at definere en lige linje på er at angive det punkt, hvorigennem den passerer, og den linje, som den er vinkelret på. Faktisk passerer en enkelt lige linje vinkelret på denne lige linje gennem et givet punkt i planet. Lad os efterlade denne kendsgerning uden bevis.

Endelig kan en lige linje på et plan specificeres ved at angive det punkt, hvorigennem det passerer, og den normale vektors linie.

Hvis koordinaterne for et punkt, der ligger på en given lige linje og koordinaterne for den normale vektor for en lige linje er kendt, er det muligt at nedskrive den almindelige ligning for en lige linje.

Bibliografi.

• Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Poznyak E.G., Yudina I.I. Geometri. 7 - 9 karakterer: en lærebog til uddannelsesinstitutioner.
• Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Kiseleva L.S., Poznyak E.G. Geometri. En lærebog for klasserne 10-11 på gymnasiet.
• Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M. Højere matematik. Bind 1: elementer i lineær algebra og analytisk geometri.
• Ilyin V.A., Poznyak E.G. Analytisk geometri.

Copyright af cleverstudents

Alle rettigheder forbeholdes.
Beskyttet af ophavsretsloven. Ingen del af webstedet, herunder interne materialer og eksternt design, må gengives i nogen form eller bruges uden forudgående skriftlig tilladelse fra indehaveren af ​​ophavsretten.

Kapitel V *. Ligninger af linjer og fly i rummet.

§ 66. Tilstande for sammenfald og skæring af fly

Hvis flyene R 1 og R 2 givet ved ligninger

A 1 NS+ B 1 y+ C 1 z+ D 1 = 0 og A 2 NS+ B 2 y+ C 2 z+ D 2 = 0, (1)

har et fælles punkt, så tilfredsstiller dets koordinater hver af ligningerne (1). Derfor skal du løse ligningssystemet for at finde de fælles punkter i disse fly

det vil sige et system med to ligninger med tre ukendte. Når betingelsen er opfyldt

(3)

system (2) har ingen løsninger. Antag faktisk det modsatte.
Antag at ( NS 0 ; på 0 , z 0) er systemets løsning. Så hvis

så får vi fra den anden ligning af system (2)

A 2 NS 0 + B 2 på 0 + C 2 z 0 = - D 2,

og fra den første

k(A 2 NS 0 + B 2 på 0 + C 2 z 0) = - D 1,

og derfor modsiger ueloviyu (3).

Vi ved, at betingelsen er betingelsen for, at flyene er parallelle. Således under betingelse (3) af flyet R 1 og R 2 er parallelle og matcher ikke.

I tilfælde, hvor koefficienterne og de frie vilkår for system (2) opfylder betingelsen

(4)

systemet har formen

Hver af ligningerne i systemet definerer det samme plan. Således er betingelse (4) en nødvendig og tilstrækkelig betingelse for planens sammenfald.

Hvis flyene R 1 og R 2 ikke er parallelle, dvs. hvis de skærer hinanden, så

I dette tilfælde er ligninger (2) ligninger for den lige linje l skæringspunkt mellem fly R 1 og R 2. Lad os vise, hvordan de kanoniske ligninger for denne linje kan findes. For at sammensætte de kanoniske ligninger for en lige linje skal du kende koordinaterne for et punkt og koordinaterne for dets retningsvektor men ... Enhver løsning af system (2) kan tages som koordinaterne for punktet M 0. Som retningsvektor men lige l vi kan tage vektorproduktet af vektorer n 1 = (A 1; B 1; C 1) og n 2 = (A 2; B 2; C 2), det vil sige normale vektorer for flyene R 1 og R 2 .

Faktisk (fig. 203) er vektoren [ n 1 ; n 2] ved definitionen af ​​et vektorprodukt er vinkelret på vektorer n 1 og n 2 og er derfor parallel med flyene R 1 og R 2 og er derfor kollinær til den lige linje l deres kryds.

Opgave 1... Skriv de kanoniske ligninger for en lige linje, der er skæringspunktet mellem fly

NS - 2på + z+ 1 = 0 og 2 NS - på+ 3z - 2 = 0.

Som n 1 = (1; - 2; 1), n 2 = (2; -1; 3), derefter

For at bestemme koordinaterne for ethvert punkt i en given lige linje finder vi en løsning på ligningssystemet

Lad os f.eks. z= 0, så får vi

hvor NS = 5 / 3 , y= 4/3. Derfor har det originale system en løsning (5/3; 4/3; 0), og derfor passerer denne linje gennem punktet M (5/3; 4/3; 0).

Når vi kender koordinaterne for den lige linies punkt og koordinaterne for dens retningsvektor, nedskriver vi de kanoniske ligninger for denne lige linje

Bemærk, at hvis flyet А 1 NS+ B 1 y+ C 1 z+ D 1 = 0 og A 2 NS+ B 2 y+ C 2 z+ D 2 = 0 skærer hinanden, så kan ligningen for ethvert plan, der passerer gennem deres skæringslinje, skrives i formen

α (A 1 NS+ B 1 y+ C 1 z+ D 1) + β (A 2 NS+ B 2 y+ C 2 z+ D 2) = 0,

hvor α og β er nogle tal.

Mål 2. Lav en ligning for et plan, der passerer gennem skæringslinjen mellem fly 3 x - 2på - z+ 4 = 0 og NS - 4på - 3z- 2 = 0 og punkt M 0 (1; 1; - 2).

Lad os sammensætte ligningen for de fly, der passerer gennem skæringslinjen mellem disse planer:

α (3 x - 2på - z+ 4) + β ( NS - 4på - 3z - 2) = 0.

Da M 0 tilhører det ønskede plan, så

α (3 1 - 2 1 + 2 + 4) + β (1- 4 1 + 6 -2) = 0,

og derfor

hvorfra for eksempel α = 1, β = -7.

Den ønskede ligning for flyet vil være

3x - 2på - z + 4 - 7 (NS - 4på - 3z - 2) = 0,

2x - 13på - 10z- 9 = 0.

Lad nu to ligninger blive givet:

Lad os se, når linjerne d og d, der er defineret af disse ligninger, er parallelle i bred forstand, når de falder sammen, når de er parallelle i den rigtige betydning (det vil sige, at de ikke har noget fælles punkt).

Svaret på det første spørgsmål opnås med det samme: Lige linjer d og d er parallelle i vid forstand, hvis og kun hvis deres retningsvektorer er kollinære, det vil sige når der er en andel og derfor også en andel

Hvis denne andel kan udvides til andel

så falder de lige linjer sammen: i dette tilfælde er alle koefficienterne for en af ​​de to ligninger (1), (D) opnået fra koefficienterne i den anden ved at multiplicere med nogle og derfor ligninger (1) og er ækvivalente ( hvert punkt, der opfylder den ene ligning, opfylder også den anden).

Omvendt, hvis to lige linjer falder sammen, finder proportion (3) sted.

Lad os først bevise dette i tilfælde, hvor vores lige linjer er parallelle med ordinataksen. Så, og vi behøver kun at bevise lighed.

Men den sidste lighed (som følger af, at begge (sammenfaldende) lige linjer skærer abscisseaksen på samme punkt med abscissen.

Lad nu de sammenfaldende primærbilleder ikke være parallelle med ordinataksen. Derefter skærer de det på samme punkt Q med ordinaten, og vi har en andel, der sammen med proportion (2) (udtrykker parallellen af ​​lige linjer i bred forstand) giver os den ønskede andel (3).

Parallelisme i den rette betydning betyder, at der er parallelisme i bred forstand (dvs. betingelse (2) er opfyldt), men der er ingen tilfældighed (dvs. ikke tilfredsstillet). Det betyder, at andelen

finder sted, mens

Kombinationen af ​​to relationer (2) og (4) er normalt skrevet i form af en formel:

Lad os opsummere alt, hvad der er blevet bevist.

Sætning 1. Enhver lige linje d på et plan udstyret med et affint koordinatsystem bestemmes af en ligning af den første grad mellem koordinaterne for dens punkter. Omvendt enhver ligning af den første grad

er en ligning af en eller anden (unik) lige linje d; desuden er alle vektorer i linje med denne linje, og kun de tilfredsstiller den homogene ligning

Denne artikel handler om parallelle linjer og parallelle linjer. Først gives definitionen af ​​parallelle linjer på et plan og i rummet, betegnelser introduceres, eksempler og grafiske illustrationer af parallelle linjer. Ydermere analyseres tegnene og betingelserne for parallelismen af ​​lige linjer. I konklusionen er der vist løsninger på typiske problemer for at bevise parallellen af ​​lige linjer, der er givet ved nogle ligninger af en lige linje i et rektangulært koordinatsystem på et plan og i et tredimensionelt rum.

Side navigation.

Parallelle linjer - grundlæggende oplysninger.

Definition.

To lige linjer på et fly kaldes parallel hvis de ikke har fælles punkter.

Definition.

To lige linjer i det tredimensionelle rum kaldes parallel hvis de ligger i samme plan og ikke har fælles punkter.

Bemærk, at klausulen "hvis de ligger i samme plan" i definitionen af ​​parallelle linjer i rummet er meget vigtig. Lad os præcisere dette punkt: to lige linjer i tredimensionelt rum, der ikke har fælles punkter og ikke ligger i samme plan, er ikke parallelle, men skærer hinanden.

Her er nogle eksempler på parallelle linjer. De modsatte kanter af notebook -arket ligger på parallelle lige linjer. De lige linjer, langs hvilke husmurens plan krydser loftets og gulvets planer, er parallelle. Jernbanespor på plant underlag kan også ses som parallelle lige linjer.

Brug symbolet "" for at betegne parallelle linjer. Det vil sige, at hvis lige linjer a og b er parallelle, kan vi kort skrive a b.

Bemærk: hvis linje a og b er parallelle, så kan vi sige, at linje a er parallel med linje b, og også at linje b er parallel med linje a.

Lad os udtrykke en erklæring, der spiller en vigtig rolle i undersøgelsen af ​​parallelle lige linjer på et plan: gennem et punkt, der ikke ligger på en given lige linje, er der en enkelt lige linje parallelt med en given. Denne erklæring tages som en kendsgerning (den kan ikke bevises på grundlag af de velkendte planiometri-aksiomer), og den kaldes aksiomet for parallelle linjer.

For sagen i rummet er følgende sætning sand: gennem ethvert punkt i rummet, der ikke ligger på en given lige linje, er der en enkelt lige linje parallelt med den givne. Denne sætning kan let bevises ved hjælp af ovenstående aksiom af parallelle linjer (du kan finde dens bevis i geometribogen for klasse 10-11, som er angivet i slutningen af ​​artiklen i bibliografien).

For sagen i rummet er følgende sætning sand: gennem ethvert punkt i rummet, der ikke ligger på en given lige linje, er der en enkelt lige linje parallelt med den givne. Denne sætning kan let bevises ved hjælp af ovenstående aksiom af parallelle linjer.

Parallelisme af linjer - tegn og betingelser for parallelisme.

Parallelisme af lige linjer er en tilstrækkelig betingelse for linjens parallelitet, det vil sige en sådan betingelse, hvis opfyldelse garanterer parallelliteten af ​​linjer. Med andre ord er opfyldelsen af ​​denne betingelse tilstrækkelig til at angive, at parallelle linjer er lige.

Der er også nødvendige og tilstrækkelige betingelser for parallelisme af lige linjer på flyet og i tredimensionelt rum.

Lad os forklare betydningen af ​​sætningen "en nødvendig og tilstrækkelig betingelse for parallelismen af ​​lige linjer."

Vi har allerede fundet ud af den tilstrækkelige betingelse for parallelitet af lige linjer. Men hvad er den "nødvendige betingelse for parallelismen af ​​lige linjer"? Ved navnet "nødvendigt" er det klart, at opfyldelsen af ​​denne betingelse er nødvendig for parallelismen af ​​lige linjer. Med andre ord, hvis den nødvendige betingelse for linjers parallelitet ikke er opfyldt, er linjerne ikke parallelle. Dermed, nødvendig og tilstrækkelig betingelse for parallelisme af lige linjer Er en betingelse, hvis opfyldelse er både nødvendig og tilstrækkelig til parallelitet af lige linjer. Det vil sige, på den ene side er dette et tegn på parallelisme af lige linjer, og på den anden side er det en egenskab, som parallelle lige linjer har.

Inden der formuleres en nødvendig og tilstrækkelig betingelse for parallelismen af ​​lige linjer, er det tilrådeligt at huske flere hjælpedefinitioner.

Sikker linje Er en linje, der skærer hver af de to angivne ikke-sammenfaldende linjer.

Når to lige sekanter skærer hinanden, dannes otte uudviklede. Den såkaldte kryds og tværs, tilsvarende og ensidige hjørner... Lad os vise dem på tegningen.

Sætning.

Hvis to lige linjer på et plan skæres af en sekant, er det for deres parallelitet nødvendigt og tilstrækkeligt, at de tværgående vinkler er ens, eller de tilsvarende vinkler er ens, eller summen af ​​ensidige vinkler er lig med 180 grader.

Lad os vise en grafisk illustration af denne nødvendige og tilstrækkelige betingelse for parallelisme af lige linjer på et plan.

Bevis for disse betingelser for parallelitet af lige linjer findes i geometri lærebøger for klasse 7-9.

Bemærk, at disse betingelser kan bruges i tredimensionelt rum - det vigtigste er, at de to linjer og sekanten ligger i det samme plan.

Her er nogle flere sætninger, der ofte bruges til at bevise parallellen af ​​lige linjer.

Sætning.

Hvis to lige linjer i planet er parallelle med den tredje lige linje, så er de parallelle. Beviset for dette kriterium følger af aksiomet med parallelle linjer.

Der er en lignende betingelse for parallelisme af lige linjer i tredimensionelt rum.

Sætning.

Hvis to linjer i rummet er parallelle med den tredje linje, så er de parallelle. Beviset for dette tegn betragtes i geometielektioner i klasse 10.

Lad os illustrere de angivne sætninger.

Lad os præsentere endnu en sætning, der giver os mulighed for at bevise parallellen af ​​lige linjer i flyet.

Sætning.

Hvis to lige linjer i planet er vinkelret på den tredje lige linje, så er de parallelle.

Der er en lignende sætning for linjer i rummet.

Sætning.

Hvis to lige linjer i det tredimensionelle rum er vinkelret på det samme plan, så er de parallelle.

Lad os tegne billeder, der svarer til disse sætninger.

Alle sætninger, kriterier og nødvendige og tilstrækkelige betingelser formuleret ovenfor er perfekte til at bevise paralleliteten af ​​lige linjer ved hjælp af geometri metoder. Det vil sige, for at bevise parallellen mellem to givne linjer, er det nødvendigt at vise, at de er parallelle med den tredje linje, eller for at vise lighed mellem skærende vinkler osv. Mange lignende problemer løses i geometriundervisning i gymnasiet. Det skal dog bemærkes, at det i mange tilfælde er praktisk at bruge koordinatmetoden til at bevise parallellen af ​​lige linjer på et plan eller i et tredimensionelt rum. Lad os formulere de nødvendige og tilstrækkelige betingelser for parallelismen af ​​lige linjer, som er givet i et rektangulært koordinatsystem.

Parallelisme af lige linjer i et rektangulært koordinatsystem.

På dette tidspunkt i artiklen vil vi formulere nødvendige og tilstrækkelige betingelser for parallelitet af linjer i et rektangulært koordinatsystem, afhængigt af typen af ​​ligninger, der bestemmer disse lige linjer, og vi giver også detaljerede løsninger på typiske problemer.

Lad os starte med tilstanden af ​​parallelisme af to lige linjer på et plan i et rektangulært koordinatsystem Oxy. Hans bevis er baseret på definitionen af ​​retningsvektoren for en lige linje og definitionen af ​​den normale vektor for en lige linje på et plan.

Sætning.

For parallelismen mellem to ikke-sammenfaldende lige linjer på planet er det nødvendigt og tilstrækkeligt, at retningsvektorerne for disse lige linjer er kollinære, eller de normale vektorer for disse lige linjer er kollinære, eller retningsvektoren for en lige linje er vinkelret på den normale vektor i den anden lige linje.

Det er klart, at tilstanden for parallelisme af to lige linjer på et plan reduceres til (retningsvektorer for lige linjer eller normale vektorer for lige linjer) eller til (retningsvektor for en lige linje og normal vektor for den anden lige linje). Således, hvis og er retningsvektorer for linjer a og b, og og er normale vektorer for henholdsvis linjer a og b, så kan den nødvendige og tilstrækkelige betingelse for parallelitet af linjer a og b skrives som , eller , eller, hvor t er et reelt tal. Til gengæld findes koordinaterne for guiderne og (eller) normale vektorer for de lige linjer a og b fra de velkendte ligninger for de lige linjer.

Især hvis den lige linje a i det rektangulære koordinatsystem Oxy på planet er defineret af den generelle ligning for formens lige linje og linje b - , så har de normale vektorer for disse linjer koordinater og henholdsvis, og betingelsen for parallelitet af linjer a og b vil blive skrevet som.

Hvis den lige linje a svarer til ligningen for en lige linje med formens hældning og til en lige linje b -, så har de normale vektorer for disse lige linjer koordinater og, og betingelsen for paralleliteten af ​​disse lige linjer tager formen ... Derfor, hvis de lige linjer på planet i et rektangulært koordinatsystem er parallelle og kan specificeres ved ligninger af lige linjer med hældningskoefficienter, så vil hældningskoefficienterne for de lige linjer være ens. Og omvendt: hvis uforlignelige lige linjer på et plan i et rektangulært koordinatsystem kan specificeres ved ligninger for en lige linje med lige hældningskoefficienter, så er sådanne lige linjer parallelle.

Hvis lige linje a og lige linje b i et rektangulært koordinatsystem bestemmes af de kanoniske ligninger for en lige linje i formens plan og eller parametriske ligninger af en lige linje på formens plan og følgelig har retningsvektorerne for disse linjer koordinater og, og betingelsen for parallelitet af linjer a og b skrives som.

Lad os se på løsningerne af flere eksempler.

Eksempel.

Er linjerne parallelle og?

Løsning.

Lad os omskrive ligningen for en lige linje i segmenter i form af en generel ligning af en lige linje: ... Nu kan du se, at det er den normale vektors normale linje , a er den normale vektor for en lige linje. Disse vektorer er ikke kollinære, da der ikke er noget reelt tal t, for hvilket ligestillingen ( ). Derfor er den nødvendige og tilstrækkelige betingelse for parallelisme af linjer på flyet ikke opfyldt, derfor er de givne linjer ikke parallelle.

Svar:

Nej, linjerne er ikke parallelle.

Eksempel.

Er lige og parallelle?

Løsning.

Lad os bringe den kanoniske ligning for den lige linje til ligningen for den lige linje med hældningen :. Det er klart, at linjernes ligninger og ikke er de samme (i dette tilfælde ville de givne linjer være de samme), og linjernes skråninger er ens, derfor er de originale linjer parallelle.