Ինչպես բազմապատկել տարբեր թվեր տարբեր աստիճաններով: Բնական ցուցիչների հատկությունները

Ակնհայտ է, որ այլ մեծությունների նման կարող են ավելացվել հզորություններ ունեցող թվեր , դրանք մեկ առ մեկ ավելացնելով իրենց նշաններով.

Այսպիսով, a 3-ի և b 2-ի գումարը 3 + b 2 է:
a 3 - b n-ի և h 5 -d 4-ի գումարը 3 - b n + h 5 - d 4 է:

Հնարավորություններ նույն փոփոխականների նույն աստիճաններըկարելի է գումարել կամ հանել։

Այսպիսով, 2a 2-ի և 3a 2-ի գումարը 5ա 2 է:

Ակնհայտ է նաև, որ եթե վերցնենք երկու քառակուսի a, կամ երեք քառակուսի a, կամ հինգ քառակուսի a.

Բայց աստիճանները տարբեր փոփոխականներև տարբեր աստիճաններ նույնական փոփոխականներ, պետք է ավելացվեն դրանց լրացմամբ իրենց նշաններով։

Այսպիսով, 2-ի և 3-ի գումարը 2 + a 3-ի գումարն է:

Ակնհայտ է, որ a-ի քառակուսին և a-ի խորանարդը հավասար է ոչ թե a-ի քառակուսու կրկնակիին, այլ երկու անգամ a-ի խորանարդին:

a 3 b n-ի և 3a 5 b 6-ի գումարը a 3 b n + 3a 5 b 6 է:

Հանումաստիճանները կատարվում են այնպես, ինչպես գումարումը, բացառությամբ, որ հանվածի նշանները պետք է համապատասխանաբար փոխվեն:

Կամ:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5 (a - h) 6 - 2 (a - h) 6 = 3 (a - h) 6

Աստիճանների բազմապատկում

Հզորություններով թվերը կարելի է բազմապատկել, ինչպես մյուս մեծությունները, գրելով դրանք մեկը մյուսի հետևից՝ նրանց միջև բազմապատկման նշան ունենալով կամ առանց դրա։

Այսպիսով, a 3-ը b 2-ով բազմապատկելու արդյունքը կլինի a 3 b 2 կամ aaabb:

Կամ:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

Վերջին օրինակի արդյունքը կարելի է պատվիրել՝ ավելացնելով նույն փոփոխականները։
Արտահայտությունը կունենա հետևյալ ձևը՝ a 5 b 5 y 3:

Մի քանի թվեր (փոփոխականներ) հզորությունների հետ համեմատելով՝ կարող ենք տեսնել, որ եթե դրանցից երկուսը բազմապատկվեն, ապա ստացվում է մի թիվ (փոփոխական), որի հզորությունը հավասար է. գումարըտերմինների աստիճաններ.

Այսպիսով, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5:

Այստեղ 5-ը բազմապատկման արդյունքի հզորությունն է, որը հավասար է 2 + 3-ի, անդամների հզորությունների գումարը։

Այսպիսով, a n .a m = a m + n:

n-ի համար a-ն ընդունվում է որպես գործակից այնքան անգամ, որքան n-ի հզորությունը հավասար է.

Իսկ a m-ն ընդունվում է որպես գործակից այնքան, որքան m-ի հզորությունը.

Ահա թե ինչու, նույն ցողուններով աստիճանները կարելի է բազմապատկել՝ ավելացնելով ցուցիչները:

Այսպիսով, a 2 .a 6 = a 2 + 6 = a 8: Եվ x 3 .x 2 .x = x 3 + 2 + 1 = x 6:

Կամ:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n + 1

Բազմապատկել (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y):
Պատասխան՝ x 4 - y 4.
Բազմապատկել (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1):

Այս կանոնը ճիշտ է նաև այն թվերի համար, որոնց ցուցիչներն են. բացասական.

1. Այսպիսով, a -2 .a -3 = a -5: Սա կարելի է գրել որպես (1 / aa) (1 / aaa) = 1 / aaaaa:

2.y -n .y -m = y -n-m.

3.a -n .a m = a m-n.

Եթե a + b-ը բազմապատկվում է a - b-ով, ապա ստացվում է a 2 - b 2. այսինքն

Երկու թվերի գումարը կամ տարբերությունը բազմապատկելու արդյունքը հավասար է նրանց քառակուսիների գումարին կամ տարբերությանը։

Եթե երկու թվերի գումարն ու տարբերությունը բարձրացվեն քառակուսի, արդյունքը հավասար կլինի այս թվերի գումարին կամ տարբերությանը չորրորդաստիճան.

Այսպիսով, (a - y) (A + y) = a 2 - y 2:
(a 2 - y 2) ⋅ (a 2 + y 2) = a 4 - y 4:
(a 4 - y 4) ⋅ (a 4 + y 4) = a 8 - y 8:

Աստիճանների բաժանում

Հզոր թվերը կարելի է բաժանել, ինչպես մյուս թվերը, բաժանարարից հանելով կամ կոտորակային ձևով դնելով։

Այսպիսով, a 3 b 2-ը բաժանված b 2-ի վրա հավասար է 3-ի:

Կամ:
$ \ frac (9a ^ 3y ^ 4) (- 3a ^ 3) = -3y ^ 4 $
$ \ frac (a ^ 2b + 3a ^ 2) (a ^ 2) = \ frac (a ^ 2 (b + 3)) (a ^ 2) = b + 3 $
$ \ frac (d \ cdot (a - h + y) ^ 3) ((a - h + y) ^ 3) = d $

Նշումը a 5-ը բաժանված է 3-ի, կարծես $ \ frac (a ^ 5) (a ^ 3) $: Բայց սա հավասար է 2-ի: Մի շարք թվերով
a +4, a +3, a +2, a +1, a 0, a -1, a -2, a -3, a -4:
ցանկացած թիվ կարելի է բաժանել մյուսի վրա, և ցուցանիշը հավասար կլինի տարբերությունըբաժանվող թվերի ցուցիչներ.

Նույն հիմքով աստիճանները բաժանելիս հանվում են դրանց ցուցանիշները։.

Այսպիսով, y 3: y 2 = y 3-2 = y 1: Այսինքն, $ \ frac (yyyy) (yy) = y $:

Եվ a n + 1: a = a n + 1-1 = a n: Այսինքն՝ $ \ frac (aa ^ n) (a) = a ^ n $։

Կամ:
y 2m: y m = y m
8a n + m: 4a m = 2a n
12 (b + y) n: 3 (b + y) 3 = 4 (b + y) n-3

Կանոնը ճիշտ է նաև հետ թվերի համար բացասականաստիճանների արժեքները.
-5-ը -3-ի բաժանելու արդյունքը -2 է:
Նաև $ \ ֆրակ (1) (աաաա): \ ֆրակ (1) (աաա) = \ ֆրակ (1) (աաաաա). (1) (aa) $.

h 2: h -1 = h 2 + 1 = h 3 կամ $ h ^ 2: \ frac (1) (h) = h ^ 2. \ frac (h) (1) = h ^ 3 $

Անհրաժեշտ է շատ լավ տիրապետել աստիճանների բազմապատկմանը և բաժանմանը, քանի որ նման գործողությունները շատ լայնորեն կիրառվում են հանրահաշվում։

Հզոր թվեր պարունակող կոտորակներով օրինակներ լուծելու օրինակներ

1. Նվազեցրեք աստիճանները $ \ frac (5a ^ 4) (3a ^ 2) $ Պատասխան՝ $ \ frac (5a ^ 2) (3) $։

2. Նվազեցրեք ցուցիչները $ \ frac (6x ^ 6) (3x ^ 5) $: Պատասխան՝ $ \ ֆրակ (2x) (1) $ կամ 2x։

3. Փոքրացրեք a 2 / a 3 և a -3 / a -4 ցուցանիշները և հասցրեք ընդհանուր հայտարարին:
a 2 .a -4-ը -2 առաջին համարիչն է:
a 3 .a -3-ը 0 = 1 է, երկրորդ համարիչը:
a 3 .a -4-ը -1 է, ընդհանուր համարիչը:
Պարզեցումից հետո՝ a -2 / a -1 և 1 / a -1:

4. Նվազեցրե՛ք 2a 4 / 5a 3 և 2 / a 4 ցուցանիշները և հասցրե՛ք դրանք ընդհանուր հայտարարին:
Պատասխան՝ 2a 3 / 5a 7 և 5a 5 / 5a 7 կամ 2a 3 / 5a 2 և 5 / 5a 2:

5. Բազմապատկեք (a 3 + b) / b 4-ը (a - b) / 3-ով:

6. Բազմապատկել (a 5 + 1) / x 2-ով (b 2 - 1) / (x + a):

7. Բ 4 / ա -2 բազմապատկել h -3 / x-ով և a n / y -3-ով:

8. 4 / y 3-ը բաժանեք 3 / y 2-ի: Պատասխան՝ a/y.

9. Բաժանել (h 3 - 1) / d 4 (d n + 1) / ժ.

Յուրաքանչյուր թվաբանական գործողություն երբեմն չափազանց դժվար է դառնում գրելու համար, և նրանք փորձում են այն պարզեցնել: Նախկինում նույնն էր ավելացման գործողության դեպքում։ Մարդիկ պետք է կատարեին միևնույն տեսակի բազմաթիվ հավելումներ, օրինակ՝ հաշվարկելու հարյուր պարսկական գորգի արժեքը, որոնց արժեքը յուրաքանչյուրը 3 ոսկի է։ 3 + 3 + 3 +… + 3 = 300: Իր ծանրության պատճառով ենթադրվում էր, որ ռեկորդը կրճատվում է մինչև 3 * 100 = 300: Փաստորեն, «երեք անգամ հարյուր» ռեկորդը նշանակում է, որ դուք պետք է վերցնեք հարյուրը: եռապատկվում է և ավելացնում: Բազմապատկումը արմատավորվեց և ընդհանուր ժողովրդականություն ձեռք բերեց: Բայց աշխարհը կանգ չի առնում, և միջնադարում անհրաժեշտություն է առաջացել իրականացնել նույն տեսակի բազմապատկում։ Հիշում եմ մի հին հնդկական հանելուկ մի իմաստունի մասին, ով որպես աշխատանքի վարձատրություն խնդրեց մի կտոր ցորեն. նա շախմատի տախտակի առաջին քառակուսու համար մեկ հատիկ խնդրեց, երկրորդի համար՝ երկու, երրորդի համար՝ չորս, հինգերորդի համար՝ ութ։ , և այլն։ Այսպես հայտնվեց աստիճանների առաջին բազմապատկումը, քանի որ հատիկների թիվը բջջի թվի ուժին հավասար էր երկուսի։ Օրինակ, վերջին բջիջի վրա կլիներ 2 * 2 * 2 * ... * 2 = 2 ^ 63 հատիկ, որը հավասար է 18 նիշերի թվի, որն իրականում հանելուկի իմաստն է։

Հզորության բարձրացման օպերացիան բավականին արագ արմատավորվեց, ինչպես նաև արագ անհրաժեշտություն առաջացավ կատարել ուժերի գումարում, հանում, բաժանում և բազմապատկում։ Վերջինս արժե ավելի մանրամասն դիտարկել: Աստիճաններ ավելացնելու բանաձևերը պարզ են և հեշտ հիշվող: Բացի այդ, շատ հեշտ է հասկանալ, թե որտեղից են դրանք գալիս, եթե աստիճանի գործառնությունը փոխարինվում է բազմապատկմամբ։ Բայց նախ, դուք պետք է հասկանաք հիմնական տերմինաբանությունը: a ^ b արտահայտությունը (կարդացեք «a b-ի հզորությամբ») նշանակում է, որ a թիվը պետք է բազմապատկվի ինքն իրեն b անգամ, իսկ «a»-ն կոչվում է աստիճանի հիմք, իսկ «b»-ն կոչվում է հզորության ցուցիչ։ . Եթե աստիճանների հիմքերը նույնն են, ապա բանաձևերը ստացվում են բավականին պարզ: Կոնկրետ օրինակ՝ գտե՛ք 2 ^ 3 * 2 ^ 4 արտահայտության արժեքը։ Որպեսզի իմանաք, թե ինչ պետք է ստացվի, դուք պետք է պատասխանը իմանաք համակարգչում՝ լուծումը սկսելուց առաջ: Այս արտահայտությունը ցանկացած առցանց հաշվիչի, որոնման համակարգի մեջ դնելով, մուտքագրելով «աստիճանների բազմապատկում տարբեր հիմքերով և նույնը» կամ մաթեմատիկական փաթեթ, արդյունքը կլինի 128: Այժմ մենք կգրենք այս արտահայտությունը՝ 2 ^ 3 = 2 * 2: * 2, և 2 ^ 4 = 2 * 2 * 2 * 2: Ստացվում է, որ 2 ^ 3 * 2 ^ 4 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 2 ^ 7 = 2 ^ (3 + 4): Ստացվում է, որ նույն հիմքով աստիճանների արտադրյալը հավասար է նախորդ երկու աստիճանների գումարին հավասար հզորության բարձրացված հիմքին։

Դուք կարող եք մտածել, որ սա պատահականություն է, բայց ոչ. ցանկացած այլ օրինակ կարող է միայն հաստատել այս կանոնը: Այսպիսով, ընդհանուր առմամբ, բանաձևն ունի հետևյալ տեսքը. a ^ n * a ^ m = a ^ (n + m): Կա նաև կանոն, որ զրոյական աստիճանի ցանկացած թիվ հավասար է մեկի։ Այստեղ պետք է հիշել բացասական ուժերի կանոնը՝ a ^ (- n) = 1 / a ^ n: Այսինքն, եթե 2 ^ 3 = 8, ապա 2 ^ (- 3) = 1/8: Օգտագործելով այս կանոնը, մենք կարող ենք ապացուցել հավասարությունը a ^ 0 = 1. a ^ 0 = a ^ (nn) = a ^ n * a ^ (- n) = a ^ (n) * 1 / a ^ (n), a ^ (n)-ը կարող է չեղարկվել, և մնում է միայն մեկը: Սրանից բխում է նաև այն կանոնը, որ նույն հիմքերով աստիճանների քանորդը հավասար է այս հիմքին այն աստիճանով, որը հավասար է դիվիդենտի արտահայտիչի և բաժանարարի գործակցին. a ^ n: a ^ m = a ^ ( նմ): Օրինակ՝ Պարզեցրե՛ք 2 ^ 3 * 2 ^ 5 * 2 ^ (- 7) * 2 ^ 0: 2 ^ (- 2) արտահայտությունը։ Բազմապատկումը կոմուտատիվ գործողություն է, հետևաբար, նախ պետք է ավելացնել բազմապատկման աստիճանները՝ 2 ^ 3 * 2 ^ 5 * 2 ^ (- 7) * 2 ^ 0 = 2 ^ (3 + 5-7 + 0) = 2 ^ 1 = 2. Հաջորդը, դուք պետք է զբաղվեք բացասական ցուցիչով բաժանման հետ: Անհրաժեշտ է բաժանարարի ինդեքսը հանել շահաբաժնի ինդեքսից՝ 2 ^ 1: 2 ^ (- 2) = 2 ^ (1 - (- 2)) = 2 ^ (1 + 2) = 2 ^ 3. = 8. Ստացվում է, որ բացասական աստիճանով բաժանման գործողությունը նույնական է նմանատիպ դրական ցուցիչով բազմապատկելու գործողությանը: Այսպիսով, վերջնական պատասխանը 8 է:

Կան օրինակներ, որտեղ տեղի է ունենում աստիճանների ոչ կանոնական բազմապատկում։ Տարբեր հիմքերով աստիճանների բազմապատկումը շատ հաճախ շատ ավելի դժվար է, իսկ երբեմն նույնիսկ անհնար է: Պետք է տրվեն տարբեր հնարավոր տեխնիկայի մի քանի օրինակներ: Օրինակ՝ պարզեցնել արտահայտությունը 3 ^ 7 * 9 ^ (- 2) * 81 ^ 3 * 243 ^ (- 2) * 729. Ակնհայտ է, որ կա տարբեր հիմքերով հզորությունների բազմապատկում։ Սակայն պետք է նշել, որ բոլոր հիմքերը եռյակի տարբեր աստիճաններ են։ 9 = 3 ^ 2.1 = 3 ^ 4.3 = 3 ^ 5.9 = 3 ^ 6: Օգտագործելով (a ^ n) ^ m = a ^ (n * m) կանոնը, դուք պետք է վերագրեք արտահայտությունը ավելի հարմար ձևով. 3 ^ 7 * (3 ^ 2) ^ (- 2) * (3 ^ 4) ^ 3 * ( 3 ^ 5) ^ (- 2) * 3 ^ 6 = 3 ^ 7 * 3 ^ (- 4) * 3 ^ (12) * 3 ^ (- 10) * 3 ^ 6 = 3 ^ (7) -4 + 12 -10 + 6) = 3 ^ (11): Պատասխան՝ 3 ^ 11։ Այն դեպքերում, երբ կան տարբեր հիմքեր, հավասար ցուցանիշների համար գործում է a ^ n * b ^ n = (a * b) ^ n կանոնը։ Օրինակ՝ 3 ^ 3 * 7 ^ 3 = 21 ^ 3: Հակառակ դեպքում, երբ կան տարբեր հիմքեր ու ցուցանիշներ, անհնար է լիարժեք բազմապատկել։ Երբեմն կարելի է մասամբ պարզեցնել կամ դիմել համակարգչային տեխնիկայի օգնությանը։

Առաջին մակարդակ

Աստիճանը և դրա հատկությունները: Համապարփակ ուղեցույց (2019)

Ինչու են անհրաժեշտ աստիճաններ: Որտե՞ղ դրանք օգտակար կլինեն ձեզ համար: Ինչու՞ պետք է ժամանակ հատկացնեք դրանք ուսումնասիրելու համար:

Գիտելիքների մասին ամեն ինչ իմանալու համար, թե ինչի համար են դրանք, ինչպես օգտագործել ձեր գիտելիքները առօրյա կյանքում, կարդացեք այս հոդվածը:

Եվ, իհարկե, աստիճանների իմացությունը ձեզ ավելի կմոտեցնի OGE կամ USE-ը հաջողությամբ անցնելուն և ձեր երազանքների համալսարան ընդունվելուն:

Եկեք գնանք ... (Եկեք գնանք!)

Կարևոր նշում! Եթե բանաձևերի փոխարեն տեսնում եք անհեթեթություն, մաքրեք քեշը: Դա անելու համար սեղմեք CTRL + F5 (Windows-ում) կամ Cmd + R (Mac-ում):

ԱՌԱՋԻՆ ՄԱՐԴԱԿ

Ցուցադրումը նույն մաթեմատիկական գործողությունն է, ինչ գումարումը, հանումը, բազմապատկումը կամ բաժանումը։

Հիմա ես ամեն ինչ կբացատրեմ մարդկային լեզվով՝ օգտագործելով շատ պարզ օրինակներ։ Ուշադրություն դարձնել. Օրինակները տարրական են, բայց բացատրում են կարևոր բաներ։

Սկսենք ավելացումից։

Բացատրելու բան չկա։ Դուք արդեն ամեն ինչ գիտեք՝ մենք ութ հոգի ենք։ Յուրաքանչյուրն ունի երկու շիշ կոլա: Որքա՞ն կոլա կա այնտեղ: Ճիշտ է` 16 շիշ:

Հիմա բազմապատկում:

Նույն կոլայի օրինակը կարելի է տարբեր կերպ գրել. Մաթեմատիկոսները խորամանկ և ծույլ մարդիկ են։ Նրանք նախ նկատում են որոշ նախշեր, իսկ հետո դրանք արագ «հաշվելու» միջոց են գտնում։ Մեր դեպքում նրանք նկատեցին, որ ութ հոգուց յուրաքանչյուրն ունի նույն թվով կոլայի շշեր և հայտնագործեցին մի տեխնիկա, որը կոչվում է բազմապատկում: Համաձայն եմ, այն համարվում է ավելի հեշտ և արագ, քան:

Այսպիսով, ավելի արագ, հեշտ և առանց սխալների հաշվելու համար պարզապես անհրաժեշտ է հիշել բազմապատկման աղյուսակ... Դուք, իհարկե, կարող եք ամեն ինչ անել ավելի դանդաղ, դժվար և սխալներով: Բայց…

Ահա բազմապատկման աղյուսակը. Կրկնել.

Եվ մեկ այլ, ավելի գեղեցիկ.

Էլ ի՞նչ խելացի հաշվելու հնարքներ են հորինել ծույլ մաթեմատիկոսները: Ճիշտ - թիվը հասցնելով ուժի.

Թիվը հզորության բարձրացում

Եթե Ձեզ անհրաժեշտ է թիվն ինքն իրենով հինգ անգամ բազմապատկել, ապա մաթեմատիկոսներն ասում են, որ պետք է այդ թիվը հասցնել հինգերորդ աստիճանի: Օրինակ, . Մաթեմատիկոսները հիշում են, որ երկուսից հինգերորդ աստիճանն է: Եվ նրանք իրենց գլխում լուծում են այդպիսի խնդիրներ՝ ավելի արագ, հեշտ և առանց սխալների։

Ձեզ անհրաժեշտ է միայն հիշեք, թե ինչ է ընդգծված թվերի հզորությունների աղյուսակում... Հավատացեք ինձ, սա ձեր կյանքը շատ ավելի հեշտ կդարձնի:

Ի դեպ, ինչու է կոչվում երկրորդ աստիճան քառակուսիթվեր, իսկ երրորդը՝ խորանարդ? Ինչ է դա նշանակում? Դա շատ լավ հարց է: Այժմ դուք կունենաք և՛ քառակուսիներ, և՛ խորանարդներ:

Կյանքի օրինակ թիվ 1

Սկսենք քառակուսուց կամ թվի երկրորդ աստիճանից։

Պատկերացրեք քառակուսի մետր առ մետր լողավազան: Լողավազանը ձեր ամառանոցում է։ Շոգ է, և ես շատ եմ ուզում լողալ: Բայց ... լողավազան առանց հատակի: Անհրաժեշտ է լողավազանի հատակը ծածկել սալիկներով։ Քանի սալիկ է ձեզ հարկավոր: Դա որոշելու համար դուք պետք է իմանաք լողավազանի հատակի տարածքը:

Դուք կարող եք պարզապես հաշվել, ձեր մատը սեղմելով, որ լողավազանի հատակը բաղկացած է մետր առ մետր խորանարդներից: Եթե դուք ունեք կղմինդր մետր առ մետր, ապա ձեզ հարկավոր են կտորներ: Հեշտ է... Բայց որտե՞ղ եք տեսել այդպիսի սալիկներ: Սալիկն ավելի շուտ կլինի սմ-սմ, իսկ հետո ձեզ տանջելու է «մատը հաշվելով»։ Հետո պետք է բազմապատկել։ Այսպիսով, լողավազանի հատակի մի կողմում մենք կտեղավորենք սալիկներ (կտորներ), իսկ մյուս կողմում նույնպես սալիկներ: Բազմապատկելով՝ ստանում եք սալիկներ ():

Նկատե՞լ եք, որ մենք ինքներս ենք բազմապատկել նույն թիվը՝ լողավազանի հատակի մակերեսը որոշելու համար: Ինչ է դա նշանակում? Միևնույն թիվը բազմապատկելուց հետո մենք կարող ենք օգտագործել «ցուցադրման» տեխնիկան։ (Իհարկե, երբ դուք ունեք ընդամենը երկու թիվ, դուք դեռ կարող եք դրանք բազմապատկել կամ հասցնել մինչև հզորության: Բայց եթե դրանք շատ են, ապա հզորության բարձրացումը շատ ավելի հեշտ է, և նաև ավելի քիչ սխալներ կան հաշվարկներում: քննությունը, սա շատ կարևոր է):
Այսպիսով, երկրորդ աստիճանի երեսունը կլինի (): Կամ կարող եք ասել, որ երեսուն քառակուսի կլինի: Այլ կերպ ասած, թվի երկրորդ աստիճանը միշտ կարող է ներկայացվել որպես քառակուսի: Եվ հակառակը, եթե տեսնում եք քառակուսի, ապա այն ՄԻՇՏ թվի երկրորդ աստիճանն է: Քառակուսին թվի երկրորդ աստիճանի ներկայացումն է:

Իրական կյանքի օրինակ թիվ 2

Ահա ձեզ համար առաջադրանք, հաշվեք, թե քանի քառակուսի կա շախմատի տախտակի վրա՝ օգտագործելով թվի քառակուսին... Բջիջների մի կողմում և մյուս կողմից նույնպես: Նրանց թիվը հաշվելու համար անհրաժեշտ է ութը բազմապատկել ութով, կամ ... եթե նկատում եք, որ շախմատի տախտակը կողմով քառակուսի է, ապա կարող եք քառակուսի դնել ութը: Դուք կստանաք բջիջներ: () Ուրեմն?

Իրական կյանքի օրինակ թիվ 3

Այժմ խորանարդը կամ թվի երրորդ ուժը: Նույն լողավազան. Բայց հիմա պետք է պարզել, թե որքան ջուր պետք է լցվի այս լողավազանի մեջ։ Դուք պետք է հաշվարկեք ծավալը: (Ծավալներն ու հեղուկները, ի դեպ, չափվում են խորանարդ մետրերով: Զարմանալիորեն, այնպես չէ՞) Նկարեք լողավազան. հատակը մեկ մետր չափի է և մեկ մետր խորություն և փորձեք հաշվարկել, թե քանի խորանարդ մետր կմտնի ձեր լողավազան:

Ցույց տվեք ձեր մատը և հաշվեք: Մեկ, երկու, երեք, չորս ... քսան երկու, քսան երեք ... Որքա՞ն է ստացվել: Չե՞ք կորցրել: Դժվա՞ր է մատով հաշվել։ Այնպես, որ! Օրինակ վերցրեք մաթեմատիկոսներից. Նրանք ծույլ են, ուստի նկատել են, որ լողավազանի ծավալը հաշվարկելու համար պետք է միմյանցով բազմապատկել դրա երկարությունը, լայնությունը և բարձրությունը։ Մեր դեպքում լողավազանի ծավալը հավասար կլինի խորանարդի... Ավելի հեշտ է, չէ՞:

Հիմա պատկերացրեք, թե որքան ծույլ և խորամանկ են մաթեմատիկոսները, եթե սա էլ պարզեցնեն։ Նրանք ամեն ինչ նվազեցրին մեկ գործողության։ Նրանք նկատեցին, որ երկարությունը, լայնությունը և բարձրությունը հավասար են, և որ նույն թիվը բազմապատկվում է ինքն իրեն... Ի՞նչ է դա նշանակում: Սա նշանակում է, որ դուք կարող եք օգտվել աստիճանից: Այսպիսով, այն, ինչ դուք ժամանակին հաշվում էիք ձեր մատով, նրանք անում են մեկ գործողությամբ՝ երեքը խորանարդի մեջ հավասար են։ Գրված է այսպես.

Մնում է միայն հիշեք աստիճանների աղյուսակը... Եթե, իհարկե, մաթեմատիկոսների նման ծույլ ու խորամանկ չեք։ Եթե սիրում եք շատ աշխատել և սխալներ թույլ տալ, կարող եք շարունակել մատով հաշվել։

Դե, վերջապես ձեզ համոզելու համար, որ աստիճանները հորինել են պարապներն ու խորամանկները՝ իրենց կյանքի խնդիրները լուծելու, այլ ոչ թե ձեզ համար խնդիրներ ստեղծելու համար, ահա ևս մի երկու օրինակ կյանքից։

Կյանքի օրինակ թիվ 4

Դուք ունեք մեկ միլիոն ռուբլի: Ամեն տարվա սկզբին յուրաքանչյուր միլիոնից վաստակում ես ևս մեկ միլիոն։ Այսինքն՝ ձեր յուրաքանչյուր միլիոնը յուրաքանչյուր տարվա սկզբին կրկնապատկվում է։ Որքա՞ն գումար կունենաք տարիների ընթացքում: Եթե հիմա նստած ու «մատով հաշվում ես», ուրեմն շատ աշխատասեր մարդ ես և… հիմար։ Բայց, ամենայն հավանականությամբ, մի քանի վայրկյանից պատասխան կտաս, քանի որ դու խելացի ես։ Այսպիսով, առաջին տարում - երկու անգամ երկու ... երկրորդ տարում - այն, ինչ եղավ, ևս երկուսը, երրորդ տարում ... Կանգ առեք: Նկատեցիք, որ թիվը մեկ անգամ բազմապատկվում է ինքն իրեն։ Այսպիսով, հինգերորդից երկուսը միլիոն է: Հիմա պատկերացրեք, որ ունեք մրցույթ, և այդ միլիոնները կստանա նա, ով ավելի արագ է հաշվարկում... Արժե՞ հիշել թվերի աստիճանները, ի՞նչ եք կարծում։

Կյանքի օրինակ թիվ 5

Դուք ունեք մեկ միլիոն: Ամեն տարվա սկզբին յուրաքանչյուր միլիոնից դուք վաստակում եք ևս երկուսը: Հիանալի է, այնպես չէ՞: Յուրաքանչյուր միլիոնը եռապատկվում է: Որքա՞ն գումար կունենաք տարիների ընթացքում: Եկեք հաշվենք. Առաջին տարին՝ բազմապատկեք, հետո արդյունքը մեկ ուրիշով... Դա արդեն ձանձրալի է, քանի որ դուք արդեն ամեն ինչ հասկացել եք՝ երեք անգամն ինքնին բազմապատկվում է: Այսպիսով, չորրորդ իշխանությունը հավասար է միլիոնի։ Պարզապես պետք է հիշել, որ երեքից չորրորդ ուժը կամ է:

Այժմ դուք գիտեք, որ թիվն ուժի հասցնելով, դուք մեծապես կհեշտացնեք ձեր կյանքը: Եկեք տեսնենք, թե ինչ կարող եք անել աստիճաններով և ինչ պետք է իմանաք դրանց մասին:

Տերմիններ և հասկացություններ ... որպեսզի չշփոթվեն

Այսպիսով, նախ, եկեք սահմանենք հասկացությունները: Ինչ ես մտածում, ինչ է ցուցիչը? Դա շատ պարզ է՝ սա այն թիվն է, որը թվի հզորության «վերևում» է։ Ոչ գիտական, բայց հասկանալի և հեշտ հիշվող...

Դե, միևնույն ժամանակ այդպիսի աստիճանի բազա? Նույնիսկ ավելի պարզ է այն թիվը, որը գտնվում է ներքևում, հիմքում:

Ահա մի նկարչություն՝ համոզվելու համար:

Դե, ընդհանուր առմամբ, ընդհանրացնելու և ավելի լավ հիշելու համար ... «» հիմքով և «» ցուցիչով աստիճանը կարդացվում է որպես «աստիճանով» և գրվում է հետևյալ կերպ.

Բնական ցուցիչով թվի աստիճանը

Դուք հավանաբար արդեն կռահեցիք, քանի որ ցուցիչը բնական թիվ է: Այո, բայց ինչ կա բնական թիվ? Տարրական! Բնական թվերն այն թվերն են, որոնք օգտագործվում են հաշվելիս առարկաները թվարկելիս՝ մեկ, երկու, երեք... Երբ հաշվում ենք առարկաները, չենք ասում՝ «մինուս հինգ», «մինուս վեց», «մինուս յոթ»։ Մենք էլ չենք ասում՝ «մեկ երրորդ», կամ «զրո միավոր, հինգ տասներորդ»։ Սրանք բնական թվեր չեն։ Ի՞նչ թվեր են դրանք ձեր կարծիքով:

Նման թվերը վերաբերում են «մինուս հինգ», «մինուս վեց», «մինուս յոթը»: ամբողջ թվեր.Ընդհանուր առմամբ, ամբողջ թվերը ներառում են բոլոր բնական թվերը, բնական թվերին հակառակ թվերը (այսինքն՝ վերցված մինուս նշանով) և թիվը։ Զրոն հեշտ է հասկանալ, սա այն դեպքում, երբ ոչինչ չկա: Ի՞նչ են նշանակում բացասական («մինուս») թվերը: Բայց դրանք հորինվել են հիմնականում պարտքերը նշելու համար. եթե հեռախոսում ունեք ռուբլի, նշանակում է, որ օպերատորին ռուբլու պարտք եք:

Ցանկացած կոտորակ ռացիոնալ թվեր են: Ի՞նչ եք կարծում, ինչպե՞ս են դրանք առաջացել: Շատ պարզ. Մի քանի հազար տարի առաջ մեր նախնիները հայտնաբերել են, որ երկարությունը, քաշը, մակերեսը և այլն չափելու համար բնական թվեր չունեն: Եվ նրանք եկան ռացիոնալ թվեր... Հետաքրքիր է, այնպես չէ՞։

Կան նաև իռացիոնալ թվեր։ Որո՞նք են այս թվերը: Մի խոսքով, անսահման տասնորդական կոտորակ: Օրինակ, եթե շրջանագծի շրջագիծը բաժանես տրամագծի վրա, կստանաս իռացիոնալ թիվ։

Ամփոփում:

Սահմանենք աստիճան հասկացությունը, որի ցուցիչը բնական թիվ է (այսինքն՝ ամբողջ թիվ և դրական)։

Առաջին աստիճանի ցանկացած թիվ հավասար է ինքն իրեն.
Թիվը քառակուսի դնելը նշանակում է այն բազմապատկել ինքն իրենով.
Թիվը խորանարդիկ դարձնելը նշանակում է այն երեք անգամ բազմապատկել ինքն իրենով.

Սահմանում.Թիվը բնական հզորության հասցնելը նշանակում է թիվը բազմապատկել ինքն իրենով.
.

Հզորության հատկությունները

Որտեղի՞ց են առաջացել այս հատկությունները: Ես ձեզ հիմա ցույց կտամ:

Տեսնենք՝ ինչ է և ?

A-priory:

Քանի՞ գործոն կա ընդհանուր առմամբ:

Դա շատ պարզ է՝ մենք բազմապատկիչներին ավելացրել ենք բազմապատկիչներ, իսկ ընդհանուրը բազմապատկիչ է:

Բայց, ըստ սահմանման, դա ցուցիչ ունեցող թվի աստիճանն է, այսինքն՝ ինչպես պահանջվում է ապացուցելու համար։

ՕրինակՊարզեցրեք արտահայտությունը:

Լուծում:

Օրինակ:Պարզեցրեք արտահայտությունը.

Լուծում:Կարևոր է նշել, որ մեր կանոնում անպայմանպետք է ունենա նույն հիմքերը:
Հետևաբար, մենք միավորում ենք աստիճանները հիմքի հետ, բայց մնում է առանձին գործոն.

պարզապես աստիճանների արտադրյալի համար:

Ոչ մի դեպքում դա չես կարող գրել։

2. այսինքն - թվի թվի հզորությունը

Ինչպես նախորդ հատկության դեպքում, եկեք դիմենք աստիճանի սահմանմանը.

Ստացվում է, որ արտահայտությունն ինքն իրենով մեկ անգամ է բազմապատկվում, այսինքն՝ ըստ սահմանման, սա թվի երրորդ ուժն է.

Սա, ըստ էության, կարելի է անվանել «ցուցանիշի փակագծում»։ Բայց դուք երբեք չպետք է դա անեք ընդհանուր առմամբ.

Հիշենք կրճատված բազմապատկման բանաձևերը՝ քանի՞ անգամ էինք ուզում գրել։

Բայց սա ճիշտ չէ, ի վերջո:

Բացասական հիմքով աստիճան

Մինչև այս պահը մենք միայն քննարկել ենք, թե ինչպիսին պետք է լինի ցուցանիշը։

Բայց ինչ պետք է լինի հիմքը:

աստիճաններով հետ բնական ցուցանիշհիմքը կարող է լինել ցանկացած թիվ... Իրոք, մենք կարող ենք միմյանցով բազմապատկել ցանկացած թվեր՝ լինեն դրանք դրական, բացասական կամ զույգ։

Եկեք մտածենք, թե ո՞ր նշանները («» կամ «») կունենան դրական և բացասական թվերի ուժեր։

Օրինակ՝ թիվը դրական կլինի, թե բացասական։ Ա. ? Առաջինի հետ ամեն ինչ պարզ է՝ ինչքան էլ դրական թվեր բազմապատկենք միմյանցով, արդյունքը կլինի դրական։

Բայց բացասականը մի քիչ ավելի հետաքրքիր է։ Ի վերջո, մենք հիշում ենք 6-րդ դասարանից մի պարզ կանոն՝ «մինուս առ մինուս տալիս է պլյուս»։ Այսինքն, կամ. Բայց եթե բազմապատկենք, ստացվում է:

Ինքներդ որոշեք, թե ինչ նշան կունենան հետևյալ արտահայտությունները.

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Դուք հասցրե՞լ եք:

Ահա պատասխանները. Առաջին չորս օրինակներում, հուսանք, ամեն ինչ պարզ է: Մենք պարզապես նայում ենք հիմքին և ցուցիչին և կիրառում ենք համապատասխան կանոնը:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Օրինակ 5-ում, ամեն ինչ նույնպես այնքան սարսափելի չէ, որքան թվում է. կարևոր չէ, թե ինչին է հավասար հիմքը, աստիճանը հավասար է, ինչը նշանակում է, որ արդյունքը միշտ դրական կլինի:

Դե, եթե հիմքը զրո չէ: Հիմքը հավասար չէ, չէ՞։ Ակնհայտորեն ոչ, քանի որ (որովհետև):

Օրինակ 6) այլևս այնքան էլ հեշտ չէ:

6 օրինակ մարզելու համար

Լուծումների վերլուծություն 6 օրինակ

Բացի ութերորդ աստիճանից, ի՞նչ ենք մենք տեսնում այստեղ։ Հիշում ենք 7-րդ դասարանի ծրագիրը. Այսպիսով, հիշո՞ւմ եք: Սա կրճատ բազմապատկման բանաձևն է, այն է՝ քառակուսիների տարբերությունը։ Մենք ստանում ենք.

Մենք ուշադիր նայում ենք հայտարարին. Այն շատ նման է համարիչի բազմապատկիչներից մեկին, բայց ինչն է սխալ: Պայմանների սխալ հերթականություն. Եթե դրանք փոխվեն, ապա կանոնը կարող է կիրառվել։

Բայց ինչպե՞ս դա անել: Պարզվում է, որ շատ հեշտ է. այստեղ մեզ օգնում է հայտարարի հավասար աստիճանը:

Պայմանները կախարդական կերպով փոխվում են: Այս «երևույթը» հավասարաչափ կիրառելի է ցանկացած արտահայտության համար. մենք կարող ենք ազատորեն փոխել փակագծերի նշանները։

Բայց կարևոր է հիշել. բոլոր նշանները փոխվում են միաժամանակ!

Վերադառնանք օրինակին.

Եվ կրկին բանաձևը.

Ամբողջականմենք նրանց հակառակ բնական թվերը (այսինքն՝ վերցված «» նշանով) և թիվ ենք անվանում։

դրական ամբողջ թիվ, բայց դա ոչնչով չի տարբերվում բնականից, այնուհետև ամեն ինչ կարծես թե նախորդ բաժնում է:

Հիմա եկեք նայենք մի քանի նոր դեպքերի: Սկսենք հավասար ցուցանիշից.

Զրոյական աստիճանի ցանկացած թիվ հավասար է մեկի:

Ինչպես միշտ, եկեք ինքներս մեզ հարց տանք՝ ինչո՞ւ է այդպես։

Դիտարկենք ինչ-որ աստիճան հիմքով: Վերցրեք, օրինակ, և բազմապատկեք հետևյալով.

Այսպիսով, մենք թիվը բազմապատկեցինք և ստացանք նույնը, ինչ եղել է -: Իսկ ո՞ր թիվը պետք է բազմապատկել, որպեսզի ոչինչ չփոխվի։ Ճիշտ է, շարունակվում է: Միջոցներ.

Նույնը կարող ենք անել կամայական թվով.

Կրկնենք կանոնը.

Զրոյական աստիճանի ցանկացած թիվ հավասար է մեկի:

Բայց կան բացառություններ շատ կանոններից: Եվ այստեղ այն նույնպես կա - սա թիվ է (որպես հիմք):

Մի կողմից այն պետք է հավասար լինի ցանկացած աստիճանի - ինչքան էլ ինքդ քեզ վրա բազմապատկես, միեւնույն է, զրո կստանաս, սա պարզ է։ Բայց մյուս կողմից, ինչպես զրոյական աստիճանի ցանկացած թիվ, այն պետք է հավասար լինի։ Այսպիսով, սրանից ո՞րն է ճիշտ: Մաթեմատիկոսները որոշեցին չխառնվել և հրաժարվեցին զրոյից զրո դարձնել: Այսինքն՝ հիմա մենք չենք կարող ոչ միայն զրոյի բաժանել, այլեւ այն հասցնել զրոյական հզորության։

Եկեք ավելի հեռու գնանք: Բնական թվերից և թվերից բացի, բացասական թվերը պատկանում են ամբողջ թվերին։ Որպեսզի հասկանանք, թե ինչ է բացասական հզորությունը, եկեք անենք նույնը, ինչ նախորդ անգամ. մի քանի նորմալ թիվ բազմապատկենք նույն բացասական հզորությամբ.

Այստեղից արդեն հեշտ է արտահայտել այն, ինչ փնտրում եք.

Այժմ մենք ընդլայնելու ենք ստացված կանոնը կամայական աստիճանի.

Այսպիսով, եկեք ձևակերպենք կանոն.

Բացասական հզորության մեջ գտնվող թիվը հակադարձ է նույն թվին դրական հզորության մեջ: Բայց միևնույն ժամանակ հիմքը չի կարող զրոյական լինել.(քանի որ դուք չեք կարող բաժանել):

Ամփոփենք.

I. Գործով չնշված արտահայտություն. Եթե, ապա.

II. Զրոյական աստիճանի ցանկացած թիվ հավասար է մեկի.

III. Այն թիվը, որը զրոյական չէ, բացասական հզորությամբ հակադարձ է նույն թվին դրական հզորությամբ.

Անկախ լուծման առաջադրանքներ.

Դե, ինչպես միշտ, օրինակներ անկախ լուծման համար.

Անկախ լուծման համար առաջադրանքների վերլուծություն.

Գիտեմ, գիտեմ, թվերը սարսափելի են, բայց քննությանը պետք է պատրաստ լինել ամեն ինչի: Լուծեք այս օրինակները կամ վերլուծեք դրանց լուծումը, եթե չկարողացաք լուծել դրանք, և դուք կսովորեք, թե ինչպես հեշտությամբ հաղթահարել դրանք քննության ժամանակ:

Շարունակենք ընդլայնել «հարմար» թվերի շրջանակը որպես ցուցիչ։

Հիմա հաշվի առեք ռացիոնալ թվեր.Ո՞ր թվերն են կոչվում ռացիոնալ:

Պատասխան. այն ամենը, ինչ կարելի է ներկայացնել որպես կոտորակ, որտեղ և ամբողջ թվեր են, ընդ որում:

Հասկանալու համար, թե ինչ է Կոտորակի աստիճան, հաշվի առեք կոտորակը.

Եկեք հավասարման երկու կողմերը բարձրացնենք հզորության.

Հիմա հիշենք կանոնի մասին «Դիպլոմից աստիճան»:

Ի՞նչ թիվ պետք է բարձրացվի հզորության հասնելու համար:

Այս ձևակերպումը րդ արմատի սահմանումն է։

Հիշեցնեմ՝ թվի ()-ի րդ աստիճանի արմատը այն թիվն է, որին, երբ բարձրացվում է աստիճանի, հավասարվում է:

Այսինքն, րդ հզորության արմատը հզորության հակադարձ գործողությունն է.

Պարզվում է, որ. Ակնհայտ է, որ այս կոնկրետ դեպքը կարող է երկարաձգվել.

Այժմ մենք ավելացնում ենք համարիչը՝ ի՞նչ է դա։ Պատասխանը հեշտությամբ կարելի է ստանալ՝ օգտագործելով աստիճանից աստիճան կանոնը.

Բայց հիմքը կարո՞ղ է լինել որևէ թիվ: Ի վերջո, արմատը չի կարող արդյունահանվել բոլոր թվերից:

Ոչ ոք!

Հիշեք կանոնը. ցանկացած թիվ, որը բարձրացվում է մինչև զույգ մեծության, դրական թիվ է: Այսինքն՝ բացասական թվերից չես կարող հանել զույգ աստիճանի արմատներ։

Իսկ սա նշանակում է, որ նման թվերը չի կարելի հասցնել կոտորակային աստիճանի զույգ հայտարարով, այսինքն՝ արտահայտությունն իմաստ չունի։

Ինչ վերաբերում է արտահայտությանը:

Բայց հենց այստեղ է առաջանում խնդիրը։

Թիվը կարող է ներկայացվել որպես այլ, չեղյալ համարվող կոտորակներ, օրինակ, կամ.

Եվ պարզվում է, որ այն կա, բայց չկա, բայց դրանք ընդամենը երկու տարբեր գրառումներ են նույն թվով։

Կամ մեկ այլ օրինակ՝ մեկ անգամ, հետո կարող ես գրել։ Բայց եթե ցուցիչն այլ կերպ գրենք, և նորից անհանգստություն կառաջանա. (այսինքն՝ բոլորովին այլ արդյունք ենք ստացել):

Նման պարադոքսներից խուսափելու համար մենք համարում ենք միայն դրական ռադիքս՝ կոտորակային ցուցիչով.

Այսպիսով, եթե.

- բնական թիվ;
- ամբողջ թիվ;

Օրինակներ.

Ռացիոնալ ցուցիչները շատ օգտակար են արմատավորված արտահայտությունները փոխակերպելու համար, օրինակ.

5 օրինակ մարզելու համար

Վերապատրաստման 5 օրինակների վերլուծություն

Իսկ հիմա ամենադժվարը. Այժմ մենք կվերլուծենք իռացիոնալ աստիճան.

Այստեղ աստիճանների բոլոր կանոններն ու հատկությունները ճիշտ նույնն են, ինչ ռացիոնալ ցուցիչ ունեցող աստիճանի համար, բացառությամբ.

Իրոք, ըստ սահմանման, իռացիոնալ թվերը թվեր են, որոնք չեն կարող ներկայացվել որպես կոտորակ, որտեղ և ամբողջ թվեր են (այսինքն, իռացիոնալ թվերը բոլոր իրական թվերն են, բացառությամբ ռացիոնալ թվերի):

Բնական, ամբողջական և ռացիոնալ ցուցիչով աստիճաններ ուսումնասիրելիս ամեն անգամ մի տեսակ «պատկեր», «անալոգիա» կամ նկարագրություն էինք կազմում ավելի ծանոթ տերմիններով։

Օրինակ, բնական ցուցիչը իրենից մի քանի անգամ բազմապատկած թիվ է.

...զրոյական աստիճանի թիվ- դա, ասես, ինքն իրենով մեկ անգամ բազմապատկված թիվ է, այսինքն՝ դեռ չի սկսել բազմապատկվել, ինչը նշանակում է, որ թիվն ինքն անգամ չի երևացել, հետևաբար, արդյունքը միայն մի տեսակ «դատարկ թիվ է»: », մասնավորապես համարը;

...ամբողջ թիվ բացասական ցուցիչ- կարծես ինչ-որ «հակառակ գործընթաց» է տեղի ունեցել, այսինքն՝ թիվը ոչ թե ինքն իրենով է բազմապատկվել, այլ բաժանվել։

Ի դեպ, գիտության մեջ հաճախ օգտագործվում է բարդ ցուցանիշ ունեցող աստիճան, այսինքն՝ ցուցանիշն անգամ իրական թիվ չէ։

Բայց դպրոցում մենք չենք մտածում նման դժվարությունների մասին, դուք հնարավորություն կունենաք ընկալել այս նոր հասկացությունները ինստիտուտում։

ՈՐՏԵՂ ՎՍՏԱՀ ԵՆՔ, ԴՈՒ ԳՆԱՑԵՔ: (եթե սովորում ես ինչպես լուծել նման օրինակներ :))

Օրինակ:

Ինքներդ որոշեք.

Լուծումների վերլուծություն.

1. Սկսենք իշխանությունը իշխանության հասցնելու արդեն սովորական կանոնից.

Հիմա նայեք ցուցանիշին. Նա ձեզ ինչ-որ բան հիշեցնու՞մ է: Մենք հիշում ենք կրճատ բազմապատկման բանաձևը, քառակուսիների տարբերությունը.

Այս դեպքում,

Ստացվում է, որ.

Պատասխան. .

2. Ցուցանիշներով կոտորակները բերում ենք նույն ձևին՝ կամ երկու տասնորդական, կամ երկուսն էլ սովորական: Եկեք, օրինակ, ստանանք.

Պատասխան՝ 16

3. Ոչ մի առանձնահատուկ բան, մենք կիրառում ենք աստիճանների սովորական հատկությունները.

Ընդլայնված ՄԱՐԴԱԿ

աստիճանի որոշում

Աստիճանը ձևի արտահայտությունն է:, որտեղ:

— աստիճանի հիմք;
- ցուցիչ.

Աստիճան բնական ցուցիչով (n = 1, 2, 3, ...)

Թիվը բնական n հզորության հասցնելը նշանակում է թիվը ինքն իրենով բազմապատկել.

Ամբողջական աստիճան (0, ± 1, ± 2, ...)

Եթե ցուցիչն է ամբողջ դրականթիվ:

Էրեկցիա զրոյական աստիճանի:

Արտահայտությունն անորոշ է, քանի որ, մի կողմից, ցանկացած աստիճանի` սա, իսկ մյուս կողմից` ցանկացած թիվ մինչև երրորդ աստիճանը` սա:

Եթե ցուցիչն է ամբողջ բացասականթիվ:

(քանի որ դուք չեք կարող բաժանել):

Եվս մեկ անգամ զրոների մասին. արտահայտությունը մեծատառով անորոշ է: Եթե, ապա.

Օրինակներ.

Ռացիոնալ գնահատական

- բնական թիվ;
- ամբողջ թիվ;

Օրինակներ.

Հզորության հատկությունները

Խնդիրների լուծումը հեշտացնելու համար փորձենք հասկանալ՝ որտեղի՞ց են առաջացել այդ հատկությունները: Եկեք ապացուցենք դրանք:

Տեսնենք՝ ինչ է և.

A-priory:

Այսպիսով, այս արտահայտության աջ կողմում մենք ստանում ենք հետևյալ արտադրանքը.

Բայց ըստ սահմանման, դա ցուցիչով թվի հզորությունն է, այսինքն.

Ք.Ե.Դ.

Օրինակ Պարզեցրեք արտահայտությունը:

Լուծում : .

Օրինակ Պարզեցրեք արտահայտությունը:

Լուծում Կարևոր է նշել, որ մեր կանոնում անպայմանպետք է ունենա նույն հիմքերը. Հետևաբար, մենք միավորում ենք աստիճանները հիմքի հետ, բայց մնում է առանձին գործոն.

Մեկ այլ կարևոր նշում. այս կանոնը հետևյալն է. միայն աստիճանների արտադրյալի համար!

Ոչ մի դեպքում դա չպետք է գրեմ։

Ինչպես նախորդ հատկության դեպքում, եկեք դիմենք աստիճանի սահմանմանը.

Եկեք այս հատվածը վերադասավորենք այսպես.

Սա, ըստ էության, կարելի է անվանել «ցուցանիշի փակագծում»։ Բայց դուք երբեք չպետք է դա անեք ընդհանուր առմամբ.

Հիշենք կրճատված բազմապատկման բանաձևերը՝ քանի՞ անգամ էինք ուզում գրել։ Բայց սա ճիշտ չէ, ի վերջո:

Բացասական հիմքով աստիճան:

Մինչև այս պահը մենք միայն քննարկել ենք, թե ինչպես պետք է լինի ցուցանիշըաստիճան. Բայց ինչ պետք է լինի հիմքը: աստիճաններով հետ բնական ցուցանիշը հիմքը կարող է լինել ցանկացած թիվ .

Իրոք, մենք կարող ենք միմյանցով բազմապատկել ցանկացած թվեր՝ լինեն դրանք դրական, բացասական կամ զույգ։ Եկեք մտածենք, թե ո՞ր նշանները («» կամ «») կունենան դրական և բացասական թվերի ուժեր։

Օրինակ՝ թիվը դրական կլինի, թե բացասական։ Ա. ?

Առաջինի հետ ամեն ինչ պարզ է՝ ինչքան էլ դրական թվեր բազմապատկենք միմյանցով, արդյունքը կլինի դրական։

Բայց բացասականը մի քիչ ավելի հետաքրքիր է։ Ի վերջո, մենք հիշում ենք 6-րդ դասարանից մի պարզ կանոն՝ «մինուս առ մինուս տալիս է պլյուս»։ Այսինքն, կամ. Բայց եթե բազմապատկենք (-ով), կստանանք -:

Եվ այսպես մինչև անսահմանություն. յուրաքանչյուր հաջորդ բազմապատկման հետ նշանը կփոխվի: Դուք կարող եք ձևակերպել հետևյալ պարզ կանոնները.

նույնիսկաստիճան, - համար դրական.
Բացասական թիվը բարձրացված է տարօրինակաստիճան, - համար բացասական.
Ցանկացած աստիճանի դրական թիվը դրական թիվ է:
Զրո ցանկացած հզորության հավասար է զրոյի:

Ինքներդ որոշեք, թե ինչ նշան կունենան հետևյալ արտահայտությունները.

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Դուք հասցրե՞լ եք: Ահա պատասխանները.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Առաջին չորս օրինակներում հուսով եմ, որ ամեն ինչ պարզ է: Մենք պարզապես նայում ենք հիմքին և ցուցիչին և կիրառում ենք համապատասխան կանոնը:

Օրինակ 5-ում, ամեն ինչ նույնպես այնքան սարսափելի չէ, որքան թվում է. կարևոր չէ, թե ինչին է հավասար հիմքը, աստիճանը հավասար է, ինչը նշանակում է, որ արդյունքը միշտ դրական կլինի: Դե, եթե հիմքը զրո չէ: Հիմքը հավասար չէ, չէ՞։ Ակնհայտորեն ոչ, քանի որ (որովհետև):

Օրինակ 6) այլևս այնքան էլ պարզ չէ: Այստեղ դուք պետք է պարզեք, թե որն է ավելի քիչ. Եթե դա հիշում եք, պարզ է դառնում, որ դա նշանակում է, որ հիմքը զրոյից փոքր է։ Այսինքն՝ մենք կիրառում ենք 2-րդ կանոնը՝ արդյունքը կլինի բացասական։

Եվ կրկին օգտագործում ենք աստիճանի սահմանումը.

Ամեն ինչ սովորական է. մենք գրում ենք աստիճանների սահմանումը և դրանք բաժանում միմյանց, բաժանում զույգերի և ստանում.

Նախքան վերջին կանոնը քննելը, լուծենք մի քանի օրինակ։

Հաշվեք արտահայտությունների արժեքները.

Լուծումներ :

Մենք ստանում ենք.

Մենք ուշադիր նայում ենք հայտարարին. Այն շատ նման է համարիչի բազմապատկիչներից մեկին, բայց ինչն է սխալ: Պայմանների սխալ հերթականություն. Եթե դրանք փոխանակվեին, ապա 3-րդ կանոնը կարող էր կիրառվել: Բայց ինչպե՞ս կարելի է դա անել: Պարզվում է, որ շատ հեշտ է. այստեղ մեզ օգնում է հայտարարի հավասար աստիճանը:

Եթե այն բազմապատկես, ոչինչ չի փոխվում, չէ՞: Բայց հիմա ստացվում է հետևյալը.

Պայմանները կախարդական կերպով փոխվում են: Այս «երևույթը» հավասարաչափ կիրառելի է ցանկացած արտահայտության համար. մենք կարող ենք ազատորեն փոխել փակագծերի նշանները։ Բայց կարևոր է հիշել. բոլոր նշանները փոխվում են միաժամանակ:Այն չի կարող փոխարինվել միայն մեկ թերություն փոխելով, որը մենք չենք ուզում:

Վերադառնանք օրինակին.

Եվ կրկին բանաձևը.

Այսպիսով, հիմա վերջին կանոնը.

Ինչպե՞ս ենք դա ապացուցելու։ Իհարկե, ինչպես միշտ. եկեք ընդլայնենք աստիճան հասկացությունը և պարզեցնենք.

Հիմա բացենք փակագծերը։ Քանի՞ տառ կլինի: անգամ բազմապատկիչներով - ինչ տեսք ունի: Սա ոչ այլ ինչ է, քան գործողության սահմանում բազմապատկումկային միայն բազմապատկիչներ։ Այսինքն, դա, ըստ սահմանման, ցուցիչ ունեցող թվի աստիճանն է.

Օրինակ:

Իռացիոնալ գնահատական

Ի հավելումն միջանկյալ մակարդակի աստիճանների մասին տեղեկատվության, այստեղ կա աստիճանը իռացիոնալ ցուցիչով: Այստեղ աստիճանների բոլոր կանոններն ու հատկությունները ճիշտ նույնն են, ինչ ռացիոնալ ցուցիչ ունեցող աստիճանի համար, բացառությամբ, ի վերջո, ըստ սահմանման, իռացիոնալ թվերը թվեր են, որոնք չեն կարող ներկայացվել որպես կոտորակ, որտեղ և ամբողջ թվեր են (որ իռացիոնալ թվերը բոլոր իրական թվերն են, բացի ռացիոնալից):

Բնական, ամբողջական և ռացիոնալ ցուցիչով աստիճաններ ուսումնասիրելիս ամեն անգամ մի տեսակ «պատկեր», «անալոգիա» կամ նկարագրություն էինք կազմում ավելի ծանոթ տերմիններով։ Օրինակ, բնական ցուցիչը իրենից մի քանի անգամ բազմապատկած թիվ է. զրոյական աստիճանի թիվն, իբրև թե, ինքն իրենով մեկ անգամ բազմապատկված թիվ է, այսինքն՝ այն դեռ չի սկսել բազմապատկվել, ինչը նշանակում է, որ թիվն ինքը դեռ չի էլ հայտնվել, հետևաբար, արդյունքը միայն «դատարկ համարի» տեսակը, մասնավորապես համարը. ամբողջ թիվ բացասական ցուցիչով աստիճանը կարծես ինչ-որ «հակառակ գործընթաց» է տեղի ունեցել, այսինքն՝ թիվը ոչ թե ինքն իրենով է բազմապատկվել, այլ բաժանվել։

Չափազանց դժվար է պատկերացնել աստիճանը իռացիոնալ ցուցիչով (ինչպես դժվար է պատկերացնել 4-չափ տարածությունը): Ավելի շուտ, դա զուտ մաթեմատիկական օբյեկտ է, որը մաթեմատիկոսները ստեղծել են աստիճանի հասկացությունը թվերի ողջ տարածության վրա տարածելու համար։

Ի դեպ, գիտության մեջ հաճախ օգտագործվում է բարդ ցուցանիշ ունեցող աստիճան, այսինքն՝ ցուցանիշն անգամ իրական թիվ չէ։ Բայց դպրոցում մենք չենք մտածում նման դժվարությունների մասին, դուք հնարավորություն կունենաք ընկալել այս նոր հասկացությունները ինստիտուտում։

Այսպիսով, ի՞նչ ենք մենք անում, երբ տեսնում ենք իռացիոնալ ցուցիչ: Մենք ամբողջ ուժով փորձում ենք ազատվել դրանից :)

Օրինակ:

Ինքներդ որոշեք.

Պատասխանները:

Մենք հիշում ենք քառակուսիների տարբերության բանաձևը. Պատասխան.
Կոտորակները բերում ենք նույն ձևին՝ կամ երկու տասնորդական, կամ երկուսն էլ սովորական: Մենք, օրինակ, ստանում ենք.
Ոչ մի առանձնահատուկ բան, մենք կիրառում ենք աստիճանների սովորական հատկությունները.

ԲԱԺԻՆԻ ԱՄՓՈՓՈՒՄ ԵՎ ՀԻՄՆԱԿԱՆ ԲԱՆԱՁԵՎԵՐԸ

Աստիճանկոչվում է ձևի արտահայտություն:, որտեղ:

Ամբողջական աստիճան

աստիճան, որի ցուցիչը բնական թիվ է (այսինքն՝ ամբողջ թիվ և դրական)։

Ռացիոնալ գնահատական

աստիճան, որի ցուցիչը բացասական և կոտորակային թվերն են։

Իռացիոնալ գնահատական

աստիճան, որի ցուցիչը անվերջ տասնորդական կոտորակ կամ արմատ է։

Հզորության հատկությունները

Աստիճանների առանձնահատկությունները.

Բացասական թիվը բարձրացված է նույնիսկաստիճան, - համար դրական.
Բացասական թիվը բարձրացված է տարօրինակաստիճան, - համար բացասական.
Ցանկացած աստիճանի դրական թիվը դրական թիվ է:
Զրոն հավասար է ցանկացած աստիճանի:
Զրո աստիճանի ցանկացած թիվ հավասար է:

ՀԻՄԱ ՔՈ ԽՈՍՔԸ...

Ինչպե՞ս եք հավանում հոդվածը: Գրեք մեկնաբանություններում՝ դուր եկավ, թե ոչ։

Պատմեք մեզ աստիճանի հատկությունների հետ կապված ձեր փորձի մասին:

Երևի հարցեր ունեք։ Կամ առաջարկություններ.

Գրեք մեկնաբանություններում։

Եվ հաջողություն ձեր քննություններին:

Գիտություն և մաթեմատիկա հոդվածներ

Նույն հիմքով աստիճանների հատկությունները

Նույն հիմքերով և բնական արժեքներով աստիճանների երեք հատկություն կա. այն

Աշխատանք գումար

Մասնավորնույն հիմքերով երկու աստիճանը հավասար է արտահայտությանը, որտեղ հիմքը նույնն է, իսկ ցուցիչը՝ տարբերությունըսկզբնական գործոնների ցուցանիշները:

Թվի հզորության բարձրացում դեպի հզորությունհավասար է մի արտահայտության, որի հիմքը նույն թիվն է, իսկ ցուցիչը՝ աշխատանքերկու աստիճան.

Զգույշ եղիր! վերաբերող կանոններ գումարում և հանումաստիճաններ՝ նույն հիմքերով գոյություն չունի.

Այս հատկություններ-կանոնները գրենք բանաձևերի տեսքով.

a m × a n = a m + n

a m ÷ a n = a m – n

(a m) n = a mn

Այժմ դրանք կդիտարկենք կոնկրետ օրինակներով և կփորձենք ապացուցել։

5 2 × 5 3 = 5 5 - այստեղ մենք կիրառեցինք կանոնը. Հիմա եկեք պատկերացնենք, թե ինչպես կլուծեինք այս օրինակը, եթե չիմանայինք կանոնները.

5 2 × 5 3 = 5 × 5 × 5 × 5 × 5 = 5 5 - հինգ քառակուսին հինգ անգամ հինգ է, իսկ խորանարդը երեք հինգի արտադրյալն է: Արդյունքը հինգ հինգերի արտադրյալն է, բայց սա այլ բան է, քան հինգից հինգերորդ աստիճանը՝ 5 5:

3 9 ÷ 3 5 = 3 9–5 = 3 4: Բաժանումը գրենք կոտորակի տեսքով.

Այն կարող է կրճատվել.

Արդյունքում մենք ստանում ենք.

Այսպիսով, մենք ապացուցեցինք, որ նույն հիմքերով երկու աստիճան բաժանելիս պետք է հանել դրանց ցուցանիշները։

Սակայն բաժանելիս անհնար է, որ բաժանարարը հավասար լինի զրոյի (քանի որ չես կարող զրոյի բաժանել)։ Բացի այդ, քանի որ մենք աստիճանները դիտարկում ենք միայն բնական ցուցիչներով, մենք չենք կարող ցուցիչները հանելու արդյունքում ստանալ 1-ից փոքր թիվ: Հետևաբար, սահմանափակումներ են դրվում am ÷ an = am – n բանաձևի վրա՝ a ≠ 0 և m: > n.

Անցնենք երրորդ հատկությանը.
(2 2) 4 = 2 2 × 4 = 2 8

Ընդլայնված ձևով գրենք.
(2 2) 4 = (2 × 2) 4 = (2 × 2) × (2 × 2) × (2 × 2) × (2 × 2) = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 2 8

Դուք կարող եք այս եզրակացության գալ և տրամաբանորեն հիմնավորել։ Դուք պետք է բազմապատկեք երկու քառակուսի չորս անգամ: Բայց յուրաքանչյուր քառակուսու մեջ կա երկու երկու, ինչը նշանակում է, որ ընդհանուր առմամբ կլինի ութ երկու:

Scienceland.info

Դիպլոմային հատկություններ

Հիշեցնում ենք, որ այս դասը հասկանում է հզորության հատկություններըբնական ցուցանիշներով եւ զրո։ Ռացիոնալ աստիճանները և դրանց հատկությունները կքննարկվեն 8-րդ դասարանի դասերին:

Բնական ցուցիչն ունի մի քանի կարևոր հատկություն, որոնք հեշտացնում են ցուցիչի օրինակներում հաշվարկելը:

Գույք թիվ 1
աստիճանների արտադրանք

Նույն հիմքերով աստիճանները բազմապատկելիս հիմքը մնում է անփոփոխ, իսկ ցուցիչները գումարվում են։

a m · a n = a m + n, որտեղ «a»-ն ցանկացած թիվ է, իսկ «m»-ը, «n»-ը ցանկացած բնական թվեր են:

Աստիճանների այս հատկությունը նույնպես ազդում է երեք կամ ավելի աստիճանների արտադրյալի վրա։

Պարզեցրեք արտահայտությունը.
b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15

Ներկայացրե՛ք որպես աստիճան:
6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17

Ներկայացրե՛ք որպես աստիճան:
(0.8) 3 (0.8) 12 = (0.8) 3 + 12 = (0.8) 15

Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ նշված հատկությունում խոսքը միայն նույն հիմքերով հզորությունների բազմապատկման մասին էր։... Դա չի վերաբերում դրանց ավելացմանը։

Դուք չեք կարող գումարը (3 3 + 3 2) փոխարինել 3 5-ով: Սա հասկանալի է, եթե
հաշվել (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36, և 3 5 = 243

Գույք թիվ 2
Մասնավոր աստիճաններ

Նույն հիմքերով աստիճանները բաժանելիս հիմքը մնում է անփոփոխ, իսկ բաժանարարի աստիճանը հանվում է դիվիդենտի ցուցիչից։

Գործակիցը գրի՛ր որպես աստիճան
(2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5 - 3 = (2b) 2

Հաշվիր։

11 3 - 2 4 2 - 1 = 11 4 = 44
Օրինակ. Լուծե՛ք հավասարումը. Մենք օգտագործում ենք մասնավոր աստիճանների գույքը։
3 8: t = 3 4

Պատասխան՝ t = 3 4 = 81

Օգտագործելով # 1 և # 2 հատկությունները, կարող եք հեշտությամբ պարզեցնել արտահայտությունները և կատարել հաշվարկներ:

Օրինակ. Գտե՛ք արտահայտության արժեքը՝ օգտագործելով աստիճանի հատկությունները:

2 11 − 5 = 2 6 = 64

Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ 2-րդ հատկությունը վերաբերում էր միայն նույն հիմքերով աստիճանների բաժանմանը:

Դուք չեք կարող (4 3 −4 2) տարբերությունը փոխարինել 4 1-ով: Սա հասկանալի է, եթե հաշվարկենք (4 3 −4 2) = (64 - 16) = 48, և 4 1 = 4

Գույք թիվ 3
Էքսպոենտացիա

Աստիճանը մինչև հզորության բարձրացնելիս աստիճանի հիմքը մնում է անփոփոխ, իսկ աստիճանները բազմապատկվում են։

(a n) m = a n · m, որտեղ «a»-ն ցանկացած թիվ է, իսկ «m»-ը, «n»-ը ցանկացած բնական թվեր են:

Նկատի ունեցեք, որ թիվ 4 հատկությունը, ինչպես մյուս աստիճանի հատկությունները, կիրառվում է հակառակ հերթականությամբ:

(a n b n) = (a b) n

Այսինքն՝ նույն ցուցանիշներով աստիճանները բազմապատկելու համար կարելի է բազմապատկել հիմքերը, իսկ ցուցիչը կարող է մնալ անփոփոխ։

Օրինակ. Հաշվիր։
2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10,000

Օրինակ. Հաշվիր։
0,5 16 2 16 = (0,5 2) 16 = 1

Ավելի բարդ օրինակներում կարող են լինել դեպքեր, երբ բազմապատկումն ու բաժանումը պետք է կատարվեն տարբեր հիմքերով և տարբեր աստիճաններով: Այս դեպքում խորհուրդ ենք տալիս գործել հետևյալ կերպ.

Օրինակ՝ 4 5 3 2 = 4 3 4 2 3 2 = 4 3 (4 3) 2 = 64 12 2 = 64 144 = 9216

Տասնորդական հզորության բարձրացման օրինակ:

4 21 (−0,25) 20 = 4 4 20 (−0,25) 20 = 4 (4 (−0,25)) 20 = 4 (−1) 20 = 4 1 = 4

Հատկություններ 5
գործակիցի աստիճան (կոտորակ)

Գործակիցը մինչև հզորության բարձրացնելու համար կարող եք բարձրացնել առանձին դիվիդենտ և բաժանարար այս հզորությանը և առաջին արդյունքը բաժանել երկրորդի վրա:

(a: b) n = a n: b n, որտեղ «a», «b» ցանկացած ռացիոնալ թվեր են, b ≠ 0, n ցանկացած բնական թիվ:

Օրինակ. Արտահայտությունը ներկայացրե՛ք մասնավոր աստիճանների տեսքով.
(5: 3) 12 = 5 12: 3 12

Հիշեցնում ենք, որ քանորդը կարելի է ներկայացնել որպես կոտորակ: Ուստի ավելի մանրամասն կանդրադառնանք կոտորակի հզորության բարձրացման թեմային հաջորդ էջում։

Թվերի բազմապատկում և բաժանում ուժերով

Եթե Ձեզ անհրաժեշտ է որոշակի թիվ հասցնել ուժի, կարող եք օգտագործել 2-ից մինչև 25 բնական թվերի հզորությունների աղյուսակը հանրահաշվում: Եվ հիմա մենք ավելի մանրամասն կանդրադառնանք աստիճանների հատկությունները.

Էքսպոնենցիալ թվերբացում են մեծ հնարավորություններ, դրանք թույլ են տալիս մեզ բազմապատկումը վերածել գումարման, և գումարելը շատ ավելի հեշտ է, քան բազմապատկելը:

Օրինակ՝ 16-ը պետք է բազմապատկենք 64-ով։ Այս երկու թվերի բազմապատկման արտադրյալը 1024 է։ Բայց 16-ը 4x4 է, իսկ 64-ը՝ 4x4x4։ Այսինքն՝ 16-ը 64-ով = 4x4x4x4x4, որը նույնպես 1024 է։

16 թիվը կարող է ներկայացվել նաև որպես 2x2x2x2, իսկ 64-ը որպես 2x2x2x2x2x2, և եթե բազմապատկենք, կրկին կստանանք 1024:

Եվ հիմա մենք օգտագործում ենք թիվը մեծացնելու կանոնը։ 16 = 4 2, կամ 2 4, 64 = 4 3 կամ 2 6, միևնույն ժամանակ 1024 = 6 4 = 4 5 կամ 2 10:

Հետևաբար, մեր խնդիրը կարող է գրվել այլ կերպ՝ 4 2 x4 3 = 4 5 կամ 2 4 x2 6 = 2 10, և ամեն անգամ մենք ստանում ենք 1024:

Մենք կարող ենք լուծել մի շարք նմանատիպ օրինակներ և տեսնել, որ թվերը հզորությամբ բազմապատկելը կրճատվում է մինչև ցուցիչների ավելացում, կամ էքսպոնենցիալ, իհարկե, պայմանով, որ գործոնների հիմքերը հավասար են։

Այսպիսով, առանց բազմապատկելու, անմիջապես կարող ենք ասել, որ 2 4 x2 2 x2 14 = 2 20:

Այս կանոնը ճիշտ է նաև թվերը հզորություններով բաժանելիս, սակայն այս դեպքում էլ բաժանարարի ցուցիչը հանվում է շահաբաժնի ցուցիչից... Այսպիսով, 2 5: 2 3 = 2 2, որը սովորական թվերում 32 է: 8 = 4, այսինքն, 2 2: Ամփոփենք.

a m х a n = a m + n, a m: a n = a m-n, որտեղ m-ը և n-ն ամբողջ թվեր են:

Առաջին հայացքից կարող է թվալ, թե ինչ է Թվերի բազմապատկում և բաժանում ուժերովշատ հարմար չէ, քանի որ նախ պետք է թիվը ներկայացնել էքսպոնենցիալ տեսքով: Դժվար չէ 8 և 16 թվերն այս ձևով ներկայացնել, այսինքն՝ 2 3 և 2 4, բայց ինչպե՞ս դա անել 7 և 17 թվերի հետ: Կամ ինչ անել, երբ թիվը կարող է ներկայացվել էքսպոնենցիալ տեսքով, բայց թվերի էքսպոնենցիալ արտահայտությունների հիմքերը շատ տարբեր են։ Օրինակ, 8 × 9-ը 2 3 × 3 2 է, որի դեպքում մենք չենք կարող գումարել ցուցիչները: Ոչ 2 5, ոչ 3 5 պատասխանն է, ոչ էլ պատասխանը այս երկու թվերի միջև ընկած միջակայքում է:

Այդ դեպքում արժե՞ ընդհանրապես անհանգստանալ այս մեթոդով: Անպայման արժե այն: Այն առաջարկում է հսկայական առավելություններ, հատկապես բարդ և ժամանակատար հաշվարկների համար:

Մինչ այժմ մենք ենթադրում էինք, որ ցուցանիշը նույնական գործոնների քանակն է: Այս դեպքում ցուցիչի նվազագույն արժեքը 2 է: Այնուամենայնիվ, եթե մենք կատարենք թվերի բաժանման կամ ցուցիչները հանելու գործողությունը, կարող ենք ստանալ նաև 2-ից փոքր թիվ, ինչը նշանակում է, որ հին սահմանումը մեզ այլևս չի կարող համապատասխանել: Կարդացեք ավելին հաջորդ հոդվածում:

Ուժերի գումարում, հանում, բազմապատկում և բաժանում

Գումարել և հանել ուժեր