Կոորդինատների մեթոդը շատ արդյունավետ և բազմակողմանի միջոց է տիեզերքում գտնվող ստերեոմետրիկ օբյեկտների միջև ցանկացած անկյուն կամ հեռավորություն գտնելու համար: Եթե ​​ձեր մաթեմատիկայի դասախոսը բարձր որակավորում ունի, ապա նա պետք է իմանա սա: Հակառակ դեպքում խորհուրդ կտամ փոխել «C» մասի կրկնուսույցը։ Մաթեմատիկայի C1-C6 քննությանը իմ նախապատրաստումը սովորաբար ներառում է ստորև նկարագրված հիմնական ալգորիթմների և բանաձևերի վերլուծություն:

Անկյուն a և b ուղիղ գծերի միջև

Տիեզերքում ուղիղ գծերի միջև անկյունը նրանց զուգահեռ ցանկացած հատվող ուղիղ գծերի միջև եղած անկյունն է: Այս անկյունը հավասար է այս ուղիղ գծերի ուղղության վեկտորների միջև եղած անկյունին (կամ լրացնում է այն մինչև 180 աստիճան)։

Ի՞նչ ալգորիթմ է օգտագործում մաթեմատիկայի դասախոսը անկյուն գտնելու համար:

1) Ընտրեք ցանկացած վեկտոր և ունենալով a և b ուղիղների ուղղությունները (դրանց զուգահեռ):
2) Որոշել վեկտորների կոորդինատները և դրանց սկզբի ու վերջի համապատասխան կոորդինատներով (սկիզբի կոորդինատները պետք է հանել վեկտորի վերջի կոորդինատներից).
3) Գտնված կոորդինատները փոխարինեք բանաձևով.
... Անկյունն ինքնին գտնելու համար անհրաժեշտ է գտնել արդյունքի հակադարձ կոսինուսը:

Նորմալ ինքնաթիռի համար

Այս հարթությանը ուղղահայաց ցանկացած վեկտոր կոչվում է հարթության նորմալ:
Ինչպե՞ս գտնել նորմալը:Նորմալի կոորդինատները գտնելու համար բավական է պարզել տվյալ հարթությունում ընկած ցանկացած երեք կետերի M, N և K կետերի կոորդինատները։ Օգտագործելով այս կոորդինատները, մենք գտնում ենք վեկտորների կոորդինատները և պահանջում պայմանների կատարում և. Վեկտորների սկալյար արտադրյալը հավասարեցնելով զրոյի՝ կազմում ենք երեք փոփոխականներով հավասարումների համակարգ, որից կարելի է գտնել նորմալի կոորդինատները։

Մաթեմատիկայի դասախոսի նշում Ամենևին էլ պետք չէ համակարգը ամբողջությամբ լուծել, քանի որ բավական է ընտրել գոնե մեկ նորմալ։ Դա անելու համար դուք կարող եք փոխարինել ցանկացած թիվ (օրինակ՝ մեկ) նրա անհայտ կոորդինատներից որևէ մեկի փոխարեն և լուծել երկու հավասարումների համակարգը մնացած երկու անհայտներով։ Եթե ​​լուծումներ չունի, ապա դա նշանակում է, որ նորմալների ընտանիքում չկա մեկը, ով ունի ընտրված փոփոխականի համար: Այնուհետև մեկը փոխարինեք մեկ այլ փոփոխականով (մեկ այլ կոորդինատ) և լուծեք նոր համակարգ: Եթե ​​նորից բաց թողնեք, ապա ձեր նորմալը կունենա մեկը վերջին կոորդինատում, և այն ինքնին կպարզվի, որ զուգահեռ է ինչ-որ կոորդինատային հարթության (այս դեպքում հեշտ է գտնել այն առանց համակարգի):

Ենթադրենք, որ ուղղության վեկտորի և նորմալի կոորդինատներով մեզ տրված է ուղիղ գիծ և հարթություն
Ուղիղ գծի և հարթության անկյունը հաշվարկվում է հետևյալ բանաձևով.

Թողեք և լինեն ցանկացած երկու նորմալ տվյալ հարթությունների համար: Այնուհետև հարթությունների միջև անկյան կոսինուսը հավասար է նորմալների միջև անկյան կոսինուսի մոդուլին.

Ինքնաթիռի հավասարումը տարածության մեջ

Հավասարությանը բավարարող կետերը նորմալի հետ հարթություն են կազմում։ Գործակիցը պատասխանատու է նույն նշված նորմայով երկու հարթությունների միջև շեղման (զուգահեռ տեղաշարժի) քանակի համար: Ինքնաթիռի հավասարումը գրելու համար նախ պետք է գտնել նրա նորմալը (ինչպես նկարագրված է վերևում), այնուհետև հարթության ցանկացած կետի կոորդինատները փոխարինել հայտնաբերված նորմալի կոորդինատներով հավասարման մեջ և գտնել գործակիցը:

Երկրաչափության դաս 11-րդ դասարանում

Թեմա՝ «Տիեզերքում կոորդինատների մեթոդ».

Թիրախ: Ստուգել ուսանողների տեսական գիտելիքները, նրանց հմտություններն ու կարողությունները՝ կիրառելու այդ գիտելիքները վեկտորային, վեկտոր-կոորդինատային մեթոդներով խնդիրների լուծման մեջ:

Առաջադրանքներ.

1 .Ստեղծել հսկողության պայմաններ (ինքնավերահսկողություն, փոխադարձ վերահսկողություն) գիտելիքների և հմտությունների յուրացման համար:

2. Զարգացնել մաթեմատիկական մտածողությունը, խոսքը, ուշադրությունը:

3. Խթանել ուսանողների ակտիվությունը, շարժունակությունը, հաղորդակցման հմտությունները, ընդհանուր մշակույթը:

Անցկացման ձևը: աշխատել խմբերով.

Սարքավորումներ և տեղեկատվության աղբյուրներ: էկրան, մուլտիմեդիա պրոյեկտոր, գիտելիքների հաշվառման աղյուսակ, կրեդիտ քարտեր, թեստեր։

Դասերի ժամանակ

1 մոբիլիզացիոն պահ.

ԿՍՊ-ի կիրառմամբ դաս; ուսանողները բաժանվում են 3 դինամիկ խմբերի, որոնցում ընդունելի, օպտիմալ և առաջադեմ մակարդակներով ուսանողներ։ Յուրաքանչյուր խմբում ընտրվում է համակարգող, ով ղեկավարում է ամբողջ խմբի աշխատանքը:

2 ... Ուսանողների ինքնորոշում` ակնկալիքի հիման վրա:

Առաջադրանք.նպատակադրում ըստ սխեմայի՝ հիշել - սովորել - կարողանալ:

Մուտքի թեստ - Լրացրե՛ք դատարկ տեղերը (տպագրություններում)

Մուտքի թեստ

Լրացնել բացթողումները…

1. Տիեզերքի մի կետով գծված են երեք զույգ ուղղահայաց գծեր:

ընտրվում են, որոնցից յուրաքանչյուրի վրա ընտրվում են հատվածների ուղղությունը և չափման միավորը,

հետո ասում են, որ սահմանված է …………. տարածության մեջ։

2. Ուղիղ գծերը՝ դրանց վրա ընտրված ուղղություններով կոչվում են ……………… ..,

և նրանց ընդհանուր կետը …………. ...

3. Ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում տարածության մեջ M յուրաքանչյուր կետ կապված է թվերի եռյակի հետ, որոնք այն անվանում են ………………… ..

4. Տիեզերքում կետի կոորդինատները կոչվում են ………………… ..

5. Վեկտորը, որի երկարությունը հավասար է մեկի, կոչվում է ………… ..

6. Վեկտորներ եսyկկոչվում են ………….

7. Հնարավորություններ xyզտարրալուծման մեջ ա= xես + yժ + զկկանչեց

…………… վեկտորներ ա .

8. Երկու կամ ավելի վեկտորների գումարի յուրաքանչյուր կոորդինատ հավասար է …………… ..

9. Երկու վեկտորների տարբերության յուրաքանչյուր կոորդինատ հավասար է ……………….

10. Վեկտորի և թվի արտադրյալի յուրաքանչյուր կոորդինատ հավասար է ……………… ..

11.Վեկտորի յուրաքանչյուր կոորդինատ հավասար է …………….

12. Հատվածի միջնակետի յուրաքանչյուր կոորդինատ հավասար է ……………….

13. Վեկտորի երկարությունը ա { xyզ) հաշվարկվում է ………………………………

14. Մ 1 կետերի հեռավորությունը (x 1 ; y 1; զ 1) և Մ 2 (x 2; y 2 ; զ2) հաշվարկվում է ……………………………

15. Երկու վեկտորների սկալյար արտադրյալը կոչվում է …………… ..

16. Ոչ զրոյական վեկտորների սկալյար արտադրյալը հավասար է զրոյի ………………… ..

17. Վեկտորների կետային արտադրյալըա{ x 1; y 1; զ 1} բ { x 2 ; y 2 ; զ 2) մեջ արտահայտվում է բանաձևով ………………………

Մուտքային թեստի խաչաձև ստուգում: Էկրանի վրա փորձարկման առաջադրանքների պատասխաններ:

Գնահատման չափանիշներ.

1-2 սխալներ - «5»

3-4 սխալներ - «4»

5-6 սխալներ - «3»

Այլ դեպքերում՝ «2»

3. Աշխատանքի կատարում. (քարտերով):

Յուրաքանչյուր քարտ պարունակում է երկու առաջադրանք՝ թիվ 1՝ տեսական՝ ապացույցով, թիվ 2-ը ներառում է առաջադրանքներ։

Բացատրեք աշխատանքի մեջ ներառված առաջադրանքների բարդության մակարդակը. Խումբը կատարում է մեկ առաջադրանք, բայց ունի 2 մաս։ Խմբի համակարգողը ղեկավարում է ամբողջ խմբի աշխատանքը: Մի քանի գործընկերների հետ մեկ տեղեկատվության քննարկումը մեծացնում է պատասխանատվությունը ոչ միայն սեփական հաջողությունների, այլ նաև կոլեկտիվ աշխատանքի արդյունքների համար, ինչը դրականորեն է ազդում թիմում միկրոկլիմայի վրա:

ՔԱՐՏ թիվ 1

1. Հասցրե՛ք հատվածի միջնակետի կոորդինատներն արտահայտող բանաձեւեր նրա ծայրերի կոորդինատներով:

2. Խնդիր. 1) Տրված են A (-3; 1; 2) և B (1; -1; 2) կետերը:

Գտնել.

ա) AB հատվածի կեսի կոորդինատները

բ) AB վեկտորի կոորդինատները և երկարությունը

2) Տրվում է AVSDA1 B1 C1 D1 խորանարդ: Օգտագործելով կոորդինատային մեթոդը, գտեք անկյունը

AB1 և A1 D ուղիղ գծերի միջև:

ՔԱՐՏ թիվ 2

Ելք բերեք վեկտորի երկարությունը նրա կոորդինատներով հաշվարկելու բանաձևը:

Խնդիր՝ 1) Տրված միավորներ M (-4; 7; 0),Ն(0; -1; 2): Գտի՛ր M հատվածի սկզբնակետից մինչև միջնակետ հեռավորությունըՆ.

→ → → → →

2) Տրված վեկտորներ աև բ... Գտեք բ (ա + բ),եթե a (-2; 3; 6), b = 6i-8k

ՔԱՐՏ թիվ 3

Տրված կոորդինատներով կետերի միջև հեռավորությունը հաշվարկելու բանաձև:

Խնդիր՝ 1) Տրված են A (2; 1; -8), B (1; -5; 0), C (8; 1; -4) կետերը:

Ապացուցե՛ք, որ ∆ABC-ն հավասարաչափ է և գտե՛ք կողային կողմերի միջնակետերը միացնող եռանկյան միջնագծի երկարությունը:

2) Հաշվե՛ք AB և SD ուղիղ գծերի անկյունը, եթե A (1; 1; 0),

B (3; -1; 2), D (0; 1; 0):

ՔԱՐՏ թիվ 4

Տրված կոորդինատներով դուրս բերեք ոչ զրոյական վեկտորների միջև անկյան կոսինուսի բանաձևերը:

Խնդիր՝ 1) Տրված են AVSD զուգահեռագծի երեք գագաթների կոորդինատները.

A (-6; -; 4; 0), B (6; -6; 2), C (10; 0; 4): Գտե՛ք Դ կետի կոորդինատները։

2) Գտեք անկյունը AB և SD ուղիղ գծերի միջև, եթե A (1; 1; 2), B (0; 1; 1), C (2; -2; 2), D (2; -3; 1) .

ՔԱՐՏ թիվ 5

Ասա ինձ, թե ինչպես կարելի է հաշվարկել երկու գծերի միջև ընկած անկյունը՝ օգտագործելով այս ուղիղների ուղղության վեկտորները: →→

Խնդիր՝ 1) Գտե՛ք վեկտորների կետային արտադրյալըաև բ, եթե:

→ → → ^ →

ա) | ա| =4; | բ| =√3 (աբ)=30◦

բ) ա {2 ;-3; 1}, բ = 3 ես +2 կ

2) Տրված են A (0; 4; 0), B (2; 0; 0), C (4; 0; 4) և D (2; 4; 4) կետերը: Ապացուցեք, որ AVSD-ն ռոմբուս է:

4. Դինամիկ խմբերի աշխատանքի ստուգում քարտերով.

Լսում ենք խմբերի ներկայացուցիչների ելույթը։ Խմբերի աշխատանքը գնահատվում է ուսուցչի կողմից՝ սովորողների մասնակցությամբ։

5. Անդրադարձ. Գնահատականներ օֆսեթի համար.

Վերջնական բազմակի ընտրության թեստ (տպումներ):

1) Տրված վեկտորներ ա {2 ;-4 ;3} բ(-3; ─; 1): Գտե՛ք վեկտորի կոորդինատները

→ 2

գ = ա+ բ

ա) (-5; 3 -; 4); բ) (-1; -3.5; 4) գ) (5; -4 -; 2) դ) (-1; 3.5; -4)

2) Տրված վեկտորներ ա(4; -3; 5) և բ(-3; 1; 2): Գտե՛ք վեկտորի կոորդինատները

Գ=2 ա – 3 բ

ա) (7; -2; 3); բ) (11; -7; 8); գ) (17; -9; 4); դ) (-1; -3; 4):

→ → → → → →

3) Հաշվիր վեկտորների կետային արտադրյալըմև n, եթե մ = ա + 2 բ- գ

→ → → → →^ → → → → →

n= 2 ա - բեթե | ա|=2 , ‌| բ |=3, (աբ‌) = 60 °, գ ┴ ա , գ ┴ բ.

ա) -1; բ) -27; 1-ում; դ) 35.

4) վեկտորի երկարությունը ա { xyզ) հավասար է 5. Գտե՛ք a վեկտորի կոորդինատները, եթեx=2, զ=-√5

ա) 16; բ) 4 կամ -4; 9-ին; դ) 3 կամ -3:

5) Գտե՛ք ∆АВС մակերեսը, եթե А (1; -1; 3); B (3; -1; 1) և C (-1; 1; -3):

ա) 4√3; բ) √3; գ) 2√3; դ) √8.

Թեստի խաչաձև ստուգում. Էկրանի վրա տեստային առարկաների պատասխանների կոդերը՝ 1 (բ); 2 (գ);

3 (ա); 4 (բ); 5 (գ).

Գնահատման չափանիշներ.

Ամեն ինչ ճիշտ է - «5»

1 սխալ - «4»

2 սխալ - «3»

Այլ դեպքերում՝ «2»

Ուսանողների գիտելիքների աղյուսակ

Աշխատել

քարտեր

Վերջնական

փորձարկում

Հաշիվ փոխանցման համար

Առաջադրանքներ

տեսություն

պրակտիկա

1-ին խումբ

Խումբ 2

Խումբ 3

Ուսանողի պատրաստվածության գնահատում կրեդիտի համար:

Երկրաչափական խնդիրների լուծման կոորդինատային մեթոդի էությունը

Էությունը խնդիրների լուծումկոորդինատային մեթոդի օգտագործումը նշանակում է, որ այս կամ այն ​​դեպքում մեզ համար հարմար կոորդինատային համակարգ մուտքագրենք և այն օգտագործելով բոլոր տվյալները վերաշարադրենք: Դրանից հետո բոլոր անհայտ քանակությունները կամ ապացույցները կատարվում են այս համակարգի միջոցով։ Ինչպես մտնել կետի կոորդինատներըցանկացած կոորդինատային համակարգում մենք դիտարկել ենք մեկ այլ հոդվածում, մենք այստեղ չենք անդրադառնա դրա վրա:

Ներկայացնենք հիմնական պնդումները, որոնք օգտագործվում են կոորդինատային մեթոդով:

Հայտարարություն 1:Կոորդինատներ վեկտորկորոշվի այս վեկտորի վերջի և դրա սկզբի համապատասխան կոորդինատների տարբերությամբ։

Հայտարարություն 2:Հատվածի միջնակետի կոորդինատները կորոշվեն որպես նրա սահմանների համապատասխան կոորդինատների կիսագումար։

Հայտարարություն 3:Ցանկացած վեկտորի երկարությունը $ \ overline (δ) $ տրված $ (δ_1, δ_2, δ_3) $ կոորդինատներով կորոշվի բանաձևով.

$ | \ overline (δ) | = \ sqrt (δ_1 ^ 2 + δ_2 ^ 2 + δ_3 ^ 2) $

Հայտարարություն 4:$ (δ_1, δ_2, δ_3) $ և $ (β_1, β_2, β_3) $ կոորդինատներով տրված ցանկացած երկու կետերի միջև հեռավորությունը կորոշվի բանաձևով.

$ d = \ sqrt ((δ_1-β_1) ^ 2 + (δ_2-β_2) ^ 2 + (δ_3-β_3) ^ 2) $

Կոորդինատային մեթոդով երկրաչափական խնդիրների լուծման սխեման

Կոորդինատների մեթոդով երկրաչափական խնդիրներ լուծելու համար ավելի լավ է օգտագործել այս սխեման.

Վերլուծեք առաջադրանքում տրվածը.

• Սահմանեք առաջադրանքի համար առավել հարմար կոորդինատային համակարգը.
• Խնդրի պայմանը, խնդրի հարցը մաթեմատիկորեն գրված է, այս խնդրի համար գծագրված է։

1. Գրանցեք առաջադրանքի բոլոր տվյալները ընտրված կոորդինատային համակարգի կոորդինատներում:

2. Խնդրի պայմանից կազմեք անհրաժեշտ հարաբերությունները, ինչպես նաև կապեք այդ հարաբերությունները գտնելու անհրաժեշտության հետ (ապացուցեք խնդրի մեջ):
3. Ստացված արդյունքը թարգմանվում է երկրաչափության լեզվով։

Կոորդինատային մեթոդով լուծված խնդիրների օրինակներ

Կոորդինատային մեթոդին տանող հիմնական խնդիրները հետևյալն են (դրանց լուծումներն այստեղ չենք ներկայացնի).

1. Վեկտորի կոորդինատները գտնելու առաջադրանքներ՝ ըստ նրա վերջի և սկզբի:
2. Ցանկացած առնչությամբ հատված բաժանելու հետ կապված առաջադրանքներ:
3. Ապացուցեք, որ երեք կետերը գտնվում են նույն ուղիղ գծի վրա կամ չորս կետերը նույն հարթության վրա են:
4. Տրված երկու կետերի միջև հեռավորությունը գտնելու առաջադրանքներ.
5. Երկրաչափական պատկերների ծավալների և տարածքների հայտնաբերման առաջադրանքներ:

Առաջին և չորրորդ խնդիրների լուծման արդյունքները տրված են մեր կողմից որպես վերը նշված հիմնական պնդումներ և հաճախ օգտագործվում են կոորդինատային մեթոդով այլ խնդիրներ լուծելու համար:

Կոորդինատների մեթոդի կիրառման առաջադրանքների օրինակներ

Օրինակ 1

Գտեք 3 $ սմ բարձրություն ունեցող կանոնավոր բուրգի կողմը, եթե հիմքի կողմը $4 $ սմ է:

Եկեք մեզ տրվի սովորական $ ABCDS $ բուրգ, որի բարձրությունը $ SO $ է: Ներկայացնենք կոորդինատային համակարգ, ինչպես նկար 1-ում:

Քանի որ $ A $ կետը մեր կառուցած կոորդինատային համակարգի կենտրոնն է, ուրեմն

Քանի որ $ B $ և $ D $ կետերը պատկանում են համապատասխանաբար $ Ox $ և $ Oy $ առանցքներին, ապա.

$ B = (4,0,0) $, $ D = (0,4,0) $

Քանի որ $ C $ կետը պատկանում է $ Oxy $ հարթությանը, ապա

Քանի որ բուրգը ճիշտ է, $ O $-ը $$ հատվածի միջինն է: Համաձայն հայտարարության 2-ի, մենք ստանում ենք.

$ O = (\ frac (0 + 4) (2), \ frac (0 + 4) (2), \ frac (0 + 0) (2)) = (2,2,0) $

Քանի որ $ SO $ բարձրությունը

Կոորդինատային մեթոդն օգտագործելու համար պետք է լավ իմանալ բանաձևերը։ Դրանցից երեքն են.

Առաջին հայացքից դա սպառնալի է թվում, բայց ընդամենը մի փոքր պրակտիկա, և ամեն ինչ հիանալի կաշխատի:

Առաջադրանք. Գտե՛ք a = (4; 3; 0) և b = (0; 12; 5) վեկտորների միջև անկյան կոսինուսը:

Լուծում. Քանի որ վեկտորների կոորդինատները տրված են մեզ, մենք դրանք փոխարինում ենք առաջին բանաձևով.

Առաջադրանք. M = (2; 0; 1), N = (0; 1; 1) և K = (2; 1; 0) կետերով անցնող հարթության համար հավասարություն կազմեք, եթե հայտնի է, որ այն չի անցնում: ծագումը։

Լուծում. Հարթության ընդհանուր հավասարումը. Ax + By + Cz + D = 0, բայց քանի որ ցանկալի հարթությունը չի անցնում կոորդինատների սկզբնակետով - կետը (0; 0; 0), ապա մենք դնում ենք D = 1: Քանի որ սա հարթությունն անցնում է M, N և K կետերով, ապա այդ կետերի կոորդինատները պետք է հավասարումը վերածեն ճիշտ թվային հավասարության:

Փոխարինեք M = (2; 0; 1) կետի x, y և z կոորդինատների փոխարեն: Մենք ունենք:
A 2 + B 0 + C 1 + 1 = 0 ⇒ 2A + C + 1 = 0;

Նմանապես, N = (0; 1; 1) և K = (2; 1; 0) կետերի համար մենք ստանում ենք հավասարումներ.
A 0 + B 1 + C 1 + 1 = 0 ⇒ B + C + 1 = 0;
A 2 + B 1 + C 0 + 1 = 0 ⇒ 2A + B + 1 = 0;

Այսպիսով, մենք ունենք երեք հավասարում և երեք անհայտ: Կազմենք և լուծենք հավասարումների համակարգը.

Ստացանք, որ հարթության հավասարումն ունի ձև՝ - 0,25x - 0,5y - 0,5z + 1 = 0։

Առաջադրանք. Հարթությունը տրված է 7x - 2y + 4z + 1 = 0 հավասարմամբ։Գտե՛ք տվյալ հարթությանը ուղղահայաց վեկտորի կոորդինատները։

Լուծում. Օգտագործելով երրորդ բանաձևը, մենք ստանում ենք n = (7; - 2; 4) - այսքանը:

Վեկտորների կոորդինատների հաշվարկ

Բայց ի՞նչ անել, եթե խնդրի մեջ վեկտորներ չկան. կան միայն ուղիղ գծերի վրա ընկած կետեր, և դուք պետք է հաշվարկեք այս ուղիղ գծերի միջև եղած անկյունը: Դա պարզ է՝ իմանալով կետերի կոորդինատները՝ վեկտորի սկիզբը և վերջը, կարող եք հաշվել հենց վեկտորի կոորդինատները:

Վեկտորի կոորդինատները գտնելու համար սկզբի կոորդինատները հանեք նրա վերջի կոորդինատներից։

Այս թեորեմը նույն կերպ է գործում և՛ հարթության վրա, և՛ տարածության մեջ։ «Նվազեցնել կոորդինատները» արտահայտությունը նշանակում է, որ մեկ այլ կետի x կոորդինատը հանվում է մի կետի x կոորդինատից, ապա նույնը պետք է անել y և z կոորդինատների հետ։ Ահա մի քանի օրինակներ.

Առաջադրանք. Տիեզերքում կա երեք կետ՝ տրված իրենց կոորդինատներով՝ A = (1; 6; 3), B = (3; - 1; 7) և C = (- 4; 3; - 2): Գտե՛ք AB, AC և BC վեկտորների կոորդինատները:

Դիտարկենք AB վեկտորը. նրա սկիզբը գտնվում է A կետում, իսկ վերջը` B կետում: Հետևաբար, դրա կոորդինատները գտնելու համար անհրաժեշտ է B կետի կոորդինատներից հանել A կետի կոորդինատները.
AB = (3 - 1; - 1 - 6; 7 - 3) = (2; - 7; 4):

Նմանապես, AC վեկտորի սկիզբը դեռ նույն A կետն է, բայց վերջը C կետն է: Հետևաբար, մենք ունենք.
AC = (- 4 - 1; 3 - 6; - 2 - 3) = (- 5; - 3; - 5):

Ի վերջո, BC վեկտորի կոորդինատները գտնելու համար անհրաժեշտ է C կետի կոորդինատներից հանել B կետի կոորդինատները.
BC = (- 4 - 3; 3 - (- 1); - 2 - 7) = (- 7; 4; - 9):

Պատասխան՝ AB = (2; - 7; 4); AC = (- 5; - 3; - 5); BC = (- 7; 4; - 9)

Ուշադրություն դարձրեք վերջին BC վեկտորի կոորդինատների հաշվարկին. շատերը սխալվում են բացասական թվերի հետ աշխատելիս: Սա վերաբերում է y փոփոխականին. B կետն ունի y = - 1, իսկ C կետը y = 3: Մենք ստանում ենք ճիշտ 3 - (- 1) = 4, և ոչ թե 3 - 1, ինչպես կարծում են շատերը: Նման հիմար սխալներ մի՛ արեք։

Ուղիղ գծերի ուղղության վեկտորների հաշվարկ

Եթե ​​ուշադիր կարդաք C2 խնդիրը, կզարմանաք՝ տեսնելով, որ այնտեղ վեկտորներ չկան: Կան միայն ուղիղ գծեր և հարթություններ:

Սկսենք ուղիղ գծերից։ Այստեղ ամեն ինչ պարզ է. ցանկացած ուղիղ գծի վրա կան առնվազն երկու տարբեր կետեր և, ընդհակառակը, ցանկացած երկու տարբեր կետեր սահմանում են մեկ ուղիղ գիծ…

Ինչ-որ մեկը հասկանու՞մ է, թե ինչ է գրված նախորդ պարբերությունում։ Ես ինքս դա չհասկացա, ուստի ավելի հեշտ կբացատրեմ. C2 խնդիրում ուղիղ գծերը միշտ տրվում են զույգ կետերով: Եթե ​​ներմուծենք կոորդինատային համակարգ և դիտարկենք այս կետերում սկիզբ և վերջ ունեցող վեկտորը, ուղիղ գծի համար կստանանք այսպես կոչված ուղղության վեկտոր.

Ինչու է անհրաժեշտ այս վեկտորը: Բանն այն է, որ երկու ուղիղ գծերի անկյունը նրանց ուղղության վեկտորների միջև եղած անկյունն է: Այսպիսով, մենք անհասկանալի ուղիղ գծերից անցնում ենք կոնկրետ վեկտորների, որոնց կոորդինատները հեշտ է հաշվարկել։ Որքան հեշտ է դա: Նայեք օրինակներին.

Առաջադրանք. ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 խորանարդի մեջ գծված են AC և BD 1 տողերը։ Գտե՛ք այս ուղիղների ուղղության վեկտորների կոորդինատները:

Քանի որ պայմանում նշված չէ խորանարդի եզրերի երկարությունը, մենք սահմանում ենք AB = 1: Մենք ներկայացնում ենք կոորդինատային համակարգ՝ սկզբնավորմամբ A կետով և x, y, z առանցքներով՝ ուղղված AB, AD և AA 1 տողերով: համապատասխանաբար. Միավոր հատվածը հավասար է AB = 1:

Հիմա եկեք գտնենք AC ուղղի ուղղության վեկտորի կոորդինատները: Մեզ անհրաժեշտ է երկու միավոր՝ A = (0; 0; 0) և C = (1; 1; 0): Այստեղից մենք ստանում ենք AC = (1 - 0; 1 - 0; 0 - 0) = (1; 1; 0) վեկտորի կոորդինատները - սա ուղղության վեկտորն է:

Այժմ անդրադառնանք BD 1 ուղիղ գծին: Այն ունի նաև երկու միավոր՝ B = (1; 0; 0) և D 1 = (0; 1; 1): Մենք ստանում ենք ուղղության վեկտորը BD 1 = (0 - 1; 1 - 0; 1 - 0) = (- 1; 1; 1):

Պատասխան՝ AC = (1; 1; 0); BD 1 = (- 1; 1; 1)

Առաջադրանք. Կանոնավոր եռանկյունաձեւ ABCA 1 B 1 C 1 պրիզմայում, որի բոլոր եզրերը հավասար են 1-ի, գծված են AB 1 և AC 1 գծերը։ Գտե՛ք այս ուղիղների ուղղության վեկտորների կոորդինատները:

Ներկայացնենք կոորդինատային համակարգ. սկզբնաղբյուրը գտնվում է A կետում, x-առանցքը համընկնում է AB-ի հետ, z-առանցքը համընկնում է AA 1-ի հետ, y-առանցքը կազմում է OXY հարթությունը x առանցքի հետ, որը համընկնում է ABC-ի հետ: Ինքնաթիռ.

Նախ, եկեք զբաղվենք AB 1 ուղիղ գծով: Այստեղ ամեն ինչ պարզ է. մենք ունենք կետեր A = (0; 0; 0) և B 1 = (1; 0; 1): Մենք ստանում ենք ուղղության վեկտորը AB 1 = (1 - 0; 0 - 0; 1 - 0) = (1; 0; 1):

Այժմ մենք կգտնենք AC 1-ի ուղղության վեկտորը: Միևնույն է, միակ տարբերությունն այն է, որ C 1 կետն ունի իռացիոնալ կոորդինատներ: Այսպիսով, A = (0; 0; 0), ուստի մենք ունենք.

Պատասխան՝ AB 1 = (1; 0; 1);

Մի փոքրիկ, բայց շատ կարևոր նշում վերջին օրինակի մասին. Եթե ​​վեկտորի ծագումը համընկնում է սկզբնաղբյուրի հետ, ապա հաշվարկները շատ պարզեցված են՝ վեկտորի կոորդինատները պարզապես հավասար են վերջի կոորդինատներին։ Ցավոք, դա ճիշտ է միայն վեկտորների համար: Օրինակ, ինքնաթիռների հետ աշխատելիս դրանց վրա ծագման առկայությունը միայն բարդացնում է հաշվարկները։

Հարթությունների համար նորմալ վեկտորների հաշվարկ

Նորմալ վեկտորները վեկտորներ չեն, որոնք լավ են անում կամ լավ են անում: Ըստ սահմանման՝ հարթությանը նորմալ վեկտորը (նորմալ) այդ հարթությանը ուղղահայաց վեկտոր է։

Այլ կերպ ասած՝ նորմալը տվյալ հարթության ցանկացած վեկտորի ուղղահայաց վեկտորն է։ Դուք, անշուշտ, հանդիպել եք նման սահմանման, սակայն, վեկտորների փոխարեն, մենք խոսում էինք ուղիղ գծերի մասին: Այնուամենայնիվ, հենց վերևում ցույց տրվեց, որ C2-ում կարող եք գործել ցանկացած հարմար օբյեկտի հետ՝ նույնիսկ ուղիղ գծի, նույնիսկ վեկտորի հետ:

Եվս մեկ անգամ հիշեցնեմ, որ ցանկացած հարթություն տարածության մեջ սահմանվում է Ax + By + Cz + D = 0 հավասարմամբ, որտեղ A, B, C և D որոշ գործակիցներ են։ Առանց լուծման ընդհանուրության կորստի, մենք կարող ենք ենթադրել D = 1, եթե հարթությունը չի անցնում սկզբնակետով, կամ D = 0, եթե այն անցնում է: Ամեն դեպքում, այս հարթության նորմալ վեկտորի կոորդինատներն են n = (A; B; C):

Այսպիսով, ինքնաթիռը կարող է նաև հաջողությամբ փոխարինվել վեկտորով` նույն նորմալը: Ցանկացած հարթություն տարածության մեջ սահմանվում է երեք կետով: Ինչպես գտնել ինքնաթիռի հավասարումը (և հետևաբար՝ նորմալները), մենք արդեն քննարկել ենք հոդվածի հենց սկզբում: Այնուամենայնիվ, այս գործընթացը շատերի համար խնդիրներ է առաջացնում, ուստի ևս մի քանի օրինակ բերեմ.

Առաջադրանք. A 1 BC 1 հատվածը գծված է ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 խորանարդի մեջ: Գտե՛ք այս հատվածի հարթության նորմալ վեկտորը, եթե սկզբնաղբյուրը գտնվում է A կետում, և x, y և z առանցքները համընկնում են համապատասխանաբար AB, AD և AA 1 եզրերին:

Քանի որ ինքնաթիռը չի անցնում սկզբնաղբյուրով, դրա հավասարումն ունի հետևյալ տեսքը՝ Ax + By + Cz + 1 = 0, այսինքն. գործակից D = 1. Քանի որ այս հարթությունն անցնում է A 1, B և C 1 կետերով, այդ կետերի կոորդինատները հարթության հավասարումը վերածում են ճիշտ թվային հավասարության:

A 0 + B 0 + C 1 + 1 = 0 ⇒ C + 1 = 0 ⇒ C = - 1;

Նմանապես, B = (1; 0; 0) և C 1 = (1; 1; 1) կետերի համար մենք ստանում ենք հավասարումներ.
A 1 + B 0 + C 0 + 1 = 0 ⇒ A + 1 = 0 ⇒ A = - 1;
A 1 + B 1 + C 1 + 1 = 0 ⇒ A + B + C + 1 = 0;

Բայց մենք արդեն գիտենք A = - 1 և C = - 1 գործակիցները, ուստի մնում է գտնել B գործակիցը.
B = - 1 - A - C = - 1 + 1 + 1 = 1:

Մենք ստանում ենք հարթության հավասարումը. - A + B - C + 1 = 0, հետևաբար, նորմալ վեկտորի կոորդինատները հավասար են n = (- 1; 1; - 1):

Առաջադրանք. AA 1 C 1 C հատվածը գծված է ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 խորանարդի մեջ: Գտեք այս հատվածի հարթության նորմալ վեկտորը, եթե սկզբնակետը գտնվում է A կետում, իսկ x, y և z առանցքները համընկնում են եզրերի հետ: AB, AD և AA 1 համապատասխանաբար:

Այս դեպքում հարթությունն անցնում է սկզբնաղբյուրով, ուստի D = 0 գործակիցը, իսկ հարթության հավասարումը ունի հետևյալ տեսքը՝ Ax + By + Cz = 0: Քանի որ հարթությունն անցնում է A1 և C կետերով, այդ կետերի կոորդինատները. հարթության հավասարումը վերածել ճիշտ թվային հավասարության:

Փոխարինեք A կետի x, y և z կոորդինատների փոխարեն 1 = (0; 0; 1): Մենք ունենք:
A 0 + B 0 + C 1 = 0 ⇒ C = 0;

Նմանապես, C = (1; 1; 0) կետի համար մենք ստանում ենք հավասարումը.
A 1 + B 1 + C 0 = 0 ⇒ A + B = 0 ⇒ A = - B;

Մենք դնում ենք B = 1: Այնուհետև A = - B = - 1, և ամբողջ հարթության հավասարումը ունի ձև. - A + B = 0, հետևաբար, նորմալ վեկտորի կոորդինատները հավասար են n = (- 1; 1; 0):

Ընդհանուր առմամբ վերը նշված խնդիրներում անհրաժեշտ է կազմել հավասարումների համակարգ և լուծել այն։ Կլինեն երեք հավասարումներ և երեք փոփոխականներ, բայց երկրորդ դեպքում դրանցից մեկը կլինի ազատ, այսինքն. վերցնել կամայական արժեքներ. Ահա թե ինչու մենք իրավունք ունենք դնելու B = 1 - առանց հակազդելու լուծման ընդհանրությանը և պատասխանի ճիշտությանը:

Շատ հաճախ C2 խնդրի մեջ պահանջվում է աշխատել հատվածը կիսով չափ բաժանող կետերի հետ։ Նման կետերի կոորդինատները հեշտությամբ հաշվարկվում են, եթե հայտնի են հատվածի ծայրերի կոորդինատները։

Այսպիսով, թող հատվածը սահմանվի իր ծայրերով՝ A = (x a; y a; z a) և B = (x b; y b; z b) կետերով: Այնուհետև հատվածի միջնակետի կոորդինատները - մենք այն նշում ենք H կետով - կարելի է գտնել բանաձևով.

Այլ կերպ ասած, հատվածի միջնակետի կոորդինատները նրա ծայրերի կոորդինատների միջին թվաբանականն են:

Առաջադրանք. ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 միավորի խորանարդը տեղադրվում է կոորդինատային համակարգում այնպես, որ x, y և z առանցքներն ուղղված լինեն համապատասխանաբար AB, AD և AA 1 եզրերի երկայնքով, և սկզբնաղբյուրը համընկնի A կետի հետ: K կետը: A 1 B 1 եզրի միջնակետն է: Գտե՛ք այս կետի կոորդինատները:

Քանի որ K կետը A 1 B 1 հատվածի միջնակետն է, դրա կոորդինատները հավասար են ծայրերի կոորդինատների միջին թվաբանականին: Եկեք գրենք ծայրերի կոորդինատները՝ A 1 = (0; 0; 1) և B 1 = (1; 0; 1): Այժմ եկեք գտնենք K կետի կոորդինատները.

Առաջադրանք. ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 միավորի խորանարդը տեղադրվում է կոորդինատային համակարգում այնպես, որ x, y և z առանցքներն ուղղված են համապատասխանաբար AB, AD և AA 1 եզրերի երկայնքով, և սկզբնաղբյուրը համընկնում է A կետի հետ: Գտեք L կետի կոորդինատները, որտեղ նրանք հատում են A 1 B 1 C 1 D 1 քառակուսու անկյունագծերը:

Պլանաչափության դասընթացից հայտնի է, որ քառակուսու անկյունագծերի հատման կետը հավասար է նրա բոլոր գագաթներից։ Մասնավորապես, A 1 L = C 1 L, այսինքն. L կետը A 1 C 1 հատվածի միջնակետն է: Բայց A 1 = (0; 0; 1), C 1 = (1; 1; 1), ուստի մենք ունենք.

Պատասխան՝ L = (0.5; 0.5; 1)