Փոխադարձ ուղղահայաց գծերի և հարթությունների կառուցումը կարևոր գրաֆիկական գործողություն է մետրային խնդիրների լուծման համար:

Ուղիղ գծին կամ հարթությանը ուղղահայաց կառուցումը հիմնված է ուղիղ անկյան հատկության վրա, որը ձևակերպվում է հետևյալ կերպ. այն, այնուհետև անկյունը լրիվ չափով նախագծվում է այս հարթության վրա:

Նկար 28

ABC ուղիղ անկյան BC կողմը, որը ցույց է տրված Նկար 28-ում, զուգահեռ է P 1 հարթությանը: Հետևաբար, այս հարթության վրա ABC անկյան պրոյեկցիան կներկայացնի ճիշտ անկյուն A 1 B 1 C 1 = 90:

Ուղիղ գիծը ուղղահայաց է հարթությանը, եթե այն ուղղահայաց է այս հարթության մեջ ընկած երկու հատվող ուղիղներին: Ինքնաթիռին պատկանող ուղիղ գծերի շարքից ուղղահայաց կառուցելիս ընտրվում են հարթության ուղիղ գծերը՝ հորիզոնականը և ճակատայինը։ Այս դեպքում ուղղանկյունի հորիզոնական պրոյեկցիան իրականացվում է հորիզոնականին ուղղահայաց, իսկ ճակատային պրոյեկցիան ուղղահայաց է ճակատին: Նկար 29-ում ցուցադրված օրինակը ցույց է տալիս K կետից ABC եռանկյունով սահմանված հարթությանը ուղղահայաց կառուցումը: Դա անելու համար նախ հարթության մեջ գծեք հորիզոնական և ճակատային: Այնուհետև K կետի ճակատային ելուստից ուղղահայաց գծում ենք ճակատային ելուստին, իսկ կետի հորիզոնական պրոյեկցիայից՝ ուղղահայաց հորիզոնականի հորիզոնական ելուստին։ Այնուհետև մենք կառուցում ենք այս ուղղահայաց հատման կետը հարթության հետ՝ օգտագործելով օժանդակ կտրող հարթությունը: Ցանկալի կետը F է: Այսպիսով, ստացված KF հատվածը ուղղահայաց է ABC հարթությանը:

Նկար 29

Նկար 29-ում ներկայացված է KF-ի կառուցումը ABC հարթությանը ուղղահայաց:

Երկու հարթություններն ուղղահայաց են, եթե մի հարթության մեջ ընկած ուղիղը ուղղահայաց է մյուս հարթության երկու հատվող ուղիղներին: ABC այս հարթությանը ուղղահայաց հարթության կառուցվածքը ներկայացված է Նկար 30-ում: ABC հարթությանը ուղղահայաց M կետով գծված է ուղիղ MN: Այս գծի հորիզոնական պրոյեկցիան ուղղահայաց է AC-ին, քանի որ AC-ը հորիզոնական է, իսկ ճակատային պրոյեկցիան ուղղահայաց է AB-ին, քանի որ AB-ն ճակատայինն է: Այնուհետև M կետով գծվում է կամայական EF ուղիղ գիծ: Այսպիսով, հարթությունը ուղղահայաց է ABC-ին և տրված է երկու հատվող ուղիղներով EF և MN:

Նկար 30

Այս մեթոդը օգտագործվում է ընդհանուր դիրքում հատվածների բնական արժեքները, ինչպես նաև դրանց թեքության անկյունները դեպի նախագծման հարթությունները որոշելու համար: Այս կերպ հատվածի իրական չափը որոշելու համար անհրաժեշտ է ուղղանկյուն եռանկյունի լրացնել հատվածի ելուստներից մեկին։ Մյուս ոտքը կլինի հատվածի վերջնակետերի բարձրությունների կամ խորությունների տարբերությունը, իսկ հիպոթենուսը կլինի բնական արժեք:

Դիտարկենք օրինակ. Նկար 31-ը ցույց է տալիս AB հատվածը ընդհանուր դիրքում: Պահանջվում է որոշել դրա լրիվ չափը և թեքության անկյունները դեպի ճակատային և հորիզոնական նախագծման հարթությունները:

Հորիզոնական հարթության վրա ուղղահայաց գծեք գծի հատվածի ծայրերից մեկին: Մենք դրա վրա դնում ենք հատվածի ծայրերի բարձրությունների տարբերությունը (ZA-ZB) և լրացնում ենք ուղղանկյուն եռանկյունը։ Դրա հիպոթենուսը հատվածի բնական արժեքն է, իսկ բնական արժեքի և հատվածի պրոյեկցիայի միջև ընկած անկյունը P 1 հարթության նկատմամբ հատվածի թեքության անկյան բնական արժեքն է։ Ճակատային հարթության վրա կառուցման կարգը նույնն է. Ուղղահայաց երկայնքով մենք գծագրում ենք հատվածի ծայրերի խորությունների տարբերությունը (YA-YB): Հատվածի բնական արժեքի և նրա ճակատային պրոյեկցիայի միջև առաջացող անկյունը հատվածի թեքության անկյունն է դեպի P2 հարթությունը:

Նկար 31

1. Ձևակերպե՛ք թեորեմ աջ անկյան հատկության վերաբերյալ:

2. Ո՞ր դեպքում է ուղիղը հարթությանը ուղղահայաց:

3. Տվյալ հարթությանը ուղղահայաց քանի՞ ուղիղ և քանի՞ հարթություն կարելի է գծել տարածության կետով:

4. Ինչի՞ համար է օգտագործվում ուղղանկյուն եռանկյունու մեթոդը:

5. Ինչպե՞ս օգտագործել այս մեթոդը ընդհանուր դիրքում հատվածի թեքության անկյունը ելուստների հորիզոնական հարթության նկատմամբ:

Այս թեմայի շրջանակներում դուք պետք է կարողանաք.

• 1. Սահմանեք ուղիղ գծին ուղղահայաց հարթություն:
• 2. Սահմանեք հարթությանը ուղղահայաց ուղիղ գիծ:

Այս փոխկապակցված խնդիրները լուծելիս կարևոր է հասկանալ, թե ինչպես պետք է ուղղվեն ուղղահայացների ելուստները հարթության պրոյեկցիաների նկատմամբ: Սա պարզաբանելու համար կլուծենք Ա և Բ խնդիրները։

Խնդիր Ա

Վիճակ. A կետի միջով, վերցված rn ուղիղ գծով, գծեք այս ուղիղ գծին ուղղահայաց հարթություն:

Լուծում. Հայտնի է, որ Հարթությունը ուղղահայաց է ուղիղ գծին, այս հարթության վրա գտնվող երկու ուղիղները ուղղահայաց են տրված ուղիղ գծին:

Հետևաբար, մեր դեպքում Ա կետով բավական է երկու ուղիղ գծել, որոնցից յուրաքանչյուրը ուղղահայաց կլինի մ-ին, այնուհետև այս ուղիղները զույգով սահմանում են ցանկալի հարթությունը։

Թող այս հարթությունը սահմանող ուղիղ գծերից մեկը լինի հորիզոնական: Նրա ճակատային պրոյեկցիան 1b կանցնի հորիզոնական (նկ. 4.7), իսկ հորիզոնական պրոյեկցիան h | - տակ ուղիղ անկյունը m 1-ի նկատմամբ (հիմնվելով ճիշտ անկյան պրոյեկցիայի թեորեմի վրա):

Ցանկալի հարթությունը սահմանող երկրորդ ուղիղ գիծը կլինի ճակատային: ԵՄ հորիզոնական պրոյեկցիա f | կանցնի հորիզոնական:

ա ճակատային պրոյեկցիա f2 - յոդ mi-ի նկատմամբ ուղիղ անկյան տակ (նույն թեորեմի հիման վրա):

Բրինձ. 4.7

Այսպիսով, խնդիրը լուծված է։ Վերլուծելով այն՝ կարող ենք նկատել, որ կառուցված հարթության (f x h) նկատմամբ տրված m ուղիղը. ուղղահայաց. Այստեղից բխում է մի կարևոր գործնական եզրակացություն.

Ինքնաթիռին ուղղահայաց ուղղահայաց պրոյեկցիան պետք է ուղղանկյուն լինի հորիզոնականի հորիզոնական պրոյեկցիայի նկատմամբ, իսկ ճակատային պրոյեկցիան՝ առջևի ճակատային պրոյեկցիայի նկատմամբ ուղիղ անկյան տակ:

Խնդիր Բ

Պայմաններ. B կետից ուղղահայացն իջեցրեք դեպի DEF հարթություն (դրա տեսանելիության սահմանմամբ, բայց հարթության նկատմամբ):

Բրինձ. 4.8a - խնդրի գրաֆիկական պայմանները

Բրինձ. 4.86

Բրինձ. 4.8c - ուղղահայաց հիմքի և բնական չափի որոշում

Լուծում. Նախ գծում ենք DEF և B պրոյեկցիաները (նկ.4.8ա):

Սկսելով լուծել խնդիրը, մենք ընտրում ենք երեքը

բնորոշ փուլեր.

• 1. Ուղղահայաց ելուստների ուղղությունների կառուցում:
• 2. Ուղղահայաց (հարթության հետ նրա հատման կետի) հիմքի կառուցում.
• 3. Ուղղահայացի բնական չափի որոշում.

Եկեք իրականացնենք այս շինարարությունները։ Նախ, ուրվագծեք ուղղությունը

ուղղահայաց կանխատեսումներ. Դա անելու համար, նախ, DEF հարթությունում անհրաժեշտ է գծել հորիզոնական h և ճակատային f, որոնք ուղենիշ են նրա կանխատեսումների համար:

Այժմ մենք կգտնենք ուղղահայաց հիմքը որպես ստացված ուղիղ գծի DEF հարթության հետ հատման կետ: Մենք արդեն ծանոթ ենք այս խնդրին (տես Բաժին 3.3.4): Դիտարկված օրինակում K ցանկալի կետը գտնվում է հարթությունը սահմանափակող եռանկյունուց դուրս (նկ. 4.8c): Այն գտնվում է 2-3 գծում, որը, ըստ շինարարության, պատկանում է DEF ինքնաթիռին։ Սա նշանակում է, որ K կետը նույնպես պատկանում է դրան։Եթե ուղղահայաց ելուստները մասամբ կամ ամբողջությամբ ծածկված են DEF եռանկյան ելուստներով, ապա լրացուցիչ անհրաժեշտ է որոշել հարթությանը ուղղահայաց տեսանելիությունը։

VC-ի ուղղահայաց բնական արժեքը կարելի է գտնել ավելի վաղ քննարկված և. 2.2. Նկար 4.8c-ում այս նպատակով օգտագործվում է ուղղանկյուն եռանկյունու մեթոդը:

Նկատի ունեցեք, որ այս խնդիրը հաճախ ձևակերպվում է որպես B կետից մինչև DEF եռանկյան հարթության հեռավորությունը որոշող:

Ուղիղ գծի և հարթության ուղղահայացության չափանիշը թույլ է տալիս կառուցել փոխադարձ ուղղահայաց գիծ և հարթություն, այսինքն՝ ապացուցել այդպիսի ուղիղների և հարթությունների առկայությունը։ Սկսենք կառուցել մի հարթություն, որն ուղղահայաց է տրված ուղիղին և անցնում է տվյալ կետով։ Տրված կետի և տրված ուղիղ գծի դիրքում լուծենք երկու հնարավորությանը համապատասխանող երկու շինարարական խնդիր։

Խնդիր 1. Տրված ուղիղ գծի վրա տրված A կետի միջով գծե՛ք այս ուղիղին ուղղահայաց հարթություն:

a ուղիղ գծով գծում ենք ցանկացած երկու հարթություն և այս հարթություններից յուրաքանչյուրում A կետով գծում ենք a-ին ուղղահայաց ուղիղ, նշում ենք b և c (նկ. 2.17): a հարթությունը, անցնելով bis ուղիղ գծերով, պարունակում է A կետ և ուղղահայաց է a ուղիղին (ուղիների և հարթության ուղղահայացության նշանով): Հետևաբար, a ինքնաթիռը ցանկալին է: Խնդիրը լուծված է։

Խնդիրն ունի միայն մեկ (այսինքն՝ եզակի) լուծում. Իսկապես, ենթադրենք հակառակը։ Այնուհետեւ, a հարթությունից բացի, A կետով անցնում է մեկ այլ հարթություն՝ a ուղիղ գծին ուղղահայաց (նկ. 2.18): P հարթությունում վերցրեք A կետով անցնող և a հարթության մեջ չգտնվող ցանկացած ուղիղ: Եկեք անցնենք y հարթությունը a և հատվող ուղիղների միջով: y հարթությունը հատում է a հարթությունը q ուղիղ գծով: Ուղիղ q-ը չի համընկնում ուղիղ գծի հետ, քանի որ q-ն գտնվում է a-ում և չի գտնվում: Այս երկու ուղիղներն էլ ընկած են y հարթության մեջ, անցնում են A կետով և ուղղահայաց են a ուղիղ գծին, ինչպես և, ինչպես և: Բայց դա հակասում է պլանաչափության հայտնի թեորեմին, ըստ որի հարթության յուրաքանչյուր կետով անցնում է այս ուղիղ գծին ուղղահայաց միայն մեկ ուղիղ։

Այսպիսով, եթե ենթադրենք, որ ուղիղ գծին ուղղահայաց երկու հարթություններ անցնում են A կետով, մենք հանգել ենք հակասության: Ուստի խնդիրն ունի յուրահատուկ լուծում.

Խնդիր 2. Տրված Ա կետի միջով, տրված a ուղիղ գծի վրա չպառկած, գծե՛ք այս ուղիղին ուղղահայաց հարթություն։

A կետի միջով մենք ուղիղ գիծ ենք քաշում b, ուղղահայաց a ուղիղին: Թող B լինի a-ի և b-ի հատման կետը: B կետի միջով մենք գծում ենք նաև ուղիղ գիծ c՝ a-ին ուղղահայաց (նկ. 2.19): Երկու գծված գծերով անցնող հարթությունը ըստ ուղղահայացության չափանիշի (թեորեմ 2) ուղղահայաց կլինի a-ին։

Ինչպես 1-ին խնդիրում, այնպես էլ կառուցված հարթությունը եզակի է։ Իսկապես, վերցրեք ցանկացած հարթություն, որն անցնում է A կետով ուղղահայաց a ուղիղին: Նման հարթությունը պարունակում է a ուղիղ գծին ուղղահայաց և A կետով անցնող ուղիղ գիծ: Բայց կա միայն մեկ այդպիսի ուղիղ: Սա b ուղիղն է, որն անցնում է B կետով: Այսպիսով, A-ով անցնող և a-ին ուղղահայաց հարթությունը պետք է պարունակի B կետ, և միայն մեկ հարթություն, որն ուղղահայաց է a-ին, անցնի B կետով (խնդիր 1): Այսպիսով, լուծելով այս շինարարական խնդիրները և ապացուցելով դրանց լուծումների եզակիությունը, մենք ապացուցեցինք հետևյալ կարևոր թեորեմը.

Թեորեմ 3 (ուղիղ գծին ուղղահայաց հարթության վրա): Յուրաքանչյուր կետով անցնում է տրված ուղիղ գծին ուղղահայաց հարթություն, ընդ որում՝ միայն մեկ։

Եզրակացություն (ուղղահայացների հարթության վրա): Տրված կետում տրված ուղիղին ուղղահայաց ուղիղներն ընկած են մեկ հարթության մեջ և ծածկում են այն:

Թող a - տրված ուղիղ, իսկ A - նրա ցանկացած կետ: Նրա միջով ինքնաթիռ է անցնում։ Ուղիղ գծի և հարթության ուղղահայացության սահմանմամբ ծածկված է

ծածկված A կետում a ուղիղ գծին ուղղահայաց ուղիղներով, այսինքն. Նրա մեջ a հարթության յուրաքանչյուր կետով անցնում է a ուղիղին ուղղահայաց ուղիղ։

Ենթադրենք, որ ուղիղ գիծ է անցնում A կետով, որը չի գտնվում a հարթության մեջ: Եկեք դրա միջով գծենք P հարթություն: P հարթությունը հատում է a-ն ինչ-որ c ուղղի երկայնքով (նկ. 2.20): Եվ այդ ժամանակվանից պարզվում է, որ P հարթության A կետով անցնում են երկու ուղիղ b և c՝ a ուղիղ գծին ուղղահայաց։ Դա անհնար է: Հետևաբար, A կետում a-ին ուղղահայաց ուղիղներ չկան և a հարթության մեջ չեն: Նրանք բոլորը պառկած են այս ինքնաթիռում:

Թեորեմ 3-ի հետևանքի օրինակը բերված է անիվի առանցքին ուղղահայաց ճառագայթներով. պտտվելիս նրանք գծում են հարթություն (ավելի ճիշտ՝ շրջան)՝ վերցնելով պտտման առանցքին ուղղահայաց բոլոր դիրքերը:

2-րդ և 3-րդ թեորեմներն օգնում են պարզ լուծում տալ հետևյալ խնդրին.

Խնդիր 3. Տրված հարթության կետով ուղիղ գիծ գծե՛ք այս հարթությանը ուղղահայաց:

Տրված լինեն a հարթություն և a հարթության մի կետ: A հարթության մեջ A կետով գծենք ցանկացած ուղիղ a: A կետի միջով գծում ենք a ուղիղ գծին ուղղահայաց հարթություն (խնդիր 1): Հարթությունը կհատի a հարթությունը b ինչ-որ ուղիղ գծով (նկ. 2.21): P հարթության մեջ A կետի միջով գծենք ուղիղ գիծ՝ b ուղիղին ուղղահայաց։ Քանի որ (քանի որ c-ն ընկած է հարթության մեջ

I), այնուհետև թեորեմ 2-ով: Դրա լուծման եզակիությունը հաստատված է 2.1 բաժնում:

Մեկնաբանություն. Տիեզերքում շինությունների մասին. Հիշեցնենք, որ 1-ին գլխում մենք ուսումնասիրում ենք «շինարարական երկրաչափությունը»: Եվ այս պահին մենք լուծել ենք տիեզերքում կառուցելու երեք խնդիր. Ինչ է հասկացվում ստերեոմետրիայում «կառուցել», «գծել», «գրել» տերմիններով և այլն: Նախ, հիշեք հարթության վրա գտնվող կոնստրուկցիաները՝ նշելով, օրինակ, թե ինչպես կարելի է կառուցել եռանկյունով շրջագծված շրջան՝ դրանով իսկ ապացուցելով դրա գոյությունը։ Ընդհանրապես, լուծելով շինարարության խնդիրը, մենք ապացուցում ենք տվյալ հատկություններով գործչի գոյության թեորեմը: Այս լուծումը կրճատվում է ցանկալի պատկերը կառուցելու որոշ ալգորիթմ կազմելով, այսինքն՝ ցույց տալով տանող ամենապարզ գործողություններ կատարելու հաջորդականությունը: հասնել ցանկալի արդյունքի շրջանակները և գտնել դրանց հատման կետերը:Այնուհետև, օգտագործելով գծագրման գործիքները, կարող եք ուղղակիորեն նկարել նկարը թղթի կամ տախտակի վրա:

Այսպիսով, պլանաչափության մեջ շինարարության խնդրի լուծումը, ինչպես որ ասես, ունի երկու կողմ՝ տեսական՝ շինարարական ալգորիթմ, և գործնական՝ այս ալգորիթմի իրականացումը, օրինակ՝ կողմնացույցով և քանոնով։

Ստերեոմետրիկ շինարարության խնդիրը միայն մեկ կողմ ունի՝ տեսականը, քանի որ տիեզերքում շինարարության համար նախատեսված գործիքներ չկան, որոնք նման են կողմնացույցին և քանոնին։

Տիեզերքում հիմնական կառուցվածքներն են դրանք, որոնք նախատեսված են ուղիղների և հարթությունների գոյության աքսիոմներով և թեորեմներով։ Սա ուղիղ գիծ գծում է երկու կետերի միջով, հարթություն գծում (Առաջարկություններ Բաժին 1.1-ում և Աքսիոմ 1՝ Բաժին 1.4-ում), ինչպես նաև ցանկացած երկու կառուցված հարթությունների հատման գիծ կառուցելը (Աքսիոմա 2-րդ բաժնում 1.4): Բացի այդ, բնականաբար կենթադրենք, որ արդեն իսկ կառուցված հարթություններում հնարավոր է իրականացնել պլանաչափական կոնստրուկցիաներ։

Տիեզերքում շինարարական խնդիր լուծել նշանակում է նշել հիմնական կոնստրուկցիաների հաջորդականությունը, որի արդյունքում ստացվում է ցանկալի ցուցանիշը։ Սովորաբար, ոչ բոլոր հիմնական կոնստրուկցիաները հստակորեն նշվում են, բայց հղումներ են արվում արդեն լուծված շինարարական խնդիրներին, այսինքն. նման կառուցումների հնարավորության մասին արդեն իսկ ապացուցված դրույթներին և թեորեմներին։

Բացի կոնստրուկցիաներից՝ գոյության թեորեմներից ստերեոմետրիայում, հնարավոր են կոնստրուկցիաների հետ կապված ևս երկու տեսակի խնդիրներ։

Նախ՝ նկարի կամ գծագրության առաջադրանքները։ Սրանք պոլիէդրների կամ այլ մարմինների հատվածների խնդիրներն են: Մենք իրականում չենք կառուցում բաժինը, այլ միայն պատկերում ենք այն

նկարչություն կամ նկար, որը մենք արդեն ունենք: Նման կոնստրուկցիաները կատարվում են որպես պլանաչափական՝ հաշվի առնելով ստերեոմետրիայի աքսիոմներն ու թեորեմները և պատկերների կանոնները։ Այս տեսակի խնդիրները մշտապես լուծվում են գծագրության և դիզայնի պրակտիկայում:

Երկրորդ՝ մակերեսների վրա մարմիններ կառուցելու առաջադրանքներ։ Առաջադրանք՝ «Կառուցե՛ք կետեր խորանարդի մակերևույթի վրա՝ տվյալ գագաթից հեռու՝ տվյալ հեռավորության վրա» - լուծվում է կողմնացույցի միջոցով (ինչպե՞ս): Առաջադրանք՝ «Կառուցե՛ք կետեր գնդակի մակերևույթի վրա՝ տվյալ կետից հեռավորության վրա՝ տվյալ հեռավորության վրա» - լուծվում է նաև կողմնացույցի միջոցով (ինչպե՞ս): Այս տիպի խնդիրները չեն լուծվում երկրաչափության դասերին. դրանք մշտապես լուծում է մարքեթոլոգը, իհարկե, այն ճշգրտությամբ, որին կարող են հասնել նրա գործիքները: Բայց, լուծելով նման խնդիրները, նա ապավինում է երկրաչափությանը։

Չափազանցություն չի լինի պնդելը, որ փոխադարձ ուղղահայաց գծերի և հարթությունների կառուցումը, երկու կետերի միջև հեռավորության որոշման հետ մեկտեղ, մետրային խնդիրների լուծման հիմնական գրաֆիկական գործողություններն են:

Մոնժի գծապատկերում տարածության մեջ միմյանց ուղղահայաց ուղիղ գծերի և հարթությունների նախագծման տեսական նախադրյալը նախկինում նշված հատկությունն է (տես § 6)

ուղիղ անկյան պրոյեկցիա, որի կողմերից մեկը զուգահեռ է ցանկացած պրոյեկցիոն հարթության.

1. Փոխադարձ ուղղահայաց ուղիղ գծեր.

Որպեսզի կարողանանք օգտագործել նշված հատկությունը՝ Մոնժի գծապատկերում 90 ° անկյան տակ հատվող երկու ուղիղ գծեր կառուցելու համար, դրանցից մեկը պետք է զուգահեռ լինի ինչ-որ պրոյեկցիոն հարթության: Ասվածը բացատրենք օրինակներով։

ՕՐԻՆԱԿ 1. A կետի միջով ուղիղ գիծ գծեք l, որը հատում է հորիզոնական h-ն ուղիղ անկյան տակ (նկ. 249):

Քանի որ ուղիղ անկյան h կողմերից մեկը զուգահեռ է π 1 հարթությանը, ճիշտ անկյունը նախագծված է այս հարթության վրա առանց աղավաղումների: Հետևաբար, A-ի միջոցով «գծում ենք հորիզոնական պրոյեկցիա l» ⊥ h «: Նշեք M կետը» = l «∩ h»: Գտեք M "(M" ∈ h ") կետերը A" և M "սահմանում են l" (տե՛ս նկ. 249, ա):

Եթե ​​հորիզոնականի փոխարեն նշվում է ճակատային f-ը, ապա l ⊥ f գծի երկայնքով երկրաչափական կոնստրուկցիաները նման են նոր դիտարկվածներին, միայն այն տարբերությամբ, որ ուղիղ անկյան չաղավաղված պրոյեկցիայի կառուցումը պետք է սկսվի ճակատային պրոյեկցիայից։ (տե՛ս նկ. 249, բ):

ՕՐԻՆԱԿ 2. A կետի միջով գծեք ուղիղ l, որը հատում է a ուղիղը, որը նշված է [BC] հատվածով, 90 ° անկյան տակ (նկ. 250):

Քանի որ այս հատվածը կամայական դիրք է զբաղեցնում պրոյեկցիոն հարթությունների նկատմամբ, մենք չենք կարող, ինչպես նախորդ օրինակում, օգտագործել ուղիղ անկյան պրոյեկցիայի հատուկ դեպքի հատկությունը, հետևաբար, նախ անհրաժեշտ է թարգմանել [BC]. դիրքը զուգահեռ ցանկացած պրոյեկցիոն հարթության:

Նկ. 250 [մ.թ.ա.] տեղափոխվել է π 3 հարթությանը զուգահեռ դիրք: Դա արվում է պրոյեկցիոն հարթությունները փոխարինելու մեթոդով, փոխարինելով π 1 → π 3 || [Արև]:

Նոր համակարգում նման փոխարինման արդյունքում x 1 π 2 / π 3 [ВС] սահմանում է հորիզոնական գիծ, ​​հետևաբար հետագա ամբողջ շինարարությունը կատարվում է նույն կերպ, ինչպես նախորդ օրինակում. M «1 կետից հետո գտնվել է. , այն սկզբնական պրոյեկցիոն հարթությունների վրա թարգմանվել է M «և M» դիրքի, այս կետերը A «և A»-ի հետ միասին սահմանում են ուղիղ գծի l պրոյեկցիան։

ՕՐԻՆԱԿ 3. Անցկացրեք ABC աջ անկյան [BC] կողմի հորիզոնական ելուստը, եթե հայտնի են նրա ճակատային ելքը ∠A "B" C "և [A" B "] կողմի հորիզոնական ելուստը (նկ. 251): .

1. Անկյան [VA] կողմը թարգմանում ենք || π 3 պրոյեկցիոն հարթությունների համակարգից xπ 2 / π 1 անցնելով նոր x 1 π 3 / π 2

2. Սահմանեք նոր ճակատային պրոեկցիա:

В "1-ից մենք վերականգնում ենք [В" 1 A "1]-ի ուղղահայացը: Այս ուղղահայաց վրա մենք սահմանում ենք С" 1 կետը (С "1-ը հանվում է x առանցքից 1 հեռավորության վրա | С x 1 С" 1 | = | С x С "| ).

4. Հորիզոնական պրոյեկցիան C «սահմանվում է որպես գծերի հատման կետ (C» 1 C x 1) ∩ (C «C x) = C»:

2. Փոխադարձ ուղղահայաց ուղիղ և հարթություն:

Ստերեոմետրիայի դասընթացից հայտնի է, որ ուղիղ գիծը ուղղահայաց է հարթությանը, եթե այն ուղղահայաց է այս հարթությանը պատկանող առնվազն երկու հատվող ուղիղներին։

Եթե ​​հարթությունում վերցնում ենք ոչ թե կամայական հատվող ուղիղ գծեր, այլ դրա հորիզոնական և ճակատային, ապա հնարավոր է դառնում օգտագործել ճիշտ անկյան պրոյեկցիայի հատկությունը, ինչպես արվեց օրինակ 1-ում, Նկ. 249։

Դիտարկենք հետևյալ օրինակը. թող A ∈ α կետից պահանջվի վերականգնել α հարթությանը ուղղահայացը (նկ. 252):

A կետով մենք գծում ենք α հարթության հորիզոնական h և ճակատային f: Այնուհետև, ըստ սահմանման (AB), α հարթությանը ուղղահայաց պետք է ուղղահայաց լինի h և f ուղիղներին, այսինքն. Բայց AM-ի կողմը ∠ ԴՈՒ || π 1, հետևաբար ∠BAM-ը նախագծված է π 1 հարթության վրա, առանց աղավաղման, այսինքն. ... ԱԿ կողմ ∠ VAK || π 2 և, հետևաբար, π 2 հարթության վրա, այս անկյունը նույնպես նախագծված է առանց աղավաղման, այսինքն. ... Վերոնշյալ պատճառաբանությունը կարելի է ձևակերպել հետևյալ թեորեմի տեսքով. Որպեսզի տարածության մեջ ուղիղ գիծը ուղղահայաց լինի հարթությանը, անհրաժեշտ է և բավարար, որ գծապատկերի վրա ուղիղ գծի հորիզոնական ելուստը ուղղահայաց լինի հարթության հորիզոնական հարթության հորիզոնական ելուստին, իսկ ճակատային պրոյեկցիան՝ այս հարթության առջևի ճակատային ելուստը:

Եթե ​​հարթությունը տրված է հետքերով, ապա թեորեմը կարելի է այլ կերպ ձևակերպել. Որպեսզի տարածության մեջ ուղիղ գիծը լինի հարթությանը ուղղահայաց, անհրաժեշտ և բավարար է, որ այս ուղիղ գծի ելքերը ուղղահայաց լինեն հարթության վրա գտնվող նույնանուն հետքերին:

Թեորեմով հաստատված հարաբերությունները հարթությանը ուղղահայաց տարածության ուղիղ գծի և հարթության մակարդակի գծերի (հետքերի) պրոյեկցիաների միջև ուղիղ գծի միջև ընկած են ուղղահայաց ուղիղ գծելու խնդիրը լուծելու գրաֆիկական ալգորիթմի հիմքում։ հարթությանը, ինչպես նաև կառուցել տրված ուղիղ գծին ուղղահայաց հարթություն։

ՕՐԻՆԱԿ 1. A գագաթում վերակառուցեք ΔABC հարթությանը AD ուղղահայացը (նկ. 253):

Ուղղահայաց ելուստների ուղղությունը որոշելու համար կատարում ենք ΔABS հարթության հորիզոնական h-ի և f ճակատի ելուստները։ Դրանից հետո Ա կետից «վերականգնում ենք h-ին ուղղահայացը», իսկ Ա կետից «- զ»-ին։

ՕՐԻՆԱԿ 2. α (m || n) հարթությանը պատկանող A կետից վերականգնեք այս հարթությանը ուղղահայացը (նկ. 254):

ԼՈՒԾՈՒՄ. L «և l»-ի ուղղահայաց ելուստների ուղղությունը որոշելու համար, ինչպես նախորդ օրինակում, A կետի միջով անցկացրեք α հարթությանը պատկանող հորիզոնական h (h «, h»): Իմանալով h ուղղությունը՝ մենք կառուցում ենք ուղղահայաց l»-ի հորիզոնական պրոյեկցիան (l «⊥ h»): A (A ", A") կետով ուղղահայաց ճակատային ելքի ուղղությունը որոշելու համար գծեք α հարթության ճակատային f (f ", f"): Ճակատային պրոյեկցիայի հարթության f զուգահեռության շնորհիվ l-ի և f-ի միջև ուղիղ անկյունը նախագծված է π 2-ի վրա՝ առանց աղավաղման, ուստի մենք նկարում ենք l «⊥ f»:

Նկ. 255 Նույն խնդիրը լուծվում է այն դեպքի համար, երբ α հարթությունը տրված է հետքերով։ Ուղղահայաց ելուստների ուղղությունները որոշելու համար հարկավոր չէ հորիզոնական գիծ և ճակատ գծել.

բարձրացված, քանի որ դրանց գործառույթները կատարվում են h 0α և f 0α հարթության հետքերով: Ինչպես երևում է գծագրից, լուծումը վերածվում է A «և A» կետերի միջով գծելու l «⊥ h 0α և l» ⊥ f 0α պրոյեկցիաները:

ՕՐԻՆԱԿ 3. Կառուցե՛ք γ, տրված l ուղղին ուղղահայաց և տրված A կետով անցնող հարթություն (նկ. 256):

ԼՈՒԾՈՒՄ. A կետով գծե՛ք հորիզոնական h և ճակատային f: Այս երկու հատվող ուղիղները սահմանում են հարթություն. Որպեսզի այն ուղղահայաց լինի l-ին, անհրաժեշտ է, որ h և f ուղիղները l ուղիղ գծով 90 ° անկյուն կազմեն։ Դա անելու համար նկարեք h «⊥ l» և f «⊥ l»: Ճակատային պրոյեկցիան h «եւ հորիզոնական պրոյեկցիան f» գծված են x առանցքին զուգահեռ։

Դիտարկված դեպքը թույլ է տալիս օրինակ 3-ում բերված խնդիրը լուծել այլ կերպ (էջ 175, նկ. 251)։ [BC] ∠ABS կողմը պետք է պատկանի γ ⊥ [AB] հարթությանը և անցնի B կետով (նկ. 257):

Այս պայմանը որոշում է խնդրի լուծման ընթացքը, որը բաղկացած է հետևյալից. B կետը փակցնում ենք γ ⊥ [AB] հարթության մեջ, դրա համար B կետով գծում ենք γ հարթության հորիզոնական և ճակատային հատվածը, որպեսզի h «⊥ A. « B «և f» ⊥ A «B».

С ∈ (ВС) կետը, որը պատկանում է γ հարթությանը, հետևաբար, դրա հորիզոնական պրոյեկցիան գտնելու համար, գծեք С-ի միջով «կամայական ուղիղ գիծ 1», 2 «, որը պատկանում է γ հարթությանը, սահմանեք այս ուղիղ գծի հորիզոնական ելքը 1» 2 « և նշել С» կետը (С «որոշվում է կապի գծի հատմամբ՝ C-ից իջած ուղղահայացը», ուղիղ գծի 1 «2» հորիզոնական ելուստով): C «B-ի հետ միասին» սահմանում է հորիզոնական պրոյեկցիա (BC) ⊥ (AB):

3. Փոխադարձ ուղղահայաց հարթություններ.

Երկու հարթություններ ուղղահայաց են, եթե դրանցից մեկը մյուս հարթությանը ուղղահայաց ուղիղ գիծ է պարունակում.

Հարթությունների ուղղահայացության սահմանումից ելնելով α հարթությանը ուղղահայաց β հարթության կառուցման խնդիրը լուծում ենք հետևյալ կերպ՝ l ուղիղ գիծ գծե՛ք α հարթությանը ուղղահայաց; մենք l ուղիղ գիծը փակցնում ենք β հարթության մեջ։ β ⊥ α հարթությունը, քանի որ β ⊃ l ⊥ α.

Շատ հարթություններ կարելի է գծել l գծի միջով, ուստի խնդիրն ունի բազմաթիվ լուծումներ: Պատասխանն ավելի կոնկրետացնելու համար պետք է նշել լրացուցիչ պայմաններ։

ՕՐԻՆԱԿ 1. Այս ուղիղ գծի միջով գծեք α հարթությանը ուղղահայաց β հարթությունը (նկ. 258):

ԼՈՒԾՈՒՄ. Մենք որոշում ենք α հարթության ուղղահայաց ելուստների ուղղությունը, դրա համար մենք գտնում ենք հորիզոնական (h ") և ճակատային (f") ճակատային ելուստը. A ∈ α կամայական կետի ելուստներից գծում ենք l «⊥ h» և l «⊥ f» ուղղահայաց պրոեկցիաները։ β ⊥ α հարթությունը, քանի որ β ⊃ l ⊥ α.

ՕՐԻՆԱԿ 2. Այս A կետի միջով գծեք α հարթությանը ուղղահայաց γ հորիզոնական ելուստ հարթություն, որը տրված է հետքերով (նկ. 259, ա):

Ցանկալի γ հարթությունը պետք է պարունակի α հարթությանը ուղղահայաց ուղիղ գիծ, ​​կամ ուղղահայաց լինի α հարթությանը պատկանող ուղիղ գծին։ Քանի որ γ հարթությունը պետք է հորիզոնական ելնող լինի, դրան ուղղահայաց ուղիղը պետք է զուգահեռ լինի π 1 հարթությանը, այսինքն՝ լինի α հարթության հորիզոնական հարթությունը կամ (որը նույնն է) այս հարթության հորիզոնական հետքը՝ h 0α։ Հետևաբար, A «հորիզոնական պրոյեկցիայի կետի միջով մենք գծում ենք x առանցքի h 0γ ⊥ h 0α դիմային հետք f 0γ ⊥։

Նկ. 259, b-ը ցույց է տալիս B կետով անցնող γ ճակատային պրոյեկցիայի հարթությունը և ուղղահայաց π 2 հարթությանը:

Գծագրից երևում է, որ գծապատկերի տարբերակիչ հատկանիշը, որի վրա դրված են երկու փոխադարձ ուղղահայաց հարթություններ, որոնցից մեկը առջևում ցցված է, նրանց ճակատային գծերի ուղղահայացությունն է f 0γ ⊥ f 0α, ճակատի հորիզոնական գծերը։ ելնող հարթությունը ուղղահայաց է x առանցքին:

Հարթությունը հատող ուղիղ գծի բոլոր հնարավոր դիրքերից մենք նշում ենք այն դեպքը, երբ ուղիղ գիծը ուղղահայաց է հարթությանը, և դիտարկում ենք նման ուղիղ գծի ելուստների հատկությունները։

Նկ. 185-ին տրվում է մի հարթություն, որը սահմանվում է երկու հատվող AN և AM ուղիղներով, որտեղ AN-ը հորիզոնականն է, իսկ AM-ը այս հարթության ճակատային է: Նույն գծագրում ցուցադրված AB ուղիղը ուղղահայաց է AN-ին և AM-ին և, հետևաբար, ուղղահայաց է նրանց սահմանած հարթությանը:

Հարթությանը ուղղահայացը ուղղահայաց է այդ հարթությունում գծված ցանկացած ուղիղ գծին: Բայց որպեսզի ընդհանուր դիրքի հարթությանը ուղղահայաց պրոյեկցիան ուղղահայաց լինի այս հարթության ցանկացած ուղիղ գծի համանուն պրոյեկցիայի վրա, ուղիղ գիծը պետք է լինի հորիզոնական, ճակատային կամ պրոֆիլային ուղիղ: ինքնաթիռի. Հետևաբար, ցանկանալով կառուցել հարթությանը ուղղահայաց, ընդհանուր դեպքում վերցվում են երկու այդպիսի ուղիղ գիծ (օրինակ՝ հորիզոնական և ճակատային, ինչպես ցույց է տրված նկ. 185-ում)։

Այսպիսով, հարթության վրա ուղղահայաց, դրա հորիզոնական ելուստը ուղղահայաց է հորիզոնականի հորիզոնական պրոյեկցիայի վրա, ճակատային պրոյեկցիան ուղղահայաց է ճակատի ճակատային պրոյեկցիայի վրա, պրոֆիլի պրոյեկցիան ուղղահայաց է այս հարթության պրոֆիլային գծի պրոյեկցիայի վրա:

Ակնհայտ է, որ այն դեպքում, երբ հարթությունն արտահայտվում է հետքերով (նկ. 186), ստանում ենք հետևյալ եզրակացությունը. եթե ուղիղ գիծը ուղղահայաց է հարթությանը, ապա այս ուղիղ գծի հորիզոնական պրոյեկցիան ուղղահայաց է հարթության հորիզոնական հետքին, իսկ ճակատային պրոյեկցիան ուղղահայաց է հարթության ճակատային հետքին։

Այսպիսով, եթե π 1, π 2 համակարգում ուղիղ գծի հորիզոնական պրոյեկցիան ուղղահայաց է հորիզոնական հետքին, իսկ ուղիղ գծի ճակատային պրոյեկցիան ուղղահայաց է հարթության ճակատային հետքին, ապա ընդհանուր դիրքում գտնվող հարթությունների դեպքում (նկ. 186), ինչպես նաև հորիզոնական և ճակատային ելուստների դեպքում ուղիղ գիծը ուղղահայաց է հարթությանը.... Բայց պրոֆիլային պրոյեկցիոն հարթության համար կարող է պարզվել, որ այս հարթության ուղիղ գիծը ուղղահայաց չէ, չնայած.

ուղիղ գծի ելքերը համապատասխանաբար ուղղահայաց են հարթության հորիզոնական և ճակատային հետքերին։ Հետևաբար, պրոֆիլային պրոյեկցիոն հարթության դեպքում անհրաժեշտ է նաև դիտարկել ուղիղ գծի պրոյեկցիայի և տվյալ հարթության պրոֆիլային գծի հարաբերական դիրքը և միայն դրանից հետո հաստատել, թե արդյոք տվյալ գիծը և հարթությունը լինել միմյանց ուղղահայաց,

Ակնհայտորեն (նկ. 187), հարթությանը ուղղահայաց ուղղահայաց ելուստը միաձուլվում է հարթության մեջ ուղղահայաց հիմքի միջով գծված լանջի գծի հորիզոնական ելուստին:

Նկ. 186 A կետից ուղղահայաց գծված է pl. α (A "C" ⊥ f "0α, A" C "⊥h" 0α) և ցույց է տալիս E կետի կառուցվածքը, որտեղ ուղղահայաց AC-ը հատում է քառակուսին: α. Շինարարությունն իրականացվում է հորիզոնական ելնող քառակուսի օգտագործելով։ β գծված ուղղահայաց AE-ի միջով:

Նկ. 188-ը ցույց է տալիս ABC եռանկյունով սահմանված հարթությանը ուղղահայաց կառուցվածքը: Ուղղահայացը գծված է Ա կետով:

Քանի որ հարթությանը ուղղահայաց ճակատային ելուստը պետք է ուղղահայաց լինի հարթության ճակատային ելուստին, իսկ դրա հորիզոնական պրոյեկցիան ուղղահայաց է հորիզոնականի հորիզոնական ելուստին, դիմայինը՝ A «D» և A «D ելուստներով։ իսկ հորիզոնական A «E»-ն հարթության մեջ գծված են A «, A» E կետով, իհարկե, պարտադիր չէ, որ այս գծերը ճշգրիտ գծվեն A կետով:

Այնուհետև գծվում են ուղղահայաց ուղղահայաց գծերը՝ M «N» ⊥A «D», M «N» ⊥A «E»: Ինչու կանխատեսումները նկ. A «N» և A «M» հատվածներում 188-ը ցույց են տրված գծիկներով: Որովհետև այստեղ մենք դիտարկում ենք ABC եռանկյունով սահմանված հարթությունը և ոչ միայն այս եռանկյունը՝ ուղղահայացը մասամբ հարթության դիմաց է, մասամբ՝ ետևում։

Նկ. 189-ը և 190-ը ցույց են տալիս BC ուղղին ուղղահայաց A կետով անցնող հարթության կառուցվածքը: Նկ. 189 հարթությունն արտահայտված է հետքերով։ Շինարարությունը սկսվում է A կետով ցանկալի հարթության հորիզոնական գիծը գծելով. քանի որ հարթության հորիզոնական հետքը պետք է ուղղահայաց լինի B «C»-ին, ապա հորիզոնականի հորիզոնական ելուստը նույնպես պետք է ուղղահայաց լինի B «C»-ին: Հետևաբար, A «N» ⊥B «C»: Պրոյեկցիա A «N» || x առանցքի, ինչպես այն պետք է լինի հորիզոնականի համար: Այնուհետև f «0α ⊥В» С «նշված է N կետով» (N «հորիզոնական AN-ի ճակատային հետքի ճակատային ելուստն է), ստացվում է X α կետը և հետքը h» 0α || A «N. « (h «0α ⊥В» ՀԵՏ»):

Նկ. 190 հարթությունը սահմանվում է նրա ճակատային AM-ով և հորիզոնական AN-ով: Այս ուղիղները ուղղահայաց են BC-ին (A "M" ⊥B "C", A "N" ⊥B "C"); նրանց սահմանած հարթությունը ուղղահայաց է մ.թ.ա.

Քանի որ հարթությանը ուղղահայացը ուղղահայաց է այս հարթությունում գծված յուրաքանչյուր ուղիղ գծին, ուրեմն, սովորելով գծել ուղիղ գծին ուղղահայաց հարթությունը, կարող եք օգտագործել սա՝ A կետից ուղղահայաց գծելու համար BC ընդհանուր դիրքում գտնվող գծին: . Ակնհայտ է, որ դուք կարող եք նախանշել հետևյալ պլանը ցանկալի ուղիղ գծի կանխատեսումներ կառուցելու համար.

1) A կետով գծե՛ք մի հարթություն (կոչենք γ), ուղղահայաց BC-ին;

2) որոշել BC ուղիղ գծի pl-ի հետ հատման K կետը. գ;

3) A և K կետերը միացնել ուղիղ հատվածով.

AK և BC ուղիղները փոխադարձաբար ուղղահայաց են:

Շինարարության օրինակ տրված է Նկ. 191. Ա կետով հարթություն (γ) գծված է BC-ին ուղղահայաց: Դա արվում է A «F» ճակատային պրոյեկցիայի միջոցով, որից ուղղահայաց գծված է B «C» ճակատային ելուստին, և որի հորիզոնական պրոյեկցիան ուղղահայաց է B «C»-ին:

Այնուհետև գտնվեց K կետը, որի վրա BC ուղիղը հատում է քառակուսին: գ. Դրա համար BC ուղիղ գծով գծվում է β հորիզոնական պրոյեկցիոն հարթություն (գծագրում այն ​​նշված է միայն հորիզոնական հետքով (β "): 1" 2": Այս ուղիղ գծի հատման կետում BC ուղիղ գծի հետ պարզվում է K կետը: AK ուղիղը պահանջվում է BC-ին ուղղահայաց Իրոք, AC ուղիղը հատում է BC ուղիղ գիծը և գտնվում է γ քառակուսու վրա, ուղղահայաց BC ուղիղ գծին: հետևաբար, AK⊥BC.

§ 15-ում ցույց տրվեց (նկ. 92), թե ինչպես կարելի է ուղղահայաց գծել կետից ուղիղ գիծ։ Բայց այնտեղ դա արվեց՝ լրացուցիչ հարթություն ներմուծելով π 1, π 2 համակարգ և դրանով իսկ ձևավորելով π 3, π 1 համակարգը, որում քառակուսի է։ π 3-ը գծված է տրված ուղիղ գծին զուգահեռ: Խորհուրդ ենք տալիս համեմատել Նկ. 92 և 191 թ.

Նկ. 192-ը պատկերում է մի հարթություն ընդհանուր դիրքով - α, որն անցնում է A կետով, և այս հարթությանը ուղղահայաց AM-ը շարունակվում է մինչև pl-ի հետ հատումը: π 1 B կետում:

Անկյուն φ 1 pl-ի միջև: α և π 1 քառակուսի և AM ուղիղ գծի և քառակուսու φ անկյունը: π 1 ուղղանկյուն եռանկյունի B «AM» սուր անկյուններն են, և, հետևաբար, φ 1 + φ = 90 °: Նմանապես, եթե α քառակուսին հավասար է քառակուսու: π 2 անկյունը σ 2, իսկ AM ուղիղը, ուղղահայաց α-ին, pl-ով է: π 2 անկյուն σ, ապա σ 2 + σ = 90 °: Սրանից, նախ և առաջ, հետևում է, որ հարթությունը գտնվում է ընդհանուր դիրքում, որը պետք է կազմի φ 1 անկյուն π 1 և քառակուսիով։ π 2 անկյուն σ 2 կարող է կառուցվել միայն այն դեպքում, եթե 180 °> φ 1 + σ 2> 90 °:

Իրոք, տերմինը ավելացնելով φ 1 + φ = 90 ° և σ 2 + σ = 90 °, մենք ստանում ենք φ 1 + σ 2 + φ + σ = 180 °, այսինքն, φ 1 + σ 2 90 °: Եթե ​​վերցնենք φ 1 + σ 2 = 90 °, ապա կստանանք պրոֆիլ-պրոյեկցիոն հարթություն, իսկ եթե վերցնենք φ 1 + σ 2 = 180 °, ապա ստանում ենք պրոֆիլային հարթություն, այսինքն. Այս երկու դեպքում էլ ինքնաթիռը գտնվում է ոչ թե ընդհանուր դիրքում, այլ կոնկրետ։