Sezioni: Fisica

Obiettivi: educativo: sistematizzare le conoscenze e le abilità degli studenti nella risoluzione di problemi e nel calcolo delle resistenze equivalenti utilizzando modelli, telai, ecc.

Sviluppo: sviluppo di capacità di pensiero logico, pensiero astratto, capacità di sostituire schemi di equivalenza, semplificare il calcolo degli schemi.

Educativo: promuovere il senso di responsabilità, indipendenza e la necessità di competenze acquisite in classe in futuro

Attrezzatura: struttura metallica di un cubo, tetraedro, maglia di una catena infinita di resistenza.

DURANTE LE LEZIONI

Aggiornamento:

1. Insegnante: “Ricordiamo il collegamento in serie delle resistenze”.

Gli studenti disegnano un diagramma alla lavagna.

e scrivi

U giro =U1 +U2

Y giro =Y 1 =Y 2

Insegnante: ricorda la connessione parallela delle resistenze.

Uno studente disegna un diagramma di base alla lavagna:

Y giro =Y 1 =Y 2

; for per n uguale

Insegnante: Ora risolveremo i problemi sul calcolo della resistenza equivalente. Una sezione del circuito è presentata sotto forma di una figura geometrica o di una rete metallica.

Compito n. 1

Un telaio metallico a forma di cubo, i cui bordi rappresentano resistenze uguali R. Calcola la resistenza equivalente tra i punti A e B. Per calcolare la resistenza equivalente di un dato telaio, è necessario sostituirlo con un circuito equivalente. I punti 1, 2, 3 hanno lo stesso potenziale, possono essere collegati in un nodo. E i punti (vertici) del cubo 4, 5, 6 possono essere collegati in un altro nodo per lo stesso motivo. Gli studenti hanno un modello del genere su ogni banco. Dopo aver completato i passaggi descritti, disegna un circuito equivalente.

Nella sezione AC la resistenza equivalente è ; su CD; su DB; ed infine per il collegamento in serie delle resistenze abbiamo:

Per lo stesso principio, i potenziali dei punti A e 6 sono uguali, B e 3 sono uguali. Gli studenti combinano questi punti sul loro modello e ottengono un diagramma equivalente:

Calcolare la resistenza equivalente di un tale circuito è semplice

Problema n.3

Lo stesso modello di un cubo, con inclusione nel circuito tra i punti 2 e B. Gli studenti collegano i punti con uguale potenziale 1 e 3; 6 e 4. Quindi il diagramma sarà simile a questo:

I punti 1,3 e 6,4 hanno potenziali uguali e nessuna corrente scorrerà attraverso le resistenze tra questi punti e il circuito è semplificato nella forma; la cui resistenza equivalente si calcola come segue:

Problema n.4

Una piramide triangolare equilatera, il cui bordo ha una resistenza R. Calcolare la resistenza equivalente quando è collegata al circuito.

I punti 3 e 4 hanno lo stesso potenziale, quindi nessuna corrente scorrerà lungo il bordo 3.4. Gli studenti puliscono.

Quindi il diagramma sarà simile a questo:

La resistenza equivalente si calcola come segue:

Problema n.5

Rete metallica con resistenza di collegamento pari a R. Calcolare la resistenza equivalente tra i punti 1 e 2.

Al punto 0 puoi separare i collegamenti, quindi il diagramma sarà simile a:

- la resistenza di una metà è simmetrica a 1-2 punti. C'è un ramo simile parallelo ad esso, quindi

Problema n.6

La stella è composta da 5 triangoli equilateri, la resistenza di ciascuno .

Tra i punti 1 e 2 un triangolo è parallelo a quattro triangoli collegati in serie

Avendo esperienza nel calcolo della resistenza equivalente dei telai metallici, puoi iniziare a calcolare la resistenza di un circuito contenente un numero infinito di resistenze. Per esempio:

Se separi il collegamento

dal circuito generale, il circuito non cambierà, quindi può essere rappresentato nella forma

O ,

risolvere questa equazione per R eq.

Riepilogo della lezione: abbiamo imparato a rappresentare in modo astratto gli schemi elettrici delle sezioni del circuito e a sostituirli con circuiti equivalenti, che facilitano il calcolo della resistenza equivalente.

Istruzioni: Questo modello può essere rappresentato come:

Consideriamo un problema classico. Dato un cubo, i cui bordi rappresentano conduttori con una resistenza identica. Questo cubo è compreso in un circuito elettrico tra tutti i suoi possibili punti. Domanda: cosa è uguale? resistenza del cubo in ognuno di questi casi? In questo articolo, un tutor di fisica e matematica parla di come si risolve questo classico problema. È disponibile anche un video tutorial in cui troverai non solo una spiegazione dettagliata della soluzione al problema, ma anche una dimostrazione fisica reale che conferma tutti i calcoli.

Quindi il cubo può essere collegato al circuito in tre modi diversi.

Resistenza di un cubo tra vertici opposti

In questo caso, la corrente, arrivata al punto UN, è distribuito tra tre bordi del cubo. Inoltre, poiché tutti e tre gli spigoli sono equivalenti in termini di simmetria, a nessun spigolo può essere attribuito più o meno “significato”. Pertanto, la corrente tra questi bordi deve essere distribuita equamente. Cioè, la forza attuale in ciascun bordo è uguale a:

Il risultato è che la caduta di tensione su ciascuno di questi tre bordi è la stessa ed è uguale a , dove è la resistenza di ciascun bordo. Ma la caduta di tensione tra due punti è uguale alla differenza potenziale tra questi punti. Cioè, i potenziali dei punti C, D E E sono uguali e uguali. Per ragioni di simmetria, i potenziali puntiformi F, G E K sono anche gli stessi.

Punti con lo stesso potenziale possono essere collegati da conduttori. Ciò non cambierà nulla, perché comunque attraverso questi conduttori non scorrerà corrente:

Di conseguenza, troviamo che i bordi AC., ANNO DOMINI E A.E. T. Allo stesso modo le costole FB, G.B. E K.B. connettersi in un punto. Diciamo che è un punto M. Per quanto riguarda i restanti 6 spigoli, tutti i loro “inizi” saranno collegati nel punto T, e tutti i fini sono al punto M. Di conseguenza, otteniamo il seguente circuito equivalente:

Resistenza di un cubo tra angoli opposti di una faccia

In questo caso, i bordi equivalenti sono ANNO DOMINI E AC.. La stessa corrente li attraverserà. Inoltre, lo sono anche equivalenti KE E KF. La stessa corrente li attraverserà. Ripetiamo ancora una volta che la corrente tra fronti equivalenti deve essere distribuita equamente, altrimenti si rompe la simmetria:

Quindi, in questo caso i punti hanno lo stesso potenziale C E D, così come i punti E E F. Ciò significa che questi punti possono essere combinati. Lasciamo i punti C E D unire in un punto M e i punti E E F- al punto T. Quindi otteniamo il seguente circuito equivalente:

Su una sezione verticale (direttamente tra i punti T E M) non circola corrente. In effetti, la situazione è simile a un ponte di misurazione bilanciato. Ciò significa che questo collegamento può essere escluso dalla catena. Successivamente, calcolare la resistenza totale non è difficile:

La resistenza del collegamento superiore è pari a , la resistenza del collegamento inferiore è . Quindi la resistenza totale è:

Resistenza di un cubo tra vertici adiacenti della stessa faccia

Questa è l'ultima opzione possibile per collegare il cubo a un circuito elettrico. In questo caso i fronti equivalenti attraverso i quali scorrerà la stessa corrente sono i fronti AC. E ANNO DOMINI. E, di conseguenza, i punti avranno potenziali identici C E D, così come i punti ad essi simmetrici E E F:

Colleghiamo nuovamente i punti con uguali potenziali a coppie. Possiamo farlo perché tra questi punti non scorrerà corrente, anche se li colleghiamo con un conduttore. Lasciamo i punti C E D unire in un punto T e i punti E E F- esattamente M. Possiamo quindi disegnare il seguente circuito equivalente:

La resistenza totale del circuito risultante viene calcolata utilizzando metodi standard. Sostituiamo ciascun segmento di due resistori collegati in parallelo con un resistore con resistenza . Quindi la resistenza del segmento “superiore”, costituito da resistori collegati in serie , e , è uguale a .

Questo segmento è collegato al segmento “centrale”, costituito da un resistore con una resistenza di , in parallelo. La resistenza di un circuito costituito da due resistori collegati in parallelo con resistenza ed è pari a:

Cioè, lo schema è semplificato in una forma ancora più semplice:

Come puoi vedere, la resistenza del segmento “superiore” a forma di U è pari a:

Bene, la resistenza totale di due resistori collegati in parallelo è uguale a:

Esperimento per misurare la resistenza di un cubo

Per dimostrare che tutto questo non è un trucco matematico e che dietro tutti questi calcoli c'è della vera fisica, ho deciso di condurre un esperimento fisico diretto per misurare la resistenza di un cubo. Puoi guardare questo esperimento nel video all'inizio dell'articolo. Qui posterò le foto del setup sperimentale.

Soprattutto per questo esperimento ho saldato un cubo i cui bordi erano resistori identici. Ho anche un multimetro che ho acceso in modalità resistenza. La resistenza di un singolo resistore è 38,3 kOhm:

Per sviluppare le capacità creative degli studenti, sono interessanti i problemi che coinvolgono la risoluzione dei circuiti di resistenza CC utilizzando il metodo del nodo equipotenziale. La soluzione a questi problemi è accompagnata da una trasformazione sequenziale del circuito originale. Inoltre, subisce il cambiamento maggiore dopo il primo passaggio quando viene utilizzato questo metodo. Ulteriori trasformazioni comportano la sostituzione equivalente di resistori in serie o in parallelo.

Per trasformare un circuito utilizzano la proprietà che in qualsiasi circuito i punti con gli stessi potenziali possono essere collegati in nodi. E viceversa: i nodi del circuito possono essere divisi se successivamente i potenziali dei punti compresi nel nodo non cambiano.

Nella letteratura metodologica spesso scrivono questo: se un circuito contiene conduttori con uguali resistenze posizionate simmetricamente rispetto a qualsiasi asse o piano di simmetria, allora i punti di questi conduttori, simmetrici rispetto a questo asse o piano, hanno lo stesso potenziale. Ma tutta la difficoltà sta nel fatto che nessuno indica un tale asse o piano sul diagramma e non è facile trovarlo.

Propongo un altro modo semplificato per risolvere tali problemi.

Problema 1. Un cubo di filo (Fig. 1) è incluso nel circuito tra i punti Da A a B.

Trova la sua resistenza totale se la resistenza di ciascun bordo è uguale R.

Posiziona il cubo sul bordo AB(Fig. 2) e “tagliarlo” in duemetà parallele aereo AA1B1B, passando per il bordo inferiore e superiore.

Diamo un'occhiata alla metà destra del cubo. Consideriamo che le costole inferiore e superiore si sono divise a metà e sono diventate 2 volte più sottili, e la loro resistenza è aumentata di 2 volte ed è diventata 2 volte R(Fig. 3).

1) Trova resistenzaR1tre conduttori superiori collegati in serie:

4) Trova la resistenza totale di questa metà del cubo (Fig. 6):

Trova la resistenza totale del cubo:

Si è rivelato relativamente semplice, comprensibile e accessibile a tutti.

Problema 2. Il cubo di filo è collegato al circuito non da un bordo, ma da una diagonale AC qualsiasi bordo. Trova la sua resistenza totale se la resistenza di ciascun bordo è uguale R (fig. 7).

Posiziona nuovamente il cubo sul bordo AB. "Sega" il cubo in duemetà parallelelo stesso piano verticale (vedi Fig. 2).

Ancora una volta guardiamo la metà destra del cubo di filo. Teniamo conto che le nervature superiori e inferiori si sono divise a metà e le loro resistenze sono diventate 2 ciascuna R.

Tenendo conto delle condizioni del problema, abbiamo la seguente connessione (Fig. 8).

9° grado

Gli elettroni entrano in un condensatore piatto di lunghezza L con un angolo a rispetto al piano delle piastre e volano fuori con un angolo β. Determina l'energia cinetica iniziale degli elettroni se l'intensità del campo del condensatore è E.

La resistenza di qualsiasi bordo della struttura metallica del cubo è uguale a R. Trova la resistenza tra i vertici del cubo più distanti l'uno dall'altro.

Facendo passare a lungo una corrente di 1,4 A attraverso il filo, questo si riscaldava fino a 55°C, mentre con una corrente di 2,8 A fino a 160°C. A quale temperatura si riscalda il filo con una corrente di 5,6 A? La resistenza del filo non dipende dalla temperatura. La temperatura ambiente è costante. Il trasferimento di calore è direttamente proporzionale alla differenza di temperatura tra il filo e l'aria.

Un filo con diametro d si scioglie quando viene fatto passare la corrente I1 per un lungo periodo. A quale corrente fonderà un filo con diametro 2d? La perdita di calore da parte del filo in entrambi i casi è considerata proporzionale alla superficie del filo.

Quanto calore verrà rilasciato nel circuito dopo l'apertura dell'interruttore K? I parametri del circuito sono mostrati in figura.

Un elettrone vola in un campo magnetico uniforme, la cui direzione è perpendicolare alla direzione del suo movimento. Velocità dell'elettrone v = 4·107 m/s. Induzione del campo magnetico B = 1 mT. Trovare la tangenziale aτ e l'accelerazione normale dell'elettrone in un campo magnetico.

Nel circuito mostrato in figura la potenza termica rilasciata nel circuito esterno è la stessa con l'interruttore K chiuso e aperto Determinare la resistenza interna della batteria r se R1 = 12 Ohm, R2 = 4 Ohm.

Due particelle con un rapporto di carica q1/q2 = 2 e un rapporto di massa m1/m2 = 4 volano in un campo magnetico uniforme perpendicolare alle sue linee di induzione e si muovono in cerchi con un rapporto di raggio R1/R2 = 2. Determina il rapporto delle energie cinetiche W1/W2 di queste particelle.

Il circuito oscillatorio è costituito da un condensatore con capacità C = 400 pF e una bobina con induttanza L = 10 mH. Trova l'ampiezza delle oscillazioni di corrente Im se l'ampiezza delle oscillazioni di tensione Um = 500 V.

Dopo quanto tempo (in frazioni del periodo t/T) il condensatore del circuito oscillante avrà prima una carica pari alla metà del valore dell'ampiezza? (la dipendenza dal tempo della carica sul condensatore è data dall'equazione q = qm cos ω0t)

Quanti elettroni vengono emessi dalla superficie del catodo in 1 s con una corrente di saturazione di 12 mA? q = 1,6·10-19 Cl.

L'intensità di corrente nel circuito della stufa elettrica è 1,4 A. Quale carica elettrica attraversa la sezione trasversale della sua spirale in 10 minuti?

Determina la sezione trasversale e la lunghezza di un conduttore di rame se la sua resistenza è 0,2 Ohm e la sua massa è 0,2 kg. La densità del rame è 8900 kg/m3, la resistività è 1,7 * 10-8 Ohm * m.

Nella figura della sezione del circuito AB, la tensione è 12 V, le resistenze R1 e R2 sono rispettivamente pari a 2 Ohm e 23 Ohm, la resistenza del voltmetro è 125 Ohm. Determinare le letture del voltmetro.

Determinare il valore di resistenza dello shunt dell'amperometro per espandere i limiti di misurazione della corrente da 10 mA (I1) a 10 A (I). La resistenza interna dell'amperometro è di 100 Ohm (R1).

Quale potenza termica viene rilasciata nel resistore R1 nel circuito, il cui circuito è mostrato in figura, se l'amperometro mostra corrente continua I = 0,4 A? Valori di resistenza del resistore: R1 = 5 Ohm, R2 = 30 Ohm, R3 = 10 Ohm, R4 = 20 Ohm. L'amperometro è considerato ideale.

Due palline metalliche identiche vengono caricate in modo che la carica di una di esse sia 5 volte maggiore della carica dell'altra. Le palline venivano messe in contatto e allontanate alla stessa distanza. Quante volte la forza della loro interazione è cambiata di grandezza se: a) le palline si caricano allo stesso modo; b) le palline hanno carica opposta?

La lunghezza di un filo di rame cilindrico è 10 volte maggiore della lunghezza di un filo di alluminio e le loro masse sono le stesse. Trova il rapporto di resistenza di questi conduttori.

L'anello di filo è incluso in un circuito attraverso il quale passa una corrente di 9 A. I contatti dividono la lunghezza dell'anello in un rapporto di 1:2. Allo stesso tempo sull'anello viene rilasciata una potenza di 108 W. A parità di intensità di corrente nel circuito esterno, quale potenza verrà rilasciata nell'anello se i contatti sono posizionati lungo il diametro dell'anello?

Due palline dello stesso volume, ciascuna di massa 0,6 ∙ 10 -3 g, sono sospese su fili di seta lunghi 0,4 m in modo che le loro superfici si tocchino. L'angolo al quale i fili divergevano quando si impartivano cariche uguali alle sfere è di 60°. Trovare l'intensità delle cariche e la forza di repulsione elettrica.

Due palline identiche, una caricata con una carica negativa di 1,5 μC, l'altra con una carica positiva di 25 μC, vengono messe in contatto e nuovamente allontanate ad una distanza di 5 cm. Determinare la carica di ciascuna pallina dopo il contatto e la forza della loro interazione.

Resistenza elettrica di un cubo

Viene fornita una struttura a forma di cubo in filo metallico. La resistenza elettrica di ciascun bordo del cubo è di un ohm. Qual è la resistenza del cubo quando la corrente elettrica passa da un vertice all'altro se è collegato ad una sorgente di corrente continua come mostrato in figura?

Calcoliamo la resistenza del circuito utilizzando le formule per il collegamento in parallelo e in serie delle resistenze e otteniamo la risposta: la resistenza elettrica del cubo è 5/6 Ohm.

Fatti interessanti sul problema della resistenza di un cubo di resistori

1. La soluzione al problema sulla resistenza di un cubo in generale può essere letta sul sito web della rivista Kvant o vista qui: “Alla fine degli anni Quaranta, in matematica apparve un problema sulla resistenza elettrica di un cubo di filo circoli di Mosca. Non sappiamo chi l'ha inventato o chi l'ha trovato nei vecchi libri di testo. Il problema era molto popolare e tutti lo impararono rapidamente. Molto presto iniziarono a chiederlo agli esami e divenne...

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Consideriamo un problema classico. Dato un cubo, i cui bordi rappresentano conduttori con una resistenza identica. Questo cubo è compreso in un circuito elettrico tra tutti i suoi possibili punti. Domanda: qual è la resistenza del cubo in ciascuno di questi casi? In questo articolo, un tutor di fisica e matematica parla di come si risolve questo classico problema. È disponibile anche un video tutorial in cui troverai non solo una spiegazione dettagliata della soluzione al problema, ma anche una dimostrazione fisica reale che conferma tutti i calcoli.

Quindi il cubo può essere collegato al circuito in tre modi diversi.

Resistenza di un cubo tra vertici opposti

In questo caso la corrente, raggiunto il punto A, viene distribuita tra i tre spigoli del cubo. Inoltre, poiché tutti e tre gli spigoli sono equivalenti in termini di simmetria, a nessun spigolo può essere attribuito più o meno “significato”. Pertanto, la corrente tra questi bordi deve essere distribuita equamente. cioè la forza...

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Strano..
Hai risposto alla tua stessa domanda...
- Saldare e “collegare le sonde dell'ohmmetro a due punti attraverso i quali passa la diagonale principale del cubo” “misurarlo”

In allegato c'è un disegno: --
Basterà un semplice ragionamento. Basta con le conoscenze scolastiche di fisica. La geometria non è necessaria qui, quindi spostiamo il cubo su un piano e contrassegniamo prima i punti caratteristici.

In allegato c'è un disegno: --
Tuttavia, è meglio fornire un ragionamento logico e non solo numeri casuali. Tuttavia, non hanno indovinato!
Ti consiglio di cercare soluzioni originali, hai indovinato, ma come hai risolto? La risposta è assolutamente corretta e l'argomento può essere chiuso. L'unica cosa è che il problema può essere risolto in questo modo non solo per R identici. Semplicemente, se...

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Lasciatemi commentare la dichiarazione del Maestro

Si applichi una tensione U ai bordi opposti del cubo A e C, in conseguenza della quale nella sezione del circuito esterna al cubo scorre una corrente I.

La figura mostra le correnti che scorrono lungo le facce di un cubo. Da considerazioni di simmetria risulta chiaro che le correnti che circolano lungo le facce AB, AA" e AD sono uguali - denotiamo questa corrente I1; allo stesso modo troviamo che le correnti lungo le facce DC, DD", BC, BB", A"B", A"D" sono uguali a (I2)l; anche le correnti lungo le facce CC, B"C" e D"C" sono uguali a (I3).

Scriviamo le leggi di Kirchhoff (ad esempio, per i nodi A, B, C, C"):
(Io = 3I1
(I1 = 2I2
(2I2 = I3
(3I3 = I

Da qui otteniamo I1= I3 = I/3; I2 = I/6

Sia r la resistenza totale del cubo; quindi secondo la legge di Ohm
(1) U = Ir.
D'altra parte, aggirando il contorno ABCC otteniamo questo
(2) U = (I1 + I2 + I3)R

Dal confronto (1) e (2) abbiamo:
r = R*(I1 + I2 + I3)/I = R*(1/3 + 1/6 + 1/3) =...

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Studenti? Questi sono i compiti della scuola. La legge di Ohm, collegamenti in serie e parallelo di resistenze, un problema su tre resistenze e queste contemporaneamente.

Naturalmente, non ho tenuto conto del pubblico del sito, dove la maggior parte dei partecipanti non solo risolve i problemi con piacere, ma prepara anche i compiti da sola. E, naturalmente, conosce problemi classici che hanno almeno 50 anni (li ho risolti da una raccolta più vecchia della prima edizione di Irodov - 1979, a quanto ho capito).

Ma è comunque strano sentire che “i problemi non sono le Olimpiadi”. IMHO, le "olimpiadi" dei problemi sono determinate non tanto e nemmeno tanto dalla loro complessità, ma in gran parte dal fatto che quando lo risolvi devi indovinare (su qualcosa), dopodiché il problema da molto complesso diventa molto semplice.

Lo studente medio scriverà un sistema di equazioni di Kirgoff e lo risolverà. E nessuno gli dimostrerà che la decisione è sbagliata.
Uno studente intelligente capirà la simmetria e risolverà i problemi più velocemente dello studente medio.
PS Tuttavia, anche gli “studenti medi” sono diversi.
P.P.S....

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Usare pacchetti matematici universali non è saggio se si dispone di programmi di analisi dei circuiti. I risultati possono essere ottenuti sia numericamente che analiticamente (per circuiti lineari).
Proverò a fornire un algoritmo per derivare la formula (R_eq=3/4 R)
Tagliamo il cubo in 2 parti lungo le diagonali delle facce orizzontali con un piano passante per i punti indicati. Otteniamo 2 metà di un cubo con una resistenza pari al doppio della resistenza desiderata (la conduttività di metà cubo è pari alla metà della conduttività desiderata). Nel punto in cui il piano di taglio interseca le nervature, dividiamo a metà la loro conduttività (raddoppiamo la resistenza). Espandi metà del cubo. Otteniamo quindi un circuito con due nodi interni. Sostituiamo un triangolo con una stella, poiché i numeri sono interi. Bene, allora un po' di aritmetica di base. Potrebbe essere possibile e anche più semplice da risolvere, vaghi dubbi si rodono...
PS. In Mapple e/o Syrup puoi ottenere una formula per qualsiasi resistenza, ma guardando questa formula capirai che solo un computer vorrà con essa...

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Risoluzione di problemi sul calcolo della resistenza elettrica mediante modelli

Sezioni: Fisica

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