... Kūgis. Pagrindinės sąvokos.

Apibrėžimas. Kūgis yra geometrinė figūra, gauta sukant stačiakampį trikampį aplink vieną koją. Koja, kurios atžvilgiu vyksta sukimasis - ašis kūgis, skaičiais lygus jo aukščiui; antra koja - spinduliu pagrindai; hipotenuzė - generatrica (sukimosi metu sudaro kūgio šoninį paviršių).

M- kūgio viršus, O- pagrindo centras, MO- kūgio ašis, MO = H- kūgio aukštis, OA = OV =…= R- pagrindo spindulys, ESU= BM =…= l- kūgio generatorius. Ašinis kūgio pjūvis - lygiašonis trikampis (pavyzdžiui, trikampis AMB). Kūgio pjūvis plokštuma, lygiagreti pagrindui, yra apskritimas, panašus į pagrindą.

Kūgio paviršiaus išsiskleidimas susideda iš apskritimo ir apskritimo sektoriaus.

... Frustum.

Apibrėžimas. Sutrumpintas kūgis vadinamas geometrine figūra, gauta sukant stačiakampę trapeciją aplink jos mažesnę šoninę pusę. Kitaip tariant: sutrumpintas kūgis yra kūgio dalis, uždaryta tarp pagrindo ir kūgio dalies, lygiagrečios pagrindui. Ašinis pjūvis - lygiašonis trapecijos formos (pvz. ABB 1 A 1 ) .

B 1 A 1

... Kūgio tūris ir paviršiaus plotas.

	sutrumpintas

Čia R- apatinio pagrindo spindulys, r- viršutinio pagrindo spindulys, H- aukštis, l- generatorius.

Klausimai ir užduotys

Popierinis maišelis yra sulankstytas kūgio formos, kurio pagrindo spindulys yra 5 cm, o aukštis - 10 cm. Nustatykite maišelio paviršiaus plotą.

Kūgio generatrica yra 2 cm, o pagrindo spindulys - 1 cm. Paaiškinkite, ar jo bendras paviršiaus plotas yra didesnis ar mažesnis nei 6 cm 2.

Raskite bendrą kūgio paviršiaus plotą, jei:

a) jo pagrindo spindulys yra 2, o generatrica - 4;

b) pagrindo spindulys yra 3, o aukštis - 4;

c) pagrindo spindulys yra 4, o generatricos nuolydžio kampas prie pagrindo yra 30 0.

Raskite kūgio tūrį, jei:

a) jo pagrindo spindulys yra 2, o aukštis - 3;

b) jo pagrindo spindulys yra 3, o generatrica - 5;

c) pagrindo spindulys yra 2, o generatorius yra pasviręs į pagrindo plokštumą 30 ° kampu;

d) pagrindo spindulys yra 3, o ašinio pjūvio plotas - 12.

a ir b (a < b) pirmiausia sukasi aplink vieną, o paskui aplink kitą. Palyginti:

a) susidariusių kūgių šoninių paviršių plotas;

b) gautų kūgių pilnų paviršių plotas.

Stačiakampis stačiakampis trikampis su 2 ilgio kojelėmis pasukamas aplink hipotenuzę. Raskite gauto paviršiaus plotą.

Stačiakampis trikampis su 3 ir 4 kojelėmis yra pasukamas aplink hipotenuzę. Raskite gauto paviršiaus plotą.

Stačiakampis trikampis su 6 cm ir 8 cm kojomis sukasi aplink mažesnę koją. Apskaičiuokite šio sukimosi metu susidariusio kūgio šoninio ir bendro paviršiaus plotus.

Stačiakampis trikampis su kojelėmis a ir b pasukti aplink hipotenuzę. Raskite gauto revoliucijos kūno tūrį.

Lygiagretainis, kurio kraštinės yra 6 cm ir 8 cm, o kampas 60 0, pasukamas aplink tiesę, kurioje yra didesnė lygiagretainio kraštinė. Raskite gauto paviršiaus plotą.

Kampas tarp generatricos ir kūgio ašies yra 45 °, generatrix yra 6,5 ​​cm.Suraskite kūgio šoninio paviršiaus plotą.

Kūgio ašinis skerspjūvio plotas yra 0,6 cm². Kūgio aukštis 1,2 cm.Skaičiuokite bendrą kūgio paviršiaus plotą.

Raskite kūgio tūrį, jei jo pagrindo plotas yra Q, o šoninio paviršiaus plotas - P.

Kūgio aukštis yra lygus jo pagrindo skersmeniui. Raskite kūgio tūrį, jei jo aukštis yra H.

Raskite kūgio tūrį, jei jo generatrija yra 13 cm, o ašinio pjūvio plotas - 60 cm².

Sutrumpinto kūgio pagrindų spinduliai yra 3 m ir 6 m, o generatrija - 5 m. Raskite sutrumpinto kūgio tūrį.

Svarstomas kūgis, kurio pagrindo spindulys yra 5 cm, o generatrica - 3 cm. Pjūvis, lygiagretus kūgio pagrindui, ištraukiamas per generatricos tašką, esantį 1 cm atstumu nuo viršūnės. Iš eilės atlikite šias užduotis:

a) raskite šio skyriaus sritį;

b) rasti duoto kūgio šoninio paviršiaus plotą;

c) rasti kūgio šoninio paviršiaus plotą, nupjautą nupiešta plokštuma;

d) rasti nupjauto plokštumos nupjauto sutrumpinto kūgio šoninio paviršiaus plotą;

e) rasti bendrą šio sutrumpinto kūgio paviršiaus plotą.

Raskite sutrumpinto kūgio generatriką, jei pagrindo spinduliai yra 3 cm ir 6 cm, o aukštis - 4 cm.

Kūgio pagrindo plotas yra 12 cm², jo aukštis-6 cm. Raskite jo skerspjūvio plotą, lygiagretų pagrindui ir nubrėžtą:

a) per aukščio vidurį;

b) 2 cm atstumu nuo kūgio viršaus;

c) 4 cm atstumu nuo kūgio viršaus.

Raskite kūgių, kurių pagrindai yra nagrinėjami skyriai, tūrį, o viršus - duoto kūgio viršus.

Kūgio pagrindo plotas yra 25 cm², o aukštis - 5 cm, 1 cm atstumu nuo viršaus lygiagrečiai pagrindui brėžiamas pjūvis. Raskite nupjauto pjūvio nupjauto kūgio tūrį.

Kūgio aukštis 5 cm, 2 cm atstumu nuo viršaus jį kerta plokštuma, lygiagreti pagrindui. Raskite pradinio kūgio tūrį, jei mažesnio kūgio, nukirsto nuo originalo, tūris yra 24 cm³.

Aukštis sutrumpintame kūge yra žinomas h sudarantis l ir plotą Sšoninis paviršius. Raskite kraštinį ašies plotą ir tūrį.

§ 24. Revoliucijos kūnai.

Cilindras, kūgis ir sutrumpintas kūgis.

1. Kvadratas su šonu a sukasi aplink statmeną įstrižainei, nubrėžtą per jos galą. Nustatykite gauto kūno tūrį ir paviršių.

2. Kvadratas su šonu a sukasi aplink išorinę ašį, kuri yra lygiagreti jos šonui ir yra atstumu nuo jos kraštinės ilgiu. Būtina: 1) nustatyti gauto kūno tūrį ir paviršių; 2) nustatyti, kokiu santykiu tūris, susidarantis sukant kvadratą, bus padalintas iš paviršiaus, kuris bus aprašytas jo įstrižaine.

3. Lygiakraštis trikampis sukasi aplink statmeną šonui, nubrėžtą per jo galą. Koks yra trikampio kraštinių aprašytų paviršių santykis?

4. Lygiakraštis trikampis pirmiausia sukasi aplink kraštą, o po to - lygiagrečiai šonai, nubrėžtai per viršūnę. Antrą kartą tūris ir paviršius yra dvigubai didesni nei pirmą kartą. Įrodyti.

5. Lygiakraštis trikampis su kraštine a sukasi aplink išorinę ašį, kuri yra lygiagreti šonui ir pašalinama iš jos atstumu, lygiu trikampio apotemai. Nustatykite gauto kūno tūrį ir paviršių.

6. Viena iš šalių a lygiakraščio trikampio išplečiamas iki jo vienodo ilgio, o per tęsinio galą jam brėžiamas statmuo. Nustatykite kūno tūrį ir paviršių, kuris paaiškės, jei pasuksite trikampį aplink šį statmeną.

7. Lygiakraščio trikampio aukštis ištiesiamas už viršūnės iki jo ilgio, o per tęsinio galą į jį brėžiamas statmuo. Šalia a nustatyti kūno tūrį ir paviršių, susidariusį sukant trikampį aplink šį statmeną.

8. Kvadrato kraštinės yra lygiakraščių trikampių, pastatytų išorėje, kraštinės, o gauta figūra sukasi aplink tiesę, jungiančią dviejų priešingų trikampių išorines viršūnes. Aikštės pusė yra a ... Nustatykite gauto kūno tūrį ir paviršių.

9. Šone a iš taisyklingo šešiakampio nustatyti jo sukimosi suformuotų kūnų tūrį ir paviršių: 1) aplink skersmenį; 2) aplink apothemą.

10. Šone a taisyklingo šešiakampio, kad būtų galima nustatyti kūno tūrį ir paviršių, suformuotą sukantis aplink šoną.

11. a sukasi aplink ašį, einančią per jos viršūnę, statmeną šiai viršūnei nubrėžtam spinduliui. Nustatykite sukimosi kūno tūrį ir paviršių.

12. Įprastas šešiakampis su šonu a sukasi aplink išorinę ašį, kuri yra lygiagreti šonui ir yra nutolusi nuo jos apotemo ilgiu. Nustatykite gauto kūno tūrį ir paviršių.

13. Stačiakampis trikampis su 5 cm ir 12 cm kojomis sukasi aplink išorinę ašį, kuri yra lygiagreti didesnei kojai ir yra 3 cm atstumu nuo jos. Nustatykite sukimosi kūno tūrį ir paviršių.

14. Stačiakampis trikampis su 15 cm ir 20 cm kojomis sukasi aplink statmeną hipotenzijai, nubrėžtai per didesnio smailiojo kampo viršūnę. Nustatykite sukimosi kūno tūrį ir paviršių.

15. Trikampis, kurio kraštinės yra 9 cm, 10 cm ir 17 cm, sukasi aplink aukštį, nubrėžtą iš jo mažesnio kampo viršaus. Nustatykite gauto kūno tūrį ir paviršių.

16. Trikampis, kurio kraštinės yra 8 cm ir 5 cm, apimantis 60 ° kampą, sukasi aplink ašį, einančią per šio kampo viršūnę, statmeną mažesnei jos pusei. Nustatykite sukimosi kūno tūrį ir paviršių.

17. Tūriai, susidarantys sukant lygiagretainį iš eilės aplink dvi gretimas kraštines, yra atvirkščiai proporcingi šioms kraštinėms. Įrodyti.

18. Romas, kurio plotas lygus Q, sukasi aplink šoną. Nustatykite gauto kūno paviršių.

19. 1) Rombas su šonu a o su smailiu 60 ° kampu sukasi aplink ašį, nubrėžtą per šio kampo viršūnę, statmeną šonui. Nustatykite sukimosi kūno tūrį ir paviršių.

2) Ta pati problema 45 ° kampu.

20. Lygiašonė trapecija, kurios smailusis kampas yra 45 °, o šoninė pusė lygi mažesnei bazei, sukasi aplink šoninę pusę. Išilgai savo ilgio a nustatyti revoliucijos kūno tūrį ir paviršių.

21. Trapecija yra užrašyta R spindulio puslankiu taip, kad jo apatinė bazė būtų šio apskritimo skersmuo, o šoninė pusė susitrauktų 30 ° lanku. Nustatykite kūno tūrį ir paviršių, susidariusį sukant šią trapeciją aplink spindulį, statmeną jo pagrindui.

22. AB yra duoto R spindulio puslankio skersmuo; BC lankas, kuriame yra 60 °. Akordas AC ir liestinė CD yra nubrėžti, kur D yra taškas ant skersmens AB pratęsimo. Nustatykite kūno tūrį ir paviršių, gautą sukant ACD trikampį aplink AD ašį.

Rutulys ir jo dalys.

23. R spindulio puslankiu nuo jo skersmens AB galo uždedamas 60 ° IUD lankas, o taškas C prijungiamas prie A. Nustatykite kūno tūrį ir paviršių, kuris susidaro, jei figūra pasukama aplink AB , ribojamas AB skersmens, kintamosios srovės akordo ir spiralės lanko.

24. Ant spindulio R puslankio nuo jo skersmens AB galo nusėda 45 ° BMC lankas, iš taško C nubrėžta liestinė linija, kertanti AB skersmens tęsinį taške D. Paveikslas, apribotas tiesiomis linijomis BD ir CD bei BMC lankas sukasi aplink BD. Nustatykite gauto kūno tūrį ir paviršių.

25. О - R spindulio AMC lanko centras; B taškas OA spindulio pratęsime; BC-lanko liestinė AMC; CD - statmenas spinduliui OA. Figūra sukasi aplink OB ašį. Nustatykite atstumą OD, jei paviršius, susidaręs sukantis AMC lankui, dalija tūrį, susidarantį sukantis OCV trikampiui aplink OB ašį.

26. AMC, CND ir DPB - iš eilės einantys puslankio trečdaliai, kurių skersmuo AB ir centras O. Nubrėžti spinduliai OC ir OD bei akordai AC ir AD, o figūra sukasi apie skersmenį AB. Įrodykite, kad skaičiai ACND ir OCND apibūdins vienodus tūrius, sudarančius kiekvieną rutulio tūrio pusę.

27. Apskritas segmentas sukasi aplink skersmenį lygiagrečiai akordui. Įrodykite, kad gautas tūris yra lygus rutulio, kurio skersmuo lygus segmento akordui, tūriui.

28. 1) AOB - kvadrantas su centru O ir spinduliu R; AMC - lankas, kuriame yra 60 °; AD - liestinė, o D yra jos susikirtimo su OS spindulio tęsiniu taškas. Figūra, kurią riboja segmentai AD ir CD bei lankas AMC, sukasi aplink spindulį OB. Nustatykite gauto kūno tūrį ir paviršių.

2) Ta pati problema, kai AMC lankas lygus 45 °.

Guldeno teoremos.

29. Patikrinkite abi Guldeno teoremas, ar nėra sukimosi atvejų:

1) stačiakampis aplink vieną jo kraštą;

2) rombas su šonu a ir aukštis h aplink vieną jos pusę;

3) taisyklingas trikampis su kraštine a aplink ašį, einančią per viršūnę, lygiagrečią pagrindui;

4) stačiakampis trikampis aplink vieną iš kojų;

5) stačiakampis trikampis aplink hipotenuzę.

30. Geležinio žiedo skerspjūvis - kvadratas su šonu a = 4 cm; vidutinis žiedo skersmuo d = 80 cm, o jo savitasis svoris yra 8,6. Raskite žiedo svorį.

31. Gelbėjimo ratas, kurio skerspjūvis yra apskritimas, gali būti laikomas kūnu, atsirandančiu sukantis apskritimui aplink ašį. Sekcijos skersmuo d = 12 cm; išorinis gelbėjimosi rato skersmuo D = 75 cm Apskaičiuokite gelbėjimo rato paviršių ir jo tūrį.

32. Lokomotyvų depas plane yra pusės žiedo formos (44 pav.), Kurio vidinis skersmuo 20 m; pusžiedžio plotis 9 m; depo skerspjūvyje atrodo kaip stačiakampė trapecija ABCD, kurios lygiagrečios kraštinės yra 4,25 m ir 6,5 m. Raskite depo tūrį.

33. Trikampio kraštinės yra 9 cm, 10 cm ir 17 cm.Trikampis sukasi apie didesnį aukštį. Nustatykite sukimosi kūno paviršiaus tūrį.

34. Įrodykite, kad tūriai, gauti gavus sukant trikampį aplink pagrindą ir aplink tiesę, lygiagrečią pagrindui, einantį per trikampio viršūnę, yra susiję kaip 1: 2.

2 puslapis

Stačiakampiai trikampiai, suformuoti atitinkamai taškais O, (a b) / 2, t ir 0, (a a) / 2, t, iš tikrųjų yra panašūs.

Stačiakampis trikampis su 5 ežio kojelėmis ir 12 cm sukasi aplink išorinę ašį, kuri yra lygiagreti didesnei kojai ir yra 3 cm atstumu nuo jos. Nustatykite sukimosi kūno tūrį ir paviršių.

Stačiakampis trikampis su 15 cm ir 20 cm kojomis sukasi aplink statmeną hipotenzijai, nubrėžtą per didesnio smailiojo kampo viršūnę.

Stačiakampiai trikampiai yra panašūs, jei jie turi vienodą smailųjį kampą.

Stačiakampiai trikampiai yra panašūs, jei vieno kojos yra proporcingos kito kojoms.

Stačiakampis trikampis gali turėti kraštines, kurių kiekvienas yra sveikas skaičius. Trijų sveikųjų skaičių rinkinys, skirtas stačiojo trikampio kraštinėms, vadinamas Pitagoro tripletu. Šios trys pusės turi atitikti tokį ryšį: dviejų kojų kvadratų suma lygi hipotenuzės kvadratui. Naudokite trigubai įdėtą kilpą, kuri tiesiog kartoja visas galimybes. Tai brutalios jėgos skaičiavimo pavyzdys. Daugeliui tai nesuteikia estetinio pasitenkinimo. Tačiau yra daug priežasčių, kodėl šie metodai yra svarbūs. Pirma, skaičiavimo galiai augant tokiu nepaprastu greičiu, sprendimus, kuriems pasiekti prireikė metų ar net šimtmečių kompiuterio, naudojant technologijas, kurios buvo naudojamos tik prieš keletą metų, dabar galima gauti per kelias valandas, minutes ar net sekundes .... Šiuolaikinės mikroprocesorių grandinės gali apdoroti daugiau nei 100 milijonų operacijų per sekundę. Ir 90 -aisiais, greičiausiai, turėtų atsirasti mikroprocesorių grandinės, galinčios apdoroti milijardą operacijų per sekundę. Antra, kaip jūs išmoksite tęsdami informatikos kursus, yra daug įdomių problemų, kurioms nežinomi kiti nei brutalios jėgos algoritminiai metodai.

Aplink hipotenziją sukasi stačiakampis trikampis su 12 cm ir 16 cm kojomis.

Stačiakampiai trikampiai, kurių kraštinės matuojamos sveikais skaičiais.

Aplink didesnę koją sukasi stačiakampis trikampis su 8 cm ir 15 cm kojomis.

Stačiakampis trikampis su sritimi S ir smailiu kampu a sukasi aplink ašį, kurioje yra hipotenuzė.

Stačiakampis trikampis su sritimi S ir smailiu kampu a sukasi apie ašį, nubrėžtą per stačiakampio viršūnę, lygiagrečią hipotenuzei.

Stačiakampis trikampis su a koja ir priešingu 30 kampu sukasi aplink hipotenziją.

Stačiakampis trikampis juda plokštumoje taip, kad jo aštrių kampų viršūnės slenka išilgai dviejų tarpusavyje statmenų tiesių. Kokią formą sudaro šio trikampio stačiojo kampo viršūnės.

Lygiosios

6.1. Tegul tai teisinga prizmė. Perkėlimą nustato vektorius: a) 0,5AB; b) AO, kur O yra apatinio pagrindo centras. Šiuo perkėlimu nupieškite prizmės vaizdą. Nubrėžkite pradinių ir gautų prizmių sąjungą ir sankirtą.

6.2. Duotas įprastas tetraedras. Nubrėžkite tetraedrą, kuris gaunamas iš duoto, kaip: a) centrinė simetrija apie aukščio vidurį; b) veidrodžio simetrija plokštumos, einančios per statmeną aukščio vidurį, atžvilgiu; c) pasukti 60 ° aplink savo aukštį; d) pasukite 90 "aplink liniją, jungiančią priešingų kraštų vidurio taškus. Nubrėžkite originalo ir gautos tetraedros sąjungą ir sankirtą.

6.3. Duotas kubas. Nubraižykite kubą, gautą iš duoto, kai: a) perkeliate į vektorių, nukreiptą išilgai jo įstrižainės, pusę šios įstrižainės; b) centrinė simetrija apie tašką, esantį jo įstrižainėje ir padalijant jį santykiu 2: 1; c) veidrodžio simetrija apie plokštumą, kertančią ją išilgai taisyklingo šešiakampio; d) Pasukite 90 "aplink tiesią liniją, einančią per dviejų lygiagrečių kraštų, kurie nėra viename paviršiuje, vidurio taškus. Nubrėžkite pradinių ir gautų kubelių sąjungą ir sankirtą.

6.4. Nubrėžkite kūnus, kuriuos galite gauti sukdami apskritimą

6.5. Nubrėžkite kūnus, gautus sukant: a) kubą aplink kraštą; b) kubas aplink įstrižainę; c) taisyklingas tetraedras aplink kraštą; d) kūgį aplink tiesę, lygiagrečią ašiai ir einančią už jos ribų.

Planuoja

6.6. Kaip iš 6.1, 6.2 užduočių rasti formų - sąjungų ir sankryžų - tūrį ir paviršiaus plotą?

6.7. Kaip rasti figūrų tūrį ir paviršiaus plotą iš 6.5 problemos?

Pristatome

6.8. Ar kūno simetrijos centras negali jam priklausyti?

6.9. Du lygūs segmentai: a) lygiagretus; b) turi lygiai vieną bendrą tašką; c) mišrūnas. Kokiu judesiu vienas iš jų gali būti rodomas kitame?

6.10. Du linijų segmentai yra simetriški vienas kitam dviejų plokštumų atžvilgiu. Kokia bus forma, jei jų galai bus nuosekliai sujungti segmentais?

6.11. Visos įmanomos plokštumos nubrėžtos per tam tikrą tiesę. Šis taškas atsispindi iš visų šių plokštumų. Kokią formą sudaro visi gauti taškai?

6.12. Ar tiesa, kad: a) pasviręs gretasienis, kurio du paviršiai statmeni pagrindui, turi simetrijos plokštumą; b) tarp lygiagretainio su simetrijos plokštuma paviršių yra stačiakampiai; c) ar lygiagretainis, turintis dvi simetrijos plokštumas, yra stačiakampis?

6.13. Kaip supjaustyti kubą į tris lygias piramides?

Mes vertiname

6.14. Stačiakampis trikampis su hipotenuzė d sukasi aplink vieną iš kojų. Kokiomis sąlygomis revoliucijos kūno tūris bus didžiausias?

6.15. Lygiašonio trikampio perimetras yra P. Šis trikampis sukasi aplink pagrindą. Kuris iš šių trikampių suteikia didžiausią revoliucijos kūno tūrį?

Mes galvojame

6.16. Kubo centras atsispindi kiekvieno jo paviršiaus plokštumoje. Įrodykite, kad gauti taškai yra oktaedro viršūnės. Ar tokiu būdu galima gauti kitų įprastų daugiakampių?

6.17. Šiame kamuoliuke yra:

a) taisyklingas tetraedras;

b) kubas. Šio daugiakampio veidai buvo išplėsti, kad kertėtų sferą. Į kokias figūras padalijo? Į kokias figūras kamuolys suskilo? Kiek iš jų yra lygūs vienas kitam?

Tyrinėja

6.18. Ar erdvės judėjimas yra toks virsmas, kai taškas su koordinatėmis sutampa su tašku su koordinatėmis:

6.19. Daugiakampis turi simetrijos centrą, riboto rutulio centrą, užrašyto rutulio centrą ir masės centrą. Kiek iš šių taškų gali sutapti?

Įeiname į universitetą

6.20. Iš rutulio skersmens galo ištraukiamas akordas, kad paviršius, susidaręs sukant jį aplink šį skersmenį, padalintų rutulio tūrį į dvi lygias dalis. Nustatykite kampą tarp stygos ir skersmens.

6.21. Lygiakraštis trikampis, kurio kraštinė a, sukasi aplink išorinę ašį, lygiagrečią trikampio kraštinei ir yra nutolusi nuo jo atstumu, lygiu pusei trikampio aukščio. Raskite revoliucijos kūno tūrį.

6.22. Trikampis sukasi aplink bisektorių AD. Įrodykite, kad šonų AB ir AC aprašyti paviršių plotai yra susiję su tūriais, gautais sukant dalis ABD ir

6.23. Lygiašonis trikampis, kurio pagrindas lygus a, o kampas prie pagrindo yra a, sukasi aplink tiesią liniją, einančią per vieną iš statmenų pagrindo galų. Raskite gauto revoliucijos kūno paviršiaus plotą.

6.24. Kvadrato ABCD dalis, kuri lieka po to, kai iš jos išpjaunamas ketvirtis apskritimo, kurio viršūnėje D yra centas, o spinduliai yra lygūs kvadrato kraštinei, sukasi aplink ašį, einančią per D, lygiagrečią įstrižainei AC. Raskite gauto sukimosi kūno tūrį, jei kvadrato kraštinė lygi a.

6.25. Stačiakampio trapecijos ABCD plotas lygus, aukščio AB ilgis lygus h, trapecijos smailiojo kampo ADC dydis

yra lygus a. Kompaktinės plokštelės šone taškas E imamas taip, kad. Raskite kūno tūrį, gautą sukant keturkampį ABED aplink tiesę AB.

6.26. Raskite kūno tūrį, gautą sukant taisyklingą šešiakampį aplink šoną, lygų a

6.27. Taškai A ir B pateikiami R spindulio puslankio apskritime. Jei N yra vienas iš skersmens galų, o O yra apskritimo centras, tada nustatykite viso suformuoto kūno paviršiaus plotą sukant apskrito sektoriaus AOB skersmenį.

6.28. Jums suteikiamas įprastas tetraedras ABCD. Kiekviena jo viršūnė simetriškai atsispindi priešingo paviršiaus plokštumos atžvilgiu, todėl atitinkamai gaunami KLMN taškai. Raskite originalo ir gautos tetraedros tūrių santykį.

6.29. Tetraedre brėžiami segmentai, jungiantys jo viršūnes su priešingų veidų vidurių susikirtimo taškais. Visi jie susikerta taške O. Antrasis tetraedras yra simetriškas pirmajam taško O atžvilgiu. Pradinio tetraedro tūris yra V. Raskite dviejų tetraedrų bendrosios dalies tūrį.

Atsakymas: 0,5 V.

6.30. Taisyklingosios prizmės pagrindo kraštinės ilgis yra a, o šoninio krašto ilgis - 1,125a. Taškas E yra krašto AB vidurys, o taškas M yra atkarpoje EC ir EM EC. Antroji prizmė yra simetriška prizmei tiesios linijos atžvilgiu. Raskite šių prizmių bendrosios dalies tūrį.

6.31. Duotas taisyklingas V tūrio tetraedras. Antrasis tetraedras gaunamas iš pirmojo, pasukus jį kampu

ir aplink tiesią liniją, jungiančią tetraedro kirtimo briaunų vidurio taškus. Raskite šių dviejų tetraedrų bendrosios dalies tūrį.

6.32. Kubas su kraštu a yra pasuktas 90 "aplink tiesią liniją, jungiančią dviejų lygiagrečių kraštų, kurie nėra viename paviršiuje, vidurio taškus. Raskite pradinio ir pasukto kubo bendrosios dalies tūrį.

6.33. Taisyklinga trikampė piramidė, kurios pagrindinė pusė a, pasukama aplink simetrijos ašį 60 kampu. Nustatykite bendrosios pradinės ir pasuktos piramidės dalies tūrį, jei šoniniai paviršiai yra stačiakampiai trikampiai.

6.34. Į R spindulio rutulį įrašytas taisyklingas tetraedras. Pasukus jį kampu, aplink aukštį gaunamas naujas tetraedras, įrašytas į rutulį. Raskite rutulio dalies, kuri yra išorinė abiejų tetraedrų, tūrį.

6.35. Sukimosi kūgis aplink ašį yra tiesi linija, statmena jo aukščiui ir einanti per viršūnę. Raskite sukimosi kūno skerspjūvio plotą plokštuma, einančia per sukimosi ašį, jei kūgio generatūra yra 5, o aukštis-4.

26 UŽDUOTYS

Teorijos papildymas

6.36. Įrodykite, kad dėl to plokštuma patenka į lygiagrečią plokštumą (jei ne į save):

a) perdavimas; b) centrinė simetrija.

Planuoja

6.37. Kube taškas O yra veido ABCD centras. Kaip apskaičiuoti kampą tarp tiesios B, O ir:

a) tiesi plokštuma

d) lėktuvas

6.38. Tegul PABCD yra piramidė, kurios pagrinde yra rombas ABCD. RVTSAVS). Raudonųjų kraujo kūnelių paviršiaus plotas lygus S. Per tašką K - krašto AD vidurį - pjūvis nubrėžtas lygiagrečiai plokštumai RAB. Kaip rasti jo plotą?

6.39. Kiekvienas taisyklingo tetraedro šoninis paviršius sukasi aplink pagrindo kraštus tuo pačiu kampu į išorę. Taip gautas daugiakampis, turintis šešias viršūnes ir lygius kraštus. Kokiu kampu pasisuko veidai?

Pristatome

6.40. Ar vienoje plokštumoje bus dvi vienodos apskritos sekcijos dviem skirtingiems kūgiams, jei jos stovės toje pačioje plokštumoje vienoje jos pusėje?

6.41. Du apskritimai yra centriškai simetriški ir nėra vienoje plokštumoje. Ar tiesa, kad jie guli ant: a) vienos sferos paviršiaus; b) vienas cilindras? O jei šie apskritimai yra veidrodiniai simetriški?

6.42. Tokiu atveju du yra lygūs:

a) kamuolys; b) cilindras; c) ar kūgiai yra centriškai simetriški? Veidrodis simetriškas?

6.43. Kaip paversti kamuolį į save?

6.44. Tai, kas paverčia vieną iš šių figūrų, priskiriama kitam, jei šie skaičiai yra: a) dvi tiesės; b) du lėktuvai; c) du vienodi rutuliai? Ar yra tokia rotacija, pagal kurią antrasis skaičius bus susietas su pirmuoju?

6.45. Ar visada sukdami išgaubtą figūrą gauname išgaubtą kūną?

Mes galvojame

6.46. Naudodami perkėlimo savybes įrodykite, kad: a) du statmenys vienai plokštumai yra lygiagrečiai; b) dvi plokštumos, statmenos vienai tiesei, yra lygiagrečios; c) jei tiesi linija lygiagreti tiesiai, statmenai plokštumai, vadinasi, ji statmena plokštumai; d) dviakampio kampo tiesiniai kampai yra lygūs vienas kitam.

6.47. Įrodykite, kad dviejų plokštumų sąjunga yra figūra: a) centriškai simetriška; b) veidrodinis simetriškas.

6.48. Tiesė b gaunama iš a linijos atspindint plokštumoje a. Šios linijos turi bendrą tašką. Įrodykite, kad šis taškas yra plokštumoje a.

6.49. R spindulio rutuliu per centrą nubrėžtos dvi plokštumos, sudarančios kampą viena su kita. Kaip žinoti, kokiu santykiu jie sulaužė kamuolio tūrį?

6.50. Pro kampo bisektorių buvo nubrėžta plokštuma. Įrodykite, kad kampo kraštinės su juo sudaro vienodus kampus.

Tyrinėja

6.51. Ar įmanoma užpildyti visą erdvę lygiagretaisiais? Ar tai gali padaryti kitos lygiavertės daugiakampės?

6.52. Ar centriškai simetriško kūno dalis, einanti per simetrijos centrą, bus centriškai simetriška?

6.53. Kūnas yra simetriškas centre. Ar jo stačiakampė projekcija bus centriškai simetriška? Ar būtų priešingai?

6.54. Kiekvienas iš dviejų kūnų yra centriškai simetriškas. Ar jie bus centriškai simetriški: a) suvienijimas; b) sankryža?

6.55. Centrinis simetriškas kūnas buvo padalintas plokštuma. Viena jo dalis pasirodė esanti centriškai simetriška. Ar kita jo dalis bus tokia pati?

6.56. Ar yra daugiakampis, turintis iš anksto nustatytą simetrijos plokštumų skaičių?

UŽDUOTYS 27 §

Teorijos papildymas

6.57. Įrodykite, kad dviejų atspindžių susikertančiose plokštumose sudėtis yra sukimasis, o dviejose lygiagrečiose plokštumose - lygiagretus vertimas.

6.58. Nubrėžkite figūrą, kuri virsta savimi dėl: a) varžto; b) veidrodžio sukimasis; c) ganymo atspindys.

6.59. Tegul kubas. Dėl tam tikrų judesių jis pereina į kitą kubą. Nubrėžkite šį kitą kubą, jei judesys yra toks: a) varžtas su sukimosi ašimi, einančia per veidų centrus

pagal vektorių a sukimosi kampas yra lygus veidrodžio sukimui su sukimosi ašimi ir atspindžiui plokštumoje, statmenoje tiesei ir einančiai per kubo centrą; c) slankus atspindys, kai atspindys vyksta plokštumoje, statmenoje kubo įstrižainei ir einančiai per kubo centrą, o vektorius lygus AC.

6.60. Tegul PABC yra įprastas tetraedras. Dėl judėjimo jis pereina į kitą tetraedrą. Nubrėžkite šį kitą tetraedrą, jei judesys yra:

a) varžtas su sukimosi ašimi, pagrindo centras), 60 "sukimosi kampas ir vektorius

b) veidrodžio sukimasis su PQ sukimosi ašimi, 60 ° pasukimo kampu ir atspindžio plokštuma, statmena PQ ir einanti per aukščio vidurį

c) ganymo atspindys atspindžio plokštuma, einančia per PB ir K - kintamosios srovės vidurį, ir 0,5 KB vektorius.

Pristatome

6.61. Ar išsaugota pagrindo orientacija: a) perdavimas; b) centrinė simetrija; c) veidrodžio simetrija; d) pasukti; e) varžtas; f) veidrodžio sukimasis; g) sklandymo atspindys?

6.62. Ar judesys turi fiksuotus taškus, jei šis judesys: a) perkelia; b) centrinė simetrija; c) veidrodžio simetrija; d) pasukti; e) varžtas; f) veidrodžio sukimasis; g) sklandymo atspindys?

6.63. Pateikti du lygūs stačiakampiai trikampiai. Kokius judesius galima sujungti, jei jie turi bendro: a) lygių pusių viršus; b) pagrindo šoną; c) šoninė pusė; d) bazės vidurkis; e) šonų vidurio linija?

c) vienas jo aukštis kitam;

d) segmentas, jungiantis priešingų kraštų vidurio taškus su kitu panašiu segmentu;

e) vienos simetrijos plokštumos pjūvis kitam yra tas pats;

f) sekcija, kuri yra kvadratas, yra tokia pati kitai? Ar atliekant tokį judesį antroji figūra taip pat bus rodoma pirmame?

6.66. Dėl to, kokie judesiai rodomi patys:

a) segmentas; b) tiesus; c) apskritimas; d) kvadratas; e) taisyklingas daugiakampis; f) rombas; g) plokštuma; h) dviakampis kampas?

6.67. Dėl kokių judesių ant savęs rodomas PAVS tetraedras, kuriame: a); b)

6.68. Kūnas yra dviejų rutulių sąjunga, o ne kamuolys. Kokiais judesiais jis rodomas ant savęs?

6.69. Keturkampėje piramidėje: a) visi šoniniai kraštai yra lygūs, o priešingi plokštumos kampai viršūnėje yra lygūs;

b) visi plokšti viršūnių kampai yra lygūs, o priešingi šoniniai kraštai - lygūs. Kokiais judesiais jis gali būti suderintas?

6.70. Kokius judesius rodo antiprizmas?

6.71. Kaip padalinti kubą į: a) 8 vienodus kubelius; b) 6 lygios piramidės; c) 3 lygios piramidės; d) 4 lygios trikampės prizmės?

6.72. Kaip padalinti tiesią trikampę prizmę į 3 vienodus tetraedrus? Ar tarp jų yra lygių?

6.73. Kaip padalinti gretasienį į: a) 6 lygias piramides; b) trys lygios piramidės? Ar tarp jų yra lygių?

6.74. Rutulyje, kurio spindulys yra 1, buvo nubrėžti trys spinduliai OA, OB, OS, iš kurių kas du yra statmeni. Kokią sferos tūrio dalį riboja didžiųjų sferos apskritimų ketvirčiai OAB, OAS, OBC ir paviršius? Kokia paviršiaus dalis?

Mes galvojame

6.75. Dvi taisyklingos keturkampės piramidės ir turi bendrą bazę ABCD. Taškas K yra krašto vidurio taškas, taškas L yra krašto vidurio taškas, taškas M yra veido vidurio vidurių susikirtimo taškas, taškas N - veido vidurio taškų susikirtimo taškas. Įrodyk tai:

e) atstumas nuo taško K iki plokštumos lygus atstumui nuo taško L iki RHVS plokštumos.

Tyrinėja

6.76. Paimkite bet kokių dviejų jums žinomų judesių kompoziciją ir sužinokite: a) ar ji keičia plokštumos orientaciją; b) ar jis turi fiksuotų taškų?

6.77. Kiek fiksuotų taškų gali turėti kiekvienas pažįstamas judesys? Kaip jie yra? Ir kiek fiksuotų tiesių linijų ji gali turėti? Lėktuvai?

6.78. B eilutė gaunama iš a linijos tam tikru judesiu. Nustatykite šių tiesių linijų vietą, jei tai yra judesys: a) varžtas; b) veidrodžio sukimasis; c) veidrodinis atspindys.

Mes perjungiame

6.79. Viela suvyniota ant R spindulio ir H aukščio cilindro. Kaip žinoti jo ilgį?

6.80. Turite suprojektuoti spiralinius laiptus. Kaip veiksite toliau?

6.81. Ar galite paaiškinti, kaip veikia kampinis atšvaitas? Jį sudaro trys poromis statmeni veidrodžiai.

Studijuodami temos medžiagą turite išmokti:

· Revoliucijos kūnų tipai;

· Revoliucijos kūnų apibrėžimai;

· Revoliucijos kūnų elementų apibrėžimai;

· Cilindro ir kūgio valymo sąvokos;

· Baliono ir kūgio šoninio ir viso paviršiaus nustatymas ir apskaičiavimas;

· Sferos liestinės plokštumos ir jos savybių nustatymas;

· Sferos paviršiaus ploto samprata;

· Sferoje įrašytas ir aplink jį aprašytas daugiakampis.

Sprendžiant problemas, išbandomi šie įgūdžiai:

· Pavaizduoti revoliucijos kūnus;

· Apskaičiuoti revoliucinių kūnų elementus;

· Pavaizduoti kūnų skyrius;

· Apskaičiuokite cilindro ir kūgio šoninio ir viso paviršiaus plotą;

· Sudarykite sferos lygtį.

Teoriniai klausimai

1 variantas

1. Cilindrinio paviršiaus samprata ir jos elementai. Suformuluokite cilindro ir jo elementų apibrėžimą.

2. Išveskite sferos paviršiaus ploto apskaičiavimo formulę.

3. Raskite šoninio paviršiaus ploto ir kūgio ašinio pjūvio santykį.

2 variantas

1. Kūginio paviršiaus samprata. Suformuluokite kūgio ir jo elementų apibrėžimą.

2. Nustatykite aprašytos sferos centro padėtį apie taisyklingą keturkampę piramidę. Įrodykite savo teiginį.

3. Raskite šoninio paviršiaus plotų ir cilindro ašinės dalies santykį.

3 variantas

1. Suformuluokite sutrumpinto kūgio ir jo elementų apibrėžimą.

2. Nustatykite rutulio centro padėtį, įrašytą į taisyklingą trikampę piramidę. Įrodykite savo teiginį.

3. Įrodykite, kad visas lygiakraščio kūgio paviršius yra lygus rutulio, kurio skersmuo yra kūgio aukštis, paviršiui.

4 variantas

1. Suformuluokite rutulio ir rutulio apibrėžimus. Užrašykite R spindulio sferos, esančios taške O (0; 0; 0) ir taške A (x0; y0; z0), lygtis.

2. Išveskite kūgio šoninio paviršiaus apskaičiavimo formulę.

3. Įrodykite, kad bendras cilindro paviršiaus plotas yra lygus kito to paties spindulio cilindro šoninio paviršiaus plotui, kurio aukštis yra lygus spindulio ir duoto aukščio sumai cilindras.

Savarankiškas darbas 17

1 variantas

1. Cilindro ašinio pjūvio plotas yra 16. Raskite šio cilindro sekcijos plotą, kuris yra lygiagretus ašiai ir yra nuo jo atstumu, lygiu pusei pagrindo spindulio cilindro.

2. Puslankis sulankstytas į kūginį paviršių. Raskite kampą tarp generatoriaus ir kūgio aukščio.

3. Dviejų rutulių spinduliai yra 16 ir 20 dm, atstumas tarp jų centrų - 25 dm. Raskite apskritimo, kuriame susikerta jų paviršiai, ilgį.

2 variantas

1. Cilindro pagrindo spindulys yra 26 cm, sudarant 4,8 dm. Kokiu atstumu nuo cilindro ašies turėtų būti nubrėžta dalis, lygiagreti ašiai ir turinti kvadrato formą?

2. Sektoriaus spindulys 3 m, jo ​​kampas 120 °. Sektorius sulankstytas į kūginį paviršių. Raskite kūgio pagrindo spindulį.

3. Rombo įstrižainės yra 30 ir 40 cm.Sferinis paviršius liečia visas rombo puses. Raskite atstumą nuo rutulio centro iki rombo plokštumos, jei rutulio spindulys yra 13 cm.

3 variantas

1. Cilindro pagrindo spindulys yra 12 cm Raskite atstumą tarp ašinio pjūvio ir sekcijos su puse ploto.

2. Kūgio šoninio paviršiaus šlifavimo kampas yra 120 °. Kūgio generatrica yra 15 cm.Skaičiuokite kūgio pagrindo skersmenį.

3. Ant rutulio uždedamas rombas, kurio spindulys yra 10 cm, todėl kiekviena jo pusė, lygi 12,5 cm, liečia kamuolį. Rombo plokštuma yra 8 cm nuo rutulio centro. Raskite rombo plotą.

4 variantas

1. Per cilindro generatūrą brėžiamos dvi viena kitai statmenos sekcijos, kurių plotai yra lygūs 60 ir 80 dm. Raskite ašinio pjūvio plotą.

2. Kūgio pagrindo spindulys yra 12 cm, sudarant 40 cm.Skaičiuokite šio kūgio šlifavimo kampą.

3. Trikampio kraštinės yra 10 colių, 10 colių ir 12 colių. Raskite atstumą nuo trikampio plokštumos iki rutulio centro, liečiančio trikampio kraštus. Sferos spindulys yra 5 dm.

Savarankiškas darbas 18

1 variantas

1. Cilindro ašinio pjūvio įstrižainė yra 25% didesnė už jo pagrindo skersmenį. Raskite visą cilindro paviršių, jei atstumas tarp jo centrų yra 15 cm.

2. Cilindro šoninio paviršiaus raida - kvadratas, kurio kraštinė yra 4 coliai. Raskite cilindro tūrį.

3. Sutrumpinto kūgio ašinio pjūvio įstrižainės yra tarpusavyje statmenos, kūgio aukštis H, formuojantis l. Raskite kūgio pusę.

4. Kūgio pagrindo spindulys yra 12 cm, sudarant 40 cm.Suraskite kūgio šoninio paviršiaus šlifavimo kampą.

5. Sutrumpinto kūgio generatrica yra 10 cm, skirtumas tarp pagrindų - 6 cm, ašinio pjūvio plotas - 112 cm2. Raskite kūgio pusę.

6. Lygiagretainis, kurio kraštinės yra 21 cm ir 89 cm, o įstrižainė yra 100 cm, sukasi aplink mažesnę kraštą. Raskite revoliucijos kūno tūrį.

7. Stačiakampis trikampis su 16 ir 12 cm kojomis sukasi aplink hipotenuzę. Raskite sukimosi tūrį ir plotą.

2 variantas

1. Baliono šoninis paviršius yra pusė viso jo paviršiaus. Raskite visą cilindro paviršių, jei ašinės sekcijos įstrižainė yra 10 colių.

2. Bendras cilindro paviršius yra 500 p cm2, jo pagrindo skersmuo - 20 cm Raskite cilindro tūrį.

3. Sutrumpinto kūgio generatrica nurodo jo aukštį kaip 41:40. Pagrindo spinduliai yra 24 cm ir 6 cm. Raskite kūgio šoninį paviršių.

4. Kūgio šoninio paviršiaus šlifavimo kampas yra 120 °. Kūgio generatrija yra 15 cm. Raskite visą kūgio paviršių.

5. Raskite sutrumpinto kūgio aukštį, jei jo šoninis paviršius lygus bazinių plotų sumai, o pagrindo spinduliai yra R ir r.

6. Lygiašonė trapecija, kurios pagrindai yra 12 ir 18 cm, o smailus 60 ° kampas sukasi aplink mažesnį pagrindą. Raskite revoliucijos kūno paviršių ir tūrį.

7. Trikampis, kurio dvi kraštinės lygios 5 cm ir 8 cm, apjuosiantis 60 ° kampą, sukasi aplink didžiausią kraštą. Raskite revoliucijos kūno paviršių ir tūrį.

Savarankiškas darbas 19

1 variantas

1. Stačiakampis trikampis su 16 ir 12 cm kojomis sukasi aplink hipotenuzę. Raskite revoliucijos kūno paviršių.

2. Rutulinio diržo pagrindų spinduliai yra 63 ir 39 cm, o jo aukštis - 36 cm. Raskite rutulio diržo paviršių.

3. Taisyklingos trikampės piramidės aukštis h. Šoniniai šonkauliai yra tarpusavyje statmeni. Raskite aprašytos sferos spindulį.

4. Taisyklingoje trikampėje sutrumpintoje piramidėje aukštis yra 17 cm, apskritimų, apibrėžtų aplink pagrindus, spinduliai yra 5 ir 12 cm. Raskite riboto rutulio spindulį.

5. Kvadratas, kurio kraštinė lygi posūkiui, sukasi aplink statmeną įstrižainei, nubrėžtai per jo galą. Raskite gauto kūno paviršių.

2 variantas

1. Aplink didžiausią kraštą sukasi trikampis, kurio dvi kraštinės lygios 5 ir 8 cm, apimantis 60 ° kampą. Raskite revoliucijos kūno paviršių.

2. Visas rutulio segmento paviršius yra S. Nustatykite segmento aukštį, jei rutulio spindulys yra R.

3. Piramidės pagrindas yra taisyklingas trikampis, kurio kraštinė lygi 3 coliams. Vienas iš šoninių kraštų yra 2 colių ir yra statmenas pagrindui. Raskite aprašytos sferos spindulį.

4. Taisyklingos stačiakampės sutrumpintos piramidės pagrindų kraštinės 7 ir 1 dm. Šoninis šonkaulis yra nukreiptas 45 ° kampu į pagrindą.Suraskite aprašyto rutulio spindulį.

5. Taisyklingas šešiakampis su a puse sukasi aplink išorinę ašį, kuri yra lygiagreti šonui ir yra nutolusi nuo jos apotemo ilgiu. Raskite gauto kūno paviršių.

Savarankiškas darbas 20

1 variantas

1. Taisyklingos trikampės piramidės šoninis kraštas lygus b ir sudaro kampą a su pagrindine plokštuma. Lygiakraštis cilindras įrašytas į piramidę taip, kad pagrindo plokštuma slypi piramidės pagrindo plokštumoje. Raskite cilindro tūrį.

2. Piramidės pagrindas yra taisyklingas trikampis. Vienas šoninis kraštas yra statmenas pagrindinei plokštumai ir yra lygus l, o kiti du sudaro kampą a su pagrindine plokštuma. Į piramidę įrašyta tiesi prizmė, kurios trys viršūnės yra šoniniuose piramidės kraštuose, o kitos trys - ant piramidės pagrindo; prizmės šoninio paviršiaus įstrižainė yra su pagrindine plokštuma Ð b . Raskite prizmės aukštį.

3. Taisyklingoje keturkampėje prizmėje šoninio paviršiaus plotas yra q. Raskite įstrižainės pjūvio plotą.

4. Rutulio skersmeniui statmena plokštuma padalija jį į 3 ir 9 cm dalis.Kokios dalys yra padalintos į rutulio tūrį?

2 variantas

1. Kūgio ašinio pjūvio viršūnės kampas yra 2b. Pagrindo perimetras yra c. Nustatykite kūgio šoninio paviršiaus plotą.

2. Sutrumpinto kūgio ašinio pjūvio įstrižainės dalijamos iš susikirtimo taško santykiu 2: 1, skaičiuojant nuo didelės bazės. Kampas tarp įstrižainių, nukreiptų į pagrindą, yra a. Įstrižainė lygi l. Raskite kūgio tūrį.

3. Šoninis stačiakampio kraštas yra 5 cm, pagrindo kraštinės yra 6 ir 8 cm, viena iš pagrindo įstrižainių yra 12 cm Raskite lygiagretainio įstrižaines.

4. Kokia rutulio tūrio dalis yra sferinio segmento, kurio aukštis yra 0,1 rutulio skersmens, tūris?

3 variantas

1. Kūgio generatrica lygi l ir yra pasvirusi į pagrindo plokštumą kampu a. Nustatykite bendrą įbrėžto kubo paviršiaus plotą.

2. Kūgio pagrinde įrašytas kvadratas, kurio kraštinė yra a. Plokštuma, einanti per vieną iš šio kvadrato kraštinių ir kūgio viršūnę, susikirtusi su kūgio paviršiumi, sudaro lygiašonį trikampį, kurio viršūnės kampas lygus a. Raskite kūgio tūrį.

3. Taisyklingos keturkampės prizmės pagrindo kraštinė yra 15 cm, o aukštis - 20 cm. Raskite trumpiausią atstumą nuo pagrindo šono iki prizmės įstrižainės, kuri jos nesikerta.

4. Du lygūs rutuliai yra išdėstyti taip, kad vieno centras būtų ant kito paviršiaus. Kaip visos rutulių dalies tūris yra susijęs su viso rutulio tūriu?

4 variantas

1. Į kūgį įrašyta tiesi trikampė prizmė su lygiais kraštais, kurios generatrica yra pasvirusi į pagrindo plokštumą a kampu. Raskite prizmės tūrį, jei kūgio pagrindo spindulys yra R.

2. Kūgio tūris yra V. Į kūgį įrašyta piramidė, kurios pagrinde yra lygiašonis trikampis, kurio kampas a tarp šoninių kraštinių. Raskite piramidės tūrį.

3. Stačiakampio gretasienio šoninio krašto kraštas yra 1 m, pagrindo šonai yra 23 colių ir 11 colių, pagrindo įstrižainės yra 2: 3. Raskite įstrižainių pjūvių sritis.

4. Iš pagrindinės pusės a ir šoninio briaunos b suraskite visą taisyklingos šešiakampės prizmės paviršių.