Prieš skaičiuotuvus mokiniai ir mokytojai kvadratines šaknis skaičiavo rankomis. Yra keletas būdų, kaip rankiniu būdu apskaičiuoti skaičiaus kvadratinę šaknį. Kai kurie iš jų siūlo tik apytikslį sprendimą, kiti pateikia tikslų atsakymą.

Žingsniai

Pirminis faktorizavimas

Padalinkite radikalųjį skaičių į koeficientus, kurie yra kvadratiniai skaičiai. Priklausomai nuo radikalaus skaičiaus, gausite apytikslį arba tikslų atsakymą. Kvadratiniai skaičiai yra skaičiai, iš kurių galima paimti visą kvadratinę šaknį. Veiksniai yra skaičiai, kuriuos padauginus gaunamas pradinis skaičius. Pavyzdžiui, skaičiaus 8 koeficientai yra 2 ir 4, nes 2 x 4 = 8, skaičiai 25, 36, 49 yra kvadratiniai skaičiai, nes √25 = 5, √36 = 6, √49 = 7. Kvadratiniai koeficientai yra faktoriai, kurie yra kvadratiniai skaičiai. Pirmiausia pabandykite išskaidyti radikalųjį skaičių į kvadratinius koeficientus.

• Pavyzdžiui, apskaičiuokite kvadratinę šaknį iš 400 (ranka). Pirmiausia pabandykite įskaičiuoti 400 į kvadratinius koeficientus. 400 yra 100 kartotinis, tai yra, dalijasi iš 25 - tai yra kvadratinis skaičius. Padalijus 400 iš 25, gauname 16. Skaičius 16 taip pat yra kvadratinis skaičius. Taigi 400 galima įskaičiuoti į kvadratinius koeficientus 25 ir 16, tai yra, 25 x 16 = 400.
• Tai galima parašyti taip: √400 = √(25 x 16).

1. Kai kurių narių sandaugos kvadratinė šaknis yra lygi kiekvieno nario kvadratinių šaknų sandaugai, tai yra √(a x b) = √a x √b. Naudokite šią taisyklę, norėdami paimti kvadratinę šaknį iš kiekvieno kvadratinio koeficiento ir padauginti rezultatus, kad rastumėte atsakymą.

   • Mūsų pavyzdyje paimkite 25 ir 16 šaknį.
     • √ (25 x 16)
     • √25 x √16
     • 5 x 4 = 20

2. Jei radikalusis skaičius nesiskiria į du kvadratinius veiksnius (ir taip nutinka daugeliu atvejų), negalėsite rasti tikslaus atsakymo sveikojo skaičiaus pavidalu. Bet jūs galite supaprastinti problemą, išskaidydami radikalųjį skaičių į kvadratinį koeficientą ir įprastą koeficientą (skaičius, iš kurio negalima paimti visos kvadratinės šaknies). Tada imsite kvadratinę šaknį iš kvadratinio koeficiento ir paimsite bendro koeficiento šaknį.

   • Pavyzdžiui, apskaičiuokite skaičiaus 147 kvadratinę šaknį. Skaičius 147 negali būti padalytas į du kvadratinius veiksnius, tačiau jį galima padalyti į šiuos veiksnius: 49 ir ​​3. Išspręskite užduotį taip:
     • = √ (49 x 3)
     • = √49 x √3
     • = 7√3

3. Jei reikia, įvertinkite šaknies vertę. Dabar galite įvertinti šaknies vertę (rasti apytikslę reikšmę), palygindami ją su kvadratinių skaičių šaknų reikšmėmis, kurios yra arčiausiai radikalinio skaičiaus (abiejose skaičių linijos pusėse). Šakninę reikšmę gausite kaip dešimtainę trupmeną, kuri turi būti padauginta iš skaičiaus, esančio už šaknies ženklo.

   • Grįžkime prie mūsų pavyzdžio. Radikalusis skaičius yra 3. Arčiausiai jo esantys kvadratiniai skaičiai bus 1 (√1 = 1) ir 4 (√4 = 2). Taigi, √3 reikšmė yra tarp 1 ir 2. Kadangi √3 reikšmė tikriausiai yra arčiau 2 nei 1, mūsų įvertis yra toks: √3 = 1,7. Šią reikšmę padauginame iš skaičiaus prie šaknies ženklo: 7 x 1,7 = 11,9. Jei atliksite skaičiavimus skaičiuotuvu, gausite 12,13, o tai yra gana artima mūsų atsakymui.
     • Šis metodas taip pat veikia su dideliais skaičiais. Pavyzdžiui, apsvarstykite √35. Radikalusis skaičius yra 35. Jam artimiausi kvadratiniai skaičiai bus 25 (√25 = 5) ir 36 (√36 = 6). Taigi √35 reikšmė yra tarp 5 ir 6. Kadangi √35 reikšmė yra daug arčiau 6 nei 5 (nes 35 yra tik 1 mažesnis už 36), galime teigti, kad √35 yra šiek tiek mažiau nei 6 Patikrinimas skaičiuoklėje pateikia atsakymą 5,92 – buvome teisūs.

4. Kitas būdas yra sudėti radikalųjį skaičių į pirminius veiksnius. Pirminiai veiksniai yra skaičiai, kurie dalijasi tik iš 1 ir savęs. Surašykite pirminius veiksnius į eilę ir suraskite identiškų veiksnių poras. Tokius veiksnius galima išimti iš šaknies ženklo.

   • Pavyzdžiui, apskaičiuokite kvadratinę šaknį iš 45. Radikalųjį skaičių suskaičiuojame į pirminius koeficientus: 45 = 9 x 5 ir 9 = 3 x 3. Taigi √45 = √(3 x 3 x 5). 3 galima išimti kaip šaknies ženklą: √45 = 3√5. Dabar galime įvertinti √5.
   • Pažvelkime į kitą pavyzdį: √88.
     • = √ (2 x 44)
     • = √ (2 x 4 x 11)
     • = √ (2 x 2 x 2 x 11). Gavote tris daugiklius iš 2; paimkite porą jų ir perkelkite už šaknies ženklo.
     • = 2√(2 x 11) = 2√2 x √11. Dabar galite įvertinti √2 ir √11 ir rasti apytikslį atsakymą.

   Kvadratinės šaknies apskaičiavimas rankiniu būdu

   Naudojant ilgą padalijimą

   1. Šis metodas apima procesą, panašų į ilgą padalijimą, ir pateikia tikslų atsakymą. Pirmiausia nubrėžkite vertikalią liniją, dalijančią lapą į dvi dalis, o tada į dešinę ir šiek tiek žemiau viršutinio lapo krašto nubrėžkite horizontalią liniją iki vertikalios linijos. Dabar padalykite radikalųjį skaičių į skaičių poras, pradedant trupmena po kablelio. Taigi, numeris 79520789182.47897 rašomas kaip „7 95 20 78 91 82, 47 89 70“.

      • Pavyzdžiui, apskaičiuokime kvadratinę šaknį iš skaičiaus 780.14. Nubrėžkite dvi linijas (kaip parodyta paveikslėlyje) ir viršuje kairėje formoje „7 80, 14“ užrašykite nurodytą skaičių. Normalu, kad pirmasis skaitmuo iš kairės yra nesusietas skaitmuo. Viršuje dešinėje parašysite atsakymą (šio skaičiaus šaknį).

   2. Pirmosios skaičių poros (arba vieno skaičiaus) iš kairės raskite didžiausią sveikąjį skaičių n, kurio kvadratas yra mažesnis arba lygus nagrinėjamai skaičių porai (arba vienam skaičiui). Kitaip tariant, suraskite kvadratinį skaičių, kuris yra arčiausiai pirmosios skaičių poros (arba vieno skaičiaus) iš kairės, bet mažesnis už ją, ir paimkite to kvadratinio skaičiaus kvadratinę šaknį; gausite numerį n. Viršutiniame dešiniajame kampe parašykite n, o apačioje dešinėje - kvadratą.

      • Mūsų atveju pirmasis skaičius kairėje bus 7. Kitas – 4< 7, то есть 2 2 < 7 и n = 2. Напишите 2 сверху справа - это первая цифра в искомом квадратном корне. Напишите 2×2=4 справа снизу; вам понадобится это число для последующих вычислений.

   3. Iš pirmosios skaičių poros (arba vieno skaičiaus) kairėje atimkite ką tik rasto skaičiaus n kvadratą. Skaičiavimo rezultatą parašykite po dalimi (skaičiaus n kvadratu).

      • Mūsų pavyzdyje iš 7 atimkite 4 ir gaukite 3.

   4. Nuimkite antrą skaičių porą ir užrašykite ją šalia vertės, gautos atliekant ankstesnį veiksmą. Tada padvigubinkite skaičių viršuje dešinėje ir parašykite rezultatą apačioje dešinėje, pridėdami „_×_=".

      • Mūsų pavyzdyje antroji skaičių pora yra „80“. Parašykite "80" po 3. Tada padvigubinkite skaičių viršutiniame dešiniajame kampe, kad gautumėte 4. Apatiniame dešiniajame kampe parašykite "4_×_=".

   5. Dešinėje užpildykite tuščias vietas.

      • Mūsų atveju, jei vietoj brūkšnelių dėtume skaičių 8, tai 48 x 8 = 384, tai yra daugiau nei 380. Todėl 8 yra per didelis skaičius, bet tiks ir 7. Vietoj brūkšnelių parašykite 7 ir gaukite: 47 x 7 = 329. Viršuje dešinėje parašykite 7 – tai antrasis skaitmuo norimoje kvadratinėje šaknyje iš skaičiaus 780,14.

   6. Atimkite gautą skaičių iš esamo skaičiaus kairėje. Užrašykite ankstesnio veiksmo rezultatą po dabartiniu skaičiumi kairėje, suraskite skirtumą ir parašykite jį po dalimi.

      • Mūsų pavyzdyje iš 380 atimkite 329, kuris yra lygus 51.

   7. Pakartokite 4 veiksmą. Jei perkeliama skaičių pora yra pradinio skaičiaus trupmeninė dalis, tada reikiamoje kvadratinėje šaknyje viršuje dešinėje įdėkite skirtuką (kablelį) tarp sveikųjų ir trupmeninių dalių. Kairėje pusėje sumažinkite kitą skaičių porą. Padvigubinkite skaičių viršuje dešinėje ir parašykite rezultatą apačioje dešinėje, pridėdami „_×_=".

      • Mūsų pavyzdyje kita skaičių pora, kurią reikia pašalinti, bus trupmeninė skaičiaus 780.14 dalis, todėl įdėkite sveikojo skaičiaus ir trupmeninių dalių skyriklį į norimą kvadratinę šaknį viršutiniame dešiniajame kampe. Nuimkite 14 ir užrašykite jį apatiniame kairiajame kampe. Dvigubas skaičius viršuje dešinėje (27) yra 54, todėl apačioje dešinėje parašykite „54_×_=".

   8. Pakartokite 5 ir 6 veiksmus. Raskite didžiausią skaičių vietoje brūkšnelių dešinėje (vietoj brūkšnelių reikia pakeisti tą patį skaičių), kad daugybos rezultatas būtų mažesnis arba lygus esamam skaičiui kairėje.

      • Mūsų pavyzdyje 549 x 9 = 4941, tai yra mažiau nei dabartinis skaičius kairėje (5114). Viršuje dešinėje parašykite 9 ir atimkite daugybos rezultatą iš esamo skaičiaus kairėje: 5114 - 4941 = 173.

   9. Jei reikia rasti daugiau kvadratinės šaknies skaitmenų po kablelio, dabartinio skaičiaus kairėje parašykite porą nulių ir pakartokite 4, 5 ir 6 veiksmus. Kartokite veiksmus, kol gausite atsakymo tikslumą (skaitmenų po kablelio skaičių). reikia.

   Proceso supratimas

   Norėdami įvaldyti šį metodą, įsivaizduokite skaičių, kurio kvadratinę šaknį jums reikia rasti kaip kvadrato S plotą. Tokiu atveju ieškosite tokio kvadrato kraštinės L ilgio. Apskaičiuojame L reikšmę taip, kad L² = S.

   Kiekvienam atsakyme esančiam skaičiui pateikite po raidę. Pirmąjį L reikšmės skaitmenį pažymėkime A (norima kvadratinė šaknis). B bus antrasis skaitmuo, C – trečias ir pan.

   Kiekvienai pirmųjų skaitmenų porai nurodykite raidę. Pažymime S a pirmąją skaitmenų porą S reikšmėje, S b – antrąją skaitmenų porą ir pan.

   Supraskite ryšį tarp šio metodo ir ilgojo padalijimo. Kaip ir dalybos operacijoje, kai mus domina tik kitas kaskart dalijamo skaičiaus skaitmuo, skaičiuodami kvadratinę šaknį dirbame su skaitmenų pora nuosekliai (kad gautume kitą kvadrato skaitmenį šakninė vertė).

   1. Apsvarstykite pirmąją skaičiaus S skaitmenų Sa porą (mūsų pavyzdyje Sa = 7) ir raskite jos kvadratinę šaknį.Šiuo atveju pirmasis norimos kvadratinės šaknies reikšmės skaitmuo A bus skaitmuo, kurio kvadratas yra mažesnis arba lygus S a (tai yra, mes ieškome tokio A, kad nelygybė A² ≤ Sa< (A+1)²). В нашем примере, S1 = 7, и 2² ≤ 7 < 3²; таким образом A = 2.

      • Tarkime, kad reikia padalyti 88962 iš 7; čia pirmas žingsnis bus panašus: atsižvelgiame į pirmąjį dalijamojo skaičiaus skaitmenį 88962 (8) ir pasirenkame didžiausią skaičių, kurį padauginus iš 7 gauname reikšmę, mažesnę arba lygią 8. Tai yra, mes ieškome skaičius d, kurio nelygybė yra teisinga: 7 × d ≤ 8< 7×(d+1). В этом случае d будет равно 1.

   2. Psichiškai įsivaizduokite kvadratą, kurio plotą reikia apskaičiuoti. Jūs ieškote L, tai yra kvadrato, kurio plotas lygus S, kraštinės ilgio. A, B, C yra skaičiai L. Galite rašyti kitaip: 10A + B = L (jei dviženklis skaičius) arba 100A + 10B + C = L (triženkliam skaičiui) ir pan.

      • Leisti (10A+B)² = L² = S = 100A² + 2 × 10A × B + B². Atminkite, kad 10A+B yra skaičius, kuriame skaitmuo B reiškia vienetus, o skaitmuo A reiškia dešimtis. Pavyzdžiui, jei A=1 ir B=2, tai 10A+B yra lygus skaičiui 12. (10A+B)² yra visos aikštės plotas, 100A²- didelės vidinės aikštės plotas, B²- mažos vidinės aikštės plotas, 10A × B- kiekvieno iš dviejų stačiakampių plotas. Sudėjus aprašytų figūrų plotus, rasite pradinio kvadrato plotą.

Gana dažnai spręsdami problemas susiduriame su dideliais skaičiais, iš kurių reikia išgauti Kvadratinė šaknis. Daugelis studentų nusprendžia, kad tai klaida, ir pradeda iš naujo spręsti visą pavyzdį. Jokiu būdu neturėtumėte to daryti! Tam yra dvi priežastys:

1. Problemose atsiranda didelių skaičių šaknys. Ypač tekstiniuose;
2. Yra algoritmas, pagal kurį šios šaknys apskaičiuojamos beveik žodžiu.

Šiandien mes apsvarstysime šį algoritmą. Galbūt kai kurie dalykai jums atrodys nesuprantami. Bet jei atkreipsite dėmesį į šią pamoką, gausite galingą ginklą prieš kvadratinės šaknys.

Taigi, algoritmas:

1. Apribokite reikiamą šaknį aukščiau ir žemiau iki skaičių, kurie yra 10 kartotiniai. Taigi paieškos diapazoną sumažinsime iki 10 skaičių;
2. Iš šių 10 skaičių išrinkite tuos, kurie tikrai negali būti šaknys. Dėl to išliks 1-2 skaičiai;
3. Padėkite šiuos 1–2 skaičius kvadratu. Tas, kurio kvadratas lygus pradiniam skaičiui, bus šaknis.

Prieš taikydami šį algoritmą praktiškai, pažvelkime į kiekvieną atskirą žingsnį.

Šaknies apribojimas

Visų pirma, turime išsiaiškinti, tarp kurių skaičių yra mūsų šaknis. Labai pageidautina, kad skaičiai būtų dešimties kartotiniai:

10 2 = 100;
20 2 = 400;
30 2 = 900;
40 2 = 1600;
...
90 2 = 8100;
100 2 = 10 000.

Gauname skaičių seką:

100; 400; 900; 1600; 2500; 3600; 4900; 6400; 8100; 10 000.

Ką mums sako šie skaičiai? Tai paprasta: mes nustatome ribas. Paimkime, pavyzdžiui, skaičių 1296. Jis yra tarp 900 ir 1600. Todėl jo šaknis negali būti mažesnė nei 30 ir didesnė nei 40:

[Paveikslo antraštė]

Tas pats pasakytina apie bet kurį kitą skaičių, iš kurio galite rasti kvadratinę šaknį. Pavyzdžiui, 3364:

[Paveikslo antraštė]

Taigi vietoj nesuprantamo skaičiaus gauname labai konkretų diapazoną, kuriame yra pradinė šaknis. Norėdami dar labiau susiaurinti paieškos sritį, pereikite prie antrojo veiksmo.

Akivaizdžiai nereikalingų skaičių pašalinimas

Taigi, turime 10 skaičių – kandidatų į šaknį. Mes juos gavome labai greitai, be kompleksinio mąstymo ir dauginimo stulpelyje. Laikas judėti į priekį.

Tikėkite ar ne, dabar sumažinsime kandidatų skaičių iki dviejų – vėlgi be jokių sudėtingų skaičiavimų! Pakanka žinoti specialią taisyklę. Štai jis:

Paskutinis kvadrato skaitmuo priklauso tik nuo paskutinio skaitmens originalus numeris.

Kitaip tariant, tiesiog pažiūrėkite į paskutinį kvadrato skaitmenį ir mes iš karto suprasime, kur baigiasi pradinis skaičius.

Yra tik 10 skaitmenų, kurie gali būti paskutinėje vietoje. Pabandykime išsiaiškinti, kuo jie virsta kvadratu. Pažvelkite į lentelę:

1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
1	4	9	6	5	6	9	4	1	0

Ši lentelė yra dar vienas žingsnis apskaičiuojant šaknį. Kaip matote, antroje eilutėje esantys skaičiai buvo simetriški penkių atžvilgiu. Pavyzdžiui:

2 2 = 4;
8 2 = 64 → 4.

Kaip matote, paskutinis skaitmuo abiem atvejais yra vienodas. Tai reiškia, kad, pavyzdžiui, 3364 šaknis būtinai baigiasi 2 arba 8. Kita vertus, prisimename ankstesnės pastraipos apribojimą. Mes gauname:

[Paveikslo antraštė]

Raudoni kvadratai rodo, kad mes dar nežinome šio skaičiaus. Tačiau šaknis yra diapazone nuo 50 iki 60, kuriame yra tik du skaičiai, kurie baigiasi 2 ir 8:

[Paveikslo antraštė]

Tai viskas! Iš visų galimų šaknų palikome tik dvi galimybes! Ir tai yra sunkiausiu atveju, nes paskutinis skaitmuo gali būti 5 arba 0. Ir tada bus tik vienas kandidatas į šaknis!

Galutiniai skaičiavimai

Taigi, mums liko 2 kandidatų numeriai. Kaip žinoti, kuris iš jų yra šaknis? Atsakymas akivaizdus: abu skaičius kvadratu. Tas, kuris kvadratu pateikia pradinį skaičių, bus šaknis.

Pavyzdžiui, skaičiui 3364 radome du kandidatų skaičius: 52 ir 58. Padėkime juos kvadratu:

52 2 = (50 +2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;
58 2 = (60 − 2) 2 = 3600 − 2 60 2 + 4 = 3364.

Tai viskas! Paaiškėjo, kad šaknis yra 58! Tuo pačiu, kad supaprastinčiau skaičiavimus, panaudojau sumos ir skirtumo kvadratų formulę. Dėl to man net nereikėjo dauginti skaičių į stulpelį! Tai dar vienas skaičiavimo optimizavimo lygis, bet, žinoma, visiškai neprivalomas :)

Šaknų skaičiavimo pavyzdžiai

Teorija, žinoma, gera. Bet patikrinkime tai praktiškai.

[Paveikslo antraštė]

Pirmiausia išsiaiškinkime, tarp kurių skaičių yra skaičius 576:

400 < 576 < 900
20 2 < 576 < 30 2

Dabar pažiūrėkime į paskutinį skaičių. Jis lygus 6. Kada tai atsitinka? Tik jei šaknis baigiasi 4 arba 6. Gauname du skaičius:

Belieka kiekvieną skaičių pakelti kvadratu ir palyginti su originalu:

24 2 = (20 + 4) 2 = 576

Puiku! Pirmasis kvadratas pasirodė lygus pradiniam skaičiui. Taigi tai yra šaknis.

Užduotis. Apskaičiuokite kvadratinę šaknį:

[Paveikslo antraštė]

900 < 1369 < 1600;
30 2 < 1369 < 40 2;

Pažiūrėkime į paskutinį skaitmenį:

1369 → 9;
33; 37.

Kvadratu:

33 2 = (30 + 3) 2 = 900 + 2 30 3 + 9 = 1089 ≠ 1369;
37 2 = (40 − 3) 2 = 1600 − 2 40 3 + 9 = 1369.

Štai atsakymas: 37.

Užduotis. Apskaičiuokite kvadratinę šaknį:

[Paveikslo antraštė]

Apribojame skaičių:

2500 < 2704 < 3600;
50 2 < 2704 < 60 2;

Pažiūrėkime į paskutinį skaitmenį:

2704 → 4;
52; 58.

Kvadratu:

52 2 = (50 + 2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;

Gavome atsakymą: 52. Antro skaičiaus kvadratuoti nebereikės.

Užduotis. Apskaičiuokite kvadratinę šaknį:

[Paveikslo antraštė]

Apribojame skaičių:

3600 < 4225 < 4900;
60 2 < 4225 < 70 2;

Pažiūrėkime į paskutinį skaitmenį:

4225 → 5;
65.

Kaip matote, po antro žingsnio lieka tik viena parinktis: 65. Tai norima šaknis. Bet vis tiek išlyginkime ir patikrinkime:

65 2 = (60 + 5) 2 = 3600 + 2 60 5 + 25 = 4225;

Viskas teisinga. Užrašome atsakymą.

Išvada

Deja, ne geriau. Pažvelkime į priežastis. Yra du iš jų:

• Per bet kokį įprastą matematikos egzaminą, nesvarbu, ar tai būtų valstybinis, ar vieningas valstybinis egzaminas, skaičiuotuvus naudoti draudžiama. O jei į pamoką atsinešite skaičiuotuvą, galite būti lengvai išmesti iš egzamino.
• Nebūk kaip kvaili amerikiečiai. Kurie nėra kaip šaknys – negali pridėti dviejų pirminių skaičių. Ir kai jie mato trupmenas, jie paprastai tampa isteriški.

Mums svarbu išlaikyti jūsų privatumą. Dėl šios priežasties sukūrėme Privatumo politiką, kurioje aprašoma, kaip naudojame ir saugome jūsų informaciją. Peržiūrėkite mūsų privatumo praktiką ir praneškite mums, jei turite klausimų.

Asmeninės informacijos rinkimas ir naudojimas

Asmeninė informacija reiškia duomenis, kurie gali būti naudojami konkretaus asmens tapatybei nustatyti arba susisiekti su juo.

Jūsų gali būti paprašyta pateikti savo asmeninę informaciją bet kuriuo metu, kai susisiekiate su mumis.

Toliau pateikiami keli pavyzdžiai, kokios rūšies asmeninės informacijos galime rinkti ir kaip galime tokią informaciją naudoti.

Kokią asmeninę informaciją renkame:

• Kai pateikiate paraišką svetainėje, galime rinkti įvairią informaciją, įskaitant jūsų vardą, telefono numerį, el. pašto adresą ir kt.

Kaip naudojame jūsų asmeninę informaciją:

• Mūsų renkama asmeninė informacija leidžia mums susisiekti su jumis dėl unikalių pasiūlymų, akcijų ir kitų renginių bei būsimų renginių.
• Retkarčiais galime naudoti jūsų asmeninę informaciją svarbiems pranešimams ir pranešimams siųsti.
• Mes taip pat galime naudoti asmeninę informaciją vidiniais tikslais, pavyzdžiui, atlikti auditą, duomenų analizę ir įvairius tyrimus, siekdami tobulinti teikiamas paslaugas ir teikti rekomendacijas dėl mūsų paslaugų.
• Jei dalyvaujate prizų traukime, konkurse ar panašioje akcijoje, mes galime naudoti jūsų pateiktą informaciją tokioms programoms administruoti.

Informacijos atskleidimas trečiosioms šalims

Mes neatskleidžiame iš jūsų gautos informacijos trečiosioms šalims.

Išimtys:

• Jei reikia – įstatymų nustatyta tvarka, teismine tvarka, teismo procese ir (arba) remiantis viešais prašymais arba Rusijos Federacijos valdžios institucijų prašymais – atskleisti savo asmeninę informaciją. Taip pat galime atskleisti informaciją apie jus, jei nuspręsime, kad toks atskleidimas yra būtinas arba tinkamas saugumo, teisėsaugos ar kitais visuomenei svarbiais tikslais.
• Reorganizavimo, susijungimo ar pardavimo atveju surinktą asmeninę informaciją galime perduoti atitinkamai trečiajai šaliai.

Asmeninės informacijos apsauga

Mes imamės atsargumo priemonių, įskaitant administracines, technines ir fizines, siekdami apsaugoti jūsų asmeninę informaciją nuo praradimo, vagystės ir netinkamo naudojimo, taip pat nuo neteisėtos prieigos, atskleidimo, pakeitimo ir sunaikinimo.

Jūsų privatumo gerbimas įmonės lygiu

Siekdami užtikrinti, kad jūsų asmeninė informacija būtų saugi, savo darbuotojams pranešame apie privatumo ir saugumo standartus ir griežtai vykdome privatumo praktiką.

Pirmas skyrius.

Didžiausio sveikojo skaičiaus kvadratinės šaknies radimas iš nurodyto sveikojo skaičiaus.

170. Pirminės pastabos.

A) Kadangi kalbėsime tik apie kvadratinės šaknies ištraukimą, tai norėdami sutrumpinti kalbą šiame skyriuje, vietoj „kvadratinės šaknies“ sakysime tiesiog „šaknis“.

b) Jei natūralių eilučių skaičius kvadratu: 1,2,3,4,5. . . , tada gauname tokią kvadratų lentelę: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100,121,144. .,

Akivaizdu, kad šioje lentelėje yra daug sveikųjų skaičių; Žinoma, iš tokių skaičių neįmanoma ištraukti visos šaknies. Todėl, jei reikia, pavyzdžiui, išgauti bet kurio sveikojo skaičiaus šaknį. reikia rasti √4082, tada sutinkame šį reikalavimą suprasti taip: jei įmanoma, ištraukite visą 4082 šaknį; jei tai neįmanoma, turime rasti didžiausią sveikąjį skaičių, kurio kvadratas yra 4082 (toks skaičius yra 63, nes 63 2 = 3969, o 64 2 = 4090).

V) Jei šis skaičius yra mažesnis nei 100, tada jo šaknis randama naudojant daugybos lentelę; Taigi √60 būtų 7, nes septyni 7 yra lygūs 49, o tai yra mažiau nei 60, o aštuoni 8 yra lygūs 64, o tai yra daugiau nei 60.

171. Skaičiaus, mažesnio nei 10 000, bet didesnio nei 100, šaknies ištraukimas. Tarkime, kad turime rasti √4082. Kadangi šis skaičius yra mažesnis nei 10 000, jo šaknis yra mažesnė nei √l0 000 = 100. Kita vertus, šis skaičius yra didesnis nei 100; tai reiškia, kad jo šaknis yra didesnė nei (arba lygi 10). (Jei, pavyzdžiui, reikėjo rasti √ 120 , tada nors skaičius 120 > 100, tačiau √ 120 yra lygus 10, nes 11 2 = 121.) Bet kiekvienas skaičius, didesnis nei 10, bet mažesnis už 100, turi 2 skaitmenis; Tai reiškia, kad reikalinga šaknis yra suma:

dešimtys + vieni,

ir todėl jo kvadratas turi būti lygus sumai:

Ši suma turi būti didžiausia 4082 kvadratas.

Paimkime didžiausią iš jų – 36 – ir manykime, kad dešimčių šaknies kvadratas bus lygus būtent šiam didžiausiam kvadratui. Tada dešimčių skaičius šaknyje turi būti 6. Dabar patikrinkime, ar taip turi būti visada, t. y. dešimčių skaičius šaknyje visada yra lygus radikalo šimtų skaičiaus didžiausiai sveikajai šaknei.

Iš tiesų, mūsų pavyzdyje šaknies dešimčių skaičius negali būti didesnis nei 6, nes (7 dec.) 2 = 49 šimtai, o tai viršija 4082. Bet jis negali būti mažesnis nei 6, nes 5 gr. (su vienetais) yra mažesnis nei 6 des., o tuo tarpu (6 des.) 2 = 36 šimtai, tai yra mažiau nei 4082. O kadangi mes ieškome didžiausios visos šaknies, neturėtume imti šaknies 5 des, kai net 6 dešimtukai nėra daug.

Taigi, mes radome šaknies dešimčių skaičių, ty 6. Rašome šį skaičių į dešinę nuo = ženklo, prisimindami, kad jis reiškia šaknies dešimtis. Pakėlus jį prie aikštės, gauname 36 šimtukus. Šiuos 36 šimtus atimame iš 40 radikalaus skaičiaus šimtų ir atimame likusius du šio skaičiaus skaitmenis. Likusioje 482 dalyje turi būti 2 (6 gr.) (vnt.) + (vnt.)2. Produktas (6 gr.) (vnt.) turi būti dešimtys; todėl dvigubos dešimčių sandaugos vienetais reikia ieškoti liekanos dešimtukuose, t.y., 48 (jų skaičių gauname atskyrę vieną skaitmenį dešinėje iš likusios 48 "2). Šaknies padvigubintos dešimtys Sudarome 12. Tai reiškia, kad jei 12 padauginsime iš šaknies vienetų (kurie dar nežinomi), gautume skaičių, esantį 48. Todėl 48 padalijame iš 12.

Norėdami tai padaryti, nubrėžkite vertikalią liniją į kairę nuo likusios dalies, o už jos (atsitraukdami nuo linijos viena vieta į kairę tuo tikslu, kuris dabar pasirodys) parašykite dvigubą pirmąjį šaknies skaitmenį, ty 12, ir Padalinkite iš jo 48. Dalinyje gauname 4.

Tačiau negalime iš anksto garantuoti, kad skaičius 4 gali būti paimtas kaip šaknies vienetas, nes dabar iš 12 padalijome visą likusios dešimčių skaičių, o kai kurie iš jų gali nepriklausyti dvigubai dešimties sandaugai. vienetų, bet yra vienetų kvadrato dalis. Todėl skaičius 4 gali būti didelis. Turime tai išbandyti. Akivaizdu, kad tinka, jei suma 2 (6 gr.) 4 + 4 2 yra ne didesnė už likusią 482.

Dėl to iš karto gauname abiejų sumą. Gautas produktas buvo 496, kuris yra didesnis nei likęs 482; Tai reiškia, kad skaičius 4 yra didelis. Tada tokiu pat būdu išbandysime kitą mažesnį skaičių 3.

Pavyzdžiai.

4 pavyzdyje dalijant 47 likusios dešimtis iš 4, kaip koeficientą gauname 11. Tačiau kadangi šaknies vienetų skaičius negali būti dviženklis skaičius 11 ar 10, turime tiesiogiai patikrinti skaičių 9.

5 pavyzdyje iš pirmojo kvadrato paviršiaus atėmus 8, likusioji dalis yra 0, o kitas paviršius taip pat susideda iš nulių. Tai rodo, kad norima šaknis susideda tik iš 8 dešimčių, todėl vietoj vienetų reikia dėti nulį.

172. Didesnio nei 10000 skaičiaus šaknies ištraukimas. Tarkime, reikia rasti √35782. Kadangi radikalus skaičius viršija 10 000, jo šaknis yra didesnė nei √10000 = 100, todėl jį sudaro 3 ar daugiau skaitmenų. Nesvarbu, kiek skaitmenų jį sudaro, visada galime laikyti jį tik dešimčių ir vienetų suma. Pavyzdžiui, jei pasirodo, kad šaknis yra 482, tai galime skaičiuoti kaip 48 des. + 2 vnt Tada šaknies kvadratą sudarys 3 terminai:

(dec.) 2 + 2 (dec.) (vienetas) + (vienetas) 2 .

Dabar galime samprotauti lygiai taip pat, kaip ir radę √4082 (ankstesnėje pastraipoje). Vienintelis skirtumas bus tas, kad norėdami rasti 4082 šaknies dešimtis, turėjome išgauti šaknį iš 40, ir tai galima padaryti naudojant daugybos lentelę; dabar, norėdami gauti dešimtis√35782, turėsime paimti 357 šaknį, o to negalima padaryti naudojant daugybos lentelę. Bet mes galime rasti √357 naudodami techniką, aprašytą ankstesnėje pastraipoje, nes skaičius 357< 10 000. Наибольший целый корень из 357 оказывается 18. Значит, в √3"57"82 должно быть 18 десятков. Чтобы найти единицы, надо из 3"57"82 вычесть квадрат 18 десятков, для чего достаточно вычесть квадрат 18 из 357 сотен и к остатку снести 2 последние цифры подкоренного числа. Остаток от вычитания квадpaта 18 из 357 у нас уже есть: это 33. Значит, для получения остатка от вычитания квадрата 18 дес. из 3"57"82, достаточно к 33 приписать справа цифры 82.

Toliau elgiamės taip, kaip darėme radę √4082, būtent: į kairę nuo likusio 3382 nubrėžiame vertikalią liniją ir už jos įrašome (atsitraukdami vieną tarpą nuo linijos) dvigubą dešimties rastos šaknies skaičių, y., 36 (du kartus 18). Likusioje dalyje atskiriame vieną skaitmenį dešinėje ir dešimčių skaičių iš liekanos, t.y 338, padalijame iš 36. Dalinyje gauname 9. Išbandome šį skaičių, kuriam priskiriame 36 dešinėje ir padauginti iš jo. Paaiškėjo, kad produktas yra 3321, tai yra mažiau nei likusi dalis. Tai reiškia, kad tinka skaičius 9, mes jį rašome šaknyje.

Apskritai, norėdami išgauti bet kurio sveikojo skaičiaus kvadratinę šaknį, pirmiausia turite ištraukti jo šimtų šaknį; jei šis skaičius yra didesnis nei 100, tuomet turėsite ieškoti šimtų iš šių šimtų, tai yra, dešimčių tūkstančių šio skaičiaus šaknies; jei šis skaičius yra didesnis nei 100, šaknį turėsite paimti iš šimtų dešimčių tūkstančių, tai yra, iš tam tikro skaičiaus milijonų ir pan.

Pavyzdžiai.

Paskutiniame pavyzdyje suradę pirmąjį skaitmenį ir atėmę jo kvadratą, gauname likutį 0. Kitus 2 skaitmenis atimame 51. Atskirdami dešimtis gauname 5 des, o šaknies dvigubas rastas skaitmuo yra 6. Tai reiškia, kad padalijus 5 iš 6 gauname 0 į antrą vietą šaknyje ir prie likusios pridedame kitus 2 skaitmenis. gauname 5110. Tada tęsiame kaip įprasta.

Šiame pavyzdyje reikiamą šaknį sudaro tik 9 šimtai, todėl dešimtukų ir vienetų vietose turi būti dedami nuliai.

Taisyklė. Norėdami išgauti duoto sveikojo skaičiaus kvadratinę šaknį, jie padalija jį iš dešinės į kairę, kraštinėje, po 2 skaitmenis kiekviename, išskyrus paskutinį, kuris gali turėti vieną skaitmenį.
Norėdami rasti pirmąjį šaknies skaitmenį, paimkite kvadratinę šaknį iš pirmojo veido.
Norint rasti antrąjį skaitmenį, šaknies pirmojo skaitmens kvadratas atimamas iš pirmojo veido, antrasis paimamas į likutį, o gauto skaičiaus dešimčių skaičius dalijamas iš dvigubo pirmojo šaknies skaitmens. ; gautas sveikasis skaičius tikrinamas.
Šis testas atliekamas taip: už vertikalios linijos (į kairę nuo likusios dalies) parašykite du kartus anksčiau rastą šaknies skaičių ir dešinėje pusėje po šio papildymo pridėkite patikrintą skaitmenį, gautą skaičių. , padauginamas iš patikrinto skaitmens. Jei padauginus gaunamas skaičius, didesnis už likutį, tai patikrintas skaitmuo netinka ir reikia patikrinti kitą mažesnį skaitmenį.
Kiti šaknies skaitmenys randami ta pačia technika.
Jei, pašalinus veidą, gauto skaičiaus dešimčių skaičius yra mažesnis už daliklį, tai yra mažiau nei du kartus už rastą šaknies dalį, tada jie įdeda 0 prie šaknies, pašalina kitą veidą ir tęsti veiksmą toliau.

173. Šaknies skaitmenų skaičius. Atsižvelgiant į šaknies radimo procesą, darytina išvada, kad šaknyje yra tiek skaitmenų, kiek radikaliame skaičiuje yra po 2 skaitmenis (kairėje pusėje gali būti vienas skaitmuo).

Antras skyrius.

Apytikslių sveikųjų skaičių ir trupmenų kvadratinių šaknų ištraukimas .

Norėdami išgauti daugianario kvadratinę šaknį, žr. § 399 ir paskesnių 2-osios dalies papildymus.

174. Tikslios kvadratinės šaknies ženklai. Tiksli nurodyto skaičiaus kvadratinė šaknis yra skaičius, kurio kvadratas yra tiksliai lygus nurodytam skaičiui. Nurodykime keletą ženklų, pagal kuriuos galima spręsti, ar iš nurodyto skaičiaus galima išgauti tikslią šaknį, ar ne:

A) Jei tiksli visa šaknis nėra išskirta iš duoto sveikojo skaičiaus (likutis gaunamas ištraukiant), tai trupmeninės tikslios šaknies negalima rasti iš tokio skaičiaus, nes bet kuri trupmena, kuri nėra lygi sveikajam skaičiui, padauginta iš savęs , taip pat gaminyje sukuria trupmeną, o ne sveikąjį skaičių.

b) Kadangi trupmenos šaknis yra lygi skaitiklio šaknims, padalytai iš vardiklio šaknies, tikslios neredukuojamos trupmenos šaknies negalima rasti, jei jos negalima išskirti iš skaitiklio arba vardiklio. Pavyzdžiui, tikslios šaknies negalima išgauti iš trupmenų 4/5, 8/9 ir 11/15, nes pirmoje trupmenoje ji negali būti išskirta iš vardiklio, antroje - iš skaitiklio, o trečioje - nei iš skaitiklio, nei iš vardiklio.

Iš skaičių, iš kurių negalima išgauti tikslios šaknies, galima išgauti tik apytiksles šaknis.

175. Apytikslė šaknis, kurios tikslumas yra 1. Apytikslė kvadratinė šaknis, kurios tikslumas yra 1, nuo nurodyto skaičiaus (sveikasis skaičius ar trupmena, nesvarbu), yra sveikasis skaičius, atitinkantis šiuos du reikalavimus:

1) šio skaičiaus kvadratas nėra didesnis už nurodytą skaičių; 2) bet šio skaičiaus kvadratas, padidintas 1, yra didesnis už šį skaičių. Kitaip tariant, apytikslė kvadratinė šaknis, kurios tikslumas yra 1, yra didžiausia tam tikro skaičiaus sveikoji kvadratinė šaknis, ty šaknis, kurią išmokome rasti ankstesniame skyriuje. Ši šaknis apytikslė vadinama 1 tikslumu, nes norėdami gauti tikslią šaknį, prie šios apytikslės šaknies turėtume pridėti trupmeną, mažesnę nei 1, todėl jei vietoj nežinomos tikslios šaknies imsime šią apytikslę, padarysime klaida, mažesnė nei 1.

Taisyklė. Norėdami išgauti apytikslę kvadratinę šaknį 1 tikslumu, turite išgauti didžiausią sveikojo skaičiaus šaknį iš nurodyto skaičiaus sveikosios dalies.

Pagal šią taisyklę rastas skaičius yra apytikslė šaknis su trūkumu , nes jam trūksta tikslios tam tikros trupmenos šaknies (mažiau nei 1). Jei padidinsime šią šaknį 1, gausime kitą skaičių, kuriame yra šiek tiek pertekliaus už tikslią šaknį, o šis perteklius yra mažesnis už 1. Šią šaknį, padidintą 1, taip pat galima vadinti apytiksle šaknimi, kurios tikslumas yra 1, tačiau su pertekliumi. (Pavadinimai: „su trūkumu“ arba „su pertekliumi“ kai kuriose matematinėse knygose pakeičiami kitais lygiaverčiais: „pagal trūkumą“ arba „pertekliu“.)

176. Apytikslė šaknis 1/10 tikslumu. Tarkime, kad reikia rasti √2.35104 1/10 tikslumu. Tai reiškia, kad reikia rasti dešimtainę trupmeną, kurią sudarytų sveikieji vienetai ir dešimtosios ir kuri atitiktų šiuos du reikalavimus:

1) šios trupmenos kvadratas neviršija 2,35104, bet 2) padidinus ją 1/10, tai šios padidintos trupmenos kvadratas viršija 2,35104.

Norėdami rasti tokią trupmeną, pirmiausia randame apytikslę šaknį, kurios tikslumas yra 1, tai yra, šaknį ištraukiame tik iš sveikojo skaičiaus 2. Gauname 1 (o likusioji dalis yra 1). Šaknyje rašome skaičių 1, o po jo dedame kablelį. Dabar ieškosime dešimtųjų skaičiaus. Norėdami tai padaryti, iki liekanos 1 pašaliname skaitmenis 35, esančius kablelio dešinėje, ir tęsiame išskyrimą taip, lyg ištrauktume sveikojo skaičiaus 235 šaknį. Gautą skaičių 5 įrašome šaknyje vietoje dešimtųjų. Mums nereikia likusių radikalaus skaičiaus (104) skaitmenų. Kad gautas skaičius 1,5 iš tikrųjų bus apytikslis šaknis, kurio tikslumas yra 1/10, matyti iš toliau pateiktų dalykų. Jei 1 tikslumu rastume didžiausią sveikojo skaičiaus šaknį iš 235, gautume 15. Taigi:

15 2 < 235, bet 16 2 >235.

Padalinę visus šiuos skaičius iš 100, gauname:

Tai reiškia, kad skaičius 1,5 yra dešimtainė trupmena, kurią 1/10 tikslumu vadinome apytiksle šaknimi.

Naudodami šią techniką taip pat galime rasti šias apytiksles šaknis 0,1 tikslumu:

177. Apytikslė kvadratinė šaknis nuo 1/100 iki 1/1000 ir kt.

Tarkime, kad reikia rasti apytikslį √248, kurio tikslumas yra 1/100. Tai reiškia: suraskite dešimtainę trupmeną, kurią sudarytų sveikos, dešimtosios ir šimtinės dalys ir kuri atitiktų du reikalavimus:

1) jos kvadratas neviršija 248, bet 2) jei šią trupmeną padidiname 1/100, tada šios padidintos trupmenos kvadratas viršija 248.

Tokią trupmeną rasime tokia seka: iš pradžių rasime sveikąjį skaičių, tada dešimtųjų skaičių, tada šimtąją. Sveikojo skaičiaus šaknis yra 15 sveikųjų skaičių. Norėdami gauti dešimtųjų skaičių, kaip matėme, prie likusios dalies turite pridėti dar 2 skaitmenis dešimtainio kablelio dešinėje. Mūsų pavyzdyje šių skaičių visai nėra; Pridėję juos prie liekanos ir tęsdami taip, lyg rastume sveikojo skaičiaus 24 800 šaknį, rasime dešimtųjų skaičių 7. Belieka rasti šimtųjų skaičių. Norėdami tai padaryti, prie likusio 151 pridedame dar 2 nulius ir tęsiame ištraukimą, tarsi rastume sveikojo skaičiaus 2 480 000 šaknį. Gauname 15,74. Kad šis skaičius iš tikrųjų yra apytikslis 248 šaknis, kurio tikslumas yra 1/100, matyti iš toliau pateiktų dalykų. Jei rastume didžiausią sveikojo skaičiaus kvadratinę šaknį iš sveikojo skaičiaus 2 480 000, gautume 1574; Priemonės:

1574 2 < 2 480 000, bet 1575 2 > 2 480 000.

Padalinę visus skaičius iš 10 000 (= 100 2), gauname:

Tai reiškia, kad 15,74 yra ta dešimtainė trupmena, kurią pavadinome apytiksle šaknimi, kurios tikslumas yra 1/100 iš 248.

Taikydami šią techniką apytiksliai šaknims rasti, kurių tikslumas yra nuo 1/1000 iki 1/10000 ir t. t., gauname taip.

Taisyklė. Norėdami išgauti apytikslę šaknį iš duoto sveikojo skaičiaus arba tam tikros dešimtainės trupmenos tikslumu nuo 1/10 iki 1/100 iki 1/100 ir tt, pirmiausia suraskite apytikslę šaknį, kurios tikslumas yra 1, ištraukdami sveikasis skaičius (jei ne, jie rašo apie 0 sveikųjų skaičių šaknį).

Tada jie suranda dešimtųjų skaičių. Norėdami tai padaryti, prie likusios dalies pridėkite 2 radikalinio skaičiaus skaitmenis, esančius dešinėje nuo kablelio (jei jų nėra, prie likusios dalies pridėkite du nulius) ir tęskite ekstrahavimą, kaip daroma išimant sveikojo skaičiaus šaknį. . Gautas skaičius rašomas šaknyje dešimtųjų vietoje.

Tada suraskite šimtąją skaičių. Norėdami tai padaryti, du skaičiai, esantys dešinėje nuo ką tik pašalintų, pridedami prie likusios dalies ir kt.

Taigi, išimant sveikojo skaičiaus šaknį su dešimtaine trupmena, reikia padalyti į veidus po 2 skaitmenis, pradedant nuo kablelio, tiek į kairę (sveikojoje skaičiaus dalyje), tiek į dešinę (į trupmeninė dalis).

Pavyzdžiai.

1) Raskite iki 1/100 šaknų: a) √2; b) √0,3;

Paskutiniame pavyzdyje trupmeną 3/7 konvertavome į dešimtainį skaičių, apskaičiuodami 8 skaitmenis po kablelio, kad sudarytume 4 veidus, kurių reikia norint rasti 4 šaknies skaitmenis po kablelio.

178. Kvadratinių šaknų lentelės aprašymas.Šios knygos pabaigoje yra kvadratinių šaknų lentelė, apskaičiuota keturiais skaitmenimis. Naudodami šią lentelę galite greitai rasti sveikojo skaičiaus (arba dešimtainės trupmenos) kvadratinę šaknį, išreikštą ne daugiau kaip keturiais skaitmenimis. Prieš paaiškindami šios lentelės struktūrą, pažymime, kad pirmą reikšmingą norimos šaknies skaitmenį visada galime rasti be lentelių pagalbos, tiesiog pažvelgę ​​į radikalųjį skaičių; Taip pat galime nesunkiai nustatyti, kurią dešimtainę vietą reiškia pirmasis šaknies skaitmuo, todėl kur šaknyje, radę jos skaitmenis, turime dėti kablelį. Štai keletas pavyzdžių:

1) √5"27,3 . Pirmasis skaitmuo bus 2, nes radikalaus skaičiaus kairėje pusėje yra 5; o 5 šaknis lygi 2. Be to, kadangi radikalo sveikojoje dalyje yra tik 2 veidai, tai sveikojoje norimos šaknies dalyje turi būti 2 skaitmenys, todėl pirmasis jos skaitmuo 2 turi būti reiškia dešimtukus.

2) √9,041. Akivaizdu, kad šioje šaknyje pirmasis skaitmuo bus 3 pirminiai vienetai.

3) √0,00"83"4. Pirmasis reikšmingas skaitmuo yra 9, nes veidas, iš kurio reikėtų paimti šaknį, norint gauti pirmąjį reikšminį skaitmenį, yra 83, o 83 šaknis yra 9. Kadangi reikiamame skaičiuje nebus nei sveikųjų, nei dešimtųjų, pirmasis skaitmuo 9 turi reikšti šimtąsias dalis.

4) √0,73"85. Pirmas reikšmingas skaičius – 8 dešimtosios.

5) √0.00"00"35"7. Pirmas reikšmingas skaičius bus 5 tūkstantosios dalys.

Padarykime dar vieną pastabą. Tarkime, kad reikia išgauti šaknį iš skaičiaus, kuris, atmetus jame užimtą žodį, yra pavaizduotas tokia skaičių seka: 5681. Ši šaknis gali būti viena iš šių:

Jei paimsime šaknis, kurias pabraukėme viena eilute, tada jos visos bus išreikštos ta pačia skaičių seka, būtent tais skaičiais, kurie gaunami ištraukus šaknį iš 5681 (tai bus skaičiai 7, 5, 3, 7 ). Taip yra todėl, kad veidai, į kuriuos reikia padalyti radikalųjį skaičių ieškant šaknies skaitmenų, visuose šiuose pavyzdžiuose bus vienodi, todėl kiekvienos šaknies skaitmenys bus vienodi (tik dešimtainio skaičiaus vieta taškas, žinoma, bus kitoks). Lygiai taip pat visose šaknyse, kurias pabraukėme dviem eilutėmis, turėtų būti gauti tie patys skaičiai, būtent tie, kurie naudojami išreikšti √568.1 (šie skaičiai bus 2, 3, 8, 3) ir tuo pačiu. priežastis. Taigi skaičių šaknų skaitmenys, pavaizduoti (atmetus kablelį) ta pačia skaičių eilute 5681, bus dviejų (ir tik dviejų) rūšių: arba tai yra 7, 5, 3, 7 eilutė arba 2, 3, 8, 3 eilutė. Tą patį, be abejo, galima pasakyti ir apie bet kurią kitą skaičių seką. Todėl, kaip dabar matysime, lentelėje kiekviena radikalinio skaičiaus skaitmenų eilutė atitinka 2 šaknų skaitmenų eilutes.

Dabar galime paaiškinti lentelės struktūrą ir kaip ją naudoti. Siekiant aiškumo, čia parodėme pirmojo lentelės puslapio pradžią.

Ši lentelė yra keliuose puslapiuose. Ant kiekvieno iš jų pirmame stulpelyje kairėje dedami skaičiai 10, 11, 12... (iki 99). Šie skaičiai išreiškia pirmuosius 2 skaičiaus, iš kurio ieškoma kvadratinės šaknies, skaitmenis. Viršutinėje horizontalioje eilutėje (taip pat ir apačioje) yra skaičiai: 0, 1, 2, 3... 9, reiškiantys 3 šio skaičiaus skaitmenį, o toliau į dešinę yra skaičiai 1, 2, 3. . . 9, reiškiantis 4 šio skaičiaus skaitmenį. Visose kitose horizontaliose eilutėse yra 2 keturženkliai skaičiai, išreiškiantys atitinkamų skaičių kvadratines šaknis.

Tarkime, kad reikia rasti kokio nors skaičiaus kvadratinę šaknį – sveikąjį skaičių arba išreikštą dešimtaine trupmena. Visų pirma, be lentelių pagalbos randame pirmąjį šaknies skaitmenį ir jo skaitmenį. Tada atmesime kablelį šiame skaičiuje, jei toks yra. Pirmiausia darykime prielaidą, kad, pavyzdžiui, atmetus kablelį, liks tik 3 skaitmenys. 114. Lentelėse kairiausiame stulpelyje randame pirmuosius 2 skaitmenis, t.y 11, ir judame iš jų į dešinę horizontalia linija, kol pasiekiame vertikalią stulpelį, kurio viršuje (ir apačioje) yra 3 skaitmuo. skaičiaus , t.y 4. Šioje vietoje randame du keturženklius skaičius: 1068 ir 3376. Kurį iš šių dviejų skaičių reikia paimti ir kur jame dėti kablelį, tai lemia pirmasis šaknies skaitmuo ir jo skaitmuo, kurį radome anksčiau. Taigi, jei reikia rasti √0,11"4, tada pirmasis šaknies skaitmuo yra 3 dešimtosios, todėl šaknies skaitmuo turi būti 0,3376. Jei reikia rasti √1,14, tada pirmasis šaknies skaitmuo būtų 1, o mes Tada imtume 1,068.

Tokiu būdu galime lengvai rasti:

√5,30 = 2,302; √7"18 = 26,80; √0,91"6 = 0,9571 ir kt.

Tarkime, kad reikia rasti 4 skaitmenimis išreikšto skaičiaus (atmetant dešimtainį tašką) šaknį, pavyzdžiui, √7"45.6. Atsižvelgdami į tai, kad pirmasis šaknies skaitmuo yra 2 dešimtys, randame skaičius 745, kaip jau buvo paaiškinta, skaitmenys 2729 (pastebime šį skaičių tik pirštu, bet neužsirašykite, tada judame toliau į dešinę nuo šio skaičiaus iki dešinės lentelės pusės (už.). paskutinę paryškintą eilutę) sutinkame vertikalią stulpelį, pažymėtą viršuje (ir apačioje) 4. šio skaičiaus skaitmenį, t (galvoje) prie anksčiau rasto skaičiaus 2729. Užrašome šį skaičių ir dedame kablelį į reikiamą vietą: 27.30.

Tokiu būdu randame, pavyzdžiui:

√44,37 = 6,661; √4,437 = 2,107; √0,04"437 =0,2107 ir kt.

Jei radikalus skaičius išreiškiamas tik vienu ar dviem skaitmenimis, galime daryti prielaidą, kad po šių skaitmenų yra vienas arba du nuliai, ir tada elgtis taip, kaip paaiškinta trijų skaitmenų skaičiui. Pavyzdžiui, √2,7 =√2,70 =1,643; √0,13 = √0,13"0 = 0,3606 ir kt.

Galiausiai, jei radikalus skaičius išreikštas daugiau nei 4 skaitmenimis, paimsime tik pirmuosius 4 iš jų, o likusius išmesime, o klaidos sumažinimui, jei pirmasis iš atmestų skaitmenų yra 5 arba daugiau nei 5, tada padidinsime l ketvirtąjį iš išsaugotų skaitmenų . Taigi:

√357,8| 3 | = 18,91; √0,49"35|7 | = 0,7025; ir taip toliau.

komentuoti.

Lentelėse nurodoma apytikslė kvadratinė šaknis, kartais su trūkumu, kartais su pertekliumi, būtent ta iš šių apytikslių šaknų, kuri yra arčiau tikslios šaknies. 179. Kvadratinių šaknų išskyrimas iš paprastųjų trupmenų.

Tikslią neredukuojamos trupmenos kvadratinę šaknį galima išgauti tik tada, kai abu trupmenos nariai yra tikslūs kvadratai. Tokiu atveju pakanka atskirai išgauti skaitiklio ir vardiklio šaknį, pavyzdžiui:

Lengviausias būdas rasti apytikslę paprastosios trupmenos kvadratinę šaknį su tam tikru tikslumu po kablelio – pirmiausia paprastąją trupmeną konvertuoti į dešimtainę trupmeną, šioje trupmenoje apskaičiuojant po kablelio skaičių po kablelio, kuris būtų dvigubai didesnis už kablelio skaičių. norimoje šaknyje.

Tačiau galite tai padaryti kitaip. Paaiškinkime tai tokiu pavyzdžiu:

Raskite apytikslę √ 5 / 24

Padarykime vardiklį tiksliu kvadratu. Tam pakaktų abu trupmenos narius padauginti iš vardiklio 24; bet šiame pavyzdyje galite tai padaryti kitaip. Išskaidykime 24 į pirminius veiksnius: 24 = 2 2 2 3. Iš šio skilimo aišku, kad jei 24 padauginsime iš 2 ir dar iš 3, tai sandaugoje kiekvienas paprastas veiksnys kartosis lyginį skaičių kartų, todėl , vardiklis taps kvadratu:

Belieka tam tikru tikslumu paskaičiuoti √30 ir padalyti rezultatą iš 12. Reikia turėti omenyje, kad padalijus iš 12 sumažės ir trupmena, rodanti tikslumo laipsnį. Taigi, jei rasime √30 1/10 tikslumu ir rezultatą padalinsime iš 12, gausime apytikslę trupmenos 5/24 šaknį 1/120 tikslumu (būtent 54/120 ir 55/120)

Trečias skyrius.Funkcijos grafikas .

x = √y 180. Atvirkštinė funkcija. Leiskite pateikti tam tikrą lygtį, kuri nustato adresu kaip funkcija X , pavyzdžiui, taip: 2 y = x Leiskite pateikti tam tikrą lygtį, kuri nustato adresu kaip funkcija . Galima sakyti, kad tai lemia ne tik , bet ir atvirkščiai, lemia adresu Leiskite pateikti tam tikrą lygtį, kuri nustato X kaip funkcija , nors ir numanomai. Kad ši funkcija būtų aiški, turime išspręsti šią lygtį Leiskite pateikti tam tikrą lygtį, kuri nustato , paėmus , pavyzdžiui, taip: 2 .

už žinomą numerį; Taigi, iš lygties, kurią paėmėme, randame:

Algebrinė išraiška, gauta x, išsprendus lygtį, kuri apibrėžia y kaip x funkciją, vadinama atvirkštine tos, kuri apibrėžia y, funkcija. Funkcijos grafikas Taigi, funkcija , pavyzdžiui, taip: 2 atvirkštinė funkcija kaip funkcija . Jei, kaip įprasta, žymime nepriklausomą kintamąjį Leiskite pateikti tam tikrą lygtį, kuri nustato , ir išlaikytinis , tada dabar gautą atvirkštinę funkciją galima išreikšti taip: y = √ x kaip funkcija . Taigi, norint gauti funkciją, atvirkštinę duotai (tiesioginei) funkcijai, reikia išvesti iš lygties, apibrėžiančios šią duotąją funkciją Priklausomai nuo o gautoje išraiškoje pakeisti Priklausomai nuo įjungta x , A kaip funkcija įjungta Priklausomai nuo .

181. Funkcijos grafikas , tada dabar gautą atvirkštinę funkciją galima išreikšti taip: . Ši funkcija negalima su neigiama verte kaip funkcija , bet jį galima apskaičiuoti (bet kokiu tikslumu) bet kokiai teigiamai vertei x , ir kiekvienai tokiai vertei funkcija gauna dvi skirtingas reikšmes su ta pačia absoliučia verte, bet su priešingais ženklais. Jei esate susipažinę √ Jei žymime tik kvadratinės šaknies aritmetinę reikšmę, tada šias dvi funkcijos reikšmes galima išreikšti taip: y= ± √x Norėdami nubraižyti šios funkcijos grafiką, pirmiausia turite sudaryti jos reikšmių lentelę. Lengviausias būdas sukurti šią lentelę yra iš tiesioginių funkcijų reikšmių lentelės:

, pavyzdžiui, taip: 2 .

x

Priklausomai nuo

jei vertybės Leiskite pateikti tam tikrą lygtį, kuri nustato priimti kaip vertybes kaip funkcija , ir atvirkščiai:

y= ± √x

Nubraižę visas šias reikšmes brėžinyje, gauname tokią grafiką.

Tame pačiame brėžinyje pavaizdavome (su laužta linija) tiesioginės funkcijos grafiką , pavyzdžiui, taip: 2 . Palyginkime šiuos du grafikus tarpusavyje.

182. Tiesioginių ir atvirkštinių funkcijų grafikų ryšys. Sudaryti atvirkštinės funkcijos verčių lentelę y= ± √x paėmėme už kaip funkcija tie skaičiai, kurie yra tiesioginės funkcijos lentelėje , pavyzdžiui, taip: 2 tarnavo kaip vertybės Leiskite pateikti tam tikrą lygtį, kuri nustato , ir už Leiskite pateikti tam tikrą lygtį, kuri nustato paėmė tuos skaičius; kurių vertės šioje lentelėje buvo x . Iš to išplaukia, kad abu grafikai yra vienodi, tik tiesioginės funkcijos grafikas yra išdėstytas ašies atžvilgiu Leiskite pateikti tam tikrą lygtį, kuri nustato - kaip atvirkštinės funkcijos grafikas yra ašies atžvilgiu kaip funkcija - ov. Dėl to, jei brėžinį sulenksime aplink tiesią liniją OA dalijantis stačiu kampu xOy , kad brėžinio dalis, kurioje yra pusašis OU , nukrito ant dalies, kurioje yra ašies velenas Oi , Tai OU suderinama su Oi , visi skyriai OU sutaps su dalybomis Oi , ir parabolės taškai , pavyzdžiui, taip: 2 sulygiuos su atitinkamais grafiko taškais y= ± √x . Pavyzdžiui, taškai M Ir N , kurio ordinatė 4 , ir abscisės 2 Ir - 2 , sutaps su taškais M" Ir N" , kuriam abscisė 4 , ir ordinatės 2 Ir - 2 . Jei šie taškai sutampa, tai reiškia, kad tiesios linijos MM" Ir NN" statmenai OA ir padalykite šią tiesią per pusę. Tą patį galima pasakyti apie visus kitus atitinkamus abiejų grafikų taškus.

Taigi atvirkštinės funkcijos grafikas turėtų būti toks pat kaip tiesioginės funkcijos grafikas, tačiau šie grafikai yra išdėstyti skirtingai, būtent simetriškai vienas kito atžvilgiu kampo pusiausvyros atžvilgiu. xOy . Galime sakyti, kad atvirkštinės funkcijos grafikas yra tiesioginės funkcijos grafiko atspindys (kaip veidrodyje) kampo pusiausvyros atžvilgiu. xOy .

Kvadratinės šaknies apskaičiavimas (arba ištraukimas) gali būti atliekamas keliais būdais, tačiau visi jie nėra labai paprasti. Žinoma, lengviau naudoti skaičiuotuvą. Bet jei tai neįmanoma (arba norite suprasti kvadratinės šaknies esmę), galiu patarti eiti tokiu būdu, jo algoritmas yra toks:

Jei neturite jėgų, noro ar kantrybės tokiems ilgiems skaičiavimams, galite pasinaudoti grubiu pasirinkimu, nes jis yra neįtikėtinai greitas ir, naudojant reikiamą išradingumą, tikslus. Pavyzdys:

Kai mokiausi mokykloje (60-ųjų pradžioje), buvome mokomi imti kvadratinę šaknį iš bet kurio skaičiaus. Technika paprasta, išoriškai panaši į ilgą padalijimą, tačiau norint ją pateikti čia prireiks pusvalandžio laiko ir 4-5 tūkstančių teksto simbolių. Bet kam tau to reikia? Jūs turite telefoną ar kitą programėlę, nm turi skaičiuotuvą. Bet kuriame kompiuteryje yra skaičiuotuvas. Asmeniškai aš norėčiau atlikti tokius skaičiavimus programoje „Excel“.

Dažnai mokykloje reikia rasti skirtingų skaičių kvadratines šaknis. Bet jei esame įpratę nuolat tam naudoti skaičiuotuvą, tai egzaminuose tai nebus įmanoma, todėl turime išmokti ieškoti šaknies be skaičiuoklės pagalbos. Ir tai iš principo įmanoma padaryti.

Algoritmas yra toks:

Pirmiausia pažiūrėkite į paskutinį savo numerio skaitmenį:

Pavyzdžiui,

Dabar turime apytiksliai nustatyti kairėje esančios grupės šaknies reikšmę

Tuo atveju, kai skaičius turi daugiau nei dvi grupes, šaknį reikia rasti taip:

Bet kitas skaičius turėtų būti didžiausias, jį reikia pasirinkti taip:

Dabar turime sudaryti naują skaičių A, pridėdami šią grupę prie likusios dalies, kuri buvo gauta aukščiau.

Mūsų pavyzdžiuose:

Stulpelis aukštesnis, o kai reikia daugiau nei penkiolikos simbolių, dažniausiai ilsisi kompiuteriai ir telefonai su skaičiuotuvais. Belieka patikrinti, ar metodikos aprašymas užtruks 4-5 tūkstančius simbolių.

Paimkite bet kurį skaičių, suskaičiuokite skaitmenų poras dešinėje ir kairėje nuo kablelio

Pavyzdžiui, 1234567890.098765432100

Skaičių pora yra kaip dviženklis skaičius. Dviejų skaitmenų šaknis yra vienaženklė. Mes pasirenkame vieną skaitmenį, kurio kvadratas yra mažesnis už pirmąją skaitmenų porą. Mūsų atveju tai yra 3.

Kaip ir dalijant iš stulpelio, šį kvadratą išrašome po pirmąja pora ir atimame iš pirmosios poros. Rezultatas pabrauktas. 12 - 9 = 3. Prie šio skirtumo pridėkite antrą skaičių porą (bus 334). Į kairę nuo bermų skaičiaus dviguba tos rezultato dalies, kuri jau buvo rasta, reikšmė papildoma skaičiumi (turime 2 * 6 = 6), kad padauginus iš negauto skaičiaus neviršija skaičiaus su antrąja skaitmenų pora. Gauname, kad rasta figūra yra penki. Vėl randame skirtumą (9), pridedame kitą skaitmenų porą, kad gautume 956, vėl išrašome padvigubėjusią rezultato dalį (70), vėl papildome norimu skaitmeniu ir taip toliau, kol jis sustos. Arba iki reikiamo skaičiavimų tikslumo.

Pirma, norėdami apskaičiuoti kvadratinę šaknį, turite gerai žinoti daugybos lentelę. Paprasčiausi pavyzdžiai yra 25 (5 x 5 = 25) ir pan. Jei imsite sudėtingesnius skaičius, galite naudoti šią lentelę, kurioje horizontali linija yra vienetai, o vertikali linija yra dešimtys.



Yra geras būdas rasti skaičiaus šaknį be skaičiuoklių. Norėdami tai padaryti, jums reikės liniuotės ir kompaso. Esmė ta, kad liniuotėje rasite vertę, esančią po jūsų šaknimi. Pavyzdžiui, pažymėkite ženklą šalia 9. Jūsų užduotis yra padalinti šį skaičių į vienodą skaičių atkarpų, tai yra į dvi eilutes po 4,5 cm, ir į lyginį segmentą. Nesunku atspėti, kad galų gale gausite 3 segmentus po 3 centimetrus.

Metodas nėra lengvas ir netinka dideliems skaičiams, tačiau jį galima apskaičiuoti ir be skaičiuotuvo.

Be skaičiuoklės pagalbos kvadratinės šaknies ištraukimo būdas buvo mokomas sovietiniais laikais mokykloje 8 klasėje.

Norėdami tai padaryti, turite suskaidyti kelių skaitmenų skaičių iš dešinės į kairę į 2 skaitmenų veidus :

Pirmasis šaknies skaitmuo yra visa kairiosios pusės šaknis, šiuo atveju 5.

Iš 31 atimame 5 kvadratą, 31-25 = 6 ir prie šešių pridedame kitą kraštą, gauname 678.

Kitas skaitmuo x suderinamas su dvigubu penketu, kad

10x*x buvo didžiausias, bet mažesnis nei 678.

x = 6, nes 106 * 6 = 636,

Dabar apskaičiuojame 678 - 636 = 42 ir pridedame kitą kraštą 92, turime 4292.

Vėlgi ieškome maksimalaus x tokio, kad 112x*x lt; 4292.

Atsakymas: šaknis yra 563

Taip galite tęsti tol, kol reikia.

Kai kuriais atvejais radikalųjį skaičių galite pabandyti išskaidyti į du ar daugiau kvadratinių koeficientų.

Taip pat pravartu prisiminti lentelę (ar bent dalį jos) – natūraliųjų skaičių nuo 10 iki 99 kvadratus.



Siūlau savo sugalvotą versiją, skirtą stulpelio kvadratinei šaknims išgauti. Jis skiriasi nuo visuotinai žinomo, išskyrus skaičių pasirinkimą. Bet kaip vėliau sužinojau, šis metodas egzistavo jau daugelį metų prieš man gimstant. Didysis Izaokas Niutonas tai aprašė savo knygoje „Bendra aritmetika“ arba knygoje apie aritmetinę sintezę ir analizę. Taigi čia pateikiu savo viziją ir Niutono metodo algoritmo pagrindimą. Algoritmo įsiminti nereikia. Jei reikia, kaip vaizdinę pagalbą galite tiesiog naudoti paveikslėlyje pateiktą diagramą.







Naudodami lenteles galite ne apskaičiuoti, o rasti lentelėse esančių skaičių kvadratines šaknis. Lengviausias būdas apskaičiuoti ne tik kvadratines šaknis, bet ir kitus laipsnius yra nuoseklių aproksimacijų metodas. Pavyzdžiui, apskaičiuojame 10739 kvadratinę šaknį, paskutinius tris skaitmenis pakeičiame nuliais ir ištraukiame šaknį iš 10000, gauname 100 su trūkumu, todėl paimame skaičių 102 kvadratu, gauname 10404, kuris taip pat yra mažesnis. nei duotoji, vėl imame 103*103=10609 su minusu, imame 103,5*103,5=10712,25, imame dar daugiau 103,6*103,6=10732, imame 103,7*103,7=10753,69. Galite paimti, kad 10739 šaknis yra maždaug lygi 103,6. Tiksliau 10739=103.629... . . Panašiai apskaičiuojame kubo šaknį, pirmiausia iš 10000 gauname apytiksliai 25*25*25=15625, tai yra perteklius, imame 22*22*22=10,648, imame šiek tiek daugiau nei 22,06*22,06*22,06=10735 , kuris yra labai artimas duotam.