Dažnai studijuojant įvairių medžiagų gamtos, cheminių ir fizinių savybių reiškinius, taip pat sprendžiant sudėtingas technines užduotis, būtina spręsti procesus, kurių būdingas bruožas yra periodiškumas, ty polinkis pasikartojimas po tam tikrą laikotarpį. Norėdami apibūdinti ir grafinius tokio cikliškumo vaizdus moksle, yra specialios rūšies funkcija - periodinė funkcija.

Lengviausias ir labiausiai suprantamas pavyzdys yra mūsų planetos apeliacija aplink saulę, kurioje visą laiką atstumas keičiasi tarp jų yra taikomi metiniai ciklai. Tokiu pačiu būdu, jis grįžta į savo vietą, baigę visą posūkį, turbinų ašmenys. Visi panašūs procesai gali būti apibūdinami tokia matematine verte kaip periodinė funkcija. Ir didelis, visas mūsų pasaulis yra dviratis. Taigi periodinė funkcija užima svarbią vietą žmogaus koordinates sistemoje.

Matematinio mokslo poreikis topologijoje ir tikslūs geometriniai skaičiavimai paskatino išvaizdą XIX a. Nauja funkcijų kategorija su neįprastomis savybėmis. Jie tapo periodinėmis funkcijomis, gaunančiomis vienodas vertybes tam tikruose taškuose dėl sudėtingų transformacijų. Dabar jie naudojami daugelyje matematikos ir kitų mokslų skyrių. Pavyzdžiui, studijuojant įvairius soskiliacinius poveikius bangų fizikoje.

Įvairiuose matematiniuose vadovėliuose pateikiami skirtingi periodinės funkcijos apibrėžtys. Tačiau, nepaisant šių formuluotės neatitikimų, visi jie yra lygiaverčiai, nes jie apibūdina tą patį paprasčiausią ir suprantamą būti tokiu apibrėžimu. Funkcijos, kurių skaitiniai rodikliai nėra keičiami, jei jie prideda prie savo argumentų, išskyrus nulį, vadinamąją funkciją funkciją, pažymėtą literatūros t, vadinama periodiniais. Ką tai reiškia?

Pavyzdžiui, paprasta forma formos: y \u003d f (x) bus periodinis, jei X turi tam tikrą laikotarpį (t). Iš šio apibrėžimo matyti, kad jei skaitmeninė vertė funkcija (t) yra nustatoma viename iš taškų (X), tada jo vertė taip pat tampa žinoma taškuose x + t, x - T. svarbus taškas Čia yra tai, kad lygi nuliui, funkcija virsta tapatybe. Periodinė funkcija gali turėti begalinį skirtingų laikotarpių skaičių. Atsižvelgiant į tuos atvejus tarp teigiamų vertybių, yra laikotarpis su mažiausiu skaitiniu rodikliu. Jis vadinamas pagrindiniu laikotarpiu. Ir visos kitos to visada jam. Tai dar vienas įdomus ir labai svarbus turtas įvairioms mokslo sritims.

Periodinės funkcijos grafikas taip pat turi keletą funkcijų. Pavyzdžiui, jei t yra pagrindinis išraiškos laikotarpis: y \u003d f (x), tada statant šios funkcijos grafiką, pakanka tik statyti filialą viename iš laikotarpio trukmės laikotarpių ir tada Perkelkite jį išilgai X ašies iki šių reikšmių: ± t, ± 2t, ± 3t ir pan. Apibendrinant, reikėtų pažymėti, kad ne periodinė funkcija turi pagrindinį laikotarpį. Klasikinis pavyzdys yra Vokietijos matematikos Dirichlet funkcija: Y \u003d D (X).

IX funkcijos ir ribos

§ 207. Periodinės funkcijos

Funkcija w. = F. (x. ) vadinamas periodiškai, jei yra numerisT \u003d / \u003d 0, taip, kad visose vertybėse h. Nuo funkcijos apibrėžimo srities.

f. (x. + T) \u003d \u003d F. (x. ) .

Numeris t šiuo atveju vadinamas funkcijų laikotarpiu.

Periodiniai yra, pavyzdžiui, trigonometrinės funkcijos w. \u003d Nuodėmė h. ir. \\ T w. \u003d Cos. h. . Jų laikotarpis yra lygus 2 π . Periodinės neribonetrinės funkcijos pavyzdys gali būti funkcija w. = {h. ), kuris kiekvienas skaičius h. patenka į jo dalines dalį *.

* Dalinėje numerio dalyje žr. VIII skyrių, § 187.

Pavyzdžiui, (3.56) \u003d 0,56; (2.01) \u003d 0,01 ir kt. Jei savavališkas numeris h. pridėti 1, tada tik visa šio skaičiaus dalis pasikeis; Dalinoji dalis išliks tokia pati. Taigi, ( h. + 1} = {h. ) ir todėl funkcija w. = {h. ) Jis yra periodinis su 1 laikotarpiu.

Nuo lygybės. \\ T f. (x. + T) \u003d \u003d F. (x. ) Iš to išplaukia, kad visos funkcijos vertės W. = F. (x. ) Pakartokite su laikotarpiu T. Tai atsispindi periodinių funkcijų grafiniu vaizde. Pavyzdžiui, sinusoidinio intervalo, jis turi tą pačią formą kaip ir intervalais ir tt (pav. 282).

283 paveiksle parodyta funkcijų tvarkaraštis w. = {h. ). Periodiškumo funkcija w. = {h. ) Tai yra dėl to, kad jo grafikas intervale yra tokia pati forma kaip ir intervalais ir kt.

Jei t yra funkcijos laikotarpis f. (x. ), tada 2t, 3t, 4t ir tt Taip pat laikotarpiai šios funkcijos.

Tikrai,

f. (x. + 2T) \u003d f. [(x. + T) + t] \u003d f. (x. + T) \u003d \u003d f. (x. ),

f. (x. + 3T) \u003d f. [(x. + 2T) + t] \u003d f. (x. + 2T) \u003d f. (x. )

ir taip toliau. Be to, funkcijos laikotarpis f. (x. ) gali būti laikomas bet kuriuo iš numerių: - T, - 2t, - 3t ir tt, iš tikrųjų,

f. (x. - t) \u003d f. [(x. - t) + t] \u003d f. (x. ),

f. (x. - 2T) \u003d f. [(x. - 2T) + 2T] \u003d f. (x. )

ir tt Taigi, jei numeris t yra funkcijos laikotarpis f. (x. ), tada su visais p Skaičius p T taip pat šios funkcijos laikotarpis. todėl bet kokia periodinė funkcija turi begalinį laikotarpių rinkinį. . Pavyzdžiui, funkcijos laikotarpis w. \u003d Nuodėmė x. Galite apsvarstyti bet kurį numerius: 2 π , 4π , 6π , - 2π , - 4π ir funkcijos funkcija w. = {h. ) - bet kuris iš numerių: 1, 2, 3, - 1, - 2, - 3 ir kt.

Kalbant apie funkciją w. = f. (x. ), paprastai reiškia mažiausią teigiamą laikotarpį. Taigi, mes sakome, kad funkcijos laikotarpis w. \u003d Nuodėmė h. yra 2 numeris. π , funkcijų laikotarpis w. \u003d Tg. h. - NUMBER. \\ T π , funkcijų laikotarpis ( h. ) - 1 numeris ir kt.

Tačiau tai turėtų nepamiršti, kad mažiausias teigiamas laikotarpis periodiškai gali būti.

Pavyzdžiui, funkcijai f. (x. ) \u003d 3 (284 pav.) Bet koks galiojantis numeris yra laikotarpis. Tačiau tarp teigiamų galiojančių skaičių nėra mažiausio. Todėl funkcija f. (x. ) \u003d 3, turintys begalinį laikotarpių rinkinį, neturi mažiausio teigiamo laikotarpio.

Pratimai

Kiekvienai iš šių funkcijų (Nr. 1613-1621) rasti mažiausią teigiamą laikotarpį:

1613. w. \u003d Sin 2. h. . 1619. w. \u003d nuodėmė (3 h. - π / 4).

1614. w. \u003d Cos. x. / 2 . 1620. w. \u003d Sin 2. h.

1615. w. \u003d Tg 3. h. . 1621. w. \u003d Sin 4. h. + COS 4. h. .

1616. w. \u003d Cos (1 - 2) h. ).

1617. w. \u003d Nuodėmė h. cos. h. .

1618. w. \u003d Ctg. x. / 3 ;

1622. Įrodyti, kad suma ir produktas dviejų funkcijų, periodiškai su tuo pačiu laikotarpiu t, yra funkcijos periodiškai su T.

1623 *. Įrodyti, kad funkcija w. \u003d Nuodėmė h. + {h. ), kuri yra dviejų periodinių funkcijų suma w. \u003d Nuodėmė h. ir. \\ T w. = {h. ), Pati nėra periodinė.

Ar tai neprieštarauja ankstesnės užduoties rezultatui?

1624. Kaip užbaigti funkcijos tvarkaraštį w. = f. (x. ), periodiškai su laikotarpiu, jei jis nurodomas tik intervale?

Numeris t, kuris yra skirtas bet kokiam x f (x + t) \u003d f (x). Tai yra numeris t ir vadinamas funkcijų laikotarpiu.

Laikotarpiai gali būti šiek tiek. Pavyzdžiui, funkcija f \u003d cont už bet kokias argumento vertes užima tokią pačią vertę, todėl bet koks skaičius gali būti laikomas jo laikotarpiu.

Paprastai interesai yra mažiausia ne vienoda nulinės funkcijos funkcija. Tai yra trumpai ir yra vadinamas tiesiog laikotarpiu.

Klasikinis periodinių funkcijų pavyzdys yra trigonometrinis: sinusas, kosinas ir liestinė. Jų laikotarpis yra tas pats ir lygus 2π, tai yra, nuodėmė (x) \u003d nuodėmė (x + 2π) \u003d nuodėmė (x + 4π) ir pan. Tačiau, žinoma, trigonometrinės funkcijos nėra vienintelės periodinės.

Santykinai paprasta, pagrindinės funkcijos vienintelis būdas nustatyti jų dažnį ar ne periodiškumą - skaičiavimai. Tačiau sudėtingoms funkcijoms jau yra keletas paprastų taisyklių.

Jei f (x) - su t laikotarpiu, o darinys yra nustatomas už jį, tada šis darinys f (x) \u003d f '(x) taip pat yra periodinė funkcija su laikotarpiu T. Galų gale, išvestinių finansinių priemonių vertė X punkte yra lygus jo primityvaus primityvaus diagramos kampo tangentui šiuo metu į abscisos ašį, ir kadangi jis yra periodiškai kartojamas, jis turėtų būti pakartotas. Pavyzdžiui, nuodėmės (x) funkcijos darinys yra cos (x), ir jis yra periodinis. Atsižvelgiant į darinį nuo cos (x), gausite -sin (x). Dažnumas yra nepakeista.

Tačiau priešingai ne visada tiesa. Taigi, funkcija f (x) \u003d Const yra periodinė, o jo primityvus f (x) \u003d const * x + c nėra.

Jei f (x) yra periodinė funkcija su t, tada g (x) \u003d a * f (kx + b), kur A, B ir k - konstantos ir k yra ne nulis - taip pat periodinė funkcija, ir jos laikotarpis yra lygus t / k. Pavyzdžiui, nuodėmė (2x) yra periodinė funkcija, o jo laikotarpis yra lygus π. Jis gali būti aiškiai įsivaizduojamas: daugelyje kai kurių numerių padauginate funkcijas horizontaliai tiek daug kartų

Jei F1 (x) ir F2 (x) yra periodinės funkcijos, o jų laikotarpiai yra lygūs T1 ir T2, šių funkcijų suma taip pat gali būti periodinė. Tačiau jo laikotarpis nebus paprastas laikotarpių suma T1 ir T2. Jei dalijantis T1 / T2 rezultatas yra racionalus numeris, tada funkcijų suma yra periodinė, o jo laikotarpis yra lygus mažiausiems bendriems (NOK) laikotarpiams T1 ir T2. Pavyzdžiui, jei pirmasis funkcijų laikotarpis yra 12, ir antrojo - 15, tada jų sumos laikotarpis bus lygus NOC (12, 15) \u003d 60.

Jis gali būti aiškiai įsivaizduojamas: funkcijos eina su skirtingu "žingsnio pločio", tačiau jei jų santykis yra racionaliai, jis yra ankstyvas arba (arba, jis yra per NOC žingsnius), jie vėl palygina juos ir jų suma bus pradėti naują laikotarpį.

Tačiau, jei laikotarpių santykis visai nebus periodinės. Pavyzdžiui, leiskite F1 (x) \u003d x mod 2 (liekana nuo x iki 2) ir F2 (x) \u003d nuodėmė (x). T1 čia bus 2, o t2 yra 2π. Laikotarpių santykis yra π - neracionalus skaičius. Todėl funkcija nuodėmė (x) + x mod 2 nėra periodinė.

Šaltiniai:

• Teorinė informacija apie funkcijas

Daugelis matematinių funkcijų turi vieną funkciją, kuri palengvina jų statybą - tai periodiškumasTai reiškia, kad koordinačių tinklo grafiko pakartojamumas lygiomis intervalais.

Instrukcija

Garsiausios periodinės sinusoido ir kosino matematikos funkcijos. Šios funkcijos turi bangą ir pagrindinį laikotarpį, lygų 2p. Be to, tam tikras periodinės funkcijos atvejis yra f (x) \u003d const. Pozicijoje X, bet koks numeris yra tinkamas, pagrindinis laikotarpis neturi šios funkcijos, nes tai yra tiesia linija.

Apskritai, funkcija yra periodinė, jei yra sveikas skaičius n, kuris yra nulis ir atitinka F (x) \u003d f (x + N) taisyklė, tokiu būdu užtikrinant pakartojamumą. Funkcijos funkcija yra mažiausias numeris N, bet ne nulis. Tai yra, pavyzdžiui, nuodėmės x funkcija yra lygi nuodėmės funkcijai (X + 2PN), kur n \u003d ± 1, ± 2 ir kt.

Kartais, kai funkcijos gali

Studijuodami gamtos reiškinius, sprendžiant technines užduotis, mes susiduriame su periodiniais procesais, kuriuos galima apibūdinti specialiojo tipo funkcijomis.

Funkcija Y \u003d F (x) su apibrėžimo lauku yra vadinama periodiniais, jei yra bent vienas numeris t\u003e 0, tai, kai atliekamos šios dvi sąlygos:

1) taškai x + t, x - t priklauso apibrėžimui D sritis bet kokiam x ∈ d;

2) kiekvienam x iš D yra santykis

f (x) \u003d f (x + t) \u003d f (x - t).

Numeris t yra vadinamas funkcija f (x). Kitaip tariant, periodinė funkcija yra tokia funkcija, kurių vertės kartojamos po tam tikro intervalo. Pavyzdžiui, funkcija y \u003d sin x yra periodinė (1 pav.) Su 2π laikotarpiu.

Atkreipkite dėmesį, kad jei numeris yra f (x) laikotarpis, tada skaičius 2T taip pat bus jo laikotarpis, taip pat 3T ir 4T ir tt, t. Y. Periodiškai funkcija begalinis daug skirtingų laikotarpių. Jei tarp jų yra mažiausias (ne lygus nulis), visi kiti funkcijos laikotarpiai yra daugelis šio numerio. Atkreipkite dėmesį, kad ne kiekviena periodinė funkcija turi tokį mažiausią teigiamą laikotarpį; Pavyzdžiui, funkcija f (x) \u003d 1 neturi tokio laikotarpio. Taip pat svarbu nepamiršti, kad, pavyzdžiui, dviejų periodinių funkcijų su tuo pačiu mažiausiu teigiamu laikotarpiu t 0 suma, nebūtinai turi tą patį teigiamą laikotarpį. Taigi funkcijų suma f (x) \u003d sin x ir g (x) \u003d -sin x ne visai neturi mažiausio teigiamo laikotarpio, o funkcijų suma f (x) \u003d sin x + sin 2x ir g ( x) \u003d -sin x, mažiausias laikotarpis yra 2π, yra mažiausias teigiamas laikotarpis, lygus π.

Jei dviejų funkcijų f (x) ir g (x) laikotarpių santykis yra racionalus skaičius, tada šios funkcijos suma ir produktas taip pat bus periodinės funkcijos. Jei laikotarpių santykis visoje ir nepertraukiamos funkcijos F ir G bus neracionalus skaičius, tada F + G ir FG funkcijos jau bus periodinės funkcijos. Pavyzdžiui, cos x sin √2 x ir cosj √2 x + sin x ir cosj √2 x + sin x yra ne periodiniai, nors nuodėmės x ir cos x funkcijos yra periodinės su 2π laikotarpiu, funkcijos nuodėmėmis √2 x ir cos √2 x yra periodiniai su √2 π laikotarpiu.

Atkreipkite dėmesį, kad jei f (x) yra periodinė funkcija su laikotarpiu, tada sudėtinga funkcija (jei, žinoma, tai yra prasminga) f (f (x)) taip pat yra periodinė funkcija, o numeris t tarnaus jo laikotarpis. Pavyzdžiui, funkcijos y \u003d sin 2 x, y \u003d √ (cos x) (2.3 pav.) - Periodinės funkcijos (čia: F 1 (z) \u003d Z2 ir F 2 (z) \u003d √Z). Tačiau nereikia manyti, kad jei Funkcija f (x) turi mažiausią teigiamą laikotarpį t 0, tada funkcija f (f (x)) turės tą patį mažiausią teigiamą laikotarpį; Pavyzdžiui, funkcija y \u003d sin 2 x turi mažiausią teigiamą laikotarpį, 2 kartus mažesnis už funkciją f (x) \u003d Sin X (2 pav.).

Tai lengva parodyti, kad jei funkcija F yra periodinė su laikotarpiu t, yra apibrėžta ir diferencijuojama kiekviename galiojančios tiesios linijos taške, tada funkcija F "(x) (darinys) taip pat yra periodinė funkcija su laikotarpiu t Tačiau pirmoji funkcija f (x) (žr. Integruotą skaičiavimą) f (x) bus periodinė funkcija tik tuo atveju, kai

F (t) - f (0) \u003d t o ∫ f (x) dx \u003d 0.