Atkreipkite dėmesį, kad visi apibrėžimai apima skaičių rinkinį X, kuris yra funkcijos srities dalis: X su D(f). Praktikoje dažniausiai pasitaiko atvejų, kai X yra skaitinis intervalas (segmentas, intervalas, spindulys ir kt.).

1 apibrėžimas.

Funkcija y \u003d f (x) vadinama didėjančia aibėje X su D (f), jei bet kuriuose dviejuose aibės X taškuose x 1 ir x 2 taip, kad x 1< х 2 , выполняется неравенство f(х 1 < f(х 2).

2 apibrėžimas.

Funkcija y \u003d f (x) vadinama mažėjančia aibėje X su D (f), jei bet kokiam dviejų aibės X taškų x 1 ir x 2 monotoniškumui, kad x 1< х 2 , функции выполняется неравенство f(x 1) >f(x2).

Praktikoje patogiau naudoti tokias formuluotes: funkcija didėja, jei didesnė argumento reikšmė atitinka didesnę funkcijos reikšmę; funkcija mažėja, jei didesnė argumento reikšmė atitinka mažesnę funkcijos reikšmę.

7 ir 8 klasėse naudojome tokį didėjančių arba mažėjančių funkcijų sąvokų geometrinį aiškinimą: judėdami didėjančios funkcijos grafiku iš kairės į dešinę tarsi kopiame į kalną (55 pav.); judant mažėjančios funkcijos grafiku iš kairės į dešinę, tarsi leistume nuo kalno (56 pav.).
Paprastai terminus „didinanti funkcija“, „mažėjanti funkcija“ vienija bendras pavadinimas monotoninė funkcija, o funkcijos didinimui ar mažinimui tyrimas vadinamas monotoniškumo funkcijos tyrimu.

Atkreipiame dėmesį į dar vieną aplinkybę: jei funkcija didėja (arba mažėja) savo natūralioje apibrėžimo srityje, tada paprastai sakoma, kad funkcija didėja (arba mažėja) – nenurodant skaitinės aibės X.

1 pavyzdys

Patikrinkite monotoniškumo funkciją:

bet) y \u003d x 3 + 2; b) y \u003d 5 - 2x.

Sprendimas:

a) Paimkite savavališkas argumento x 1 ir x 2 reikšmes ir tegul x 1<х 2 . Тогда, по свойствам числовых неравенств (мы с вами изучали их в курсе алгебры 8-го класса), будем иметь:

Paskutinė nelygybė reiškia, kad f(x 1)< f(х 2). Итак, из х 1 < х 2 следует f{х 1) < f(х 2), а это означает, что заданная функция возрастает (на всей числовой прямой).

Taigi nuo x 1< х 2 следует f(х 1) >f(x 2), o tai reiškia, kad duotoji funkcija mažėja (visoje skaičių eilutėje).

3 apibrėžimas.

Funkcija y - f(x) vadinama apribota aibėje X su D (f), jei visos funkcijos reikšmės aibėje X yra didesnės už kokį nors skaičių (kitaip tariant, jei yra skaičius m taip, kad bet kuriai reikšmei x є X būtų nelygybė f( x) >m).

4 apibrėžimas.

Funkcija y \u003d f (x) vadinama apribota iš viršaus aibėje X su D (f), jei visos funkcijos reikšmės yra mažesnės už tam tikrą skaičių (kitaip tariant, jei yra toks skaičius M, kad bet kuriai reikšmei x є X nelygybė f (x)< М).

Jei aibė X nenurodyta, tai daroma prielaida, kad funkcija apribota iš apačios arba iš viršaus visoje apibrėžimo srityje.

Jei funkcija ribojama ir iš apačios, ir iš viršaus, tada ji vadinama ribojama.

Funkcijos ribotumas lengvai nuskaitomas iš jos grafiko: jei funkcija ribojama iš apačios, tai jos grafikas yra visas virš kokios nors horizontalios linijos y \u003d m (57 pav.); jei funkcija ribojama iš viršaus, tada jos grafikas yra visiškai žemiau tam tikros horizontalios linijos y \u003d M (58 pav.).

2 pavyzdys Ištirkite ribotumo funkciją
Sprendimas. Viena vertus, nelygybė yra gana akivaizdi (pagal kvadratinės šaknies apibrėžimą, tai reiškia, kad funkcija yra ribojama iš apačios. Kita vertus, mes turime ir todėl
Tai reiškia, kad funkcija ribojama iš viršaus. Dabar pažvelkite į pateiktos funkcijos grafiką (52 pav. iš ankstesnės pastraipos). Funkcijos ribotumas tiek iš viršaus, tiek iš apačios gana lengvai nuskaitomas iš grafiko.

5 apibrėžimas.

Skaičius m vadinamas mažiausia funkcijos y \u003d f (x) reikšme aibėje X C D (f), jei:

1) X yra toks taškas x 0, kad f(x 0) = m;

2) visiems x iš X įvykdoma nelygybė m>f(х 0).

6 apibrėžimas.

Skaičius M vadinamas didžiausia funkcijos y \u003d f (x) reikšme aibėje X C D (f), jei:
1) X yra toks taškas x 0, kad f(x 0) = M;
2) visiems x iš X – nelygybė
Mažiausią funkcijos reikšmę tiek 7, tiek 8 klasėse pažymėjome simboliu y, o didžiausią – simboliu y.

Jei aibė X nenurodyta, tai daroma prielaida, kad mes kalbame apie mažiausios arba didžiausios funkcijos reikšmės radimą visoje apibrėžimo srityje.

Šie naudingi teiginiai yra gana akivaizdūs:

1) Jei funkcija turi Y, tada ji ribojama iš apačios.
2) Jei funkcija turi Y, tada ji ribojama iš viršaus.
3) Jei funkcija neapribota žemiau, tai Y neegzistuoja.
4) Jei funkcija neapribota iš viršaus, tai Y neegzistuoja.

3 pavyzdys

Raskite mažiausią ir didžiausią funkcijos reikšmes
Sprendimas.

Gana akivaizdu, ypač jei pasitelkiate funkcijos grafiką (52 pav.), kad = 0 (funkcija šią reikšmę pasiekia taškuose x = -3 ir x = 3), a = 3 (funkcija pasiekia ši reikšmė taške x = 0.
7 ir 8 klasėje paminėjome dar dvi funkcijų savybes. Pirmasis buvo vadinamas funkcijos išgaubtumo savybe. Laikoma, kad funkcija yra išgaubta žemyn intervale X, jei bet kuriuos du jos grafiko taškus (su abscisėmis iš X) sujungę su tiesiąja atkarpa, nustatome, kad atitinkama grafiko dalis yra žemiau nubrėžtos atkarpos ( 59 pav.). tęstinumas Funkcija yra išgaubta aukštyn intervale X, jei bet kuriuos du jos grafiko taškus (su abscisėmis iš X) sujungę tiesia atkarpa, nustatome, kad atitinkama grafiko dalis yra virš nubrėžtos atkarpos (60 pav.). ).

Antroji savybė – funkcijos tęstinumas intervale X – reiškia, kad funkcijos grafikas intervale X yra tolydis, t.y. neturi pradūrimų ir šuolių.

komentuoti.

Tiesą sakant, matematikoje viskas yra, kaip sakoma, „visiškai priešingai“: funkcijos grafikas vaizduojamas kaip ištisinė linija (be pradūrimų ir šuolių) tik tada, kai įrodomas funkcijos tęstinumas. Tačiau formalus funkcijos tęstinumo apibrėžimas, kuris yra gana sudėtingas ir subtilus, kol kas viršija mūsų galias. Tą patį galima pasakyti ir apie funkcijos išgaubimą. Aptardami šias dvi funkcijų savybes, mes ir toliau remsimės vizualiai intuityviais vaizdiniais.

Dabar peržvelkime savo žinias. Prisimindami funkcijas, kurias mokėmės 7 ir 8 klasėse, išsiaiškinsime, kaip atrodo jų grafikai ir išvardinsime funkcijos savybes, laikantis tam tikros tvarkos, pvz.: apibrėžimo sritis; monotoniškas; apribojimas; , ; tęstinumas; verčių diapazonas; išgaubtas.

Vėliau atsiras naujų funkcijų ypatybių ir atitinkamai pasikeis savybių sąrašas.

1. Pastovi funkcija y \u003d C

Funkcijos y \u003d C grafikas parodytas fig. 61 - tiesi linija, lygiagreti x ašiai. Tai tokia neįdomi funkcija, kad nėra prasmės išvardyti jos savybių.

Funkcijos y \u003d kx + m grafikas yra tiesi linija (62, 63 pav.).

Funkcijos y \u003d kx + m savybės:

1)
2) didėja, jei k > 0 (62 pav.), mažėja, jei k< 0 (рис. 63);

4) nėra nei didžiausių, nei mažiausių verčių;
5) funkcija yra nuolatinė;
6)
7) nėra prasmės kalbėti apie išgaubimą.

Funkcijos y \u003d kx 2 grafikas yra parabolė, kurios viršūnė yra pradžioje, o šakos nukreiptos į viršų, jei k\u003e O (64 pav.), o į apačią, jei k< 0 (рис. 65). Прямая х = 0 (ось у) является осью параболы.

Funkcijos y - kx 2 savybės:

Jei k > 0 (64 pav.):

1) D(f) = (-oo,+oo);


4) = neegzistuoja;
5) nuolatinis;
6) Е(f) = funkcija mažėja, o intervale , mažėja spindulyje;
7) išgaubtas į viršų.

Funkcijos y \u003d f (x) grafikas sudaromas taškas po taško; kuo daugiau formos (x; f (x)) taškų paimame, tuo tikslesnę grafiko idėją gauname. Jei paimsime daug šių taškų, grafiko idėja bus išsamesnė. Būtent šiuo atveju intuicija mums sako, kad grafikas turi būti nubrėžtas kaip ištisinė linija (šiuo atveju kaip parabolė). Ir tada, skaitydami grafiką, darome išvadas apie funkcijos tęstinumą, apie jos išgaubimą žemyn arba į viršų, apie funkcijos diapazoną. Turite suprasti, kad iš išvardytų septynių savybių tik savybės 1), 2), 3), 4) yra „teisėtos“ ta prasme, kad galime jas pagrįsti remdamiesi tiksliais apibrėžimais. Turime tik vizualiai intuityvius likusias savybes. Beje, tame nėra nieko blogo. Iš matematikos raidos istorijos žinoma, kad žmonija dažnai ir ilgą laiką naudojo įvairias tam tikrų objektų savybes, nežinodama tikslių apibrėžimų. Tada, kai buvo galima suformuluoti tokius apibrėžimus, viskas stojo į savo vietas.

Funkcijos grafikas yra hiperbolė, koordinačių ašys tarnauja kaip hiperbolės asimptotės (66, 67 pav.).

1) D(f) = (-00.0)1U (0.+oo);
2) jei k > 0, tai funkcija mažėja ant atvirojo spindulio (-oo, 0) ir ant atvirojo spindulio (0, +oo) (66 pav.); jei reikia< 0, то функция возрастает на (-оо, 0) и на (0, +оо) (рис. 67);
3) nėra ribojamas nei iš apačios, nei iš viršaus;
4) nėra nei mažiausių, nei didžiausių verčių;
5) funkcija yra nepertraukiama atvirame spindulyje (-oo, 0) ir atvirame spindulyje (0, +oo);
6) E(f) = (-oo, 0) U (0, + oo);
7) jei k > 0, tai funkcija yra išgaubta aukštyn ties x< 0, т.е. на открытом луче (-оо, 0), и выпукла вниз при х >0, t.y. ant atviros sijos (0, +oo) (66 pav.). Jei reikia< 0, то функция выпукла вверх при х >o ir išgaubta žemyn ties x< О (рис. 67).
Funkcijos grafikas yra parabolės atšaka (68 pav.). Funkcijų savybės:
1) D(f) = , didėja ant spindulio (aibės A), tada ant jo jis bus ribojamas ir iš viršaus, ir iš apačios.

Iš tiesų, norėdami parodyti, kad jis ribojamas iš viršaus, turime atsižvelgti į predikatą

ir parodykite, kad yra (egzistuoja) M toks, kad visiems x, paimtiems atkarpoje [–2;1], tai bus tiesa

Nesunku rasti tokį M. Galime daryti prielaidą, kad M = 7, egzistavimo kvantorius reiškia, kad reikia rasti bent vieną M reikšmę. Tokio M buvimas patvirtina faktą, kad funkcija atkarpoje [–2;1] yra ribojama iš viršaus.

Norėdami įrodyti jo ribotumą iš apačios, turime atsižvelgti į predikatą

M reikšmė, užtikrinanti šio predikato teisingumą, yra, pavyzdžiui, M = -100.

Galima įrodyti, kad funkcija bus apribota ir modulio: visiems x iš atkarpos [–2;1] funkcijos reikšmės sutampa su reikšmėmis, todėl kaip M galime imti , pavyzdžiui, ankstesnė M reikšmė = 7.

Parodykime, kad ta pati funkcija, bet intervale , bus neapribota, tai yra,

Norėdami parodyti, kad toks x egzistuoja, apsvarstykite teiginį

Ieškodami reikiamų x reikšmių tarp teigiamų argumento reikšmių, gauname

Tai reiškia, kad nesvarbu, kokį teigiamą Mwe imtųsi, x reikšmės užtikrina nelygybės išsipildymą

gaunami iš santykio.

Atsižvelgiant į funkciją visoje realioje ašyje, galima parodyti, kad ji yra neribota absoliučia verte.

Tikrai, nuo nelygybės

Tai yra, nesvarbu, kokio dydžio teigiamas M yra, arba užtikrins nelygybės išsipildymą.

EKSTREMALI FUNKCIJA.

Funkcija turi tašką iš vietinis maksimumas (minimalus), jei yra tokia šio taško kaimynystė, kad už x¹ iš ši kaimynystė tenkina nelygybę

ypač tai, kad ekstremumo taškas gali būti tik vidinis tarpo taškas, o jame turi būti apibrėžtas f(x). Galimi ekstremumo nebuvimo atvejai parodyti Fig. 8.8.

Jei funkcija didėja (mažėja) tam tikru intervalu ir mažėja (didėja) tam tikru intervalu, tada taškas iš yra vietinis maksimalus (minimalus) taškas.

Funkcijos f(x) maksimumo nebuvimas taške iš galima suformuluoti taip:

_______________________

f(x) turi maksimumą ties c

Tai reiškia, kad jei taškas c nėra vietinis maksimalus taškas, nesvarbu, kokia kaimynystė apima tašką c kaip vidinį, yra bent viena x reikšmė, nelygi c, kuriai . Taigi, jei taške c nėra maksimumo, tai ekstremumo šiame taške iš viso gali nebūti arba tai gali būti minimalus taškas (8.9 pav.).

Ekstremalumo sąvoka suteikia lyginamąjį funkcijos vertės bet kuriame taške įvertinimą, palyginti su šalia esančiomis. Panašų funkcijų reikšmių palyginimą galima atlikti visuose tam tikro intervalo taškuose.

DIDŽIAUSIA (MINIMALI) funkcijos reikšmė rinkinyje yra jos reikšmė taške iš šio rinkinio taip, kad – už . Didžiausia funkcijos reikšmė pasiekiama vidiniame atkarpos taške, o mažiausia – kairiajame jos gale.

Norint nustatyti didžiausią (mažiausią) atkarpoje pateiktos funkcijos reikšmę, reikia pasirinkti didžiausią (mažiausią) skaičių tarp visų jos maksimumų (minimalų) reikšmių, taip pat reikšmių, paimtų intervalo galai. Tai bus didžiausia (mažiausia) funkcijos reikšmė. Ši taisyklė bus patikslinta vėliau.

Problema rasti didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmes atvirame intervale ne visada yra lengvai išsprendžiama. Pavyzdžiui, funkcija

intervale (8.11 pav.) jų neturi.

Pavyzdžiui, įsitikinkime, kad ši funkcija neturi didžiausios vertės. Iš tiesų, atsižvelgiant į funkcijos monotoniškumą, galima teigti, kad nesvarbu, kaip arti nustatysime x reikšmes į kairę nuo vienybės, bus kitų x, kurių funkcijos reikšmės bus didesnės nei jo vertės nurodytuose fiksuotuose taškuose, bet vis tiek mažesnės už vienetą.

Pamoka ir pristatymas tema: "Funkcijos savybės. Funkcijų padidėjimas ir sumažėjimas"

Papildomos medžiagos
Mieli vartotojai, nepamirškite palikti savo komentarų, atsiliepimų, pasiūlymų! Visa medžiaga yra patikrinta antivirusine programa.

Mokymo priemonės ir treniruokliai internetinėje parduotuvėje "Integral" 9 klasei
Interaktyvus mokymosi vadovas 9 klasei „Geometrijos taisyklės ir pratimai“
Elektroninis vadovėlis „Suprantama geometrija“ 7-9 kl

Vaikinai, mes toliau studijuojame skaitines funkcijas. Šiandien mes sutelksime dėmesį į tokią temą kaip funkcijų savybės. Funkcijos turi daug savybių. Prisiminkite, kokias savybes neseniai ištyrėme. Tai tiesa, apimtis ir apimtis – tai viena iš pagrindinių savybių. Niekada nepamirškite apie juos ir atminkite, kad funkcija visada turi šias savybes.

Šiame skyriuje apibrėšime kai kurias funkcijų savybes. Kokia tvarka juos nustatysime, rekomenduoju vadovautis sprendžiant problemas.

Funkcija didėjanti ir mažėjanti

Pirmoji savybė, kurią apibūdinsime, yra funkcijos padidėjimas ir sumažėjimas.

Funkcija vadinama didėjančia aibėje X⊂D(f), jei bet kuriam x1 ir x2, kad x1< x2 - выполняется неравенство f(x1) < f(x2). То есть большему значению аргумента, соответствует большее значение функции.
Funkcija vadinama mažėjančia aibėje X⊂D(f), jei bet kuriam x1 ir x2, kad x1< x2 - выполняется неравенство f(x1)>f(x2). Tai reiškia, kad didesnė argumento reikšmė atitinka mažesnę funkcijos reikšmę.

Funkcijos „padidėjimo“ ir „sumažėjimo“ sąvokas labai lengva suprasti, jei atidžiai pažvelgsite į funkcijos grafikus. Dėl didėjančios funkcijos: tarsi kylame į kalną, dėl mažėjančios, atitinkamai, leidžiamės žemyn. Bendras didėjančių ir mažėjančių funkcijų vaizdas pateiktas toliau pateiktose diagramose.

Funkcijos padidėjimas ir sumažėjimas paprastai vadinamas monotoniškumu. Tai yra, mūsų užduotis yra rasti mažėjančių ir didėjančių funkcijų intervalus. Bendruoju atveju tai formuluojama taip: suraskite monotoniškumo intervalus arba ištirkite monotoniškumo funkciją.

Ištirkite funkcijos $y=3x+2$ monotoniškumą.
Sprendimas: patikrinkite bet kurio x1 ir x2 funkciją ir palikite x1< x2.
$f(x1)=3x1+2$
$f(x2)=3x2+2$
Nes x1< x2, то f(x1) < f(x2), т. е. большему значению аргумента, соответствует большее значение функции.

Funkcijos apribojimas

Laikoma, kad funkcija $y=f(x)$ yra apribota aibėje X⊂D(f), jei yra skaičius a, kad bet kuriai xϵX nelygybė f(x)< a.

Laikoma, kad funkcija $y=f(x)$ yra apribota iš viršaus aibėje X⊂D(f), jei yra toks skaičius a, kad bet kuriai xϵX nelygybė f(x)< a.

Jei intervalas X nenurodytas, tai laikoma, kad funkcija yra apribota visoje apibrėžimo srityje. Funkcija, apribota ir aukščiau, ir žemiau, vadinama ribota.

Funkcijos apribojimą lengva perskaityti iš grafiko. Galima nubrėžti tiesią liniją
$y=a$, o jei funkcija aukštesnė už šią eilutę, tai ji apribota iš apačios. Jei žemiau, tai atitinkamai aukščiau. Žemiau yra apatinės ribos funkcijos grafikas. Apribotos funkcijos grafikas, vaikinai, pabandykite jį nupiešti patys.

Ištirkite funkcijos $y=\sqrt(16-x^2)$ ribotumą.
Sprendimas: kurio nors skaičiaus kvadratinė šaknis yra didesnė arba lygi nuliui. Akivaizdu, kad mūsų funkcija taip pat yra didesnė arba lygi nuliui, tai yra, ji yra ribojama iš apačios.
Kvadratinę šaknį galime išskirti tik iš neneigiamo skaičiaus, tada $16-x^2≥0$.
Mūsų nelygybės sprendimas bus intervalas [-4;4]. Šiame segmente $16-x^2≤16$ arba $\sqrt(16-x^2)≤4$, bet tai reiškia ribojimą iš viršaus.
Atsakymas: mūsų funkciją riboja dvi eilutės $y=0$ ir $y=4$.

Didžiausia ir mažiausia vertė

Mažiausia funkcijos y= f(x) reikšmė aibėje Х⊂D(f) yra koks nors skaičius m, kad:

b) Bet kurio xϵX atveju galioja $f(x)≥f(x0)$.

Didžiausia funkcijos y=f(x) reikšmė aibėje Х⊂D(f) yra koks nors skaičius m, kad:
a) Yra toks x0, kad $f(x0)=m$.
b) Bet kurio xϵX atveju $f(x)≤f(x0)$ tenkinama.

Didžiausia ir mažiausia reikšmė paprastai žymima y max. ir y vardas. .

Apribotumo ir didžiausio, turinčio mažiausią funkcijos reikšmę, sąvokos yra glaudžiai susijusios. Šie teiginiai yra teisingi:
a) Jei yra mažiausia funkcijos reikšmė, tada ji ribojama iš apačios.
b) Jei funkcijai yra didžiausia reikšmė, tada ji ribojama iš viršaus.
c) Jei funkcija neapribota iš viršaus, tai nėra maksimalios reikšmės.
d) Jei funkcija nėra apribota žemiau, tada mažiausia reikšmė neegzistuoja.

Raskite didžiausią ir mažiausią funkcijos $y=\sqrt(9-4x^2+16x)$ reikšmę.
Sprendimas: $f(x)=y=\sqrt(9-4x^2+16x)=\sqrt(9-(x-4)^2+16)=\sqrt(25-(x-4)^2 )≤5 USD.
Jei $x=4$ $f(4)=5$, visoms kitoms reikšmėms funkcija įgauna mažesnes reikšmes arba neegzistuoja, tai yra, tai yra didžiausia funkcijos reikšmė.
Pagal apibrėžimą: $9–4x^2+16x≥0$. Raskite kvadratinio trinalio $(2x+1)(2x-9)≥0$ šaknis. Kai $x=-0.5$ ir $x=4.5$ funkcija išnyksta, visuose kituose taškuose ji yra didesnė už nulį. Tada pagal apibrėžimą mažiausia funkcijos reikšmė yra nulis.
Atsakymas: y maks. =5 ir y min. =0.

Vaikinai, mes taip pat ištyrėme funkcijos išgaubimo sąvokas. Sprendžiant kai kurias problemas, mums gali prireikti šio turto. Ši savybė taip pat lengvai nustatoma naudojant grafikus.

Funkcija yra išgaubta žemyn, jei bet kurie du pradinės funkcijos grafiko taškai yra sujungti, o funkcijos grafikas yra žemiau taškus jungiančios linijos.

Funkcija yra išgaubta į viršų, jei bet kurie du pradinės funkcijos grafiko taškai yra sujungti, o funkcijos grafikas yra virš taškus jungiančios linijos.

Funkcija yra ištisinė, jei mūsų funkcijos grafikas neturi nutrūkimų, pavyzdžiui, aukščiau pateiktos funkcijos grafikas.

Jei norite rasti funkcijos ypatybes, ypatybių paieškos seka yra tokia:
a) Apibrėžimo sritis.
b) Monotonija.
c) apribojimas.
d) Didžiausia ir mažiausia reikšmė.
e) Tęstinumas.
f) reikšmių diapazonas.

Raskite funkcijos $y=-2x+5$ savybes.
Sprendimas.
a) Apibrėžimo sritis D(y)=(-∞;+∞).
b) Monotonija. Patikrinkime bet kokias reikšmes x1 ir x2 ir tegul x1< x2.
$f(x1)=-2x1+2$.
$f(x2)=-2x2+2$.
Nes x1< x2, то f(x1) < f(x2), то есть большему значению аргумента, соответствует меньшее значение функции. Функция убывает.
c) apribojimas. Akivaizdu, kad funkcija nėra ribojama.
d) Didžiausia ir mažiausia reikšmė. Kadangi funkcija neapribota, nėra maksimalios ar minimalios vertės.
e) Tęstinumas. Mūsų funkcijos grafikas neturi tarpų, tada funkcija yra ištisinė.
f) reikšmių diapazonas. E(y)=(-∞;+∞).

Funkcijos savybių savarankiškam sprendimui užduotys

Raskite funkcijos ypatybes:
a) $y=2x+7$,
b) $y=3x^2$,
c) $y=\frac(4)(x)$.

Funkcijos samprata. Ribotos funkcijos.

Funkcijos apibrėžimas: jei kiekvienas skaičius x iš skaičių aibės D yra susietas su vienu skaičiumi y, tada jie sako, kad funkcija f duota aibėje D ir rašo y \u003d f (x), kur x vadinamas nepriklausomu. šios funkcijos kintamasis arba argumentas, o aibė D yra šios funkcijos sritis.

Ribotos ir neribotos funkcijos. Funkcija vadinama ribotas jei yra toks teigiamas skaičius M kas | f(x) | M visoms vertybėms x . Jei tokio skaičiaus nėra, tada funkcija yra neribotas.

PAVYZDŽIAI.

Funkcijos yra lyginės, nelyginės, monotoniškos.

Lyginės ir nelyginės funkcijos. Jei už bet koks x iš funkcijos apibrėžimo apimties: f(- x) = f (x), tada funkcija iškviečiama net; jei taip: f(- x) = - f (x), tada funkcija iškviečiama nelyginis. Lyginės funkcijos grafikas simetriškas Y ašies atžvilgiu(5 pav.), nelyginės funkcijos grafikas simetriškas apie kilmės(6 pav.).

monotoniška funkcija. Jei bet kurioms dviem argumento reikšmėms x 1 ir x 2 sąlygos x 2 >x 1 seka f(x 2 ) >f(x 1), tada funkcija f(x) paskambino didėja; jei dėl kokių nors x 1 ir x 2 sąlygos x 2 >x 1 seka f(x 2 ) <f(x 1 ), tada funkcija f(x) vadinamas silpsta. Funkcija, kuri tik didėja arba tik mažėja, vadinama monotoniškas.

3. Skaitinės sekos. Apibrėžimas ir pavyzdžiai.

Sakysime, kad kintamasis x valgyti užsakytas kintamasis, jei žinoma jo pasikeitimo sritis ir kiekvienai iš dviejų jo reikšmių galima pasakyti, kuri iš jų yra ankstesnė, o kuri kita. Ypatingas užsakyto kintamojo atvejis yra kintamasis, kurio reikšmės formuojasi skaičių seka x 1 ,x 2 ,…,x n ,… Už tokias vertybes i< j, i, j Î N , prasmė x i laikomas pirmesniu, xj– paskesnis, neatsižvelgiant į tai, kuri iš šių verčių yra didesnė. Taigi skaitinė seka yra kintamasis, kurio nuoseklias reikšmes galima pernumeruoti. Skaičių seka bus pažymėta . Atskiri sekos skaičiai vadinami jos elementai.

Pavyzdžiui, skaitinę seką sudaro šie dydžiai:

3. , kur Reklama yra pastovūs skaičiai.

Skaičių sekos riba.

Skaičius a paskambino riba sekos x = {x n) jei savavališkai iš anksto priskirtam savavališkai mažam teigiamam skaičiui ε egzistuoja natūralusis skaičius N, tai visiems n>N nelygybė |x n - a|< ε.

Jei skaičius a yra sekos riba x = {x n), tada jie taip sako x n linkęs a, ir parašyk.

Norėdami suformuluoti šį apibrėžimą geometriniais terminais, pateikiame tokią sąvoką. Taško x 0 kaimynystė vadinamas savavališku intervalu ( a, b) su šiuo tašku savyje. Dažnai svarstoma taško kaimynystė x0, kuriam x0 tada yra vidurys x0 paskambino centras kaimynystė ir kiekis ( b–a)/2 – spindulys kaimynystėje.

Taigi, išsiaiškinkime, ką geometriškai reiškia skaitinės sekos ribos sąvoka. Norėdami tai padaryti, parašome paskutinę nelygybę iš apibrėžimo forma Ši nelygybė reiškia, kad visi sekos elementai su skaičiais n>N turi gulėti intervale (a – ε; a + ε).

Todėl pastovus skaičius a yra skaitinės sekos riba ( x n), jei tai nedidelis rajonas, kurio centras yra taškas a spindulys ε (ε yra taško apylinkės a) yra toks sekos elementas su skaičiumi N kad visi tolesni elementai su skaičiais n>N bus šioje kaimynystėje.

Pavyzdžiai.

1. Tegul kintamasis x paima reikšmes nuosekliai

Įrodykime, kad šios skaitinės sekos riba lygi 1. Paimkime savavališką teigiamą skaičių ε. Turime rasti tokį natūralųjį skaičių N, tai visiems n>N nelygybė | x n - 1| < ε. Действительно, т.к.

tada kad įvykdytų ryšį |x n - a|< ε достаточно, чтобы или . Поэтому, взяв в качестве N bet koks natūralusis skaičius, kuris tenkina nelygybę, gauname tai, ko mums reikia. Taigi, jei paimsime, pavyzdžiui, , tada nustatymą N= 6, visiems n>6 turėsime .

2. Naudodamiesi skaitinės sekos ribos apibrėžimu, įrodykite, kad .

Paimkite savavališką ε > 0. Apsvarstykite Tada , jei arba , t.y. . Todėl pasirenkame bet kurį natūralųjį skaičių, kuris tenkina nelygybę .

Pavyzdžiai.

3. Apsvarstykite. At x→1 trupmenos skaitiklis linkęs į 1, o vardiklis į 0. Tačiau kadangi, t.y. yra be galo maža funkcija x → 1, tada

4 teorema. Tegu pateikiamos trys funkcijos f(x), u(x) Ir v(x), tenkinant nelygybes u (x)≤f(x)≤v(x). Jei funkcijos u(x) Ir v(x) turi tą pačią ribą x→a(arba x→∞), tada funkcija f(x) linksta į tą pačią ribą, t.y. jeigu

5 teorema. Jei pas x→a(arba x→∞) funkcija y=f(x) ima neneigiamas vertes y≥0 ir linkęs į ribą b, tada ši riba negali būti neigiama: b≥0.

Įrodymas. Įrodymas bus atliktas prieštaravimu. Apsimeskime tai b<0 , tada |y – b|≥|b| ir todėl skirtumo modulis nėra linkęs į nulį ties x→a. Bet tada y neperžengia ribos b adresu x→a, o tai prieštarauja teoremos sąlygai.

6 teorema. Jei dvi funkcijos f(x) Ir g(x) visoms argumento vertėms x patenkinti nelygybę f(x)≥ g(x) ir turime ribas, tada turime nelygybę b≥c.

Įrodymas. Pagal teoremą f(x)-g(x) ≥0, todėl pagal 5 teoremą arba .

6. Neapibrėžtumų atskleidimas (0/0), ∞ -∞

aš. Nežinomybė.

Išskaidydami skaitiklį į veiksnius, naudojome polinomo padalijimo iš daugianario iš „kampo“ taisyklę. Nuo numerio x=1 yra daugianario šaknis x 3 – 6x2 + 11x– 6, tada dalijant gauname

7. Sekos riba . Natūralaus logaritmo samprata.

ANTRA PAŽYMI RIBA

Pavyzdžiai:

bazinis logaritmas e (e- transcendentinis skaičius, maždaug lygus 2,718281828 ...) vadinamas natūralusis logaritmas. Natūralusis skaičiaus logaritmas xžymimas ln x. Natūralūs logaritmai plačiai naudojami matematikoje, fizikoje ir inžineriniuose skaičiavimuose.

Logaritmai yra plačiai naudojami

bazė, vadinama natūralia. Natūralūs logaritmai žymimi simboliu

Funkcijos ribos samprata.

Funkcijos tęstinumo samprata yra tiesiogiai susijusi su funkcijos ribos samprata.

Skaičius A vadinamas funkcijos f riba taške a, kuri riboja aibę E, jei bet kurioje taško A apylinkėje V(A) yra taško a pradurta kaimynystė, kad jos vaizdas po atvaizdavimas f yra taško A duotosios apylinkės V(A) poaibis.

Funkcijos f riba taške a, kuri yra aibės E riba, žymima taip: arba , jei galima nepaminėti aibės E.

Kadangi kiekvieną apylinkę galima susieti su savo reguliaria (simetriška) kaimynyste, ribos apibrėžimas gali būti suformuluotas -δ kalba tokia forma, kokia įprasta matematinėje analizėje:

Funkcijos riba taške f taške a, kuri yra aibės E riba, yra tiesiogiai susijusi su sekos riba.

Nagrinėsime visas galimas aibės E taškų sekas, kurių riba yra taškas a, ir atitinkamas funkcijų reikšmių sekas sekos taškuose. Jei funkcijos funkcijos f riba taške a egzistuoja, tai ši riba bus kiekvienos sekos riba.

Taip pat yra atvirkščiai: jei visos sekos susilieja į tą pačią reikšmę, tai funkcija turi ribą, lygią duotai reikšmei.

PIRMOJI PAŽYMI RIBA

Funkcija neapibrėžta, kada x=0, nes trupmenos skaitiklis ir vardiklis išnyksta. Funkcijos grafikas parodytas paveikslėlyje.

Tačiau šios funkcijos ribą galima rasti adresu X→0.

Pateikiame rašytinės formulės įrodymą. Apsvarstykite apskritimą, kurio spindulys yra 1, ir manykite, kad kampas α, išreikštas radianais, yra 0 ribose< α < π/2. (Так как четная функция и ее значения не изменяются при изменении знака α, то достаточно рассмотреть случай, когда α >0.) Iš paveikslo matyti, kad

SΔOAC .

Kadangi nurodyti plotai yra atitinkamai lygūs

S∆OAC=0,5∙OC∙OA nuodėmė α= 0,5 sinα, S sekta. OAC= 0,5∙OC 2 ∙α = 0,5 α, S ∆ OBC=0,5∙OC∙BC = 0,5 tga.

Vadinasi,

sinα< α < tg α.

Visus nelygybės narius padaliname iš sin α > 0: .

Bet . Todėl, remiantis 4 teorema apie ribas, darome išvadą, kad išvestinė formulė vadinama pirmąja reikšminga riba.

Taigi pirmoji nuostabi riba padeda atskleisti neapibrėžtumą. Atminkite, kad gautos formulės nereikėtų painioti su ribomis Pavyzdžiai.

11.Limitas ir susijusias ribas.

ANTRA PAŽYMI RIBA

Antroji žymi riba skirta neapibrėžčiai 1 ∞ atskleisti ir atrodo taip

Atkreipkime dėmesį į tai, kad antrosios žymiosios ribos formulėje eksponente turi būti išraiška, kuri yra priešinga tai, kuri pridedama prie vieneto bazėje (kadangi šiuo atveju galima įvesti pakeitimą kintamųjų ir sumažinkite norimą ribą iki antrosios reikšmingos ribos)

Pavyzdžiai.

1. Funkcija f(x)=(x-1) 2 yra be galo mažas x→1, kadangi (žr. pav.).

2. Funkcija f(x)=tg x yra be galo mažas x→0.

3. f(x)= log(1+ x) yra be galo mažas x→0.

4. f(x) = 1/x yra be galo mažas x→∞.

Nustatykime tokį svarbų ryšį:

Teorema. Jei funkcija y=f(x) atstovaujama adresu x→a kaip pastovaus skaičiaus suma b ir be galo mažas α(x): f(x)=b+ α(x) tada .

Ir atvirkščiai, jei , tada f(x)=b+α(x), kur a(x) yra be galo mažas x→a.

Įrodymas.

1. Įrodykime pirmąją teiginio dalį. Iš lygybės f(x)=b+α(x) turėtų |f(x) – b|=| α|. Bet kadangi a(x) yra be galo maža, tada savavališkam ε yra δ, taško kaimynystė a, visiems x iš kurių, vertybės a(x) patenkinti santykius |α(x)|< ε. Tada |f(x) – b|< ε. O tai reiškia, kad.

2. Jei , tai bet kuriam ε >0 visiems X iš kai kurių δ yra taško kaimynystė a valios |f(x) – b|< ε. Bet jei pažymėsime f(x) – b= α, tada |α(x)|< ε, o tai reiškia a- be galo mažas.

Panagrinėkime pagrindines be galo mažų funkcijų savybes.

1 teorema. Dviejų, trijų ir apskritai bet kurio baigtinio begalinių mažųjų skaičiaus algebrinė suma yra be galo maža funkcija.

Įrodymas. Pateiksime dviejų terminų įrodymą. Leisti būti f(x)=α(x)+β(x), kur ir. Turime įrodyti, kad savavališkai savavališkai mažam ε > 0 ten δ> 0, toks, kad už x tenkinantis nelygybę |x- a|<δ , atlikta |f(x)|< ε.

Taigi nustatome savavališką skaičių ε > 0. Kadangi, remiantis teoremos hipoteze, α(x) yra be galo maža funkcija, tada egzistuoja δ 1 > 0, kuri at |x – a|< δ 1 turime |α(x)|< ε / 2. Taip pat nuo β(x) yra be galo mažas, tada yra toks δ 2 > 0, kuri at |x – a|< δ 2 turime | β(x)|< ε / 2.

Paimkime δ=min(δ1 , δ2 } .Tada taško kaimynystėje a spindulys δ kiekviena iš nelygybių bus patenkinta |α(x)|< ε / 2 ir | β(x)|< ε / 2. Todėl šioje kaimynystėje bus

|f(x)|=| α(x)+β(x)| ≤ |α(x)| + | β(x)|< ε /2 + ε /2= ε,

tie. |f(x)|< ε, kuris turėjo būti įrodytas.

2 teorema. Be galo mažos funkcijos sandauga a(x) ribotai funkcijai f(x) adresu x→a(arba kada x→∞) yra be galo maža funkcija.

Įrodymas. Nuo funkcijos f(x) yra ribotas, tada yra skaičius M toks, kad visoms vertybėms x iš kokios nors taško apylinkės a|f(x)|≤M. Be to, nuo a(x) yra be galo maža funkcija x→a, tada savavališkam ε > 0 yra taško kaimynystė a, kurioje nelygybė |α(x)|< ε /M. Tada mažesniuose iš šių rajonų turime | αf|< ε /M= ε. Ir tai reiškia, kad af- be galo mažas. Progai x→∞įrodinėjimas atliekamas panašiai.

Iš įrodytos teoremos išplaukia:

1 pasekmė. Jei ir tada

2 pasekmė. Jei ir c= const, tada .

3 teorema. Be galo mažos funkcijos santykis α(x) pagal funkciją f(x), kurios riba nėra lygi nuliui, yra be galo maža funkcija.

Įrodymas. Leisti būti . Tada 1 /f(x) yra ribota funkcija. Todėl trupmena yra begalinės mažos ir ribotinės funkcijos sandauga, t.y. funkcija yra be galo maža.

Pavyzdžiai.

1. Aišku, kad už x→+∞ funkcija y = x 2 + 1 yra begalinis. Bet tada, pagal aukščiau suformuluotą teoremą, funkcija yra be galo maža x→+∞, t.y. .

Galima įrodyti ir atvirkštinę teoremą.

2 teorema. Jei funkcija f(x)- be galo mažas at x→a(arba x→∞) ir tada neišnyksta y= 1/f(x) yra begalinė funkcija.

Įrodykite teoremą patys.

Pavyzdžiai.

3. , nes funkcijos ir yra be galo mažos x→+∞, tada be galo mažų funkcijų suma yra be galo maža funkcija. Funkcija yra pastovaus skaičiaus ir be galo mažos funkcijos suma. Todėl pagal 1 teoremą be galo mažoms funkcijoms gauname norimą lygybę.

Taigi be galo mažų ir be galo didelių funkcijų paprasčiausias savybes galima užrašyti naudojant šiuos sąlyginius ryšius: A≠ 0

13. Be galo mažos tos pačios eilės funkcijos, lygiavertės be galo mažos.

Be galo mažos funkcijos ir yra vadinamos be galo mažomis tos pačios eilės mažumo, jei , reiškia . Ir, galiausiai, jei neegzistuoja, tada be galo mažos funkcijos ir yra nepalyginamos.

2 PAVYZDYS. Be galo mažų funkcijų palyginimas

Lygiavertės be galo mažos funkcijos.

Jei , vadinasi, be galo mažos funkcijos ir lygiavertis, pažymėkite ~ .

Vietoje lygiavertės funkcijos:

Kada jei

Kai kurie atitikmenys(at ):

Vienašalės ribos.

Iki šiol svarstėme funkcijos ribos apibrėžimą, kai x→a savavališkai, t.y. funkcijos riba nepriklausė nuo to, kaip x link a, į kairę arba į dešinę nuo a. Tačiau gana dažnai galima rasti funkcijų, kurioms pagal šią sąlygą nėra jokių apribojimų, tačiau jos turi ribą, jei x→a, likti vienoje pusėje bet, kairėn arba dešinėn (žr. pav.). Todėl įvedama vienpusių ribų sąvoka.

Jeigu f(x) linkęs į ribą b adresu x siekdamas kokio nors skaičiaus a taip x ima tik mažesnes nei reikšmes a, tada rašyk ir skambink funkcijos f(x) riba taške a kairėje.

Taigi skaičius b vadinama funkcijos riba y=f(x) adresu x→a kairėje pusėje, jei yra teigiamas skaičius ε, yra skaičius δ (mažesnis nei a

Panašiai, jei x→a ir įgauna dideles vertybes a, tada rašyk ir skambink b funkcijos riba taške bet Dešinėje. Tie. numerį b paskambino funkcijos y=f(x) riba ties x→a dešinėje, jei yra teigiamas skaičius ε, yra toks skaičius δ (didesnis nei bet), kad nelygybė galioja visiems .

Atkreipkite dėmesį, kad jei ribos yra kairėje ir dešinėje taške a už funkciją f(x) nesutampa, tada funkcija taške neturi (dvipusės) ribos bet.

Pavyzdžiai.

1. Apsvarstykite funkciją y=f(x), apibrėžta segmente taip

Raskime funkcijos ribas f(x) adresu x → 3. Akivaizdu, kad a

Kitaip tariant, bet kokiam savavališkai mažam epsilonų skaičiui yra tokia delta, priklausomai nuo epsilonų, kad iš to, kad bet kokiam x, tenkinančiai nelygybę, išplaukia, kad funkcijos reikšmių skirtumas šiuose taškuose būti savavališkai mažas.

Funkcijos tęstinumo taške kriterijus:

Funkcija valios tęstinis taške A tada ir tik tada, kai jis yra tęstinis taške A ir dešinėje, ir kairėje, ty tam, kad taške A egzistuotų dvi vienpusės ribos, jos yra lygios viena kitai ir lygios funkcija taške A.

2 apibrėžimas: Funkcija yra nuolatinė aibėje, jei ji yra ištisinė visuose šios aibės taškuose.

Funkcijos taške išvestinė

Leisti būti apibrėžtas kaimynystėje . Apsvarstykite

Jei ši riba egzistuoja, tada ji vadinama funkcijos f išvestinė taške .

Funkcijos išvestinė- funkcijos prieaugio ir argumento prieaugio santykio riba, kai argumentas didinamas.

Vadinamasis išvestinės apskaičiavimo arba radimo taške operacija diferenciacija .

Diferencijavimo taisyklės.

išvestinė funkcijas f(x) taške x=x 0 yra funkcijos padidėjimo šiame taške santykis su argumento prieaugiu, nes pastarasis linkęs į nulį.Išvestinės radimas vadinamas diferenciacija. Funkcijos išvestinė apskaičiuojama pagal bendrąją diferenciacijos taisyklę: Pažymime f(x) = u, g(x) = v- taške skiriasi funkcijos X. Pagrindinės diferenciacijos taisyklės 1) (sumos išvestinė lygi išvestinių sumai) 2) (taigi, ypač iš to išplaukia, kad funkcijos ir konstantos sandaugos išvestinė yra lygi šios funkcijos išvestinės sandaugai pagal konstantą) 3) Dalinio išvestinė: jei g  0 4) Sudėtinės funkcijos išvestinė: 5) Jei funkcija nustatyta parametriškai: , tada

Pavyzdžiai.

1. y = x a yra laipsnio funkcija su savavališku eksponentu.

Netiesioginė funkcija

Jei funkcija pateikiama lygtimi y=ƒ(x), išspręsta y atžvilgiu, tada funkcija yra pateikta aiškiai (išskirtinė funkcija).

Pagal numanomas priskyrimas funkcijos supranta funkcijos priskyrimą lygties F(x;y)=0 forma, neleidžiama y atžvilgiu.

Bet kuri aiškiai nurodyta funkcija y=ƒ(x) gali būti parašyta kaip netiesiogiai duota pagal lygtį ƒ(x)-y=0, bet ne atvirkščiai.

Ne visada lengva, o kartais ir neįmanoma, išspręsti y lygtį (pavyzdžiui, y+2x+jaukus-1=0 arba 2y-x+y=0).

Jei numanoma funkcija pateikiama lygtimi F(x; y)=0, tai norint rasti y išvestinę x atžvilgiu, nereikia spręsti lygties y atžvilgiu: pakanka diferencijuoti šią lygtį x atžvilgiu, y vertinant kaip x funkciją, ir tada išspręskite gautą lygtį y atžvilgiu".

Netiesioginės funkcijos išvestinė išreiškiama argumentu x ir funkcija y.

Pavyzdys:

Raskite funkcijos y išvestinę, pateiktą lygtimi x 3 +y 3 -3xy=0.

Sprendimas: Funkcija y yra netiesiogiai apibrėžta. Atskirkite x atžvilgiu lygybę x 3 +y 3 -3xy=0. Iš gauto santykio

3x 2 + 3y 2 y "-3 (1 y + x y") \u003d 0

iš to seka, kad y 2 y "-xy" \u003d y-x 2, ty y "= (y-x 2) / (y 2 -x).

Aukštesnių užsakymų išvestinės priemonės

Aišku, kad išvestinė

funkcijas y=f(x) taip pat yra funkcija iš x:

y"=f" (x)

Jei funkcija f"(x) yra diferencijuojamas, tada jo išvestinė žymima simboliu y""=f""(x) x du kartus.
Antrojo vedinio vedinys, t.y. funkcijas y""=f"""(x), vadinamas trečioji funkcijos y=f(x) išvestinė arba trečios eilės funkcijos f(x) išvestinė ir yra simbolizuojama

Iš viso n-i vedinys arba vedinys n- užsakymo funkcija y=f(x)žymimas simboliais

F-la Leibniz:

Tarkime, kad funkcijos ir yra diferencijuojamos kartu su jų išvestinėmis iki n-osios eilės imtinai. Taikydami dviejų funkcijų sandaugos diferenciacijos taisyklę, gauname

Palyginkime šias išraiškas su dvinario laipsniais:

Stebina atitikimo taisyklė: norint gauti 1, 2 ar 3 eilės išvestinės formulę iš funkcijų ir sandaugos, reikia pakeisti laipsnius ir išraiškoje už (kur n= 1,2,3) atitinkamų eilių išvestinės. Be to, ir nuliniai laipsniai turėtų būti pakeisti nulinės eilės išvestinėmis, o tai reiškia funkcijas ir:

Apibendrinant šią taisyklę savavališkos eilės išvestinės bylos atveju n, mes gauname Leibnizo formulė,

kur yra binominiai koeficientai:

Rolio teorema.

Ši teorema leidžia rasti kritinius taškus ir tada, esant pakankamoms sąlygoms, ištirti ekstremalių f-ąją.

Tegul 1) f-asis f(x) yra apibrėžtas ir tęstinis tam tikru uždaru intervalu ; 2) bent atvirajame intervale (a;b) yra baigtinė išvestinė; 3) intervalo f-i galuose įgauna lygias reikšmes f(a) = f(b). Tada tarp taškų a ir b yra toks taškas c, kad išvestinė šiame taške bus = 0.

Pagal teoremą apie f-ųjų, kurios yra ištisinės atkarpoje, savybę, f-oji f(x) įgyja šio atkarpos maksimalias ir minimalias reikšmes.

f (x 1) \u003d M - maks., f (x 2) \u003d m - min; x 1 ;x 2 О

1) Tegul M = m, t.y. m £ f(x) £ M

Þ f-oji f(x) įgis intervalą nuo a iki b pastovių reikšmių, o Þ jo išvestinė bus lygi nuliui. f'(x)=0

2) Tegul M>m

Nes pagal teoremos sąlygas f(a) = f(b) z ims mažiausią arba didžiausią f-i reikšmę ne atkarpos galuose, o z ims M arba m vidiniame šios atkarpos taške. Tada pagal Ferma teoremą f'(c)=0.

Lagranžo teorema.

Baigtinė prieaugio formulė arba Lagranžo vidutinės reikšmės teorema teigia, kad jei funkcija f nuolatinis intervale [ a;b] ir skiriasi intervalu ( a;b), tada yra toks dalykas

Koši teorema.

Jei funkcijos f(x) ir g(x) yra tolydžios intervale ir diferencijuojamos intervale (a, b) ir g¢(x) ¹ 0 intervale (a, b), tada yra bent vienas taškas e, a< e < b, такая, что

Tie. funkcijų prieaugių santykis duotame segmente yra lygus išvestinių taške e santykiui. Problemų sprendimo paskaitų kurso pavyzdžiai Kūno tūrio skaičiavimas iš žinomų jo lygiagrečių pjūvių plotų Integralinis skaičiavimas

Kursinio darbo pavyzdžiai elektros inžinerija

Šiai teoremai įrodyti iš pirmo žvilgsnio labai patogu pasinaudoti Lagranžo teorema. Užrašykite kiekvienos funkcijos baigtinio skirtumo formulę ir padalykite jas vieną iš kitos. Tačiau šis požiūris yra klaidingas, nes taškas e kiekvienai funkcijai paprastai skiriasi. Žinoma, kai kuriais ypatingais atvejais šis intervalo taškas gali būti vienodas abiem funkcijoms, tačiau tai labai retas sutapimas, o ne taisyklė, todėl negali būti naudojamas teoremai įrodyti.

Įrodymas. Apsvarstykite pagalbininko funkciją

Kai x→x 0, c reikšmė taip pat linkusi į x 0; perkelkime ankstesnę lygybę iki ribos:

Nes , tada.

Štai kodėl

(dviejų begalinių mažųjų santykio riba lygi jų išvestinių santykio ribai, jei pastarasis yra)

L'Hopital taisyklė, esant ∞ / ∞.