MASKAVOS ŠVIETIMO DEPARTAMENTAS

VALSTYBĖS BIUDŽETO PROFESIONAS

MOKYMO ĮSTAIGA Maskvoje

"V.G. Fiodorovo vardo politechnikos kolegija Nr. 47"

Pamoka

matematikos disciplinoje

"Trigonometrinės lygtys sumažintos iki kvadratinės"

Mokytojas

Protasevičius Olga Nikolaevna

PROFESIJA: Aparatinės ir programinės įrangos inžinierius

DISCIPLINA: Matematika

GERAI : 1

SEMESTRAS : 2

GRUPĖ :

Pamokos tema:

"Trigonometrinės lygtys sumažintos iki kvadratinių lygčių."

Pamokos tipas: kombinuota pamoka

Pamokos formatas: kolektyvinis mokymas pagal V. K. metodiką. Djačenka

(išsilavinimas mažų grupių sistemose)

Pamokos tikslai:

Švietimo – svarstyti bendruosius požiūrius, apibendrinti informaciją apie trigonometrinių lygčių, kurias galima redukuoti į kvadratines, rūšis ir sprendimo būdus; ugdyti įgūdžius ir gebėjimus taikyti žinias sprendžiant pagrindines lygtis ir įgytas žinias taikant profesinėje veikloje.

Vystantis – skatinti vystymąsiloginis mokinių mąstymas, ugdyti gebėjimus analizuoti, samprotauti, lyginti, daryti išvadas, suvokti medžiagą;

Švietimo – pažintinio domėjimosi, bendravimo kultūros elementų ugdymas, mokinių skatinimas įveikti protinės veiklos proceso sunkumus, ugdyti gebėjimus dirbti darbo ir ugdymo komandoje.

Pamokos tikslas:

Supažindinti studentus su pagrindiniais trigonometrinių lygčių, kurias galima redukuoti į kvadratines, tipais ir sprendimo būdais.

Pagalba (ištekliai):

Techninė įranga: kompiuteris, multimedijos projektorius.

Programinė įranga:MicrosoftExcel.

Pagrindinės sąvokos:

Kvadratinė lygtis; paprastos trigonometrinės lygtys; atvirkštinės trigonometrinės funkcijos; trigonometrinės lygtys redukuotos į kvadratines.

Literatūra:

Bašmakovas M.I. Matematika: pradinio ir vidurinio profesinio mokymo vadovėlis – M.; „Akademija“, 2010. – 256 p.

Dyachenko V.K. - M.; „Visuomenės švietimas“, 2001 m. – 496 s.

Metodinė literatūra:

Bašmakovas M.I. Matematika: knyga mokytojams. Metodinis vadovas - M.; « Akademija“, 2013 - 224 p.

Elektroniniai ištekliai:

Svetainės medžiagossocialinis ir pedagoginis judėjimas, siekiant sukurti kolektyvinį mokymo būdą:www.kco-kras.ru.

Pamokos žingsneliai

Laiko organizavimas.

Namų darbų tikrinimas.

Pagrindinių žinių atnaujinimas.

Naujos medžiagos mokymasis.

Įgytų žinių įtvirtinimas ir sisteminimas.

Atspindys. Apibendrinant. Namų darbai.

Per užsiėmimus

Laiko organizavimas.

Mokytojas nustato mokiniams pamokos tikslus:

1) Supažindinti su pagrindiniais trigonometrinių lygčių tipais, kuriuos galima redukuoti į kvadratines;

2) Supažindinti su standartiniais trigonometrinių lygčių, kurias galima redukuoti į kvadratines, sprendimo metodai.

3) Išmokyti pritaikyti įgytas žinias ir įgūdžius sprendžiant standartines lygtis;

4) Išmokyti dirbti su įvairiomis formomis pateikiama informacija, vykdyti tarpusavio kontrolę ir savikontrolę, įgytas žinias pritaikyti profesinėje veikloje.

II . Namų darbų tikrinimas.

Mokytojas įtraukia „Namų darbų“ pristatymą, pagal kurį mokiniai savarankiškai pasitikrina namų darbus ir, esant reikalui, atlieka darbo pataisas ir pataisymus.

Mokiniams pageidaujant, mokytojas komentuoja sunkumų sukėlusių lygčių sprendinius, po to paskelbia mokinių, kurie pamokos pabaigoje atiduoda pasitikrinti sąsiuvinius, pavardes.

№ 1

Atsakymas:

№ 2

Atsakymas:

№ 3

Atsakymas:

№ 4

nes tada lygtis neturi šaknų

Atsakymas: nėra šaknų

№ 5

Atsakymas:

№ 6

Atsakymas:

III . Pagrindinių žinių atnaujinimas.

Mokytojas formuoja studijų grupes/poras ir siūlo pateiktomis formomis nustatyti lygčių ir atsakymų atitiktį: „Prieš jus yra skaidrė su ugdomąja užduotimi. Suderinkite lygtis (kairėje lentelės pusėje) su atsakymais (dešinėje lentelės pusėje). Užsirašykite teisingų teiginių porų skaičius į savo sąsiuvinį.

Nurodytos užduotys dubliuojamos įtrauktame pristatyme.

Rungtynės

p/p

Lygtis

p/p

Atsakymas

jokių šaknų

Darbo pabaigoje mokytojas iš anksto apklausia grupės atstovus, o po to įjungia pristatymo puslapį su teisingais sprendimais.

Teisingi atsakymai

p/p

Lygtis

p/p

Atsakymas

jokių šaknų

jokių šaknų

11.

13.

10.

12.

IV . Naujos medžiagos mokymasis.

Mokytojas įtraukia naujos medžiagos pristatymą „Trigonometrinės lygtys redukuotos į kvadratines. Lygčių tipai ir jų sprendimo būdai“.

Kviečia mokinius užsirašyti reikiamus taškus ir pradeda komentuoti kiekvieną skaidrę, o po to įjungia pristatymą.

Pristatome koncepciją:

Bendras kvadratinės lygties vaizdas:

1 tipo trigonometrinės lygtys, kurias galima redukuoti į kvadratines lygtis – lygtys, kurios yra algebrinės vienos iš trigonometrinių funkcijų atžvilgiu.

Mokytojas paaiškina sprendimus.

1. Tiesioginis pakeitimas

Pakeitimas ,

Ir

jokių šaknų

Atsakymas:

Formos lygtys turi panašų sprendimą

Pakeitimas

Pakeitimas

2. Lygtys, kurias reikia konvertuoti naudojant trigonometrinio vieneto formulę

Pakeitimas , tada lygtis įgauna formą

Ir

jokių šaknų

Atsakymas:

Formos lygtys turi panašų sprendimą:

mes pakeisime , naudojant trigonometrinio vieneto formulę

.

Gauname lygtį, kurioje yra tik viena trigonometrinė funkcija :

Pakeitimas

3. Lygtys, kurias reikia transformuoti naudojant ryšio formulę tgx Ir Su tgx

Taikome formulę:

Padauginkite lygtį iš

Pakeitimas , tada lygtis įgauna formą

Ir

Atsakymas:

2 tipas trigonometrines lygtis, redukuojančias į kvadratines lygtis– vienarūšės lygtys, kuriose kiekvienas narys turi tą patį laipsnį.

Padalinkite lygtį iš

Pakeitimas , tada lygtis įgauna formą

Ir

Atsakymas:

Mokytojas siūlo apibendrinti pateiktą medžiagą ir užduoda klausimus: „Į kiek tipų yra skirstomos trigonometrinės lygtys, kurias galima redukuoti į kvadratines lygtis? Jų vardai? Įvardykite būdus, kaip išspręsti trigonometrines lygtis, kurias galima redukuoti į kvadratines.

Kurdamas tokio tipo lygčių sprendimo algoritmą, mokytojas vadovauja mokinių veiksmams.

Trigonometrinės lygtys, redukuojančios į kvadratines lygtis, skirstomos į du pagrindinius tipus:

tgx Ir Su tgx :

2 tipas – vienalytės lygtys, kuriose kiekvienas narys turi tą patį laipsnį:

Mokytojas daro pakoreguotą Sprendimo algoritmas:

1. Nustatykite lygties tipą. Jei reikia, pertvarkykite lygtį taip, kad joje būtų tik viena trigonometrinė funkcija. Norėdami tai padaryti, pasirinkite norimą formulę: arba arba padalinti į

2. Įvedamas pakaitalas (pvz, sinx = t , cosx = t , tgx = t ).

5. Užsirašykite atsakymą.

Įgytoms žinioms įtvirtinti mokytojas siūlo nustatyti lygčių ir galimų jų sprendimo būdų atitiktį: „Prieš jus yra skaidrė su lavinimo užduotimi.

1. Klasifikuokite lygtis pagal sprendimo būdus pagal toliau pateiktą lentelę

(spausdintos lentelės versijos yra ant jūsų stalų).

2. Atitinkamame langelyje įveskite sprendimo metodo numerį.

Užpildykite lentelę".

Darbai atliekami poromis.

p/p

Lygtis

metodas

Metodai:

1) Įveskite naują kintamąjį.

2) Įveskite naują kintamąjį

3) Įveskite naują kintamąjį.

4) Transformuokite lygtį naudodami formulę ir įveskite naują kintamąjį.

5) Transformuokite lygtį naudodami formulę, įveskite naują kintamąjį.

6) Padalinkite kiekvieną lygties narį iš, įveskite naują kintamąjį.

7) Paverskite lygtį naudodami formulę, padauginkite lygties narius iš, įveskite naują kintamąjį.

Užduotis tikrinama frontalinio pokalbio forma.

Mokytojas: „Prieš jus yra skaidrė su teisingais ugdomosios užduoties atsakymais. . Patikrinkite pažymėdami teisingus mokymosi užduoties atsakymus. Padirbk su klaidomis užrašų knygelėje“.

Užduočių lapai surenkami pamokos pabaigoje.

p/p

Lygtis

metodas

2

4

2

1

7

1

3

5

6

3

6

2

6

VI . Įgytų žinių įtvirtinimas ir sisteminimas.

Mokytojas kviečia mokinius toliau dirbti grupėse.

Mokytojas: „Išspręskite lygtis. Patikrinkite rezultatą redaktoriuje Microsoft Excel . Pasibaigus sprendimui, grupės atstovas eina prie lentos ir pateikia grupės užpildytos lygties sprendimą. Mokytojas patikrina sprendimą, įvertina grupės darbą ir, jei reikia, nurodo klaidas.

Mokytojas:

1 ) Grupėje aptarkite sprendimus.

2) Užsirašykite sprendimą ir gautą atsakymą į sąsiuvinį.

3) Patikrinkite rezultatą redaktoriuje Microsoft Excel .

4) Praneškite savo mokytojui, kad esate pasiruošęs.

5) Paaiškinkite savo sprendimą, užrašydami jį lentoje kitų grupių nariams.

6) Mąstingai klausykite savo bendražygių kalbų, prireikus užduokite klausimų.

Studijų grupės, pilnai atlikusios užduotis, kviečiamos atlikti kitų grupių užduotis. Sėkmingos grupės apdovanojamos vienu vienetu padidinus galutinį balą.

Pirmoji grupė:

Taikome formulę:

Ir

jokių šaknų

nes

Atsakymas:

Antroji grupė:

Taikome formulę:

Pakeitimas, tada lygtis tampa

Ir

Atsakymas: ;

Trečioji grupė:

Taikome formulę:

Padauginkite lygtį iš

Pakeitimas, tada lygtis tampa

Ir

Atsakymas:

Ketvirta grupė:

Padalinkite lygtį iš

Pakeitimas, tada lygtis tampa

Ir

Atsakymas:

Penktoji grupė:

Pakeitimas, tada lygtis tampa

Ir

Atsakymas:; .

VII . Atspindys. Apibendrinant. Namų darbai.

Mokytojas: Apibendrinkime jūsų darbą, susiedami jūsų veiklos rezultatus su jūsų tikslu.

Pakartokime sąvokos:

• „Trigonometrinės lygtys, kurios transformuojant ir keičiant kintamąjį redukuojamos į kvadratines lygtis, vadinamos trigonometrinėmis lygtimis, redukuojamomis į kvadratines lygtis.

1 tipas – lygtys, algebrinės vienos iš trigonometrinių funkcijų atžvilgiu:

- tiesioginis pakeitimas - pakeitimas arba;

- lygtys, kurias reikia konvertuoti naudojant trigonometrinio vieneto formulę;

- lygtys, kurias reikia transformuoti pagal ryšio formulę tgx ir su tgx :

2 tipas – vienalytės lygtys, kuriose kiekvienas narys turi tą patį laipsnį: padalykite lygtį iš, tada pakeiskite.

Sprendimo algoritmas:

1. Nustatykite lygties tipą. Jei reikia, pertvarkykite lygtį taip, kad joje būtų tik viena trigonometrinė funkcija.

Norėdami tai padaryti, pasirinkite norimą formulę:

arba arba padalinti į

2. Įvedamas pakaitalas (pavyzdžiui, sinx = t , cosx = t , tgx = t ).

3. Išspręskite kvadratinę lygtį.

4. Atliekamas atvirkštinis keitimas ir išspręsta paprasčiausia trigonometrinė lygtis.

5. Užsirašykite atsakymą.

Mokytojas vertina mokinių ir studijų grupių darbą bei skelbia pažymius.

Mokytojas: „Užsirašykite savo namų darbus: Bashmakov M.I. Matematika: vadovėlis pradinių ir vidurinių mokyklų specialistams. išsilavinimas – M.; „Akademija“, 2010. Pp. 114-115. Skaičiuje 10 išspręskite lygtis 4,5,7,9. 118 p.. Patikrinkite rezultatą redaktoriuje Microsoft Excel ».

Pamokos tema: „Trigonometrinių lygčių sprendimas įvedant naują kintamąjį“

Pamokos tipas: naujos medžiagos mokymosi pamoka

Pamokos tikslai: Švietimas: įtvirtinti žinias ir įgūdžius sprendžiant paprasčiausias problemas

trigonometrines lygtis, mokyti spręsti trigonometrines lygtis

įvedant naują kintamąjį.

Vystomasis: ugdyti gebėjimą spręsti trigonometrines lygtis, ugdyti

gebėjimas greitai ir teisingai nustatyti lygties tipą ir kaip ją išspręsti.

Švietimas: kurti darbo kultūrą ir pagarbą vienas kitam.

Pamokos planas: 1. Laiko organizavimas.

2. Namų darbų tikrinimas.

3. Žinių atnaujinimas.

4. Naujos medžiagos mokymasis.

5. Naujos medžiagos konsolidavimas.

6. Kūno kultūros minutė.

7. Pirminė žinių kontrolė.

8. Apibendrinant.

9. Atspindys.

10. Namų darbai.

Per užsiėmimus.

1. Organizacinis momentas .

2. Namų darbų tikrinimas. 18 Nr. 13(c)

3. Žinių atnaujinimas. Išspręskite lygtį:

sin x = 0

cosx = 1

cosx = 2

tg x =

Sutgx = 0

1. X 2 + 3x =0

   X 2 – 9 = 0

   3x 2 + 29 = 0

   X 2 +5x +6 = 0

   X 4 +2x 2 – 3 = 0

Kokie yra lygčių, parašytų kairiajame stulpelyje, pavadinimai? dešiniajame stulpelyje?

Kokie metodai buvo naudojami sprendžiant lygtis kairiajame stulpelyje?

nuodėmė 2 x - 6 nuodėmė x + 5 =0

Kaip manote, kokia šiandien bus pamokos tema?

Atsivertėme sąsiuvinius ir surašėme numerį, klasės darbą, pamokos temą: „Trigonometrinių lygčių sprendimas įvedant naują kintamąjį.

Koks mūsų pamokos tikslas?Išmokite išspręsti trigonometrines lygtis kintamųjų pakeitimo metodu.

4. Naujos medžiagos studijavimas.

Šioje pamokoje bus apžvelgtas dažniausiai naudojamas trigonometrinių lygčių sprendimo būdas.

Trigonometrinės lygtys redukuotos į kvadratines lygtis .

Į šią klasę gali būti įtrauktos lygtys, apimančios vieną funkciją (sinusą arba kosinusą, liestinę arba kotangentą) arba dvi to paties argumento funkcijas, tačiau viena iš jų sumažinama iki antrosios naudojant pagrindines trigonometrines tapatybes.Anuodėmė 2 x + bsinx + c =0, a.

Pavyzdžiui, jeicOsx įveda į lygtį lyginiais laipsniais, tada ją pakeičiame 1-nuodėmė 2 x, Jeinuodėmė 2 x, tada pakeisime jį 1-cos 2 x.

5. Naujos medžiagos konsolidavimas.

Pavyzdys.

Išspręskite lygtį:nuodėmė 2 x - 6 nuodėmėx + 5 =0, 2 nuodėmė 2 x - 3cosx -3 = 0.

6. Kūno kultūros minutė.

Užduotis akių nuovargiui numalšinti: rankų judinti negalima, o tik akis Lentelėje pateikti skaičiai nuo 1 iki 20, tačiau trūksta keturių skaičių. Jūsų užduotis: pavadinkite šiuos skaičius.

7. Pirminis valdymas

Dirbti porose: išspręskite lygtį:

1. 3tg 2 x +2 tg x-1=0;

2,5 nuodėmės 2 x+ 6cos x -6 = 0.

Aptariame lygčių sprendinius, sprendžiame, o tada patikriname sprendinius su lenta.

1. 3 tg 2 x +2 tgx-1= 0

Leistitgx = t.

3 t 2 + 2 t – 1 = 0

D = 16

t 1 = , t 2 = -1.

tgx= arbatgx = -1

x = arctg + Z x = - + Z

2. 5 nuodėmė 2 x + 6cos x - 6 = 0

5( 1 - Su os 2 x ) + 6cos x - 6 = 0

5 cos 2 x - 6cos x +1 = 0

Leisticos x =t.

5 t 2 - 6 t + 1 = 0

D = 16

t 1 = , t 2 = 1.

Grįžkime prie pradinio kintamojo:

cosx= arbacosx = 1

x = arccos + Z x = Z

8. Konsolidavimas.

Išspręskite lygtis:

1. 2 Sutg 2 x+3Suįdegis x + 3= 5;

2.2 nuodėmė 2 - nuodėmėX + 2 = 3.

1. Išspręskite lygtį 2 cos 2 x - 3 cos (x) - 3 = 0. Nurodykite šaknis, priklausančias segmentui [ - ; ].

2. 3tg x -2Suįdegis x = 5

Kiekviena parinktis išsprendžia lygtis ir patikrina atsakymus lentoje. Už šį darbą vaikinai vertina save. Įteikiami lapai su tirpalais. Kitoje pamokoje paskelbsiu šio darbo pažymius.

8. Apibendrinimas .

Prisiminkite: kokia pamokos tema? Koks mūsų šios dienos pamokos tikslas? Ar pasiekėme savo tikslą?

9. Refleksija.

„Šiandien pamokoje aš išsiaiškinau...“;

„Pagirčiau save...“;

„Ypač patiko...“;

„Šiandien man pavyko...“;

"Sugebėjau...";

"Buvo sunku…";

"Aš supratau, kad...";

"Dabar aš galiu…";

„Aš jaučiau, kad...“;

"Aš išmokau…";

"Buvau nustebęs..."

10. Namų darbai.

1) §18, Nr. 6(c), 8(b), 9(a), 21(a).

2) §18, Nr. 7(b), 9(d). 1 arba 2 užduotys.

1. Išspręskite lygtį + 4tgx- 6 = 0. Nurodykite šaknis, priklausančias segmentui [; ].

2. = 0.

Dirbti porose

1. 3 tg 2 x +2 tg x -1=0;

2. 5 nuodėmė 2 x + 6 cos x -6 = 0.

Dirbti porose

1. 3tg 2 x +2 tg x-1=0;

2,5 nuodėmės 2 x+ 6cos x -6 = 0.

Dirbti porose

1. 3 tg 2 x +2 tg x -1=0;

2. 5 nuodėmė 2 x + 6 cos x -6 = 0.

Dirbti porose

1. 3 tg 2 x +2 tg x -1=0;

2. 5 nuodėmė 2 x + 6 cos x -6 = 0.

Dirbti porose

1. 3tg 2 x +2 tg x-1=0;

2,5 nuodėmės 2 x+ 6cos x -6 = 0.

Namų darbai:

1. Išspręskite lygtį + 4tgx

[ ; ].

2. Išspręskite lygtį

Namų darbai:

1. Išspręskite lygtį + 4tgx- 6 = 0. Nurodykite segmentui priklausančias šaknis

[ ; ].

2. Išspręskite lygtį

Namų darbai:

1. Išspręskite lygtį + 4tgx- 6 = 0. Nurodykite segmentui priklausančias šaknis

[ ; ].

2. Išspręskite lygtį

Namų darbai:

1. Išspręskite lygtį + 4tgx- 6 = 0. Nurodykite segmentui priklausančias šaknis

[ ; ].

2. Išspręskite lygtį

Namų darbai:

1. Išspręskite lygtį + 4tgx- 6 = 0. Nurodykite segmentui priklausančias šaknis

[ ; ].

2. Išspręskite lygtį

Namų darbai:

1. Išspręskite lygtį + 4tgx- 6 = 0. Nurodykite segmentui priklausančias šaknis

[ ; ].

2. Išspręskite lygtį

Namų darbai:

1. Išspręskite lygtį + 4tgx- 6 = 0. Nurodykite segmentui priklausančias šaknis

[ ; ].

2. Išspręskite lygtį

Namų darbai:

1. Išspręskite lygtį + 4tgx- 6 = 0. Nurodykite segmentui priklausančias šaknis

[ ; ].

2. Išspręskite lygtį

Namų darbai:

1. Išspręskite lygtį + 4tgx- 6 = 0. Nurodykite segmentui priklausančias šaknis

[ ; ].

2. Išspręskite lygtį

Namų darbai:

1. Išspręskite lygtį + 4tgx- 6 = 0. Nurodykite segmentui priklausančias šaknis

[ ; ].

2. Išspręskite lygtį

Galite užsisakyti išsamų savo problemos sprendimą!!!

Lygybė, turinti nežinomąjį po trigonometrinės funkcijos ženklu („sin x, cos x, tan x“ arba „ctg x“), vadinama trigonometrine lygtimi, todėl toliau nagrinėsime jų formules.

Paprasčiausios lygtys yra „sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a“, kur „x“ yra kampas, kurį reikia rasti, „a“ yra bet koks skaičius. Užrašykime kiekvienos iš jų šaknies formules.

1. Lygtis „sin x=a“.

„|a|>1“ sprendimų nėra.

Kai `|a| \leq 1` turi begalinį sprendinių skaičių.

Šakninė formulė: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. Lygtis „cos x=a“.

`|a|>1` – kaip ir sinuso atveju, jis neturi realiųjų skaičių sprendinių.

Kai `|a| \leq 1` turi begalinį sprendinių skaičių.

Šakninė formulė: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

Specialūs sinuso ir kosinuso atvejai diagramose.

3. Lygtis „tg x=a“.

Turi begalinį bet kokių „a“ reikšmių sprendimų skaičių.

Šakninė formulė: „x=arctg a + \pi n, n \in Z“.

4. Lygtis „ctg x=a“.

Taip pat turi begalinį bet kokių „a“ reikšmių sprendimų skaičių.

Šakninė formulė: „x=arcctg a + \pi n, n \in Z“.

Lentelėje pateiktų trigonometrinių lygčių šaknų formulės

Dėl sinuso:
Dėl kosinuso:
Tangentui ir kotangentui:
Formulės, skirtos spręsti lygtis, kuriose yra atvirkštinių trigonometrinių funkcijų:

Trigonometrinių lygčių sprendimo būdai

Bet kurios trigonometrinės lygties sprendimas susideda iš dviejų etapų:

• paverčiant jį paprasčiausiu;
• išspręskite paprasčiausią lygtį, gautą naudodamiesi aukščiau parašytomis šaknies formulėmis ir lentelėmis.

Pažvelkime į pagrindinius sprendimo būdus naudodami pavyzdžius.

Algebrinis metodas.

Šis metodas apima kintamojo pakeitimą ir jo pakeitimą lygybe.

Pavyzdys. Išspręskite lygtį: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0,

pakeiskite: „cos(x+\frac \pi 6)=y“, tada „2y^2-3y+1=0“,

randame šaknis: `y_1=1, y_2=1/2`, iš kurių seka du atvejai:

1. „cos(x+\frac \pi 6)=1“, „x+\frac \pi 6=2\pi n“, „x_1=-\frac \pi 6+2\pi n“.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

Atsakymas: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

Faktorizavimas.

Pavyzdys. Išspręskite lygtį: `sin x+cos x=1`.

Sprendimas. Perkelkime visus lygybės narius į kairę: `sin x+cos x-1=0`. Naudodami , mes transformuojame ir koeficientuojame kairę pusę:

„sin x – 2sin^2 x/2=0“,

„2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0“,

„2sin x/2 (cos x/2-sin x/2) = 0“,

1. „sin x/2 =0“, „x/2 =\pi n“, „x_1=2\pi n“.
2. „cos x/2-sin x/2=0“, „tg x/2=1“, „x/2=arctg 1+ \pi n“, „x/2=\pi/4+ \pi n“ , „x_2=\pi/2+ 2\pi n“.

Atsakymas: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Redukcija į homogeninę lygtį

Pirmiausia turite sumažinti šią trigonometrinę lygtį į vieną iš dviejų formų:

"a sin x+b cos x=0" (homogeninė pirmojo laipsnio lygtis) arba "a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0" (homogeninė antrojo laipsnio lygtis).

Tada padalykite abi dalis iš „cos x \ne 0“ – pirmuoju atveju ir iš „cos^2 x \ne 0“ – antruoju. Gauname „tg x“ lygtis: „a tg x+b=0“ ir „a tg^2 x + b tg x +c =0“, kurias reikia išspręsti žinomais metodais.

Pavyzdys. Išspręskite lygtį: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.

Sprendimas. Parašykime dešinę pusę kaip „1=sin^2 x+cos^2 x“:

„2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` „sin^2 x+cos^2 x“,

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x -` ` sin^2 x — cos^2 x=0`

„sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0“.

Tai yra vienalytė antrojo laipsnio trigonometrinė lygtis, jos kairę ir dešinę puses padaliname iš `cos^2 x \ne 0`, gauname:

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) — \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0

„tg^2 x+tg x – 2=0“. Įveskime pakaitalą „tg x=t“, todėl gauname „t^2 + t - 2=0“. Šios lygties šaknys yra „t_1=-2“ ir „t_2=1“. Tada:

1. „tg x=-2“, „x_1=arctg (-2)+\pi n“, „n \in Z“
2. „tg x=1“, „x=arctg 1+\pi n“, „x_2=\pi/4+\pi n“, „n \in Z“.

Atsakymas. „x_1=arctg (-2)+\pi n“, „n \in Z“, „x_2=\pi/4+\pi n“, „n \in Z“.

Perėjimas prie pusės kampo

Pavyzdys. Išspręskite lygtį: "11 sin x - 2 cos x = 10".

Sprendimas. Taikykime dvigubo kampo formules ir gausime: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`

„4 tg^2 x/2 – 11 tg x/2 +6=0“.

Taikydami aukščiau aprašytą algebrinį metodą, gauname:

1. „tg x/2=2“, „x_1=2 arctg 2+2\pi n“, „n \in Z“,
2. „tg x/2=3/4“, „x_2=arctg 3/4+2\pi n“, „n \in Z“.

Atsakymas. „x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z“, „x_2=arctg 3/4+2\pi n“, „n \in Z“.

Pagalbinio kampo įvedimas

Trigonometrinėje lygtyje „a sin x + b cos x =c“, kur a,b,c yra koeficientai, o x yra kintamasis, padalykite abi puses iš „sqrt (a^2+b^2)“:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2) ) +b^2))".

Kairėje pusėje esantys koeficientai turi sinuso ir kosinuso savybes, būtent jų kvadratų suma lygi 1, o moduliai ne didesni kaip 1. Pažymime juos taip: `\frac a(sqrt (a^2) +b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2)) =C`, tada:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

Pažvelkime atidžiau į šį pavyzdį:

Pavyzdys. Išspręskite lygtį: `3 sin x+4 cos x=2`.

Sprendimas. Padalinkite abi lygybės puses iš `sqrt (3^2+4^2)', gausime:

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))".

„3/5 sin x+4/5 cos x=2/5“.

Pažymime `3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi`. Kadangi `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, imame `\varphi=arcsin 4/5` kaip pagalbinį kampą. Tada rašome savo lygybę tokia forma:

„cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5“.

Taikydami sinuso kampų sumos formulę, rašome savo lygybę tokia forma:

„sin (x+\varphi)=2/5“,

„x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n“, „n \in Z“,

„x=(-1)^n arcsin 2/5-` „arcsin 4/5+ \pi n“, „n \in Z“.

Atsakymas. „x=(-1)^n arcsin 2/5-` „arcsin 4/5+ \pi n“, „n \in Z“.

Trupmeninės racionalios trigonometrinės lygtys

Tai lygybės su trupmenomis, kurių skaitikliuose ir vardikliuose yra trigonometrinių funkcijų.

Pavyzdys. Išspręskite lygtį. „\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x“.

Sprendimas. Padauginkite ir padalinkite dešinę lygybės pusę iš „(1+cos x)“. Rezultate gauname:

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0

„\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0“.

Atsižvelgiant į tai, kad vardiklis negali būti lygus nuliui, gauname `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z.

Prilyginkime trupmenos skaitiklį nuliui: „sin x-sin^2 x=0“, „sin x(1-sin x)=0“. Tada „sin x=0“ arba „1-sin x=0“.

1. „sin x=0“, „x=\pi n“, „n \in Z“.
2. „1-sin x=0“, „sin x=-1“, „x=\pi /2+2\pi n, n \in Z“.

Atsižvelgiant į tai, kad ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z, sprendiniai yra `x=2\pi n, n \in Z` ir `x=\pi /2+2\pi n` , „n \in Z“.

Atsakymas. „x=2\pi n“, „n \in Z“, „x=\pi /2+2\pi n“, „n \in Z“.

Trigonometrija, o ypač trigonometrinės lygtys, naudojamos beveik visose geometrijos, fizikos ir inžinerijos srityse. Mokymasis prasideda 10 klasėje, vieningam valstybiniam egzaminui visada yra užduočių, todėl pasistenkite atsiminti visas trigonometrinių lygčių formules – jos jums tikrai pravers!

Tačiau net nereikia jų įsiminti, svarbiausia suprasti esmę ir mokėti ją išvesti. Tai nėra taip sunku, kaip atrodo. Įsitikinkite patys žiūrėdami vaizdo įrašą.

Pagrindiniai trigonometrinių lygčių sprendimo būdai yra: lygčių sumažinimas iki pačių paprasčiausių (naudojant trigonometrines formules), naujų kintamųjų įvedimas ir faktoringa. Pažvelkime į jų naudojimą su pavyzdžiais. Atkreipkite dėmesį į trigonometrinių lygčių sprendimų rašymo formatą.

Būtina sąlyga norint sėkmingai išspręsti trigonometrines lygtis – trigonometrinių formulių išmanymas (6 darbo 13 tema).

Pavyzdžiai.

1. Lygtys sumažintos iki paprasčiausių.

1) Išspręskite lygtį

Sprendimas:

Atsakymas:

2) Raskite lygties šaknis

(sinx + cosx) 2 = 1 – sinxcosx, priklausantis segmentui.

Sprendimas:

Atsakymas:

2. Lygtys, redukuojančios į kvadratines.

1) Išspręskite lygtį 2 sin 2 x – cosx –1 = 0.

Sprendimas: Naudodami formulę sin 2 x = 1 – cos 2 x, gauname

Atsakymas:

2) Išspręskite lygtį cos 2x = 1 + 4 cosx.

Sprendimas: Naudodami formulę cos 2x = 2 cos 2 x – 1, gauname

Atsakymas:

3) Išspręskite lygtį tgx – 2ctgx + 1 = 0

Sprendimas:

Atsakymas:

3. Homogeninės lygtys

1) Išspręskite lygtį 2sinx – 3cosx = 0

Sprendimas: Tegul cosx = 0, tada 2sinx = 0 ir sinx = 0 – prieštaravimas tam, kad sin 2 x + cos 2 x = 1. Tai reiškia, kad cosx ≠ 0 ir lygtį galime padalinti iš cosx. Mes gauname

Atsakymas:

2) Išspręskite lygtį 1 + 7 cos 2 x = 3 sin 2x

Sprendimas:

Mes naudojame formules 1 = sin 2 x + cos 2 x ir sin 2x = 2 sinxcosx, gauname

sin 2 x + cos 2 x + 7cos 2 x = 6sinxcosx
sin 2 x – 6sinxcosx+ 8cos 2 x = 0

Tegu cosx = 0, tada sin 2 x = 0 ir sinx = 0 – prieštaravimas tam, kad sin 2 x + cos 2 x = 1.
Tai reiškia, kad cosx ≠ 0 ir lygtį galime padalyti iš cos 2 x . Mes gauname

tg 2 x – 6 tgx + 8 = 0
Pažymime tgx = y
y 2 – 6 y + 8 = 0
y 1 = 4; y2 = 2
a) tgx = 4, x = arctan4 + 2 k, k
b) tgx = 2, x = arctan2 + 2 k, k .

Atsakymas: arctg4 + 2 k, arctan2 + 2 k, k

4. Formos lygtys a sinx + b cosx = s, s≠ 0.

1) Išspręskite lygtį.

Sprendimas:

Atsakymas:

5. Faktorizacijos būdu išspręstos lygtys.

1) Išspręskite lygtį sin2x – sinx = 0.

Lygties šaknis f (X) = φ ( X) gali būti naudojamas tik kaip skaičius 0. Patikrinkime tai:

cos 0 = 0 + 1 – lygybė yra teisinga.

Skaičius 0 yra vienintelė šios lygties šaknis.

Atsakymas: 0.

Pamoka ir pristatymas tema: „Paprastų trigonometrinių lygčių sprendimas“

Papildomos medžiagos
Mieli vartotojai, nepamirškite palikti savo komentarų, atsiliepimų, pageidavimų! Visa medžiaga buvo patikrinta antivirusine programa.

Vadovai ir treniruokliai „Integral“ internetinėje parduotuvėje 10 klasei nuo 1C
Sprendžiame geometrijos uždavinius. Interaktyvios užduotys kuriant erdvėje
Programinės įrangos aplinka "1C: Mathematical Constructor 6.1"

Ką mes studijuosime:
1. Kas yra trigonometrinės lygtys?

3. Du pagrindiniai trigonometrinių lygčių sprendimo būdai.
4. Homogeninės trigonometrinės lygtys.
5. Pavyzdžiai.

Kas yra trigonometrinės lygtys?

Vaikinai, mes jau ištyrėme arcsinusą, arkosinusą, arctangentą ir arkotangentą. Dabar pažvelkime į trigonometrines lygtis apskritai.

Trigonometrinės lygtys yra lygtys, kuriose kintamasis yra po trigonometrinės funkcijos ženklu.

Pakartokime paprasčiausių trigonometrinių lygčių sprendimo formą:

1)Jei |a|≤ 1, tai lygtis cos(x) = a turi sprendimą:

X= ± arccos(a) + 2πk

2) Jei |a|≤ 1, tai lygtis sin(x) = a turi sprendimą:

3) Jei |a| > 1, tada lygtis sin(x) = a ir cos(x) = a neturi sprendinių 4) Lygtis tg(x)=a turi sprendimą: x=arctg(a)+ πk

5) Lygtis ctg(x)=a turi sprendimą: x=arcctg(a)+ πk

Visoms formulėms k yra sveikas skaičius

Paprasčiausios trigonometrinės lygtys turi tokią formą: T(kx+m)=a, T yra kokia nors trigonometrinė funkcija.

Pavyzdys.

Išspręskite lygtis: a) sin(3x)= √3/2

Sprendimas:

A) Pažymime 3x=t, tada perrašysime savo lygtį į formą:

Šios lygties sprendimas bus toks: t=((-1)^n)arcsin(√3 /2)+ πn.

Iš verčių lentelės gauname: t=((-1)^n)×π/3+ πn.

Grįžkime prie mūsų kintamojo: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

Tada x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3

Atsakymas: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, kur n yra sveikas skaičius. (-1)^n – atėmus vieną iki n laipsnio.

Daugiau trigonometrinių lygčių pavyzdžių.

Išspręskite lygtis: a) cos(x/5)=1 b)tg(3x- π/3)= √3

Sprendimas:

A) Šį kartą pereikime tiesiai prie lygties šaknų skaičiavimo:

X/5= ± arccos(1) + 2πk. Tada x/5= πk => x=5πk

Atsakymas: x=5πk, kur k yra sveikas skaičius.

B) Rašome tokia forma: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. Žinome, kad: arctan(√3)= π/3

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

Atsakymas: x=2π/9 + πk/3, kur k yra sveikas skaičius.

Išspręskite lygtis: cos(4x)= √2/2. Ir raskite visas šaknis segmente.

Sprendimas:

Išspręskime savo lygtį bendra forma: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x = ± π/4 + 2πk;

X= ± π/16+ πk/2;

Dabar pažiūrėkime, kokios šaknys patenka į mūsų segmentą. Ties k Kai k=0, x= π/16, esame duotame atkarpoje.
Kai k=1, x= π/16+ π/2=9π/16, pataikome dar kartą.
Jei k=2, x= π/16+ π=17π/16, bet čia nepataikėme, vadinasi, esant dideliam k, taip pat akivaizdžiai nepataikėme.

Atsakymas: x= π/16, x= 9π/16

Du pagrindiniai sprendimo būdai.

Mes pažvelgėme į paprasčiausias trigonometrines lygtis, tačiau yra ir sudėtingesnių. Jiems išspręsti naudojamas naujo kintamojo įvedimo ir faktorizavimo metodas. Pažiūrėkime į pavyzdžius.

Išspręskime lygtį:

Sprendimas:
Norėdami išspręsti mūsų lygtį, naudosime naujo kintamojo įvedimo metodą, žymėdami: t=tg(x).

Dėl pakeitimo gauname: t 2 + 2t -1 = 0

Raskime kvadratinės lygties šaknis: t=-1 ir t=1/3

Tada tg(x)=-1 ir tg(x)=1/3, gauname paprasčiausią trigonometrinę lygtį, suraskime jos šaknis.

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Atsakymas: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Lygties sprendimo pavyzdys

Išspręskite lygtis: 2sin 2 (x) + 3 cos (x) = 0

Sprendimas:

Naudokime tapatybę: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1

Mūsų lygtis bus tokia: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 cos 2 (x) - 3 cos (x) -2 = 0

Įveskime pakeitimą t=cos(x): 2t 2 -3t - 2 = 0

Mūsų kvadratinės lygties sprendimas yra šaknys: t=2 ir t=-1/2

Tada cos(x)=2 ir cos(x)=-1/2.

Nes kosinusas negali būti didesnis už vieną, tada cos(x)=2 neturi šaknų.

Jei cos(x)=-1/2: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

Atsakymas: x= ±2π/3 + 2πk

Homogeninės trigonometrinės lygtys.

Apibrėžimas: a sin(x)+b cos(x) formos lygtys vadinamos pirmojo laipsnio vienarūšėmis trigonometrinėmis lygtimis.

Formos lygtys

antrojo laipsnio vienarūšės trigonometrinės lygtys.

Norėdami išspręsti homogeninę pirmojo laipsnio trigonometrinę lygtį, padalinkite ją iš cos (x): Negalite padalyti iš kosinuso, jei jis lygus nuliui, įsitikinkime, kad taip nėra:
Tegu cos(x)=0, tada asin(x)+0=0 => sin(x)=0, bet sinusas ir kosinusas nelygu nuliui tuo pačiu metu gauname prieštaravimą, todėl galime drąsiai dalyti nuliu.

Išspręskite lygtį:
Pavyzdys: cos 2 (x) + sin (x) cos (x) = 0

Sprendimas:

Išimkime bendrą koeficientą: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

Tada turime išspręsti dvi lygtis:

Cos(x)=0 ir cos(x)+sin(x)=0

Cos(x)=0, kai x= π/2 + πk;

Apsvarstykite lygtį cos(x)+sin(x)=0 Padalinkite mūsų lygtį iš cos(x):

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

Atsakymas: x= π/2 + πk ir x= -π/4+πk

Kaip išspręsti vienarūšes antrojo laipsnio trigonometrines lygtis?
Vaikinai, visada laikykitės šių taisyklių!

1. Pažiūrėkite, kam lygus koeficientas a, jei a=0, mūsų lygtis bus formos cos(x)(bsin(x)+ccos(x)), kurios sprendimo pavyzdys yra ankstesnėje skaidrėje

2. Jei a≠0, tuomet reikia padalyti abi lygties puses iš kosinuso kvadrato, gauname:

Keičiame kintamąjį t=tg(x) ir gauname lygtį:

Išspręskite pavyzdį Nr.:3

Išspręskite lygtį:
Sprendimas:

Abi lygties puses padalinkime iš kosinuso kvadrato:

Keičiame kintamąjį t=tg(x): t 2 + 2 t - 3 = 0

Raskime kvadratinės lygties šaknis: t=-3 ir t=1

Tada: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk

Tg(x)=1 => x= π/4+ πk

Atsakymas: x=-arctg(3) + πk ir x= π/4+ πk

Išspręskite pavyzdį Nr.:4

Išspręskite lygtį:

Sprendimas:
Pakeiskime savo išraišką:

Galime išspręsti tokias lygtis: x= - π/4 + 2πk ir x=5π/4 + 2πk

Atsakymas: x= - π/4 + 2πk ir x=5π/4 + 2πk

Išspręskite pavyzdį Nr.:5

Išspręskite lygtį:

Sprendimas:
Pakeiskime savo išraišką:

Įveskime pakaitalą tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0

Mūsų kvadratinės lygties sprendimas bus šaknys: t=-2 ir t=1/2

Tada gauname: tg(2x)=-2 ir tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2

2x= arctg(1/2) + πk => x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Atsakymas: x=-arctg(2)/2 + πk/2 ir x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Savarankiško sprendimo problemos.

1) Išspręskite lygtį

A) sin(7x)= 1/2 b) cos(3x)= √3/2 c) cos(-x) = -1 d) tg(4x) = √3 d) ctg(0,5x) = -1,7

2) Išspręskite lygtis: sin(3x)= √3/2. Ir suraskite visas šaknis atkarpoje [π/2; π].

3) Išspręskite lygtį: 2 lovelė (x) + 2 lovytė (x) + 1 =0

4) Išspręskite lygtį: 3 sin 2 (x) + √3sin (x) cos(x) = 0

5) Išspręskite lygtį: 3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0

6) Išspręskite lygtį: cos 2 (2x) -1 - cos (x) =√3/2 -sin 2 (2x)