Algebraïsche vectorprojectie op elke as gelijk is aan het product van de lengte van de vector door de cosinus van de hoek tussen de as en de vector:

Pr a b = | b | cos (a, b) of

Waar a b het scalaire product van vectoren is, | a | is de modulus van de vector a.

Instructie. Om de projectie van de vector Пp a b in de online modus te vinden, moet je de coördinaten van de vectoren a en b specificeren. In dit geval kan de vector worden gespecificeerd op een vlak (twee coördinaten) en in de ruimte (drie coördinaten). De resulterende oplossing wordt opgeslagen in een Word-bestand. Als vectoren worden gespecificeerd via de coördinaten van punten, moet deze rekenmachine worden gebruikt.

Gegeven:
twee vectorcoördinaten
drie vectorcoördinaten
een: ; ;
B: ; ;

Classificatie van vectorprojectie

Soorten projecties per definitie vectorprojectie

Projectieweergaven coördineren

Eigenschappen vectorprojectie

1. De geometrische projectie van een vector is een vector (heeft een richting).
2. De algebraïsche projectie van een vector is een getal.

Stellingen van vectorprojectie

Stelling 1. De projectie van de som van vectoren op een as is gelijk aan de projectie van de termen van de vectoren op dezelfde as.

Stelling 2. De algebraïsche projectie van een vector op een willekeurige as is gelijk aan het product van de lengte van de vector en de cosinus van de hoek tussen de as en de vector:

Pr a b = | b | cos (a, b)

Soorten vectorprojecties

1. projectie op de OX-as.
2. projectie op de OY-as.
3. vector projectie.

OX-projectie	OY-as projectie	vector projectie
Als de richting van de vector A'B 'samenvalt met de richting van de OX-as, dan heeft de projectie van de vector A'B' een positief teken.	Als de richting van de vector A'B 'samenvalt met de richting van de OY-as, dan heeft de projectie van de vector A'B' een positief teken.	Als de richting van de vector A'B 'samenvalt met de richting van de vector NM, dan heeft de projectie van de vector A'B' een positief teken.
Als de richting van de vector tegengesteld is aan de richting van de OX-as, dan heeft de projectie van de vector A'B' een negatief teken.	Als de richting van de vector A'B 'tegengesteld is aan de richting van de OY-as, dan heeft de projectie van de vector A'B' een negatief teken.	Als de richting van vector A'B 'tegengesteld is aan de richting van vector NM, dan heeft de projectie van vector A'B' een negatief teken.
Als de vector AB evenwijdig is aan de OX-as, dan is de projectie van de vector A'B' gelijk aan de absolute waarde van de vector AB.	Als de vector AB evenwijdig is aan de OY-as, dan is de projectie van de vector A'B' gelijk aan de absolute waarde van de vector AB.	Als vector AB evenwijdig is aan vector NM, dan is de projectie van vector A'B ' gelijk aan de modulus van vector AB.
Staat de vector AB loodrecht op de OX-as, dan is de projectie A'B' gelijk aan nul (nul-vector).	Staat de vector AB loodrecht op de OY-as, dan is de projectie A'B' gelijk aan nul (nul-vector).	Als vector AB loodrecht staat op vector NM, dan is projectie A'B ' gelijk aan nul (nul-vector).

1. Vraag: Kan de vectorprojectie een negatief teken hebben. Antwoord: Ja, de vectorprojectie kan negatief zijn. In dit geval heeft de vector de tegenovergestelde richting (zie hoe de OX-as en de AB-vector gericht zijn)
2. Vraag: Kan de projectie van de vector hetzelfde zijn als de modulus van de vector. Antwoord: Ja, dat kan. In dit geval zijn de vectoren parallel (of collineair).
3. Vraag: Kan de projectie van een vector gelijk zijn aan nul (nul-vector). Antwoord: Ja, dat kan. In dit geval staat de vector loodrecht op de overeenkomstige as (vector).

Voorbeeld 1. De vector (Fig. 1) vormt een hoek van 60° met de OX-as (deze wordt gespecificeerd door de vector a). Als OE een schaaleenheid is, dan is | b | = 4, dus .

Inderdaad, de lengte van de vector (geometrische projectie b) is 2, en de richting valt samen met de richting van de OX-as.

Voorbeeld 2. De vector (Fig. 2) vormt een hoek (a, b) = 120 o met de OX-as (met de vector a). Lengte | b | vector b is gelijk aan 4, dus pr a b = 4 · cos120 o = -2.

Inderdaad, de lengte van de vector is 2 en de richting is tegengesteld aan de richting van de as.

Eerste level

Coördinaten en vectoren. Uitgebreide gids (2019)

In dit artikel zullen we beginnen met een bespreking van één "toverstaf" waarmee je veel meetkundige problemen kunt herleiden tot eenvoudige rekenkunde. Deze "stok" kan je leven veel gemakkelijker maken, vooral in het geval dat je je onzeker voelt bij het construeren van ruimtelijke figuren, secties, enz. Dit alles vereist een zekere verbeeldingskracht en praktische vaardigheden. De methode, die we hier zullen bespreken, stelt je in staat jezelf bijna volledig te abstraheren van allerlei geometrische constructies en redeneringen. De methode heet "Coördinatenmethode"... In dit artikel gaan we in op de volgende vragen:

1. Coördinatenvlak
2. Punten en vectoren in het vlak
3. Een vector construeren vanuit twee punten
4. Vectorlengte (afstand tussen twee punten)
5. middelpunt coördinaten
6. Puntproduct van vectoren
7. Hoek tussen twee vectoren

Ik denk dat je al geraden hebt waarom de coördinatenmethode zo wordt genoemd? Het is waar dat hij zo'n naam heeft gekregen, omdat hij niet met geometrische objecten werkt, maar met hun numerieke kenmerken (coördinaten). En de transformatie zelf, die ons in staat stelt om van geometrie naar algebra over te gaan, bestaat uit de introductie van een coördinatensysteem. Als de originele figuur plat was, dan zijn de coördinaten tweedimensionaal, en als de figuur driedimensionaal is, dan zijn de coördinaten driedimensionaal. In dit artikel zullen we alleen het tweedimensionale geval beschouwen. En het belangrijkste doel van het artikel is om je te leren hoe je enkele basistechnieken van de coördinatenmethode kunt gebruiken (ze blijken soms nuttig te zijn bij het oplossen van problemen met planimetrie in deel B van het examen). De volgende twee paragrafen over dit onderwerp zijn gewijd aan de bespreking van methoden voor het oplossen van problemen C2 (het probleem van stereometrie).

Waar zou het logisch zijn om te beginnen met het bespreken van de coördinatenmethode? Waarschijnlijk vanuit het concept van een coördinatensysteem. Weet je nog toen je haar voor het eerst ontmoette. Het lijkt mij dat in de 7e klas, toen je hoorde over het bestaan ​​van een lineaire functie, bijvoorbeeld. Laat me je eraan herinneren dat je het punt voor punt hebt opgebouwd. Weet je nog? Je koos een willekeurig getal, verving het in de formule en berekende op die manier. Bijvoorbeeld als, dan, als, dan, etc. Wat heb je uiteindelijk gekregen? En je kreeg punten met coördinaten: en. Vervolgens tekende je een "kruis" (coördinatenstelsel), koos er een schaal op (hoeveel cellen je als eenheidssegment zult hebben) en markeerde daarop de punten die je ontving, die je vervolgens verbond met een rechte lijn, de resulterende lijn is de grafiek van de functie.

Er zijn hier verschillende punten die u in iets meer detail moeten worden uitgelegd:

1. Je kiest gemakshalve een enkel segment, zodat alles mooi en compact in beeld past.

2. Aangenomen wordt dat de as van links naar rechts gaat en de as van onder naar boven.

3. Ze snijden elkaar in een rechte hoek en het punt van hun snijpunt wordt de oorsprong genoemd. Dit wordt aangegeven met een letter.

4. Bij het schrijven van de coördinaten van een punt staat links tussen haakjes bijvoorbeeld de coördinaat van het punt langs de as, en rechts langs de as. In het bijzonder betekent het gewoon dat op het punt

5. Om een ​​punt op de coördinatenas in te stellen, moet u de coördinaten ervan specificeren (2 cijfers)

6. Voor elk punt op de as,

7. Voor elk punt op de as,

8. De as wordt de abscis-as genoemd.

9. De as wordt de y-as genoemd.

Laten we nu samen met u de volgende stap zetten: markeer twee punten. Laten we deze twee punten met een segment verbinden. En we zullen de pijl plaatsen alsof we een segment van punt naar punt tekenen: dat wil zeggen, we zullen ons segment gericht maken!

Weet je nog, hoe wordt een richtingslijn anders genoemd? Dat klopt, het heet een vector!

Dus als we een punt met een punt verbinden, bovendien zal het begin punt A zijn en het einde punt B, dan krijgen we een vector. Je hebt deze vorming ook gedaan in groep 8, weet je nog?

Het blijkt dat vectoren, net als punten, kunnen worden aangeduid met twee getallen: deze getallen worden de coördinaten van de vector genoemd. De vraag is: denk je dat het voldoende is dat we de coördinaten van het begin en einde van de vector kennen om de coördinaten te vinden? Het blijkt dat ja! En dit gaat heel eenvoudig:

Dus, aangezien het punt in de vector het begin is en a het einde, heeft de vector de volgende coördinaten:

Bijvoorbeeld, als, dan zijn de coördinaten van de vector

Laten we nu het tegenovergestelde doen, de coördinaten van de vector vinden. Wat moeten we hiervoor veranderen? Ja, je moet het begin en het einde omwisselen: nu zal het begin van de vector op het punt zijn en het einde op het punt. Vervolgens:

Kijk goed, hoe zijn vectoren en? Hun enige verschil zijn de tekens in de coördinaten. Ze zijn tegengesteld. Het is gebruikelijk om dit feit als volgt te schrijven:

Soms, als niet specifiek is gespecificeerd welk punt het begin van de vector is en wat het einde is, worden vectoren niet aangegeven met twee hoofdletters, maar met één kleine letter, bijvoorbeeld:, enz.

Nu een beetje oefening jezelf en vind de coördinaten van de volgende vectoren:

Inspectie:

Los het probleem nu een beetje moeilijker op:

Vektor met na-cha-lom op het punt heeft co-of-di-na-ty. Nee-di-die abs-cis-su punten.

Toch is het nogal prozaïsch: laten de coördinaten van een punt zijn. Vervolgens

Ik heb het systeem per definitie verzonnen van wat de coördinaten van een vector zijn. Dan heeft het punt coördinaten. We zijn geïnteresseerd in de abscis. Vervolgens

Antwoord geven:

Wat kun je nog meer doen met vectoren? Ja, bijna alles is hetzelfde als bij gewone getallen (behalve dat je niet kunt delen, maar op twee manieren kunt vermenigvuldigen, waarvan we er hier iets later zullen bespreken)

1. Vectoren kunnen aan elkaar worden toegevoegd
2. Vectoren kunnen van elkaar worden afgetrokken
3. Vectoren kunnen worden vermenigvuldigd (of gedeeld) met een willekeurig getal dat niet nul is
4. Vectoren kunnen met elkaar worden vermenigvuldigd

Al deze bewerkingen hebben een zeer duidelijke geometrische weergave. Bijvoorbeeld de driehoek (of parallellogram) regel voor optellen en aftrekken:

De vector breidt uit of krimpt in of verandert van richting wanneer vermenigvuldigd of gedeeld door een getal:

Hier zullen we echter geïnteresseerd zijn in de vraag wat er met de coördinaten gebeurt.

1. Bij het optellen (aftrekken) van twee vectoren, tellen (aftrekken) we hun coördinaten element voor element op. Dat is:

2. Bij het vermenigvuldigen (delen) van een vector door een getal, worden alle coördinaten vermenigvuldigd (gedeeld) door dit getal:

Bijvoorbeeld:

· Nay-di-te som van co-of-di-nat vek-to-ra.

Laten we eerst de coördinaten van elk van de vectoren vinden. Ze hebben allebei dezelfde oorsprong - het oorsprongspunt. Hun uiteinden zijn verschillend. Vervolgens, . Laten we nu de coördinaten van de vector berekenen. Dan is de som van de coördinaten van de resulterende vector.

Antwoord geven:

Los nu zelf het volgende probleem op:

Vind de som van de coördinaten van een vector

Wij controleren:

Laten we nu het volgende probleem bekijken: we hebben twee punten op het coördinatenvlak. Hoe de afstand tussen hen te vinden? Laat het eerste punt zijn, en het tweede. Laten we de afstand tussen hen door aanduiden. Laten we voor de duidelijkheid de volgende tekening maken:

Wat ik heb gedaan? Ik heb eerst de punten verbonden en ook vanuit het punt trok ik een lijn evenwijdig aan de as, en vanaf het punt trok ik een lijn evenwijdig aan de as. Hebben ze elkaar in een punt gekruist en zo een prachtige figuur gevormd? Waar is het opmerkelijk voor? Ja, jij en ik weten bijna alles over een rechthoekige driehoek. Nou, de stelling van Pythagoras - zeker. Het gezochte segment is de hypotenusa van deze driehoek en de segmenten zijn de benen. Wat zijn de coördinaten van een punt? Ja, ze zijn gemakkelijk te vinden vanaf de afbeelding: aangezien de segmenten evenwijdig aan de assen zijn en bijgevolg hun lengtes gemakkelijk te vinden zijn: als u de lengtes van de segmenten respectievelijk aanduidt met, dan

Laten we nu de stelling van Pythagoras gebruiken. We kennen de lengtes van de benen, we zullen de hypotenusa vinden:

De afstand tussen twee punten is dus de wortel van de som van de kwadraten van de verschillen met de coördinaten. Of - de afstand tussen twee punten is de lengte van de lijn die ze verbindt. Het is gemakkelijk in te zien dat de afstand tussen punten onafhankelijk is van de richting. Vervolgens:

Hieruit trekken we drie conclusies:

Laten we een beetje oefenen met het berekenen van de afstand tussen twee punten:

Bijvoorbeeld, als, dan is de afstand tussen en gelijk aan

Of laten we het anders doen: zoek de coördinaten van de vector

En vind de lengte van de vector:

Zoals je kunt zien, hetzelfde!

Oefen nu zelf eens:

Taak: zoek de afstand tussen de opgegeven punten:

Wij controleren:

Hier zijn nog een paar problemen voor dezelfde formule, hoewel ze een beetje anders klinken:

1. Nay-di-te vierkante rat van de lengte van de eeuw tot ra.

2. Nay-di-te vierkante rat van de lengte van de eeuw tot ra

Ik denk dat je het makkelijk met ze deed? Wij controleren:

1. En dit is ter attentie) We hebben de coördinaten van de vectoren al gevonden en eerder:. Dan heeft de vector coördinaten. Het kwadraat van zijn lengte is:

2. Vind de coördinaten van de vector

Dan is het kwadraat van zijn lengte

Niets ingewikkelds, toch? Simpele rekenkunde, meer niet.

De volgende taken kunnen niet eenduidig ​​worden gecategoriseerd, ze hebben meer kans op algemene eruditie en het vermogen om eenvoudige afbeeldingen te tekenen.

1. Nee-di-te sinus van een hoek aan-uit-gesneden, co-uni-nya-yu-shch-th punt, met de as van de abscis.

en

Wat gaan we hier doen? Je moet de sinus van de hoek tussen en de as vinden. En waar weten we hoe we een sinus moeten zoeken? Rechts, in een rechthoekige driehoek. Dus wat moeten we doen? Bouw deze driehoek!

Aangezien de coördinaten van het punt en zijn, is het segment gelijk, en het segment. We moeten de sinus van de hoek vinden. Laat me je eraan herinneren dat de sinus de verhouding is van het andere been tot de hypotenusa, dan

Wat blijft er voor ons over om te doen? Zoek de hypotenusa. Je kunt het op twee manieren doen: met de stelling van Pythagoras (de benen zijn bekend!) Of met de formule voor de afstand tussen twee punten (eigenlijk hetzelfde als de eerste manier!). Ik ga de tweede weg:

Antwoord geven:

De volgende taak zal je nog gemakkelijker lijken. Zij - op de coördinaten van het punt.

Doelstelling 2. Per-pen-di-ku-lar wordt verlaagd van het punt naar de abs-ciss-as. Nay-di-te abs-cis-su os-no-va-nia per-pen-di-ku-la-ra.

Laten we een tekening maken:

De basis van de loodlijn is het punt waarop deze de abscis (as) kruist, voor mij is dit het punt. De figuur laat zien dat het coördinaten heeft:. We zijn geïnteresseerd in de abscis - dat wil zeggen, de "x" -component. Het is gelijk.

Antwoord geven: .

Doelstelling 3. Zoek onder de voorwaarden van het vorige probleem de som van de afstanden van een punt tot de coördinaatassen.

De taak is over het algemeen elementair, als je weet wat de afstand van een punt tot de assen is. Je weet wel? Ik hoop, maar ik herinner je er toch aan:

Dus op mijn foto, die iets hoger ligt, heb ik al zo'n loodlijn getekend? Naar welke as gaat het? Naar de as. En waar is dan de lengte gelijk aan? Het is gelijk. Teken nu zelf de loodlijn op de as en vind de lengte ervan. Het zal gelijk zijn, toch? Dan is hun som gelijk.

Antwoord geven: .

Taak 4. Zoek in de voorwaarden van probleem 2 de ordinaat van het punt symmetrisch met het punt ten opzichte van de as van de abscis.

Ik denk dat je intuïtief begrijpt wat symmetrie is? Veel objecten hebben het: veel gebouwen, tafels, vliegtuigen, veel geometrische vormen: een bal, cilinder, vierkant, ruit, enz. Symmetrie kan grofweg als volgt worden begrepen: een figuur bestaat uit twee (of meer) identieke helften. Deze symmetrie wordt axiaal genoemd. Wat is dan een as? Dit is precies de lijn waarlangs een figuur relatief gezien in identieke helften kan worden "gesneden" (in deze afbeelding is de symmetrie-as een rechte lijn):

Laten we nu teruggaan naar ons probleem. We weten dat we een punt zoeken dat symmetrisch is om de as. Dan is deze as de symmetrie-as. Dit betekent dat we een punt moeten markeren zodat de as het segment in twee gelijke delen snijdt. Probeer zo'n punt zelf te markeren. Vergelijk nu met mijn oplossing:

Heb jij hetzelfde gedaan? OKE! Op het gevonden punt zijn we geïnteresseerd in de ordinaat. Ze is gelijk

Antwoord geven:

Vertel me nu, na over seconden nagedacht te hebben, wat zal de abscis zijn van een punt symmetrisch ten opzichte van punt A ten opzichte van de ordinaat? Wat is je antwoord? Goed antwoord: .

In het algemeen kan de regel als volgt worden geschreven:

Een punt symmetrisch ten opzichte van een punt ten opzichte van de abscis heeft coördinaten:

Een punt symmetrisch ten opzichte van een punt rond de ordinaat-as heeft coördinaten:

Nou, nu is het helemaal eng taak: vind de coördinaten van een punt dat symmetrisch is ten opzichte van een punt, relatief aan de oorsprong. Je denkt eerst zelf na, en kijkt dan naar mijn tekening!

Antwoord geven:

nutsvoorzieningen parallellogram probleem:

Probleem 5: De punten zijn ver-shi-na-mi paral-le-lo-gram-ma. Nay-di-te of-di-na-tu punten.

Je kunt dit probleem op twee manieren oplossen: logica en de methode van coördinaten. Ik zal eerst de coördinatenmethode toepassen, en dan vertel ik je hoe je anders kunt beslissen.

Het is vrij duidelijk dat de abscis van het punt gelijk is aan. (het ligt op de loodlijn getrokken van een punt op de as van de abscis). We moeten de ordinaat vinden. Laten we profiteren van het feit dat onze figuur een parallellogram is, wat dat betekent. Vind de lengte van het segment met behulp van de formule voor de afstand tussen twee punten:

We verlagen de loodlijn die het punt met de as verbindt. Het snijpunt wordt gemarkeerd met een letter.

De segmentlengte is. (vind het probleem zelf, waar we dit punt hebben besproken), dan zullen we de lengte van het segment vinden met de stelling van Pythagoras:

De lengte van de lijn is precies hetzelfde als de ordinaat.

Antwoord geven: .

Een andere oplossing (ik geef gewoon een foto die het illustreert)

Oplossingsvoortgang:

1. Gedrag:

2. Vind de coördinaten van het punt en de lengte

3. Bewijs dat.

Nog een probleem met segmentlengte:

De punten verschijnen-la-are-sya ver-shi-na-mi tre-coal-ni-ka. Nay-di-te is de lengte van de middelste lijn, paral-lel-noy.

Weet je nog wat de middelste lijn van een driehoek is? Dan is deze taak elementair voor jou. Als je het je niet herinnert, zal ik je eraan herinneren: de middelste lijn van een driehoek is de lijn die de middelpunten van tegenoverliggende zijden verbindt. Het is evenwijdig aan de basis en gelijk aan de helft ervan.

De basis is een lijnstuk. We moesten eerder zoeken naar de lengte, het is gelijk. Dan is de lengte van de middelste lijn half en gelijk.

Antwoord geven: .

Commentaar: dit probleem kan op een andere manier worden opgelost, waar we later op terug zullen komen.

In de tussentijd zijn hier een paar taken voor je, oefen ze, ze zijn vrij eenvoudig, maar ze helpen je om "je hand te pakken" met behulp van de methode van coördinaten!

1. De punten zijn de ver-shi-na-mi tra-petsii. Nay-di-te is de lengte van de middelste lijn.

2. Punten en zijn-la-is-sya ver-shi-na-mi pa-ra-le-lo-gram-ma. Nay-di-te of-di-na-tu punten.

3. Nay-di-te lengte van-cut, co-single-nya-yu-shch-go punt en

4. Nay-di-te gebied van de prachtige fi-gu-ry op het co-or-di-nat-noy vlak.

5. De cirkel met het middelpunt op na-cha-le ko-or-di-nat gaat door het punt. Nay-di-te haar ra-di-us.

6. Nai-di-te ra-di-us van de cirkel, beschreven-san-noy rond de rect-coal-ni-ka, de hoekpunten van ko-to-ro-go hebben een co-op -di-na -jij mede-veteraan-maar

Oplossingen:

1. Het is bekend dat de middelste lijn van een trapezium gelijk is aan de halve som van zijn basen. De basis is gelijk, en de basis is. Vervolgens

Antwoord geven:

2. De gemakkelijkste manier om dit probleem op te lossen is om dat op te merken (de parallellogramregel). Bereken de coördinaten van vectoren en is niet moeilijk:. Wanneer vectoren worden toegevoegd, worden de coördinaten toegevoegd. Heeft dan coördinaten. Het punt heeft ook dezelfde coördinaten, aangezien de oorsprong van de vector het punt met coördinaten is. We zijn geïnteresseerd in de ordinaat. Het is gelijk.

Antwoord geven:

3. We handelen onmiddellijk volgens de formule voor de afstand tussen twee punten:

Antwoord geven:

4. Kijk naar de foto en vertel me, tussen welke twee vormen is het gearceerde gebied "ingeklemd"? Het is ingeklemd tussen twee vierkanten. Dan is de oppervlakte van de gewenste figuur gelijk aan de oppervlakte van het grote vierkant minus de oppervlakte van de kleine. De zijde van het kleine vierkant is een lijnstuk dat de punten verbindt en de lengte is

Dan is de oppervlakte van het kleine vierkantje

We doen hetzelfde met een groot vierkant: zijn zijde is een segment dat de punten verbindt en zijn lengte is

Dan is de oppervlakte van het grote plein

We vinden het gebied van het vereiste cijfer met de formule:

Antwoord geven:

5. Als de cirkel de oorsprong van coördinaten als middelpunt heeft en door een punt gaat, dan is de straal precies gelijk aan de lengte van het segment (teken een afbeelding en u begrijpt waarom dit duidelijk is). Laten we de lengte van dit segment zoeken:

Antwoord geven:

6. Het is bekend dat de straal van een om een ​​rechthoek beschreven cirkel gelijk is aan de helft van zijn diagonaal. Laten we de lengte van een van de twee diagonalen vinden (in een rechthoek zijn ze immers gelijk!)

Antwoord geven:

Nou, heb je alles al aangepakt? Het was niet zo moeilijk om erachter te komen, toch? De regel hier is er één - om een ​​​​visueel beeld te kunnen maken en er eenvoudig alle gegevens uit te kunnen "lezen".

We hebben nog maar weinig. Er zijn letterlijk nog twee punten die ik zou willen bespreken.

Laten we proberen dit eenvoudige probleem op te lossen. Laat twee punten en worden gegeven. Zoek de coördinaten van het middelpunt van het segment. De oplossing voor dit probleem is als volgt: laat het punt het gewenste middelpunt zijn, dan heeft het de coördinaten:

Dat is: de coördinaten van het middelpunt van het segment = het rekenkundig gemiddelde van de corresponderende coördinaten van de uiteinden van het segment.

Deze regel is heel eenvoudig en veroorzaakt meestal geen problemen voor studenten. Laten we eens kijken welke taken en hoe het wordt gebruikt:

1. Nay-di-te of-di-na-tu-re-di-us van-cut, co-uni-nya-yu-shch-go punt en

2. De punten verschijnen-la-are-sya ver-shi-na-mi-you-rekh-coal-no-ka. Nay-di-te of-di-na-tu punten van pe-re-se-ch-niya zijn dia-go-na-lei.

3. Nay-di-die abs-cis-su center-tra van de cirkel, beschreven-san-noy nabij de kolen-no-ka, de hoekpunten van de ko-to-ro-go hebben co-op-di- na-je mede-veteraan-maar.

Oplossingen:

1. Het eerste probleem is gewoon een klassieker. Wij handelen direct om het midden van het segment te bepalen. Het heeft coördinaten. De ordinaat is.

Antwoord geven:

2. Het is gemakkelijk te zien dat de gegeven vierhoek een parallellogram is (zelfs een ruit!). U kunt dit zelf bewijzen door de lengtes van de zijden te berekenen en met elkaar te vergelijken. Wat weet ik over een parallellogram? De diagonalen worden gehalveerd door het snijpunt! Aha! Dus wat is het snijpunt van de diagonalen? Dit is het midden van een van de diagonalen! Ik zal met name de diagonaal kiezen. Dan heeft het punt coördinaten. De ordinaat van het punt is gelijk aan.

Antwoord geven:

3. Waarmee is het middelpunt van de om de rechthoek omgeschreven cirkel? Het valt samen met het snijpunt van zijn diagonalen. Wat weet je over de diagonalen van een rechthoek? Ze zijn gelijk en de kruising wordt gehalveerd. De taak is teruggebracht tot de vorige. Neem bijvoorbeeld de diagonaal. Als dan het middelpunt van de omgeschreven cirkel is, dan is dat het midden. Coördinaten zoeken: Abscis is gelijk.

Antwoord geven:

Oefen nu zelf een beetje, ik zal alleen de antwoorden op elk probleem geven, zodat je jezelf kunt testen.

1. Nai-di-te ra-di-us van de cirkel, beschreven-san-noy rond de driehoek, de hoekpunten van de co-to-ro-go hebben co-of-di -no misters

2. Nai-di-te of-di-na-tu center-tra van de cirkel, beschrijf-san-noy rond de driehoek-nik, de hoekpunten van ko-to-ro-go hebben coördinaten

3. How-to-ra-di-u-sa moet er een cirkel zijn met een middelpunt op het punt zodat het de abs-cissa-as zou raken?

4. Nay-di-te of-di-na-tu punten van opnieuw zaaien van de as en cut-off, co-uni-nya-yu-shch-go punt en

antwoorden:

Is het gelukt? Ik hoop er echt op! Nu - de laatste duw. Wees nu extra voorzichtig. Het materiaal dat ik nu zal uitleggen, houdt niet alleen rechtstreeks verband met eenvoudige problemen op de coördinatenmethode uit het B-deel, maar komt ook overal voor in het C2-probleem.

Welke van mijn beloften heb ik nog niet gehouden? Weet je nog welke bewerkingen op vectoren ik beloofde te introduceren en welke ik uiteindelijk heb geïntroduceerd? Weet ik zeker dat ik niets vergeten ben? Vergeten! Vergeten uit te leggen wat vermenigvuldiging van vectoren betekent.

Er zijn twee manieren om een ​​vector met een vector te vermenigvuldigen. Afhankelijk van de gekozen methode krijgen we objecten van een andere aard:

Het vectorproduct is behoorlijk lastig. Hoe het te doen en waar het voor is, zullen we in het volgende artikel met u bespreken. En in deze zullen we ons concentreren op het puntproduct.

Er zijn al twee manieren waarop we het kunnen berekenen:

Zoals je al geraden had, zou het resultaat hetzelfde moeten zijn! Laten we dus eerst naar de eerste manier kijken:

Puntproduct in termen van coördinaten

Zoek: - algemene puntproductnotatie

De formule voor de berekening is als volgt:

Dat wil zeggen, het puntproduct = de som van de producten van de coördinaten van de vectoren!

Voorbeeld:

Nai di te

Oplossing:

Laten we de coördinaten van elk van de vectoren vinden:

We berekenen het puntproduct met de formule:

Antwoord geven:

Kijk, absoluut niets ingewikkelds!

Nou, probeer het nu zelf:

Nay-di-te scalar-noe pro-iz-ve-de-de-vek-to-moat en

Is het je gelukt? Misschien heb je een kleine vangst opgemerkt? Laten we het controleren:

De coördinaten van de vectoren zijn hetzelfde als in de vorige taak! Antwoord geven: .

Naast de coördinaat is er nog een andere manier om het puntproduct te berekenen, namelijk door de lengtes van de vectoren en de cosinus van de hoek ertussen:

Geeft de hoek aan tussen vectoren en.

Dat wil zeggen, het puntproduct is gelijk aan het product van de lengtes van de vectoren en de cosinus van de hoek ertussen.

Waarom hebben we deze tweede formule nodig, als we de eerste hebben, die is veel eenvoudiger, er zitten tenminste geen cosinus in. En het is nodig zodat we uit de eerste en tweede formule kunnen afleiden hoe we de hoek tussen vectoren kunnen vinden!

Laten Onthoud dan de formule voor de lengte van de vector!

Als ik deze gegevens vervolgens in de puntproductformule vervang, krijg ik:

Maar aan de andere kant:

Dus wat hebben jij en ik gekregen? We hebben nu een formule om de hoek tussen twee vectoren te berekenen! Kortheidshalve wordt het soms ook zo geschreven:

Dat wil zeggen, het algoritme voor het berekenen van de hoek tussen vectoren is als volgt:

1. Bereken het puntproduct in termen van coördinaten
2. Vind de lengtes van de vectoren en vermenigvuldig ze
3. Deel het resultaat van punt 1 door het resultaat van punt 2

Laten we oefenen met voorbeelden:

1. Nay-di-te is de hoek tussen de eeuw-naar-ra-mi en. Geef het antwoord in gra-du-sakh.

2. Zoek onder de voorwaarden van het vorige probleem de cosinus tussen de vectoren

Laten we dit doen: ik help je het eerste probleem op te lossen en probeer het tweede zelf te doen! Mee eens? Laten we dan beginnen!

1. Deze vectoren zijn onze oude bekenden. We hebben hun puntproduct al geteld en het was gelijk. Hun coördinaten zijn:,. Dan vinden we hun lengtes:

Dan zoeken we de cosinus tussen de vectoren:

Wat is de cosinus van de hoek? Dit is de hoek.

Antwoord geven:

Los nu zelf het tweede probleem op, dan gaan we vergelijken! Ik zal u slechts een zeer korte oplossing geven:

2. heeft coördinaten, heeft coördinaten.

Laat de hoek zijn tussen vectoren en, dan

Antwoord geven:

Opgemerkt moet worden dat problemen direct op vectoren en de methode van coördinaten in deel B van het onderzoekswerk vrij zeldzaam zijn. De overgrote meerderheid van C2-problemen kan echter eenvoudig worden opgelost door een coördinatensysteem in te voeren. Je kunt dit artikel dus beschouwen als de basis op basis waarvan we behoorlijk sluwe constructies zullen maken die we nodig hebben om complexe problemen op te lossen.

CORDINATEN EN VECTOREN. MEDIUM ROVEN

Jij en ik blijven de methode van coördinaten bestuderen. In het laatste deel hebben we een aantal belangrijke formules afgeleid waarmee je:

1. Vind vectorcoördinaten
2. Vind de lengte van een vector (of: de afstand tussen twee punten)
3. Optellen, aftrekken vectoren. Vermenigvuldig ze met een reëel getal
4. Vind het middelpunt van een lijnsegment
5. Bereken puntproduct van vectoren
6. Vind de hoek tussen vectoren

Natuurlijk past de hele coördinatenmethode niet in deze 6 punten. Het ligt aan de basis van een wetenschap als analytische meetkunde, waarmee je op de universiteit kennis moet maken. Ik wil gewoon een fundament bouwen waarmee je problemen in één staat kunt oplossen. examen. We hebben de taken van deel B uitgezocht in Nu is het tijd om naar een kwalitatief nieuw niveau te gaan! Dit artikel zal gewijd zijn aan de methode voor het oplossen van die problemen C2, waarbij het redelijk zou zijn om over te schakelen naar de methode van coördinaten. Deze rationaliteit wordt bepaald door wat nodig is om in het probleem te vinden en welk cijfer wordt gegeven. Dus ik zou de coördinatenmethode gebruiken als de vragen zijn:

1. Vind de hoek tussen twee vlakken
2. Zoek de hoek tussen een lijn en een vlak
3. Vind de hoek tussen twee rechte lijnen
4. Vind de afstand van een punt tot een vlak
5. Vind de afstand van een punt tot een rechte lijn
6. Vind de afstand van een rechte lijn naar een vliegtuig
7. Vind de afstand tussen twee rechte lijnen

Als het getal in de probleemstelling een omwentelingslichaam is (kogel, cilinder, kegel ...)

Geschikte vormen voor de coördinatenmethode zijn:

1. Rechthoekig parallellepipedum
2. Piramide (driehoekig, vierhoekig, zeshoekig)

Ook in mijn ervaring het is ongepast om de coördinatenmethode te gebruiken voor::

1. De dwarsdoorsnedegebieden vinden
2. Het volume van lichamen berekenen

Er moet echter meteen worden opgemerkt dat drie situaties "ongunstig" voor de methode van coördinaten in de praktijk vrij zeldzaam zijn. Bij de meeste taken kan hij je redder worden, vooral als je niet erg sterk bent in driedimensionale constructies (die soms behoorlijk ingewikkeld zijn).

Wat zijn alle cijfers die ik hierboven heb vermeld? Ze zijn niet meer plat, zoals bijvoorbeeld een vierkant, driehoek, cirkel, maar driedimensionaal! Dienovereenkomstig moeten we geen tweedimensionaal, maar een driedimensionaal coördinatensysteem beschouwen. Het is vrij eenvoudig te bouwen: naast de abscis en ordinaat-assen zullen we nog een as introduceren, de toepassingsas. De figuur toont schematisch hun relatieve positie:

Ze staan ​​allemaal loodrecht op elkaar, snijden elkaar op één punt, dat we de oorsprong zullen noemen. De abscis-as wordt, zoals eerder, aangegeven, de ordinaat-as - en de ingevoerde applicatie-as -.

Als eerder elk punt op het vlak werd gekenmerkt door twee cijfers - de abscis en de ordinaat, dan wordt elk punt in de ruimte al beschreven door drie cijfers - de abscis, ordinaat, van toepassing. Bijvoorbeeld:

Dienovereenkomstig is de abscis van het punt gelijk, de ordinaat is en de toepassing is.

Soms wordt de abscis van een punt ook wel de projectie van het punt op de as van de abscis genoemd, de ordinaat is de projectie van het punt op de ordinaat-as en de applicate is de projectie van het punt op de as van de applicate. Dienovereenkomstig, als een punt is opgegeven, dan is een punt met coördinaten:

heet de projectie van een punt op een vlak

heet de projectie van een punt op een vlak

Een natuurlijke vraag rijst: zijn alle formules die zijn afgeleid voor het tweedimensionale geval geldig in de ruimte? Het antwoord is ja, ze zijn eerlijk en zien er hetzelfde uit. Voor een klein detail. Ik denk dat je al geraden hebt voor welke. We zullen aan alle formules nog een term moeten toevoegen, die verantwoordelijk is voor de toegepaste as. Namelijk.

1. Als er twee punten worden gegeven:, dan:

• Vector coördinaten:
• Afstand tussen twee punten (of vectorlengte)
• Het midden van het segment heeft coördinaten

2. Als twee vectoren worden gegeven: en, dan:

• Hun puntproduct is:
• De cosinus van de hoek tussen vectoren is:

Ruimte is echter niet zo eenvoudig. Zoals je je kunt voorstellen, introduceert de toevoeging van nog een coördinaat een aanzienlijke variëteit in het spectrum van figuren die in deze ruimte "leven". En voor verdere vertelling moet ik wat, ruwweg gezegd, 'veralgemening' van de rechte lijn introduceren. Deze "veralgemening" is het vlak. Wat weet jij van een vliegtuig? Probeer de vraag te beantwoorden, wat is een vliegtuig? Het is heel moeilijk te zeggen. We hebben echter allemaal een intuïtief idee van hoe het eruit ziet:

Dit is grofweg een soort eindeloos "blad" dat in de ruimte is weggestopt. "Oneindig" moet worden begrepen dat het vlak zich in alle richtingen uitstrekt, dat wil zeggen dat het gebied gelijk is aan oneindig. Deze uitleg "op de vingers" geeft echter geen flauw idee van de structuur van het vliegtuig. En we zullen er in geïnteresseerd zijn.

Laten we een van de basisaxioma's van geometrie onthouden:

• een rechte lijn gaat door twee verschillende punten op het vlak, bovendien slechts één:

Of zijn tegenhanger in de ruimte:

Natuurlijk herinner je je hoe je de vergelijking van een rechte lijn uit twee gegeven punten kunt afleiden, het is helemaal niet moeilijk: als het eerste punt coördinaten heeft: en het tweede, dan is de vergelijking van de rechte lijn als volgt:

Je hebt dit meegemaakt in de 7e klas. In de ruimte ziet de vergelijking van een rechte lijn er als volgt uit: laten we twee punten hebben met coördinaten:, dan heeft de vergelijking van een rechte lijn die er doorheen gaat de vorm:

Een rechte lijn gaat bijvoorbeeld door de punten:

Hoe moet dit worden begrepen? Het moet als volgt worden begrepen: een punt ligt op een rechte lijn als zijn coördinaten voldoen aan het volgende stelsel:

We zullen niet erg geïnteresseerd zijn in de vergelijking van de lijn, maar we moeten aandacht besteden aan het zeer belangrijke concept van de richtingsvector van een lijn. - elke niet-nul vector die op de gegeven lijn ligt of er evenwijdig aan is.

Beide vectoren zijn bijvoorbeeld richtingsvectoren van een rechte lijn. Laat een punt zijn dat op een rechte lijn ligt en de richtingsvector ervan zijn. Dan kan de vergelijking van de rechte lijn in de volgende vorm worden geschreven:

Nogmaals, ik zal niet erg geïnteresseerd zijn in de vergelijking van een rechte lijn, maar je moet echt onthouden wat een richtingsvector is! Opnieuw: het is ELKE vector die niet nul is en die op een rechte lijn of evenwijdig daaraan ligt.

Terugtrekken vergelijking van een vlak op drie gegeven punten is niet langer zo triviaal, en meestal komt dit probleem niet aan de orde in een middelbare schoolcursus. Maar tevergeefs! Deze techniek is essentieel wanneer we de coördinatenmethode gebruiken om complexe problemen op te lossen. Ik neem echter aan dat je graag iets nieuws wilt leren? Bovendien zul je indruk kunnen maken op je docent aan de universiteit als blijkt dat je al weet hoe met de methodologie die meestal wordt bestudeerd in de loop van analytische meetkunde. Dus laten we beginnen.

De vergelijking van een vlak verschilt niet veel van de vergelijking van een rechte lijn op een vlak, namelijk het heeft de vorm:

sommige getallen (niet allemaal gelijk aan nul), maar variabelen, bijvoorbeeld: etc. Zoals je kunt zien, verschilt de vergelijking van het vlak niet veel van de vergelijking van een rechte lijn (lineaire functie). Maar weet je nog wat jij en ik zeiden? We zeiden dat als we drie punten hebben die niet op één rechte lijn liggen, de vergelijking van het vlak daaruit op unieke wijze kan worden gereconstrueerd. Maar hoe? Ik zal het je proberen uit te leggen.

Aangezien de vergelijking van het vlak de vorm heeft:

En de punten behoren tot dit vlak, als we de coördinaten van elk punt in de vergelijking van het vlak vervangen, zouden we de juiste identiteit moeten krijgen:

Het wordt dus noodzakelijk om drie vergelijkingen op te lossen, zelfs met onbekenden! Dilemma! Je kunt er echter altijd vanuit gaan (hiervoor moet je delen door). We krijgen dus drie vergelijkingen met drie onbekenden:

We zullen zo'n systeem echter niet oplossen, maar een mysterieuze uitdrukking uitschrijven die daaruit volgt:

Vergelijking van een vlak dat door drie gegeven punten gaat

\ [\ links | (\ begin (array) (* (20) (c)) (x - (x_0)) & ((x_1) - (x_0)) & ((x_2) - (x_0)) \\ (y - (y_0) ) & ((y_1) - (y_0)) & ((y_2) - (y_0)) \\ (z - (z_0)) & ((z_1) - (z_0)) & ((z_2) - (z_0)) \ einde (array)) \ rechts | = 0 \]

Stop! Wat is dit? Een zeer ongebruikelijke module! Het object dat u voor u ziet, heeft echter niets met de module te maken. Dit object wordt een derde-orde determinant genoemd. Als je voortaan met de methode van coördinaten op een vliegtuig te maken hebt, kom je heel vaak dezelfde determinanten tegen. Wat is een derde orde determinant? Vreemd genoeg is dit slechts een getal. Het blijft om te begrijpen welk specifiek aantal we zullen vergelijken met de determinant.

Laten we eerst de determinant van de derde orde in een meer algemene vorm schrijven:

Waar zijn enkele cijfers. Bovendien bedoelen we met de eerste index het regelnummer en met de index - het kolomnummer. Het betekent bijvoorbeeld dat het gegeven nummer zich op het snijpunt van de tweede rij en de derde kolom bevindt. Laten we de volgende vraag stellen: hoe gaan we zo'n determinant precies berekenen? Dat wil zeggen, welk specifiek nummer zullen we eraan koppelen? Voor de determinant van de derde orde is er een heuristische (visuele) regel van de driehoek, deze ziet er als volgt uit:

1. Het product van de elementen van de hoofddiagonaal (van de linkerbovenhoek naar rechtsonder) het product van de elementen die de eerste driehoek vormen "loodrecht" op de hoofddiagonaal product van de elementen die de tweede driehoek vormen "loodrecht" op de hoofddiagonaal
2. Het product van de elementen van de secundaire diagonaal (van de rechterbovenhoek naar de linkerbenedenhoek) het product van de elementen die de eerste driehoek vormen "loodrecht" op de secundaire diagonaal product van de elementen die de tweede driehoek vormen "loodrecht" op de secundaire diagonaal
3. Dan is de determinant gelijk aan het verschil tussen de waarden verkregen bij stap en

Als we dit alles in getallen schrijven, krijgen we de volgende uitdrukking:

Desalniettemin hoeft u de berekeningsmethode in deze vorm niet te onthouden, het is voldoende om alleen de driehoeken te behouden en het idee zelf van wat optelt tot wat en wat vervolgens wordt afgetrokken van wat).

Laten we de driehoeksmethode illustreren met een voorbeeld:

1. Bereken de determinant:

Laten we eens kijken wat we toevoegen en wat we aftrekken:

De termen die met een "plus" komen:

Dit is de hoofddiagonaal: het product van de elementen is

De eerste driehoek, "loodrecht op de hoofddiagonaal: het product van de elementen is"

De tweede driehoek, "loodrecht op de hoofddiagonaal: het product van de elementen is"

Voeg drie cijfers toe:

Termen met een 'min'

Dit is een zijdiagonaal: het product van de elementen is

De eerste driehoek, "loodrecht op de zijdiagonaal: het product van de elementen is"

Tweede driehoek, "loodrecht op de zijdiagonaal: het product van de elementen is

Voeg drie cijfers toe:

Het enige dat nog moet worden gedaan, is om van de som van de plus-termen de som van de min-termen af ​​te trekken:

Dus,

Zoals je kunt zien, is er niets ingewikkelds en bovennatuurlijks in de berekening van determinanten van de derde orde. Het is gewoon belangrijk om driehoeken te onthouden en geen rekenfouten te maken. Probeer het nu zelf uit te rekenen:

Wij controleren:

1. Eerste driehoek loodrecht op de hoofddiagonaal:
2. Tweede driehoek loodrecht op de hoofddiagonaal:
3. Som van termen met plus:
4. Eerste driehoek loodrecht op de zijdiagonaal:
5. Tweede driehoek loodrecht op de secundaire diagonaal:
6. Som van termen met min:
7. De som van termen met een plus minus de som van termen met een min:

Hier nog een paar determinanten voor je, bereken zelf hun waarden en vergelijk ze met de antwoorden:

antwoorden:

Nou, viel het allemaal samen? Mooi, dan kun je verder! Als er problemen zijn, dan is mijn advies dit: op internet zijn er een heleboel programma's om de determinant online te berekenen. Het enige dat u hoeft te doen, is uw eigen determinant te bedenken, deze zelf te berekenen en deze vervolgens te vergelijken met wat het programma berekent. En zo verder totdat de resultaten beginnen samen te vallen. Ik weet zeker dat dit moment niet lang meer zal duren!

Laten we nu teruggaan naar de determinant die ik opschreef toen ik sprak over de vergelijking van een vlak dat door drie gegeven punten gaat:

Het enige dat u nodig hebt, is de waarde rechtstreeks te berekenen (met behulp van de driehoekenmethode) en het resultaat op nul te zetten. Omdat het variabelen zijn, krijg je natuurlijk een uitdrukking die ervan afhangt. Het is deze uitdrukking die de vergelijking zal zijn van het vlak dat door drie gegeven punten gaat die niet op één rechte lijn liggen!

Laten we dit illustreren met een eenvoudig voorbeeld:

1. Construeer de vergelijking van het vlak dat door de punten gaat

Laten we de determinant voor deze drie punten samenstellen:

Laten we vereenvoudigen:

Nu berekenen we het rechtstreeks door de regel van driehoeken:

\ [(\ left | (\ begin (array) (* (20) (c)) (x + 3) & 2 & 6 \\ (y - 2) & 0 & 1 \\ (z + 1) & 5 & 0 \ end (array)) \ rechts | = \ links ((x + 3) \ rechts) \ cdot 0 \ cdot 0 + 2 \ cdot 1 \ cdot \ links ((z + 1) \ rechts) + \ links ((y - 2) \ rechts) \ cdot 5 \ cdot 6 -) \]

De vergelijking van het vlak dat door de punten gaat, heeft dus de vorm:

Probeer nu zelf één probleem op te lossen, dan bespreken we het:

2. Vind de vergelijking van het vlak dat door de punten gaat

Laten we nu de oplossing bespreken:

We stellen de determinant samen:

En we berekenen de waarde ervan:

Dan heeft de vergelijking van het vlak de vorm:

Of, met verminderd, krijgen we:

Nu twee taken voor zelfbeheersing:

1. Construeer de vergelijking van een vlak dat door drie punten gaat:

antwoorden:

viel het allemaal samen? Nogmaals, als er bepaalde moeilijkheden zijn, dan is mijn advies dit: je neemt drie punten van je hoofd (met een hoge mate van waarschijnlijkheid dat ze niet op dezelfde rechte lijn zullen liggen), je bouwt er een vlak langs. En dan check je jezelf online. Bijvoorbeeld op de site:

Met behulp van determinanten zullen we echter niet alleen de vergelijking van het vlak construeren. Onthoud dat ik je heb verteld dat het niet alleen het puntproduct is dat is gedefinieerd voor vectoren. Er is ook een vectorproduct, evenals een gemengd product. En als het puntproduct van twee vectoren een getal is, dan is het vectorproduct van twee vectoren een vector, en deze vector staat loodrecht op de gegeven vectoren:

Bovendien zal de module gelijk zijn aan het gebied van het parallellogram gebouwd op de vectoren en. We hebben deze vector nodig om de afstand van een punt tot een rechte lijn te berekenen. Hoe kunnen we het uitwendige product van vectoren berekenen en, als hun coördinaten gegeven zijn? De determinant van de derde orde komt ons weer te hulp. Voordat ik echter verder ga met het algoritme voor het berekenen van het vectorproduct, moet ik een kleine lyrische uitweiding maken.

Deze uitweiding betreft basisvectoren.

Ze zijn schematisch weergegeven in de figuur:

Waarom denk je dat ze basic heten? Het feit is dat :

Of op de foto:

De geldigheid van deze formule ligt voor de hand, want:

Vector product

Nu kan ik beginnen met het introduceren van het kruisproduct:

Het vectorproduct van twee vectoren is een vector die wordt berekend volgens de volgende regel:

Laten we nu enkele voorbeelden geven van het berekenen van een uitwendig product:

Voorbeeld 1: Zoek het uitwendige product van vectoren:

Oplossing: ik stel een determinant samen:

En ik bereken het:

Nu, van notatie in termen van basisvectoren, zal ik terugkeren naar de gebruikelijke notatie van een vector:

Dus:

Probeer het nu.

Klaar? Wij controleren:

En traditioneel twee taken voor controle:

1. Vind het uitwendig product van de volgende vectoren:
2. Vind het uitwendig product van de volgende vectoren:

antwoorden:

Gemengd product van drie vectoren

De laatste constructie die ik nodig heb is een gemengd product van drie vectoren. Het is, net als een scalaire, een getal. Er zijn twee manieren om het te berekenen. - via een determinant, - via een gemengd product.

Laten we namelijk drie vectoren hebben:

Dan kan het gemengde product van drie vectoren, aangeduid met, worden berekend als:

1. - dat wil zeggen, het gemengde product is het puntproduct van een vector door het uitwendige product van twee andere vectoren

Het gemengde product van drie vectoren is bijvoorbeeld:

Probeer het zelf te berekenen via het kruisproduct en zorg dat de resultaten overeenkomen!

En nogmaals - twee voorbeelden voor een onafhankelijke oplossing:

antwoorden:

Coördinatensysteem selectie

Welnu, nu hebben we alle noodzakelijke kennis om complexe stereometrische problemen in de meetkunde op te lossen. Voordat ik echter rechtstreeks naar de voorbeelden en algoritmen voor hun oplossing ga, denk ik dat het nuttig zal zijn om stil te staan ​​​​bij een andere vraag: hoe precies kies een coördinatensysteem voor een bepaalde figuur. Het is immers de keuze van de relatieve positie van het coördinatenstelsel en de figuur in de ruimte die uiteindelijk zal bepalen hoe omslachtig de berekeningen worden.

Laat me je eraan herinneren dat we in deze sectie kijken naar de volgende vormen:

1. Rechthoekig parallellepipedum
2. Recht prisma (driehoekig, zeshoekig ...)
3. Piramide (driehoekig, vierhoekig)
4. Tetraëder (zelfde als driehoekige piramide)

Voor een rechthoekige doos of kubus raad ik je de volgende constructie aan:

Dat wil zeggen, ik zal de figuur "in de hoek" plaatsen. De kubus en het parallellepipedum zijn erg mooie vormen. Voor hen kun je altijd gemakkelijk de coördinaten van de hoekpunten vinden. Bijvoorbeeld, als (zoals weergegeven in de afbeelding)

dan zijn de coördinaten van de hoekpunten als volgt:

U hoeft dit natuurlijk niet te onthouden, maar het is wenselijk om te onthouden hoe u een kubus of rechthoekig parallellepipedum het beste kunt plaatsen.

Recht prisma

Het prisma is een schadelijker figuur. Het kan op verschillende manieren in de ruimte worden geplaatst. De volgende optie lijkt mij echter het meest acceptabel:

Driehoekig Prisma:

Dat wil zeggen, we plaatsen een van de zijden van de driehoek volledig op de as, en een van de hoekpunten valt samen met de oorsprong.

Zeshoekige Prisma:

Dat wil zeggen, een van de hoekpunten valt samen met de oorsprong en een van de zijden ligt op de as.

Vierhoekige en zeshoekige piramide:

Een situatie vergelijkbaar met een kubus: lijn de twee zijden van de basis uit met de coördinaatassen, lijn een van de hoekpunten uit met de oorsprong. De enige kleine moeilijkheid zal zijn om de coördinaten van het punt te berekenen.

Voor een zeshoekige piramide - hetzelfde als voor een zeshoekig prisma. De belangrijkste taak zal wederom zijn om de coördinaten van het hoekpunt te vinden.

Tetraëder (driehoekige piramide)

De situatie lijkt erg op de situatie die ik gaf voor een driehoekig prisma: één hoekpunt valt samen met de oorsprong, één kant ligt op de coördinaatassen.

Nou, nu zijn jij en ik eindelijk dicht bij het oplossen van problemen. Uit wat ik helemaal aan het begin van het artikel zei, zou je de volgende conclusie kunnen trekken: de meeste C2-problemen zijn onderverdeeld in 2 categorieën: hoekproblemen en afstandsproblemen. Eerst zullen we het probleem van het vinden van een hoek beschouwen. Ze zijn op hun beurt onderverdeeld in de volgende categorieën (naarmate de moeilijkheidsgraad toeneemt):

Hoekjes zoeken

1. De hoek tussen twee rechte lijnen vinden
2. De hoek tussen twee vlakken vinden

Laten we deze taken achtereenvolgens bekijken: begin met het vinden van de hoek tussen twee rechte lijnen. Nou, onthoud, hebben jij en ik niet eerder soortgelijke voorbeelden opgelost? Bedenk dat we al iets soortgelijks hadden... We zochten een hoek tussen twee vectoren. Ik zal je eraan herinneren, als twee vectoren worden gegeven: en, dan wordt de hoek ertussen gevonden uit de verhouding:

Nu hebben we een doel - de hoek tussen twee rechte lijnen vinden. Laten we naar het "platte beeld" gaan:

Hoeveel hoeken krijgen we als twee rechte lijnen elkaar kruisen? Zoals zoveel dingen. Het is waar dat slechts twee van hen niet gelijk zijn, terwijl andere er verticaal op staan ​​(en daarom met hen samenvallen). Dus welke hoek moeten we beschouwen als de hoek tussen twee rechte lijnen: of? Hier is de regel: de hoek tussen twee rechte lijnen is altijd niet meer dan graden... Dat wil zeggen, vanuit twee hoeken kiezen we altijd de hoek met de kleinste graadmaat. Dat wil zeggen, in deze afbeelding is de hoek tussen de twee rechte lijnen gelijk. Om niet elke keer de kleinste van de twee hoeken te vinden, stelden sluwe wiskundigen voor om de module te gebruiken. De hoek tussen twee rechte lijnen wordt dus bepaald door de formule:

U, als oplettende lezer, zou een vraag moeten hebben: waar halen we eigenlijk deze getallen vandaan die we nodig hebben om de cosinus van een hoek te berekenen? Antwoord: we nemen ze uit de richtingsvectoren van de rechte lijnen! Het algoritme voor het vinden van de hoek tussen twee rechte lijnen is dus als volgt:

1. We passen formule 1 toe.

Of meer in detail:

1. We zoeken de coördinaten van de richtingsvector van de eerste rechte lijn
2. We zoeken de coördinaten van de richtingsvector van de tweede rechte lijn
3. Bereken de modulus van hun puntproduct
4. We zoeken de lengte van de eerste vector
5. We zoeken de lengte van de tweede vector
6. De resultaten van punt 4 vermenigvuldigen met de resultaten van punt 5
7. Deel het resultaat van punt 3 door het resultaat van punt 6. We krijgen de cosinus van de hoek tussen de lijnen
8. Als je met dit resultaat de hoek precies kunt berekenen, zoek het dan op
9. Anders schrijven we door de inverse cosinus

Welnu, nu is het tijd om verder te gaan met de taken: ik zal de oplossing van de eerste twee in detail demonstreren, ik zal de oplossing van een andere in een korte vorm presenteren, en voor de laatste twee problemen zal ik alleen antwoorden geven, u moet alle berekeningen voor hen zelf uitvoeren.

Taken:

1. In de juiste tet-ra-ed-re, nee-di-die hoek tussen jou-zo-die tet-ra-ed-ra en het med-di-a-noy bo-kovy gezicht.

2. In de rechtshandige six-coal-noy pi-ra-mi-de zijn de zijden van de os-no-van-nia gelijk, en zijn de ribben gelijk, zoek de hoek tussen de rechte lijnen en.

3. De lengtes van alle randen van de juiste four-you-rekh-coal pi-ra-mi-dy zijn gelijk aan elkaar. Nee-di-die hoek tussen de rechte lijnen en als jij-co-die gegeven pi-ra-mi-dy is, is het punt se-re-di-na haar bo-ko-tweede rib

4. Op de rand van de kubus van-me-che-na punt zodat Nay-di-te de hoek is tussen rechte lijnen en

5. Punt - se-re-di-op de randen van de kubus Nay-di-te hoek tussen rechte lijnen en.

Het is geen toeval dat ik de taken in deze volgorde heb gerangschikt. Hoewel je nog geen tijd hebt gehad om te beginnen met navigeren in de coördinatenmethode, zal ik zelf de meest "problematische" figuren analyseren, en ik zal je overlaten aan de eenvoudigste kubus! Geleidelijk aan zul je moeten leren werken met alle figuren; ik zal de complexiteit van de taken van onderwerp tot onderwerp vergroten.

Laten we beginnen met het oplossen van problemen:

1. Teken een tetraëder, plaats deze in het coördinatensysteem zoals ik eerder suggereerde. Omdat de tetraëder regelmatig is, zijn alle vlakken (inclusief de basis) regelmatige driehoeken. Omdat we de lengte van de zijde niet krijgen, kan ik deze gelijk nemen. Ik denk dat je begrijpt dat de hoek niet echt zal afhangen van hoeveel onze tetraëder is "uitgerekt"?. Ik zal ook de hoogte en mediaan in de tetraëder tekenen. Onderweg zal ik de basis tekenen (het zal ook nuttig voor ons zijn).

Ik moet de hoek tussen en vinden. Wat weten we? We kennen alleen de coördinaat van het punt. Dit betekent dat we ook de coördinaten van de punten moeten vinden. Nu denken we: een punt is het snijpunt van de hoogten (of bissectrices of medianen) van de driehoek. Een punt is een verhoogd punt. De punt is het midden van het segment. Dan moeten we tenslotte vinden: coördinaten van punten:.

Laten we beginnen met de eenvoudigste: puntcoördinaten. Kijk naar de afbeelding: Het is duidelijk dat de applicate van het punt gelijk is aan nul (het punt ligt op het vlak). De ordinaat is (sinds - de mediaan). Het is moeilijker om de abscis te vinden. Dit is echter eenvoudig te doen op basis van de stelling van Pythagoras: Beschouw een driehoek. De hypotenusa is gelijk en een van de benen is gelijk. Dan:

Tot slot hebben we:.

Laten we nu de coördinaten van het punt zoeken. Het is duidelijk dat zijn applicate weer gelijk is aan nul, en zijn ordinaat is hetzelfde als die van een punt, dat wil zeggen. Laten we de abscis vinden. Dit is vrij triviaal gedaan als je je dat herinnert de hoogten van een gelijkzijdige driehoek worden evenredig gedeeld door het snijpunt van bovenaf tellen. Aangezien:, dan is de vereiste abscis van het punt, gelijk aan de lengte van het segment, gelijk aan:. De coördinaten van het punt zijn dus gelijk:

Laten we de coördinaten van het punt zoeken. Het is duidelijk dat de abscis en ordinaat samenvallen met de abscis en ordinaat van het punt. En de applicate is gelijk aan de lengte van het segment. - dit is een van de poten van de driehoek. De hypotenusa van een driehoek is een segment - een been. Het wordt gezocht op basis van de overwegingen die ik vetgedrukt heb gemarkeerd:

Het punt is het middelpunt van het lijnsegment. Dan moeten we de formule voor de coördinaten van het middelpunt van het segment onthouden:

Dat is het, nu kunnen we zoeken naar de coördinaten van de richtingsvectoren:

Nou, alles is klaar: we vervangen alle gegevens in de formule:

Dus,

Antwoord geven:

Laat je niet afschrikken door zulke "enge" antwoorden: voor C2-problemen is dit een gangbare praktijk. Ik zou liever verbaasd zijn over het "leuke" antwoord in dit deel. Zoals je hebt opgemerkt, heb ik praktisch niets anders gebruikt dan de stelling van Pythagoras en de eigenschap van hoogten van een gelijkzijdige driehoek. Dat wil zeggen, om het stereometrische probleem op te lossen, heb ik het minimale aan stereometrie gebruikt. De winst hierin wordt gedeeltelijk "gedoofd" door nogal omslachtige berekeningen. Maar ze zijn behoorlijk algoritmisch!

2. Laten we een regelmatige zeshoekige piramide tekenen samen met een coördinatensysteem, evenals de basis:

We moeten de hoek tussen de lijnen en vinden. Onze taak is dus beperkt tot het vinden van de coördinaten van punten:. We zullen de coördinaten van de laatste drie van de kleine afbeelding vinden, en we zullen de coördinaat van het hoekpunt vinden door de coördinaat van het punt. Werk in bulk, maar je moet ermee beginnen!

a) Coördinaat: het is duidelijk dat zijn toepassing en ordinaat gelijk zijn aan nul. Laten we de abscis zoeken. Om dit te doen, overweeg dan een rechthoekige driehoek. Helaas, daarin kennen we alleen de hypotenusa, die gelijk is aan. We zullen proberen het been te vinden (want het is duidelijk dat de verdubbelde beenlengte ons de abscis van het punt geeft). Hoe kunnen we haar vinden? Laten we onthouden wat voor soort figuur we aan de basis van de piramide hebben? Dit is een regelmatige zeshoek. Wat betekent het? Dit betekent dat alle zijden en alle hoeken gelijk zijn. Ik zou zo'n hoek moeten vinden. Om het even welke ideeën? Er zijn veel ideeën, maar er is een formule:

De som van de hoeken van een regelmatige n-hoek is .

De som van de hoeken van een regelmatige zeshoek is dus gelijk aan graden. Dan is elk van de hoeken gelijk aan:

We kijken nog een keer naar de foto. Het is duidelijk dat het segment de bissectrice van de hoek is. Dan is de hoek gelijk aan graden. Vervolgens:

Waar dan.

Het heeft dus coördinaten

b) Nu kunnen we gemakkelijk de coördinaat van het punt vinden:.

c) Zoek de coördinaten van het punt. Omdat de abscis samenvalt met de lengte van het segment, is deze gelijk aan. Het vinden van de ordinaat is ook niet erg moeilijk: als we de punten verbinden en het snijpunt van de rechte lijn aangeven, bijvoorbeeld door. (DIY eenvoudige constructie). Dan is dus de ordinaat van punt B gelijk aan de som van de lengtes van de segmenten. Laten we nog eens naar de driehoek kijken. Vervolgens

Dan sinds Toen heeft het punt coördinaten

d) Nu vinden we de coördinaten van het punt. Beschouw een rechthoek en bewijs dat Dus de coördinaten van het punt zijn:

e) Het blijft om de coördinaten van het hoekpunt te vinden. Het is duidelijk dat de abscis en ordinaat samenvallen met de abscis en ordinaat van het punt. Laten we de applicator zoeken. Vanaf dat moment. Beschouw een rechthoekige driehoek. Door de verklaring van het probleem, de zijrand. Dit is de hypotenusa van mijn driehoek. Dan is de hoogte van de piramide het been.

Dan heeft het punt coördinaten:

Goed, ik heb de coördinaten van alle interessante punten voor mij. Op zoek naar de coördinaten van de richtingsvectoren van rechte lijnen:

We zoeken de hoek tussen deze vectoren:

Antwoord geven:

Nogmaals, bij het oplossen van dit probleem heb ik geen geavanceerde trucs gebruikt, behalve de formule voor de som van de hoeken van een regelmatige n-hoek, evenals het bepalen van de cosinus en sinus van een rechthoekige driehoek.

3. Omdat we weer niet de lengtes van de ribben in de piramide krijgen, beschouw ik ze als gelijk aan één. Dus, aangezien ALLE randen, en niet alleen de laterale, gelijk zijn aan elkaar, dan ligt aan de basis van de piramide en ik een vierkant, en de laterale randen zijn regelmatige driehoeken. Laten we zo'n piramide tekenen, evenals de basis op een vlak, waarbij alle gegevens in de tekst van het probleem worden gemarkeerd:

We zoeken de hoek tussen en. Ik zal heel korte berekeningen doen als ik zoek naar de coördinaten van punten. U moet ze "ontcijferen":

b) - het midden van het segment. Zijn coördinaten:

c) Ik zal de lengte van het segment vinden volgens de stelling van Pythagoras in een driehoek. Ik zal het in een driehoek vinden volgens de stelling van Pythagoras.

Coördinaten:

d) is het middelpunt van het segment. De coördinaten zijn gelijk

e) Vectorcoördinaten

f) Vectorcoördinaten

g) Op zoek naar een hoek:

De kubus is de eenvoudigste figuur. Ik weet zeker dat je het zelf kunt bedenken. De antwoorden op problemen 4 en 5 zijn als volgt:

De hoek vinden tussen een rechte lijn en een vlak

Welnu, de tijd van eenvoudige taken is voorbij! Nu worden de voorbeelden nog ingewikkelder. Om de hoek tussen een rechte lijn en een vlak te vinden, gaan we als volgt te werk:

1. Uit drie punten construeren we de vergelijking van het vlak
   ,
   met behulp van een derde-orde determinant.
2. We zoeken de coördinaten van de richtingsvector van de rechte lijn door twee punten:
3. We passen de formule toe om de hoek tussen een rechte lijn en een vlak te berekenen:

Zoals je kunt zien, lijkt deze formule erg op de formule die we gebruikten om de hoeken tussen twee rechte lijnen te vinden. De structuur van de rechterkant is precies hetzelfde, en aan de linkerkant zoeken we nu naar de sinus, niet naar de cosinus, zoals voorheen. Nou, er is een vervelende actie toegevoegd - het zoeken naar de vergelijking van het vliegtuig.

Laten we het niet uitstellen oplossing van voorbeelden:

1. Os-no-va-no-em directe prijs-we zijn-la-is-gelijk-maar-arm-ric-ny driehoekige-nick Jij-zo-die prijs-we zijn gelijk. Nai di te hoek tussen recht en vlak

2. In rechthoekige pa-ra-le-le-pi-pe-de vanuit de West Nay-di-te hoek tussen rechte lijn en vlak

3. In het juiste prisma met zes kolen zijn alle randen gelijk. Nee-di-die hoek tussen rechte lijn en vlak.

4. In de rechtshandige driehoekige pi-ra-mi-de met os-no-va-ni-it zijn ribben bekend Nay-di-te hoek, ob-ra-zo-van -draad vlakheid van de os-no -vania en recht, pro-ho-dya-shi door de se-re-di-us van de ribben en

5. De lengtes van alle ribben van de juiste vierhoekige piramide met apex zijn gelijk aan elkaar. Nay-di-te is de hoek tussen een rechte lijn en een vlak, als het punt se-re-di-na bo-ko-th ribben pi-ra-mi-dy is.

Nogmaals, ik zal de eerste twee problemen in detail oplossen, de derde - kort, en ik laat de laatste twee aan u over om zelf op te lossen. Daarnaast heb je al met driehoekige en vierhoekige piramides te maken gehad, maar nog niet met prisma's.

Oplossingen:

1. Laten we het prisma weergeven, evenals de basis. Laten we het combineren met het coördinatensysteem en alle gegevens in de probleemstelling markeren:

Mijn excuses voor het niet-naleven van de verhoudingen, maar voor het oplossen van het probleem is dit in feite niet zo belangrijk. Het vliegtuig is slechts de "achterwand" van mijn prisma. Het is gemakkelijk genoeg om te raden dat de vergelijking van zo'n vlak de vorm heeft:

Dit kan echter direct worden weergegeven:

Laten we willekeurige drie punten op dit vlak kiezen: bijvoorbeeld.

Laten we de vergelijking van het vlak opstellen:

Een oefening voor jou: bereken deze determinant zelf. Heb je het gedaan? De vlakvergelijking heeft dan de vorm:

Of gewoon

Dus,

Om het voorbeeld op te lossen, moet ik de coördinaten van de richtingsvector van een rechte lijn vinden. Omdat het punt samenvalt met de oorsprong, zullen de coördinaten van de vector gewoon samenvallen met de coördinaten van het punt. Hiervoor zoeken we eerst de coördinaten van het punt.

Overweeg hiervoor een driehoek. Laten we de hoogte (het is de mediaan en de bissectrice) vanaf het hoekpunt tekenen. Sinds, dan is de ordinaat van het punt gelijk aan. Om de abscis van dit punt te vinden, moeten we de lengte van het segment berekenen. Volgens de stelling van Pythagoras hebben we:

Dan heeft het punt coördinaten:

Een punt wordt "verhoogd" met een punt:

Dan de coördinaten van de vector:

Antwoord geven:

Zoals u kunt zien, is er niets fundamenteel moeilijks bij het oplossen van dergelijke problemen. In feite vereenvoudigt het proces de "rechtheid" van een vorm zoals een prisma verder. Laten we nu naar het volgende voorbeeld gaan:

2. Teken een parallellepipedum, teken er een vlak en een rechte lijn in, en teken ook afzonderlijk de onderste basis:

Eerst vinden we de vergelijking van het vlak: Coördinaten van drie punten die erin liggen:

(de eerste twee coördinaten zijn op een voor de hand liggende manier verkregen en je kunt gemakkelijk de laatste coördinaat van de afbeelding vanaf het punt vinden). Dan stellen we de vergelijking van het vlak op:

Wij berekenen:

We zoeken de coördinaten van de richtingsvector: het is duidelijk dat zijn coördinaten samenvallen met de coördinaten van het punt, nietwaar? Hoe vind ik de coördinaten? Dit zijn de coördinaten van het punt, één verhoogd langs de as van de applicatie! ... Dan zoeken we de gewenste hoek:

Antwoord geven:

3. Teken een regelmatige zeshoekige piramide en teken daarin een vlak en een rechte lijn.

Hier is zelfs het tekenen van een vlak problematisch, om nog maar te zwijgen van de oplossing van dit probleem, maar de coördinatenmethode maakt niet uit! Het is in zijn veelzijdigheid dat het belangrijkste voordeel ligt!

Het vliegtuig gaat door drie punten: We zoeken hun coördinaten:

1) . Teken zelf de coördinaten voor de laatste twee punten. De oplossing voor het probleem met een zeshoekige piramide komt hierbij goed van pas!

2) We bouwen de vergelijking van het vlak:

We zoeken de coördinaten van de vector:. (zie het driehoekspiramideprobleem nog eens!)

3) Op zoek naar een hoek:

Antwoord geven:

Zoals je kunt zien, is er niets bovennatuurlijk moeilijks in deze taken. Je moet alleen heel voorzichtig zijn met de wortels. Voor de laatste twee problemen zal ik alleen antwoorden geven:

Zoals je kunt zien, is de techniek voor het oplossen van problemen overal hetzelfde: de belangrijkste taak is om de coördinaten van de hoekpunten te vinden en deze in sommige formules te vervangen. Rest ons nog een klasse van problemen voor het berekenen van hoeken te overwegen, namelijk:

Hoeken tussen twee vlakken berekenen

Het oplossingsalgoritme is als volgt:

1. Met drie punten zoeken we de vergelijking van het eerste vlak:
2. Voor de andere drie punten zoeken we de vergelijking van het tweede vlak:
3. We passen de formule toe:

Zoals je kunt zien, lijkt de formule erg op de twee vorige, met behulp waarvan we hebben gezocht naar de hoeken tussen rechte lijnen en tussen een rechte lijn en een vlak. Dus het onthouden van deze zal niet moeilijk voor je zijn. Laten we direct naar de analyse van taken gaan:

1. Honderd-ro-na van de os-no-van-nia van het rechtshandige driehoekige prisma is gelijk, en de diagonaal van het grote gezicht is gelijk. Nee-di-die hoek tussen het vlak en het vlak van het prisma.

2. Zoek in de juiste four-you-rekh-coal-noy pi-ra-mi-de, waarvan alle randen gelijk zijn, de sinus van de hoek tussen het vlak en het vlak naar-stu, pro-ho- dya-shchey door het punt per-pen-di-ku-lar-maar rechtdoor.

3. In het juiste vier-je-rekh-kolenprisma zijn de zijkanten van de os-no-vania gelijk en zijn de zijkanten gelijk. Op de rand is er een punt zodat. Vind de hoek tussen het vlak-naar-sti-mi en

4. In het rechter vierhoekige prisma zijn de zijkanten van de os-no-vania gelijk en zijn de zijkanten gelijk. Op de rand van-me-che-to-point zodat Nay-di-te de hoek is tussen plane-to-st-mi en.

5. In de kubus nay-di-te ko-si-nus van de hoek tussen de plane-ko-sti-mi en

Probleem oplossingen:

1. Ik teken een regelmatig (aan de basis - een gelijkzijdige driehoek) driehoekig prisma en markeer daarop de vlakken die in de probleemstelling voorkomen:

We moeten de vergelijkingen van twee vlakken vinden: De vergelijking van de basis is triviaal: je kunt de corresponderende determinant samenstellen door drie punten, maar ik zal de vergelijking in één keer opstellen:

Nu zullen we de vergelijking vinden. Punt heeft coördinaten. Punt - Aangezien dit de mediaan en de hoogte van de driehoek is, is het gemakkelijk te vinden in een driehoek met de stelling van Pythagoras. Dan heeft het punt coördinaten: Vind de toepassing van het punt Om dit te doen, overweeg een rechthoekige driehoek

Dan krijgen we de volgende coördinaten: Stel de vergelijking van het vlak op.

We berekenen de hoek tussen de vlakken:

Antwoord geven:

2. Een tekening maken:

Het moeilijkste is om te begrijpen wat dit mysterieuze vlak is, dat loodrecht door een punt gaat. Het belangrijkste is: wat is dit? Het belangrijkste is aandacht! De lijn staat inderdaad loodrecht. De rechte lijn is ook loodrecht. Dan zal het vlak dat door deze twee rechte lijnen gaat, loodrecht op de rechte lijn staan ​​en trouwens door het punt gaan. Dit vliegtuig gaat ook door de top van de piramide. Dan het gewenste vliegtuig - En het vliegtuig is al aan ons gegeven. We zoeken de coördinaten van de punten.

Zoek de coördinaat van het punt door het punt. Uit het kleine getal is gemakkelijk af te leiden dat de coördinaten van het punt als volgt zullen zijn: Wat moet er nu nog gevonden worden om de coördinaten van de top van de piramide te vinden? Je moet ook de hoogte berekenen. Dit wordt gedaan met behulp van dezelfde stelling van Pythagoras: bewijs eerst dat (triviaal uit kleine driehoekjes die een vierkant vormen aan de basis). Omdat we per voorwaarde hebben:

Nu is alles klaar: de coördinaten van het hoekpunt:

We stellen de vergelijking van het vlak op:

Je bent al bijzonder in het berekenen van determinanten. U kunt gemakkelijk krijgen:

Of anders (als we beide delen vermenigvuldigen met de wortel van twee)

Nu vinden we de vergelijking van het vlak:

(Je bent niet vergeten hoe we de vergelijking van het vliegtuig krijgen, toch? Als je niet begrijpt waar deze min één vandaan kwam, ga dan terug naar de definitie van de vergelijking van het vliegtuig! Het is alleen dat daarvoor bleek dat de oorsprong van de coördinaten behoorde tot mijn vliegtuig!)

We berekenen de determinant:

(Je kunt zien dat de vergelijking van het vlak samenvalt met de vergelijking van de rechte lijn die door de punten gaat en! Bedenk waarom!)

Nu berekenen we de hoek:

We moeten de sinus vinden:

Antwoord geven:

3. Een lastige vraag: wat is volgens jou een rechthoekig prisma? Het is gewoon een parallellepipedum dat je goed kent! Maak direct een tekening! Het is zelfs mogelijk om de sokkel niet apart weer te geven, hier heb je weinig aan:

Het vlak, zoals we eerder opmerkten, is geschreven in de vorm van een vergelijking:

Nu vormen we het vliegtuig

We stellen onmiddellijk de vergelijking van het vlak op:

Op zoek naar een hoek:

Nu de antwoorden op de laatste twee problemen:

Welnu, nu is het tijd om een ​​pauze te nemen, want jij en ik zijn geweldig en hebben geweldig werk geleverd!

Coördinaten en vectoren. Gevorderd niveau

In dit artikel bespreken we met u een andere klasse van problemen die kunnen worden opgelost met behulp van de coördinatenmethode: afstandsproblemen. U en ik zullen namelijk de volgende gevallen overwegen:

1. Berekening van de afstand tussen gekruiste lijnen.

Ik heb deze taken geordend naarmate hun complexiteit toeneemt. Het blijkt het gemakkelijkst te vinden afstand van punt tot vliegtuig, en het moeilijkste is om te vinden afstand tussen kruisende lijnen... Hoewel natuurlijk niets onmogelijk is! Laten we het niet uitstellen en onmiddellijk overgaan tot de overweging van de eerste klasse van problemen:

De afstand van een punt tot een vlak berekenen

Wat hebben we nodig om dit probleem op te lossen?

1. Puntcoördinaten

Dus zodra we alle benodigde gegevens hebben, passen we de formule toe:

Je zou al moeten weten hoe we de vergelijking van het vlak construeren uit de vorige problemen die ik in het laatste deel heb besproken. Laten we meteen beginnen met de taken. Het schema is als volgt: 1, 2, ik help je oplossen, en in enig detail, 3, 4 - alleen het antwoord, je neemt zelf de beslissing en vergelijkt. Laten we beginnen!

Taken:

1. Gegeven een kubus. De lengte van de rand van de kubus is. Nay-di-te afstand-i-ni van se-re-di-us van-cut tot flat-to-sti

2. Gezien de rechter-vil-naya vier-je-rekh-kolen-naya pi-ra-mi-da Bo-kovoe rand side-ro-na os-no-van-nia is gelijk. Nay-di-te afstand-i-nie van punt naar vliegtuig-naar-sti waar - se-re-di-na ribben.

3. In de rechtshandige driehoekige pi-ra-mi-de met os-but-va-ni is de bo-kov-rand gelijk, en de zij-ro-na is-no-va- gelijk aan. Nay-di-te afstand-i-nye van de top naar het vliegtuig.

4. In een normaal prisma met zes kolen zijn alle randen gelijk. Nay-di-te afstand-i-nye van punt tot vlak.

Oplossingen:

1. Teken een kubus met eenheidsranden, bouw een segment en een vlak, geef het midden van het segment aan met de letter

.

Laten we eerst beginnen met een makkelijke: zoek de coördinaten van een punt. Sindsdien (onthoud de coördinaten van het middelpunt van het segment!)

Nu stellen we de vergelijking van het vlak samen met drie punten

\ [\ links | (\ begin (array) (* (20) (c)) x & 0 & 1 \\ y & 1 & 0 \\ z & 1 & 1 \ end (array)) \ rechts | = 0 \]

Nu kan ik beginnen met zoeken naar afstand:

2. Begin opnieuw met de tekening, waarop we alle gegevens markeren!

Voor de piramide zou het handig zijn om de basis apart te tekenen.

Zelfs het feit dat ik teken als een kip met een poot belet ons niet om dit probleem gemakkelijk op te lossen!

Nu is het gemakkelijk om de coördinaten van een punt te vinden

Aangezien de coördinaten van het punt, dan

2. Aangezien de coördinaten van punt a het middelpunt van het segment zijn, dan

We kunnen ook zonder problemen de coördinaten van nog twee punten op het vlak vinden. We stellen de vergelijking van het vlak op en vereenvoudigen deze:

\ [\ links | (\ left | (\ begin (array) (* (20) (c)) x & 1 & (\ frac (3) (2)) \\ y & 0 & (\ frac (3) (2)) \ \ z & 0 & (\ frac ( (\ sqrt 3)) (2)) \ end (array)) \ rechts |) \ rechts | = 0 \]

Aangezien het punt coördinaten heeft:, dan berekenen we de afstand:

Antwoord (zeer zeldzaam!):

Nou, bedacht? Het lijkt mij dat alles hier net zo technisch is als in de voorbeelden die we in het vorige deel met u hebben besproken. Dus ik ben er zeker van dat als je dat materiaal onder de knie hebt, het niet moeilijk voor je zal zijn om de resterende twee problemen op te lossen. Ik zal alleen de antwoorden geven:

De afstand van een rechte lijn tot een vlak berekenen

Eigenlijk is er hier niets nieuws. Hoe kunnen een lijn en een vlak ten opzichte van elkaar worden gelokaliseerd? Ze hebben alle mogelijkheden: snijden, of een rechte lijn is evenwijdig aan het vlak. Wat is volgens jou de afstand van een rechte lijn tot het vlak waarmee deze rechte lijn snijdt? Het lijkt mij dat het hier duidelijk is dat zo'n afstand gelijk is aan nul. Een oninteressant geval.

Het tweede geval is lastiger: hier is de afstand al niet nul. Aangezien de lijn echter evenwijdig is aan het vlak, ligt elk punt van de lijn op gelijke afstand van dit vlak:

Dus:

En dit betekent dat mijn taak is teruggebracht tot de vorige: we zoeken de coördinaten van elk punt op een rechte lijn, we zoeken de vergelijking van het vlak, we berekenen de afstand van een punt tot het vlak. In feite zijn dergelijke taken uiterst zeldzaam in het examen. Ik heb maar één probleem kunnen vinden, en de gegevens erin waren zodanig dat de coördinatenmethode er niet erg op van toepassing was!

Laten we nu verder gaan met een andere, veel belangrijkere klasse van problemen:

De afstand van een punt tot een rechte lijn berekenen

Wat hebben we nodig?

1. Coördinaten van het punt van waaruit we de afstand zoeken:

2. Coördinaten van elk punt dat op een rechte lijn ligt

3. Coördinaten van de richtingsvector van een rechte lijn

Welke formule gebruiken we?

Wat betekent de noemer van een gegeven breuk voor jou en het mag dus duidelijk zijn: dit is de lengte van de richtende vector van een rechte. Er is hier een zeer lastige teller! De uitdrukking betekent de modulus (lengte) van het vectorproduct van vectoren en Hoe het uitwendige product te berekenen, hebben we in het vorige deel van het werk bestudeerd. Verfris je kennis, ze zullen nu heel nuttig voor ons zijn!

Het algoritme voor het oplossen van problemen is dus als volgt:

1. We zoeken de coördinaten van het punt van waaruit we de afstand zoeken:

2. We zoeken de coördinaten van elk punt op de rechte lijn waarnaar we de afstand zoeken:

3. Bouw een vector

4. Bouw de richtingsvector van de rechte lijn

5. Bereken het uitwendige product

6. We zoeken de lengte van de resulterende vector:

7. Bereken de afstand:

We hebben veel werk, en de voorbeelden zullen behoorlijk complex zijn! Dus richt nu al je aandacht!

1. Dana is een rechts-vil-naya driehoekige pi-ra-mi-da met een top. Honderd-ro-na os-no-va-nia pi-ra-mi-dy is gelijk, jij-zo-dat is gelijk. Nee-di-die afstand-i-nye van de se-re-di-ny van de bo-ko-th rib tot de rechte lijn, waar de punten en de se-re-di-ny van de ribben zijn en zo -van- dierenarts-maar.

2. De lengtes van de ribben en de rechthoekige pa-ral-le-le-pi-pe-da zijn respectievelijk gelijk, en Nay-di-die afstand van boven naar recht

3. In het rechtshandige prisma met zes kolen zijn alle randen van een zwerm gelijk vind-di-die afstand van een punt tot een rechte lijn

Oplossingen:

1. We maken een nette tekening waarop we alle gegevens markeren:

We hebben veel werk met je! Eerst wil ik in woorden omschrijven waar we naar op zoek gaan en in welke volgorde:

1. Coördinaten van punten en

2. Puntcoördinaten

3. Coördinaten van punten en

4. Coördinaten van vectoren en

5. Hun kruisproduct

6. De lengte van de vector

7. De lengte van het vectorproduct

8. Afstand van naar

Nou, we hebben veel werk te doen! We gaan aan de slag en stropen onze mouwen op!

1. Om de coördinaten van de hoogte van de piramide te vinden, moeten we de coördinaten van het punt weten. De toepassing ervan is gelijk aan nul en de ordinaat is gelijk aan de Abscis, het is gelijk aan de lengte van het segment. Aangezien is de hoogte van een gelijkzijdige driehoek, het is verdeeld in relatie, vanaf de bovenkant geteld, voortaan. Eindelijk hebben we de coördinaten:

Punt coördinaten

2. - het midden van het segment

3. - het midden van het segment

Middelpunt van het segment

4.Coördinaten

Vector coördinaten

5. We berekenen het kruisproduct:

6. De lengte van de vector: de eenvoudigste manier is om te vervangen dat het segment de middelste lijn van de driehoek is, wat betekent dat het gelijk is aan de helft van de basis. Dus.

7. We beschouwen de lengte van het vectorproduct:

8. Ten slotte vinden we de afstand:

Pfff, dat is het! Eerlijk gezegd zou de oplossing voor dit probleem met traditionele methoden (via constructies) veel sneller zijn. Maar hier heb ik alles teruggebracht tot een kant-en-klaar algoritme! Ik denk dat het oplossingsalgoritme je duidelijk is? Daarom zal ik u vragen om de resterende twee problemen zelf op te lossen. Laten we de antwoorden vergelijken?

Nogmaals, ik herhaal: het is gemakkelijker (sneller) om deze problemen op te lossen door middel van constructies, en niet terug te grijpen naar de coördinatenmethode. Ik heb deze oplossing alleen gedemonstreerd om u een universele methode te laten zien waarmee u "niets kunt voltooien".

Overweeg ten slotte de laatste klasse van problemen:

De afstand tussen gekruiste lijnen berekenen

Hier zal het probleemoplossende algoritme vergelijkbaar zijn met het vorige. Wat we hebben:

3. Elk vectorverbindingspunt van de eerste en tweede rechte:

Hoe vinden we de afstand tussen rechte lijnen?

De formule is als volgt:

De teller is de modulus van het gemengde product (we hebben het in het vorige deel geïntroduceerd), en de noemer is dezelfde als in de vorige formule (de modulus van het vectorproduct van de richtingsvectoren van de rechte lijnen, de afstand waartussen we zijn op zoek naar).

Ik zal je eraan herinneren dat

dan de formule voor de afstand kan worden herschreven als:

Een soort determinant gedeeld door een determinant! Al heb ik hier eerlijk gezegd geen tijd voor grappen! Deze formule is in feite erg omslachtig en leidt tot nogal gecompliceerde berekeningen. Als ik jou was, zou ik het alleen als laatste redmiddel gebruiken!

Laten we proberen verschillende problemen op te lossen met behulp van de bovenstaande methode:

1. In het juiste driehoekige prisma zijn alle randen gelijk, zoek de afstand tussen de rechte lijnen en.

2. Gegeven een rechtshandig driehoekig prisma, zijn alle randen van de os-no-va-tion van een zwerm gelijk rib en se-re-di-well ribben yav-la-et-sya square-ra-tom. Nay-di-te afstand-i-nie tussen straight-we-mi en

Ik bepaal het eerste, en op basis daarvan bepaal jij het tweede!

1. Teken een prisma en markeer de rechte lijnen en

Punt C coördinaten: dan

Punt coördinaten

Vector coördinaten

Punt coördinaten

Vector coördinaten

Vector coördinaten

\ [\ links ((B, \ pijl rechts (A (A_1)) \ pijl rechts (B (C_1))) \ rechts) = \ links | (\ begin (array) (* (20) (l)) (\ begin (array) (* (20) (c)) 0 & 1 & 0 \ end (array)) \\ (\ begin (array) ( * (20) (c)) 0 & 0 & 1 \ end (array)) \\ (\ begin (array) (* (20) (c)) (\ frac ((\ sqrt 3)) (2)) & (- \ frac (1) (2)) & 1 \ end (array)) \ end (array)) \ rechts | = \ frac ((\ sqrt 3)) (2) \]

We beschouwen het uitwendige product tussen vectoren en

\ [\ pijl rechts (A (A_1)) \ cdot \ pijl rechts (B (C_1)) = \ links | \ begin (array) (l) \ begin (array) (* (20) (c)) (\ pijl rechts i) & (\ pijl rechts j) & (\ pijl rechts k) \ end (array) \\\ begin (array ) (* (20) (c)) 0 & 0 & 1 \ end (array) \\\ begin (array) (* (20) (c)) (\ frac ((\ sqrt 3)) (2)) & (- \ frac (1) (2)) & 1 \ end (array) \ end (array) \ rechts | - \ frac ((\ sqrt 3)) (2) \ pijl rechts k + \ frac (1) (2) \ pijl rechts i \]

Nu berekenen we de lengte:

Antwoord geven:

Probeer nu de tweede taak zorgvuldig uit te voeren. Het antwoord daarop zal zijn:.

Coördinaten en vectoren. Korte beschrijving en basisformules

Een vector is een gericht lijnsegment. - het begin van de vector, - het einde van de vector.
De vector wordt aangegeven met of.

Absolute waarde vector - de lengte van het segment dat de vector vertegenwoordigt. Het is aangegeven als.

Vector coördinaten:

,
waar zijn de uiteinden van de vector \ displaystyle a.

Som van vectoren:.

Product van vectoren:

Puntproduct van vectoren:

Het is gebruikelijk om een ​​vector een segment te noemen dat een bepaalde richting heeft. Zowel het begin als het einde van de vector hebben een vaste positie, met behulp waarvan de richting van de vector wordt bepaald. Laten we eens nader bekijken hoe we een vector kunnen bouwen op basis van gegeven coördinaten.

1. Teken een coördinatensysteem (x, y, z) in de ruimte, markeer eenheidssegmenten op de assen.
2. Leg de gewenste coördinaten op twee assen opzij, trek er lijnen uit met een stippellijn evenwijdig aan de assen, totdat ze elkaar kruisen. Leer het snijpunt dat u met een stippellijn wilt verbinden met de oorsprong.
3. Teken een vector van de oorsprong naar het resulterende punt.
4. Zet het gewenste getal op de derde as, trek een stippellijn door dit punt, die evenwijdig zal zijn aan de geconstrueerde vector.
5. Trek vanaf het einde van de vector een stippellijn evenwijdig aan de derde as totdat deze de lijn van het vorige punt snijdt.
6. Verbind tenslotte de oorsprong en het resulterende punt.

Soms is het nodig om een ​​vector te construeren die het resultaat is van optellen of aftrekken van andere vectoren. Daarom zullen we nu bewerkingen met vectoren overwegen, we zullen leren hoe we ze kunnen optellen en aftrekken.

Vectorbewerkingen

Geometrische vectoren kunnen op verschillende manieren worden toegevoegd. De meest gebruikelijke manier om vectoren toe te voegen is bijvoorbeeld de driehoeksregel. Om twee vectoren volgens deze regel op te tellen, is het noodzakelijk om de vectoren evenwijdig aan elkaar te rangschikken, zodat het begin van de eerste vector samenvalt met het einde van de tweede, terwijl de derde zijde van de resulterende driehoek de vector van de som.

U kunt ook de som van vectoren berekenen met behulp van de parallellogramregel. Vectoren moeten beginnen vanaf één punt, evenwijdig aan elke vector, je moet een lijn trekken zodat je een parallellogram krijgt. De diagonaal van het geconstrueerde parallellogram is de som van deze vectoren.

Om twee vectoren af ​​te trekken, moet je de eerste vector optellen en de vector die het tegenovergestelde is van de tweede. Hiervoor wordt ook de driehoeksregel gebruikt, die de volgende formulering heeft: het verschil van vectoren die zo worden overgedragen dat hun oorsprong samenvalt, is een vector waarvan het begin samenvalt met het einde van de af te trekken vector, evenals het einde van de te verkleinen vector.

Let op, alleen VANDAAG!

ANDER

Om de vectoroptelling uit te voeren, zijn er verschillende manieren die, afhankelijk van de situatie ...

Een vector is een wiskundig object dat wordt gekenmerkt door richting en grootte. In de meetkunde heet een vector ...

In de wiskunde wordt een vector begrepen als een segment van een bepaalde lengte met een richting en coördinaten in de X-, Y-, Z-assen. De vraag over ...

De hoek tussen twee vectoren die vanuit hetzelfde punt uitgaan, is de dichtstbijzijnde hoek, de rotatie waarmee, van de eerste vector ...

Als je de ruimtelijke coördinaten van twee of meer punten in een bepaald systeem kent, dan is de taak: hoe de lengte te vinden ...

Het is mogelijk om de lengte van een segment op verschillende manieren te bepalen. Om erachter te komen hoe u de lengte van een segment kunt vinden, volstaat het om in ...

Versnelling is de snelheid waarmee de snelheid verandert. Deze grootheid is vector, het heeft zijn eigen richting en wordt gemeten in m / s 2 (in ...

Met behulp van de cardanische regel worden de richtingen van magnetische lijnen bepaald (op een andere manier worden ze ook magnetische lijnen genoemd ...

In tekeningen worden afbeeldingen van geometrische lichamen gebouwd met behulp van de projectiemethode. Maar voor dit ene beeld...

Het woord "ordinaat" komt van het Latijnse "ordinatus" - "in volgorde gerangschikt". De ordinaat is puur wiskundig...

De modulus van een getal wordt op een andere manier ook wel de absolute waarde van dit getal genoemd. Als er onder het teken van de module ...

Om de coördinaten van het hoekpunt van een gelijkzijdige driehoek te vinden, als de coördinaten van de andere twee hoekpunten bekend zijn, ...

Je vraagt ​​je af hoe je de middellijn van een driehoek kunt berekenen en vinden. Ga dan aan de slag Vind de lengte van de middellijn...

Laten we in meer detail bekijken wat versnelling in de natuurkunde is? Dit is een bericht aan het lichaam van extra snelheid per tijdseenheid. ...

Voordat we leren hoe we het gebied van een parallellogram kunnen vinden, moeten we onthouden wat een parallellogram is en wat ...

Het is gebruikelijk om een ​​vector een segment te noemen dat een bepaalde richting heeft. Zowel het begin als het einde van de vector hebben een vaste positie, met behulp waarvan de richting van de vector wordt bepaald. Laten we eens nader bekijken hoe we een vector kunnen bouwen op basis van gegeven coördinaten.

1. Teken een coördinatensysteem (x, y, z) in de ruimte, markeer eenheidssegmenten op de assen.
2. Leg de gewenste coördinaten op twee assen opzij, trek er lijnen uit met een stippellijn evenwijdig aan de assen, totdat ze elkaar kruisen. Leer het snijpunt dat u met een stippellijn wilt verbinden met de oorsprong.
3. Teken een vector van de oorsprong naar het resulterende punt.
4. Zet het gewenste getal op de derde as, trek een stippellijn door dit punt, die evenwijdig zal zijn aan de geconstrueerde vector.
5. Trek vanaf het einde van de vector een stippellijn evenwijdig aan de derde as totdat deze de lijn van het vorige punt snijdt.
6. Verbind tenslotte de oorsprong en het resulterende punt.

Soms is het nodig om een ​​vector te construeren die het resultaat is van optellen of aftrekken van andere vectoren. Daarom zullen we nu bewerkingen met vectoren overwegen, we zullen leren hoe we ze kunnen optellen en aftrekken.

Vectorbewerkingen

Geometrische vectoren kunnen op verschillende manieren worden toegevoegd. De meest gebruikelijke manier om vectoren toe te voegen is bijvoorbeeld de driehoeksregel. Om twee vectoren volgens deze regel op te tellen, is het noodzakelijk om de vectoren evenwijdig aan elkaar te rangschikken, zodat het begin van de eerste vector samenvalt met het einde van de tweede, terwijl de derde zijde van de resulterende driehoek de vector van de som.

U kunt ook de som van vectoren berekenen met behulp van de parallellogramregel. Vectoren moeten beginnen vanaf één punt, evenwijdig aan elke vector, je moet een lijn trekken zodat je een parallellogram krijgt. De diagonaal van het geconstrueerde parallellogram is de som van deze vectoren.

Om twee vectoren af ​​te trekken, moet je de eerste vector optellen en de vector die het tegenovergestelde is van de tweede. Hiervoor wordt ook de driehoeksregel gebruikt, die de volgende formulering heeft: het verschil van vectoren die zo worden overgedragen dat hun oorsprong samenvalt, is een vector waarvan het begin samenvalt met het einde van de af te trekken vector, evenals het einde van de te verkleinen vector.