Van de hele verscheidenheid aan logaritmische ongelijkheden worden ongelijkheden met een variabele basis afzonderlijk bestudeerd. Ze worden opgelost met behulp van een speciale formule, die om de een of andere reden zelden op school wordt onderwezen:

log k (x) f (x) ∨ log k (x) g (x) ⇒ (f (x) − g (x)) (k (x) − 1) ∨ 0

In plaats van het selectievakje “∨” kunt u elk ongelijkheidsteken plaatsen: min of meer. Het belangrijkste is dat bij beide ongelijkheden de tekens hetzelfde zijn.

Op deze manier komen we af van logaritmen en reduceren we het probleem tot een rationele ongelijkheid. Dit laatste is veel gemakkelijker op te lossen, maar als je logaritmen weggooit, kunnen er extra wortels verschijnen. Om ze af te sluiten, volstaat het om het bereik van acceptabele waarden te vinden. Als u de ODZ van een logaritme bent vergeten, raad ik u ten zeerste aan deze te herhalen - zie "Wat is een logaritme".

Alles met betrekking tot het bereik van acceptabele waarden moet afzonderlijk worden uitgeschreven en opgelost:

f(x) > 0; g(x) > 0; k(x) > 0; k(x) ≠ 1.

Deze vier ongelijkheden vormen een systeem en moeten tegelijkertijd worden vervuld. Wanneer het bereik van aanvaardbare waarden is gevonden, hoeft het alleen nog maar te worden doorkruist met de oplossing van de rationele ongelijkheid - en het antwoord is klaar.

Taak. Los de ongelijkheid op:

Laten we eerst de ODZ van de logaritme opschrijven:

Aan de eerste twee ongelijkheden wordt automatisch voldaan, maar aan de laatste moet worden uitgeschreven. Omdat het kwadraat van een getal nul is als en slechts als het getal zelf nul is, geldt:

x 2 + 1 ≠ 1;
x2 ≠ 0;
x ≠ 0.

Het blijkt dat de ODZ van de logaritme alle getallen is behalve nul: x ∈ (−∞ 0)∪(0; +∞). Nu lossen we de belangrijkste ongelijkheid op:

We maken de overgang van logaritmische ongelijkheid naar rationele ongelijkheid. De oorspronkelijke ongelijkheid heeft een ‘kleiner dan’-teken, wat betekent dat de resulterende ongelijkheid ook een ‘kleiner dan’-teken moet hebben. We hebben:

(10 − (x 2 + 1)) · (x 2 + 1 − 1)< 0;
(9 − x 2) x 2< 0;
(3 − x) · (3 + x) · x 2< 0.

De nullen van deze uitdrukking zijn: x = 3; x = −3; x = 0. Bovendien is x = 0 een wortel van de tweede veelheid, wat betekent dat het teken van de functie niet verandert als je er doorheen gaat. We hebben:

We krijgen x ∈ (−∞ −3)∪(3; +∞). Deze set is volledig opgenomen in de ODZ van de logaritme, wat betekent dat dit het antwoord is.

Logaritmische ongelijkheden omzetten

Vaak is de oorspronkelijke ongelijkheid anders dan die hierboven. Dit kan eenvoudig worden gecorrigeerd met behulp van de standaardregels voor het werken met logaritmen - zie “Basiseigenschappen van logaritmen”. Namelijk:

1. Elk getal kan worden weergegeven als een logaritme met een bepaald grondtal;
2. De som en het verschil van logaritmen met dezelfde grondtallen kunnen worden vervangen door één logaritme.

Afzonderlijk zou ik u willen herinneren aan het bereik van aanvaardbare waarden. Omdat er meerdere logaritmen in de oorspronkelijke ongelijkheid kunnen voorkomen, is het nodig om de VA van elk ervan te vinden. Het algemene schema voor het oplossen van logaritmische ongelijkheden is dus als volgt:

1. Zoek de VA van elke logaritme die in de ongelijkheid is opgenomen;
2. Reduceer de ongelijkheid tot een standaardongelijkheid met behulp van de formules voor het optellen en aftrekken van logaritmen;
3. Los de resulterende ongelijkheid op met behulp van het hierboven gegeven schema.

Taak. Los de ongelijkheid op:

Laten we het definitiedomein (DO) van de eerste logaritme vinden:

We lossen op met behulp van de intervalmethode. De nulpunten van de teller vinden:

3x − 2 = 0;
x = 2/3.

Dan - de nullen van de noemer:

x − 1 = 0;
x = 1.

We markeren nullen en tekens op de coördinatenpijl:

We krijgen x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞). De tweede logaritme heeft dezelfde VA. Als je het niet gelooft, kun je het controleren. Nu transformeren we de tweede logaritme zodat het grondtal twee is:

Zoals u kunt zien, zijn de drieën aan de basis en vóór de logaritme verkleind. We hebben twee logaritmes met hetzelfde grondtal. Laten we ze optellen:

logboek 2 (x − 1) 2< 2;
logboek 2 (x − 1) 2< log 2 2 2 .

We hebben de standaard logaritmische ongelijkheid verkregen. We ontdoen ons van logaritmen met behulp van de formule. Omdat de oorspronkelijke ongelijkheid een ‘kleiner dan’-teken bevat, moet de resulterende rationele uitdrukking ook kleiner dan nul zijn. We hebben:

(f (x) − g (x)) (k (x) − 1)< 0;
((x − 1) 2 − 2 2)(2 − 1)< 0;
x 2 − 2x + 1 − 4< 0;
x 2 − 2x − 3< 0;
(x − 3)(x + 1)< 0;
x ∈ (−1; 3).

We hebben twee setjes:

1. ODZ: x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞);
2. Kandidaatantwoord: x ∈ (−1; 3).

Het blijft nodig om deze sets te doorkruisen - we krijgen het echte antwoord:

We zijn geïnteresseerd in het snijpunt van verzamelingen, dus selecteren we intervallen die op beide pijlen gearceerd zijn. We krijgen x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3) - alle punten zijn lek.

Het waarborgen van uw privacy is belangrijk voor ons. Om deze reden hebben wij een privacybeleid ontwikkeld waarin wordt beschreven hoe wij uw gegevens gebruiken en opslaan. Bekijk onze privacypraktijken en laat het ons weten als u vragen heeft.

Verzameling en gebruik van persoonlijke informatie

Persoonlijke informatie verwijst naar gegevens die kunnen worden gebruikt om een ​​specifieke persoon te identificeren of ermee contact op te nemen.

U kunt op elk moment worden gevraagd om uw persoonlijke gegevens te verstrekken wanneer u contact met ons opneemt.

Hieronder vindt u enkele voorbeelden van de soorten persoonlijke informatie die we kunnen verzamelen en hoe we dergelijke informatie kunnen gebruiken.

Welke persoonlijke informatie verzamelen wij:

• Wanneer u een aanvraag indient op de site, kunnen wij verschillende informatie verzamelen, waaronder uw naam, telefoonnummer, e-mailadres, enz.

Hoe wij uw persoonlijke gegevens gebruiken:

• Met de persoonlijke informatie die we verzamelen, kunnen we contact met u opnemen over unieke aanbiedingen, promoties en andere evenementen en aankomende evenementen.
• Van tijd tot tijd kunnen we uw persoonlijke gegevens gebruiken om belangrijke mededelingen en mededelingen te verzenden.
• We kunnen persoonlijke informatie ook gebruiken voor interne doeleinden, zoals het uitvoeren van audits, data-analyse en diverse onderzoeken om de diensten die wij leveren te verbeteren en u aanbevelingen te doen met betrekking tot onze diensten.
• Als u deelneemt aan een prijstrekking, wedstrijd of soortgelijke promotie, kunnen wij de door u verstrekte informatie gebruiken om dergelijke programma's te beheren.

Openbaarmaking van informatie aan derden

Wij maken de van u ontvangen gegevens niet bekend aan derden.

Uitzonderingen:

• Indien nodig - in overeenstemming met de wet, gerechtelijke procedure, in gerechtelijke procedures en/of op basis van publieke verzoeken of verzoeken van overheidsinstanties op het grondgebied van de Russische Federatie - om uw persoonlijke gegevens openbaar te maken. We kunnen ook informatie over u vrijgeven als we vaststellen dat een dergelijke openbaarmaking noodzakelijk of gepast is voor veiligheids-, wetshandhavings- of andere doeleinden van openbaar belang.
• In het geval van een reorganisatie, fusie of verkoop kunnen we de persoonlijke informatie die we verzamelen overdragen aan de toepasselijke opvolger van een derde partij.

Bescherming van persoonlijke informatie

We nemen voorzorgsmaatregelen - inclusief administratieve, technische en fysieke - om uw persoonlijke gegevens te beschermen tegen verlies, diefstal en misbruik, evenals tegen ongeoorloofde toegang, openbaarmaking, wijziging en vernietiging.

Het respecteren van uw privacy op bedrijfsniveau

Om ervoor te zorgen dat uw persoonlijke gegevens veilig zijn, communiceren we privacy- en beveiligingsnormen met onze medewerkers en handhaven we de privacypraktijken strikt.

Logaritmische ongelijkheden

In eerdere lessen maakten we kennis met logaritmische vergelijkingen en nu weten we wat ze zijn en hoe we ze kunnen oplossen. De les van vandaag zal gewijd zijn aan de studie van logaritmische ongelijkheden. Wat zijn deze ongelijkheden en wat is het verschil tussen het oplossen van een logaritmische vergelijking en een ongelijkheid?

Logaritmische ongelijkheden zijn ongelijkheden waarbij een variabele onder het logaritmeteken of aan de basis ervan verschijnt.

Of we kunnen ook zeggen dat een logaritmische ongelijkheid een ongelijkheid is waarvan de onbekende waarde, zoals in een logaritmische vergelijking, zal verschijnen onder het teken van de logaritme.

De eenvoudigste logaritmische ongelijkheden hebben de volgende vorm:

waarbij f(x) en g(x) enkele uitdrukkingen zijn die afhankelijk zijn van x.

Laten we dit eens bekijken aan de hand van dit voorbeeld: f(x)=1+2x+x2, g(x)=3x−1.

Logaritmische ongelijkheden oplossen

Voordat we logaritmische ongelijkheden oplossen, is het de moeite waard om op te merken dat ze, wanneer opgelost, vergelijkbaar zijn met exponentiële ongelijkheden, namelijk:

Ten eerste moeten we, wanneer we van logaritmen naar uitdrukkingen onder het logaritmeteken gaan, ook de basis van de logaritme met één vergelijken;

Ten tweede moeten we, wanneer we een logaritmische ongelijkheid oplossen met behulp van een verandering van variabelen, ongelijkheden met betrekking tot de verandering oplossen totdat we de eenvoudigste ongelijkheid krijgen.

Maar jij en ik hebben soortgelijke aspecten van het oplossen van logaritmische ongelijkheden overwogen. Laten we nu eens kijken naar een nogal significant verschil. Jij en ik weten dat de logaritmische functie een beperkt definitiedomein heeft. Daarom moeten we bij het overstappen van logaritmen naar uitdrukkingen onder het logaritmeteken rekening houden met het bereik van toegestane waarden (ADV).

Dat wil zeggen dat er rekening mee moet worden gehouden dat u en ik bij het oplossen van een logaritmische vergelijking eerst de wortels van de vergelijking kunnen vinden en vervolgens deze oplossing kunnen controleren. Maar het oplossen van een logaritmische ongelijkheid zal op deze manier niet werken, aangezien het bij de overstap van logaritmen naar uitdrukkingen onder het logaritmeteken nodig zal zijn om de ODZ van de ongelijkheid op te schrijven.

Bovendien is het de moeite waard eraan te denken dat de theorie van ongelijkheid bestaat uit reële getallen, die positieve en negatieve getallen zijn, evenals het getal 0.

Als het getal “a” bijvoorbeeld positief is, moet u de volgende notatie gebruiken: a >0. In dit geval zullen zowel de som als het product van deze getallen ook positief zijn.

Het belangrijkste principe voor het oplossen van een ongelijkheid is om deze te vervangen door een eenvoudigere ongelijkheid, maar het belangrijkste is dat deze gelijkwaardig is aan de gegeven ongelijkheid. Verder hebben we ook een ongelijkheid verkregen en deze opnieuw vervangen door een ongelijkheid met een eenvoudiger vorm, enz.

Bij het oplossen van ongelijkheden met een variabele moet je alle oplossingen vinden. Als twee ongelijkheden dezelfde variabele x hebben, dan zijn dergelijke ongelijkheden gelijkwaardig, op voorwaarde dat hun oplossingen samenvallen.

Bij het uitvoeren van taken voor het oplossen van logaritmische ongelijkheden moet u onthouden dat wanneer a > 1, de logaritmische functie toeneemt, en wanneer 0< a < 1, то такая функция имеет свойство убывать. Эти свойства вам будут необходимы при решении логарифмических неравенств, поэтому вы их должны хорошо знать и помнить.

Methoden voor het oplossen van logaritmische ongelijkheden

Laten we nu eens kijken naar enkele methoden die worden gebruikt bij het oplossen van logaritmische ongelijkheden. Voor een beter begrip en assimilatie zullen we proberen ze te begrijpen aan de hand van specifieke voorbeelden.

We weten allemaal dat de eenvoudigste logaritmische ongelijkheid de volgende vorm heeft:

Bij deze ongelijkheid is V – een van de volgende ongelijkheidstekens:<,>, ≤ of ≥.

Wanneer de basis van een gegeven logaritme groter is dan één (a>1), waardoor de overgang wordt gemaakt van logaritmen naar uitdrukkingen onder het logaritmeteken, dan blijft in deze versie het ongelijkheidsteken behouden en zal de ongelijkheid de volgende vorm hebben:

wat gelijkwaardig is aan dit systeem:

In het geval dat de basis van de logaritme groter is dan nul en kleiner dan één (0

Dit komt overeen met dit systeem:

Laten we eens kijken naar meer voorbeelden van het oplossen van de eenvoudigste logaritmische ongelijkheden die in de onderstaande afbeelding worden weergegeven:

Voorbeelden oplossen

Oefening. Laten we proberen deze ongelijkheid op te lossen:

Het bereik van aanvaardbare waarden oplossen.

Laten we nu proberen de rechterkant te vermenigvuldigen met:

Laten we eens kijken wat we kunnen bedenken:

Laten we nu verder gaan met het converteren van sublogaritmische uitdrukkingen. Vanwege het feit dat de basis van de logaritme 0 is< 1/4 <1, то от сюда следует, что знак неравенства изменится на противоположный:

3x - 8 > 16;
3x > 24;
x > 8.

En hieruit volgt dat het interval dat we hebben verkregen volledig tot de ODZ behoort en een oplossing is voor een dergelijke ongelijkheid.

Dit is het antwoord dat we kregen:

Wat is er nodig om logaritmische ongelijkheden op te lossen?

Laten we nu proberen te analyseren wat we nodig hebben om logaritmische ongelijkheden met succes op te lossen?

Concentreer eerst al uw aandacht en probeer geen fouten te maken bij het uitvoeren van de transformaties die in deze ongelijkheid worden gegeven. We moeten ook niet vergeten dat het bij het oplossen van dergelijke ongelijkheden noodzakelijk is om uitbreidingen en inkrimpingen van de ongelijkheden te vermijden, wat kan leiden tot het verlies of het verwerven van externe oplossingen.

Ten tweede moet je bij het oplossen van logaritmische ongelijkheden logisch leren denken en het verschil begrijpen tussen concepten zoals een systeem van ongelijkheden en een reeks ongelijkheden, zodat je gemakkelijk oplossingen voor de ongelijkheid kunt selecteren, terwijl je je laat leiden door de DL ervan.

Ten derde, om dergelijke ongelijkheden met succes op te lossen, moet ieder van jullie alle eigenschappen van elementaire functies perfect kennen en hun betekenis duidelijk begrijpen. Dergelijke functies omvatten niet alleen logaritmische, maar ook rationele, machts-, trigonometrische, enz., kortom al die functies die je tijdens de schoolalgebra hebt bestudeerd.

Zoals u kunt zien, is er, nadat u het onderwerp logaritmische ongelijkheden heeft bestudeerd, niets moeilijks aan het oplossen van deze ongelijkheden, op voorwaarde dat u voorzichtig en volhardend bent in het bereiken van uw doelen. Om problemen bij het oplossen van ongelijkheden te voorkomen, moet je zoveel mogelijk oefenen, verschillende taken oplossen en tegelijkertijd de basismethoden onthouden voor het oplossen van dergelijke ongelijkheden en hun systemen. Als u er niet in slaagt logaritmische ongelijkheden op te lossen, moet u uw fouten zorgvuldig analyseren om er in de toekomst niet meer op terug te komen.

Huiswerk

Om het onderwerp beter te begrijpen en het behandelde materiaal te consolideren, lost u de volgende ongelijkheden op:

Een ongelijkheid wordt logaritmisch genoemd als deze een logaritmische functie bevat.

Methoden voor het oplossen van logaritmische ongelijkheden verschillen niet van, behalve twee dingen.

Ten eerste moet men, wanneer men van de logaritmische ongelijkheid naar de ongelijkheid van sublogaritmische functies gaat volg het teken van de resulterende ongelijkheid. Het houdt zich aan de volgende regel.

Als de basis van de logaritmische functie groter is dan $1$, dan blijft bij de overgang van de logaritmische ongelijkheid naar de ongelijkheid van sublogaritmische functies het teken van de ongelijkheid behouden, maar als deze kleiner is dan $1$, verandert deze in het tegenovergestelde .

Ten tweede is de oplossing voor elke ongelijkheid een interval, en daarom is het aan het einde van het oplossen van de ongelijkheid van sublogaritmische functies noodzakelijk om een ​​systeem van twee ongelijkheden te creëren: de eerste ongelijkheid van dit systeem zal de ongelijkheid van sublogaritmische functies zijn, en de tweede zal het interval zijn van het definitiedomein van de logaritmische functies die deel uitmaken van de logaritmische ongelijkheid.

Oefening.

Laten we de ongelijkheden oplossen:

1. $\log_(2)((x+3)) \geq 3.$

$D(y): \x+3>0.$

$x \in (-3;+\infty)$

De basis van de logaritme is $2>1$, dus het teken verandert niet. Met behulp van de definitie van logaritme krijgen we:

$x+3 \geq 2^(3),$

$x \in )