1.5 Trigonometrische ongelijkheden en methoden om deze op te lossen

1.5.1 Eenvoudige trigonometrische ongelijkheden oplossen

De meeste auteurs van moderne wiskundeboeken stellen voor om over dit onderwerp na te denken door de eenvoudigste trigonometrische ongelijkheden op te lossen. Het principe van het oplossen van de eenvoudigste trigonometrische ongelijkheden is gebaseerd op de kennis en vaardigheden om op een trigonometrische cirkel de waarden te bepalen van niet alleen de belangrijkste trigonometrische hoeken, maar ook van andere waarden.

Ondertussen kan de oplossing voor ongelijkheden van de vorm , , , als volgt worden uitgevoerd: eerst vinden we een interval () waarop aan deze ongelijkheid is voldaan, en dan noteren we het uiteindelijke antwoord door aan de uiteinden van het gevonden interval a toe te voegen getal dat een veelvoud is van de periode van de sinus of cosinus: ( ). In dit geval is de waarde gemakkelijk te vinden, omdat of . De zoektocht naar betekenis is gebaseerd op de intuïtie van leerlingen, hun vermogen om de gelijkheid van bogen of segmenten op te merken, waarbij ze profiteren van de symmetrie van individuele delen van de sinus- of cosinusgrafiek. En dit gaat soms de mogelijkheden van een behoorlijk groot aantal studenten te boven. Om de genoemde problemen te overwinnen, hebben leerboeken de afgelopen jaren verschillende benaderingen gebruikt om eenvoudige trigonometrische ongelijkheden op te lossen, maar dit heeft niet geresulteerd in enige verbetering van de leerresultaten.

We gebruiken al een aantal jaren met succes formules voor de wortels van de overeenkomstige vergelijkingen om oplossingen te vinden voor trigonometrische ongelijkheden.

We bestuderen dit onderwerp op de volgende manier:

1. We bouwen grafieken en y = a, ervan uitgaande dat .

Vervolgens schrijven we de vergelijking en de oplossing ervan op. Het geven van n 0; 1; 2 vinden we de drie wortels van de samengestelde vergelijking: . De waarden zijn de abscis van drie opeenvolgende snijpunten van de grafieken en y = a. Het is duidelijk dat de ongelijkheid altijd geldt voor het interval (), en dat de ongelijkheid altijd geldt voor het interval ().

Door aan de uiteinden van deze intervallen een getal toe te voegen dat een veelvoud is van de periode van de sinus, verkrijgen we in het eerste geval een oplossing voor de ongelijkheid in de vorm: ; en in het tweede geval een oplossing voor de ongelijkheid in de vorm:

Alleen in tegenstelling tot de sinus uit de formule, die een oplossing is voor de vergelijking, krijgen we voor n = 0 twee wortels, en de derde wortel voor n = 1 in de vorm . En nogmaals, het zijn drie opeenvolgende abscis's van de snijpunten van de grafieken en . In het interval () geldt de ongelijkheid, in het interval () de ongelijkheid

Nu is het niet moeilijk om de oplossingen voor de ongelijkheden op te schrijven. In het eerste geval krijgen we: ;

en in de tweede: .

Samenvatten. Om de ongelijkheid op te lossen, moet u de overeenkomstige vergelijking maken en deze oplossen. Zoek uit de resulterende formule de wortels van en en schrijf het antwoord op de ongelijkheid in de vorm: .

Bij het oplossen van ongelijkheden vinden we uit de formule voor de wortels van de overeenkomstige vergelijking de wortels en , en schrijven we het antwoord op de ongelijkheid in de vorm: .

Met deze techniek kun je alle leerlingen leren hoe ze trigonometrische ongelijkheden kunnen oplossen, omdat Deze techniek is volledig afhankelijk van vaardigheden die studenten goed beheersen. Dit zijn de vaardigheden om eenvoudige problemen op te lossen en de waarde van een variabele te vinden met behulp van een formule. Bovendien wordt het volkomen onnodig om onder begeleiding van een leraar een groot aantal oefeningen zorgvuldig op te lossen om allerlei redeneertechnieken te demonstreren, afhankelijk van het teken van de ongelijkheid, de waarde van de modulus van het getal a en zijn teken . En het proces van het oplossen van de ongelijkheid zelf wordt kort en, wat heel belangrijk is, uniform.

Een ander voordeel van deze methode is dat u hiermee gemakkelijk ongelijkheden kunt oplossen, zelfs als de rechterkant geen tabelwaarde van sinus of cosinus is.

Laten we dit aantonen met een specifiek voorbeeld. Stel dat we een ongelijkheid moeten oplossen. Laten we de overeenkomstige vergelijking maken en deze oplossen:

Laten we de waarden van en vinden.

Wanneer n = 1

Wanneer n = 2

We schrijven het uiteindelijke antwoord op deze ongelijkheid op:

In het beschouwde voorbeeld van het oplossen van de eenvoudigste trigonometrische ongelijkheden kan er maar één nadeel zijn: de aanwezigheid van een zekere mate van formalisme. Maar als alles alleen vanuit deze posities wordt beoordeeld, zal het mogelijk zijn om de formules van de wortels van de kwadratische vergelijking, en alle formules voor het oplossen van goniometrische vergelijkingen, en nog veel meer, van formalisme te beschuldigen.

Hoewel de voorgestelde methode een waardevolle plaats inneemt bij de vorming van vaardigheden bij het oplossen van trigonometrische ongelijkheden, kunnen het belang en de kenmerken van andere methoden voor het oplossen van trigonometrische ongelijkheden niet worden onderschat. Deze omvatten de intervalmethode.

Laten we de essentie ervan bekijken.

Set bewerkt door A.G. Mordkovich, hoewel je de rest van de leerboeken ook niet mag negeren. § 3. Methodologie voor het onderwijzen van het onderwerp “Trigonometrische functies” in de loop van de algebra en het begin van de analyse. Bij de studie van goniometrische functies op school kunnen twee hoofdfasen worden onderscheiden: ü Eerste kennismaking met goniometrische functies...

Bij het uitvoeren van het onderzoek werden de volgende taken opgelost: 1) De huidige handboeken over algebra en het begin van de wiskundige analyse werden geanalyseerd om de daarin gepresenteerde methoden voor het oplossen van irrationele vergelijkingen en ongelijkheden te identificeren. Uit de analyse kunnen we de volgende conclusies trekken: ·op de middelbare school wordt onvoldoende aandacht besteed aan methoden voor het oplossen van verschillende irrationele vergelijkingen, voornamelijk...

METHODEN VOOR HET OPLOSSEN VAN TRIGONOMETRISCHE ONGELIJKHEDEN

Relevantie. Historisch gezien hebben trigonometrische vergelijkingen en ongelijkheden een speciale plaats gekregen in het schoolcurriculum. We kunnen zeggen dat trigonometrie een van de belangrijkste onderdelen is van de schoolcursus en van de hele wiskundige wetenschap in het algemeen.

Trigonometrische vergelijkingen en ongelijkheden nemen een van de centrale plaatsen in in de wiskundecursus op de middelbare school, zowel wat betreft de inhoud van het lesmateriaal als de methoden van educatieve en cognitieve activiteit die tijdens hun studie kunnen en moeten worden gevormd en toegepast op het oplossen van een groot aantal problemen. van problemen van theoretische en toegepaste aard.

Het oplossen van goniometrische vergelijkingen en ongelijkheden schept de voorwaarden voor het systematiseren van de kennis van studenten met betrekking tot al het educatieve materiaal op het gebied van goniometrie (bijvoorbeeld eigenschappen van goniometrische functies, methoden voor het transformeren van goniometrische uitdrukkingen, enz.) en maakt het mogelijk om effectieve verbindingen tot stand te brengen met het bestudeerde materiaal in de algebra (vergelijkingen, gelijkwaardigheid van vergelijkingen, ongelijkheden, identieke transformaties van algebraïsche uitdrukkingen, enz.).

Met andere woorden: het overwegen van technieken voor het oplossen van goniometrische vergelijkingen en ongelijkheden impliceert een soort overdracht van deze vaardigheden naar nieuwe inhoud.

De betekenis van de theorie en haar talrijke toepassingen zijn een bewijs van de relevantie van het gekozen onderwerp. Hierdoor kunt u op zijn beurt de doelen, doelstellingen en onderzoeksonderwerp van het cursuswerk bepalen.

Doel van de studie: generaliseer de beschikbare soorten trigonometrische ongelijkheden, basis- en speciale methoden om ze op te lossen, selecteer een reeks problemen voor het oplossen van trigonometrische ongelijkheden door schoolkinderen.

Onderzoeksdoelstellingen:

1. Systematiseer het materiaal op basis van een analyse van de beschikbare literatuur over het onderzoeksonderwerp.

2. Zorg voor een reeks taken die nodig zijn om het onderwerp ‘Trigonometrische ongelijkheden’ te consolideren.

Studieobject zijn trigonometrische ongelijkheden in de wiskundecursus op school.

Onderwerp van studie: soorten trigonometrische ongelijkheden en methoden om deze op te lossen.

Theoretische betekenis is om het materiaal te systematiseren.

Praktische betekenis: toepassing van theoretische kennis bij het oplossen van problemen; analyse van de belangrijkste gemeenschappelijke methoden voor het oplossen van trigonometrische ongelijkheden.

Onderzoeksmethoden : analyse van wetenschappelijke literatuur, synthese en generalisatie van verworven kennis, analyse van probleemoplossing, zoeken naar optimale methoden voor het oplossen van ongelijkheden.

§1. Soorten trigonometrische ongelijkheden en basismethoden om deze op te lossen

1.1. De eenvoudigste trigonometrische ongelijkheden

Twee trigonometrische uitdrukkingen die met elkaar verbonden zijn door het teken of > worden trigonometrische ongelijkheden genoemd.

Het oplossen van een trigonometrische ongelijkheid betekent het vinden van de reeks waarden van de onbekenden die deel uitmaken van de ongelijkheid waarvoor aan de ongelijkheid is voldaan.

Het grootste deel van trigonometrische ongelijkheden wordt opgelost door ze terug te brengen tot de eenvoudigste oplossing:

Dit kan een methode zijn voor factorisatie, verandering van variabele (
,
enz.), waarbij eerst de gebruikelijke ongelijkheid wordt opgelost, en vervolgens een ongelijkheid van de vorm
enz., of andere methoden.

De eenvoudigste ongelijkheden kunnen op twee manieren worden opgelost: met behulp van de eenheidscirkel of grafisch.

Latenf(x  – een van de fundamentele trigonometrische functies. Om de ongelijkheid op te lossen
het is voldoende om de oplossing in één periode te vinden, d.w.z. op elk segment waarvan de lengte gelijk is aan de periode van de functieF  X  . Dan zal de oplossing voor de oorspronkelijke ongelijkheid allemaal gevonden wordenX , evenals de waarden die verschillen van de waarden die worden gevonden door een geheel aantal perioden van de functie. In dit geval is het handig om de grafische methode te gebruiken.

Laten we een voorbeeld geven van een algoritme voor het oplossen van ongelijkheden
(
) En
.

Algoritme voor het oplossen van ongelijkheid
(
).

1. Formuleer de definitie van de sinus van een getalX op de eenheidscirkel.

3. Markeer het punt op de ordinaatas met de coördinaatA .

4. Trek door dit punt een lijn evenwijdig aan de OX-as en markeer de snijpunten ervan met de cirkel.

5. Selecteer een cirkelboog waarvan alle punten een ordinaat kleiner dan hebbenA .

6. Geef de richting van de ronde aan (tegen de klok in) en noteer het antwoord door de periode van de functie toe te voegen aan de uiteinden van het interval2πn ,
.

Algoritme voor het oplossen van ongelijkheid
.

1. Formuleer de definitie van de raaklijn van een getalX op de eenheidscirkel.

2. Teken een eenheidscirkel.

3. Teken een raaklijn en markeer een punt met een ordinaat eropA .

4. Verbind dit punt met de oorsprong en markeer het snijpunt van het resulterende segment met de eenheidscirkel.

5. Selecteer een cirkelboog waarvan alle punten een ordinaat op de raaklijn kleiner dan hebbenA .

6. Geef de richting van de verplaatsing aan en schrijf het antwoord, rekening houdend met het domein van de definitie van de functie, en voeg een punt toeπn ,
(het getal links van de vermelding is altijd kleiner dan het getal rechts).

Grafische interpretatie van oplossingen voor de eenvoudigste vergelijkingen en formules voor het oplossen van ongelijkheden in algemene vorm zijn aangegeven in de bijlage (bijlagen 1 en 2).

Voorbeeld 1. Los de ongelijkheid op
.

Teken een rechte lijn op de eenheidscirkel
, die de cirkel snijdt in de punten A en B.

Alle betekenissenj op het interval NM is groter , voldoen alle punten van de AMB-boog aan deze ongelijkheid. Bij alle draaihoeken groot , maar kleiner ,
zal grotere waarden aannemen (maar niet meer dan één).

Figuur 1

De oplossing voor de ongelijkheid zal dus alle waarden in het interval zijn
, d.w.z.
. Om alle oplossingen voor deze ongelijkheid te verkrijgen, volstaat het om de uiteinden van dit interval aan te vullen
, Waar
, d.w.z.
,
. Merk op dat de waarden
En
zijn de wortels van de vergelijking
,

die.
;
.

Antwoord:
,
.

1.2. Grafische methode

In de praktijk blijkt de grafische methode voor het oplossen van goniometrische ongelijkheden vaak bruikbaar. Laten we de essentie van de methode bekijken aan de hand van het voorbeeld van ongelijkheid
:

1. Als het argument complex is (anders danX ), vervang het dan doorT .

2. We bouwen één coördinatenvlak inspeelgoed functie grafieken
En
.

3. Dat vinden wijtwee aangrenzende snijpunten van grafieken, waartussensinusgelegenhoger direct
. We vinden de abscis van deze punten.

4. Schrijf een dubbele ongelijkheid voor het argumentT , rekening houdend met de cosinusperiode (T zal tussen de gevonden abscis liggen).

5. Voer een omgekeerde substitutie uit (keer terug naar het oorspronkelijke argument) en druk de waarde uitX uit de dubbele ongelijkheid schrijven we het antwoord in de vorm van een numeriek interval.

Voorbeeld 2. Ongelijkheid oplossen: .

Bij het oplossen van ongelijkheden met behulp van de grafische methode is het noodzakelijk om grafieken van functies zo nauwkeurig mogelijk te construeren. Laten we de ongelijkheid transformeren naar de vorm:

Laten we grafieken van functies in één coördinatensysteem construeren
En
(Fig. 2).

Fig. 2

De grafieken van functies snijden elkaar in dit puntA met coördinaten
;
. Tussenin
grafiek punten
onder de grafiekpunten
. En wanneer
de functiewaarden zijn hetzelfde. Daarom
bij
.

Antwoord:
.

1.3. Algebraïsche methode

Heel vaak kan de oorspronkelijke trigonometrische ongelijkheid door een goedgekozen substitutie worden teruggebracht tot een algebraïsche (rationele of irrationele) ongelijkheid. Deze methode omvat het transformeren van een ongelijkheid, het introduceren van een substitutie of het vervangen van een variabele.

Laten we eens kijken naar specifieke voorbeelden van de toepassing van deze methode.

Voorbeeld 3. Reductie tot de eenvoudigste vorm
.

(Afb. 3)

Afb.3

,
.

Antwoord:
,

Voorbeeld 4. Ongelijkheid oplossen:

ODZ:
,
.

Formules gebruiken:
,

Laten we de ongelijkheid in de vorm schrijven:
.

Of: geloven
na eenvoudige transformaties krijgen we

,

,

.

Door de laatste ongelijkheid op te lossen met behulp van de intervalmethode, verkrijgen we:

Afb.4

respectievelijk
. Vervolgens uit afb. 4 volgt
, Waar
.

Afb.5

Antwoord:
,
.

1.4. Intervalmethode

Algemeen schema voor het oplossen van trigonometrische ongelijkheden met behulp van de intervalmethode:

Ontbind in factoren met behulp van trigonometrische formules.

Zoek de discontinuïteitpunten en nullen van de functie en plaats ze op de cirkel.

Neem een ​​willekeurig puntNAAR (maar niet eerder gevonden) en ontdek het teken van het product. Als het product positief is, plaats dan een punt buiten de eenheidscirkel op de straal die overeenkomt met de hoek. Plaats anders het punt binnen de cirkel.

Als een punt een even aantal keren voorkomt, noemen we het een punt met even veelheid; als het een oneven aantal keren voorkomt, noemen we het een punt met oneven veelheid. Teken bogen als volgt: begin vanaf een puntNAAR Als het volgende punt een oneven veelheid heeft, dan snijdt de boog de cirkel op dit punt, maar als het punt een even veelheid heeft, dan snijdt hij niet.

Bogen achter de cirkel zijn positieve intervallen; binnen de cirkel bevinden zich negatieve spaties.

Voorbeeld 5. Ongelijkheid oplossen

,
.

Punten van de eerste serie:
.

Punten van de tweede serie:
.

Elk punt komt een oneven aantal keren voor, dat wil zeggen dat alle punten een oneven veelvoud hebben.

Laten we het teken van het product vinden op
: . Laten we alle punten op de eenheidscirkel markeren (Fig. 6):

Rijst. 6

Antwoord:
,
;
,
;
,
.

Voorbeeld 6 . Los de ongelijkheid op.

Oplossing:

Laten we de nullen van de uitdrukking vinden .

OntvangenaaM :

,
;

,
;

,
;

,
;

Op de eenheidscirkelreekswaardenX 1 weergegeven door stippen
. SerieX 2 geeft punten
. Een reeksX 3 wij krijgen twee punten
. Tenslotte de serieX 4 zal punten vertegenwoordigen
. Laten we al deze punten op de eenheidscirkel uitzetten, waarbij we de veelheid ervan tussen haakjes naast elk ervan aangeven.

Laten we nu het nummer noemen zal gelijk zijn. Laten we een schatting maken op basis van het bord:

Dus, volledige stopA moet worden geselecteerd op de straal die de hoek vormt met balkOh, buiten de eenheidscirkel. (Merk op dat de hulpbalkOVER A Het is helemaal niet nodig om het op een foto weer te geven. PuntA wordt ongeveer gekozen.)

Nu vanaf het puntA teken een golvende ononderbroken lijn naar alle gemarkeerde punten. En op punten
onze lijn gaat van het ene gebied naar het andere: als hij buiten de eenheidscirkel lag, dan gaat hij daarbinnen. Het punt nadert , keert de lijn terug naar het binnenste gebied, aangezien de veelheid van dit punt even is. Zo ook op het punt (bij zelfs veelvoud) moet de lijn naar het buitenste gebied worden gedraaid. Dus hebben we een bepaalde afbeelding getekend, weergegeven in Fig. 7. Het helpt om de gewenste gebieden op de eenheidscirkel te markeren. Ze zijn gemarkeerd met een “+” teken.

Afb.7

Definitieve antwoord:

Opmerking. Als een golvende lijn, nadat deze alle punten heeft doorlopen die op de eenheidscirkel zijn gemarkeerd, niet kan worden teruggebracht naar het puntA , zonder de cirkel op een “illegale” plaats te kruisen, betekent dit dat er een fout is gemaakt in de oplossing, namelijk dat er een oneven aantal wortels is gemist.

Antwoord: .

§2. Een reeks problemen voor het oplossen van trigonometrische ongelijkheden

Bij het ontwikkelen van het vermogen van schoolkinderen om trigonometrische ongelijkheden op te lossen, kunnen ook 3 fasen worden onderscheiden.

1. voorbereidend,

2. het vermogen ontwikkelen om eenvoudige trigonometrische ongelijkheden op te lossen;

3. introductie van trigonometrische ongelijkheden van andere typen.

Het doel van de voorbereidende fase is dat het noodzakelijk is om bij schoolkinderen het vermogen te ontwikkelen om een ​​trigonometrische cirkel of grafiek te gebruiken om ongelijkheden op te lossen, namelijk:

Mogelijkheid om eenvoudige ongelijkheden van de vorm op te lossen
,
,
,
, gebruik maken van de eigenschappen van de sinus- en cosinusfuncties;

Vermogen om dubbele ongelijkheden te construeren voor bogen van de getallencirkel of voor bogen van grafieken van functies;

Mogelijkheid om verschillende transformaties van trigonometrische uitdrukkingen uit te voeren.

Het wordt aanbevolen om deze fase te implementeren in het proces van het systematiseren van de kennis van schoolkinderen over de eigenschappen van trigonometrische functies. De belangrijkste middelen kunnen taken zijn die aan studenten worden aangeboden en worden uitgevoerd onder begeleiding van een leraar of zelfstandig, evenals vaardigheden die zijn ontwikkeld bij het oplossen van trigonometrische vergelijkingen.

Hier zijn voorbeelden van dergelijke taken:

1 . Markeer een punt op de eenheidscirkel , Als

.

2. In welk kwart van het coördinatenvlak ligt het punt? , Als gelijk aan:

3. Markeer de punten op de trigonometrische cirkel , Als:

4. Converteer de uitdrukking naar trigonometrische functiesIkwartalen.

A)
, B)
, V)

5. Boog MR wordt gegeven.M – middenI-de kwartaal,R – middenIIe kwartaal. Beperk de waarde van een variabeleT voor: (maak een dubbele ongelijkheid) a) boog MR; b) RM-bogen.

6. Noteer de dubbele ongelijkheid voor de geselecteerde delen van de grafiek:

Rijst. 1

7. Ongelijkheden oplossen
,
,
,
.

8. Expressie converteren .

In de tweede fase van het leren oplossen van trigonometrische ongelijkheden kunnen we de volgende aanbevelingen doen met betrekking tot de methodologie voor het organiseren van studentenactiviteiten. In dit geval is het noodzakelijk om zich te concentreren op de bestaande vaardigheden van de leerlingen in het werken met een trigonometrische cirkel of grafiek, gevormd tijdens het oplossen van de eenvoudigste trigonometrische vergelijkingen.

Ten eerste kan men de opportuniteit motiveren van het verkrijgen van een algemene methode voor het oplossen van de eenvoudigste trigonometrische ongelijkheden, door bijvoorbeeld te kijken naar een ongelijkheid van de vorm
. Gebruikmakend van de kennis en vaardigheden verworven in de voorbereidende fase, brengen de studenten de voorgestelde ongelijkheid naar de vorm
, maar kan het moeilijk vinden om een ​​reeks oplossingen te vinden voor de resulterende ongelijkheid, omdat Het is onmogelijk om het alleen op te lossen met behulp van de eigenschappen van de sinusfunctie. Deze moeilijkheid kan worden vermeden door naar de juiste illustratie te gaan (de vergelijking grafisch oplossen of een eenheidscirkel gebruiken).

Ten tweede moet de leraar de aandacht van de leerlingen vestigen op verschillende manieren om de taak te voltooien, en een passend voorbeeld geven van het oplossen van de ongelijkheid, zowel grafisch als met behulp van een trigonometrische cirkel.

Laten we de volgende oplossingen voor de ongelijkheid overwegen
.

1. De ongelijkheid oplossen met behulp van de eenheidscirkel.

In de eerste les over het oplossen van trigonometrische ongelijkheden bieden we leerlingen een gedetailleerd oplossingsalgoritme, dat in een stapsgewijze presentatie alle basisvaardigheden weerspiegelt die nodig zijn om de ongelijkheid op te lossen.

Stap 1.Laten we een eenheidscirkel tekenen en een punt op de ordinaat-as markeren en teken er een rechte lijn doorheen evenwijdig aan de x-as. Deze lijn snijdt de eenheidscirkel op twee punten. Elk van deze punten vertegenwoordigt getallen waarvan de sinus gelijk is aan .

Stap 2.Deze rechte lijn verdeelde de cirkel in twee bogen. Laten we degene selecteren die getallen weergeeft met een sinus groter dan . Uiteraard bevindt deze boog zich boven de getekende rechte lijn.

Rijst. 2

Stap 3.Selecteer een van de uiteinden van de gemarkeerde boog. Laten we een van de getallen opschrijven die worden weergegeven door dit punt van de eenheidscirkel .

Stap 4.Om het nummer te selecteren dat overeenkomt met het tweede uiteinde van de geselecteerde boog, ‘lopen’ we langs deze boog van het genoemde uiteinde naar het andere. Bedenk tegelijkertijd dat als we tegen de klok in bewegen, de getallen die we zullen doorlopen toenemen (als we in de tegenovergestelde richting bewegen, zullen de getallen afnemen). Laten we het getal opschrijven dat op de eenheidscirkel wordt weergegeven aan het tweede uiteinde van de gemarkeerde boog .

Zo zien we die ongelijkheid
voldoen aan de getallen waarvoor de ongelijkheid waar is
. We hebben de ongelijkheid opgelost voor getallen die zich in dezelfde periode van de sinusfunctie bevinden. Daarom kunnen alle oplossingen voor de ongelijkheid in de vorm worden geschreven

De leerlingen moeten worden gevraagd de tekening zorgvuldig te onderzoeken en uit te zoeken waarom alle oplossingen voor de ongelijkheid bestaan
kan in de vorm worden geschreven
,
.

Rijst. 3

Het is noodzakelijk om de aandacht van de leerlingen te vestigen op het feit dat we bij het oplossen van ongelijkheden voor de cosinusfunctie een rechte lijn trekken evenwijdig aan de ordinaat.

Grafische methode voor het oplossen van ongelijkheden.

Wij bouwen grafieken
En
, gegeven dat
.

Rijst. 4

Vervolgens schrijven we de vergelijking
en zijn beslissing
,
,
, gevonden met behulp van formules
,
,
.

(GevenN waarden 0, 1, 2, we vinden de drie wortels van de samengestelde vergelijking). Waarden
zijn drie opeenvolgende abscis's van de snijpunten van de grafieken
En
. Uiteraard altijd op interval
ongelijkheid houdt
en op het interval
– ongelijkheid
. We zijn geïnteresseerd in het eerste geval, en als we aan de uiteinden van dit interval een getal toevoegen dat een veelvoud is van de periode van de sinus, krijgen we een oplossing voor de ongelijkheid
als:
,
.

Rijst. 5

Samenvatten. Om de ongelijkheid op te lossen
, moet je de bijbehorende vergelijking maken en deze oplossen. Zoek de wortels uit de resulterende formule En , en schrijf het antwoord op de ongelijkheid in de vorm: ,
.

Ten derde wordt het feit over de reeks wortels van de overeenkomstige trigonometrische ongelijkheid zeer duidelijk bevestigd wanneer deze grafisch wordt opgelost.

Rijst. 6

Het is noodzakelijk om studenten aan te tonen dat de wending, die de oplossing is voor de ongelijkheid, wordt herhaald over hetzelfde interval, gelijk aan de periode van de trigonometrische functie. U kunt ook een soortgelijke illustratie overwegen voor de grafiek van de sinusfunctie.

Ten vierde is het raadzaam om te werken aan het actualiseren van de technieken van leerlingen voor het omzetten van de som (het verschil) van goniometrische functies in een product, en om de aandacht van leerlingen te vestigen op de rol van deze technieken bij het oplossen van goniometrische ongelijkheden.

Dergelijk werk kan worden georganiseerd doordat leerlingen zelfstandig taken uitvoeren die door de docent zijn voorgesteld, waaronder de volgende punten:

Ten vijfde moeten de leerlingen de oplossing van elke eenvoudige trigonometrische ongelijkheid illustreren met behulp van een grafiek of een trigonometrische cirkel. Je moet zeker aandacht besteden aan de opportuniteit ervan, vooral aan het gebruik van de cirkel, omdat bij het oplossen van trigonometrische ongelijkheden de bijbehorende illustratie een zeer handig middel is om de reeks oplossingen voor een bepaalde ongelijkheid vast te leggen.

Het is raadzaam om leerlingen kennis te laten maken met methoden voor het oplossen van goniometrische ongelijkheden die niet de eenvoudigste zijn, volgens het volgende schema: wenden tot een specifieke goniometrische ongelijkheid wenden tot de overeenkomstige goniometrische vergelijking gezamenlijk zoeken (leraar - leerlingen) naar een oplossing onafhankelijke overdracht van de gevonden methode voor andere ongelijkheden van hetzelfde type.

Om de kennis van leerlingen over trigonometrie te systematiseren, raden we aan om speciaal dergelijke ongelijkheden te selecteren, waarvan de oplossing verschillende transformaties vereist die kunnen worden geïmplementeerd tijdens het oplossen ervan, en om de aandacht van leerlingen op hun kenmerken te vestigen.

Als dergelijke productieve ongelijkheden kunnen we bijvoorbeeld het volgende voorstellen:

Concluderend geven we een voorbeeld van een reeks problemen voor het oplossen van trigonometrische ongelijkheden.

1. Los de ongelijkheden op:

2. Los de ongelijkheden op: 3. Vind alle oplossingen voor de ongelijkheden: 4. Vind alle oplossingen voor de ongelijkheden:

A)
, die aan de voorwaarde voldoet
;

B)
, die aan de voorwaarde voldoet
.

5. Vind alle oplossingen voor de ongelijkheden:

A) ;

B) ;

V)
;

G)
;

D)
.

6. Los de ongelijkheden op:

A) ;

B) ;

V);

G)
;

D) ;

e) ;

En)
.

7. Los de ongelijkheden op:

A)
;

B) ;

V);

G) .

8. Los de ongelijkheden op:

A) ;

B) ;

V);

G)
;

D)
;

e) ;

En)
;

H) .

Het is raadzaam om taken 6 en 7 aan te bieden aan leerlingen die wiskunde op een gevorderd niveau studeren, en taak 8 aan leerlingen in klassen met een gevorderde wiskundestudie.

§3. Speciale methoden voor het oplossen van trigonometrische ongelijkheden

Speciale methoden voor het oplossen van goniometrische vergelijkingen - dat wil zeggen methoden die alleen kunnen worden gebruikt om goniometrische vergelijkingen op te lossen. Deze methoden zijn gebaseerd op het gebruik van de eigenschappen van trigonometrische functies, evenals op het gebruik van verschillende trigonometrische formules en identiteiten.

3.1. Sectormethode

Laten we eens kijken naar de sectormethode voor het oplossen van trigonometrische ongelijkheden. Ongelijkheden van de vorm oplossen

, WaarP ( X ) EnQ ( X ) – rationele trigonometrische functies (sinus, cosinus, raaklijnen en cotangens zijn er rationeel in opgenomen), vergelijkbaar met het oplossen van rationele ongelijkheden. Het is handig om rationale ongelijkheden op te lossen met behulp van de methode van intervallen op de getallenlijn. Het analogon voor het oplossen van rationele trigonometrische ongelijkheden is de methode van sectoren in de trigonometrische cirkelzonde Encosx (
) of trigonometrische halve cirkel voortgx Enctgx (
).

Bij de intervalmethode is elke lineaire factor de teller en de noemer van de vorm
op de getallenas komt overeen met een punt , en bij het passeren van dit punt
verandert teken. Bij de sectormethode is elke factor van de vorm
, Waar
- een van de functieszonde ofcosx En
In een trigonometrische cirkel komen twee hoeken overeen En
, die de cirkel in twee sectoren verdelen. Bij het passeren En functie
verandert teken.

Het volgende moet onthouden worden:

a) Factoren van de vorm
En
, Waar
, behoud teken voor alle waarden . Dergelijke factoren van de teller en de noemer worden weggegooid door het veranderen van (if
) bij elke dergelijke afwijzing wordt het ongelijkheidsteken omgekeerd.

b) Factoren van de vorm
En
worden ook weggegooid. Bovendien, als dit factoren van de noemer zijn, worden ongelijkheden van de vorm toegevoegd aan het equivalente systeem van ongelijkheden
En
. Als dit factoren van de teller zijn, komen ze in het equivalente systeem van beperkingen overeen met de ongelijkheden
En
in het geval van een strikte initiële ongelijkheid, en gelijkheid
En
in het geval van een niet-strikte initiële ongelijkheid. Bij het weggooien van de vermenigvuldiger
of
het ongelijkheidsteken is omgekeerd.

Voorbeeld 1. Los ongelijkheden op: a)
, B)
. we hebben functie b) . Los de ongelijkheid op die we hebben,

3.2. Concentrische cirkelmethode

Deze methode is analoog aan de methode met parallelle getalassen voor het oplossen van systemen van rationele ongelijkheden.

Laten we eens kijken naar een voorbeeld van een systeem van ongelijkheid.

Voorbeeld 5. Los een stelsel van eenvoudige trigonometrische ongelijkheden op

Eerst lossen we elke ongelijkheid afzonderlijk op (Figuur 5). In de rechterbovenhoek van de figuur geven we aan voor welk argument de trigonometrische cirkel wordt beschouwd.

Afb.5

Vervolgens bouwen we een systeem van concentrische cirkels voor het argumentX . We tekenen een cirkel en verduisteren deze volgens de oplossing van de eerste ongelijkheid, daarna tekenen we een cirkel met een grotere straal en verduisteren deze volgens de oplossing van de tweede, en vervolgens construeren we een cirkel voor de derde ongelijkheid en een basiscirkel. We trekken stralen vanuit het midden van het systeem door de uiteinden van de bogen zodat ze alle cirkels snijden. We vormen een oplossing op de basiscirkel (Figuur 6).

Afb.6

Antwoord:
,
.

Conclusie

Alle doelstellingen van het cursusonderzoek zijn behaald. Het theoretische materiaal is gesystematiseerd: de belangrijkste soorten trigonometrische ongelijkheden en de belangrijkste methoden om ze op te lossen worden gegeven (grafisch, algebraïsch, methode van intervallen, sectoren en de methode van concentrische cirkels). Bij elke methode werd een voorbeeld gegeven van het oplossen van een ongelijkheid. Na het theoretische gedeelte volgde het praktische gedeelte. Het bevat een reeks taken voor het oplossen van trigonometrische ongelijkheden.

Deze cursussen kunnen door studenten worden gebruikt voor zelfstandig werk. Schoolkinderen kunnen het niveau van beheersing van dit onderwerp controleren en oefenen met het voltooien van taken van verschillende complexiteit.

Na bestudering van de relevante literatuur over dit onderwerp kunnen we uiteraard concluderen dat het vermogen en de vaardigheden om trigonometrische ongelijkheden op te lossen in de schoolcursus algebra en elementaire analyse erg belangrijk zijn, waarvan de ontwikkeling aanzienlijke inspanningen van de kant van de wiskundeleraar vereist.

Daarom zal dit werk nuttig zijn voor wiskundeleraren, omdat het het mogelijk maakt om de training van studenten over het onderwerp 'Trigonometrische ongelijkheden' effectief te organiseren.

Het onderzoek kan worden voortgezet door het uit te breiden tot een definitief kwalificerend werk.

Lijst met gebruikte literatuur

Bogomolov, N.V. Verzameling van problemen in de wiskunde [Tekst] / N.V. Bogomolov. – M.: Trap, 2009. – 206 p.

Vygodsky, M.Ya. Handboek voor elementaire wiskunde [Tekst] / M.Ya. Vygodski. – M.: Trap, 2006. – 509 p.

Zhurbenko, L.N. Wiskunde in voorbeelden en problemen [Tekst] / L.N. Zhurbenko. – M.: Infra-M, 2009. – 373 p.

Ivanov, O.A. Elementaire wiskunde voor scholieren, studenten en docenten [Tekst] / O.A. Ivanov. – M.: MTsNMO, 2009. – 384 p.

Karp, A.P. Opdrachten over algebra en het begin van analyse voor het organiseren van de laatste herhaling en certificering in graad 11 [Tekst] / A.P. Karper. – M.: Onderwijs, 2005. – 79 p.

Kulanin, E.D. 3000 concurrentieproblemen in de wiskunde [Tekst] / E.D. Kulanin. – M.: Iris-pers, 2007. – 624 p.

Leibson, KL Verzameling van praktische taken in de wiskunde [Tekst] / K.L. Leibson. – M.: Trap, 2010. – 182 p.

Elleboog, V.V. Problemen met parameters en hun oplossing. Trigonometrie: vergelijkingen, ongelijkheden, systemen. 10e leerjaar [Tekst] / V.V. Elleboog. – M.: ARKTI, 2008. – 64 p.

Manova, AN Wiskunde. Express-tutor ter voorbereiding op het Unified State Exam: student. handleiding [Tekst] / A.N. Manova. – Rostov aan de Don: Phoenix, 2012. – 541 p.

Mordkovich, A.G. Algebra en begin van wiskundige analyse. 10-11 graden. Leerboek voor studenten van instellingen voor algemeen onderwijs [Tekst] / A.G. Mordkovich. – M.: Iris-pers, 2009. – 201 p.

Novikov, A.I. Trigonometrische functies, vergelijkingen en ongelijkheden [Tekst] / A.I. Novikov. – M.: FIZMATLIT, 2010. – 260 p.

Oganesyan, V.A. Methoden voor het onderwijzen van wiskunde op de middelbare school: algemene methodologie. Leerboek handleiding voor natuurkundestudenten - mat. nep. ped. Inst. [Tekst] / V.A. Oganesyan. – M.: Onderwijs, 2006. – 368 p.

Olehnik, S.N. Vergelijkingen en ongelijkheden. Niet-standaard oplossingsmethoden [Tekst] / S.N. Olehnik. – M.: Factorial Publishing House, 1997. – 219 p.

Sevryukov, P.F. Trigonometrische, exponentiële en logaritmische vergelijkingen en ongelijkheden [Tekst] / P.F. Sevryekov. – M.: Openbaar onderwijs, 2008. – 352 p.

Sergejev, I.N. Unified State Exam: 1000 problemen met antwoorden en oplossingen in de wiskunde. Alle taken van groep C [Tekst] / I.N. Sergejev. – M.: Examen, 2012. – 301 p.

Sobolev, A.B. Elementaire wiskunde [Tekst] / A.B. Sobolev. – Ekaterinburg: Staatsonderwijsinstelling voor hoger beroepsonderwijs USTU-UPI, 2005. – 81 p.

Fenko, L.M. Methode van intervallen bij het oplossen van ongelijkheden en het bestuderen van functies [Tekst] / L.M. Fenko. – M.: Trap, 2005. – 124 p.

Friedman, L.M. Theoretische grondslagen van methoden voor het onderwijzen van wiskunde [Tekst] / L.M. Friedman. – M.: Boekenhuis “LIBROKOM”, 2009. – 248 p.

bijlage 1

Grafische interpretatie van oplossingen voor eenvoudige ongelijkheden

Rijst. 1

Rijst. 2

Afb.3

Afb.4

Afb.5

Afb.6

Afb.7

Afb.8

Bijlage 2

Oplossingen voor eenvoudige ongelijkheden

Het online oplossen van ongelijkheden op de website Math24.biz zorgt voor maximale nauwkeurigheid bij berekeningen. Ongelijkheid in de wiskunde is een uitspraak over de relatieve grootte of volgorde van twee objecten (een van de objecten is kleiner of niet groter dan de andere), of dat twee objecten niet hetzelfde zijn (ontkenning van gelijkheid). In de elementaire wiskunde worden numerieke ongelijkheden bestudeerd; in de algemene algebra, analyse en meetkunde wordt ook rekening gehouden met ongelijkheden tussen objecten van niet-numerieke aard. Om een ​​ongelijkheid op te lossen, moeten beide delen worden bepaald met een van de ongelijkheidstekens ertussen. Strikte ongelijkheden impliceren ongelijkheid tussen twee objecten. In tegenstelling tot strikte ongelijkheden, maken niet-strikte ongelijkheden de gelijkheid van de objecten die erin zijn opgenomen mogelijk. Lineaire ongelijkheden zijn om te beginnen de eenvoudigste uitdrukkingen, en de eenvoudigste technieken worden gebruikt om dergelijke ongelijkheden op te lossen. De belangrijkste fout die studenten maken bij het online oplossen van ongelijkheden is dat ze geen onderscheid maken tussen de kenmerken van strikte en niet-strikte ongelijkheden, wat bepaalt of de grenswaarden wel of niet in het uiteindelijke antwoord worden opgenomen. Verschillende ongelijkheden die met elkaar verbonden zijn door verschillende onbekenden worden een systeem van ongelijkheden genoemd. De oplossing voor de ongelijkheden uit het systeem is een bepaald gebied op een vlak, of een driedimensionale figuur in een driedimensionale ruimte. Daarnaast worden ze geabstraheerd door n-dimensionale ruimtes, maar bij het oplossen van dergelijke ongelijkheden is het vaak onmogelijk om zonder speciale computers te doen. Voor elke ongelijkheid afzonderlijk moet je de waarden van het onbekende vinden aan de grenzen van het oplossingsgebied. De verzameling van alle oplossingen voor de ongelijkheid is het antwoord. De vervanging van de ene ongelijkheid door een andere ongelijkheid die daaraan gelijkwaardig is, wordt een gelijkwaardige overgang van de ene ongelijkheid naar de andere genoemd. Een vergelijkbare aanpak wordt in andere disciplines gevonden omdat het helpt om uitdrukkingen in een standaardvorm te brengen. U zult alle voordelen van het online oplossen van ongelijkheden op onze website waarderen. Een ongelijkheid is een uitdrukking die een van de => tekens bevat. In wezen is dit een logische uitdrukking. Het kan waar of onwaar zijn - afhankelijk van wat er rechts en links is in deze ongelijkheid. Een verklaring van de betekenis van ongelijkheden en basistechnieken voor het oplossen van ongelijkheden worden zowel in verschillende cursussen als op school bestudeerd. Online ongelijkheden oplossen - ongelijkheden met modulus, algebraïsche, trigonometrische, transcendentale ongelijkheden online. Identieke ongelijkheden, zoals strikte en niet-strikte ongelijkheden, vereenvoudigen het proces om het eindresultaat te bereiken en zijn een hulpmiddel bij het oplossen van het probleem. De oplossing voor alle ongelijkheden en systemen van ongelijkheid, of het nu logaritmische, exponentiële, trigonometrische of kwadratische ongelijkheden zijn, wordt verzekerd door een aanvankelijk correcte benadering van dit belangrijke proces. Het online oplossen van ongelijkheden op de site is altijd beschikbaar voor alle gebruikers en helemaal gratis. Oplossingen voor een ongelijkheid in één variabele zijn de waarden van de variabele die deze omzetten in een correcte numerieke uitdrukking. Vergelijkingen en ongelijkheden met modulus: de modulus van een reëel getal is de absolute waarde van dat getal. De standaardmethode om deze ongelijkheden op te lossen is om beide kanten van de ongelijkheid tot de gewenste macht te verheffen. Ongelijkheden zijn uitdrukkingen die de vergelijking van getallen aangeven, dus het correct oplossen van ongelijkheden garandeert de nauwkeurigheid van dergelijke vergelijkingen. Ze kunnen strikt zijn (groter dan, kleiner dan) en niet-strikt (groter dan of gelijk aan, kleiner dan of gelijk aan). Het oplossen van een ongelijkheid betekent het vinden van al die waarden van variabelen die, wanneer ze in de oorspronkelijke uitdrukking worden gesubstitueerd, deze in de juiste numerieke weergave veranderen. Het concept van ongelijkheid, de essentie en kenmerken ervan, classificatie en variëteiten - dit is wat de specifieke kenmerken van dit wiskundige gedeelte. De basiseigenschappen van numerieke ongelijkheden, van toepassing op alle objecten van deze klasse, moeten door studenten worden bestudeerd in de beginfase van kennismaking met dit onderwerp. Ongelijkheden en getallenlijnoverspanningen zijn zeer nauw met elkaar verbonden als het gaat om het online oplossen van ongelijkheden. De grafische aanduiding van de oplossing voor een ongelijkheid laat duidelijk de essentie van een dergelijke uitdrukking zien; het wordt duidelijk waar men naar moet streven bij het oplossen van een bepaald probleem. Het concept van ongelijkheid omvat het vergelijken van twee of meer objecten. Ongelijkheden die een variabele bevatten, worden opgelost als vergelijkbaar samengestelde vergelijkingen, waarna een selectie van intervallen wordt gemaakt die als antwoord worden genomen. Met onze gratis service kunt u eenvoudig en onmiddellijk elke algebraïsche ongelijkheid, trigonometrische ongelijkheid of ongelijkheid die transcendentale functies bevat, oplossen. Een getal is een oplossing voor een ongelijkheid als we bij het vervangen van dit getal in plaats van een variabele de juiste uitdrukking verkrijgen, dat wil zeggen dat het ongelijkheidsteken het ware concept weergeeft.

Bij het oplossen van ongelijkheden die trigonometrische functies bevatten, worden ze teruggebracht tot de eenvoudigste ongelijkheden van de vorm cos(t)>a, sint(t)=a en soortgelijke. En de eenvoudigste ongelijkheden zijn al opgelost. Laten we eens kijken naar verschillende voorbeelden van manieren om eenvoudige trigonometrische ongelijkheden op te lossen.

voorbeeld 1. Los de ongelijkheid sin(t) > = -1/2 op.

Teken een eenheidscirkel. Omdat sin(t) per definitie de y-coördinaat is, markeren we het punt y = -1/2 op de Oy-as. We trekken er een rechte lijn doorheen, parallel aan de Os-as. Markeer op het snijpunt van de rechte lijn met de grafiek van de eenheidscirkel de punten Pt1 en Pt2. We verbinden de oorsprong van coördinaten met de punten Pt1 en Pt2 door twee segmenten.

De oplossing voor deze ongelijkheid zijn alle punten van de eenheidscirkel die zich boven deze punten bevinden. Met andere woorden, de oplossing zal boog l zijn. Nu is het nodig om de voorwaarden aan te geven waaronder een willekeurig punt tot boog l zal behoren.

Pt1 ligt in de rechter halve cirkel, de ordinaat is -1/2, en dan is t1=arcsin(-1/2) = - pi/6. Om punt Pt1 te beschrijven, kunt u de volgende formule schrijven:
t2 = pi - arcsin(-1/2) = 7*pi/6. Als resultaat verkrijgen we de volgende ongelijkheid voor t:

Wij houden de ongelijkheid in stand. En aangezien de sinusfunctie periodiek is, betekent dit dat de oplossingen elke 2*pi worden herhaald. We voegen deze voorwaarde toe aan de resulterende ongelijkheid voor t en schrijven het antwoord op.

Antwoord: -pi/6+2*pi*n< = t < = 7*pi/6 + 2*pi*n, при любом целом n.

Voorbeeld 2. Los cos(t)-ongelijkheid op<1/2.

Laten we een eenheidscirkel tekenen. Omdat cos(t) volgens de definitie de x-coördinaat is, markeren we het punt x = 1/2 in de grafiek op de Ox-as.
Door dit punt trekken we een rechte lijn evenwijdig aan de Oy-as. Markeer op het snijpunt van de rechte lijn met de grafiek van de eenheidscirkel de punten Pt1 en Pt2. We verbinden de oorsprong van coördinaten met de punten Pt1 en Pt2 door twee segmenten.

De oplossingen zijn alle punten van de eenheidscirkel die behoren tot boog l. Laten we de punten t1 en t2 vinden.

t1 = arccos(1/2) = pi/3.

t2 = 2*pi - arccos(1/2) = 2*pi-pi/3 = 5*pi/6.

We hebben de ongelijkheid voor t: pi/3

Omdat cosinus een periodieke functie is, worden de oplossingen elke 2*pi herhaald. We voegen deze voorwaarde toe aan de resulterende ongelijkheid voor t en schrijven het antwoord op.

Antwoord: pi/3+2*pi*n

Voorbeeld 3. Ongelijkheid tg(t) oplossen< = 1.

De raakperiode is gelijk aan pi. Laten we oplossingen vinden die tot het interval (-pi/2;pi/2) rechter halve cirkel behoren. Vervolgens schrijven we, gebruikmakend van de periodiciteit van de raaklijn, alle oplossingen voor deze ongelijkheid op. Laten we een eenheidscirkel tekenen en er een raaklijn op markeren.

Als t een oplossing is voor de ongelijkheid, dan moet de ordinaat van het punt T = tg(t) kleiner dan of gelijk zijn aan 1. De verzameling van dergelijke punten zal de straal AT vormen. De reeks punten Pt die overeenkomt met de punten van deze straal is de boog l. Bovendien behoort punt P(-pi/2) niet tot deze boog.