Hoe verschillende getallen met verschillende graden te vermenigvuldigen. Eigenschappen van natuurlijke exponenten

Uiteraard kunnen getallen met bevoegdheden worden toegevoegd, net als andere grootheden , door ze één voor één toe te voegen met hun tekens.

Dus de som van a 3 en b 2 is a 3 + b 2.
De som van a 3 - b n en h 5 - d 4 is a 3 - b n + h 5 - d 4.

Kansen dezelfde graden van dezelfde variabelen kan worden opgeteld of afgetrokken.

Dus de som van 2a 2 en 3a 2 is 5a 2.

Het is ook duidelijk dat als je twee vierkanten a, of drie vierkanten a, of vijf vierkanten a neemt.

Maar de graden verschillende variabelen en verschillende graden identieke variabelen, moeten door hun toevoeging met hun tekens worden toegevoegd.

Dus de som van een 2 en een 3 is de som van een 2 + een 3.

Het is duidelijk dat het kwadraat van a, en de derde macht van a, niet gelijk is aan tweemaal het kwadraat van a, maar tweemaal de derde macht van a.

De som van a 3 b n en 3a 5 b 6 is a 3 b n + 3a 5 b 6.

aftrekken graden wordt op dezelfde manier uitgevoerd als optellen, behalve dat de tekens van de afgetrokken dienovereenkomstig moeten worden gewijzigd.

Of:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3u 2 b 6 - 4u 2 b 6 = -u 2 b 6
5 (a - h) 6 - 2 (a - h) 6 = 3 (a - h) 6

Vermenigvuldiging van graden

Getallen met bevoegdheden kunnen, net als andere grootheden, worden vermenigvuldigd door ze achter elkaar te schrijven, met of zonder een vermenigvuldigingsteken ertussen.

Dus het resultaat van het vermenigvuldigen van een 3 met b 2 is een 3 b 2 of aaabb.

Of:
x -3 een m = een m x -3
3a 6 y 2 (-2x) = -6a 6 xy 2
een 2 b 3 y 2 ⋅ een 3 b 2 y = een 2 b 3 y 2 een 3 b 2 y

Het resultaat in het laatste voorbeeld kan worden geordend door dezelfde variabelen toe te voegen.
De uitdrukking zal de vorm aannemen: a 5 b 5 y 3.

Door verschillende getallen (variabelen) met machten te vergelijken, kunnen we zien dat als er twee worden vermenigvuldigd, het resultaat een getal (variabele) is met een macht gelijk aan de som graden van termen.

Dus een 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaaa = een 5.

Hier is 5 de macht van het resultaat van vermenigvuldiging, gelijk aan 2 + 3, de som van de machten van de termen.

Dus een n .a m = a m + n.

Voor een n wordt a zo vaak als een factor genomen als de macht van n gelijk is;

En een m wordt net zo vaak als een factor genomen als de macht van m;

Dat is waarom, graden met dezelfde stammen kunnen worden vermenigvuldigd door de exponenten op te tellen.

Dus een 2 .a 6 = een 2 + 6 = een 8. En x 3 .x 2 .x = x 3 + 2 + 1 = x 6.

Of:
4a n 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n + 1

Vermenigvuldig (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Antwoord: x 4 - y 4.
Vermenigvuldigen (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Deze regel geldt ook voor getallen waarvan de exponenten - negatief.

1. Dus een -2 .a -3 = een -5. Dit kan worden geschreven als (1 / aa). (1 / aaa) = 1 / aaaaa.

2.y-n.y-m = y-n-m.

3.a -n .a m = een m-n.

Als a + b wordt vermenigvuldigd met a - b, is het resultaat a 2 - b 2: dat wil zeggen

Het resultaat van het vermenigvuldigen van de som of het verschil van twee getallen is gelijk aan de som of het verschil van hun kwadraten.

Als de som en het verschil van twee getallen zijn verheven tot vierkant, zal het resultaat gelijk zijn aan de som of het verschil van deze getallen in vierde rang.

Dus, (a - y) (A + y) = a 2 - y 2.
(a 2 - y 2) ⋅ (a 2 + y 2) = a 4 - y 4.
(a 4 - y 4) ⋅ (a 4 + y 4) = a 8 - y 8.

Verdeling van graden

Machtsgetallen kunnen, net als andere getallen, worden gedeeld door af te trekken van de deler of door ze in breukvorm te plaatsen.

Dus a 3 b 2 gedeeld door b 2 is gelijk aan 3.

Of:
$ \ frac (9a ^ 3j ^ 4) (- 3a ^ 3) = -3j ^ 4 $
$ \ frac (a ^ 2b + 3a ^ 2) (a ^ 2) = \ frac (a ^ 2 (b + 3)) (a ^ 2) = b + 3 $
$ \ frac (d \ cdot (a - h + y) ^ 3) ((a - h + y) ^ 3) = d $

Een 5 gedeeld door een 3 ziet eruit als $ \ frac (a ^ 5) (a ^ 3) $. Maar dit is gelijk aan een 2. In een reeks getallen
een +4, een +3, een +2, een +1, een 0, een -1, een -2, een -3, een -4.
elk getal kan worden gedeeld door een ander, en de exponent is gelijk aan verschil exponenten van deelbare getallen.

Bij het delen van graden met dezelfde basis, worden hun indicatoren afgetrokken..

Dus, y 3: y 2 = y 3-2 = y 1. Dat wil zeggen, $ \ frac (yyy) (yy) = y $.

En een n + 1: a = een n + 1-1 = een n. Dat wil zeggen, $ \ frac (aa ^ n) (a) = a ^ n $.

Of:
y 2m: y m = y m
8a n + m: 4a m = 2a n
12 (b + y) n: 3 (b + y) 3 = 4 (b + y) n-3

De regel geldt ook voor getallen met negatief de waarden van de graden.
Het resultaat van het delen van een -5 door een -3 is een -2.
Ook $ \ frac (1) (aaaaa): \ frac (1) (aaa) = \ frac (1) (aaaaa). \ Frac (aaa) (1) = \ frac (aaa) (aaaaa) = \ frac (1) (aa) $.

h 2: h -1 = h 2 + 1 = h 3 of $ h ^ 2: \ frac (1) (h) = h ^ 2. \ frac (h) (1) = h ^ 3 $

Het is noodzakelijk om de vermenigvuldiging en verdeling van bevoegdheden goed onder de knie te krijgen, aangezien dergelijke bewerkingen in de algebra veel worden gebruikt.

Voorbeelden van het oplossen van voorbeelden met breuken die getallen met machten bevatten

1. Verlaag exponenten in $ \ frac (5a ^ 4) (3a ^ 2) $ Antwoord: $ \ frac (5a ^ 2) (3) $.

2. Verlaag de exponenten in $ \ frac (6x ^ 6) (3x ^ 5) $. Antwoord: $ \ frac (2x) (1) $ of 2x.

3. Verlaag de exponenten a 2 / a 3 en a -3/a -4 en breng ze naar de gemene deler.
a 2 .a -4 is een -2 eerste teller.
a 3 .a -3 is een 0 = 1, de tweede teller.
a 3 .a -4 is een -1, de gemeenschappelijke teller.
Na vereenvoudiging: a -2 / a -1 en 1 / a -1.

4. Verlaag de exponenten 2a 4 / 5a 3 en 2 / a 4 en breng ze naar de gemene deler.
Antwoord: 2a 3/5a 7 en 5a 5/5a 7 of 2a 3/5a 2 en 5/5a 2.

5. Vermenigvuldig (a 3 + b) / b 4 met (a - b) / 3.

6. Vermenigvuldig (a 5 + 1) / x 2 met (b 2 - 1) / (x + a).

7. Vermenigvuldig b 4 / a -2 met h -3 / x en a n / y -3.

8. Deel een 4 / y 3 door een 3 / y 2. Antwoord: een / j.

9. Deel (h 3 - 1) / d 4 door (d n + 1) / h.

Elke rekenkundige bewerking wordt soms te omslachtig om te schrijven en ze proberen het te vereenvoudigen. Vroeger was het hetzelfde met de optelbewerking. Mensen moesten meerdere toevoegingen van hetzelfde type uitvoeren, bijvoorbeeld om de kosten te berekenen van honderd Perzische tapijten, waarvan de kosten elk 3 gouden munten zijn. 3 + 3 + 3 +… + 3 = 300. Vanwege de omslachtigheid dacht men het record terug te brengen tot 3 * 100 = 300. In feite betekent het record “drie keer honderd” dat je honderd verdrievoudigd en voeg het samen. De vermenigvuldiging schoot wortel en werd algemeen populair. Maar de wereld staat niet stil en in de middeleeuwen werd het noodzakelijk om meerdere vermenigvuldigingen van hetzelfde type uit te voeren. Ik herinner me een oud Indiaas raadsel over een wijze die de volgende hoeveelheid tarwekorrels vroeg als beloning voor zijn werk: hij vroeg om één korrel voor het eerste veld van het schaakbord, twee voor het tweede, vier voor het derde, acht voor de vijfde, enzovoort. Zo verscheen de eerste machtsvermenigvuldiging, want het aantal korrels was gelijk aan twee tot de macht van het celgetal. Op de laatste cel zou er bijvoorbeeld 2 * 2 * 2 * ... * 2 = 2 ^ 63 korrels zijn, wat gelijk is aan een aantal van 18 tekens lang, wat in feite de betekenis van het raadsel is.

De operatie van het verheffen tot een macht wortelde vrij snel, en het werd ook al snel noodzakelijk om optellen, aftrekken, delen en vermenigvuldigen van bevoegdheden uit te voeren. Dit laatste is het overwegen waard in meer detail. De formules voor het optellen van graden zijn eenvoudig en gemakkelijk te onthouden. Bovendien is het heel gemakkelijk te begrijpen waar ze vandaan komen als de krachtwerking wordt vervangen door vermenigvuldiging. Maar eerst moet u de basisterminologie begrijpen. De uitdrukking a ^ b (lees "a tot de macht van b") betekent dat het getal a met zichzelf b keer moet worden vermenigvuldigd, en "a" wordt de basis van de graad genoemd, en "b" wordt de machtsexponent genoemd . Als de grondtalen van de graden hetzelfde zijn, dan zijn de formules heel eenvoudig afgeleid. Concreet voorbeeld: zoek de waarde van de uitdrukking 2 ^ 3 * 2 ^ 4. Om te weten wat er moet gebeuren, moet u het antwoord op de computer achterhalen voordat u met de oplossing begint. Nadat we deze uitdrukking in een online rekenmachine, een zoekmachine hebben gehamerd en "vermenigvuldiging van graden met verschillende basen en hetzelfde" of een wiskundig pakket hebben getypt, zal de uitvoer 128 zijn. Nu zullen we deze uitdrukking schrijven: 2 ^ 3 = 2 * 2 * 2, en 2 ^ 4 = 2 * 2 * 2 * 2. Het blijkt dat 2 ^ 3 * 2 ^ 4 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 2 ^ 7 = 2 ^ (3 + 4). Het blijkt dat het product van graden met hetzelfde grondtal gelijk is aan het grondtal verheven tot een macht gelijk aan de som van de twee voorgaande graden.

Je zou kunnen denken dat dit een ongeluk is, maar nee: elk ander voorbeeld kan deze regel alleen maar bevestigen. In algemene termen ziet de formule er dus als volgt uit: a ^ n * a ^ m = a ^ (n + m). Er is ook een regel dat elk getal in de nulgraad gelijk is aan één. Hier moeten we de regel van negatieve machten onthouden: a ^ (- n) = 1 / a ^ n. Dat wil zeggen, als 2 ^ 3 = 8, dan is 2 ^ (- 3) = 1/8. Met behulp van deze regel kunnen we de gelijkheid bewijzen a ^ 0 = 1: a ^ 0 = a ^ (nn) = a ^ n * a ^ (- n) = a ^ (n) * 1 / a ^ (n), a ^ (n) kan worden geannuleerd en er blijft er maar één over. Vandaar de regel dat het quotiënt van graden met dezelfde grondtalen gelijk is aan dit grondtal tot een graad gelijk aan het quotiënt van de exponent van het deeltal en de deler: a ^ n: a ^ m = a ^ (n-m). Voorbeeld: Vereenvoudig de uitdrukking 2 ^ 3 * 2 ^ 5 * 2 ^ (- 7) * 2 ^ 0: 2 ^ (- 2). Vermenigvuldiging is een commutatieve bewerking, daarom moet u eerst de vermenigvuldigingsexponenten optellen: 2 ^ 3 * 2 ^ 5 * 2 ^ (- 7) * 2 ^ 0 = 2 ^ (3 + 5-7 + 0) = 2 ^ 1 = 2. De volgende stap is om te gaan met deling door een negatieve exponent. Het is noodzakelijk om de index van de deler af te trekken van de index van het dividend: 2 ^ 1: 2 ^ (- 2) = 2 ^ (1 - (- 2)) = 2 ^ (1 + 2) = 2 ^ 3 = 8. Het blijkt dat de bewerking van deling door de negatieve graad identiek is aan de bewerking van vermenigvuldigen met een vergelijkbare positieve exponent. Het uiteindelijke antwoord is dus 8.

Er zijn voorbeelden waar niet-canonieke vermenigvuldiging van graden plaatsvindt. Het vermenigvuldigen van graden met verschillende basen is vaak veel moeilijker, en soms zelfs onmogelijk. Er moeten verschillende voorbeelden van verschillende mogelijke technieken worden gegeven. Voorbeeld: vereenvoudig de uitdrukking 3 ^ 7 * 9 ^ (- 2) * 81 ^ 3 * 243 ^ (- 2) * 729. Uiteraard is er een vermenigvuldiging van machten met verschillende grondtalen. Maar het moet worden opgemerkt dat alle basen verschillende graden van het triplet zijn. 9 = 3 ^ 2,1 = 3 ^ 4,3 = 3 ^ 5,9 = 3 ^ 6. Met behulp van de regel (a ^ n) ^ m = a ^ (n * m), moet u de uitdrukking in een gemakkelijkere vorm herschrijven: 3 ^ 7 * (3 ^ 2) ^ (- 2) * (3 ^ 4) ^ 3 * ( 3 ^ 5) ^ (- 2) * 3 ^ 6 = 3 ^ 7 * 3 ^ (- 4) * 3 ^ (12) * 3 ^ (- 10) * 3 ^ 6 = 3 ^ (7 -4 + 12 -10 + 6) = 3 ^ (11). Antwoord: 3^11. In gevallen waar er verschillende gronden zijn, werkt de regel a ^ n * b ^ n = (a * b) ^ n voor gelijke indicatoren. Bijvoorbeeld 3 ^ 3 * 7 ^ 3 = 21 ^ 3. Anders, wanneer er verschillende basen en indicatoren zijn, is het onmogelijk om een volledige vermenigvuldiging te maken. Soms is het mogelijk om gedeeltelijk te vereenvoudigen of gebruik te maken van computertechnologie.

Eerste level

De graad en zijn eigenschappen. Uitgebreide gids (2019)

Waarom zijn diploma's nodig? Waar zullen ze nuttig voor je zijn? Waarom moet je de tijd nemen om ze te bestuderen?

Lees dit artikel om alles te weten te komen over diploma's, waar ze voor zijn en hoe je je kennis in het dagelijks leven kunt gebruiken.

En natuurlijk brengt kennis van diploma's je dichter bij het succesvol behalen van de OGE of USE en bij het binnenkomen van de universiteit van je dromen.

Laten we gaan laten we gaan!)

Belangrijke notitie! Als u in plaats van formules wartaal ziet, wis dan de cache. Druk hiervoor op CTRL + F5 (op Windows) of Cmd + R (op Mac).

EERSTE LEVEL

Machtsverheffing is dezelfde wiskundige bewerking als optellen, aftrekken, vermenigvuldigen of delen.

Nu zal ik alles in mensentaal uitleggen aan de hand van zeer eenvoudige voorbeelden. Let op. De voorbeelden zijn elementair, maar ze verklaren belangrijke dingen.

Laten we beginnen met optellen.

Er valt niets uit te leggen. Je weet alles al: we zijn met z'n achten. Elk heeft twee flessen cola. Hoeveel cola is er? Dat klopt - 16 flessen.

Nu vermenigvuldigen.

Hetzelfde cola-voorbeeld kan anders worden geschreven:. Wiskundigen zijn sluwe en luie mensen. Ze merken eerst wat patronen op en bedenken dan een manier om ze snel te 'tellen'. In ons geval merkten ze dat elk van de acht mensen hetzelfde aantal colaflesjes had en bedachten ze een techniek die vermenigvuldiging wordt genoemd. Mee eens, het wordt als gemakkelijker en sneller beschouwd dan.

Dus om sneller, gemakkelijker en zonder fouten te tellen, hoef je alleen maar te onthouden tafel van vermenigvuldiging... Je kunt natuurlijk alles langzamer, harder en met fouten doen! Maar…

Hier is de tafel van vermenigvuldiging. Herhalen.

En nog een mooiere:

Welke andere slimme teltrucs hebben luie wiskundigen bedacht? Rechts - een getal tot een macht verheffen.

Een getal tot een macht verheffen

Als je een getal vijf keer met zichzelf moet vermenigvuldigen, dan zeggen wiskundigen dat je dit getal tot de vijfde macht moet verhogen. Bijvoorbeeld, . Wiskundigen herinneren zich dat twee tot de vijfde graad is. En ze lossen dergelijke problemen in hun hoofd op - sneller, gemakkelijker en zonder fouten.

Het enige wat je hoeft te doen is onthoud wat is gemarkeerd in de tabel met machten van getallen... Geloof me, dit zal je leven een stuk makkelijker maken.

Trouwens, waarom heet de tweede graad? vierkant nummers, en de derde - kubus? Wat betekent het? Dat is een heel goede vraag. Nu heb je zowel vierkanten als kubussen.

Levensvoorbeeld # 1

Laten we beginnen met een kwadraat of de tweede macht van een getal.

Stel je een zwembad van vierkante meter per meter voor. Het zwembad bevindt zich in uw landhuis. Het is heet en ik wil heel graag zwemmen. Maar... een zwembad zonder bodem! Het is noodzakelijk om de bodem van het zwembad met tegels te bedekken. Hoeveel tegels heb je nodig? Om dit te bepalen, moet u het gebied van de bodem van het zwembad kennen.

Je kunt eenvoudig met je vinger tellen dat de bodem van het zwembad meter voor meter kubussen is. Als je een tegel meter voor meter hebt, heb je stukken nodig. Het is makkelijk... Maar waar heb je zulke tegels gezien? De tegel is waarschijnlijker cm bij cm en dan word je gemarteld door de "vingertelling". Dan moet je vermenigvuldigen. Dus aan de ene kant van de bodem van het zwembad passen we tegels (stuks) en aan de andere kant ook tegels. Vermenigvuldigen met, je krijgt tegels ().

Is het je opgevallen dat we hetzelfde aantal door onszelf hebben vermenigvuldigd om de oppervlakte van de zwembadbodem te bepalen? Wat betekent het? Zodra hetzelfde aantal is vermenigvuldigd, kunnen we de "exponentiation" -techniek gebruiken. (Natuurlijk, als je maar twee getallen hebt, vermenigvuldig je ze nog steeds of verhoog je ze tot een macht. Maar als je er veel hebt, dan is verheffen tot een macht veel gemakkelijker en zijn er ook minder fouten in berekeningen. Voor de examen, dit is erg belangrijk).
Dus dertig in de tweede graad is (). Of je kunt zeggen dat dertig kwadraat zal zijn. Met andere woorden, de tweede macht van een getal kan altijd worden weergegeven als een vierkant. Omgekeerd, als je een vierkant ziet, is dit ALTIJD de tweede macht van een getal. Een vierkant is een weergave van de tweede macht van een getal.

Voorbeeld uit het echte leven # 2

Hier is een taak voor jou, tel hoeveel vierkanten er op het schaakbord staan met behulp van het vierkant van het getal ... Aan de ene kant van de cellen en ook aan de andere kant. Om hun aantal te tellen, moet je acht met acht vermenigvuldigen of ... als je merkt dat het schaakbord een vierkant is met een zijde, dan kun je vierkant acht. Je krijgt cellen. () Dus?

Levensvoorbeeld nr. 3

Nu de kubus of de derde macht van het getal. Hetzelfde zwembad. Maar nu moet je uitzoeken hoeveel water in dit zwembad moet worden gegoten. U moet het volume berekenen. (Volumes en vloeistoffen worden trouwens gemeten in kubieke meters. Verrassend, toch?) Teken een zwembad: de bodem is een meter groot en een meter diep en probeer te berekenen hoeveel kubieke meter per meter je zwembad binnenkomt.

Wijs met je vinger en tel! Een, twee, drie, vier ... tweeëntwintig, drieëntwintig ... Hoeveel is het geworden? Niet verloren? Is het moeilijk om met je vinger te tellen? Zodat! Neem een voorbeeld van wiskundigen. Ze zijn lui, dus ze merkten dat om het volume van het zwembad te berekenen, je de lengte, breedte en hoogte met elkaar moet vermenigvuldigen. In ons geval is het volume van het zwembad gelijk aan kubussen ... Makkelijker, toch?

Stel je nu eens voor hoe lui en sluw wiskundigen zijn als ze dit ook zouden vereenvoudigen. Ze hebben alles teruggebracht tot één actie. Ze merkten dat de lengte, breedte en hoogte gelijk zijn en dat hetzelfde getal met zichzelf vermenigvuldigd wordt... Wat betekent dat? Dit betekent dat je gebruik kunt maken van het diploma. Dus wat je ooit met je vinger telde, doen ze in één handeling: drie in een kubus is gelijk. Het is als volgt geschreven:.

Het blijft alleen onthoud de gradentabel... Tenzij je natuurlijk net zo lui en sluw bent als wiskundigen. Als je graag hard werkt en fouten maakt, kun je met je vinger blijven tellen.

Om je er eindelijk van te overtuigen dat de graden zijn uitgevonden door nietsnutten en sluwe mensen om hun levensproblemen op te lossen, en niet om problemen voor je te creëren, volgen hier nog een paar voorbeelden uit het leven.

Levensvoorbeeld nr. 4

Je hebt een miljoen roebel. Aan het begin van elk jaar verdien je nog een miljoen van elk miljoen. Dat wil zeggen, elk miljoen van u aan het begin van elk jaar verdubbelt. Hoeveel geld heb je over jaren? Als je nu zit en "telt met je vinger", dan ben je een zeer hardwerkend persoon en.. dom. Maar hoogstwaarschijnlijk geef je binnen een paar seconden antwoord, want je bent slim! Dus in het eerste jaar - twee keer twee ... in het tweede jaar - gebeurde er nog twee, in het derde jaar ... Stop! Je hebt gemerkt dat het getal een keer met zichzelf wordt vermenigvuldigd. Dus twee tot de vijfde macht is een miljoen! Stel je nu voor dat je een wedstrijd hebt en die miljoenen zullen worden ontvangen door degene die sneller rekent ... Is het de moeite waard om de graden van getallen te onthouden, wat denk je?

Voorbeeld uit de praktijk nr. 5

Je hebt een miljoen. Aan het begin van elk jaar verdient u twee extra op elk miljoen. Geweldig, niet? Elke miljoen verdrievoudigt. Hoeveel geld heb je over jaren? Laten we tellen. Het eerste jaar - vermenigvuldigen met, dan het resultaat met een ander ... Het is al saai, want je hebt alles al begrepen: drie keer is vermenigvuldigd met zichzelf. Dus de vierde macht is gelijk aan een miljoen. Je hoeft alleen te onthouden dat drie tot de vierde macht of is.

Nu weet je dat je je leven enorm zult vergemakkelijken door een getal tot een macht te verheffen. Laten we eens kijken wat je met diploma's kunt doen en wat je erover moet weten.

Termen en concepten ... om niet in de war te raken

Laten we dus eerst de concepten definiëren. Wat denk je, wat is exponent?? Het is heel eenvoudig - dit is het getal dat "bovenaan" staat van de macht van het getal. Niet wetenschappelijk, maar begrijpelijk en makkelijk te onthouden...

Welnu, tegelijkertijd dat zo'n graadbasis? Het is nog eenvoudiger - dit is het nummer dat eronder staat, aan de basis.

Hier is een tekening om zeker te zijn.

Welnu, in algemene termen, om te generaliseren en beter te onthouden ... Een graad met een basis "" en een indicator "" wordt gelezen als "in graad" en wordt als volgt geschreven:

Mate van getal met natuurlijke exponent

Je raadt het waarschijnlijk al: omdat de exponent een natuurlijk getal is. Ja, maar wat is? natuurlijk nummer? Elementair! Natuurlijke getallen zijn getallen die worden gebruikt bij het tellen bij het opsommen van objecten: één, twee, drie ... Als we objecten tellen, zeggen we niet: "min vijf", "min zes", "min zeven". We zeggen ook niet: "een derde", of "nulpunt, vijf tienden." Dit zijn geen natuurlijke getallen. Welke cijfers denk je dat het zijn?

Getallen als "min vijf", "min zes", "min zeven" verwijzen naar: hele getallen. Over het algemeen omvatten gehele getallen alle natuurlijke getallen, getallen tegengesteld aan natuurlijke getallen (dat wil zeggen, genomen met een minteken) en een getal. Zero is gemakkelijk te begrijpen - dit is wanneer er niets is. Wat betekenen negatieve ("min") getallen? Maar ze zijn vooral uitgevonden om schulden aan te geven: als je roebels op je telefoon hebt, betekent dit dat je de operator roebels verschuldigd bent.

Alle breuken zijn rationale getallen. Hoe denk je dat ze zijn ontstaan? Erg makkelijk. Enkele duizenden jaren geleden ontdekten onze voorouders dat ze geen natuurlijke getallen hadden om lengte, gewicht, oppervlakte enz. te meten. En ze bedachten rationele nummers... Interessant, niet?

Er zijn ook irrationele getallen. Wat zijn deze cijfers? Kortom, een oneindige decimale breuk. Als je bijvoorbeeld de omtrek van een cirkel deelt door zijn diameter, krijg je een irrationeel getal.

Samenvatting:

Laten we het concept van een graad definiëren, waarvan de exponent een natuurlijk getal is (dat wil zeggen, een geheel getal en positief).

Elk getal in de eerste macht is gelijk aan zichzelf:
Een getal kwadrateren is het met zichzelf vermenigvuldigen:
Een getal in blokjes verdelen is het driemaal met zichzelf vermenigvuldigen:

Definitie. Een getal verheffen tot een natuurlijke macht betekent het getal met zichzelf vermenigvuldigen:
.

Vermogen eigenschappen

Waar kwamen deze eigenschappen vandaan? Ik zal het je nu laten zien.

Eens kijken: wat is en ?

A-priorij:

Hoeveel factoren zijn er in totaal?

Het is heel eenvoudig: we hebben vermenigvuldigers aan de vermenigvuldigers toegevoegd en het totaal is vermenigvuldigers.

Maar per definitie is het de graad van een getal met een exponent, dat wil zeggen, zoals vereist om te bewijzen.

Voorbeeld: Vereenvoudig de uitdrukking.

Oplossing:

Voorbeeld: Vereenvoudig de uitdrukking.

Oplossing: Het is belangrijk op te merken dat in onze regel: nodig moeten dezelfde bases hebben!
Daarom combineren we de graden met de basis, maar blijft een aparte factor:

alleen voor het product van graden!

Dat kun je in geen geval schrijven.

2.dat is: -de macht van een getal

Laten we, net als bij de vorige eigenschap, overgaan tot de definitie van de graad:

Het blijkt dat de uitdrukking één keer met zichzelf wordt vermenigvuldigd, dat wil zeggen, volgens de definitie is dit de e macht van het getal:

In wezen kan dit "de indicator tussen haakjes zetten" worden genoemd. Maar je moet dit nooit in totaal doen:

Laten we de verkorte vermenigvuldigingsformules onthouden: hoe vaak wilden we schrijven?

Maar dit is tenslotte niet waar.

Graad met negatieve basis

Tot nu toe hebben we alleen besproken wat de exponent zou moeten zijn.

Maar wat moet de basis zijn?

In graden met natuurlijk tarief de basis kan zijn elk nummer... We kunnen inderdaad alle getallen met elkaar vermenigvuldigen, of ze nu positief, negatief of zelfs zijn.

Laten we eens kijken welke tekens ("" of "") positieve en negatieve getallen hebben?

Zal het getal bijvoorbeeld positief of negatief zijn? EEN? ? Met de eerste is alles duidelijk: hoeveel positieve getallen we ook met elkaar vermenigvuldigen, het resultaat zal positief zijn.

Maar negatief is iets interessanter. We herinneren ons immers een simpele regel uit de 6e klas: "min bij min geeft een plus". Dat wil zeggen, of. Maar als we vermenigvuldigen met, werkt het.

Bepaal zelf welk teken de volgende uitdrukkingen zullen hebben:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Is het je gelukt?

Hier zijn de antwoorden: In de eerste vier voorbeelden, hopelijk is alles duidelijk? We kijken alleen naar de basis en exponent en passen de juiste regel toe.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

In voorbeeld 5) is alles ook niet zo eng als het lijkt: het maakt niet uit waar de basis gelijk aan is - de graad is even, wat betekent dat het resultaat altijd positief zal zijn.

Tenzij de basis nul is. De basis is niet gelijk, toch? Uiteraard niet, want (omdat).

Voorbeeld 6) is niet meer zo eenvoudig!

6 voorbeelden om te trainen

De oplossing ontleden 6 voorbeelden

Als we de achtste graad negeren, wat zien we dan hier? We herinneren ons het programma van groep 7. Dus onthoud? Dit is de formule voor verkorte vermenigvuldiging, namelijk het verschil van kwadraten! We krijgen:

Laten we de noemer eens nader bekijken. Het lijkt veel op een van de vermenigvuldigers in de teller, maar wat is er mis? Verkeerde volgorde van termen. Als ze zouden worden teruggedraaid, zou de regel kunnen worden toegepast.

Maar hoe dat te doen? Het blijkt heel eenvoudig te zijn: hier helpt de even graad van de noemer ons.

De voorwaarden zijn op magische wijze omgekeerd. Dit "fenomeen" is in gelijke mate van toepassing op elke uitdrukking: we kunnen de tekens tussen haakjes vrijelijk veranderen.

Maar het is belangrijk om te onthouden: alle tekens veranderen tegelijkertijd!

Laten we teruggaan naar het voorbeeld:

En nogmaals de formule:

Geheel we noemen de natuurlijke getallen tegenover hen (dat wil zeggen, genomen met het teken "") en het nummer.

positief integer, maar het is niet anders dan natuurlijk, dan ziet alles er precies zo uit als in het vorige gedeelte.

Laten we nu eens kijken naar enkele nieuwe gevallen. Laten we beginnen met een indicator gelijk aan.

Elk getal in de nulgraad is gelijk aan één:

Laten we ons zoals altijd de vraag stellen: waarom is dit zo?

Overweeg een diploma met een basis. Neem bijvoorbeeld en vermenigvuldig met:

Dus we vermenigvuldigden het getal met, en kregen hetzelfde als het was -. En met welk getal moet je vermenigvuldigen zodat er niets verandert? Dat klopt, op. Middelen.

We kunnen hetzelfde doen met een willekeurig getal:

Laten we de regel herhalen:

Elk getal in de nulgraad is gelijk aan één.

Maar er zijn uitzonderingen op veel regels. En hier is het ook daar - dit is een getal (als basis).

Aan de ene kant moet het gelijk zijn aan elke graad - hoeveel je ook vermenigvuldigt met jezelf, je krijgt nog steeds nul, dit is duidelijk. Maar aan de andere kant, zoals elk getal in de nulgraad, moet het gelijk zijn. Dus welke hiervan is waar? Wiskundigen besloten niet mee te doen en weigerden nul tot nul te verhogen. Dat wil zeggen, nu kunnen we niet alleen door nul delen, maar het ook verhogen tot een macht nul.

Laten we verder gaan. Naast natuurlijke getallen en getallen, behoren negatieve getallen tot gehele getallen. Om te begrijpen wat een negatieve macht is, doen we hetzelfde als de vorige keer: vermenigvuldig een normaal getal met dezelfde negatieve macht:

Vanaf hier is het al gemakkelijk om uit te drukken wat u zoekt:

Nu zullen we de resulterende regel uitbreiden naar een willekeurige mate:

Laten we daarom een regel formuleren:

Een getal in de negatieve macht is omgekeerd aan hetzelfde getal in de positieve macht. Maar op het zelfde moment de basis kan niet nul zijn:(omdat je niet kunt delen door).

Laten we samenvatten:

I. Uitdrukking niet gespecificeerd in geval. Als dan.

II. Elk getal tot op de nulgraad is gelijk aan één:.

III. Een getal dat niet gelijk is aan nul is in negatieve macht omgekeerd aan hetzelfde getal in een positieve macht:.

Taken voor zelfstandige oplossing:

Nou, en, zoals gewoonlijk, voorbeelden voor een onafhankelijke oplossing:

Analyse van taken voor onafhankelijke oplossing:

Ik weet het, ik weet het, de cijfers zijn verschrikkelijk, maar op het examen moet je overal op voorbereid zijn! Los deze voorbeelden op of analyseer hun oplossing als je ze niet kon oplossen en je leert hoe je er gemakkelijk mee om kunt gaan op het examen!

Laten we doorgaan met het uitbreiden van de cirkel van getallen "geschikt" als exponent.

Overweeg nu: rationele nummers. Welke getallen worden rationaal genoemd?

Antwoord: alles wat kan worden weergegeven als een breuk, waarbij en bovendien gehele getallen zijn.

Om te begrijpen wat is fractionele graad, beschouw de breuk:

Laten we beide kanten van de vergelijking tot de macht verheffen:

Laten we nu de regel onthouden over: "Graad tot graad":

Welk getal moet tot een macht worden verheven om te krijgen?

Deze formulering is de definitie van de e wortel.

Laat me je eraan herinneren: de wortel van de e macht van een getal () is een getal dat, wanneer het wordt verheven tot een macht, gelijk is aan.

Dat wil zeggen, de wortel van de e macht is de inverse bewerking van de machtsverheffing:.

Het blijkt dat. Uiteraard kan dit specifieke geval worden uitgebreid:.

Nu voegen we de teller toe: wat is het? Het antwoord is eenvoudig te verkrijgen met behulp van de regel van graad tot graad:

Maar kan de basis een willekeurig getal zijn? De wortel kan immers niet uit alle getallen worden geëxtraheerd.

Geen!

Onthoud de regel: elk getal dat tot een even macht wordt verheven, is een positief getal. Dat wil zeggen, je kunt geen wortels van een even graad extraheren uit negatieve getallen!

En dit betekent dat dergelijke getallen niet kunnen worden verhoogd tot een fractionele macht met een even noemer, dat wil zeggen dat de uitdrukking niet klopt.

Hoe zit het met expressie?

Maar hier ontstaat het probleem.

Het getal kan worden weergegeven als andere, opzegbare breuken, bijvoorbeeld of.

En het blijkt dat het bestaat, maar niet bestaat, maar dit zijn gewoon twee verschillende records van hetzelfde nummer.

Of een ander voorbeeld: een keer, dan kun je schrijven. Maar als we de indicator op een andere manier opschrijven, en opnieuw krijgen we hinder: (dat wil zeggen, we hebben een heel ander resultaat!).

Om dergelijke paradoxen te vermijden, beschouwen we: alleen positieve radix met fractionele exponent.

Dus indien:

- natuurlijk nummer;
- een geheel getal;

Voorbeelden:

Rationele exponenten zijn erg handig voor het converteren van geroote uitdrukkingen, bijvoorbeeld:

5 voorbeelden om te trainen

Analyse van 5 voorbeelden voor training

En nu het moeilijkste. Nu zullen we analyseren: irrationele graad.

Alle regels en eigenschappen van graden zijn hier precies hetzelfde als voor een graad met een rationale exponent, met uitzondering van

Inderdaad, per definitie zijn irrationele getallen getallen die niet kunnen worden weergegeven als een breuk, waarbij en gehele getallen zijn (dat wil zeggen, irrationele getallen zijn alle reële getallen behalve rationale getallen).

Bij het bestuderen van graden met een natuurlijke, hele en rationele indicator, bedachten we elke keer een soort "beeld", "analogie" of beschrijving in meer bekende termen.

Een natuurlijke exponent is bijvoorbeeld een getal dat meerdere keren met zichzelf is vermenigvuldigd;

...nul graden getal- het is als het ware een getal dat eenmaal met zichzelf is vermenigvuldigd, dat wil zeggen dat het nog niet is vermenigvuldigd, wat betekent dat het getal zelf nog niet eens is verschenen - daarom is het resultaat slechts een soort "leeg getal" ", namelijk het nummer;

...geheel getal negatieve exponent- het was alsof er een soort "omgekeerd proces" plaatsvond, dat wil zeggen dat het aantal niet met zichzelf werd vermenigvuldigd, maar gedeeld.

Trouwens, in de wetenschap wordt vaak een graad met een complexe indicator gebruikt, dat wil zeggen dat de indicator niet eens een reëel getal is.

Maar op school denken we niet aan dergelijke moeilijkheden, je krijgt de kans om deze nieuwe concepten op het instituut te begrijpen.

WAAR WE ER ZEKER VAN ZIJN DAT JE GAAT! (als je leert hoe je zulke voorbeelden kunt oplossen :))

Bijvoorbeeld:

Beslis voor jezelf:

Analyse van oplossingen:

1. Laten we beginnen met de al gebruikelijke regel voor het verheffen van een macht tot een macht:

Kijk nu naar de indicator. Doet hij je ergens aan denken? We herinneren ons de formule voor verkorte vermenigvuldiging, het verschil van kwadraten:

In dit geval,

Het blijkt dat:

Antwoord geven: .

2. We brengen breuken in exponenten in dezelfde vorm: ofwel beide decimaal, ofwel beide gewoon. Laten we bijvoorbeeld nemen:

Antwoord: 16

3. Niets bijzonders, we passen de gebruikelijke eigenschappen van graden toe:

GEVORDERD NIVEAU

Bepaling van de graad

Een graad is een uitdrukking van de vorm:, waarbij:

— basis van graad;
- exponent.

Graad met natuurlijke exponent (n = 1, 2, 3, ...)

Een getal verheffen tot een natuurlijke macht n betekent het getal met zichzelf vermenigvuldigen:

Geheel getal (0, ± 1, ± 2, ...)

Als de exponent is heel positief nummer:

Erectie tot nul graden:

De uitdrukking is onbepaald, omdat aan de ene kant tot op zekere hoogte - dit, en aan de andere kant - elk getal tot op de e graad - dit.

Als de exponent is geheel negatief nummer:

(omdat je niet kunt delen door).

Nogmaals over nullen: uitdrukking is ongedefinieerd in geval. Als dan.

Voorbeelden:

Rationele rang

- natuurlijk nummer;
- een geheel getal;

Voorbeelden:

Vermogen eigenschappen

Laten we, om het oplossen van problemen gemakkelijker te maken, proberen te begrijpen: waar komen deze eigenschappen vandaan? Laten we ze bewijzen.

Even kijken: wat is en?

A-priorij:

Dus aan de rechterkant van deze uitdrukking krijgen we het volgende product:

Maar per definitie is het de macht van een getal met een exponent, dat wil zeggen:

QED

Voorbeeld : Vereenvoudig de uitdrukking.

Oplossing : .

Voorbeeld : Vereenvoudig de uitdrukking.

Oplossing : Het is belangrijk op te merken dat in onze regel: nodig moeten dezelfde basen hebben. Daarom combineren we de graden met de basis, maar blijft een aparte factor:

Nog een belangrijke opmerking: deze regel is - alleen voor het product van graden!

Dat mag ik in geen geval schrijven.

Laten we, net als bij de vorige eigenschap, overgaan tot de definitie van de graad:

Laten we dit stuk als volgt herschikken:

Het blijkt dat de uitdrukking één keer met zichzelf wordt vermenigvuldigd, dat wil zeggen, volgens de definitie is dit de e macht van het getal:

In wezen kan dit "de indicator tussen haakjes zetten" worden genoemd. Maar doe dit nooit in totaal:!

Laten we de verkorte vermenigvuldigingsformules onthouden: hoe vaak wilden we schrijven? Maar dit is tenslotte niet waar.

Een graad met een negatieve basis.

Tot nu toe hebben we alleen besproken hoe het zou moeten zijn inhoudsopgave rang. Maar wat moet de basis zijn? In graden met natuurlijk indicator de basis kan zijn elk nummer .

We kunnen inderdaad alle getallen met elkaar vermenigvuldigen, of ze nu positief, negatief of zelfs zijn. Laten we eens kijken welke tekens ("" of "") positieve en negatieve getallen hebben?

Zal het getal bijvoorbeeld positief of negatief zijn? EEN? ?

Met de eerste is alles duidelijk: hoeveel positieve getallen we ook met elkaar vermenigvuldigen, het resultaat zal positief zijn.

Maar negatief is iets interessanter. We herinneren ons immers een simpele regel uit de 6e klas: "min bij min geeft een plus". Dat wil zeggen, of. Maar als we vermenigvuldigen met (), krijgen we -.

En zo verder tot in het oneindige: bij elke volgende vermenigvuldiging verandert het teken. U kunt dergelijke eenvoudige regels formuleren:

ook al graad, - aantal positief.
Negatief getal verhoogd tot vreemd graad, - aantal negatief.
Een positief getal in welke mate dan ook is een positief getal.
Nul tot elke macht is gelijk aan nul.

Bepaal zelf welk teken de volgende uitdrukkingen zullen hebben:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Is het je gelukt? Hier zijn de antwoorden:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

In de eerste vier voorbeelden hoop ik dat alles duidelijk is? We kijken alleen naar de basis en exponent en passen de juiste regel toe.

In voorbeeld 5) is alles ook niet zo eng als het lijkt: het maakt niet uit waar de basis gelijk aan is - de graad is even, wat betekent dat het resultaat altijd positief zal zijn. Tenzij de basis nul is. De basis is niet gelijk, toch? Uiteraard niet, want (omdat).

Voorbeeld 6) is niet meer zo eenvoudig. Hier moet je uitzoeken wat minder is: of? Als je dat onthoudt, wordt dat duidelijk, wat betekent dat het grondtal kleiner is dan nul. Dat wil zeggen, we passen regel 2 toe: het resultaat is negatief.

En opnieuw gebruiken we de definitie van graad:

Alles is zoals gewoonlijk - we noteren de definitie van graden en verdelen ze in elkaar, verdelen ze in paren en krijgen:

Laten we, voordat we de laatste regel onderzoeken, een paar voorbeelden oplossen.

Bereken de waarden van de uitdrukkingen:

Oplossingen :

We krijgen:

Laten we de noemer eens nader bekijken. Het lijkt veel op een van de vermenigvuldigers in de teller, maar wat is er mis? Verkeerde volgorde van termen. Als ze werden teruggedraaid, zou regel 3 kunnen worden toegepast, maar hoe doe je dat? Het blijkt heel eenvoudig te zijn: hier helpt de even graad van de noemer ons.

Als je het vermenigvuldigt met, verandert er niets, toch? Maar nu blijkt het volgende:

De voorwaarden zijn op magische wijze omgekeerd. Dit "fenomeen" is in gelijke mate van toepassing op elke uitdrukking: we kunnen de tekens tussen haakjes vrijelijk veranderen. Maar het is belangrijk om te onthouden: alle tekens veranderen tegelijkertijd! Het kan niet worden vervangen door slechts één nadeel te veranderen dat we niet willen!

Laten we teruggaan naar het voorbeeld:

En nogmaals de formule:

Dus nu de laatste regel:

Hoe gaan we het bewijzen? Natuurlijk, zoals gewoonlijk: laten we het begrip graad uitbreiden en vereenvoudigen:

Laten we nu de haakjes openen. Hoeveel brieven zullen er zijn? tijden door vermenigvuldigers - hoe ziet het eruit? Dit is niets meer dan een definitie van een operatie vermenigvuldiging: er waren alleen vermenigvuldigers. Dat wil zeggen, het is per definitie de graad van een getal met een exponent:

Voorbeeld:

Irrationele rang

Naast de informatie over de graden voor het tussenliggende niveau, zullen we de graad analyseren met een irrationele exponent. Alle regels en eigenschappen van graden zijn hier precies hetzelfde als voor een graad met een rationale exponent, met de uitzondering - per definitie zijn irrationele getallen getallen die niet als breuk kunnen worden weergegeven, waarbij en hele getallen zijn (die is, irrationele getallen zijn allemaal reële getallen behalve rationele).

Bij het bestuderen van graden met een natuurlijke, hele en rationele indicator, bedachten we elke keer een soort "beeld", "analogie" of beschrijving in meer bekende termen. Een natuurlijke exponent is bijvoorbeeld een getal dat meerdere keren met zichzelf is vermenigvuldigd; een getal tot de nulgraad is als het ware een getal dat eenmaal met zichzelf is vermenigvuldigd, dat wil zeggen dat het nog niet is vermenigvuldigd, wat betekent dat het getal zelf nog niet eens is verschenen - daarom is het resultaat slechts een soort van "blanco nummer", namelijk een nummer; een graad met een negatieve integer-exponent is alsof er een soort "omgekeerd proces" heeft plaatsgevonden, dat wil zeggen, het getal is niet met zichzelf vermenigvuldigd, maar gedeeld.

Het is buitengewoon moeilijk om je een graad voor te stellen met een irrationele exponent (net zoals het moeilijk is om je een 4-dimensionale ruimte voor te stellen). Het is eerder een puur wiskundig object dat wiskundigen hebben gemaakt om het concept van een graad uit te breiden tot de hele ruimte van getallen.

Trouwens, in de wetenschap wordt vaak een graad met een complexe indicator gebruikt, dat wil zeggen dat de indicator niet eens een reëel getal is. Maar op school denken we niet aan dergelijke moeilijkheden, je krijgt de kans om deze nieuwe concepten op het instituut te begrijpen.

Dus wat doen we als we een irrationele exponent zien? We proberen uit alle macht om er vanaf te komen! :)

Bijvoorbeeld:

Beslis voor jezelf:

antwoorden:

We herinneren ons de formule voor het verschil van vierkanten. Antwoord geven: .
We brengen breuken in dezelfde vorm: ofwel beide decimalen, ofwel beide gewone. We krijgen bijvoorbeeld:.
Niets bijzonders, we passen de gebruikelijke graadeigenschappen toe:

SAMENVATTING VAN DE SECTIE EN BASISFORMULES

Rang heet een uitdrukking van de vorm:, waarbij:

geheel getal graad

graad, waarvan de exponent een natuurlijk getal is (d.w.z. geheel en positief).

Rationele rang

graad, waarvan de exponent negatieve en fractionele getallen is.

Irrationele rang

graad, waarvan de exponent een oneindige decimale breuk of wortel is.

Vermogen eigenschappen

Kenmerken van graden.

Negatief getal verhoogd tot ook al graad, - aantal positief.
Negatief getal verhoogd tot vreemd graad, - aantal negatief.
Een positief getal in welke mate dan ook is een positief getal.
Nul is gelijk aan elke macht.
Elk getal tot op de nulgraad is gelijk aan.

NU JOUW WOORD...

Hoe bevalt het artikel? Schrijf in de reacties of je het leuk vindt of niet.

Vertel ons over uw ervaring met diploma-eigenschappen.

Misschien heeft u vragen. Of suggesties.

Schrijf in de reacties.

En succes met je examens!

Wetenschap en wiskunde artikelen

Eigenschappen van graden met hetzelfde grondtal

Er zijn drie eigenschappen van graden met dezelfde basen en natuurlijke waarden. het

Werk som

Privaat twee graden met dezelfde basen is gelijk aan de uitdrukking, waarbij het grondtal hetzelfde is, en de exponent is verschil indicatoren van de oorspronkelijke factoren.

De macht van een getal tot een macht verheffen is gelijk aan een uitdrukking waarin het grondtal hetzelfde getal is en de exponent is werk twee graden.

Doe voorzichtig! Regels met betrekking tot optellen en aftrekken graden met dezelfde bases bestaat niet.

Laten we deze eigenschappen-regels in de vorm van formules schrijven:

een m × een n = een m + n

een m ÷ een n = een m – n

(a m) n = een mn

Nu zullen we ze met specifieke voorbeelden bekijken en proberen ze te bewijzen.

5 2 × 5 3 = 5 5 - hier hebben we de regel toegepast; Laten we ons nu voorstellen hoe we dit voorbeeld zouden oplossen als we de regels niet zouden kennen:

5 2 × 5 3 = 5 × 5 × 5 × 5 × 5 = 5 5 - vijf kwadraat is vijf keer vijf, en in blokjes is het product van drie vijven. Het resultaat is het product van vijf vijven, maar dit is iets anders dan vijf tot de vijfde macht: 5 5.

3 9 ÷ 3 5 = 3 9–5 = 3 4. Laten we de deling als een breuk schrijven:

Het kan worden ingekort:

Als resultaat krijgen we:

We hebben dus bewezen dat bij het delen van twee graden met dezelfde basen, hun indicatoren moeten worden afgetrokken.

Bij delen is het echter onmogelijk dat de deler gelijk is aan nul (omdat je niet kunt delen door nul). Bovendien, aangezien we graden alleen met natuurlijke exponenten beschouwen, kunnen we door het aftrekken van exponenten geen getal kleiner dan 1 krijgen. Daarom worden er beperkingen opgelegd aan de formule am ÷ an = am – n: a ≠ 0 en m > zn.

Laten we verder gaan met de derde eigenschap:
(2 2) 4 = 2 2 × 4 = 2 8

Laten we in uitgebreide vorm schrijven:
(2 2) 4 = (2 × 2) 4 = (2 × 2) × (2 × 2) × (2 × 2) × (2 × 2) = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 2 8

U kunt tot deze conclusie komen en logisch redeneren. Je moet twee kwadraat vier keer vermenigvuldigen. Maar in elk vierkant zijn er twee tweeën, wat betekent dat er in totaal acht tweeën zullen zijn.

scienceland.info

Graad eigenschappen

We herinneren je eraan dat deze les het begrijpt kracht eigenschappen met natuurlijke indicatoren en nul. Rationele graden en hun eigenschappen komen aan bod in de lessen van groep 8.

Een natuurlijke exponent heeft een aantal belangrijke eigenschappen die het berekenen in exponentvoorbeelden vergemakkelijken.

Woning nummer 1
Product van graden

Wanneer graden met dezelfde basen worden vermenigvuldigd, blijft het grondtal ongewijzigd en worden de exponenten opgeteld.

a m · a n = a m + n, waarbij "a" een willekeurig getal is en "m", "n" alle natuurlijke getallen zijn.

Deze eigenschap van graden heeft ook invloed op het product van drie of meer graden.

Vereenvoudig de uitdrukking.
b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15

Aanwezig als diploma.
6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17

Aanwezig als diploma.
(0,8) 3 (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15

Houd er rekening mee dat het in de opgegeven eigenschap alleen ging om de vermenigvuldiging van machten met dezelfde basen.... Het is niet van toepassing op hun toevoeging.

U kunt het bedrag (3 3 + 3 2) niet vervangen door 3 5. Dit is begrijpelijk als
telling (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36, en 3 5 = 243

Woning nummer 2
privé graden

Bij het delen van graden met dezelfde grondtalen, blijft het grondtal ongewijzigd en wordt de exponent van de deler afgetrokken van de exponent van het deeltal.

Schrijf het quotiënt als een graad
(2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5 - 3 = (2b) 2

Berekenen.

11 3 - 2 4 2 - 1 = 11 4 = 44
Voorbeeld. Los De vergelijking op. We gebruiken het eigendom van privé-graden.
3 8: t = 3 4

Antwoord: t = 3 4 = 81

Met de eigenschappen #1 en #2 kunt u eenvoudig uitdrukkingen vereenvoudigen en berekeningen uitvoeren.

Voorbeeld. Vind de waarde van een uitdrukking met behulp van de eigenschappen van de graad.

2 11 − 5 = 2 6 = 64

Houd er rekening mee dat we het in eigenschap 2 alleen hadden over het delen van graden met dezelfde basen.

Je kunt het verschil (4 3 −4 2) niet vervangen door 4 1. Dit is begrijpelijk als we berekenen (4 3 −4 2) = (64 - 16) = 48, en 4 1 = 4

Woning nummer 3
Machtsverheffing

Bij het verheffen van een macht tot een macht, blijft de basis van de macht ongewijzigd en worden de exponenten vermenigvuldigd.

(a n) m = a n · m, waarbij "a" een willekeurig getal is en "m", "n" alle natuurlijke getallen zijn.

Merk op dat eigenschap # 4, net als andere vermogenseigenschappen, in omgekeerde volgorde wordt toegepast.

(a n b n) = (a b) n

Dat wil zeggen, om graden met dezelfde indicatoren te vermenigvuldigen, kunt u de basissen vermenigvuldigen en de exponent ongewijzigd laten.

Voorbeeld. Berekenen.
2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10.000

Voorbeeld. Berekenen.
0,5 16 2 16 = (0,5 2) 16 = 1

In meer complexe voorbeelden kunnen er gevallen zijn waarin vermenigvuldiging en deling over graden met verschillende basen en verschillende exponenten moeten worden uitgevoerd. In dat geval adviseren wij u als volgt te werk te gaan.

Bijvoorbeeld 4 5 3 2 = 4 3 4 2 3 2 = 4 3 (4 3) 2 = 64 12 2 = 64 144 = 9216

Een voorbeeld van verheffen tot een decimale macht.

4 21 (-0.25) 20 = 4 4 20 (-0.25) 20 = 4 (4 (-0.25)) 20 = 4 (-1) 20 = 4 1 = 4

Eigenschappen 5
Graad van quotiënt (fractie)

Om een quotiënt tot een macht te verheffen, kun je een afzonderlijk deeltal en een deler van deze macht verheffen en het eerste resultaat delen door het tweede.

(a: b) n = a n: b n, waarbij "a", "b" alle rationale getallen zijn, b ≠ 0, n een natuurlijk getal is.

Voorbeeld. Presenteer de uitdrukking in de vorm van privé-graden.
(5: 3) 12 = 5 12: 3 12

We herinneren je eraan dat het quotiënt kan worden weergegeven als een breuk. Daarom zullen we op de volgende pagina in meer detail stilstaan bij het onderwerp van het verheffen van een breuk tot een macht.

Vermenigvuldigen en delen van getallen met bevoegdheden

Als u een bepaald getal tot een macht moet verheffen, kunt u de tabel met machten van natuurlijke getallen van 2 tot 25 in de algebra gebruiken. En nu zullen we dieper ingaan op eigenschappen van graden.

Exponentiële getallen openen geweldige mogelijkheden, ze stellen ons in staat om vermenigvuldiging om te zetten in optellen, en optellen is veel gemakkelijker dan vermenigvuldigen.

We moeten bijvoorbeeld 16 met 64 vermenigvuldigen. Het product van de vermenigvuldiging van deze twee getallen is 1024. Maar 16 is 4x4 en 64 is 4x4x4. Dat wil zeggen, 16 bij 64 = 4x4x4x4x4, wat ook 1024 is.

Het getal 16 kan ook worden weergegeven als 2x2x2x2, en 64 als 2x2x2x2x2x2, en als we vermenigvuldigen, krijgen we weer 1024.

En nu gebruiken we de regel om een getal tot een macht te verheffen. 16 = 4 2, of 2 4, 64 = 4 3, of 2 6, tegelijkertijd 1024 = 6 4 = 4 5, of 2 10.

Daarom kan ons probleem anders worden geschreven: 4 2 x4 3 = 4 5 of 2 4 x2 6 = 2 10, en elke keer krijgen we 1024.

We kunnen een aantal vergelijkbare voorbeelden oplossen en zien dat het vermenigvuldigen van getallen met machten reduceert tot optelling van exponenten, of exponentieel, natuurlijk, op voorwaarde dat de basissen van de factoren gelijk zijn.

Dus, zonder te vermenigvuldigen, kunnen we meteen zeggen dat 2 4 x2 2 x2 14 = 2 20.

Deze regel geldt ook bij het delen van getallen met machten, maar in dit geval, e de exponent van de deler wordt afgetrokken van de exponent van het deeltal... Dus 2 5: 2 3 = 2 2, wat in gewone getallen 32 is: 8 = 4, dat wil zeggen 2 2. Laten we samenvatten:

a m х a n = a m + n, a m: a n = a m-n, waarbij m en n gehele getallen zijn.

Op het eerste gezicht lijkt het misschien wat is vermenigvuldigen en delen van getallen met bevoegdheden niet erg handig, want eerst moet je het getal in exponentiële vorm weergeven. Het is niet moeilijk om de getallen 8 en 16 in deze vorm weer te geven, dat wil zeggen 2 3 en 2 4, maar hoe doe je dit met de getallen 7 en 17? Of wat te doen als het getal in exponentiële vorm kan worden weergegeven, maar de basis van de exponentiële uitdrukkingen van getallen heel anders zijn. 8 × 9 is bijvoorbeeld 2 3 × 3 2, in welk geval we de exponenten niet kunnen optellen. Noch 2 5 noch 3 5 is het antwoord, en het antwoord ligt ook niet in het interval tussen deze twee getallen.

Is het dan überhaupt de moeite waard om je met deze methode bezig te houden? Zeker de moeite waard. Het biedt enorme voordelen, vooral voor complexe en tijdrovende berekeningen.

Tot nu toe hebben we aangenomen dat de exponent het aantal identieke factoren is. In dit geval is de minimumwaarde van de exponent 2. Als we echter de bewerking van getallen delen of exponenten aftrekken, kunnen we ook een getal kleiner dan 2 krijgen, wat betekent dat de oude definitie niet langer bij ons past. Lees meer in het volgende artikel.

Optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen van bevoegdheden

Machten optellen en aftrekken