De regels van de volgorde van het uitvoeren van acties in complexe uitdrukkingen worden bestudeerd in klas 2, maar praktisch sommige ervan worden gebruikt door kinderen in klas 1.

Eerst beschouwen we de regel over de volgorde van het uitvoeren van acties in uitdrukkingen zonder haakjes, wanneer ofwel alleen optellen en aftrekken, of alleen vermenigvuldigen en delen, worden uitgevoerd op getallen. De noodzaak om uitdrukkingen te introduceren die twee of meer rekenkundige bewerkingen van hetzelfde niveau bevatten, ontstaat wanneer leerlingen kennis maken met de rekentechnieken van optellen en aftrekken binnen 10, namelijk:

Evenzo: 6 - 1 - 1, 6 - 2 - 1, 6 - 2 - 2.

Omdat om de betekenis van deze uitdrukkingen te vinden, schoolkinderen zich wenden tot objectgerelateerde acties die in een specifieke volgorde worden uitgevoerd, leren ze gemakkelijk het feit dat rekenkundige bewerkingen (optellen en aftrekken) die plaatsvinden in uitdrukkingen opeenvolgend van links naar rechts worden uitgevoerd.

De leerlingen komen voor het eerst numerieke uitdrukkingen tegen die optellen en aftrekken en haakjes bevatten in het onderwerp Optellen en aftrekken binnen 10. Wanneer kinderen dergelijke uitdrukkingen tegenkomen in klas 1, bijvoorbeeld: 7 - 2 + 4, 9 - 3 - 1, 4 +3 - 2; in graad 2, bijvoorbeeld: 70 - 36 +10, 80 - 10 - 15, 32 + 18 - 17; 4 * 10: 5, 60: 10 * 3, 36: 9 * 3, de leraar laat zien hoe je dergelijke uitdrukkingen moet lezen en schrijven en hoe je hun betekenis kunt vinden (bijvoorbeeld 4 * 10: 5 leest: 4 keer 10 en de resultaat wordt gedeeld door 5). Tegen de tijd dat ze het onderwerp "Procedure" in klas 2 bestuderen, kunnen studenten de betekenissen van uitdrukkingen van dit type vinden. Het doel van het werk in dit stadium is, gebaseerd op de praktische vaardigheden van studenten, om hun aandacht te vestigen op de volgorde van het uitvoeren van acties in dergelijke uitdrukkingen en om een ​​passende regel te formuleren. De leerlingen lossen zelfstandig de door de docent gekozen voorbeelden op en leggen uit in welke volgorde ze dat hebben gedaan; stappen in elk voorbeeld. Dan formuleren ze zichzelf of lezen ze uit het leerboek de conclusie: als in de uitdrukking zonder haakjes alleen de acties van optellen en aftrekken (of alleen de acties van vermenigvuldigen en delen) worden aangegeven, dan worden ze uitgevoerd in de volgorde waarin ze zijn geschreven (dus van links naar rechts).

Ondanks het feit dat in uitdrukkingen van de vorm a + b + c, a + (b + c) en (a + b) + c, de aanwezigheid van haakjes geen invloed heeft op de volgorde van het uitvoeren van acties vanwege de combinatiewet van optellen , in dit stadium is het handiger voor studenten om zich te concentreren op het feit dat de actie tussen haakjes het eerst wordt uitgevoerd. Dit komt door het feit dat voor uitdrukkingen van de vorm a - (b + c) en a - (b - c) een dergelijke generalisatie onaanvaardbaar is en het voor studenten in de beginfase nogal moeilijk zal zijn om te navigeren in de benoeming van haakjes voor verschillende numerieke uitdrukkingen. Het gebruik van haakjes in numerieke uitdrukkingen die optellen en aftrekken bevatten, wordt verder ontwikkeld, wat verband houdt met de studie van regels als het optellen van een som bij een getal, een getal bij een som, het aftrekken van een som van een getal en een getal van een som. Wanneer u echter voor het eerst kennismaakt met haakjes, is het belangrijk om de leerlingen de opdracht te geven om eerst de actie tussen haakjes uit te voeren.

De leerkracht wijst de kinderen erop hoe belangrijk het is om deze regel in acht te nemen bij het rekenen, anders krijg je een onjuiste gelijkheid. Zo leggen leerlingen uit hoe de waarden van de uitdrukkingen worden verkregen: 70 - 36 + 10 = 24, 60:10 - 3 = 2, waarom ze onjuist zijn, welke betekenissen deze uitdrukkingen eigenlijk hebben. Evenzo bestuderen ze de volgorde van acties in uitdrukkingen met haakjes van de vorm: 65 - (26 - 14), 50: (30 - 20), 90: (2 * 5). Studenten zijn ook bekend met dergelijke uitdrukkingen en kunnen ze lezen, opschrijven en hun betekenis berekenen. Na het uitleggen van de volgorde van het uitvoeren van acties in verschillende van dergelijke uitdrukkingen, formuleren de kinderen de conclusie: in uitdrukkingen met haakjes wordt de eerste actie uitgevoerd op de getallen die tussen haakjes staan. Als we deze uitdrukkingen beschouwen, is het gemakkelijk om aan te tonen dat de acties erin niet worden uitgevoerd in de volgorde waarin ze zijn geschreven; om een ​​andere volgorde van uitvoering aan te geven, en haakjes worden gebruikt.

Vervolgens wordt een regel geïntroduceerd voor de volgorde van uitvoering van acties in uitdrukkingen zonder haakjes, wanneer ze acties van de eerste en tweede fase bevatten. Omdat de regels van de volgorde van handelen in overleg worden vastgesteld, informeert de leraar ze aan de kinderen of leren de leerlingen ze kennen uit het leerboek. Om ervoor te zorgen dat studenten de geïntroduceerde regels kunnen verwerken, bevatten ze naast de trainingsoefeningen ook oplossingsvoorbeelden met uitleg over de volgorde waarin ze hun acties moeten uitvoeren. Oefeningen in het uitleggen van fouten in de volgorde van het uitvoeren van acties zijn ook effectief. Uit de gegeven paren voorbeelden wordt bijvoorbeeld voorgesteld om alleen die op te schrijven waarbij de berekeningen zijn uitgevoerd volgens de regels van de volgorde van acties:

Nadat u de fouten hebt uitgelegd, kunt u de taak geven: gebruik haakjes om de volgorde van acties te wijzigen zodat de uitdrukking de opgegeven waarde heeft. Als de eerste van de bovenstaande uitdrukkingen bijvoorbeeld een waarde heeft die gelijk is aan 10, moet u deze als volgt schrijven: (20 + 30): 5 = 10.

Oefeningen over het berekenen van de waarde van een uitdrukking zijn vooral nuttig wanneer de leerling alle geleerde regels moet toepassen. De uitdrukking 36: 6 + 3 * 2 staat bijvoorbeeld op het bord of in notitieboekjes. De leerlingen berekenen de waarde ervan. Vervolgens veranderen de kinderen, volgens de instructies van de leraar, de volgorde van acties in de uitdrukking met haakjes:

• 36:6+3-2
• 36:(6+3-2)
• 36:(6+3)-2
• (36:6+3)-2

Interessant, maar moeilijker, is de omgekeerde oefening: plaats de haakjes zo dat de uitdrukking een bepaalde waarde heeft:

• 72-24:6+2=66
• 72-24:6+2=6
• 72-24:6+2=10
• 72-24:6+2=69

Ook interessant zijn de oefeningen van het volgende type:

• 1. Plaats de haakjes zo dat de gelijkheden correct zijn:
• 25-17:4=2 3*6-4=6
• 24:8-2=4
• 2. Vervang de sterretjes door "+" of "-" zodat u de juiste gelijkheden krijgt:
• 38*3*7=34
• 38*3*7=28
• 38*3*7=42
• 38*3*7=48
• 3. Vervang de sterretjes door rekenkundige tekens zodat de gelijkheden kloppen:
• 12*6*2=4
• 12*6*2=70
• 12*6*2=24
• 12*6*2=9
• 12*6*2=0

In deze oefeningen raken de leerlingen ervan overtuigd dat de betekenis van een uitdrukking kan veranderen als de volgorde van handelingen wordt veranderd.

Om de regels van de volgorde van acties onder de knie te krijgen, is het in de klassen 3 en 4 noodzakelijk om meer en meer gecompliceerde uitdrukkingen op te nemen, bij het berekenen van de waarden waarvan de student elke keer niet één, maar twee of drie regels voor de volgorde van het uitvoeren van acties, bijvoorbeeld:

• 90*8- (240+170)+190,
• 469148-148*9+(30 100 - 26909).

In dit geval moeten de cijfers zo worden gekozen dat ze de uitvoering van acties in elke volgorde mogelijk maken, wat voorwaarden schept voor de bewuste toepassing van de geleerde regels.

Wanneer we met verschillende uitdrukkingen werken, waaronder cijfers, letters en variabelen, moeten we veel rekenkundige bewerkingen uitvoeren. Wanneer we een transformatie uitvoeren of een waarde berekenen, is het erg belangrijk om de juiste volgorde van deze acties te volgen. Met andere woorden, rekenkundige bewerkingen hebben hun eigen speciale uitvoeringsvolgorde.

Yandex.RTB RA-339285-1

In dit artikel vertellen we u welke acties eerst moeten worden uitgevoerd en welke daarna. Laten we om te beginnen eens kijken naar een paar eenvoudige uitdrukkingen waarin er alleen variabelen of numerieke waarden zijn, evenals tekens van delen, vermenigvuldigen, aftrekken en optellen. Vervolgens nemen we de voorbeelden tussen haakjes en kijken in welke volgorde we ze moeten evalueren. In het derde deel zullen we de noodzakelijke volgorde van transformaties en berekeningen geven in die voorbeelden die tekens van wortels, krachten en andere functies bevatten.

Definitie 1

Bij uitdrukkingen zonder haakjes wordt de volgorde van handelingen eenduidig ​​bepaald:

1. Alle acties worden van links naar rechts uitgevoerd.
2. Allereerst doen we delen en vermenigvuldigen, en ten tweede doen we aftrekken en optellen.

De betekenis van deze regels is gemakkelijk te begrijpen. De traditionele volgorde van notatie van links naar rechts bepaalt de basisvolgorde van berekeningen, en de noodzaak om eerst te vermenigvuldigen of te delen wordt verklaard door de essentie van deze bewerkingen.

Laten we voor de duidelijkheid een paar taken nemen. We gebruikten alleen de eenvoudigste numerieke uitdrukkingen, zodat alle berekeningen in ons hoofd konden worden gedaan. Zo onthoud je snel de gewenste volgorde en check je snel de resultaten.

voorbeeld 1

Voorwaarde: bereken hoeveel zal zijn 7 − 3 + 6 .

Oplossing

Er zijn geen haakjes in onze uitdrukking, vermenigvuldigen en delen zijn ook afwezig, dus we voeren alle acties uit in de opgegeven volgorde. Trek eerst drie af van zeven, tel dan zes op bij de rest en eindig met tien. Hier is een verslag van de hele oplossing:

7 − 3 + 6 = 4 + 6 = 10

Antwoord geven: 7 − 3 + 6 = 10 .

Voorbeeld 2

Voorwaarde: in welke volgorde berekeningen in de uitdrukking moeten worden uitgevoerd 6: 2 8: 3?

Oplossing

Laten we, om deze vraag te beantwoorden, de eerder geformuleerde regel voor uitdrukkingen zonder haakjes opnieuw lezen. We hebben hier alleen vermenigvuldigen en delen, wat betekent dat we de geschreven volgorde van berekeningen behouden en opeenvolgend van links naar rechts tellen.

Antwoord geven: eerst delen we zes door twee, vermenigvuldigen het resultaat met acht en delen het resulterende getal door drie.

Voorbeeld 3

Voorwaarde: bereken hoeveel 17 - 5 6: 3 - 2 + 4: 2 zal zijn.

Oplossing

Laten we eerst de juiste volgorde van acties bepalen, aangezien we hier alle basistypen rekenkundige bewerkingen hebben - optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, delen. Het eerste wat we moeten doen is delen en vermenigvuldigen. Deze acties hebben geen prioriteit boven elkaar, daarom voeren we ze in de schriftelijke volgorde van rechts naar links uit. Dat wil zeggen, 5 moet worden vermenigvuldigd met 6 en krijg 30, dan 30 gedeeld door 3 en krijg 10. Daarna delen we 4 door 2, dat is 2. Laten we de gevonden waarden vervangen door de originele uitdrukking:

17 - 5 6: 3 - 2 + 4: 2 = 17 - 10 - 2 + 2

Er is geen deling of vermenigvuldiging meer, dus we doen de rest van de berekeningen op volgorde en krijgen het antwoord:

17 − 10 − 2 + 2 = 7 − 2 + 2 = 5 + 2 = 7

Antwoord geven:17 - 5 6: 3 - 2 + 4: 2 = 7.

Totdat de volgorde van het uitvoeren van acties goed is onthouden, kunt u getallen boven de tekens van rekenkundige bewerkingen plaatsen, wat de volgorde van berekening betekent. Voor het bovenstaande probleem kunnen we het bijvoorbeeld als volgt schrijven:

Als we letterlijke uitdrukkingen hebben, dan doen we daar hetzelfde mee: eerst vermenigvuldigen en delen, dan optellen en aftrekken.

Wat zijn de acties van de eerste en tweede fase?

Soms zijn in naslagwerken alle rekenkundige bewerkingen onderverdeeld in bewerkingen van de eerste en tweede fase. Laten we de vereiste definitie formuleren.

De acties van de eerste fase omvatten aftrekken en optellen, de tweede - vermenigvuldigen en delen.

Als we deze namen kennen, kunnen we de eerder gegeven regel met betrekking tot de volgorde van acties als volgt opschrijven:

definitie 2

In een uitdrukking die geen haakjes bevat, moet u eerst de acties van de tweede fase in de richting van links naar rechts uitvoeren en daarna de acties van de eerste fase (in dezelfde richting).

Evaluatievolgorde tussen uitdrukkingen tussen haakjes

De haakjes zelf zijn een teken dat ons de volgorde vertelt waarin we verder willen gaan. In dit geval kan de vereiste regel als volgt worden geschreven:

Definitie 3

Als er haakjes in de uitdrukking staan, is het eerste wat je moet doen erin te handelen, waarna we vermenigvuldigen en delen, en dan optellen en aftrekken van links naar rechts.

Wat betreft de uitdrukking tussen haakjes zelf, deze kan worden gezien als onderdeel van de hoofduitdrukking. Bij het berekenen van de waarde van de uitdrukking tussen haakjes, houden we dezelfde volgorde van acties aan die ons bekend zijn. Laten we onze gedachte illustreren met een voorbeeld.

Voorbeeld 4

Voorwaarde: bereken hoeveel zal zijn 5 + (7 - 2 3) (6 - 4): 2.

Oplossing

Deze uitdrukking bevat haakjes, dus laten we daarmee beginnen. De eerste stap is om te berekenen hoeveel 7 - 2 · 3 zal zijn. Hier moeten we 2 met 3 vermenigvuldigen en het resultaat van 7 aftrekken:

7 - 2 3 = 7 - 6 = 1

We tellen het resultaat tussen de tweede haakjes. Daar hebben we maar één actie: 6 − 4 = 2 .

Nu moeten we de resulterende waarden in de oorspronkelijke uitdrukking vervangen:

5 + (7 - 2 3) (6 - 4): 2 = 5 + 1 2: 2

Laten we beginnen met vermenigvuldigen en delen, dan aftrekken en krijgen:

5 + 1 2: 2 = 5 + 2: 2 = 5 + 1 = 6

Op dit punt kunnen de berekeningen worden voltooid.

Antwoord geven: 5 + (7 - 2 3) (6 - 4): 2 = 6.

Schrik niet als onze toestand een uitdrukking bevat waarin sommige haakjes andere omsluiten. We hoeven de bovenstaande regel alleen achtereenvolgens toe te passen op alle uitdrukkingen tussen haakjes. Laten we deze taak op ons nemen.

Voorbeeld 5

Voorwaarde: bereken hoeveel zal zijn 4 + (3 + 1 + 4 (2 + 3)).

Oplossing

We hebben haakjes tussen haakjes. We beginnen met 3 + 1 + 4 (2 + 3), namelijk 2 + 3. Dit wordt 5. De waarde moet in de uitdrukking worden vervangen en bereken dat 3 + 1 + 4 · 5. We herinneren ons dat we eerst moeten vermenigvuldigen en dan moeten toevoegen: 3 + 1 + 4 5 = 3 + 1 + 20 = 24... Door de gevonden waarden in de oorspronkelijke uitdrukking te vervangen, berekenen we het antwoord: 4 + 24 = 28 .

Antwoord geven: 4 + (3 + 1 + 4 (2 + 3)) = 28.

Met andere woorden, bij het evalueren van de waarde van een uitdrukking die haakjes tussen haakjes bevat, beginnen we met de binnenste haakjes en werken ons omhoog naar de buitenste.

Laten we zeggen dat we moeten vinden hoeveel (4 + (4 + (4 - 6: 2)) - 1) - 1. We beginnen met een uitdrukking tussen haakjes. Aangezien 4 - 6: 2 = 4 - 3 = 1, kan de oorspronkelijke uitdrukking worden geschreven als (4 + (4 + 1) - 1) - 1. Nogmaals verwijzend naar de binnenste haakjes: 4 + 1 = 5. We kwamen tot de uitdrukking (4 + 5 − 1) − 1 ... We tellen 4 + 5 − 1 = 8 en als resultaat krijgen we een verschil van 8 - 1, waarvan het resultaat 7 zal zijn.

Rekenvolgorde in uitdrukkingen met machten, wortels, logaritmen en andere functies

Als onze voorwaarde een uitdrukking bevat met een graad, wortel, logaritme of goniometrische functie (sinus, cosinus, tangens en cotangens) of andere functies, dan berekenen we eerst de waarde van de functie. Daarna handelen we volgens de regels die in de vorige paragrafen zijn vermeld. Met andere woorden, functies zijn even belangrijk als een uitdrukking tussen haakjes.

Laten we eens kijken naar een voorbeeld van zo'n berekening.

Voorbeeld 6

Voorwaarde: zoek uit hoeveel is (3 + 1) 2 + 6 2: 3 - 7.

Oplossing

We hebben een uitdrukking met een graad, waarvan de waarde eerst moet worden gevonden. We beschouwen: 6 2 = 36. Nu vervangen we het resultaat in de uitdrukking, waarna het de vorm krijgt (3 + 1) 2 + 36: 3 - 7.

(3 + 1) 2 + 36: 3 - 7 = 4 2 + 36: 3 - 7 = 8 + 12 - 7 = 13

Antwoord geven: (3 + 1) 2 + 6 2: 3 - 7 = 13.

In een apart artikel gewijd aan de berekening van de waarden van uitdrukkingen, geven we andere, meer complexe voorbeelden van berekeningen in het geval van uitdrukkingen met wortels, graden, enz. We raden u aan er vertrouwd mee te raken.

Als u een fout in de tekst opmerkt, selecteert u deze en drukt u op Ctrl + Enter

Deze les beschrijft in detail de volgorde van het uitvoeren van rekenkundige bewerkingen in uitdrukkingen zonder en met haakjes. De studenten krijgen de mogelijkheid om tijdens het maken van de opdrachten vast te stellen of de waarde van uitdrukkingen afhangt van de volgorde waarin rekenkundige bewerkingen worden uitgevoerd, na te gaan of de volgorde van rekenkundige bewerkingen in uitdrukkingen zonder haakjes en met haakjes anders is, om oefen het toepassen van de geleerde regel, om fouten te vinden en te corrigeren die zijn gemaakt bij het bepalen van de volgorde van acties.

In het leven voeren we constant alle acties uit: we lopen, studeren, lezen, schrijven, tellen, glimlachen, ruzie maken en vrede sluiten. Deze handelingen voeren we in een andere volgorde uit. Soms kunnen ze worden verwisseld en soms niet. Als u zich bijvoorbeeld 's ochtends klaarmaakt voor school, kunt u eerst oefeningen doen, daarna het bed opmaken of andersom. Maar je kunt niet eerst naar school en dan je kleren aandoen.

En is het in de wiskunde nodig om rekenkundige bewerkingen in een bepaalde volgorde uit te voeren?

Laten we het controleren

Laten we uitdrukkingen vergelijken:
8-3 + 4 en 8-3 + 4

We zien dat beide uitdrukkingen precies hetzelfde zijn.

Laten we acties in de ene uitdrukking van links naar rechts uitvoeren en in een andere van rechts naar links. Cijfers kunnen worden gebruikt om de volgorde van acties aan te geven (Fig. 1).

Rijst. 1. Werkwijze:

In de eerste uitdrukking zullen we eerst aftrekken en vervolgens 4 toevoegen aan het resultaat.

In de tweede uitdrukking vinden we eerst de waarde van de som en trekken vervolgens het resulterende resultaat 7 af van 8.

We zien dat de waarden van de uitdrukkingen verschillend zijn.

Laten we concluderen: de volgorde van het uitvoeren van rekenkundige bewerkingen kan niet worden gewijzigd.

Laten we de regel leren voor het uitvoeren van rekenkundige bewerkingen in uitdrukkingen zonder haakjes.

Als een uitdrukking zonder haakjes alleen optellen en aftrekken of alleen vermenigvuldigen en delen bevat, worden de acties uitgevoerd in de volgorde waarin ze zijn geschreven.

Laten we oefenen.

Overweeg de uitdrukking

In deze uitdrukking zijn er alleen optel- en aftrekacties. Deze acties heten eerste stap acties.

We voeren acties van links naar rechts in volgorde uit (Fig. 2).

Rijst. 2. Werkwijze:

Overweeg de tweede uitdrukking

In deze uitdrukking zijn er alleen vermenigvuldigings- en delingsacties - dit zijn de acties van de tweede fase.

We voeren acties van links naar rechts uit in volgorde (Fig. 3).

Rijst. 3. Werkwijze:

In welke volgorde worden rekenkundige bewerkingen uitgevoerd als de uitdrukking niet alleen optellen en aftrekken, maar ook vermenigvuldigen en delen bevat?

Als een uitdrukking zonder haakjes niet alleen optellen en aftrekken omvat, maar ook vermenigvuldigen en delen, of beide van deze acties, dan moet je eerst vermenigvuldigen en delen in volgorde (van links naar rechts), en dan optellen en aftrekken.

Denk aan de uitdrukking.

We redeneren zo. Deze uitdrukking bevat de bewerkingen optellen en aftrekken, vermenigvuldigen en delen. Wij handelen volgens de regel. Eerst doen we in volgorde (van links naar rechts) vermenigvuldigen en delen, en dan optellen en aftrekken. Laten we de volgorde van acties regelen.

Laten we de waarde van de uitdrukking berekenen.

18:2-2*3+12:3=9-6+4=3+4=7

In welke volgorde worden rekenkundige bewerkingen uitgevoerd als er haakjes in de uitdrukking staan?

Als de uitdrukking haakjes bevat, wordt eerst de waarde van de uitdrukkingen tussen haakjes berekend.

Denk aan de uitdrukking.

30 + 6 * (13 - 9)

We zien dat deze uitdrukking een actie tussen haakjes bevat, wat betekent dat we deze actie eerst uitvoeren, daarna in volgorde vermenigvuldigen en optellen. Laten we de volgorde van acties regelen.

30 + 6 * (13 - 9)

Laten we de waarde van de uitdrukking berekenen.

30+6*(13-9)=30+6*4=30+24=54

Hoe moet men redeneren om de volgorde van rekenkundige bewerkingen in een numerieke uitdrukking correct vast te stellen?

Voordat u doorgaat met de berekeningen, moet u de uitdrukking overwegen (uitzoeken of deze haakjes bevat, welke acties deze bevat) en pas daarna de acties in de volgende volgorde uitvoeren:

1. acties tussen haakjes;

2. vermenigvuldigen en delen;

3. optellen en aftrekken.

Het diagram helpt u deze eenvoudige regel te onthouden (Fig. 4).

Rijst. 4. Werkwijze:

Laten we oefenen.

Laten we naar de uitdrukkingen kijken, de volgorde van acties instellen en de berekeningen uitvoeren.

43 - (20 - 7) +15

32 + 9 * (19 - 16)

We zullen volgens de regel handelen. Uitdrukking 43 - (20 - 7) +15 bevat bewerkingen tussen haakjes, evenals optellen en aftrekken. Laten we de volgorde van acties bepalen. De eerste actie is om de actie tussen haakjes uit te voeren, en dan, in volgorde van links naar rechts, aftrekken en optellen.

43 - (20 - 7) +15 =43 - 13 +15 = 30 + 15 = 45

De uitdrukking 32 + 9 * (19 - 16) bevat acties tussen haakjes, evenals vermenigvuldigings- en optelacties. Volgens de regel voeren we eerst de actie tussen haakjes uit, daarna vermenigvuldigen (het getal 9 wordt vermenigvuldigd met het resultaat verkregen door aftrekken) en optellen.

32 + 9 * (19 - 16) =32 + 9 * 3 = 32 + 27 = 59

Er zijn geen haakjes in de uitdrukking 2 * 9-18: 3, maar er zijn bewerkingen van vermenigvuldigen, delen en aftrekken. Wij handelen volgens de regel. Laten we eerst vermenigvuldigen en delen van links naar rechts, en dan het resultaat van de deling aftrekken van het resultaat verkregen door te vermenigvuldigen. Dat wil zeggen, de eerste actie is vermenigvuldigen, de tweede is delen en de derde is aftrekken.

2*9-18:3=18-6=12

Laten we eens kijken of de volgorde van acties correct is gedefinieerd in de volgende uitdrukkingen.

37 + 9 - 6: 2 * 3 =

18: (11 - 5) + 47=

7 * 3 - (16 + 4)=

We redeneren zo.

37 + 9 - 6: 2 * 3 =

Er staan ​​geen haakjes in deze uitdrukking, wat betekent dat we eerst vermenigvuldigen of delen van links naar rechts en vervolgens optellen of aftrekken. In deze uitdrukking is de eerste actie delen, de tweede is vermenigvuldigen. De derde actie moet optellen zijn, de vierde is aftrekken. Conclusie: de volgorde van acties is correct gedefinieerd.

Laten we de waarde van deze uitdrukking zoeken.

37+9-6:2*3 =37+9-3*3=37+9-9=46-9=37

We redeneren verder.

De tweede uitdrukking bevat haakjes, wat betekent dat we eerst de actie tussen haakjes uitvoeren, daarna van links naar rechts vermenigvuldigen of delen, optellen of aftrekken. Controleer: de eerste actie staat tussen haakjes, de tweede is delen en de derde is optellen. Conclusie: de volgorde van acties is verkeerd gedefinieerd. Laten we de fouten oplossen, de waarde van de uitdrukking vinden.

18:(11-5)+47=18:6+47=3+47=50

Deze uitdrukking bevat ook haakjes, wat betekent dat we eerst de actie tussen haakjes uitvoeren, daarna van links naar rechts vermenigvuldigen of delen, optellen of aftrekken. Controleer: de eerste actie staat tussen haakjes, de tweede is vermenigvuldigen en de derde is aftrekken. Conclusie: de volgorde van acties is verkeerd gedefinieerd. Laten we de fouten oplossen, de waarde van de uitdrukking vinden.

7*3-(16+4)=7*3-20=21-20=1

Laten we de taak voltooien.

Laten we de volgorde van acties in de uitdrukking ordenen met behulp van de geleerde regel (Fig. 5).

Rijst. 5. Werkwijze:

We zien de numerieke waarden niet, dus we kunnen de betekenis van de uitdrukkingen niet vinden, maar we zullen oefenen met het toepassen van de geleerde regel.

We handelen volgens het algoritme.

De eerste uitdrukking bevat haakjes, dus de eerste actie staat tussen haakjes. Dan vermenigvuldigen en delen van links naar rechts, dan aftrekken en optellen van links naar rechts.

De tweede uitdrukking bevat ook haakjes, wat betekent dat de eerste actie tussen haakjes wordt uitgevoerd. Daarna, van links naar rechts, vermenigvuldigen en delen, daarna - aftrekken.

Laten we eens kijken (fig. 6).

Rijst. 6. Werkwijze:

Vandaag hebben we in de les kennis gemaakt met de regel van de volgorde van handelingen in uitdrukkingen zonder haakjes en met haakjes.

Bibliografie

1. MI. Moreau, MA Bantova en anderen Wiskunde: leerboek. Graad 3: in 2 delen, deel 1. - M.: "Onderwijs", 2012.
2. MI. Moreau, MA Bantova en anderen Wiskunde: leerboek. Graad 3: in 2 delen, deel 2. - M.: "Onderwijs", 2012.
3. MI. Moreau. Wiskundelessen: richtlijnen voor leraren. Graad 3. - M.: Onderwijs, 2012.
4. Normatief juridisch document. Monitoring en evaluatie van leerresultaten. - M.: "Onderwijs", 2011.
5. "School of Russia": programma's voor de basisschool. - M.: "Onderwijs", 2011.
6. SI. Volkova. Wiskunde: verificatiewerk. Graad 3. - M.: Onderwijs, 2012.
7. VN Rudnitskaja. Testen. - M.: "Examen", 2012.

1. Festival.1september.ru ().
2. Sosnovoborsk-soobchestva.ru ().
3. Openklasse.ru ().

Huiswerk

1. Bepaal de volgorde van acties in deze uitdrukkingen. Zoek de betekenis van uitdrukkingen.

2. Bepaal in welke uitdrukking deze volgorde van het uitvoeren van acties:

1. vermenigvuldiging; 2.divisie; 3. toevoeging; 4. aftrekken; 5.toevoeging. Zoek de betekenis van deze uitdrukking.

3. Verzin drie uitdrukkingen waarin de volgende volgorde van acties wordt uitgevoerd:

1. vermenigvuldiging; 2. toevoeging; 3. aftrekken

1.toevoeging; 2. aftrekken; 3.toevoeging

1. vermenigvuldiging; 2. verdeling; 3.toevoeging

Zoek de betekenis van deze uitdrukkingen.

De basisschool loopt op zijn einde, binnenkort stapt het kind in de diepere wereld van de wiskunde. Maar al tijdens deze periode wordt de student geconfronteerd met de moeilijkheden van de wetenschap. Bij het uitvoeren van een eenvoudige taak is het kind verward, verloren, wat leidt tot een negatief cijfer voor het uitgevoerde werk. Om dergelijke problemen te voorkomen, moet u bij het oplossen van voorbeelden kunnen navigeren in de volgorde waarin u het voorbeeld moet oplossen. Als het kind de acties onjuist heeft verdeeld, voert het de taak niet correct uit. Het artikel onthult de basisregels voor het oplossen van voorbeelden die het hele scala aan wiskundige berekeningen bevatten, inclusief haakjes. De volgorde van acties in de wiskunde Graad 4 regels en voorbeelden.

Vraag uw kind, voordat u de taak voltooit, de acties te nummeren die hij gaat uitvoeren. Als je problemen hebt - help.

Enkele regels die u moet volgen bij het oplossen van voorbeelden zonder haakjes:

Als een taak een reeks acties moet uitvoeren, moet u eerst deling of vermenigvuldiging uitvoeren. Alle acties worden uitgevoerd in de loop van de brief. Anders is het resultaat van de beslissing niet correct.

Als het voorbeeld moet worden uitgevoerd, voeren we het in volgorde uit, van links naar rechts.

27-5+15=37 (Bij het oplossen van het voorbeeld laten we ons leiden door de regel. Eerst doen we aftrekken, dan - optellen).

Leer uw kind om de uit te voeren activiteiten altijd te plannen en te nummeren.

De antwoorden op elke ondernomen actie staan ​​boven het voorbeeld vermeld. Het zal dus veel gemakkelijker zijn voor het kind om door de acties te navigeren.

Overweeg een andere optie waarbij het nodig is om de acties in volgorde te verdelen:

Zoals u kunt zien, werd bij het oplossen de regel in acht genomen, eerst zoeken we naar het product, dan - het verschil.

Dit zijn eenvoudige voorbeelden die zorgvuldige aandacht vereisen. Veel kinderen raken verdoofd bij het zien van een taak waarin niet alleen vermenigvuldiging en deling, maar ook haakjes zijn. Een leerling die de volgorde van het uitvoeren van handelingen niet kent, heeft vragen die de taak verstoren.

Zoals vermeld in de regel, vinden we eerst een werk of een bepaald werk, en dan al het andere. Maar er zijn haakjes! Hoe te handelen in dit geval?

Oplossingsvoorbeelden met haakjes

Laten we een specifiek voorbeeld bekijken:

• Bij het uitvoeren van deze taak vinden we eerst de waarde van de uitdrukking tussen haakjes.
• Je moet beginnen met vermenigvuldigen en dan optellen.
• Nadat de uitdrukking tussen haakjes is opgelost, gaan we verder met acties daarbuiten.
• Volgens het huishoudelijk reglement is de volgende stap vermenigvuldiging.
• De laatste fase zal zijn.

Zoals u in het illustratieve voorbeeld kunt zien, zijn alle acties genummerd. Om het onderwerp kracht bij te zetten, nodigt u uw kind uit om zelf een aantal voorbeelden op te lossen:

De volgorde waarin de waarde van de expressie moet worden geëvalueerd, is al aanwezig. Het kind hoeft de beslissing alleen maar rechtstreeks uit te voeren.

Laten we de taak ingewikkelder maken. Laat het kind zelf de betekenis van de uitdrukkingen opzoeken.

7*3-5*4+(20-19) 14+2*3-(13-9)
17+2*5+(28-2) 5*3+15-(2-1*2)
24-3*2-(56-4*3) 14+12-3*(21-7)

Leer uw kind alle opdrachten in conceptvorm op te lossen. In dit geval heeft de student de mogelijkheid om de verkeerde beslissing of blots te corrigeren. Correcties in de werkmap zijn niet toegestaan. Door zelf taken uit te voeren, zien kinderen hun fouten.

Ouders moeten op hun beurt aandacht besteden aan fouten, het kind helpen deze te begrijpen en te corrigeren. Belast het brein van de leerling niet met grote hoeveelheden taken. Door dergelijke acties ontmoedig je het verlangen van het kind naar kennis. Er moet in alles een gevoel voor verhoudingen zijn.

Neem een ​​pauze. Het kind moet worden afgeleid en rusten van activiteiten. Het belangrijkste om te onthouden is dat niet iedereen een wiskundige mentaliteit heeft. Misschien groeit er een beroemde filosoof uit je kind.

In de vijfde eeuw voor Christus formuleerde de oude Griekse filosoof Zeno van Elea zijn beroemde aporia's, waarvan de meest bekende de aporia "Achilles en de schildpad" is. Zo klinkt het:

Laten we zeggen dat Achilles tien keer sneller loopt dan een schildpad en duizend stappen achter hem loopt. Gedurende de tijd die Achilles nodig heeft om deze afstand af te leggen, kruipt de schildpad honderd stappen in dezelfde richting. Als Achilles honderd stappen heeft gelopen, kruipt de schildpad nog tien stappen, enzovoort. Het proces zal oneindig doorgaan, Achilles zal de schildpad nooit inhalen.

Deze redenering kwam als een logische schok voor alle volgende generaties. Aristoteles, Diogenes, Kant, Hegel, Hilbert ... Allemaal beschouwden ze op de een of andere manier Zeno's aporieën. De schok was zo sterk dat " ... de discussies gaan momenteel door, de wetenschappelijke gemeenschap is er nog niet in geslaagd om tot een gemeenschappelijke mening te komen over de essentie van paradoxen ... wiskundige analyse, verzamelingenleer, nieuwe fysieke en filosofische benaderingen waren betrokken bij de studie van het probleem ; geen van hen is een algemeen aanvaarde oplossing voor de vraag geworden ..."[Wikipedia," Zeno's Aporias "]. Iedereen begrijpt dat ze voor de gek worden gehouden, maar niemand begrijpt wat het bedrog is.

Vanuit het oogpunt van wiskunde toonde Zeno in zijn aporia duidelijk de overgang van grootte naar. Deze overgang impliceert toepassing in plaats van constanten. Voor zover ik begrijp, is het wiskundige apparaat voor het gebruik van variabele meeteenheden ofwel nog niet ontwikkeld, ofwel niet toegepast op Zeno's aporie. Het toepassen van onze gebruikelijke logica leidt ons in een val. Wij, door traagheid van denken, passen constante meeteenheden van tijd toe op het wederkerige. Fysiek gezien lijkt het op tijdsvertraging totdat het volledig stopt op het moment dat Achilles gelijk staat met de schildpad. Als de tijd stopt, kan Achilles de schildpad niet meer inhalen.

Als we de logica die we gewend zijn omdraaien, valt alles op zijn plaats. Achilles loopt met een constante snelheid. Elk volgend segment van zijn pad is tien keer korter dan het vorige. Dienovereenkomstig is de tijd die wordt besteed aan het overwinnen ervan tien keer minder dan de vorige. Als we in deze situatie het concept van 'oneindig' toepassen, zou het juist zijn om te zeggen: 'Achilles zal de schildpad oneindig snel inhalen'.

Hoe kunt u deze logische valkuil vermijden? Blijf in constante tijdseenheden en ga niet achteruit. In de taal van Zeno ziet het er als volgt uit:

Gedurende de tijd waarin Achilles duizend stappen zal rennen, kruipt de schildpad honderd stappen in dezelfde richting. In de volgende tijdspanne, gelijk aan de eerste, zal Achilles nog duizend stappen lopen en de schildpad honderd stappen. Achilles is nu achthonderd stappen voor op de schildpad.

Deze benadering beschrijft de werkelijkheid adequaat zonder enige logische paradox. Maar dit is geen volledige oplossing voor het probleem. Einsteins uitspraak over de onoverkomelijkheid van de lichtsnelheid lijkt sterk op de Zeno aporia "Achilles en de schildpad". We moeten dit probleem nog bestuderen, heroverwegen en oplossen. En de oplossing moet niet in oneindig grote aantallen worden gezocht, maar in meeteenheden.

Een andere interessante aporia Zeno vertelt over een vliegende pijl:

De vliegende pijl is bewegingloos, omdat hij op elk moment in rust is, en aangezien hij op elk moment in rust is, is hij altijd in rust.

In deze aporie wordt de logische paradox heel eenvoudig overwonnen - het is voldoende om te verduidelijken dat de vliegende pijl op elk moment op verschillende punten in de ruimte rust, wat in feite beweging is. Een ander punt moet hier worden opgemerkt. Van een enkele foto van een auto op de weg is het onmogelijk om het feit van zijn beweging of de afstand er toe te bepalen. Om het feit van de beweging van de auto te bepalen, zijn twee foto's nodig, genomen vanaf hetzelfde punt op verschillende tijdstippen, maar het is onmogelijk om de afstand ervan te bepalen. Om de afstand tot de auto te bepalen, heb je twee foto's nodig die tegelijkertijd vanaf verschillende punten in de ruimte zijn gemaakt, maar ze kunnen het feit van beweging niet bepalen (natuurlijk zijn er nog steeds aanvullende gegevens nodig voor berekeningen, trigonometrie zal je helpen). Waar ik speciaal de aandacht op wil vestigen, is dat twee punten in de tijd en twee punten in de ruimte verschillende dingen zijn die niet moeten worden verward, omdat ze verschillende mogelijkheden voor onderzoek bieden.

woensdag 4 juli 2018

Het onderscheid tussen set en multiset is zeer goed gedocumenteerd in Wikipedia. Wij kijken.

Zoals je kunt zien, "er kunnen geen twee identieke elementen in een set zijn", maar als er identieke elementen in een set zijn, wordt zo'n set een "multiset" genoemd. Een dergelijke logica van absurditeit zal nooit worden begrepen door rationele wezens. Dit is het niveau van pratende papegaaien en getrainde apen, die geen intelligentie hebben van het woord "volledig". Wiskundigen treden op als gewone trainers en prediken hun absurde ideeën aan ons.

Ooit zaten de ingenieurs die de brug bouwden in een boot onder de brug tijdens de tests van de brug. Als de brug instortte, stierf de incompetente ingenieur onder het puin van zijn creatie. Als de brug de belasting zou kunnen weerstaan, zou een getalenteerde ingenieur andere bruggen bouwen.

Hoe wiskundigen zich ook verschuilen achter de uitdrukking "chur, ik ben in huis", of beter gezegd "wiskunde bestudeert abstracte concepten", er is één navelstreng die hen onlosmakelijk met de werkelijkheid verbindt. Deze navelstreng is geld. Laten we de wiskundige verzamelingenleer toepassen op de wiskundigen zelf.

We hebben heel goed wiskunde gestudeerd en nu zitten we aan de kassa de salarissen uit te delen. Hier komt een wiskundige naar ons toe voor zijn geld. We tellen het hele bedrag bij hem en leggen op onze tafel in verschillende stapels, waarin we biljetten van dezelfde waarde leggen. Dan nemen we van elke stapel een rekening en overhandigen we de wiskundige zijn 'wiskundige set salaris'. Laten we de wiskunde uitleggen dat hij de rest van de rekeningen alleen ontvangt als hij bewijst dat een verzameling zonder identieke elementen niet gelijk is aan een verzameling met identieke elementen. Dit is waar het plezier begint.

Allereerst zal de logica van de afgevaardigden werken: "Je kunt het op anderen toepassen, je kunt het niet op mij toepassen!" Verder zullen we beginnen ons te verzekeren dat er verschillende bankbiljetnummers op biljetten van dezelfde denominatie staan, wat betekent dat ze niet als dezelfde elementen kunnen worden beschouwd. Oké, laten we het salaris in munten tellen - er staan ​​geen cijfers op de munten. Hier begint de wiskundige verwoed natuurkunde te onthouden: verschillende munten hebben verschillende hoeveelheden vuil, de kristalstructuur en rangschikking van atomen in elke munt is uniek ...

En nu heb ik de meest interessante vraag: waar is de grens waarachter de elementen van een multiset veranderen in elementen van een set en vice versa? Zo'n lijn bestaat niet - alles wordt bepaald door sjamanen, de wetenschap lag hier niet in de buurt.

Kijk hier. Wij selecteren voetbalstadions met hetzelfde veld. De oppervlakte van de velden is hetzelfde, wat betekent dat we een multiset hebben. Maar als we kijken naar de namen van dezelfde stadions, dan krijgen we veel, omdat de namen anders zijn. Zoals je kunt zien, is dezelfde set elementen tegelijkertijd zowel een set als een multiset. Hoe klopt het? En hier haalt de wiskundige-sjamaan-shuller een troef uit zijn mouw en begint ons te vertellen over de set of over de multiset. Hij zal ons in ieder geval overtuigen van zijn gelijk.

Om te begrijpen hoe moderne sjamanen werken met de verzamelingenleer en deze verbinden met de werkelijkheid, volstaat het om één vraag te beantwoorden: hoe verschillen de elementen van de ene verzameling van de elementen van een andere verzameling? Ik zal je laten zien, zonder enig "denkbaar als geen enkel geheel" of "niet denkbaar als geheel".

zondag 18 maart 2018

De som van de cijfers van het getal is een dans van sjamanen met een tamboerijn, die niets met wiskunde te maken heeft. Ja, in wiskundelessen wordt ons geleerd om de som van de cijfers van een getal te vinden en te gebruiken, maar daarom zijn ze sjamanen om hun nakomelingen hun vaardigheden en wijsheid te leren, anders zullen sjamanen gewoon uitsterven.

Bewijs nodig? Open Wikipedia en probeer de som van cijfers van een nummerpagina te vinden. Het bestaat niet. Er is geen formule in de wiskunde waarmee je de som van de cijfers van een willekeurig getal kunt vinden. Getallen zijn immers grafische symbolen waarmee we getallen schrijven en in de taal van de wiskunde klinkt de taak als volgt: "Zoek de som van grafische symbolen die een willekeurig getal vertegenwoordigen." Wiskundigen kunnen dit probleem niet oplossen, maar sjamanen - het is elementair.

Laten we eens kijken wat en hoe we doen om de som van de cijfers van een bepaald getal te vinden. En dus, laten we het nummer 12345 hebben. Wat moet er gebeuren om de som van de cijfers van dit nummer te vinden? Laten we alle stappen in volgorde doorlopen.

1. We schrijven het nummer op een stuk papier. Wat hebben we gedaan? We hebben het getal omgezet naar het grafische symbool van het getal. Dit is geen wiskundige bewerking.

2. We knippen een resulterende afbeelding in meerdere afbeeldingen met afzonderlijke nummers. Het knippen van een afbeelding is geen wiskundige bewerking.

3. Converteer individuele grafische symbolen naar cijfers. Dit is geen wiskundige bewerking.

4. Tel de resulterende getallen op. Dat is nou wiskunde.

De som van de cijfers van 12345 is 15. Dit zijn de "knip- en naaicursussen" van sjamanen die door wiskundigen worden gebruikt. Maar dat is niet alles.

Vanuit het oogpunt van wiskunde maakt het niet uit in welk getalsysteem we het getal schrijven. Dus in verschillende nummersystemen zal de som van de cijfers van hetzelfde nummer anders zijn. In de wiskunde wordt het getallenstelsel aangegeven als een subscript rechts van het getal. Met een groot nummer 12345 wil ik mijn hoofd niet voor de gek houden, denk aan het nummer 26 uit het artikel over. Laten we dit getal in binaire, octale, decimale en hexadecimale getalsystemen schrijven. We gaan niet elke stap onder een microscoop bekijken, dat hebben we al gedaan. Laten we het resultaat zien.

Zoals je kunt zien, is in verschillende getalsystemen de som van de cijfers van hetzelfde getal anders. Dit resultaat heeft niets met wiskunde te maken. Het is hetzelfde alsof je totaal andere resultaten zou krijgen bij het bepalen van de oppervlakte van een rechthoek in meters en centimeters.

Nul in alle getalsystemen ziet er hetzelfde uit en heeft geen som van cijfers. Dit is een ander argument voor het feit dat. Een vraag voor wiskundigen: hoe wordt iets dat geen getal is in de wiskunde aangeduid? Wat, voor wiskundigen, bestaat er niets anders dan getallen? Voor sjamanen kan ik dit toestaan, maar voor wetenschappers - nee. De werkelijkheid draait niet alleen om cijfers.

Het verkregen resultaat moet worden beschouwd als bewijs dat getalsystemen meeteenheden voor getallen zijn. We kunnen immers geen getallen vergelijken met verschillende meeteenheden. Als dezelfde acties met verschillende meeteenheden van dezelfde grootheid tot verschillende resultaten leiden na vergelijking, dan heeft dit niets met wiskunde te maken.

Wat is echte wiskunde? Dit is wanneer het resultaat van een wiskundige actie niet afhangt van de grootte van het getal, de gebruikte meeteenheid en van wie deze actie uitvoert.

Teken op de deur Opent de deur en zegt:

Au! Is dit geen damestoilet?
- Jonge vrouw! Dit is een laboratorium voor de studie van de willekeurige heiligheid van zielen tijdens de hemelvaart! Halo bovenop en pijl naar boven. Welk ander toilet?

Vrouw ... De nimbus hierboven en de pijl naar beneden is mannelijk.

Als een kunstwerk als dit meerdere keren per dag voor je ogen flitst,

Dan is het niet gek dat je ineens een vreemd icoontje aantreft in je auto:

Persoonlijk span ik me in om in een poepend persoon (één foto) min vier graden te zien (een samenstelling van meerdere afbeeldingen: een minteken, nummer vier, de aanduiding van graden). En ik denk niet dat dit meisje een dwaas is die geen natuurkunde kent. Ze heeft gewoon een stereotype van perceptie van grafische afbeeldingen. En wiskundigen leren ons dit constant. Hier is een voorbeeld.

1A is niet "min vier graden" of "één a". Dit is "poepman" of het getal "zesentwintig" in hexadecimale notatie. Die mensen die constant in dit cijfersysteem werken, zien het cijfer en de letter automatisch als één grafisch symbool.