Videoopplæring 2: Løse kvadratiske ligninger

Foredrag: Kvadratiske ligninger

Ligningen

Ligningen- Dette er en slags likhet, i uttrykkene som det er en variabel.

Løs ligningen- betyr å finne et slikt tall i stedet for en variabel som vil bringe det til riktig likhet.

En ligning kan ha én løsning, flere løsninger eller ingen løsning i det hele tatt.

For å løse en hvilken som helst ligning, bør den forenkles så mye som mulig til formen:

Lineær: a * x = b;

Torget: a * x 2 + b * x + c = 0.

Det vil si at enhver ligning må konverteres til et standardskjema før den løses.

Enhver ligning kan løses på to måter: analytisk og grafisk.

På grafen anses løsningen til ligningen å være punktene der grafen skjærer OX -aksen.

Kvadratiske ligninger

En ligning kan kalles firkantet hvis den, når den er forenklet, har formen:

a * x 2 + b * x + c = 0.

Hvori a, b, c er koeffisientene i ligningen som skiller seg fra null. EN "NS"- roten av ligningen. Det antas at en kvadratisk ligning har to røtter eller kanskje ikke har en løsning i det hele tatt. De resulterende røttene kan være de samme.

"en"- koeffisienten som står foran kvadratroten.

"b"- står foran det ukjente i første grad.

"med" er den frie termen i ligningen.

Hvis vi for eksempel har en ligning av formen:

2x 2 -5x + 3 = 0

I den er "2" koeffisienten ved det høyeste uttrykket i ligningen, "-5" er den andre koeffisienten, og "3" er den frie termen.

Løse en kvadratisk ligning

Det er mange måter å løse en kvadratisk ligning på. På skolematematikkkurset studeres imidlertid løsningen i henhold til Vietas teorem, samt bruk av diskriminanten.

Diskriminerende løsning:

Når du løser med denne metoden, er det nødvendig å beregne diskriminanten ved å bruke formelen:

Hvis du under beregningene får at diskriminanten er mindre enn null, betyr dette at denne ligningen ikke har noen løsninger.

Hvis diskriminanten er null, har ligningen to identiske løsninger. I dette tilfellet kan polynomet kollapses med formelen forkortet multiplikasjon til kvadratet av summen eller differansen. Løs det deretter som en lineær ligning. Eller bruk formelen:

Hvis diskriminanten er større enn null, må du bruke følgende metode:

Vietas teorem

Hvis ligningen reduseres, det vil si at koeffisienten ved ledeterminen er lik en, så kan du bruke Vietas teorem.

Så anta at ligningen er:

Røttene til ligningen er funnet som følger:

Ufullstendig kvadratisk ligning

Det er flere alternativer for å oppnå en ufullstendig kvadratisk ligning, hvis form avhenger av tilgjengeligheten av koeffisienter.

1. Hvis den andre og tredje koeffisienten er null (b = 0, c = 0), så vil den kvadratiske ligningen se slik ut:

Denne ligningen vil ha en unik løsning. Likhet vil bare være sant hvis det er null som en løsning på ligningen.

Kvadratisk ligning - lett å løse! * Videre i teksten "KU". Venner, det virker som om det kan være lettere i matematikk enn å løse en slik ligning. Men noe fortalte meg at mange har problemer med ham. Jeg bestemte meg for å se hvor mange visninger per måned Yandex. Her er hva som skjedde, ta en titt:

Hva betyr det? Dette betyr at rundt 70 000 mennesker i måneden leter etter denne informasjonen, og hva som vil skje i midten av studieåret - det vil komme dobbelt så mange forespørsler. Dette er ikke overraskende, for de gutta og jentene som ble uteksaminert fra skolen for lenge siden og forbereder seg til Unified State Exam leter etter denne informasjonen, og skolebarn prøver også å oppdatere den i minnet.

Til tross for at det er mange nettsteder som forteller deg hvordan du skal løse denne ligningen, bestemte jeg meg for å gjøre min del også og publisere materialet. For det første vil jeg at besøkende skal komme til nettstedet mitt for denne forespørselen; for det andre, i andre artikler, når "KU" -talen kommer, vil jeg gi en lenke til denne artikkelen; for det tredje vil jeg fortelle deg litt mer om løsningen hans enn det som vanligvis står på andre nettsteder. La oss komme i gang! Innholdet i artikkelen:

En kvadratisk ligning er en ligning av formen:

hvor koeffisientene a,bog med vilkårlige tall, med en ≠ 0.

I skolekurset er materialet gitt i følgende form - ligningene er betinget delt inn i tre klasser:

1. De har to røtter.

2. * Har bare en rot.

3. Har ingen røtter. Det er verdt å merke seg her at de ikke har gyldige røtter.

Hvordan beregnes røtter? Bare!

Vi beregner diskriminanten. Under dette "forferdelige" ordet ligger en ganske enkel formel:

Rotformlene er som følger:

* Du må kjenne disse formlene utenat.

Du kan umiddelbart skrive ned og bestemme:

Eksempel:

1. Hvis D> 0, har ligningen to røtter.

2. Hvis D = 0, har ligningen en rot.

3. Hvis D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

La oss se på ligningen:

I denne forbindelse, når diskriminanten er null, i skolekurset sies det at en rot er oppnådd, her er den lik ni. Alt er riktig, det er, men ...

Denne fremstillingen er noe feil. Faktisk er det to røtter. Ja, ikke bli overrasket, det viser seg to like røtter, og for å være matematisk nøyaktig, så skal svaret skrives to røtter:

x 1 = 3 x 2 = 3

Men dette er slik - en liten digresjon. På skolen kan du skrive ned og si at det er en rot.

Nå er det neste eksemplet:

Som vi vet, er roten til et negativt tall ikke trukket ut, så det er ingen løsning i dette tilfellet.

Det er hele løsningsprosessen.

Kvadratisk funksjon.

Slik ser løsningen ut geometrisk. Det er ekstremt viktig å forstå dette (i fremtiden vil vi i en av artiklene analysere løsningen på kvadratisk ulikhet i detalj).

Dette er en funksjon av skjemaet:

hvor x og y er variabler

a, b, c - gitte tall, med a ≠ 0

Grafen er en parabel:

Det vil si at det viser seg at ved å løse den kvadratiske ligningen med "y" lik null, finner vi skjæringspunktene til parabelen med okseaksen. Det kan være to av disse punktene (diskriminanten er positiv), ett (diskriminanten er null) og ingen (diskriminanten er negativ). Mer om den kvadratiske funksjonen Du kan se artikkel av Inna Feldman.

La oss se på noen eksempler:

Eksempel 1: Løs 2x 2 +8 x–192=0

a = 2 b = 8 c = –192

D = b 2 –4ac = 8 2 –4 ∙ 2 ∙ (–192) = 64 + 1536 = 1600

Svar: x 1 = 8 x 2 = –12

* Det var mulig å umiddelbart dele venstre og høyre side av ligningen med 2, det vil si for å forenkle den. Beregningene blir lettere.

Eksempel 2: Bestemme seg for x 2–22 x + 121 = 0

a = 1 b = –22 c = 121

D = b 2 –4ac = (- 22) 2 –4 ∙ 1 ∙ 121 = 484–484 = 0

Vi har det x 1 = 11 og x 2 = 11

I svaret er det tillatt å skrive x = 11.

Svar: x = 11

Eksempel 3: Bestemme seg for x 2 –8x + 72 = 0

a = 1 b = –8 c = 72

D = b 2 –4ac = (- 8) 2 –4 ∙ 1 ∙ 72 = 64–288 = –224

Diskriminanten er negativ, det er ingen løsning i reelle tall.

Svar: ingen løsning

Diskriminanten er negativ. Det er en løsning!

Her vil vi snakke om å løse ligningen i saken når en negativ diskriminant oppnås. Vet du noe om komplekse tall? Jeg vil ikke gå i detalj her om hvorfor og hvor de kom fra og hva deres spesifikke rolle og behov i matematikk er, dette er et tema for en stor egen artikkel.

Konseptet med et komplekst tall.

Litt teori.

Et komplekst tall z er et nummer av skjemaet

z = a + bi

hvor a og b er reelle tall, er i den såkalte imaginære enheten.

a + bi Er et ENKELT NUMMER, ikke tillegg.

Den imaginære enheten er lik roten til minus én:

Vurder nå ligningen:

Vi har to konjugerte røtter.

Ufullstendig kvadratisk ligning.

Vurder spesielle tilfeller, dette er når koeffisienten "b" eller "c" er lik null (eller begge er lik null). De løses enkelt uten diskriminanter.

Sak 1. Koeffisient b = 0.

Ligningen har formen:

La oss transformere:

Eksempel:

4x 2 –16 = 0 => 4x 2 = 16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = –2

Case 2. Koeffisient med = 0.

Ligningen har formen:

Vi transformerer, faktoriserer:

* Produktet er lik null når minst en av faktorene er lik null.

Eksempel:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x - 5) = 0 => x = 0 eller x - 5 = 0

x 1 = 0 x 2 = 5

Case 3. Koeffisienter b = 0 og c = 0.

Det er klart her at løsningen på ligningen alltid vil være x = 0.

Nyttige egenskaper og mønstre for koeffisienter.

Det er egenskaper som lar deg løse ligninger med store koeffisienter.

enx 2 + bx+ c=0 likestillingen holder

en + b+ c = 0, deretter

- hvis for koeffisientene i ligningen enx 2 + bx+ c=0 likestillingen holder

en+ c =b, deretter

Disse egenskapene hjelper til med å løse en bestemt form for ligning.

Eksempel 1: 5001 x 2 –4995 x – 6=0

Summen av oddsen er 5001+ ( – 4995)+(– 6) = 0, derfor

Eksempel 2: 2501 x 2 +2507 x+6=0

Likestilling er oppfylt en+ c =b, midler

Regelmessigheter for koeffisientene.

1. Hvis likningen ax 2 + bx + c = 0 er koeffisienten "b" lik (a 2 +1), og koeffisienten "c" er numerisk lik koeffisienten "a", så er røttene dens

øks 2 + (a 2 +1) ∙ х + а = 0 => х 1 = –а х 2 = –1 / a.

Eksempel. Vurder ligningen 6x 2 + 37x + 6 = 0.

x 1 = –6 x 2 = –1/6.

2. Hvis i ligningen ax 2 - bx + c = 0 er koeffisienten "b" lik (a 2 +1), og koeffisienten "c" er numerisk lik koeffisienten "a", så er dens røtter

øks 2 - (a 2 +1) ∙ x + a = 0 => x 1 = a x 2 = 1 / a.

Eksempel. Tenk på ligningen 15x 2 –226x +15 = 0.

x 1 = 15 x 2 = 1/15.

3. Hvis i ligningen aks 2 + bx - c = 0 koeffisient "b" er lik (a 2 - 1), og koeffisienten "c" numerisk lik koeffisienten "a", da er røttene like

аx 2 + (а 2 –1) ∙ х - а = 0 => х 1 = - а х 2 = 1 / a.

Eksempel. Tenk på ligningen 17x 2 + 288x - 17 = 0.

x 1 = - 17 x 2 = 1/17.

4. Hvis likningen ax 2 - bx - c = 0 er koeffisienten "b" lik (a 2 - 1), og koeffisienten c er numerisk lik koeffisienten "a", så er røttene like

аx 2 - (а 2 –1) ∙ х - а = 0 => х 1 = а х 2 = - 1 / a.

Eksempel. Tenk på ligningen 10x 2 - 99x –10 = 0.

x 1 = 10 x 2 = - 1/10

Vietas teorem.

Vietas teorem er oppkalt etter den berømte franske matematikeren François Vieta. Ved å bruke Vietas teorem kan vi uttrykke summen og produktet av røttene til et vilkårlig KE når det gjelder koeffisientene.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

Totalt gir tallet 14 bare 5 og 9. Dette er røttene. Med en viss ferdighet, ved å bruke den presenterte teoremet, kan du løse mange kvadratiske ligninger verbalt.

Vietas teorem, dessuten. praktisk ved at etter å ha løst den kvadratiske ligningen på vanlig måte (gjennom diskriminanten), kan de oppnådde røttene sjekkes. Jeg anbefaler å gjøre dette hele tiden.

OVERFØRINGSMETODE

Med denne metoden multipliseres koeffisienten "a" med den frie termen, som om den "kastes" til den, derfor kalles den ved "overførings" -metoden. Denne metoden brukes når du enkelt kan finne røttene til ligningen ved hjelp av Vietas teorem og, viktigst av alt, når diskriminanten er en eksakt firkant.

Hvis en± b + c≠ 0, så brukes overføringsteknikken, for eksempel:

2NS 2 – 11x + 5 = 0 (1) => NS 2 – 11x + 10 = 0 (2)

Ved Vietas teorem i ligning (2) er det lett å bestemme at x 1 = 10 x 2 = 1

De oppnådde røttene til ligningen må deles med 2 (siden to ble "kastet" fra x 2), får vi

x 1 = 5 x 2 = 0,5.

Hva er begrunnelsen? Se hva som skjer.

Diskriminantene i ligningene (1) og (2) er like:

Hvis du ser på røttene til ligningene, oppnås bare forskjellige nevnere, og resultatet avhenger nøyaktig av koeffisienten ved x 2:

De andre (modifiserte) røttene er 2 ganger større.

Derfor deler vi resultatet med 2.

* Hvis vi ruller en treer på nytt, deler vi resultatet med 3 osv.

Svar: x 1 = 5 x 2 = 0,5

Sq. ur-ye og eksamen.

Jeg vil si kort om dens betydning - DU MÅ KAN LØSE raskt og uten å nøle, formlene til røttene og diskriminanten må være kjent utenat. Mange oppgaver som er en del av USE -oppgavene, reduseres til å løse en kvadratisk ligning (inkludert geometriske).

Hva er verdt å merke seg!

1. Formen for å skrive ligningen kan være "implisitt". For eksempel er følgende oppføring mulig:

15+ 9x 2 - 45x = 0 eller 15x + 42 + 9x 2 - 45x = 0 eller 15 -5x + 10x 2 = 0.

Du må bringe den til et standardskjema (for ikke å bli forvirret når du løser).

2. Husk at x er en ukjent mengde, og den kan betegnes med en hvilken som helst annen bokstav - t, q, p, h og andre.

Første nivå

Kvadratiske ligninger. Omfattende guide (2019)

I begrepet "kvadratisk ligning" er nøkkelordet "kvadratisk". Dette betyr at ligningen må ha en variabel (samme x) i kvadrat, og det må ikke være x i tredje (eller større) grad.

Løsningen på mange ligninger reduseres til løsningen av kvadratiske ligninger.

La oss lære å bestemme at vi har en kvadratisk ligning, og ikke en annen.

Eksempel 1.

La oss kvitte nevneren og multiplisere hvert ledd i ligningen med

Flytt alt til venstre og ordne begrepene i synkende rekkefølge av grader på x

Nå kan vi trygt si at denne ligningen er kvadratisk!

Eksempel 2.

La oss multiplisere venstre og høyre side med:

Denne ligningen, selv om den opprinnelig var i den, er ikke firkantet!

Eksempel 3.

La oss multiplisere alt med:

Fryktelig? Fjerde og andre grad ... Men hvis vi gjør et substitusjon, vil vi se at vi har en enkel kvadratisk ligning:

Eksempel 4.

Det ser ut til å være der, men la oss se nærmere på. La oss flytte alt til venstre:

Du skjønner, det har krympet - og nå er det en enkel lineær ligning!

Prøv nå å bestemme selv hvilken av følgende ligninger som er kvadratisk og som ikke er:

Eksempler:

Svar:

1. torget;
2. torget;
3. ikke firkantet;
4. ikke firkantet;
5. ikke firkantet;
6. torget;
7. ikke firkantet;
8. torget.

Matematikere deler konvensjonelt alle kvadratiske ligninger i følgende form:

• Fullfør kvadratiske ligninger- ligninger der koeffisientene og, så vel som den frie termen med ikke er lik null (som i eksemplet). I tillegg er det blant de komplette kvadratiske ligningene gitt- dette er ligninger der koeffisienten (ligningen fra eksempel 1 ikke bare er fullstendig, men også redusert!)

• Ufullstendige kvadratiske ligninger- ligninger der koeffisienten og eller den frie termen c er lik null:

  De er ufullstendige, fordi de mangler noe element. Men ligningen må alltid ha x i kvadrat !!! Ellers vil det ikke lenger være et kvadrat, men en annen ligning.

Hvorfor kom du på en slik inndeling? Det ser ut til at det er en X i firkant, og ok. Denne inndelingen skyldes løsningsmetodene. La oss vurdere hver av dem mer detaljert.

Løse ufullstendige kvadratiske ligninger

La oss først fokusere på å løse ufullstendige kvadratiske ligninger - de er mye enklere!

Ufullstendige kvadratiske ligninger er av følgende typer:

1. , i denne ligningen er koeffisienten.
2. , i denne ligningen er den frie termen.
3. , i denne ligningen er koeffisienten og skjæringspunktet like.

1.og. Siden vi vet hvordan vi trekker ut kvadratroten, la oss uttrykke fra denne ligningen

Uttrykket kan enten være negativt eller positivt. Tallet i kvadrat kan ikke være negativt, for når du multipliserer to negative eller to positive tall, vil resultatet alltid være et positivt tall, så: hvis, så har ligningen ingen løsninger.

Og hvis, så får vi to røtter. Disse formlene trenger ikke å bli lagret utenat. Det viktigste er at du må vite og alltid huske at det ikke kan være mindre.

La oss prøve å løse noen få eksempler.

Eksempel 5:

Løs ligningen

Nå gjenstår det å trekke ut roten fra venstre og høyre side. Husker du hvordan du trekker ut røtter?

Svar:

Glem aldri negative røtter !!!

Eksempel 6:

Løs ligningen

Svar:

Eksempel 7:

Løs ligningen

Au! Kvadraten til et tall kan ikke være negativ, noe som betyr at ligningen

ingen røtter!

For ligninger som ikke har røtter, har matematikere kommet med et spesielt ikon - (tomt sett). Og svaret kan skrives slik:

Svar:

Dermed har denne kvadratiske ligningen to røtter. Det er ingen begrensninger her, siden vi ikke hentet roten.
Eksempel 8:

Løs ligningen

La oss ta den felles faktoren ut av parentesene:

Og dermed,

Denne ligningen har to røtter.

Svar:

Den enkleste typen ufullstendige kvadratiske ligninger (selv om de alle er enkle, ikke sant?). Denne ligningen har åpenbart alltid bare en rot:

Vi klarer oss uten eksempler her.

Løse komplette kvadratiske ligninger

Vi minner deg om at en fullstendig kvadratisk ligning er en ligning av formlikningen hvor

Å løse komplette kvadratiske ligninger er litt vanskeligere (bare litt) enn de som er gitt.

Huske, enhver kvadratisk ligning kan løses ved hjelp av diskriminanten! Til og med ufullstendig.

Resten av metodene vil hjelpe deg med å gjøre dette raskere, men hvis du har problemer med kvadratiske ligninger, må du først lære løsningen ved å bruke diskriminanten.

1. Løse kvadratiske ligninger ved hjelp av diskriminanten.

Å løse kvadratiske ligninger på denne måten er veldig enkelt, det viktigste er å huske rekkefølgen av handlinger og et par formler.

Hvis, da har ligningen en rot Du må være spesielt oppmerksom på trinnet. Diskriminanten () angir for oss antall røtter i ligningen.

• Hvis formelen i trinn vil bli redusert til. Dermed vil ligningen ha hele roten.
• Hvis, så vil vi ikke kunne trekke ut roten fra diskriminanten på trinnet. Dette indikerer at ligningen ikke har røtter.

La oss gå tilbake til våre ligninger og se på noen eksempler.

Eksempel 9:

Løs ligningen

Trinn 1 hoppe over.

Steg 2.

Vi finner den diskriminerende:

Så ligningen har to røtter.

Trinn 3.

Svar:

Eksempel 10:

Løs ligningen

Ligningen presenteres derfor i standardformen Trinn 1 hoppe over.

Steg 2.

Vi finner den diskriminerende:

Så ligningen har en rot.

Svar:

Eksempel 11:

Løs ligningen

Ligningen presenteres derfor i standardformen Trinn 1 hoppe over.

Steg 2.

Vi finner den diskriminerende:

Derfor vil vi ikke kunne trekke ut roten fra diskriminanten. Det er ingen røtter til ligningen.

Nå vet vi hvordan vi skal skrive ned slike svar riktig.

Svar: Ingen røtter

2. Løse kvadratiske ligninger ved hjelp av Vietas teorem.

Hvis du husker det, er det denne typen ligninger som kalles redusert (når koeffisienten a er lik):

Slike ligninger er veldig enkle å løse ved hjelp av Vietas teorem:

Summen av røtter gitt den kvadratiske ligningen er lik, og produktet av røttene er lik.

Eksempel 12:

Løs ligningen

Denne ligningen er egnet for å løse ved hjelp av Vietas teorem, siden ...

Summen av røttene til ligningen er, dvs. vi får den første ligningen:

Og produktet er lik:

La oss komponere og løse systemet:

• og. Mengden er lik;
• og. Mengden er lik;
• og. Beløpet er likt.

og er løsningen på systemet:

Svar: ; .

Eksempel 13:

Løs ligningen

Svar:

Eksempel 14:

Løs ligningen

Ligningen er redusert, noe som betyr:

Svar:

KVADRATISKE LIKNINGER. GJENNOMSNITTLIG NIVÅ

Hva er en kvadratisk ligning?

Med andre ord er en kvadratisk ligning en ligning av formen, hvor er det ukjente, er noen tall og.

Tallet kalles det eldste eller første odds kvadratisk ligning, - andre koeffisient, en - gratis medlem.

Hvorfor? Fordi hvis, vil ligningen umiddelbart bli lineær, fordi forsvinne.

Videre, og kan være lik null. I denne stolen kalles ligningen ufullstendig. Hvis alle vilkårene er på plass, det vil si at ligningen er fullført.

Løsninger på ulike typer kvadratiske ligninger

Metoder for å løse ufullstendige kvadratiske ligninger:

Til å begynne med vil vi analysere metodene for å løse ufullstendige kvadratiske ligninger - de er enklere.

Følgende typer ligninger kan skilles:

I., i denne ligningen er koeffisienten og skjæringspunktet like.

II. , i denne ligningen er koeffisienten.

III. , i denne ligningen er den frie termen.

La oss nå se på en løsning på hver av disse undertyper.

Denne ligningen har åpenbart alltid bare en rot:

Et firkantet tall kan ikke være negativt, for når du multipliserer to negative eller to positive tall, vil resultatet alltid være et positivt tall. Derfor:

hvis, så har ligningen ingen løsninger;

hvis vi har to røtter

Disse formlene trenger ikke lagres utenat. Det viktigste å huske er at det ikke kan være mindre.

Eksempler:

Løsninger:

Svar:

Glem aldri negative røtter!

Kvadraten til et tall kan ikke være negativ, noe som betyr at ligningen

ingen røtter.

For å kort registrere at problemet ikke har noen løsninger, bruker vi ikonet for tomt sett.

Svar:

Så denne ligningen har to røtter: og.

Svar:

Trekk den felles faktoren ut av parentesene:

Produktet er lik null hvis minst en av faktorene er lik null. Dette betyr at ligningen har en løsning når:

Så denne kvadratiske ligningen har to røtter: og.

Eksempel:

Løs ligningen.

Løsning:

Faktor venstre side av ligningen og finn røttene:

Svar:

Metoder for å løse komplette kvadratiske ligninger:

1. Diskriminerende

Å løse kvadratiske ligninger på denne måten er enkelt, det viktigste er å huske rekkefølgen av handlinger og et par formler. Husk at enhver kvadratisk ligning kan løses ved hjelp av diskriminanten! Til og med ufullstendig.

Har du lagt merke til roten til diskriminanten i rotformelen? Men diskriminanten kan være negativ. Hva å gjøre? Det er nødvendig å være spesielt oppmerksom på trinn 2. Diskriminanten angir for oss antall røtter i ligningen.

• Hvis, så har ligningen en rot:
• Hvis ligningen har samme rot, men faktisk en rot:

  Slike røtter kalles dobbeltrøtter.

• Hvis, så blir ikke roten til diskriminereren trukket ut. Dette indikerer at ligningen ikke har røtter.

Hvorfor er det et annet antall røtter? La oss gå til den geometriske betydningen av den kvadratiske ligningen. Funksjonsgrafen er en parabel:

I det spesielle tilfellet, som er en kvadratisk ligning. Og dette betyr at røttene til den kvadratiske ligningen er skjæringspunktene med abscisseaksen (aksen). Parabolen kan ikke krysse aksen i det hele tatt, eller skjære den på en (når toppunktet til parabolen ligger på aksen) eller to punkter.

I tillegg er koeffisienten ansvarlig for retningen av grenene på parabolen. Hvis, så er grenene på parabolen rettet oppover, og hvis - så nedover.

Eksempler:

Løsninger:

Svar:

Svar: .

Svar:

Så det er ingen løsninger.

Svar: .

2. Vietas teorem

Det er veldig enkelt å bruke Vietas teorem: du trenger bare å velge et par tall, hvis produkt er lik den frie termen i ligningen, og summen er den andre koeffisienten, tatt med det motsatte tegnet.

Det er viktig å huske at Vietas teorem bare kan brukes i reduserte kvadratiske ligninger ().

La oss se på noen eksempler:

Eksempel # 1:

Løs ligningen.

Løsning:

Denne ligningen er egnet for å løse ved hjelp av Vietas teorem siden ... Andre koeffisienter :; ...

Summen av røttene til ligningen er:

Og produktet er lik:

La oss plukke opp slike par med tall, hvis produkt er lik, og sjekke om summen deres er lik:

• og. Mengden er lik;
• og. Mengden er lik;
• og. Beløpet er likt.

og er løsningen på systemet:

Dermed, og er røttene til vår ligning.

Svar: ; ...

Eksempel 2:

Løsning:

La oss velge slike par tall som gir i produktet, og deretter sjekke om summen er lik:

og: legg til.

og: legg til. For å få det er det nok bare å endre tegnene på de påståtte røttene: og tross alt arbeidet.

Svar:

Eksempel 3:

Løsning:

Den frie termen i ligningen er negativ, noe som betyr at produktet av røttene er et negativt tall. Dette er bare mulig hvis en av røttene er negativ og den andre er positiv. Derfor er summen av røttene forskjellen på modulene.

La oss velge slike tallpar som gir i produktet, og forskjellen som er lik:

og: forskjellen er lik - passer ikke;

og: - passer ikke;

og: - passer ikke;

og: - passer. Det gjenstår bare å huske at en av røttene er negativ. Siden summen må være lik, må roten være negativ i absolutt verdi :. Vi sjekker:

Svar:

Eksempel # 4:

Løs ligningen.

Løsning:

Ligningen er redusert, noe som betyr:

Den frie termen er negativ, noe som betyr at produktet av røttene er negativt. Og dette er bare mulig når den ene roten av ligningen er negativ og den andre er positiv.

La oss velge slike tallpar, hvis produkt er lik, og deretter bestemme hvilke røtter som skal ha et negativt tegn:

Tydeligvis er det bare røttene som er egnet for den første tilstanden:

Svar:

Eksempel # 5:

Løs ligningen.

Løsning:

Ligningen er redusert, noe som betyr:

Summen av røttene er negativ, noe som betyr at minst en av røttene er negativ. Men siden produktet er positivt, er begge røttene med et minustegn.

La oss velge slike par med tall, hvis produkt er lik:

Tydeligvis er tallene og røttene.

Svar:

Enig, det er veldig praktisk å komme med røtter muntlig, i stedet for å telle denne ekle diskriminanten. Prøv å bruke Vietas teorem så ofte som mulig.

Men Vietas teorem er nødvendig for å lette og fremskynde funnet av røtter. For å bruke det lønnsomt må du bringe handlingene til automatisme. Og for dette, bestem deg for fem eksempler til. Men ikke juks: du kan ikke bruke den diskriminerende! Bare Vietas teorem:

Løsninger for oppgaver for selvstendig arbeid:

Oppgave 1. ((x) ^ (2)) - 8x + 12 = 0

Etter Vietas teorem:

Som vanlig starter vi utvalget med et stykke:

Ikke egnet, siden mengden;

: beløpet er det du trenger.

Svar: ; ...

Oppgave 2.

Og igjen, vår favoritt Vieta -setning: summen skal regne ut, men produktet er likt.

Men siden det ikke burde være det, men endrer vi tegn på røttene: og (totalt).

Svar: ; ...

Oppgave 3.

Hmm ... hvor er det?

Det er nødvendig å overføre alle vilkårene til en del:

Summen av røttene er lik produktet.

Så stopp! Ligningen er ikke gitt. Men Vietas teorem gjelder bare i ligningene ovenfor. Så først må du ta med ligningen. Hvis du ikke kan ta det opp, slipp dette prosjektet og løs det på en annen måte (for eksempel gjennom diskriminanten). La meg minne deg på at å bringe en kvadratisk ligning betyr å gjøre den ledende koeffisienten lik:

Fint. Da er summen av røttene lik, og produktet.

Det er lett å hente her: tross alt - et primtall (beklager tautologien).

Svar: ; ...

Oppgave 4.

Fritiden er negativ. Hva er så spesielt med det? Og det faktum at røttene vil ha forskjellige tegn. Og nå, under utvalget, sjekker vi ikke summen av røttene, men forskjellen på modulene deres: denne forskjellen er lik, men produktet.

Så røttene er like og, men en av dem er med minus. Vietas teorem forteller oss at summen av røttene er lik den andre koeffisienten med det motsatte tegnet, det vil si. Dette betyr at den mindre roten vil ha et minus: og siden.

Svar: ; ...

Oppgave 5.

Hva er det første du må gjøre? Det er riktig, gi ligningen:

Igjen: vi velger faktorene til tallet, og forskjellen skal være:

Røttene er like og, men en av dem er med minus. Hvilken? Summen deres skal være lik, noe som betyr at med et minus vil det være en større rot.

Svar: ; ...

Å oppsummere:

1. Vietas teorem brukes bare i de gitte kvadratiske ligningene.
2. Ved å bruke Vietas teorem kan du finne røttene ved seleksjon, muntlig.
3. Hvis ligningen ikke er gitt, eller det ikke er et enkelt passende par frittstående multiplikatorer, er det ingen hele røtter, og du må løse på en annen måte (for eksempel gjennom diskriminanten).

3. Metode for valg av et komplett kvadrat

Hvis alle begrepene som inneholder det ukjente er representert i form av termer fra de forkortede formler for multiplikasjon - kvadratet til summen eller differansen - så kan ligningen etter endring av variablene bli representert som en ufullstendig kvadratisk ligning av typen.

For eksempel:

Eksempel 1:

Løs ligningen :.

Løsning:

Svar:

Eksempel 2:

Løs ligningen :.

Løsning:

Svar:

Generelt vil transformasjonen se slik ut:

Dette medfører: .

Ser det ikke ut som noe? Dette er en diskriminant! Det er riktig, vi har den diskriminerende formelen.

KVADRATISKE LIKNINGER. KORT OM HOVEDET

Kvadratisk ligning er en ligning av formen, hvor er det ukjente, er koeffisientene til den kvadratiske ligningen, er den frie termen.

Full kvadratisk ligning- en ligning der koeffisientene ikke er lik null.

Redusert kvadratisk ligning- en ligning der koeffisienten, det vil si :.

Ufullstendig kvadratisk ligning- en ligning der koeffisienten og eller den frie termen c er lik null:

• hvis koeffisienten, har ligningen formen :,
• hvis den frie termen, har ligningen formen :,
• hvis og, har ligningen formen :.

1. Algoritme for å løse ufullstendige kvadratiske ligninger

1.1. Ufullstendig kvadratisk ligning av skjemaet, hvor ,:

1) La oss uttrykke det ukjente :,

2) Kontroller tegnet på uttrykket:

• hvis, så har ligningen ingen løsninger,
• hvis, så har ligningen to røtter.

1.2. Ufullstendig kvadratisk ligning av skjemaet, hvor ,:

1) Trekk den vanlige faktoren ut av brakettene:

2) Produktet er lik null hvis minst en av faktorene er lik null. Derfor har ligningen to røtter:

1.3. Ufullstendig kvadratisk ligning av skjemaet, hvor:

Denne ligningen har alltid bare en rot :.

2. Algoritme for å løse komplette kvadratiske ligninger av skjemaet hvor

2.1. Diskriminerende løsning

1) La oss bringe ligningen til standardformen:

2) Vi beregner diskriminanten med formelen :, som angir antall røtter i ligningen:

3) Finn røttene til ligningen:

• hvis, så har ligningen røtter, som finnes av formelen:
• hvis, så har ligningen en rot, som finnes av formelen:
• hvis, så har ligningen ingen røtter.

2.2. Løsning ved hjelp av Vietas teorem

Summen av røttene til den reduserte kvadratiske ligningen (formelenes ligninger, hvor) er lik, og produktet av røttene er lik, dvs. , a.

2.3. Komplett kvadratisk løsning

Bare. I henhold til formler og klare, enkle regler. I første etappe

det er nødvendig å bringe den gitte ligningen til en standardform, dvs. å se:

Hvis ligningen allerede er gitt deg i dette skjemaet, trenger du ikke å gjøre det første trinnet. Det viktigste er riktig

bestemme alle koeffisientene, en, b og c.

Formel for å finne røttene til en kvadratisk ligning.

Et uttrykk under rottegnet kalles diskriminerende ... Som du kan se, for å finne x, vi

bruk bare a, b og c. De. koeffisienter fra kvadratisk ligning... Bare bytt forsiktig ut

betydning a, b og c inn i denne formelen og telle. Erstatter med av deres tegn!

For eksempel, i ligningen:

en =1; b = 3; c = -4.

Erstatt verdiene og skriv:

Eksemplet er nesten løst:

Dette er svaret.

De vanligste feilene er forvirring med betydningstegn. a, b og med... Snarere med substitusjonen

negative verdier i formelen for å beregne røttene. Her lagres en detaljert notasjon av formelen

med spesifikke tall. Hvis du har beregningsproblemer, gjør det!

Anta at du må løse dette eksemplet:

Her en = -6; b = -5; c = -1

Vi maler alt i detalj, nøye, uten å gå glipp av noe med alle skiltene og parentesene:

Kvadratiske ligninger ser ofte litt annerledes ut. For eksempel, slik:

Vær foreløpig oppmerksom på de beste fremgangsmåtene som vil redusere feil drastisk.

Første mottakelse... Ikke vær lat før løsning av den kvadratiske ligningen bringe den til standardform.

Hva betyr dette?

La oss si at etter noen transformasjoner har du følgende ligning:

Ikke hastverk med å skrive rotformelen! Du vil nesten helt sikkert blande oddsen. a, b og c.

Bygg eksemplet riktig. Først er X kvadrert, deretter uten kvadratet, deretter den frie termen. Som dette:

Bli kvitt minuset. Hvordan? Du må multiplisere hele ligningen med -1. Vi får:

Men nå kan du trygt skrive ned formelen for røttene, beregne den diskriminerende og fullføre eksemplet.

Gjør det selv. Du bør ha røttene 2 og -1.

Mottak av den andre. Sjekk røttene! Av Vietas teorem.

For å løse de gitte kvadratiske ligningene, dvs. hvis koeffisienten

x 2 + bx + c = 0,

deretterx 1 x 2 = c

x 1 + x 2 = -b

For en komplett kvadratisk ligning der a ≠ 1:

x 2 +bx +c=0,

dele hele ligningen med en:

→ →

hvor x 1 og x 2 - røttene til ligningen.

Mottakelse tredje... Hvis du har fraksjonskoeffisienter i ligningen din, bli kvitt brøk! Multiplisere

fellesnevnerligning.

Produksjon. Praktiske råd:

1. Før vi løser, bringer vi den kvadratiske ligningen til standardformen, bygger den Ikke sant.

2. Hvis det er en negativ koeffisient foran x i firkanten, eliminerer vi den ved å multiplisere totalen

likninger med -1.

3. Hvis koeffisientene er brøk, eliminerer vi brøkene ved å multiplisere hele ligningen med den tilsvarende

faktor.

4. Hvis x i kvadrat er ren, er koeffisienten det lik en, løsningen kan enkelt kontrolleres av

Kvadratiske ligninger studeres i klasse 8, så det er ikke noe komplisert her. Evnen til å løse dem er helt avgjørende.

En kvadratisk ligning er en ligning av formen ax 2 + bx + c = 0, der koeffisientene a, b og c er vilkårlige tall, og a ≠ 0.

Før vi studerer spesifikke metoder for å løse, bemerker vi at alle kvadratiske ligninger betinget kan deles inn i tre klasser:

1. Har ingen røtter;
2. Har nøyaktig en rot;
3. De har to forskjellige røtter.

Dette er en viktig forskjell mellom kvadratiske og lineære ligninger, der roten alltid eksisterer og er unik. Hvordan bestemmer du hvor mange røtter en ligning har? Det er en fantastisk ting for dette - diskriminerende.

Diskriminerende

La den kvadratiske ligningen ax 2 + bx + c = 0. Da er diskriminanten bare tallet D = b 2 - 4ac.

Du må kjenne denne formelen utenat. Hvor det kommer fra - det spiller ingen rolle nå. En annen ting er viktig: Med tegnet til diskriminanten kan du bestemme hvor mange røtter en kvadratisk ligning har. Nemlig:

1. Hvis D< 0, корней нет;
2. Hvis D = 0, er det nøyaktig en rot;
3. Hvis D> 0, vil det være to røtter.

Vær oppmerksom på at diskriminanten angir antall røtter, og ikke i det hele tatt deres tegn, som av en eller annen grunn mange tror. Ta en titt på eksemplene - og du vil selv forstå alt:

Oppgave. Hvor mange røtter har kvadratiske ligninger:

1. x 2 - 8x + 12 = 0;
2. 5x 2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 - 6x + 9 = 0.

La oss skrive ned koeffisientene for den første ligningen og finne diskriminanten:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 - 4 1 12 = 64 - 48 = 16

Så diskriminanten er positiv, så ligningen har to forskjellige røtter. Vi analyserer den andre ligningen på en lignende måte:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 - 4 5 7 = 9 - 140 = −131.

Diskriminanten er negativ, det er ingen røtter. Den siste ligningen gjenstår:
a = 1; b = −6; c = 9;
D = (−6) 2 - 4 1 9 = 36 - 36 = 0.

Den diskriminerende er null - det vil være en rot.

Vær oppmerksom på at koeffisienter er skrevet for hver ligning. Ja, det er langt, ja, det er kjedelig - men du vil ikke blande sammen koeffisientene og ikke gjøre dumme feil. Velg selv: hastighet eller kvalitet.

Forresten, hvis du "fyller hånden", trenger du etter en stund ikke lenger å skrive ut alle koeffisientene. Du vil utføre slike operasjoner i hodet ditt. De fleste begynner å gjøre dette et sted etter at 50-70 ligninger er løst - generelt sett ikke så mye.

Kvadratiske røtter

La oss nå gå videre til løsningen. Hvis den diskriminerende D> 0, kan røttene finnes ved formlene:

Grunnleggende formel for røttene til en kvadratisk ligning

Når D = 0, kan du bruke hvilken som helst av disse formlene - du får det samme tallet, som blir svaret. Til slutt, hvis D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 - 2x - 3 = 0;
2. 15 - 2x - x 2 = 0;
3. x 2 + 12x + 36 = 0.

Første ligning:
x 2 - 2x - 3 = 0 ⇒ a = 1; b = -2; c = -3;
D = (−2) 2 - 4 1 (−3) = 16.

D> 0 ⇒ ligningen har to røtter. La oss finne dem:

Andre ligning:
15 - 2x - x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = -2; c = 15;
D = (−2) 2 - 4 (−1) 15 = 64.

D> 0 ⇒ ligningen har to røtter igjen. La oss finne dem

\ [\ begin (align) & ((x) _ (1)) = \ frac (2+ \ sqrt (64)) (2 \ cdot \ left (-1 \ right)) = - 5; \\ & ((x) _ (2)) = \ frac (2- \ sqrt (64)) (2 \ cdot \ venstre (-1 \ høyre)) = 3. \\ \ ende (juster) \]

Til slutt, den tredje ligningen:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 - 4 · 1 · 36 = 0.

D = 0 ⇒ ligningen har en rot. Enhver formel kan brukes. For eksempel den første:

Som du kan se fra eksemplene, er alt veldig enkelt. Hvis du kjenner formlene og kan telle, blir det ingen problemer. Oftest oppstår det feil når negative koeffisienter erstattes i formelen. Her vil teknikken beskrevet ovenfor hjelpe igjen: se på formelen bokstavelig talt, beskriv hvert trinn - og snart blir du kvitt feil.

Ufullstendige kvadratiske ligninger

Det hender at den kvadratiske ligningen er noe annerledes enn det som er gitt i definisjonen. For eksempel:

1. x 2 + 9x = 0;
2. x 2 - 16 = 0.

Det er lett å se at et av begrepene mangler i disse ligningene. Slike kvadratiske ligninger er enda enklere å løse enn vanlige: de trenger ikke engang å beregne diskriminanten. Så la oss introdusere et nytt konsept:

Likningen ax 2 + bx + c = 0 kalles en ufullstendig kvadratisk ligning hvis b = 0 eller c = 0, dvs. koeffisienten ved variabel x eller ledig element er lik null.

Selvfølgelig er et veldig vanskelig tilfelle mulig når begge disse koeffisientene er lik null: b = c = 0. I dette tilfellet har ligningen formen ax 2 = 0. Tydeligvis har en slik ligning en enkelt rot: x = 0.

La oss vurdere resten av sakene. La b = 0, så får vi en ufullstendig kvadratisk ligning av formen ax 2 + c = 0. La oss transformere det litt:

Siden den aritmetiske kvadratroten bare eksisterer fra et ikke-negativt tall, er den siste likheten bare fornuftig for (−c / a) ≥ 0. Konklusjon:

1. Hvis ulikheten (−c / a) ≥ 0 inneholder en ufullstendig kvadratisk ligning av formen ax 2 + c = 0, vil det være to røtter. Formelen er gitt ovenfor;
2. Hvis (−c / a)< 0, корней нет.

Som du kan se, var ikke diskriminanten nødvendig - i ufullstendige kvadratiske ligninger er det ingen kompliserte beregninger i det hele tatt. Faktisk er det ikke engang nødvendig å huske ulikheten (−c / a) ≥ 0. Det er nok å uttrykke verdien x 2 og se hva som står på den andre siden av likhetstegnet. Hvis det er et positivt tall, vil det være to røtter. Hvis det er negativt, vil det ikke være noen røtter i det hele tatt.

La oss nå håndtere ligninger med formen ax 2 + bx = 0, der det frie elementet er lik null. Alt er enkelt her: det vil alltid være to røtter. Det er nok til å regne ut polynomet:

Bracketing er en felles faktor

Produktet er null når minst en av faktorene er null. Herfra er røttene. Avslutningsvis vil vi analysere flere slike ligninger:

Oppgave. Løs kvadratiske ligninger:

1. x 2 - 7x = 0;
2. 5x 2 + 30 = 0;
3. 4x 2 - 9 = 0.

x 2 - 7x = 0 ⇒ x (x - 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = - ( - 7) / 1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Det er ingen røtter, tk. en firkant kan ikke være lik et negativt tall.

4x 2 - 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 = -1,5.