Løsning av logaritmiske ulikheter ved hjelp av eksempler på intervaller. Komplekse logaritmiske ulikheter

Personvernet ditt er viktig for oss. Av denne grunn har vi utviklet en personvernerklæring som beskriver hvordan vi bruker og lagrer informasjonen din. Vennligst les vår personvernerklæring og gi oss beskjed hvis du har spørsmål.

Innsamling og bruk av personopplysninger

Personlig informasjon refererer til data som kan brukes til å identifisere en bestemt person eller kontakte ham.

Du kan bli bedt om å oppgi din personlige informasjon når som helst når du kontakter oss.

Nedenfor er noen eksempler på typer personopplysninger vi kan samle inn og hvordan vi kan bruke slik informasjon.

Hvilke personopplysninger vi samler inn:

Når du legger igjen en forespørsel på nettstedet, kan vi samle inn forskjellige opplysninger, inkludert navn, telefonnummer, e -postadresse osv.

Slik bruker vi dine personlige opplysninger:

Personopplysningene vi samler inn lar oss kontakte deg og rapportere unike tilbud, kampanjer og andre arrangementer og kommende arrangementer.
Fra tid til annen kan vi bruke dine personlige opplysninger til å sende viktige varsler og meldinger.
Vi kan også bruke personlig informasjon til interne formål, for eksempel gjennomføring av revisjoner, dataanalyse og ulike undersøkelser for å forbedre tjenestene vi tilbyr og gi deg anbefalinger angående våre tjenester.
Hvis du deltar i en loddtrekning, konkurranse eller lignende salgsfremmende arrangement, kan vi bruke informasjonen du gir til å administrere slike programmer.

Videregivelse av informasjon til tredjeparter

Vi avslører ikke informasjon mottatt fra deg til tredjeparter.

Unntak:

Hvis det er nødvendig - i samsvar med lov, rettskjennelse, i rettssaker og / eller på grunnlag av offentlige forespørsler eller forespørsler fra statlige myndigheter på Den russiske føderasjonens territorium - å avsløre dine personlige opplysninger. Vi kan også avsløre informasjon om deg hvis vi finner ut at slik avsløring er nødvendig eller hensiktsmessig av hensyn til sikkerhet, rettshåndhevelse eller andre sosialt viktige årsaker.
I tilfelle en omorganisering, fusjon eller salg, kan vi overføre personopplysningene vi samler inn til den aktuelle tredjeparten - den juridiske etterfølgeren.

Beskyttelse av personopplysninger

Vi tar forholdsregler - inkludert administrativ, teknisk og fysisk - for å beskytte dine personlige opplysninger mot tap, tyveri og misbruk, samt mot uautorisert tilgang, avsløring, endring og ødeleggelse.

Respekt for personvernet ditt på bedriftsnivå

For å sikre at dine personlige opplysninger er trygge, gir vi reglene om konfidensialitet og sikkerhet til våre ansatte og overvåker strengt gjennomføringen av konfidensialitetstiltak.

Blant alle de forskjellige logaritmiske ulikhetene, blir ulikheter med variabel base studert separat. De løses ved hjelp av en spesiell formel, som av en eller annen grunn sjelden blir fortalt på skolen:

logg k (x) f (x) ∨ logg k (x) g (x) ⇒ (f (x) - g (x)) (k (x) - 1) ∨ 0

I stedet for "∨" -boksen kan du sette et hvilket som helst ulikhetstegn: mer eller mindre. Det viktigste er at i begge ulikhetene er tegnene de samme.

Så vi blir kvitt logaritmer og reduserer problemet til rasjonell ulikhet. Sistnevnte er mye lettere å løse, men når du slipper logaritmer, kan det oppstå unødvendige røtter. For å kutte dem er det nok å finne rekkevidden av akseptable verdier. Hvis du har glemt ODZ for logaritmen, anbefaler jeg på det sterkeste å gjenta det - se "Hva er en logaritme".

Alt relatert til området med tillatte verdier må skrives ut og løses separat:

f (x)> 0; g (x)> 0; k (x)> 0; k (x) ≠ 1.

Disse fire ulikhetene utgjør et system og må oppfylles samtidig. Når området med akseptable verdier er funnet, gjenstår det å krysse det med løsningen av rasjonell ulikhet - og svaret er klart.

Oppgave. Løs ulikheten:

Til å begynne med, la oss skrive ut ODZ for logaritmen:

De to første ulikhetene oppfylles automatisk, og den siste må beskrives. Siden kvadratet til et tall er null hvis og bare hvis selve tallet er null, har vi:

x 2 + 1 ≠ 1;
x 2 ≠ 0;
x ≠ 0.

Det viser seg at ODZ i logaritmen er alle tall unntatt null: x ∈ (−∞ 0) ∪ (0; + ∞). Nå løser vi den viktigste ulikheten:

Vi gjennomfører overgangen fra en logaritmisk ulikhet til en rasjonell. I den opprinnelige ulikheten er det et "mindre" tegn, noe som betyr at den resulterende ulikheten også må være med et "mindre" tegn. Vi har:

(10 - (x 2 + 1)) (x 2 + 1 - 1)< 0;
(9 - x 2) x 2< 0;
(3 - x) (3 + x) x 2< 0.

Nullene til dette uttrykket: x = 3; x = -3; x = 0. Videre er x = 0 en rot av den andre multiplisiteten, noe som betyr at funksjonen ikke endres når den passerer den. Vi har:

Vi får x ∈ (−∞ −3) ∪ (3; + ∞). Dette settet er fullstendig inneholdt i ODZ i logaritmen, noe som betyr at dette er svaret.

Transformering av logaritmiske ulikheter

Ofte skiller den opprinnelige ulikheten seg fra den ovenfor. Det er enkelt å fikse det i henhold til standardreglene for arbeid med logaritmer - se "Grunnleggende egenskaper for logaritmer". Nemlig:

Et hvilket som helst tall kan representeres som en logaritme med en gitt base;
Summen og forskjellen på logaritmer med de samme basene kan erstattes med en logaritme.

Jeg vil også minne deg på omfanget av akseptable verdier. Siden den opprinnelige ulikheten kan inneholde flere logaritmer, er det nødvendig å finne ODV for hver av dem. Den generelle ordningen for å løse logaritmiske ulikheter er således som følger:

Finn ODV for hver logaritme som er inkludert i ulikheten;
Reduser ulikhet til standard i henhold til formlene for addisjon og subtraksjon av logaritmer;
Løs den resulterende ulikheten i henhold til ordningen gitt ovenfor.

Oppgave. Løs ulikheten:

La oss finne definisjonsdomenet (ODZ) for den første logaritmen:

Vi løser med intervaller. Finn nullene til telleren:

3x - 2 = 0;
x = 2/3.

Så nullene til nevneren:

x - 1 = 0;
x = 1.

Vi markerer nuller og tegn på koordinatpilen:

Vi får x ∈ (−∞ 2/3) ∪ (1; + ∞). Den andre logaritmen til ODV vil være den samme. Hvis du ikke tror det, kan du sjekke det ut. Nå transformerer vi den andre logaritmen slik at det er en to i basen:

Som du kan se, har trillingene ved basen og foran logaritmen trukket seg sammen. Mottok to logaritmer med samme base. Vi legger dem til:

logg 2 (x - 1) 2< 2;
logg 2 (x - 1) 2< log 2 2 2 .

Mottok standard logaritmisk ulikhet. Vi blir kvitt logaritmene ved hjelp av formelen. Siden den opprinnelige ulikheten inneholder et mindre enn tegn, må det resulterende rasjonelle uttrykket også være mindre enn null. Vi har:

(f (x) - g (x)) (k (x) - 1)< 0;
((x - 1) 2 - 2 2) (2 - 1)< 0;
x 2 - 2x + 1 - 4< 0;
x 2 - 2x - 3< 0;
(x - 3) (x + 1)< 0;
x ∈ (−1; 3).

Vi har to sett:

ODZ: x ∈ (−∞ 2/3) ∪ (1; + ∞);
Kandidatsvar: x ∈ (−1; 3).

Det gjenstår å krysse disse settene - vi får det virkelige svaret:

Vi er interessert i skjæringspunktet mellom sett, så vi velger intervallene som er fylt ut på begge pilene. Vi får x ∈ (−1; 2/3) ∪ (1; 3) - alle punkter punkteres.

En ulikhet kalles logaritmisk hvis den inneholder en logaritmisk funksjon.

Metodene for å løse logaritmiske ulikheter er ikke forskjellige fra, bortsett fra to ting.

For det første, når man går fra en logaritmisk ulikhet til en ulikhet i sub-logaritmiske funksjoner, følger det at se tegn på den resulterende ulikheten... Han følger følgende regel.

Hvis basen for den logaritmiske funksjonen er større enn $ 1 $, beholdes tegnet på ulikheten når den går fra den logaritmiske ulikheten til ulikheten i sub-logaritmiske funksjoner, og hvis den er mindre enn $ 1 $, så er den endringer i det motsatte.

For det andre er løsningen på enhver ulikhet et intervall, og derfor, på slutten av løsningen til ulikheten i sub-logaritmiske funksjoner, er det nødvendig å komponere et system med to ulikheter: den første ulikheten i dette systemet vil være ulikhet i sub-logaritmiske funksjoner, og den andre er intervallet for definisjonsområdet for logaritmiske funksjoner som er inkludert i den logaritmiske ulikheten.