Для консольной балки, нагруженной распределенной нагрузкой интенсивностью кН/м и сосредоточенным моментом кН·м (рис. 3.12), требуется: построить эпюры перерезывающих сил и изгибающих моментов , подобрать балку круглого поперечного сечения при допускаемом нормальном напряжении кН/см2 и проверить прочность балки по касательным напряжениям при допускаемом касательном напряжении кН/см2. Размеры балки м; м; м.

Расчетная схема для задачи на прямой поперечный изгиб

Рис. 3.12

Решение задачи "прямой поперечный изгиб"

Определяем опорные реакции

Горизонтальная реакция в заделке равна нулю, поскольку внешние нагрузки в направлении оси z на балку не действуют.

Выбираем направления остальных реактивных усилий, возникающих в заделке: вертикальную реакцию направим, например, вниз, а момент – по ходу часовой стрелки. Их значения определяем из уравнений статики:

Составляя эти уравнения, считаем момент положительным при вращении против хода часовой стрелки, а проекцию силы положительной, если ее направление совпадает с положительным направлением оси y.

Из первого уравнения находим момент в заделке :

Из второго уравнения – вертикальную реакцию :

Полученные нами положительные значения для момента и вертикальной реакции в заделке свидетельствуют о том, что мы угадали их направления.

В соответствии с характером закрепления и нагружения балки, разбиваем ее длину на два участка. По границам каждого из этих участков наметим четыре поперечных сечения (см. рис. 3.12), в которых мы и будем методом сечений (РОЗУ) вычислять значения перерезывающих сил и изгибающих моментов.

Сечение 1. Отбросим мысленно правую часть балки. Заменим ее действие на оставшуюся левую часть перерезывающей силой и изгибающим моментом . Для удобства вычисления их значений закроем отброшенную нами правую часть балки листком бумаги, совмещая левый край листка с рассматриваемым сечением.

Напомним, что перерезывающая сила, возникающая в любом поперечном сечении, должна уравновесить все внешние силы (активные и реактивные), которые действуют на рассматриваемую (то есть видимую) нами часть балки. Поэтому перерезывающая сила должна быть равна алгебраической сумме всех сил, которые мы видим.

Приведем и правило знаков для перерезывающей силы: внешняя сила, действующая на рассматриваемую часть балки и стремящаяся «повернуть» эту часть относительно сечения по ходу часовой стрелки, вызывает в сечении положительную перерезывающую силу. Такая внешняя сила входит в алгебраическую сумму для определения со знаком «плюс».

В нашем случае мы видим только реакцию опоры , которая вращает видимую нами часть балки относительно первого сечения (относительно края листка бумаги) против хода часовой стрелки. Поэтому

кН.

Изгибающий момент в любом сечении должен уравновесить момент, создаваемый видимыми нами внешними усилиями, относительно рассматриваемого сечения. Следовательно, он равен алгебраической сумме моментов всех усилий, которые действуют на рассматриваемую нами часть балки, относительно рассматриваемого сечения (иными словами, относительно края листка бумаги). При этом внешняя нагрузка, изгибающая рассматриваемую часть балки выпуклостью вниз, вызывает в сечении положительный изгибающий момент. И момент, создаваемый такой нагрузкой, входит в алгебраическую сумму для определения со знаком «плюс».

Мы видим два усилия: реакцию и момент в заделке . Однако у силы плечо относительно сечения 1 равно нулю. Поэтому

кН·м.

Знак «плюс» нами взят потому, что реактивный момент изгибает видимую нами часть балки выпуклостью вниз.

Сечение 2. По-прежнему будем закрывать листком бумаги всю правую часть балки. Теперь, в отличие от первого сечения, у силы появилось плечо: м. Поэтому

кН; кН·м.

Сечение 3. Закрывая правую часть балки, найдем

кН;

Сечение 4. Закроем листком левую часть балки. Тогда

кН·м.

кН·м.

.

По найденным значениям строим эпюры перерезывающих сил (рис. 3.12, б) и изгибающих моментов (рис. 3.12, в).

Под незагруженными участками эпюра перерезывающих сил идет параллельно оси балки, а под распределенной нагрузкой q – по наклонной прямой вверх. Под опорной реакцией на эпюре имеется скачок вниз на величину этой реакции, то есть на 40 кН.

На эпюре изгибающих моментов мы видим излом под опорной реакцией . Угол излома направлен навстречу реакции опоры. Под распределенной нагрузкой q эпюра изменяется по квадратичной параболе, выпуклость которой направлена навстречу нагрузке. В сечении 6 на эпюре – экстремум, поскольку эпюра перерезывающей силы в этом месте проходит здесь через нулевое значение.

Определяем требуемый диаметр поперечного сечения балки

Условие прочности по нормальным напряжениям имеет вид:

,

где – момент сопротивления балки при изгибе. Для балки круглого поперечного сечения он равен:

.

Наибольший по абсолютному значению изгибающий момент возникает в третьем сечении балки: кН·см.

Тогда требуемый диаметр балки определяется по формуле

см.

Принимаем мм. Тогда

кН/см2 кН/см2.

«Перенапряжение» составляет

,

что допускается.

Проверяем прочность балки по наибольшим касательным напряжениям

Наибольшие касательные напряжения, возникающие в поперечном сечении балки круглого сечения, вычисляются по формуле

,

где – площадь поперечного сечения.

Согласно эпюре , наибольшее по алгебраической величине значение перерезывающей силы равно кН. Тогда

кН/см2 кН/см2,

то есть условие прочности и по касательным напряжениям выполняется, причем, с большим запасом.

Пример решения задачи "прямой поперечный изгиб" №2

Условие примера задачи на прямой поперечный изгиб

Для шарнирно опертой балки, нагруженной распределенной нагрузкой интенсивностью кН/м, сосредоточенной силой кН и сосредоточенным моментом кН·м (рис. 3.13), требуется построить эпюры перерезывающих сил и изгибающих моментов и подобрать балку двутаврового поперечного сечения при допускаемом нормальном напряжении кН/см2 и допускаемом касательном напряжении кН/см2. Пролет балки м.

Пример задачи на прямой изгиб – расчетная схема

Рис. 3.13

Решение примера задачи на прямой изгиб

Определяем опорные реакции

Для заданной шарнирно опертой балки необходимо найти три опорные реакции: , и . Поскольку на балку действуют только вертикальные нагрузки, перпендикулярные к ее оси, горизонтальная реакция неподвижной шарнирной опоры A равна нулю: .

Направления вертикальных реакций и выбираем произвольно. Направим, например, обе вертикальные реакции вверх. Для вычисления их значений составим два уравнения статики:

Напомним, что равнодействующая погонной нагрузки , равномерно распределенной на участке длиной l, равна , то есть равна площади эпюры этой нагрузки и приложена она в центре тяжести этой эпюры, то есть посредине длины.

;

кН.

Делаем проверку: .

Напомним, что силы, направление которых совпадает с положительным направлением оси y, проектируются (проецируются) на эту ось со знаком плюс:

то есть верно.

Строим эпюры перерезывающих сил и изгибающих моментов

Разбиваем длину балки на отдельные участки. Границами этих участков являются точки приложения сосредоточенных усилий (активных и/или реактивных), а также точки, соответствующие началу и окончанию действия распределенной нагрузки. Таких участков в нашей задаче получается три. По границам этих участков наметим шесть поперечных сечений, в которых мы и будем вычислять значения перерезывающих сил и изгибающих моментов (рис. 3.13, а).

Сечение 1. Отбросим мысленно правую часть балки. Для удобства вычисления перерезывающей силы и изгибающего момента , возникающих в этом сечении, закроем отброшенную нами часть балки листком бумаги, совмещая левый край листка бумаги с самим сечением.

Перерезывающая сила в сечении балки равна алгебраической сумме всех внешних сил (активных и реактивных), которые мы видим. В данном случае мы видим реакцию опоры и погонную нагрузку q, распределенную на бесконечно малой длине. Равнодействующая погонной нагрузки равна нулю. Поэтому

кН.

Знак «плюс» взят потому, что сила вращает видимую нами часть балки относительно первого сечения (края листка бумаги) по ходу часовой стрелки.

Изгибающий момент в сечении балки равен алгебраической сумме моментов всех усилий, которые мы видим, относительно рассматриваемого сечения (то есть относительно края листка бумаги). Мы видим реакцию опоры и погонную нагрузку q, распределенную на бесконечно малой длине. Однако у силы плечо равно нулю. Равнодействующая погонной нагрузки также равна нулю. Поэтому

Сечение 2. По-прежнему будем закрывать листком бумаги всю правую часть балки. Теперь мы видим реакцию и нагрузку q, действующую на участке длиной . Равнодействующая погонной нагрузки равна . Она приложена посредине участка длиной . Поэтому

Напомним, что при определении знака изгибающего момента мы мысленно освобождаем видимую нами часть балки от всех фактических опорных закреплений и представляем ее как бы защемленной в рассматриваемом сечении (то есть левый край листка бумаги нами мысленно представляется жесткой заделкой).

Сечение 3. Закроем правую часть. Получим

Сечение 4. Закрываем листком правую часть балки. Тогда

Теперь, для контроля правильности вычислений, закроем листком бумаги левую часть балки. Мы видим сосредоточенную силу P, реакцию правой опоры и погонную нагрузку q, распределенную на бесконечно малой длине. Равнодействующая погонной нагрузки равна нулю. Поэтому

кН·м.

То есть все верно.

Сечение 5. По-прежнему закроем левую часть балки. Будем иметь

кН;

кН·м.

Сечение 6. Опять закроем левую часть балки. Получим

кН;

По найденным значениям строим эпюры перерезывающих сил (рис. 3.13, б) и изгибающих моментов (рис. 3.13, в).

Убеждаемся в том, что под незагруженным участком эпюра перерезывающих сил идет параллельно оси балки, а под распределенной нагрузкой q – по прямой, имеющей наклон вниз. На эпюре имеется три скачка: под реакцией – вверх на 37,5 кН, под реакцией – вверх на 132,5 кН и под силой P – вниз на 50 кН.

На эпюре изгибающих моментов мы видим изломы под сосредоточенной силой P и под опорными реакциями. Углы изломов направлены навстречу этим силам. Под распределенной нагрузкой интенсивностью q эпюра изменяется по квадратичной параболе, выпуклость которой направлена навстречу нагрузке. Под сосредоточенным моментом – скачок на 60 кН ·м, то есть на величину самого момента. В сечении 7 на эпюре – экстремум, поскольку эпюра перерезывающей силы для этого сечения проходит через нулевое значение (). Определим расстояние от сечения 7 до левой опоры.

При изгибе стержни подвергаются воздействию поперечной силы или изгибающего момента. Изгиб называется чистым, если действует только изгибающий момент, и поперечным, если действует нагрузка, перпендикулярная оси стержня. Брус (стержень), работающий на изгиб, обычно называют балкой. Балки являются наиболее часто встречающимися элементами сооружений и машин, воспринимающими нагрузки от других элементов конструкций и, передающими их тем частям, которые поддерживают балку (чаще всего опорам).

В строительных сооружениях и машиностроительных конструкциях чаше всего можно встретить следующие случаи крепления балок: консольные - с одним защемленным концом (с жесткой заделкой), двухопорные - с одной шарнирно-неподвижной опорой и с одной шарнирно-подвижной опорой и многоопорные балки. Если опорные реакции могут быть найдены из одних уравнений статики, то балки называют статически определимыми. Если же число неизвестных опорных реакций больше, чем число уравнений статики, то такие балки называют статически неопределимыми. Для определения реакций в таких балках приходится составлять дополнительные уравнения - уравнения перемещений. При плоском поперечном изгибе все внешние нагрузки перпендикулярны к оси балки.

Определение внутренних силовых факторов, действующих в поперечных сечениях балки, следует начинать с определения опорных реакций. После этого используем метод сечений, мысленно рассекаем, балку на две части и рассматриваем равновесие одной части. Взаимодействие частей балки заменяем внутренними факторами: изгибающим моментом и поперечной силой.

Поперечная сила в сечении равна алгебраической сумме проекций всех сил, а изгибающий момент равен алгебраической сумме моментов всех сил, расположенных по одну сторону от сечения. Знаки действующих сил и моментов следует определять в соответствии с принятыми правилами. Необходимо научиться правильно определять равнодействующую силу и изгибающий момент от равномерно распределенной по длине балки нагрузки.

Следует иметь в виду, что при определении напряжений, возникающих при изгибе, принимают следующие допущения: сечения плоские до изгиба остаются плоскими и после изгиба (гипотеза плоских сечений); продольные соседние волокна не давят одно на другое; зависимость между напряжениями и деформациями линейная.

При изучении изгиба следует обратить внимание на неравномерность распределения нормальных напряжений в поперечном сечении балки. Нормальные напряжения изменяются по высоте поперечного сечения пропорционально расстоянию от нейтральной оси. Следует уметь определять напряжения изгиба, которые зависят от величины действующего изгибающего момента М И и момента сопротивления сечения при изгибе W О (осевой момент сопротивления сечения).

Условие прочности при изгибе: σ = М И / W О £ [σ] . Значение W О зависит от размеров, формы и расположения поперечного сечения относительно оси.

Наличие поперечной силы, действующей на балку, связано с возникновением касательных напряжений в поперечных сечениях, а по закону парности касательных напряжений - и в продольных сечениях. Касательные напряжения определяют по формуле Д. И. Журавского.

Поперечная сила сдвигает рассматриваемое сечение относительно смежного. Изгибающий момент, складывающийся из элементарных нормальных усилий, возникающих в поперечном сечении балки, поворачивает сечение относительно смежного, чем и обусловлено искривление оси балки, т. е. ее изгиб.

Когда балка испытывает чистый изгиб, то по всей длине балки или на отдельном ее участке в каждом сечении действует изгибающий момент постоянной величины, а поперечная сила в любом сечении данного участка равна нулю. При этом в поперечных сечениях балки возникают только нормальные напряжения.

Для того чтобы глубже разобраться в физических явлениях изгиба и в методике решения задач при расчете на прочность и жесткость, необходимо хорошо усвоить геометрические характеристики плоских сечений, а именно: статические моменты сечений, моменты инерции сечений простейшей формы и сложных сечений, определение центра тяжести фигур, главные моменты инерции сечений и главные оси инерции, центробежный момент инерции, изменение моментов инерции при повороте осей, теоремы о переносе осей.

При изучении этого раздела следует научиться правильно строить эпюры изгибающих моментов и поперечных сил, определять опасные сечения и действующие в них напряжения. Помимо определения напряжений следует научиться определять перемещения (прогибы балки) при изгибе. Для этого используется дифференциальное уравнение изогнутой оси балки (упругой линии), записанное в общем виде.

Для определения прогибов проводится интегрирование уравнения упругой линии. При этом следует правильно определять постоянные интегрирования С и D исходя из условий опирания балки (граничных условий). Зная величины С и D , можно определить угол поворота и прогиб любого сечения балки. Изучение сложного сопротивления обычно начинают с косого изгиба.

Явление косого изгиба особенно опасно для сечений со значительно отличающимися друг от друга главными моментами инерции; балки с таким сечением хорошо работают на изгиб в плоскости наибольшей жесткости, но даже при небольших углах наклона плоскости внешних сил к плоскости наибольшей жесткости в балках возникают значительные дополнительные напряжения и деформации. Для балки круглого сечения косой изгиб невозможен, так как все центральные оси такого сечения являются главными и нейтральный слой всегда будет перпендикулярен плоскости внешних сил. Косой изгиб невозможен и для балки квадратного сечения.

При определении напряжений в случае внецентренного растяжения или сжатия необходимо знать положение главных центральных осей сечения; именно от этих осей отсчитывают расстояния точки приложения силы и точки, в которой определяют напряжения.

Приложенная эксцентрично сжимающая сила может вызвать в поперечном сечении стержня растягивающие напряжения. В связи с этим внецентренное сжатие является особенно опасным для стержней из хрупких материалов, которые слабо сопротивляются растягивающим усилиям.

В заключение следует изучить случай сложного сопротивления, когда тело испытывает одновременно несколько деформаций: например, изгиб совместно с кручением, растяжение-сжатие совместно с изгибом и т. д. При этом следует иметь в виду, что изгибающие моменты, действующие в различных плоскостях, могут складываться как векторы.

Классификация видов изгиба стержня

Изгибом называют такой вид деформации, при котором в поперечных сечениях стержня возникают изгибающие моменты. Стержень, работающий на изгиб, принято называть балкой. Если изгибающие моменты - единственные внутренние силовые факторы в поперечных сечениях, то стержень испытывает чистый изгиб. Если же изгибающие моменты возникают совместно с поперечными силами, то такой изгиб называют поперечным.

На изгиб работают балки, оси, валы и другие детали конструкций.

Введем некоторые понятия. Плоскость, проходящая через одну из главных центральных осей сечения и геометрическую ось стержня, называется главной плоскостью. Плоскость, в которой действуют внешние нагрузки, вызывающие изгиб балки, называется силовой плоскостью. Линия пересечения силовой плоскости с плоскостью поперечного сечения стержня носит название силовой линии. В зависимости от взаимного расположения силовой и главных плоскостей балки различают прямой или косой изгиб. Если силовая плоскость совпадает с одной из главных плоскостей, то стержень испытывает прямой изгиб (рис. 5.1, а ), если же не совпадает - косой (рис. 5.1, б).

Рис. 5.1. Изгиб стержня: а - прямой; б - косой

С геометрической точки зрения изгиб стержня сопровождается изменением кривизны оси стержня. Первоначально прямолинейная ось стержня становится криволинейной при его изгибе. При прямом изгибе изогнутая ось стержня лежит в силовой плоскости, при косом - в плоскости, отличной от силовой.

Наблюдая за изгибом резинового стержня, можно заметить, что часть его продольных волокон растягивается, а другая часть сжимается. Очевидно, между растянутыми и сжатыми волокнами стержня существует слой волокон, не испытывающих ни растяжения, ни сжатия, - так называемый нейтральный слой. Линия пересечения нейтрального слоя стержня с плоскостью его поперечного сечения называется нейтральной линией сечения.

Как правило, действующие на балку нагрузки можно отнести к одному из трех видов: сосредоточенные силы Р, сосредоточенные моменты М распределенные нагрузки интенсивностью ц (рис. 5.2). Часть I балки, расположенную между опорами, называют пролетом, часть II балки, расположенную по одну сторону от опоры, - консолью.

Прямой изгиб. Плоский поперечный изгиб Построение эпюр внутренних силовых факторов для балок Построение эпюр Q и М по уравнениям Построение эпюр Q и М по характерным сечениям (точкам) Расчёты на прочность при прямом изгибе балок Главные напряжения при изгибе. Полная проверка прочности балок Понятие о центре изгиба Определение перемещений в балках при изгибе. Понятия деформации балок и условия их жёсткости Дифференциальное уравнение изогнутой оси балки Метод непосредственного интегрирования Примеры определения перемещений в балках методом непосредственного интегрирования Физический смысл постоянных интегрирования Метод начальных параметров (универсальное уравнение изогнутой оси балки). Примеры определения перемещений в балке по методу начальных параметров Определение перемещений по методу Мора. Правило А.К. Верещагина. Вычисление интеграла Мора по правилу А.К. Верещагина Примеры определения перемещений посредством интеграла Мора Библиографический список Прямой изгиб. Плоский поперечный изгиб. 1.1. Построение эпюр внутренних силовых факторов для балок Прямым изгибом называется такой вид деформации, при котором в поперечных сечениях стержня возникают два внутренних силовых фактора: изгибающий момент и поперечная сила. В частном случае, поперечная сила может быть равна нулю, тогда изгиб называется чистым. При плоском поперечном изгибе все силы расположены в одной из главных плоскостей инерции стержня и перпендикулярны его продольной оси, в той же плоскости расположены моменты (рис. 1.1, а,б). Рис. 1.1 Поперечная сила в произвольном поперечном сечении балки численно равна алгебраической сумме проекций на нормаль к оси балки всех внешних сил, действующих по одну сторону от рассматриваемого сечения. Поперечная сила в сечении m-n балки (рис. 1.2, а) считается положительной, если равнодействующая внешних сил слева от сечения направлена вверх, а справа – вниз, и отрицательной – в противоположном случае (рис. 1.2, б). Рис. 1.2 Вычисляя поперечную силу в данном сечении, внешние силы, лежащие слева от сечения, берут со знаком плюс, если они направлены вверх, и со знаком минус, если вниз. Для правой части балки – наоборот. 5 Изгибающий момент в произвольном поперечном сечении балки численно равен алгебраической сумме моментов относительно центральной оси z сечения всех внешних сил, действующих по одну сторону от рассматриваемого сечения. Изгибающий момент в сечении m-n балки (рис. 1.3, а) считается положительным, если равнодействующий момент внешних сил слева от сечения направлен по стрелке часов, а справа – против часовой стрелки, и отрицательным – в противоположном случае (рис. 1.3, б). Рис. 1.3 При вычислении изгибающего момента в данном сечении моменты внешних сил, лежащие слева от сечения, считаются положительными, если они направлены по ходу часовой стрелки. Для правой части балки – наоборот. Удобно определять знак изгибающего момента по характеру деформации балки. Изгибающий момент считается положительным, если в рассматриваемом сечении отсечённая часть балки изгибается выпуклостью вниз, т. е. растягиваются нижние волокна. В противоположном случае изгибающий момент в сечении отрицательный. Между изгибающим моментом М, поперечной силой Q и интенсивностью нагрузки q существуют дифференциальные зависимости. 1. Первая производная от поперечной силы по абсциссе сечения равна интенсивности распределенной нагрузки, т.е. . (1.1) 2. Первая производная от изгибающего момента по абсциссе сечения равна поперечной силе, т. е. . (1.2) 3. Вторая производная по абсциссе сечения равна интенсивности распределённой нагрузки, т. е. . (1.3) Распределенную нагрузку, направленную вверх, считаем положительной. Из дифференциальных зависимостей между М, Q, q вытекает ряд важных выводов: 1. Если на участке балки: а) поперечная сила положительна, то изгибающий момент возрастает; б) поперечная сила отрицательна, то изгибающий момент убывает; в) поперечная сила равна нулю, то изгибающий момент имеет постоянное значение (чистый изгиб); 6 г) поперечная сила проходит через нуль, меняя знак с плюса на минус, max M M, в противоположном случае M Mmin. 2. Если на участке балки распределенная нагрузка отсутствует, то поперечная сила постоянна, а изгибающий момент изменяется по линейному закону. 3. Если на участке балки имеется равномерно распределенная нагрузка, то поперечная сила изменяется по линейному закону, а изгибающий момент – по закону квадратной параболы, обращенной выпуклостью в сторону действия нагрузки (в случае построения эпюры М со стороны растянутых волокон). 4. В сечении под сосредоточенной силой эпюра Q имеет скачок (на величину силы), эпюра М - излом в сторону действия силы. 5. В сечении, где приложен сосредоточенный момент, эпюра М имеет скачок, равный значению этого момента. На эпюре Q это не отражается. При сложном нагружении балки строят эпюры поперечных сил Q и изгибающих моментов М. Эпюрой Q(M) называется график, показывающий закон изменения поперечной силы (изгибающего момента) по длине балки. На основе анализа эпюр М и Q устанавливают опасные сечения балки. Положительные ординаты эпюры Q откладываются вверх, а отрицательные – вниз от базисной линии, проводимой параллельно продольной оси балки. Положительные ординаты эпюры М откладываются вниз, а отрицательные – вверх, т. е. эпюра М строится со стороны растянутых волокон. Построение эпюр Q и М для балок следует начинать с определения опорных реакций. Для балки с одним защемленным и другим свободным концами построение эпюр Q и М можно начинать от свободного конца, не определяя реакций в заделке. 1.2. Построение эпюр Q и М по уравнениям Балка разбивается на участки, в пределах которых функции для изгибающего момента и поперечной силы остаются постоянными (не имеют разрывов). Границами участков служат точки приложения сосредоточенных сил, пар сил и места изменения интенсивности распределенной нагрузки. На каждом участке берется произвольное сечение на расстоянии х от начала координат, и для этого сечения составляются уравнения для Q и М. По этим уравнениям строятся эпюры Q и M. Пример 1.1 Построить эпюры поперечных сил Q и изгибающих моментов М для заданной балки (рис. 1.4,а). Решение: 1. Определение реакций опор. Составляем уравнения равновесия: из которых получаем Реакции опор определены правильно. Балка имеет четыре участка Рис. 1.4 нагружения: СА, AD, DB, BE. 2. Построение эпюры Q. Участок СА. На участке СА 1проводим произвольное сечение 1-1 на расстоянии x1 от левого конца балки. Определяем Q как алгебраическую сумму всех внешних сил, действующих слева от сечения 1-1: Знак минус взят потому, что сила, действующая слева от сечения, направлена вниз. Выражение для Q не зависит от переменной x1. Эпюра Q на этом участке изобразится прямой, параллельной оси абсцисс. Участок AD. На участке проводим произвольное сечение 2-2 на расстоянии x2 от левого конца балки. Определяем Q2 как алгебраическую сумму всех внешних сил, действующих слева от сечения 2-2: 8 Величина Q постоянна на участке (не зависит от переменной x2). Эпюра Q на участке представляет собой прямую, параллельную оси абсцисс. Участок DB. На участке проводим произвольное сечение 3-3 на расстоянии x3 от правого конца балки. Определяем Q3 как алгебраическую сумму всех внешних сил, действующих справа от сечения 3-3: Полученное выражение есть уравнение наклонной прямой линии. Участок BE. На участке проводим сечение 4-4 на расстоянии x4 от правого конца балки. Определяем Q как алгебраическую сумму всех внешних сил, действующих справа от сечения 4-4: 4 Здесь знак плюс взят потому, что равнодействующая нагрузка справа от сечения 4-4 направлена вниз. По полученным значениям строим эпюры Q (рис. 1.4, б). 3. Построение эпюры М. Участок м1. Определяем изгибающий момент в сечении 1-1 как алгебраическую сумму моментов сил, действующих слева от сечения 1-1. – уравнение прямой. Участок A 3Определяем изгибающий момент в сечении 2-2 как алгебраическую сумму моментов сил, действующих слева от сечения 2-2. – уравнение прямой. Участок DB 4Определяем изгибающий момент в сечении 3-3 как алгебраическую сумму моментов сил, действующих справа от сечения 3-3. – уравнение квадратной параболы. 9 Находим три значения на концах участка и в точке с координатой xk , где Участок BE 1Определяем изгибающий момент в сечении 4-4 как алгебраическую сумму моментов сил, действующих справа от сечения 4-4. – уравнение квадратной параболы находим три значения M4: По полученным значениям строим эпюру М (рис. 1.4, в). На участках CA и AD эпюра Q ограничена прямыми, параллельными оси абсцисс, а на участках DB и BE – наклонными прямыми. В сечениях C, A и B на эпюре Q имеют место скачки на величину соответствующих сил, что служит проверкой правильности построения эпюры Q. На участках, где Q  0, моменты возрастают слева направо. На участках, гдеQ  0, моменты убывают. Под сосредоточенными силами имеются изломы в сторону действия сил. Под сосредоточенным моментом имеет место скачок на величину момента. Это указывает на правильность построения эпюры М. Пример 1.2 Построить эпюры Q и М для балки на двух опорах, нагруженной распределенной нагрузкой, интенсивность которой меняется по линейному закону (рис. 1.5, а). Решение Определение реакций опор. Равнодействующая распределенной нагрузки равна площади треугольника, представляющего собой эпюру нагрузки и приложена в центре тяжести этого треугольника. Составляем суммы моментов всех сил относительно точек А и В: Построение эпюры Q. Проведем произвольное сечение на расстоянии x от левой опоры. Ордината эпюры нагрузки, соответствующая сечению, определяется из подобия треугольников Равнодействующая той части нагрузки, которая распложена слева от сечения Поперечная сила в сечении равна Поперечная сила изменяется по закону квадратной параболы Приравнивая уравнение поперечной силы нулю, находим абсциссу того сечения, в котором эпюра Q переходит через нуль: Эпюра Q представлена на рис. 1.5, б. Изгибающий момент в произвольном сечении равен Изгибающий момент изменяется по закону кубической параболы: Максимальное значение изгибающий момент имеет в сечении, где 0, т. е. при Эпюра М представлена на рис. 1.5, в. 1.3. Построение эпюр Q и M по характерным сечениям (точкам) Используя дифференциальные зависимости между М, Q, q и выводы, вытекающие из них, целесообразно строить эпюры Q и М по характерным сечениям (без составления уравнений). Применяя этот способ, вычисляют значения Q и М в характерных сечениях. Характерными сечениями являются граничные сечения участков, а также сечения, где данный внутренний силовой фактор имеет экстремальное значение. В пределах между характерными сечениями очертание 12 эпюры устанавливается на основе дифференциальных зависимостей между М, Q, q и выводами, вытекающими из них. Пример 1.3 Построить эпюры Q и М для балки, изображенной на рис. 1.6, а. Рис. 1.6. Решение: Построение эпюр Q и М начинаем от свободного конца балки, при этом реакции в заделке можно не определять. Балка имеет три участка нагружения: АВ, ВС, CD. На участках АВ и ВС распределенная нагрузка отсутствует. Поперечные силы постоянны. Эпюра Q ограничена прямыми, параллельными оси абсцисс. Изгибающие моменты изменяются по линейному закону. Эпюра М ограничена прямыми, наклонными к оси абсцисс. На участке CD имеется равномерно распределенная нагрузка. Поперечные силы изменяются по линейному закону, а изгибающие моменты – по закону квадратной параболы с выпуклостью в сторону действия распределенной нагрузки. На границе участков АВ и ВС поперечная сила изменяется скачкообразно. На границе участков ВС и CD скачкообразно изменяется изгибающий момент. 1. Построение эпюры Q. Вычисляем значения поперечных сил Q в граничных сечениях участков: По результатам расчетов строим эпюру Q для балки (рис. 1, б). Из эпюры Q следует, что поперечная сила на участке CD равна нулю в сечении, отстоящем на расстоянии qa a q от начала этого участка. В этом сечении изгибающий момент имеет максимальное значение. 2. Построение эпюры М. Вычисляем значения изгибающих моментов в граничных сечениях участков: При мaаксимальный момент на участке По результатам расчетов строим эпюру М (рис. 5.6, в). Пример 1.4 По заданной эпюре изгибающих моментов (рис. 1.7, а) для балки (рис. 1.7, б) определить действующие нагрузки и построить эпюру Q. Кружком обозначена вершина квадратной параболы. Решение: Определим нагрузки, действующие на балку. Участок АС загружен равномерно распределённой нагрузкой, так как эпюра М на этом участке – квадратная парабола. В опорном сечении В к балке приложен сосредоточенный момент, действующий по часовой стрелке, так как на эпюре М имеем скачок вверх на величину момента. На участке СВ балка не нагружена, т. к. эпюра М на этом участке ограничена наклонной прямой. Реакция опоры В определяется из условия, что изгибающий момент в сечении С равен нулю, т. е. Для определения интенсивности распределенной нагрузки составим выражение для изгибающего момента в сечении А как сумму моментов сил справа и приравняем к нулю Теперь определим реакцию опоры А. Для этого составим выражение для изгибающих моментов в сечении как сумму моментов сил слева Расчетная схема балки с нагрузкой показана на рис. 1.7, в. Начиная с левого конца балки, вычисляем значения поперечных сил в граничных сечениях участков: Эпюра Q представлена на рис. 1.7, г. Рассмотренная задача может быть решена путем составления функциональных зависимостей для М, Q на каждом участке. Выберем начало координат на левом конце балки. На участке АС эпюра М выражается квадратной параболой, уравнение которой имеет вид Постоянные а, b, с находим из условия, что парабола проходит через три точки с известными координатами: Подставляя координаты точек в уравнение параболы, получим: Выражение для изгибающего момента будет Дифференцируя функцию М1, получим зависимость для поперечной cилы После дифференцирования функции Q получим выражение для интенсивности распределённой нагрузки На участке СВ выражение для изгибающего момента представляется в виде линейной функции Для определения постоянных а и b используем условия, что данная прямая проходит через две точки, координаты которых известны Получим два уравнения: ,b из которых имеем a 20. Уравнение для изгибающего момента на участке СВ будет После двукратного дифференцирования М2 найдём По найденным значениям М и Q строим эпюры изгибающих моментов и поперечных сил для балки. Помимо распределённой нагрузки к балке прикладываются сосредоточенные силы в трех сечениях, где на эпюре Q имеются скачки и сосредоточенные моменты в том сечении, где на эпюре М имеется скачок. Пример 1.5 Для балки (рис. 1.8, а) определить рациональное положение шарнира С, при котором наибольший изгибающий момент в пролете равен изгибающему моменту в заделке (по абсолютной величине). Построить эпюры Q и М. Решение Определение реакций опор. Несмотря на то, что общее число опорных связей равно четырем, балка статически определима. Изгибающий момент в шарнире С равен нулю, что позволяет составить дополнительное уравнение: сумма моментов относительно шарнира всех внешних сил, действующих по одну сторону от этого шарнира, равна нулю. Составим сумму моментов всех сил справа от шарнира С. Эпюра Q для балки ограничена наклонной прямой, так как q = const. Определяем значения поперечных сил в граничных сечениях балки: Абсцисса xK сечения, где Q = 0, определяется из уравнения откуда Эпюра М для балки ограничена квадратной параболой. Выражения для изгибающих моментов в сечениях, где Q = 0, и в заделке записываются соответственно так: Из условия равенства моментов получаем квадратное уравнение относительно искомого параметра х: Реальное значение x2x 1,029 м. Определяем численные значения поперечных сил и изгибающих моментов в характерных сечениях балки На рис.1.8, б показана эпюра Q, а на рис. 1.8, в – эпюра М. Рассмотренную задачу можно было решить способом расчленения шарнирной балки на составляющие ее элементы, как это показано на рис. 1.8, г. В начале определяются реакции опор VC и VB . Строятся эпюры Q и М для подвесной балки СВ от действия приложенной к ней нагрузки. Затем переходят к основной балке АС, нагрузив ее дополнительной силой VC , являющейся силой давления балки СВ на балку АС. После чего строят эпюры Q и М для балки АС. 1.4. Расчеты на прочность при прямом изгибе балок Расчет на прочность по нормальным и касательным напряжениям. При прямом изгибе балки в поперечных сечениях ее возникают нормальные и касательные напряжения (рис. 1.9). 18 Рис. 1.9 Нормальные напряжения связаны с изгибающим моментом, касательные напряжения связаны с поперечной силой. При прямом чистом изгибе касательные напряжения равны нулю. Нормальные напряжения в произвольной точке поперечного сечения балки определяются по формуле (1.4) где M – изгибающий момент в данном сечении; Iz – момент инерции сечения относительно нейтральной оси z; y – расстояние от точки, где определяется нормальное напряжение, до нейтральной оси z. Нормальные напряжения по высоте сечения изменяются по линейному закону и достигают наибольшей величины в точках, наиболее удалённых от нейтральной оси Если сечение симметрично относительно нейтральной оси (рис. 1.11), то Рис. 1.11 наибольшие растягивающие и сжимающие напряжения одинаковы и определяются по формуле,  – осевой момент сопротивления сечения при изгибе. Для прямоугольного сечения шириной b высотой h: (1.7) Для круглого сечения диаметра d: (1.8) Для кольцевого сечения   – соответственно внутренний и наружный диаметры кольца. Для балок из пластичных материалов наиболее рациональными являются симметричные 20 формы сечений (двутавровое, коробчатое, кольцевое). Для балок из хрупких материалов, не одинаково сопротивляющихся растяжению и сжатию, рациональными являются сечения, несимметричные относительно нейтральной оси z (тавр., П-образное, несимметричный двутавр). Для балок постоянного сечения из пластичных материалов при симметричных формах сечений условие прочности записывается так: (1.10) где Mmax – максимальный изгибающий момент по модулю; – допускаемое напряжение для материала. Для балок постоянного сечения из пластичных материалов при несимметричных формах сечений условие прочности записывается в следующем виде: (1.11) Для балок из хрупких материалов с сечениями, несимметричными относительно нейтральной оси, в случае, если эпюра М однозначна (рис. 1.12), нужно записать два условия прочности – расстояния от нейтральной оси до наиболее удалённых точек соответственно растянутой и сжатой зон опасного сечения; P – допускаемые напряжения соответственно на растяжение и сжатие. Рис.1.12. 21 Если эпюра изгибающих моментов имеет участки разных знаков (рис. 1.13), то помимо проверки сечения 1-1, где действуетMmax, необходимо произвести расчет по наибольшим растягивающим напряжениям для сечения 2-2 (с наибольшим моментом противоположного знака). Рис. 1.13 Наряду с основным расчетом по нормальным напряжениям в ряде случаев приходится делать проверку прочности балки по касательным напряжениям. Касательные напряжения в балки вычисляются по формуле Д. И. Журавского (1.13) где Q – поперечная сила в рассматриваемом поперечном сечении балки; Szотс – статический момент относительно нейтральной оси площади части сечения, расположенной по одну сторону прямой, проведенной через данную точку и параллельной оси z; b – ширина сечения на уровне рассматриваемой точки; Iz – момент инерции всего сечения относительно нейтральной оси z. Во многих случаях максимальные касательные напряжения возникают на уровне нейтрального слоя балки (прямоугольник, двутавр, круг). В таких случаях условие прочности по касательным напряжениям записывается в виде, (1.14) где Qmax – наибольшая по модулю поперечная сила; – допускаемое касательное напряжение для материала. Для прямоугольного сечения балки условие прочности имеет вид (1.15) А – площадь поперечного сечения балки. Для круглого сечения условие прочности представляется в виде (1.16) Для двутаврового сечения условие прочности записывается так: (1.17) где Szо,тmсax – статический момент полусечения относительно нейтральной оси; d – толщина стенки двутавра. Обычно размеры поперечного сечения балки определяются из условия прочности по нормальным напряжениям. Проверка прочности балок по касательным напряжениям производится в обязательном порядке для коротких балок и балок любой длинны, если вблизи опор имеются сосредоточенные силы большой величины, а также для деревянных, клёпанных и сварных балок. Пример 1.6 Проверить прочность балки коробчатого сечения (рис. 1.14) по нормальным и касательным напряжениям, если МПа. Построить эпюры в опасном сечении балки. Рис. 1.14 Решение 23 1. Построение эпюр Q и М по характерным сечениям. Рассматривая левую часть балки, получим Эпюра поперечных сил представлена на рис. 1.14,в. Эпюра изгибающих моментов показана на рис. 5.14, г. 2. Геометрические характеристики поперечного сечения 3. Наибольшие нормальные напряжения в сечение С, где действует Mmax (по модулю): МПа. Максимальные нормальные напряжения в балке практически равны допускаемым. 4. Наибольшие касательные напряжения в сечении С (или А), где действует max Q (по модулю): Здесь – статический момент площади полусечения относительно нейтральной оси; b2 см – ширина сечения на уровне нейтральной оси. 5. Касательные напряжения в точке (в стенке) в сечении С: Рис. 1.15 Здесь Szomc 834,5 108 см3 – статический момент площади части сечения, расположенной выше линии, проходящей через точку K1; b2 см – толщина стенки на уровне точки K1. Эпюры  и  для сечения С балки показаны рис. 1.15. Пример 1.7 Для балки, показанной на рис. 1.16, а, требуется: 1. Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов по характерным сечениям (точкам). 2. Определить размеры поперечного сечения в виде круга, прямоугольника и двутавра из условия прочности по нормальным напряжениям, сравнить площади сечений. 3. Проверить подобранные размеры сечений балок по касательным напряжения. Дано: Решение: 1. Определяем реакции опор балки Проверка: 2. Построение эпюр Q и М. Значения поперечных сил в характерных сечениях балки 25 Рис. 1.16 На участках CA и AD интенсивность нагрузки q = const. Следовательно, на этих участках эпюра Q ограничивается прямыми, наклонными к оси. На участке DB интенсивность распределенной нагрузки q = 0, следовательно, на этом участке эпюра Q ограничивается прямой, параллельной оси х. Эпюра Q для балки показана на рис. 1.16,б. Значения изгибающих моментов в характерных сечениях балки: На втором участке определяем абсциссу x2 сечения, в котором Q = 0: Максимальный момент на втором участке Эпюра М для балки показана на рис. 1.16, в. 2. Составляем условие прочности по нормальным напряжениям откуда определяем требуемый осевой момент сопротивления сечения из выражения определяемый требуемый диаметр d балки круглого сечения Площадь круглого сечения Для балки прямоугольного сечения Требуемая высота сечения Площадь прямоугольного сечения Определяем требуемый номер двутавровой балки. По таблицам ГОСТ 8239-89 находим ближайшее большее значение осевого момента сопротивления 597см3, которое соответствует двутавру № 33 с характеристиками: A z 9840 см4. Проверка на допуск: (недогрузка на 1 % от допустимого 5 %) ближайший двутавр № 30 (W 2 см3) приводит к значительной перегрузке (более 5%). Окончательно принимаем двутавр № 33. Сравниваем площади круглого и прямоугольного сечений с наименьшей площадью А двутавра: Из трех рассмотренных сечений наиболее экономичным является двутавровое сечение. 3. Вычисляем наибольшие нормальные напряжения в опасном сечении 27 двутавровой балки (рис. 1.17, а): Нормальные напряжения в стенке около полки двутаврового сечения балки Эпюра нормальных напряжений в опасном сечении балки показана на рис. 1.17, б. 5. Определяем наибольшие касательные напряжения для подобранных сечений балки. а) прямоугольное сечение балки: б) круглое сечение балки: в) двутавровое сечение балки: Касательные напряжения в стенке около полки двутавра в опасном сечении А (справа) (в точке 2): Эпюра касательных напряжений в опасных сечениях двутавра показана на рис. 1.17,в. Максимальные касательные напряжения в балке не превышают допускаемых напряжений Пример 1.8 Определить допускаемую нагрузку на балку (рис. 1.18, а), если60МПа, размеры поперечного сечения заданы (рис. 1.19, а). Построить эпюру нормальных напряжений в опасном сечении балки при допускаемой нагрузке. Рис 1.18 1. Определение реакций опор балки. Ввиду симметрии системы 2. Построение эпюр Q и M по характерным сечениям. Поперечные силы в характерных сечениях балки: Эпюра Q для балки показана на рис. 5.18, б. Изгибающие моменты в характерных сечениях балки Для второй половины балки ординаты М – по осям симметрии. Эпюра М для балки показана на рис. 1.18, б. 3.Геометрические характеристики сечения (рис. 1.19). Разбиваем фигуру на два простейших элемента: двутавр – 1 и прямоугольник – 2. Рис. 1.19 По сортаменту для двутавра № 20 имеем Для прямоугольника: Статический момент площади сечения относительно оси z1 Расстояние от оси z1 до центра тяжести сечения Момент инерции сечения относительно главной центральной оси z всего сечения по формулам перехода к параллельным осям 4. Условие прочности по нормальным напряжениям для опасной точки «а» (рис. 1.19) в опасном сечении I (рис. 1.18): После подстановки числовых данных 5. При допускаемой нагрузке в опасном сечении нормальные напряжения в точках «а» и «b» будут равны: Эпюра нормальных напряжений для опасного сечения 1-1 показана на рис. 1.19, б.

Изгибом называется вид деформации, при котором искривляется продольная ось бруса. Прямые брусья, работающие на изгиб, называются балками. Прямым изгибом называется изгиб, при котором внешние силы, действующие на балку, лежат в одной плоскости (силовой плоскости), проходящей через продольную ось балки и главную центральную ось инерции поперечного сечения.

Изгиб называется чистым , если в любом поперечном сечении балки возникает только один изгибающий момент.

Изгиб, при котором в поперечном сечении балки одновременно действуют изгибающий момент и поперечная сила, называется поперечным . Линия пересечения силовой плоскости и плоскости поперечного сечения называется силовой линией .

Внутренние силовые факторы при изгибе балки.

При плоском поперечном изгибе в сечениях балки возникают два внутренних силовых фактора: поперечная сила Q и изгибающий момент М. Для их определения используют метод сечений (см. лекцию 1). Поперечная сила Q в сечении балки равна алгебраической сумме проекций на плоскость сечения всех внешних сил, действующих по одну сторону от рассматриваемого сечения.

Правило знаков для поперечных сил Q:

Изгибающий момент М в сечении балки равен алгебраической сумме моментов относительно центра тяжести этого сечения всех внешних сил, действующих по одну сторону от рассматриваемого сечения.

Правило знаков для изгибающих моментов M:

Дифференциальные зависимости Журавского.

Между интенсивностью q распределенной нагрузки, выражениями для поперечной силы Q и изгибающего момента М установлены дифференциальные зависимости:

На основе этих зависимостей можно выделить следующие общие закономерности эпюр поперечных сил Q и изгибающих моментов М:

Особенности эпюр внутренних силовых факторов при изгибе.

1. На участке балки, где нет распределенной нагрузки, эпюра Q представлена прямой линией , параллельной базе эпюре, а эпюра М - наклонной прямой (рис. а).

2. В сечении, где приложена сосредоточенная сила, на эпюре Q должен быть скачок , равный значению этой силы, а на эпюре М -точка перелома (рис. а).

3. В сечении, где приложен сосредоточенный момент, значение Q не изменяется, а эпюра М имеет скачок , равный значению этого момента, (рис. 26, б).

4. На участке балки с распределенной нагрузкой интенсивности q эпюра Q изменяется по линейному закону, а эпюра М - по параболическому, причем выпуклость параболы направлена навстречу направлению распределенной нагрузки (рис. в, г).

5. Если в пределах характерного участка эпюра Q пересекает базу эпюры, то в сечении, где Q = 0, изгибающий момент имеет экстремальное значение M max или M min (рис. г).

Нормальные напряжения при изгибе.

Определяются по формуле:

Моментом сопротивления сечения изгибу называется величина:

Опасным сечением при изгибе называется поперечное сечение бруса, в котором возникает максимальное нормальное напряжение.

Касательные напряжения при прямом изгибе.

Определяются по формуле Журавского для касательных напряжений при прямом изгибе балки:

где S отс - статический момент поперечной площади отсеченного слоя продольных волокон относительно нейтральной линии.

Расчеты на прочность при изгибе.

1. При проверочном расчете определяется максимальное расчетное напряжение, которое сравнивается с допускаемым напряжением:

2. При проектном расчете подбор сечения бруса производится из условия:

3. При определении допускаемой нагрузки допускаемый изгибающий момент определяется из условия:

Перемещения при изгибе.

Под действием нагрузки при изгибе ось балки искривляется. При этом наблюдается растяжение волокон на выпуклой и сжатие - на вогнутой частях балки. Кроме того, происходит вертикальное перемещение центров тяжести поперечных сечений и их поворот относительно нейтральной оси. Для характеристики деформации при изгибе используют следующие понятия:

Прогиб балки Y - перемещение центра тяжести поперечного сечения балки в направлении, перпендикулярном к ее оси.

Прогиб считают положительным, если перемещение центра тяжести происходит вверх. Величина прогиба меняется по длине балки, т.е. y = y (z)

Угол поворота сечения - угол θ, на который каждое сечение поворачивается по отношению к своему первоначальному положению. Угол поворота считают положительным при повороте сечения против хода часовой стрелки. Величина угла поворота меняется по длине балки, являясь функцией θ = θ (z).

Самыми распространёнными способами определения перемещений является метод Мора и правило Верещагина .

Метод Мора.

Порядок определения перемещений по методу Мора:

1. Строится «вспомогательная система» и нагружается единичной нагрузкой в точке, где требуется определить перемещение. Если определяется линейное перемещение, то в его направлении прикладывается единичная сила, при определении угловых перемещений – единичный момент.

2. Для каждого участка системы записываются выражения изгибающих моментов М f от приложенной нагрузки и М 1 - от единичной нагрузки.

3. По всем участкам системы вычисляют и суммируют интегралы Мора, получая в результате искомое перемещение:

4. Если вычисленное перемещение имеет положительный знак, то это значит, что его направление совпадает с направлением единичной силы. Отрицательный знак указывает на то, что действительное перемещение противоположно направлению единичной силы.

Правило Верещагина.

Для случая, когда эпюра изгибающих моментов от заданной нагрузки имеет произвольное, а от единичной нагрузки – прямолинейное очертание, удобно использовать графоаналитический способ, или правило Верещагина.

где A f – площадь эпюры изгибающего момента М f от заданной нагрузки; y c – ордината эпюры от единичной нагрузки под центром тяжести эпюры М f ; EI x – жесткость сечения участка балки. Вычисления по этой формуле производятся по участкам, на каждом из которых прямолинейная эпюра должна быть без переломов. Величина (A f *y c) считается положительной, если обе эпюры располагаются по одну сторону от балки, отрицательной, если они располагаются по разные стороны. Положительный результат перемножения эпюр означает, что направление перемещения совпадает с направлением единичной силы (или момента). Сложная эпюра М f должна быть разбита на простые фигуры(применяется так называемое "расслоение эпюры"), для каждой из которых легко определить ординату центра тяжести. При этом площадь каждой фигуры умножается на ординату под ее центром тяжести.