Dat je dokaz teoreme Weierstrass-a na granici monotonog niza. Slučajevi ograničenih i neograničenih nizova se razmatraju. Primjer u kojem je potrebno, primjenjujući teorem Weierstrass kako bi dokazao konvergenciju niza i pronalaženje njegove granice.

Bilo koji monotoni ograničen niz (x n) Ima konačnu granicu jednaku tačnom prilično graničnom, sUP (x n) Za neprodaju i tačnu donju granicu, inf (x n) Za redoslijed ne snimanja.
Svaki monotoni neograničen niz ima beskonačnu granicu jednaku infinity plus, za nedosljedan i minus beskonačnosti, za ne-dobitni niz.

Dokaz

1) limenski niz bez licanja.

(1.1) .

Budući da je redoslijed ograničen, ima tačnu gornju granicu
.
To znači da:

• za sve n,
  (1.2) ;
• 
  (1.3) .

.
Ovdje smo koristili i (1.3). Kombinovanje od (1.2), nalazimo:
at.
Od tada
,
ili
at.
Dokazan je prvi dio teorema.

2) Sad pustite da je redoslijed nedostajanje ograničenog sekvence:
(2.1) Za sve n.

Budući da je redoslijed ograničen, ima tačnu donju granicu
.
To znači sljedeće:

• za sve n, nejednakosti se izvode:
  (2.2) ;
• za bilo koji pozitivan broj postoji broj ovisno o ε za koji
  (2.3) .

.
Ovdje smo koristili i (2.3). S obzirom na (2.2), nalazimo:
at.
Od tada
,
ili
at.
To znači da je broj ograničenje sekvence.
Dokazan je drugi dio teorema.

Sada razmislite o neograničenim nizovima.
3) Neka slijedi neograničen neznatni niz.

Budući da je redoslijed nedosljedan, nejednakosti se provode za sve n:
(3.1) .

Budući da je slijed neupadljiv i neograničen, neograničen je na desnoj strani. Zatim za bilo koji broj M, postoji broj ovisno o m za koji
(3.2) .

Budući da je slijed nedosljedan, onda kada imamo:
.
Ovdje smo koristili i (3.2).

.
To znači da je granica sekvence jednaka plus beskonačnosti:
.
Dokazan je treći dio teorema.

4) Konačno razmislite o slučaju kada je neograničen nizov koji ne dobiva.

Slično prethodnom, jer slijed ne može dobiti,
(4.1) Za sve n.

Budući da je slijed koji nije dobio i neograničeno, neograničeno je na lijevoj strani. Zatim za bilo koji broj M, postoji broj ovisno o m za koji
(4.2) .

Budući da se niz ne dobiva, onda kada imamo:
.

Dakle, za bilo koji broj M, postoji prirodni broj koji ovisi o M, tako da se nejednakosti izvode za sve brojeve:
.
To znači da je ograničenje sekvence minus beskonačnosti:
.
Teorem se dokazuje.

Primjer rješavanja problema

Korištenje Weierstrass teoreme, dokaže konvergenciju niza:
, , . . . , , . . .
Nakon toga pronađite njenu granicu.

Zamislite redoslijed u obliku rekurelnih formula:
,
.

Dokazujemo da je navedeni niz ograničen odozgo
(P1) .
Dokaz o tome izvršimo metodu matematičke indukcije.
.
Neka bude. Onda
.
Dokazana je nejednakost (P1).

Dokazujemo da se redoslijed monotono povećava.
;
(P2) .
Jer, nazivnik frakcije i prvi faktor brojača brojčanik je pozitivan. Zbog ograničenih članova nejednakosti sekvence (P1), drugi faktor je takođe pozitivan. stoga
.
To jest, redoslijed je strogo povećanje.

Budući da se redoslijed povećava i ograničen je odozgo, to je ograničen niz. Stoga, Weierstrass Teorem ima ograničenje.

Naći ćemo ovaj limit. Označite ga kroz:
.
Koristimo činjenicu da
.
Primjenite ovo na (P2) pomoću aritmetičkih svojstava granica konvergentnih nizova:
.
Stanje zadovoljava korijen.

Definicija1. Sekvencija silazno (ne-glava ) ako za sve
nejednakost se vrši
.

Definicija2. Slijed
pozvan povećanje (nezakonit ) ako za sve
nejednakost se vrši
.

Definicija3. Pozvane se silazno, ne dobivanje, povećanje i neuhvatljivi nizovi monotonski nazivaju se i nizovi, smanjenje i povećanje nizova strogo monotoni sekvence.

Očigledno je da je nizak neregistran dolje ograničen na niže, ne dobio je niz koji se može dobiti odozgo. Stoga je bilo koji monotonski slijed očigledno ograničen na jednu ruku.

Primer1. Sekvencija
povećava se bez smanjenja
smanjiti
ne diže
- ne-monotonični niz.

Za monotone sekvence važna uloga Igra sljedeće

Teorema1. Ako je ne-lomljenje (ne dobivanje) sekvenca ograničena odozgo (dno), on se konvergira.

Dokaz. Pustite redoslijed
ne smanjuje se i ograničava se odozgo, I.E.
i mnogi
ograničeno odozgo. Po teoremu 1 § 2 postoji
. To dokazujemo
.

Uzeti
proizvoljno. Ukoliko ali- precizna velika granica, postoji broj N. takav da
. Budući da je slijed nedosljedan, onda za sve
imamo, i.e.
, pa tako
za sve
, a to znači da
.

Za neuspeh redoslijed, ograničen na dno, dokaz se izvodi slično ( studenti mogu sami dokazati ovu izjavu kod kuće). Teorem se dokazuje.

Komentar. Teorem 1 može se drugačije formulirati.

Teorema2. Da bi monotoni slijed konvergirao, potrebno je i dovoljno biti ograničeno.

Dovoljnost je uspostavljena u teoremi 1, potrebama - u teoremu 2 § 5.

Monotonij uvjet nije potreban za konvergenciju niza, jer konvergirajuća sekvenca nije nužno monotonne. Na primjer, redoslijed
nije monotono, ali se konvergira na nulu.

Vijećnjak. Ako slijed
povećava se (smanjuje) i ograničeno je odozgo (dno), zatim
(
).

Zaista, teorem 1
(
).

Definicija4. Ako
za
, zatim redoslijed sistem zatezanja ugniježđenih segmenata .

Teorema3 (princip ugniježđenih segmenata). Bilo koji pooštreni sistem ugniježđenih segmenata postoji i osim toga, jedino mjesto odkoji pripadaju svim segmentima ovog sistema.

Dokaz. Dokazujemo da je ta stvar odpostoji. Ukoliko
T.
i, dakle, redoslijed
ne smanjuje i redoslijed
ne povećava se. Gde
i
ograničen, jer. Tada, teorem 1 postoji
i
, ali od
T.
=
. Pronađena tačka odpripada svim segmentima sistema, jer je istraga teorema 1
,
.
za sve vrijednosti n..

Pokaži sada kada je točka od- Jedini. Pretpostavimo da su dvije tačke dvije: odi d.pa čak i sa sigurnošću
. Zatim režite
pripada svim segmentima
.
za sve n.to je nemoguće zato
i, to znači, počevši od nekih broja,
. Teorem se dokazuje.

Imajte na umu da je bitno da se razmatraju zatvorene praznine, I.E. Segmenti. Ako uzmemo u obzir sistem zategnutih intervala, tada je princip, generalno gledano, netačan. Na primjer, intervali
Očito se zategnu u tačku
, međutim, poenta
ne pripada nijednom intervalu ovog sistema.

Razmislite o primjerima konvergiranja monotonskih nizova.

1) broj e..

Razmislite o sada redoslijedu
. Kako se ponaša? Baza

stepen
, pa tako
? S druge strane,
, ali
, pa tako
? Ili ograničenje ne postoji?

Da biste odgovorili na ova pitanja, razmislite o pomoćnom redoslijedu
. Dokazujemo da se smanjuje i ograničava se na niže. U isto vrijeme će nam trebati

Lemama. Ako a
Zatim za sve prirodne vrijednosti n.imati

(Bernoulli nejednakost).

Dokaz. Koristimo metodu matematičke indukcije.

Ako a
T.
. Nejednakost je tačna.

Pretpostavimo da je to istina
i dokazati svoju pravdu za
+1.

Pravo
. Pomnožite ovu nejednakost na
:

Na ovaj način, . Dakle, prema principu matematičke indukcije, Bernoulli nejednakost vrijedi za sve prirodne vrijednosti. n.. Dokazana je lemma.

Pokazujemo da je redoslijed
opada. Imati

| Bernoulli nejednakost |
, a to znači da slijed
opada.

Ograničenje ispod slijedi od nejednakosti
| Bernoulli nejednakost |
za sve prirodne vrijednosti n..

Od strane teorema 1 postoji
Šta je označeno pismom e.. stoga
.

Broj e.iracionalno i transcendentno e.\u003d 2.718281828 .... Poznato je, osnova prirodnih logaritma.

Primjedbe. 1) Bernoulli nejednakost može se koristiti za dokazivanje da
za
. Zaista, ako
T.
. Tada, Bernoulli nejednakost,
. Otuda i sloj
imati
, i.e
za
.

2) U gornjem primjeru temelj stepena teži 1, ali pokazatelj stepena n.- K. , odnosno postoji nesigurnost vrsta . Nesigurnost ove vrste, kao što smo pokazali, otkriva se divnim granicama.
.

2)
(*)

Dokazujemo da se ovaj niz konvergira. Da biste to učinili, pokazujemo da je ograničeno odozdo i ne povećava se. Istovremeno koristimo nejednakost
za sve
što je posljedica nejednakosti
.

Imati
cm. nejednakost iznad
. Slijed je ograničen na dno broja.
.

Dalje,
 tako kao

. Sekvencija se ne povećava.

Od strane teorema 1 postoji
što se označava h.. Prolazeći u jednakost (*) do granice kada
, dobiti

.
Od!
(Mi uzimamo znak plus, jer su svi članovi sekvence pozitivni).

Sekvencija (*) se primjenjuje pri izračunavanju
otprilike. Po ponesite bilo koji pozitivan broj. Na primjer, mi ćemo pronaći
. Neka bude
. Onda
. Na ovaj način,
.

3)
.

Imati
. Ukoliko
za
, Postoji broj N., takav to za sve
nejednakost se vrši
. Dakle, redoslijed
počevši od nekog broja N., smanjuje se i ograničeno je u nastavku, jer
za sve vrijednosti n.. Dakle, teorem 1 postoji
. Ukoliko
, imati
.

Dakle,
.

4)
, s desne strane - n. korijenje.

Način matematičke indukcije To mi pokazujemo
za sve vrijednosti n.. Imati
. Neka bude
. Zatim, stoga dobivamo izjavu o principu matematičke indukcije. Koristeći ovu činjenicu, nalazimo, i.e. redoslijed
povećava se i ograničava odozgo. Stoga postoji jer
.

Na ovaj način,
.