Za dva direktna u prostoru moguća su četiri slučaja:

Ravna poklapanja;

Ravno paralelno (ali ne podudara se);

Direktni presijecanje;

Ravno prekriži, i.e. Nemaju uobičajene bodove i ne paralelne.

Razmotrite dva načina za opisivanje izravnog: kanonske jednadžbe i zajedničke jednadžbe. Neka se ravne linije L 1 i L 2 postavljaju kanonskim jednadžbima:

L 1: (x - x 1) / l 1 \u003d (y - y 1) / m 1 \u003d (z - z 1) / n 1, l 2: (x - x 2) / l 2 \u003d (y - y 2) / m 2 \u003d (z - z 2) / n 2 (6.9)

Za svaku pravu liniju svojih kanonskih jednadžbi odmah određujemo točku na M1 1 (x 1; y 1; z 1) ∈ l 1, m 2 (x 2; y 2; z 2) ∈ l 2 i koordinate od vektora vodiča S 1 \u003d (L 1; m 1; n 1) za L 1, S 2 \u003d (L 2; m 2; N 2) za L 2.

Ako se direktno poklapa ili paralelno, njihovi vodiči s 1 i s 2 Collinear Bear, koji je ekvivalentan jednakosti koordinatnih odnosa ovih vektora:

l 1 / l 2 \u003d m 1 / m 2 \u003d n 1 / n 2. (6.10)

Ako se direktno poklapa, vodič vektori kolinorija i vektora M 1 m 2:

(x 2 - x 1) / l 1 \u003d (y 2 - y 1) / m 1 \u003d (z 2 - z 1) / n 1. (6.11)

Ova dvostruka jednakost takođe znači da tačka m 2 pripada ravnoj liniji L 1. Shodno tome, slučajnost izravnih linija je implementacija jednakosti (6.10) i (6.11) istovremeno.

Ako se direktni presijeca ili prekršaj, njihovi vektori vode neallylinear, tj. Stanje (6.10) je prekršeno. Presijecajući ravno leži u istoj ravnini i, dakle, vektori S 1, s 2 i m 1 m 2 su opštiodrednica treće narudžbesastavljen iz njihovih koordinata (vidi 3.2):

Stanje (6.12) vrši se u tri slučaja četiri, jer na δ ≠ 0, ravne linije ne pripadaju istoj ravnini i zato križu.

Mi ćemo minimizirati sve uvjete zajedno:

Međusobna lokacija direktnog karakterizira se broj rješenja iz sustava (6.13). Ako je direktna ista, sustav ima beskonačno mnogo rješenja. Ako se direktni presijeca, onda ovaj sistem ima jedno rješenje. U slučaju paralelnih ili prelaska direktnih rješenja tamo. Posljednja dva slučaja mogu se podijeliti ako su direktni vektori izravni. Da biste to učinili, dovoljno je izračunati dva vektorska umjetnost N 1 × n 2 i n 3 × n 4, gdje n \u003d (a I; b i; c i), i \u003d 1, 2, 3.4. Ako su rezultirajući vektori kolinoeri, zatim podaci direktno paralelni. Inače prelaze.

Primjer 6.4.

VETOR VECTOR S 1 Ravni L 1 nalazi se prema kanonskim jednadžbama ovog ravnog: s 1 \u003d (1; 3; -2). Vodič Vector S 2 Raight L 2 Izračunajte pomoću vektorskog proizvoda normalnih vektora aviona, čija je raskrsnica:

Od s 1 \u003d -s 2, a zatim direktno paralelno ili se podudara. Samim tim, koja se od ovih situacija provodi za izravne podatke. Da biste to učinili, zamjenjujemo koordinate tačke M 0 (1; 2; -1) ∈ L 1 u opće jednadžbe su ravne L 2. Za prvu, dobivamo 1 \u003d 0. Stoga točka M 0 ne pripada direktnom L 2, a direktno se smatraju direktnim paralelnim.

Ugao između ravnog. Kut između dva prava može se pronaći koristeći vodič vektori ravno. Akutni ugao između ravnog jednak je ugao između njihovih vektora vodiča (Sl. 6.5) ili je dodatna ako je ugao između vektora vodiča glup. Dakle, ako su njihovi vektori s X i S 2 poznati po linijama L 1 i L 2, oštar ugao φ između ovih izravnih određuje se kroz skalarni proizvod:

cosφ \u003d | s 1 s 2 | / | s 1 || s 2 |

Na primjer, neka s i \u003d (l i; m i; n i), i \u003d 1, 2. Korištenje formula (2.9) i (2.14) za izračunavanje vektor dužine i skalarni rad u koordinatama

U ovom ćemo članku detaljno fokusirati na jednom od primarnih koncepata geometrije - na konceptu ravne linije u avionu. Prvo ćemo definirati glavne uvjete i notaciju. Dalje ćemo razgovarati o uzajamnoj lokaciji ravne i tačke, kao i dva direktna u avionu, dajemo potrebne aksiome. Zaključno, razmotrite načine za postavljanje direktnog u avion i dati grafičke ilustracije.

Navigacijsku stranicu.

Direktno u avionu je koncept.

Prije nego što date koncept izravnog u avionu, trebali biste jasno zamisliti šta je avion. Pogled na avion Omogućuje vam da dobijete, na primjer, ravnu površinu stola ili zida kuće. Međutim, trebalo bi imati na umu da je veličina tablice ograničena, a avion se proteže i izvan tih granica u beskonačnosti (kao da imamo proizvoljno veliku tablicu).

Ako uzmete dobro oštrenu olovku i dodirnite ga štapom na površinu "Tabele", tada ćemo dobiti sliku. Pa dobijamo pogled na točku u avionu.

Sada možete ići koncept ravne linije u avionu.

Stavite na površinu stola (u ravnini) list čistog papira. Da bismo prikazali ravnu liniju, moramo uzeti vladar i voditi liniju olovke onoliko koliko vam omogućuje da napravite veličinu korištene linije i listova papira. Treba napomenuti da na ovaj način dobijamo samo dio ravno. Direktna linija u potpunosti se proteže u beskonačnosti, možemo samo zamisliti.

Međusobni raspored direktnog i točke.

Trebali biste započeti s aksiomima: na svakom direktnom i u svakom avionu postoje bodovi.

Točke se uzimaju kako bi naveli velika latino pisma, na primjer, bodova A i F. Zauzvrat, ravne linije označavaju malu latino pisma, na primjer, ravna A i D.

Mogući dvije mogućnosti za ograničenje izravnog i točke u avionu: Ili tačka leži na ravnoj liniji (u ovom slučaju oni također kažu da direktni prolazi kroz točku) ili točka ne leži ravno (također kažu da poanta ne pripada ravnoj ili direktnoj ne pripada ne pripada ravno ili direktno proći kroz točku).

Da se odnose na pripadanje tačke, neki direktni koriste simbol "". Na primjer, ako je točka A direkt a, onda možete napisati. Ako poen i ne pripada liniji A, onda pišite.

Sledeća izjava je ispravna: kroz bilo koja dva boda postoji jedna ravna linija.

Ova je izjava aksiom i treba ga usvojiti kao činjenica. Pored toga, sasvim je očigledno: slavimo dvije točke na papiru, vladar im primjenjujemo i provedemo ravnu liniju. Direktno, prolazeći kroz dvije zadane vrijednosti (na primjer, kroz točke A i B), može se označiti dva slova (u našem slučaju, ravno AV ili VA).

Trebalo bi shvatiti da u direktnoj navedenoj ravnini mogu beskonačno mnogo različitih točaka, svi ti točke leže u istoj ravnini. Ova izjava postavlja Aksiom: ako dva boda direktnu lažu u nekoj ravnini, a zatim sve točke ove ravne leže u ovoj ravnini.

Skup svih točaka smještenih između dva usmjerena boda, zajedno sa ovim tačkama koje nazivaju rezati direktno ili jednostavno izrezati. Točke koje ograničavaju segment nazivaju se dijelovi segmenta. Segmenti se označavaju dva pisma koja odgovaraju točkama kraja segmenta. Na primjer, pustite da su točke A i B krajevi segmenta, tada se ovaj segment može označiti AV ili VA. Imajte na umu da se ova oznaka segmenta poklapa sa oznakom ravno. Da biste izbjegli konfuziju, preporučujemo da dodnesite riječ "segment" ili "ravno" na oznaku.

Za kratki zapisnik o priboru i ne pripadaju određenoj tački, neki od istih simbola i. Da pokažemo da neki segment leži ili ne leži na ravnoj simbolima i u skladu s tim. Na primjer, ako segment AV pripada direktnom A, možete ukratko izgorjeti.

Trebali biste se zaustaviti i za slučaj kada tri različita točka pripadaju jednoj ravnoj liniji. U ovom slučaju jedan, a samo jedna tačka leži između dvoje drugih. Ova izjava je još jedan aksiom. Neka točke A, B i C leže na jednoj ravnu liniju, a tačka u leži između točaka A i C. Tada možemo reći da su točke A i C na različitim stranama u trenutku u. Može se reći i da bodovi B i C leže na jednoj strani točke A, a točke A i B leže na jednoj strani točke.

Za cjelovitost primjećujemo da bilo koja točka izravno dijeli ovo ravno u dva dijela - dva zraka. Za ovaj slučaj je dat aksiom: proizvoljna tačka o, u vlasništvu ravne linije, dijeli to ravno na dva snopa, a dvije bilo koje tačke jednog snopa na jednoj strani točke o, i dvije točke različitih zraka - Na različitim stranama točke o tome.

Uzajamna lokacija direktnog u avionu.

Sada odgovorite na pitanje: "Kako mogu dva ravna u avionu odnositi jedni s drugima?"?

Prvo, dvije ravne linije u avionu mogu podudarati se.

To je moguće u slučaju kada direktno ima najmanje dvije zajedničke bodove. Zaista, na osnovu aksioma izraženih u prethodnom odlomku, jedina ravna linija prolazi kroz dvije točke. Drugim riječima, ako dvije izravne točke prolaze kroz dvije zadane vrijednosti, oni se podudaraju.

Drugo, dva ravna mogu preći.

U ovom slučaju ravne linije imaju jednu zajedničku točku koja se naziva direktnom tačkom raskrižju. Sjecište izravnog označava se "" Simbol, na primjer, zapisnik znači da direktno A i B presijecaju na tački m. Presijecavanje ravnih linija vodi nas do koncepta ugla između presijecavanja ravno. Odvojeno, vrijedi razmatrati lokaciju direktnog u avionu, kada je ugao između njih jednak stupnjevima. U ovom slučaju se naziva direktno okomit (Preporučujemo članak okomit direktno, perpendikularnost izravnog). Ako je direktna A je okomita na direktno B, možete koristiti kratak zapis.

Treće, dva ravna aviona mogu biti paralelne.

Ravna linija na avionu sa praktičnog stanovišta prikladna je za razmatranje zajedno sa vektorima. Neurro vektori koji leže na ovom direktnom ili na bilo kojem paralelnom ravnom liniju su od posebnog značaja. vodič vektori su direktni. U članku je direktna linija u avionu data primjeri vektora vodiča i prikazuju opcije za njihovu upotrebu prilikom rješavanja zadataka.

Takođe, trebali biste obratiti pažnju na ne-nulte vektore koji leže na bilo kojem od direktne okomito na ovo. Takvi se vektori nazivaju normalni vektori su direktni. O korištenju normalnih vektora direktno je rečeno u članku normalan vektor u ravnini.

Kad se u avionu daju tri ili više linija, tada se pojave mnogo različitih opcija za njihovu međusobnu lokaciju. Sve ravne linije mogu biti paralelne, inače neke ili svi se presijecaju. Istovremeno, sve ravne linije mogu presijecati u jednoj tački (vidjeti članak pomoću izravnog), a mogu imati različite točke raskrižja.

Nećemo se baviti o tome detaljno, ali mi ćemo dati nekoliko izvanrednih i vrlo često korištenih činjenica:

• ako su dva ravna paralela s trećim ravno, onda su paralelni jedni s drugima;
• ako su dva direktna okomita na treću ravnu liniju, onda su paralelni jedni s drugima;
• ako u ravnini neki direktni prelaze jednu od dvije paralelne ravne linije, a zatim prelazi i drugi ravni.

Načine za postavljanje direktno u avionu.

Sada navodimo glavne načine koji se mogu precizirati direktno u ravnini. Ovo je znanje vrlo korisno sa praktičnog stanovišta, jer se zasniva na rješenju za vrlo mnogo primjera i zadataka.

Prvo, direktno se može odrediti specificiranjem dvije tačke u ravnini.

Doista, iz Axioma razmatranog u prvom odlomku ovog članka znamo da u dva točka ide ravno, i sa samo jednim.

Ako su koordinate dvije nedosljedne točke naznačene u pravokutnog koordinatnog sustava u avionu, odnosno sposobnost zabilježivši diskcijsku direktno prolazak kroz dvije navedene točke.

Drugo, možete odrediti direktnu točku kroz koju prolazi, a direktna je paralelna. Ova metoda vrijedi, jer je jedina ravna linija paralelna s navedenom ravnom linijom, prolazi kroz ovu točku aviona. Dokaz ove činjenice izveden je u lekcijama geometrije u srednjoj školi.

Ako je direktno u avionu da postavi ovu metodu u vezi s uvedenim pravokutnim kartonskim koordinatnim koordinatnim sustavom, odnosno sposobnost sastavljanja njegove jednadžbe. Ovo je u članku napisano jednadžbom direktnom prolaskom kroz određenu točku paralelu s navedenim direktnim.

Treće, možete odrediti direktno ako navedete točku kroz koju prolazi, i njen vodič vektor.

Ako je ravna linija postavljena u pravokutnog koordinatnog sustava na taj način, lako je napraviti svoju kanoničku jednadžbu izravno u ravnini i parametrijskim jednadžbima izravno u ravnini.

Četvrti način da odredite liniju je da biste trebali odrediti točku kroz koju prolazi, a direktan je okomit na. Zaista, kroz određenu točku aviona, jedinu pravu liniju, okomito na ovu ravnu liniju. Ostavimo tu činjenicu bez dokaza.

Konačno, može se postaviti direktno u ravnini, pokazujući točku kroz koju prolazi, a normalan vektor je ravno.

Ako su koordinate točke koje leže na navedenom direktnom, a koordinate normalnog vektora su ravne, odnosno sposobnost zabilježi opću jednadžbu direktno.

Bibliografija.

• Atanasyan L.S., Butuzov V.F., KADOMTSEV S.B., Poznyak e.g., Yudina I.I. Geometrija. 7 - 9 klasa: udžbenik za opće obrazovne institucije.
• Atanasyan L.S., Buduzov V.F., KADOMTSEV S.B., Kiseleva L.S., Poznyak e.g. Geometrija. Vodič za srednjoškolske nastave 10-11.
• Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M. Veća matematika. Svezak jedan: Elementi linearne algebre i analitičke geometrije.
• Ilyin v.a., Poznyak e.g. Analitička geometrija.

Autorsko pravo CleverStudents.

Sva prava zadržana.
Zakon o autorskim pravima. Nijedan dio stranice www.site, uključujući unutrašnje materijale i vanjski dizajn, ne može se reproducirati u bilo kojem obliku ili koristiti bez prethodnog pismenog odobrenja vlasnika autorskih prava.

Poglavlje V *. Jednadžbe ravnih i fluksa u prostoru.

§ 66. Uslovi slučajne i raskrižje aviona

Ako avion r 1 I. r 2, date jednadžbama

A 1. h. + B 1. y. + C 1. z. + D 1 \u003d 0 i 2 h. + B 2. y. + C 2. z. + D 2 \u003d 0, (1)

imajte zajedničku poantu, njegove koordinate zadovoljavaju svaku od jednadžbi (1). Stoga ćete pronaći zajedničke tačke tih aviona, morate riješiti sistem jednadžbi

i.E. sistem dviju jednadžbi sa tri nepoznate. Prilikom izvođenja stanja

(3)

sistem (2) nema rješenja. Zapravo, pretpostavimo suprotno.
Pretpostavimo da ( h. 0 ; W. 0 Z. 0) - sistem rešenja. Onda, ako

zatim iz druge jednačke sustava (2) dobivamo

A 2. h. 0 + B 2 w. 0 + C 2 z. 0 \u003d - D 2,

i od prvog

k. (I 2. h. 0 + B 2 w. 0 + C 2 z. 0) \u003d - D 1,

i, prema tome, to je suprotno Walloviji (3).

Znamo da je stanje Postoji uvjet za paralelizam aviona. Dakle, prilikom obavljanja stanja (3) ravnine r 1 I. r 2 su paralelne i ne podudaraju se.

U slučaju kada su koeficijenti i besplatni članovi sustava (2) zadovoljavaju uvjet

(4)

sistem ima pogled

Svaka od jednadžbi sistema određuje isti avion. Dakle, stanje (4) je neophodan i dovoljan uvjet za slučajnost aviona.

Ako avion r 1 I. r 2 nisu paralelno, tj. Ako se presijecaju, onda

U ovom slučaju jednadžbe (2) su izravne jednadžbe L. Prelazni avioni r 1 I. r 2. Pokazujemo kako se mogu naći kanonske jednadžbe. Da biste napravili kanonske jednadžbe usmjerne, morate znati koordinate njegove neke točke i koordinate njegovog vektora vodiča ali . Za koordinate točke M 0 možete preuzeti bilo kakvo rješenje rješenja (2). Kao vektor vodiča ali ravni L.možete preuzeti vektorske umjetničke djela n. 1 \u003d (a 1; b 1; od 1) i n. 2 \u003d (2; b 2; od 2), I.E. Normalni vektori ravnine r 1 I. r 2 .

U stvari (Sl. 203), vektor [ n. 1 ; n. 2] Definicija vektorskog rada okomita na vektore n. 1 I. n. 2 i samim tim paralelni avioni r 1 I. r 2 i, dakle, Collinear direktno l. njihova raskrižja.

Zadatak 1.. Stvorite kanonske jednadžbe direktno, što je raskrižje aviona

H. - 2w. + z.+ 1 \u003d 0 i 2 h. - w.+ 3z. - 2 = 0.

Kao n. 1 = (1; - 2; 1), n. 2 \u003d (2; -1; 3), onda

Da bismo odredili koordinate bilo koje točke ovog direktora, naći ćemo bilo koje rješenje za sustav jednadžbi

Stavite, na primjer, z. \u003d 0, onda imamo

od h. = 5 / 3 , y. \u003d 4/3. Stoga izvorni sistem ima rješenje (5/3; 4/3; 0), a samim tim i ovaj direktni prolazi kroz tačku M (5/3; 4/3; 0).

Poznavanje koordinata točke izravnih i koordinata njenog vektora vodiča, napišite kanonske jednadžbe ovog direktnog

Imajte na umu da ako avion a 1 h. + B 1. y. + C 1. z. + D 1 \u003d 0 i 2 h. + B 2. y. + C 2. z. + D 2 \u003d 0 presijeca, jednadžbu bilo kojeg ravnine koja prolazi kroz direktno raskrižje može se snimiti kao

α (a 1 h. + B 1. y. + C 1. z. + D 1) + β (i 2 h. + B 2. y. + C 2. z. + D 2) \u003d 0,

gde su α i β neki brojevi.

Zadatak 2.Napraviti jednadžbu ravnine koja se odvija kroz direktno preseljenje aviona 3 x. - 2w. - z. + 4 \u003d 0 i h. - 4w. - 3z. - 2 \u003d 0 i tačka m 0 (1; 1; - 2).

Napravit ćemo jednadžbu aviona koji prolaze kroz direktno preseljenje ovih aviona:

α (3. x. - 2w. - z. + 4) + β ( h. - 4w. - 3z. - 2) = 0.

Budući da M 0 pripada željenoj ravnini,

α (3 1 - 2 1 + 2 + 4) + β (1- 4 1 + 6 -2) \u003d 0,

i zbog toga,

gdje, na primjer, α \u003d 1, β \u003d -7.

Željena jednadžba aviona bit će

3x. - 2w. - z. + 4 - 7 (h. - 4w. - 3z. - 2) = 0,

2x. - 13w. - 10z.- 9 = 0.

Neka su dvije jednadžbe sada date:

Da vidimo kada su ravni D i D, određeni tim jednadžbama, paralelni su u širokom smislu, kada se poklapaju kada paralelno u svom smislu (I.E. nema zajedničkih bodova).

Odgovor na prvo pitanje dobije se odmah: ravno D i D, tada i tek tada paralelno u širokom smislu, kada su njihovi vektori za vođenje kolinore, tj. Kada postoji proporcija, i samim tim u proporciju

Ako se taj udio može nastaviti proporcionalno

to se direktno poklapa: u ovom slučaju, svi koeficijenti jedne od dvije jednadžbe (1), (g) dobivaju se od koeficijenata drugog množenja od strane nekih i, dakle, jednadžbe (1) i jednake su jednake (svake tačke u jednoj jednačini) zadovoljava drugačije).

Povratak, ako se dvije ravne linije podudaraju, tada se udio (3) događa.

Prvo ćemo to dokazati u slučaju kada je naš ravni paralelni sa osi ordinate. Zatim moramo dokazati samo jednakost.

Ali zadnja jednakost (u kojoj slijedi iz činjenice da se i (podudara) direktno presijecao osi apscisa u istoj točki sa apscisom.

Sada neka poklapa privatnost nije paralelna sa osi ordinata. Zatim ih presijecaju u istoj tački Q s redoslijedom i imamo proporciju, koji zajedno s udjelom (2) (izražavajući paralelizam direktno u širokom smislu) i daje nam željeni udio (3).

Paralelizam u svom donjem smislu znači da postoji paralelizam u širokom smislu (I.E. Stanje (2)), ali nema slučajnosti (tj nisam ispunjen). To znači da udio

odvija gde

Kombinacija dva odnosa (2) i (4) obično se bilježi kao formula:

Rezimirajmo sve dokazano.

Teorem 1. Bilo koji ravni d u avionu opremljen sustavom koordinata Affine određuje se određenom jednadžbom prvog stepena između koordinata njegovih bodova. Nazad, bilo koja jednadžba prve stepene

je li jednadžba nekih (jedini) direktni d; Istovremeno, svi vektori, kolinoarni od ovoga, i samo oni zadovoljavaju homogenu jednadžbu

Ovaj članak govori o paralelnoj direktnoj i direktnom paralelizmu. Isprva, definicija paralelnog direktno u ravninu i u prostoru, uvedena je notacija, daju se primjeri i grafičke ilustracije paralelnih ravnih linija. Sljedeći rastavljanje znakova i uvjeti paralelizma izravnog. Zaključak pokazuje rješenja karakterističnih zadataka o dokazu paralelizma izravnog, koji su date nekim jednadžbama ravne linije u pravougaonom koordinatnom sustavu u ravnini i u trodimenzionalnom prostoru.

Navigacijsku stranicu.

Paralelno direktno - osnovne informacije.

Definicija.

Nazivaju se dva ravna aviona paralelnoAko nemaju zajedničke bodove.

Definicija.

Pozvani su dva ravna u trodimenzionalnom prostoru paralelnoAko leže u istoj ravnini i nemaju zajedničke bodove.

Imajte na umu da rezervacija "Ako leže u istoj ravnini" u definiciji paralelnog direktora u prostoru vrlo je važno. Objasnimo da objasnimo ovaj trenutak: dva ravna u trodimenzionalnom prostoru koji nemaju zajedničke točke i ne leže u istoj ravnini nisu paralelni, već se prelaze.

Evo nekoliko primjera paralelnih ravnih linija. Suprotne ivice lista bilježnice leže na paralelnim ravnim linijama. Direktno, kojom ravnina zida kuće prelazi ravninu stropa i poda, paralelni su. Željezničke šine na ravnom terenu mogu se gledati i paralelno ravno.

Da biste naznačili paralelno direktno koristiti simbol "". Odnosno, ako su direktni A i B paralelni, tada možete ukratko snimiti b.

Napominjemo: Ako su direktna A i B paralelna, možemo reći da je direktna A je paralelna s ravnom linijom B, a također i da je ravno B paralelno s direkcijom.

Poglavimo izjavu koja igra važnu ulogu u proučavanju paralelnih ravnih linija u ravnini: kroz točku koja ne leži na ovom direktnom, jedinu ravnu liniju, paralelno s tim. Ova se izjava usvaja kao činjenica (ona se ne može dokazati na osnovu crtene osovine), a naziva se aksiom paralelnih ravnih linija.

Za slučaj u prostoru, Theorem je validna: kroz bilo koju točku prostora koja ne leži na određenoj ravnu liniju, jedina ravna linija, paralelno s tim. Ova teorema se lako dokazuje uz pomoć gore navedenog Axiom paralelnog direktnog (njegov dokaz možete pronaći u geometrijskom udžbeniku 10-11, koji je naveden na kraju članka o literaturi).

Za slučaj u prostoru, Theorem je validna: kroz bilo koju točku prostora koja ne leži na određenoj ravnu liniju, jedina ravna linija, paralelno s tim. Ova teorema se lako dokazuje pomoću gore navedenih aksioma paralelnih ravnih linija.

Paralelizam izravnih - karakteristika i uvjeti paralelizma.

Znak izravnog paralelizma To je dovoljan uvjet za paralelizam izravnog, odnosno takva stanja, čije pogubljenje garantuje paralelu izravnih. Drugim riječima, provedba ovog stanja je dovoljno da se navodi činjenica paralelizma direktnog.

Postoje i potrebni i dovoljni uvjeti za paralelizam izravnog u ravnini i u trodimenzionalnom prostoru.

Objasnimo da objasnimo značenje fraze "neophodno i dovoljan uvjet paralelizma izravnog".

Uz dovoljan uvjet paralelizma, već smo shvatili. I šta je "neophodno stanje paralelizma direktnog"? Prema nazivu "Potrebno" jasno je da je izvršenje ovog stanja neophodno za paralelizam direktnog. Drugim riječima, ako se potrebno stanje direktnog paralelizma nije ispunjeno, onda ravne linije nisu paralelne. Na ovaj način, potrebno i dovoljno stanja paralelizam - Ovo stanje, čiji je izvršenje potrebne i dovoljno za paralelizam ravnih linija. To je, s jedne strane, ovo je znak izravnog paralelizma, a s druge strane, ovo je imanje koje ima paralelno ravno.

Prije formuliranja potrebnog i dovoljnog uvjeta za paralelizam izravnog, preporučljivo je podsjetiti nekoliko pomoćnih definicija.

Pjevati ravno - Ovo je ravna linija koja prelazi svaku od dvije definirane nekompnične ravne linije.

Prilikom prelaska dva direktnog secanta, osam neremenosa. U formulaciji potrebnog i dovoljnog stanja paralelizma izravnog sudjelovanja tzv lED, respektivno i jednostrani uglovi. Pokažite ih na crtežu.

Teorem.

Ako su jedinice prekrižene dvije izravne u avionu, tada je za njihovu paralelu, potrebno i dovoljno tako da su osnovni uglovi jednaki, ili su odgovarajući uglovi jednaki, ili su zbroj jednostranih uglova bio 180 stepeni.

Pokazujemo grafičku ilustraciju ovog potrebnog i dovoljnog stanja paralelizma direktno u avionu.

Dokazi o tim uvjetima paralelizma izravni mogu se naći u udžbenicima geometrije za 7 -9 časova.

Imajte na umu da se ovi uvjeti mogu koristiti i u trodimenzionalnom prostoru - glavna stvar je da se dva ravna i secanta ležala u istoj ravnini.

Dajemo nekoliko teorema koje se često koriste u dokazu paralelizma izravnih.

Teorem.

Ako su dvije ravne linije u ravnini paralelno s trećim ravno, onda su paralelne. Dokaz ove funkcije slijedi iz aksioma paralelnog direktora.

Postoji slično stanje za paralelizam izravnog u trodimenzionalnom prostoru.

Teorem.

Ako su dva ravna u prostoru paralelne s trećim ravno, onda su paralelni. Dokaz ove funkcije razmatra se u predavama geometrije u 10. razredu.

Ilustrujemo izražene teoreme.

Dajemo još jednu teoremu koja vam omogućava da dokažete paralelizam direktnog u avionu.

Teorem.

Ako su dva ravna jednakode na treću ravno, onda su paralelne.

Postoji slična teorema za direktno u prostoru.

Teorem.

Ako su dva direktna u trodimenzionalnom prostoru okomito na jednu ravninu, onda su paralelne.

Prikazujem crteže koji odgovaraju tim teoremima.

Sve teoremi formulirane gore, znakovi i potrebni i dovoljni uvjeti su savršeno pogodni za dokaze paralelizma izravnih metoda geometrije. To jest dokazati paralelizam dva navedena usmjeravanja kako bi pokazala da su paralelni s trećim ravno, ili da pokažu jednakost odlaska uglova ležala itd. Mnogi takvi zadaci rješavaju se u predavama geometrije u srednjoj školi. Međutim, treba napomenuti da je u mnogim slučajevima prikladno koristiti metodu koordinata za dokazivanje paralelizma izravnog u ravnini ili u trodimenzionalnom prostoru. Formuliramo potrebne i dovoljne uslove za paralelizam direktnog, koji su navedeni u pravougaonom koordinatnom sistemu.

Paralelizam izravnog u pravougaonom koordinatnom sistemu.

U ovom odlomku članka formulirat ćemo potreban i dovoljan uslovi izravnog paralelizma U pravougaonom koordinatnom sustavu, ovisno o vrsti jednadžbi koje određuju ove izravne, a također daju detaljna rješenja karakterističnih zadataka.

Počnimo sa stanjem paralelizma dva direktna u ravnini u pravougaonom Oxy koordinatnom sustavu. Osnova njegovog dokaza je definicija vektora vodiča i definicija normalnih vektora u ravnini.

Teorem.

Za paralelnost dviju nedosljednih ravnih linija u avionu, potrebno je i dovoljno da su vodili vektori ovih linija kolinoarni, ili su normalni vektori tih ravnih linija kolinirani, ili je direktor jednog direktora bio okomit na normalu vektor drugog direktnog.

Očito je da se stanje paralelizma dvije ravne linije u avionu svodi na (vodiče vođenih direktnih ili normalnih vektora ravnih linija) ili k (vodeći vektor jednog ravnog i normalnog vektora). Dakle, ako oboje - direktni vektori izravnog A i B i i - Normalni vektori ravnih linija A i B, respektivno, tada će biti potrebni i dovoljan uslov paralelizma izravnog A i B kao , ili , ili, gdje je t važan broj. Zauzvrat, koordinate vodiča i (ili) normalnih vektora ravnih linija A i B nalaze se prema poznatim jednadžbama izravnih.

Konkretno, ako je direktna A u pravokutnom sistemu Oxy koordinata u ravnini postavlja opću jednadžbu direktnog tipa , i ravno b - , Normalni vektori ovih direktora imaju koordinate i, u skladu s tim, u skladu s tim, uvjetima paralelizma izravnog A i B bit će zabilježeni kao.

Ako izravna A odgovara jednadžbi ravne linije s kutnim koeficijentom vrsta, i direktno B -, tada normalni vektori ovih izravnih koordinata i, a stanje paralelizma ovih izravnih poduzet će obrazac . Stoga je, ako je direktno u ravnini u pravougaonom koordinatnom sustavu paralelno i može se postaviti jednadžbama izravnih kutnim koeficijentima, ugljeni koeficijenti bit će jednaki. I nazad: Ako se koordinatne ravne linije u ravnini u rektujlarnom koordinatnom sustavu mogu dati jednadžbama izravnih s jednakim kutnim koeficijentima, tada su takvi direktni paralelni.

Ako je izravan A i Raight B u pravougaonom koordinatnom sustavu definirati kanonske jednadžbe izravne u ravnini vrste i , ili parametrijske jednadžbe usmjerene u ravninu vrsta i U skladu s tim, vodni vektori ovih direktora imaju koordinate i, a stanje paralelizma izravnog A i B zabilježen je kao.

Mi ćemo analizirati rješenja nekoliko primjera.

Primjer.

Da li su ravne linije paralelne I?

Odluka.

Prepisujem jednadžbu je ravno u segmentima u obliku opće izravne jednadžbe: . Sada se može vidjeti - normalan vektor ravno , i - normalan vektor ravno. Ovi vektori nisu kolorini, jer ne postoji tako valjan broj t za koji je jednakost tačna ( ). Stoga se neophodan i dovoljan uvjet paralelizma izravne u avionu ne izvedene, stoga navedene ravne linije nisu paralelne.

Odgovor:

Ne, ravno nije paralelno.

Primjer.

Su ravni i paralelni?

Odluka.

Kanoničku jednadžbu dajemo direktno na jednadžbu direktno s kutnim koeficijentom :. Očigledno je da jednadžbe izravne, a ne iste (u ovom slučaju navedene ravne linije bile bi se podudaraju), a kutni koeficijenti izravne su jednake, stoga i početne ravne paralele.