Hovedegenskaberne for den naturlige logaritme, graf, definitionsdomæne, værdisæt, grundlæggende formler, afledt, integral, ekspansion i en potensrække og repræsentation af funktionen ln x ved hjælp af komplekse tal er givet.

Definition

naturlig logaritme er funktionen y = ln x, omvendt til eksponenten, x \u003d e y , og som er logaritmen til grunden af ​​tallet e: ln x = log e x.

Den naturlige logaritme er meget brugt i matematik, fordi dens afledte har den enkleste form: (ln x)′ = 1/ x.

Baseret definitioner, basen af ​​den naturlige logaritme er tallet e:
e ≅ 2,718281828459045...;
.

Graf for funktionen y = ln x.

Graf over den naturlige logaritme (funktioner y = ln x) fås fra grafen for eksponenten ved spejlreflektion omkring den rette linie y = x .

Den naturlige logaritme er defineret for positive værdier af x . Den øges monotont på sit definitionsdomæne.

Som x → 0 grænsen for den naturlige logaritme er minus uendelig ( - ∞ ).

Som x → + ∞ er grænsen for den naturlige logaritme plus uendelig ( + ∞ ). For stort x stiger logaritmen ret langsomt. Enhver potensfunktion x a med en positiv eksponent a vokser hurtigere end logaritmen.

Egenskaber for den naturlige logaritme

Definitionsdomæne, værdisæt, ekstrema, stigning, fald

Den naturlige logaritme er en monotont stigende funktion, så den har ingen ekstrema. Hovedegenskaberne for den naturlige logaritme er præsenteret i tabellen.

ln x værdier

log 1 = 0

Grundlæggende formler for naturlige logaritmer

Formler, der stammer fra definitionen af ​​den inverse funktion:

Hovedegenskaben ved logaritmer og dens konsekvenser

Formel for basisudskiftning

Enhver logaritme kan udtrykkes i form af naturlige logaritmer ved hjælp af basisændringsformlen:

Beviserne for disse formler er præsenteret i afsnittet "Logaritme".

Omvendt funktion

Den gensidige af den naturlige logaritme er eksponenten.

Hvis så

Hvis så .

Afledt ln x

Afledt af den naturlige logaritme:
.
Afledt af den naturlige logaritme af modulo x:
.
Afledt af n. orden:
.
Afledning af formler > > >

Integral

Integralet beregnes ved integration af dele:
.
Så,

Udtryk i form af komplekse tal

Overvej en funktion af en kompleks variabel z :
.
Lad os udtrykke den komplekse variabel z via modul r og argumentation φ :
.
Ved at bruge logaritmens egenskaber har vi:
.
Eller
.
Argumentet φ er ikke entydigt defineret. Hvis vi sætter
, hvor n er et heltal,
så vil det være det samme tal for forskellige n.

Derfor er den naturlige logaritme, som funktion af en kompleks variabel, ikke en funktion med en enkelt værdi.

Udvidelse af Power-serien

For udvidelsen finder sted:

Referencer:
I. Bronstein, K.A. Semendyaev, Matematikhåndbog for ingeniører og studerende ved videregående uddannelsesinstitutioner, Lan, 2009.

Instruktion

Skriv det givne logaritmiske udtryk ned. Hvis udtrykket bruger logaritmen 10, forkortes dets notation og ser således ud: lg b er decimallogaritmen. Hvis logaritmen har tallet e som grundtal, så skrives udtrykket: ln b er den naturlige logaritme. Det er underforstået, at resultatet af enhver er den potens, som grundtallet skal hæves til for at få tallet b.

Når du skal finde summen af ​​to funktioner, skal du bare skelne dem en efter en og tilføje resultaterne: (u+v)" = u"+v";

Når man finder den afledede af produktet af to funktioner, er det nødvendigt at gange den afledede af den første funktion med den anden og tilføje den afledede af den anden funktion ganget med den første funktion: (u*v)" = u"* v+v"*u;

For at finde den afledte af kvotienten af ​​to funktioner, er det nødvendigt, fra produktet af den afledte af dividenden ganget med divisorfunktionen, at trække produktet af den afledte af divisoren ganget med divisorfunktionen og dividere alt dette med divisorfunktionen i anden. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

Hvis der er givet en kompleks funktion, er det nødvendigt at gange den afledte af den indre funktion og den afledte af den ydre. Lad y=u(v(x)), derefter y"(x)=y"(u)*v"(x).

Ved at bruge det opnåede ovenfor kan du differentiere næsten enhver funktion. Så lad os se på et par eksempler:

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *x));
Der er også opgaver til at beregne den afledte på et punkt. Lad funktionen y=e^(x^2+6x+5) være givet, du skal finde værdien af ​​funktionen i punktet x=1.
1) Find den afledede af funktionen: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).

2) Beregn værdien af ​​funktionen i det givne punkt y"(1)=8*e^0=8

Lignende videoer

Nyttige råd

Lær tabellen over elementære derivater. Dette vil spare en masse tid.

Kilder:

• konstant afledet

Så hvad er forskellen mellem en irrationel ligning og en rationel? Hvis den ukendte variabel er under kvadratrodstegnet, betragtes ligningen som irrationel.

Instruktion

Den vigtigste metode til at løse sådanne ligninger er metoden til at hæve begge sider ligninger ind i en firkant. Imidlertid. dette er naturligt, det første skridt er at slippe af med skiltet. Teknisk set er denne metode ikke svær, men nogle gange kan den føre til problemer. For eksempel ligningen v(2x-5)=v(4x-7). Ved at kvadrere begge sider får du 2x-5=4x-7. En sådan ligning er ikke svær at løse; x=1. Men tallet 1 vil ikke blive givet ligninger. Hvorfor? Erstat enheden i ligningen i stedet for værdien x. Og højre og venstre side vil indeholde udtryk, der ikke giver mening, dvs. En sådan værdi er ikke gyldig for en kvadratrod. Derfor er 1 en uvedkommende rod, og derfor har denne ligning ingen rødder.

Så den irrationelle ligning løses ved at bruge metoden til at kvadrere begge dens dele. Og efter at have løst ligningen, er det nødvendigt at afskære uvedkommende rødder. For at gøre dette skal du erstatte de fundne rødder i den oprindelige ligning.

Overvej en anden.
2x+vx-3=0
Selvfølgelig kan denne ligning løses ved hjælp af den samme ligning som den forrige. Overførselsforbindelser ligninger, som ikke har en kvadratrod, til højre og brug derefter kvadratmetoden. løse den resulterende rationelle ligning og rødder. Men en anden, mere elegant. Indtast en ny variabel; vx=y. Følgelig vil du få en ligning som 2y2+y-3=0. Det er den sædvanlige andengradsligning. Find dens rødder; y1=1 og y2=-3/2. Løs derefter to ligninger vx=1; vx \u003d -3/2. Den anden ligning har ingen rødder, fra den første finder vi at x=1. Glem ikke behovet for at kontrollere rødderne.

Det er ret nemt at løse identiteter. Dette kræver at foretage identiske transformationer, indtil målet er nået. Således vil opgaven blive løst ved hjælp af de simpleste regneoperationer.

Du får brug for

• - papir;
• - en kuglepen.

Instruktion

De enkleste sådanne transformationer er algebraiske forkortede multiplikationer (såsom kvadratet af summen (forskel), forskellen af ​​kvadrater, summen (forskel), terningen af ​​summen (forskel)). Derudover er der mange trigonometriske formler, der i det væsentlige er de samme identiteter.

Faktisk er kvadratet af summen af ​​to led lig med kvadratet af det første plus to gange produktet af det første og det andet plus kvadratet af det andet, det vil sige (a+b)^2= (a+b )(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab+b^2.

Forenkle begge dele

Generelle principper for løsning

Gentag fra en lærebog om matematisk analyse eller højere matematik, som er et bestemt integral. Som du ved, er løsningen af ​​et bestemt integral en funktion, hvis afledte vil give en integrand. Denne funktion kaldes antiderivat. Efter dette princip konstrueres de grundlæggende integraler.
Bestem ved formen af ​​integranden, hvilken af ​​tabelintegralerne der er egnet i dette tilfælde. Det er ikke altid muligt at fastslå dette med det samme. Ofte bliver tabelformen først mærkbar efter flere transformationer for at forenkle integranden.

Variabel substitutionsmetode

Hvis integranden er en trigonometrisk funktion, hvis argument er et polynomium, så prøv at bruge ændring af variable-metoden. For at gøre dette skal du erstatte polynomiet i integrandens argument med en ny variabel. Baseret på forholdet mellem den nye og gamle variabel, bestemme de nye grænser for integration. Ved at differentiere dette udtryk, find en ny differentiale i . Således vil du få en ny form af det gamle integral, tæt på eller endda svarende til enhver tabelformet.

Løsning af integraler af anden art

Hvis integralet er et integral af den anden slags, vektorformen af ​​ingranden, så skal du bruge reglerne for at flytte fra disse integraler til skalære. En sådan regel er Ostrogradsky-Gauss-forholdet. Denne lov gør det muligt at gå fra rotorstrømmen af ​​en eller anden vektorfunktion til et tredobbelt integral over divergensen af ​​et givet vektorfelt.

Substitution af grænser for integration

Efter at have fundet antiderivatet, er det nødvendigt at erstatte grænserne for integration. Først skal du erstatte værdien af ​​den øvre grænse med udtrykket for antiderivatet. Du får et nummer. Træk derefter et andet tal fra det resulterende tal, den resulterende nedre grænse til antiderivatet. Hvis en af ​​integrationsgrænserne er uendelig, er det nødvendigt at gå til grænsen og finde, hvad udtrykket har en tendens til, når man substituerer det i antiderivatfunktionen.
Hvis integralet er todimensionelt eller tredimensionelt, så bliver du nødt til at repræsentere de geometriske grænser for integration for at forstå, hvordan man beregner integralet. Når alt kommer til alt, i tilfælde af f.eks. et tredimensionelt integral, kan grænserne for integration være hele planer, der begrænser det volumen, der skal integreres.

Logaritmen af ​​et positivt tal b til grundtal a (a>0, a er ikke lig med 1) er et tal c, således at a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)       

Bemærk, at logaritmen af ​​et ikke-positivt tal ikke er defineret. Også logaritmen skal være et positivt tal, ikke lig med 1. For eksempel, hvis vi kvadrerer -2, får vi tallet 4, men det betyder ikke, at grundtallet -2 logaritmen af ​​4 er 2.

Grundlæggende logaritmisk identitet

a log a b = b (a > 0, a ≠ 1) (2)

Det er vigtigt, at definitionsdomænerne for højre og venstre del af denne formel er forskellige. Den venstre side er kun defineret for b>0, a>0 og a ≠ 1. Den højre side er defineret for enhver b og afhænger slet ikke af a. Således kan anvendelsen af ​​den grundlæggende logaritmiske "identitet" i løsning af ligninger og uligheder føre til en ændring i DPV.

To åbenlyse konsekvenser af definitionen af ​​logaritmen

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) (3)
log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) (4)

Faktisk, når vi hæver tallet a til den første potens, får vi det samme tal, og når vi hæver det til nul-potensen, får vi en.

Produktets logaritme og kvotientens logaritme

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (5)

Log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)

Jeg vil gerne advare skolebørn mod den tankeløse brug af disse formler, når de løser logaritmiske ligninger og uligheder. Når de bruges "fra venstre mod højre", indsnævres ODZ, og når man flytter fra summen eller forskellen af ​​logaritmer til logaritmen af ​​produktet eller kvotienten, udvides ODZ.

Faktisk er udtrykket log a (f (x) g (x)) defineret i to tilfælde: når begge funktioner er strengt taget positive, eller når f(x) og g(x) begge er mindre end nul.

Ved at transformere dette udtryk til summen log a f (x) + log a g (x), er vi tvunget til kun at begrænse os til tilfældet, når f(x)>0 og g(x)>0. Der er en indsnævring af rækkevidden af ​​tilladte værdier, og dette er kategorisk uacceptabelt, da det kan føre til tab af løsninger. Et lignende problem eksisterer for formel (6).

Graden kan tages ud af logaritmens fortegn

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) (7)

Og igen vil jeg gerne bede om nøjagtighed. Overvej følgende eksempel:

Log a (f (x) 2 = 2 log a f (x)

Venstre side af ligheden er naturligvis defineret for alle værdier af f(x) undtagen nul. Højre side er kun for f(x)>0! Tager vi strømmen ud af logaritmen, indsnævrer vi igen ODZ. Den omvendte procedure fører til en udvidelse af rækkevidden af ​​tilladte værdier. Alle disse bemærkninger gælder ikke kun for magten 2, men også for enhver lige magt.

Formel til at flytte til en ny base

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) (8)

Det sjældne tilfælde, hvor ODZ ikke ændres under konverteringen. Hvis du har valgt basen c med omtanke (positiv og ikke lig med 1), er formlen for at flytte til en ny base helt sikker.

Hvis vi vælger tallet b som et nyt grundlag c, får vi et vigtigt særtilfælde af formlen (8):

Log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)

Nogle simple eksempler med logaritmer

Eksempel 1 Beregn: lg2 + lg50.
Løsning. lg2 + lg50 = lg100 = 2. Vi brugte formlen for summen af ​​logaritmer (5) og definitionen af ​​decimallogaritmen.

Eksempel 2 Beregn: lg125/lg5.
Løsning. lg125/lg5 = log 5 125 = 3. Vi brugte den nye basisovergangsformel (8).

Tabel over formler relateret til logaritmer

a log a b = b (a > 0, a ≠ 1)

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1)

log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1)

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1)

log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1)

Logaritmiske udtryk, løsning af eksempler. I denne artikel vil vi overveje problemer relateret til løsning af logaritmer. Opgaverne rejser spørgsmålet om at finde værdien af ​​udtrykket. Det skal bemærkes, at begrebet logaritme bruges i mange opgaver, og det er ekstremt vigtigt at forstå dens betydning. Hvad angår USE, bruges logaritmen til at løse ligninger, i anvendte problemer og også i opgaver relateret til undersøgelse af funktioner.

Her er eksempler til at forstå selve betydningen af ​​logaritmen:

Grundlæggende logaritmisk identitet:

Egenskaber for logaritmer, som du altid skal huske:

*Produktets logaritme er lig med summen af ​​faktorernes logaritmer.

* * *

* Logaritmen af ​​kvotienten (brøken) er lig med forskellen mellem faktorernes logaritmer.

* * *

* Gradens logaritme er lig med produktet af eksponenten og logaritmen af ​​dens grundtal.

* * *

*Overgang til ny base

* * *

Flere egenskaber:

* * *

At beregne logaritmer er tæt forbundet med at bruge eksponenternes egenskaber.

Vi lister nogle af dem:

Essensen af ​​denne egenskab er, at når man overfører tælleren til nævneren og omvendt, ændres eksponentens fortegn til det modsatte. For eksempel:

Konsekvens af denne egenskab:

* * *

Når man hæver en potens til en potens, forbliver basen den samme, men eksponenterne ganges.

* * *

Som du kan se, er selve konceptet med logaritmen enkel. Det vigtigste er, at der er brug for god øvelse, som giver en vis færdighed. Kendskab til formler er bestemt obligatorisk. Hvis færdigheden i at konvertere elementære logaritmer ikke dannes, kan man nemt lave en fejl, når man løser simple opgaver.

Øv dig, løs først de enkleste eksempler fra matematikkurset, og gå derefter videre til mere komplekse eksempler. I fremtiden vil jeg helt sikkert vise, hvordan de "grimme" logaritmer løses, sådanne vil der ikke være til eksamen, men de er af interesse, gå ikke glip af det!

Det er alt! Held og lykke!

Med venlig hilsen Alexander Krutitskikh

P.S: Jeg ville være taknemmelig, hvis du fortæller om siden i sociale netværk.

Som du ved, når man multiplicerer udtryk med potenser, summeres deres eksponenter altid (a b * a c = a b + c). Denne matematiske lov blev afledt af Arkimedes, og senere, i det 8. århundrede, skabte matematikeren Virasen en tabel med heltalsindikatorer. Det var dem, der tjente til den videre opdagelse af logaritmer. Eksempler på brug af denne funktion kan findes næsten overalt, hvor det er nødvendigt at forenkle besværlig multiplikation til simpel addition. Hvis du bruger 10 minutter på at læse denne artikel, vil vi forklare dig, hvad logaritmer er, og hvordan du arbejder med dem. Enkelt og tilgængeligt sprog.

Definition i matematik

Logaritmen er et udtryk af følgende form: log a b=c, det vil sige logaritmen af ​​ethvert ikke-negativt tal (det vil sige ethvert positivt) "b" ved sin grundtal "a" betragtes som potensen af ​​"c" , hvortil grundtallet "a" skal hæves, så man til sidst får værdien "b". Lad os analysere logaritmen ved hjælp af eksempler, lad os sige, at der er et udtryk log 2 8. Hvordan finder man svaret? Det er meget enkelt, du skal finde en sådan grad, at du fra 2 til den nødvendige grad får 8. Efter at have lavet nogle beregninger i dit sind, får vi tallet 3! Og med rette, for 2 i 3 potens giver tallet 8 i svaret.

Varianter af logaritmer

For mange elever og studerende virker dette emne kompliceret og uforståeligt, men faktisk er logaritmer ikke så skræmmende, det vigtigste er at forstå deres generelle betydning og huske deres egenskaber og nogle regler. Der er tre forskellige slags logaritmiske udtryk:

1. Naturlig logaritme ln a, hvor grundtallet er Euler-tallet (e = 2,7).
2. Decimal a, hvor grundtallet er 10.
3. Logaritmen af ​​ethvert tal b til grundtallet a>1.

Hver af dem løses på en standard måde, herunder forenkling, reduktion og efterfølgende reduktion til én logaritme ved hjælp af logaritmiske sætninger. For at opnå de korrekte værdier af logaritmer bør man huske deres egenskaber og rækkefølgen af ​​handlinger i deres beslutninger.

Regler og nogle restriktioner

I matematik er der flere regler-begrænsninger, der accepteres som et aksiom, det vil sige, at de ikke er genstand for diskussion og er sande. For eksempel er det umuligt at dividere tal med nul, og det er også umuligt at udtrække roden af ​​en lige grad fra negative tal. Logaritmer har også deres egne regler, hvorefter du nemt kan lære at arbejde selv med lange og rummelige logaritmiske udtryk:

• grundtallet "a" skal altid være større end nul, og samtidig ikke være lig med 1, ellers vil udtrykket miste sin betydning, fordi "1" og "0" i enhver grad altid er lig med deres værdier;
• hvis a > 0, så a b > 0, viser det sig, at "c" skal være større end nul.

Hvordan løser man logaritmer?

For eksempel givet opgaven med at finde svaret på ligningen 10 x \u003d 100. Det er meget nemt, du skal vælge en sådan potens ved at hæve tallet ti, som vi får 100 til. Dette er selvfølgelig 10 2 \u003d 100.

Lad os nu repræsentere dette udtryk som et logaritmisk udtryk. Vi får log 10 100 = 2. Ved løsning af logaritmer konvergerer alle handlinger praktisk talt til at finde i hvilken grad logaritmen skal indtastes for at få et givet tal.

For nøjagtigt at bestemme værdien af ​​en ukendt grad, skal du lære at arbejde med en tabel over grader. Det ser sådan ud:

Som du kan se, kan nogle eksponenter gættes intuitivt, hvis du har en teknisk tankegang og kendskab til multiplikationstabellen. Større værdier vil dog kræve et effekttabel. Det kan bruges selv af dem, der ikke forstår noget som helst i komplekse matematiske emner. Den venstre kolonne indeholder tal (grundlag a), den øverste række af tal er værdien af ​​potensen c, som tallet a er hævet til. I skæringspunktet i cellerne bestemmes værdierne af tallene, som er svaret (a c =b). Lad os for eksempel tage den allerførste celle med tallet 10 og kvadrere det, vi får værdien 100, som er angivet i skæringspunktet mellem vores to celler. Alt er så enkelt og nemt, at selv den mest ægte humanist vil forstå!

Ligninger og uligheder

Det viser sig, at eksponenten under visse betingelser er logaritmen. Derfor kan ethvert matematisk numerisk udtryk skrives som en logaritmisk ligning. For eksempel kan 3 4 =81 skrives som logaritmen af ​​81 til grundtal 3, hvilket er fire (log 3 81 = 4). For negative potenser er reglerne de samme: 2 -5 = 1/32 skriver vi som en logaritme, vi får log 2 (1/32) = -5. En af de mest fascinerende dele af matematik er emnet "logaritmer". Vi vil overveje eksempler og løsninger på ligninger lidt lavere umiddelbart efter at have studeret deres egenskaber. Lad os nu se på, hvordan uligheder ser ud, og hvordan man skelner dem fra ligninger.

Der gives et udtryk på følgende form: log 2 (x-1) > 3 - det er en logaritmisk ulighed, da den ukendte værdi "x" står under logaritmens fortegn. Og også i udtrykket sammenlignes to størrelser: logaritmen af ​​det ønskede tal i grundtonen to er større end tallet tre.

Den vigtigste forskel mellem logaritmiske ligninger og uligheder er, at ligninger med logaritmer (f.eks. logaritmen på 2 x = √9) indebærer en eller flere specifikke numeriske værdier i svaret, mens man ved løsning af uligheden både acceptable værdier og de punkter, der bryder denne funktion. Som en konsekvens er svaret ikke et simpelt sæt af individuelle tal, som i svaret på ligningen, men en kontinuerlig række eller sæt af tal.

Grundsætninger om logaritmer

Når du løser primitive opgaver med at finde værdierne af logaritmen, er dens egenskaber muligvis ikke kendt. Men når det kommer til logaritmiske ligninger eller uligheder, er det først og fremmest nødvendigt at forstå og anvende alle logaritmers grundlæggende egenskaber i praksis. Vi vil stifte bekendtskab med eksempler på ligninger senere, lad os først analysere hver egenskab mere detaljeret.

1. Den grundlæggende identitet ser således ud: a logaB =B. Det gælder kun, hvis a er større end 0, ikke lig med en, og B er større end nul.
2. Produktets logaritme kan repræsenteres i følgende formel: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. I dette tilfælde er forudsætningen: d, s 1 og s 2 > 0; a≠1. Du kan give et bevis for denne logaritmeformel med eksempler og en løsning. Lad log a s 1 = f 1 og log a s 2 = f 2 , så a f1 = s 1 , a f2 = s 2. Vi får, at s 1 *s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (gradegenskaber ), og yderligere per definition: log a (s 1 *s 2)= f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, hvilket skulle bevises.
3. Logaritmen for kvotienten ser således ud: log a (s 1 / s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. Sætningen i form af en formel har følgende form: log a q b n = n/q log a b.

Denne formel kaldes "egenskab for graden af ​​logaritmen". Det ligner egenskaberne ved almindelige grader, og det er ikke overraskende, for al matematik hviler på regulære postulater. Lad os se på beviset.

Lad log a b \u003d t, viser det sig a t \u003d b. Hvis du hæver begge dele til potensen m: a tn = b n ;

men da a tn = (a q) nt/q = b n, derfor log a q b n = (n*t)/t, så log a q b n = n/q log a b. Sætningen er blevet bevist.

Eksempler på problemer og uligheder

De mest almindelige typer af logaritmeproblemer er eksempler på ligninger og uligheder. De findes i næsten alle opgavebøger, og indgår også i den obligatoriske del af eksamen i matematik. For at komme ind på et universitet eller bestå optagelsesprøver i matematik skal du vide, hvordan du løser sådanne opgaver korrekt.

Desværre er der ingen enkelt plan eller skema til at løse og bestemme den ukendte værdi af logaritmen, dog kan visse regler anvendes på hver matematisk ulighed eller logaritmisk ligning. Først og fremmest bør du finde ud af, om udtrykket kan forenkles eller reduceres til en generel form. Du kan forenkle lange logaritmiske udtryk, hvis du bruger deres egenskaber korrekt. Lad os snart lære dem at kende.

Når man løser logaritmiske ligninger, er det nødvendigt at bestemme, hvilken type logaritme vi har foran os: et eksempel på et udtryk kan indeholde en naturlig logaritme eller en decimal.

Her er eksempler på ln100, ln1026. Deres løsning koger ned til det faktum, at du skal bestemme, i hvilken grad base 10 vil være lig med henholdsvis 100 og 1026. For løsninger af naturlige logaritmer skal man anvende logaritmiske identiteter eller deres egenskaber. Lad os se på eksempler på løsning af logaritmiske problemer af forskellige typer.

Sådan bruges logaritmeformler: med eksempler og løsninger

Så lad os se på eksempler på brug af hovedsætningerne om logaritmer.

1. Egenskaben for produktets logaritme kan bruges i opgaver, hvor det er nødvendigt at dekomponere en stor værdi af tallet b i enklere faktorer. For eksempel log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Svaret er 9.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - som du kan se, ved hjælp af den fjerde egenskab for logaritmen, lykkedes det ved første øjekast at løse et komplekst og uløseligt udtryk. Det er kun nødvendigt at faktorisere basen og derefter tage eksponentværdierne ud af logaritmens fortegn.

Opgaver fra eksamen

Logaritmer findes ofte i optagelsesprøver, især mange logaritmiske problemer i Unified State Exam (statseksamen for alle skolekandidater). Normalt er disse opgaver til stede ikke kun i del A (den nemmeste prøvedel af eksamen), men også i del C (de sværeste og mest omfangsrige opgaver). Eksamen kræver et præcist og perfekt kendskab til emnet "Naturlige logaritmer".

Eksempler og problemløsning er hentet fra de officielle versioner af eksamen. Lad os se, hvordan sådanne opgaver løses.

Givet log 2 (2x-1) = 4. Løsning:
lad os omskrive udtrykket og simplificere det lidt log 2 (2x-1) = 2 2, ved definitionen af ​​logaritmen får vi at 2x-1 = 2 4, derfor 2x = 17; x = 8,5.

• Alle logaritmer reduceres bedst til samme base, så løsningen ikke bliver besværlig og forvirrende.
• Alle udtryk under logaritmens fortegn er angivet som positive, derfor skal det udtryk, der forbliver under logaritmen, være positivt, når man udtager eksponenten for udtrykkets eksponent, som er under logaritmens fortegn og som dens base.