Nogle gange i livet er der situationer, hvor du skal dykke ned i hukommelsen på jagt efter forlængst glemt skoleviden. For eksempel skal du bestemme arealet af en trekantet grund, eller turen er kommet til den næste reparation i en lejlighed eller et privat hus, og du skal beregne, hvor meget materiale der skal gå til en overflade med en trekantet form. Der var et tidspunkt, hvor du kunne løse et sådant problem på et par minutter, og nu forsøger du desperat at huske, hvordan man bestemmer arealet af en trekant?

Du skal ikke bekymre dig om det! Det er trods alt ganske normalt, når den menneskelige hjerne beslutter sig for at overføre længe ubrugt viden et eller andet sted til et fjerntliggende hjørne, hvorfra det nogle gange ikke er så let at udvinde den. For at du ikke behøver at lide med søgen efter glemt skoleviden for at løse et sådant problem, indeholder denne artikel forskellige metoder, der gør det nemt at finde det nødvendige område af en trekant.

Det er velkendt, at en trekant er en type polygon, der er begrænset af det mindst mulige antal sider. I princippet kan enhver polygon opdeles i flere trekanter ved at forbinde dens hjørner med segmenter, der ikke skærer dens sider. Derfor, ved at kende trekanten, kan du beregne arealet af næsten enhver form.

Blandt alle mulige trekanter, der findes i livet, kan følgende særlige typer skelnes: og rektangulære.

Den nemmeste måde at beregne arealet af en trekant på er, når et af dens hjørner er lige, det vil sige i tilfælde af en retvinklet trekant. Det er let at se, at det er et halvt rektangel. Derfor er dens areal lig med halvdelen af ​​produktet af siderne, som danner en ret vinkel med hinanden.

Hvis vi kender højden af ​​trekanten, faldet fra en af ​​dens spidser til den modsatte side, og længden af ​​denne side, som kaldes grundfladen, så beregnes arealet som halvdelen af ​​produktet af højden og grundfladen. Dette er skrevet ved hjælp af følgende formel:

S = 1/2 * b * h, hvori

S er det nødvendige område af trekanten;

b, h - henholdsvis højden og bunden af ​​trekanten.

Det er så nemt at beregne arealet af en ligebenet trekant, da højden halverer den modsatte side, og det kan nemt måles. Hvis området er bestemt, er det praktisk at tage længden af ​​en af ​​siderne, der danner en ret vinkel, som højden.

Alt dette er selvfølgelig godt, men hvordan afgør man, om et af hjørnerne i en trekant er ret eller ej? Hvis størrelsen på vores figur er lille, kan du bruge et byggehjørne, en tegnetrekant, et postkort eller en anden genstand med en rektangulær form.

Men hvad nu hvis vi har en trekantet grund? I dette tilfælde, fortsæt som følger: mål fra toppen af ​​den antagne rette vinkel på den ene side et afstandsmultipel på 3 (30 cm, 90 cm, 3 m), og på den anden side mål i samme forhold et afstandsmultipel af 4 (40 cm, 160 cm, 4 m). Nu skal du måle afstanden mellem endepunkterne på disse to linjer. Hvis værdien er et multiplum af 5 (50 cm, 250 cm, 5 m), så kan man argumentere for, at vinklen er lige.

Hvis du kender længden af ​​hver af de tre sider af vores figur, kan arealet af trekanten bestemmes ved hjælp af Herons formel. For at det skal have en mere simpel form, bruges en ny værdi, som kaldes en semi-perimeter. Dette er summen af ​​alle siderne i vores trekant, halveret. Efter at semi-perimeteren er blevet beregnet, kan du begynde at bestemme arealet ved hjælp af formlen:

S = sqrt (p (p-a) (p-b) (p-c)), hvor

sqrt - kvadratrod;

p er halvperimeterværdien (p = (a + b + c) / 2);

a, b, c - kanter (sider) af trekanten.

Men hvad hvis trekanten er uregelmæssig? Der er to mulige måder her. Den første af dem er at forsøge at opdele en sådan figur i to retvinklede trekanter, hvis summen af ​​arealer beregnes separat og derefter tilføjes. Eller, hvis du kender vinklen mellem de to sider og størrelsen af ​​disse sider, så anvend formlen:

S = 0,5 * ab * sinC, hvor

a, b - sider af trekanten;

c - værdien af ​​vinklen mellem disse sider.

Sidstnævnte tilfælde er sjældent i praksis, men ikke desto mindre er alt muligt i livet, så ovenstående formel vil ikke være overflødig. Held og lykke med dine udregninger!

Trekanten er den enkleste geometriske form, der har tre sider og tre hjørner. På grund af sin enkelthed har trekanten været brugt siden oldtiden til at udføre forskellige målinger, og i dag kan figuren være nyttig til at løse praktiske og dagligdags problemer.

Egenskaber ved trekanten

Figuren har været brugt til beregninger siden oldtiden, for eksempel opererer landmålere og astronomer på trekanters egenskaber for at beregne arealer og afstande. Det er let at udtrykke arealet af enhver n-gon gennem området af denne figur, og denne egenskab blev brugt af gamle videnskabsmænd til at udlede formler for områderne af polygoner. Konstant arbejde med trekanter, især med en retvinklet trekant, blev grundlaget for en hel gren af ​​matematikken - trigonometri.

Trekant geometri

Egenskaberne ved den geometriske figur er blevet undersøgt siden oldtiden: den tidligste information om trekanten blev fundet i egyptiske papyrus for 4000 år siden. Derefter blev figuren undersøgt i det antikke Grækenland, og det største bidrag til trekantens geometri blev givet af Euklid, Pythagoras og Heron. Studiet af trekanten stoppede aldrig, og i det 18. århundrede introducerede Leonhard Euler begrebet orthocenter af en figur og Eulers cirkel. Ved overgangen til det 19. og 20. århundrede, da det så ud til, at absolut alt var kendt om trekanten, formulerede Frank Morley en sætning om en vinkels tredelte dele, og Vaclav Sierpinski foreslog en fraktal trekant.

Der er flere typer flade trekanter, vi kender fra skolens geometrikursus:

• spidsvinklet - alle hjørnerne af figuren er skarpe;
• stump - formen har en stump vinkel (mere end 90 grader);
• rektangulær - figuren indeholder en ret vinkel svarende til 90 grader;
• ligebenet - en trekant med to lige sider;
• ligesidet - en trekant med alle lige sider.
• I det virkelige liv er der alle typer trekanter, og i nogle tilfælde skal vi muligvis beregne arealet af en geometrisk figur.

Areal af en trekant

Arealet er et skøn over, hvor meget af et plan formen afgrænser. Arealet af en trekant kan findes på seks måder, idet de arbejder med siderne, højden, vinklerne, den indskrevne eller omskrevne radius, såvel som ved at bruge Herons formel eller beregne dobbeltintegralet langs linjerne, der afgrænser planet. Den enkleste formel til at beregne arealet af en trekant ser sådan ud:

hvor a er siden af ​​trekanten, h er dens højde.

Men i praksis er det ikke altid praktisk for os at finde højden af ​​en geometrisk figur. Algoritmen i vores lommeregner giver dig mulighed for at beregne arealet ved at vide:

• tre sider;
• to sider og en vinkel mellem dem;
• en side og to hjørner.

For at bestemme arealet på tværs af tre sider bruger vi Herons formel:

S = sqrt (p × (p-a) × (p-b) × (p-c)),

hvor p er trekantens halvperimeter.

Beregningen af ​​arealet på begge sider og hjørnet udføres i henhold til den klassiske formel:

S = a × b × sin (alfa),

hvor alfa er vinklen mellem siderne a og b.

For at bestemme arealet gennem den ene side og to hjørner bruger vi forholdet, der:

a / sin (alfa) = b / sin (beta) = c / sin (gamma)

Ved hjælp af en simpel proportion bestemmer vi længden af ​​den anden side og beregner derefter arealet ved hjælp af formlen S = a × b × sin (alfa). Denne algoritme er fuldautomatisk, og du behøver kun at indtaste de angivne variabler og få resultatet. Lad os se på et par eksempler.

Eksempler fra det virkelige liv

Belægningsplader

Lad os sige, at du vil brolægge gulvet med trekantede fliser, og for at bestemme mængden af ​​nødvendigt materiale, skal du kende arealet af en flise og gulvets areal. Antag, at du skal behandle 6 kvadratmeter overflade ved hjælp af fliser, hvis dimensioner er a = 20 cm, b = 21 cm, c = 29 cm. For at beregne arealet af en trekant bruger lommeregneren naturligvis Herons formel og vil give resultatet:

Således er arealet af et fliseelement 0,021 kvadratmeter, og du skal bruge 6 / 0,021 = 285 trekanter til gulvforbedringen. Tallene 20, 21 og 29 udgør de pythagoræiske tre - tal, der opfylder. Og med rette har vores lommeregner også beregnet alle trekantens vinkler, og gammavinklen er præcis 90 grader.

Skoleopgave

I et skoleproblem skal du finde arealet af en trekant, vel vidende at siden er a = 5 cm, og sårets alfa- og beta-vinkler er henholdsvis 30 og 50 grader. For at løse dette problem manuelt, ville vi først finde værdien af ​​side b ved at bruge proportionen af ​​sideforholdet og sinus af de modsatte vinkler og derefter bestemme arealet ved hjælp af den simple formel S = a × b × sin (alfa). Lad os spare tid, indtaste dataene i lommeregnerformularen og få et øjeblikkeligt svar.

Når du bruger lommeregneren, er det vigtigt at angive vinkler og sider korrekt, ellers bliver resultatet forkert.

Konklusion

Trekanten er en unik figur, der kan findes både i det virkelige liv og i abstrakte beregninger. Brug vores online lommeregner til at finde arealet af alle slags trekanter.

Trekanten er en velkendt figur for alle. Og dette på trods af den rige variation af dens former. Rektangulær, ligesidet, spidsvinklet, ligebenet, stumpvinklet. Hver af dem er forskellig på en eller anden måde. Men for enhver skal du kende arealet af en trekant.

Formler, der er fælles for alle trekanter, der bruger sidelængder eller -højder

Betegnelser vedtaget i dem: sider - a, b, c; højder på de tilsvarende sider n a, n v, n s.

1. Arealet af en trekant beregnes som produktet af ½, siden og højden faldet på den. S = ½ * a * n a. På samme måde skal du skrive formlerne for de to andre sider.

2. Herons formel, hvori semi-perimeteren optræder (det er sædvanligt at betegne det med et lille bogstav p, i modsætning til den fulde omkreds). Halvperimeteren skal beregnes som følger: læg alle siderne sammen og divider dem med 2. Formlen for semi-perimeteren: p = (a + b + c) / 2. Så er ligheden for arealet af figuren ser sådan ud: S = √ (p * (p - a) * ( p - c) * (p - c)).

3. Hvis du ikke vil bruge en semi-perimeter, så er en sådan formel nyttig, hvor kun længderne af siderne er til stede: S = ¼ * √ ((a + b + c) * (b + c - a) * (a + c - b) * (a + b - c)). Den er noget længere end den forrige, men det hjælper, hvis du har glemt, hvordan man finder en semi-perimeter.

Generelle formler, hvor vinklerne i en trekant vises

Betegnelser, der kræves for at læse formlerne: α, β, γ - vinkler. De ligger på modsatte sider af henholdsvis a, b, c.

1. Ifølge det er halvdelen af ​​produktet af to sider og sinus af vinklen mellem dem lig med arealet af trekanten. Det vil sige: S = ½ a * b * sin γ. På samme måde bør du skrive formlerne for de to andre tilfælde.

2. Arealet af en trekant kan beregnes ud fra en side og tre kendte vinkler. S = (a 2 * sin β * sin γ) / (2 sin α).

3. Der er også en formel med én kendt side og to tilstødende hjørner. Det ser sådan ud: S = c 2 / (2 (ctg α + ctg β)).

De sidste to formler er ikke de nemmeste. Det er ret svært at huske dem.

Generelle formler for situationen, hvor radierne af indskrevne eller omskrevne cirkler er kendt

Yderligere betegnelser: r, R - radier. Den første bruges til radius af den indskrevne cirkel. Den anden er for den beskrevne.

1. Den første formel, som bruges til at beregne arealet af en trekant, er forbundet med en semiperimeter. S = p * r. På en anden måde kan det skrives som følger: S = ½ r * (a + b + c).

2. I det andet tilfælde skal du gange alle trekantens sider og dividere dem med den firdobbelte radius af den omskrevne cirkel. I bogstavelig talt ser det sådan ud: S = (a * b * c) / (4R).

3. Den tredje situation gør det muligt at gøre det uden at kende siderne, men værdierne for alle tre vinkler er påkrævet. S = 2 R 2 * sin α * sin β * sin γ.

Specialtilfælde: retvinklet trekant

Dette er den enkleste situation, da kun længden af ​​begge ben er påkrævet. De er betegnet med de latinske bogstaver a og b. Arealet af en retvinklet trekant er lig med halvdelen af ​​arealet af rektanglet, der er fuldført til det.

Matematisk ser det sådan ud: S = ½ a * b. Hun er den nemmeste at huske. Fordi det ligner formlen for arealet af et rektangel, er der kun stadig en brøkdel, der angiver halvdelen.

Særligt tilfælde: ligebenet trekant

Da dens to sider er ens, ser nogle formler for dets område noget forenklede ud. For eksempel tager Herons formel, som bruges til at beregne arealet af en ligebenet trekant, følgende form:

S = ½ × √ ((a + ½ ×) * (a - ½ ×)).

Hvis du forvandler det, så bliver det kortere. I dette tilfælde er Herons formel for en ligebenet trekant skrevet som følger:

S = ¼ in √ (4 * a 2 - b 2).

Arealformlen ser noget enklere ud end for en vilkårlig trekant, hvis siderne og vinklen mellem dem er kendt. S = ½ a 2 * sin β.

Særligt tilfælde: ligesidet trekant

Normalt kender man en side om ham i problemer, eller man kan på en eller anden måde finde ud af det. Så er formlen, hvormed arealet af en sådan trekant findes, som følger:

S = (a 2 √3) / 4.

Problemer med at finde området, hvis trekanten er afbildet på ternet papir

Den enkleste situation er, når en retvinklet trekant tegnes, så dens ben falder sammen med papirets linjer. Så skal du bare tælle antallet af celler, der passer ind i benene. Derefter ganges dem og divideres med to.

Når trekanten er spidsvinklet eller stumpvinklet, skal den tegnes til et rektangel. Så vil den resulterende figur have 3 trekanter. Den ene er den, der er givet i opgaven. Og de to andre er hjælpe- og rektangulære. Bestem områderne for de to sidstnævnte ved hjælp af metoden beskrevet ovenfor. Beregn derefter rektanglets areal og træk dem, der er beregnet for de ekstra, fra det. Arealet af trekanten er blevet bestemt.

Meget mere kompliceret er situationen, hvor ingen af ​​trekantens sider falder sammen med papirets linjer. Derefter skal det indskrives i rektanglet, så hjørnerne af den oprindelige form ligger på dens sider. I dette tilfælde vil der være tre ekstra retvinklede trekanter.

Et eksempel på et problem for Herons formel

Tilstand. En eller anden trekant har kendte sider. De er lig med 3, 5 og 6 cm. Det er nødvendigt at finde ud af dets område.

Nu kan du beregne arealet af en trekant ved hjælp af ovenstående formel. Under kvadratroden er produktet af fire tal: 7, 4, 2 og 1. Det vil sige, at arealet er √ (4 * 14) = 2 √ (14).

Hvis der ikke kræves mere præcision, så er kvadratroden af ​​14. Det er lig med 3,74. Så vil arealet være lig med 7,48.

Svar. S = 2 √14 cm 2 eller 7,48 cm 2.

Eksempel på et problem med en retvinklet trekant

Tilstand. Det ene ben i en retvinklet trekant er 31 cm større end det andet. Det er påkrævet at kende deres længder, hvis trekantens areal er 180 cm 2.
Løsning. Vi bliver nødt til at løse et system med to ligninger. Den første er relateret til området. Den anden - med forholdet mellem benene, som er givet i problemet.
180 = ½ a * b;

a = b + 31.
Først skal værdien "a" indsættes i den første ligning. Det viser sig: 180 = ½ (in + 31) * in. Det har kun én ukendt mængde, så det er nemt at løse. Efter udvidelse af parentes opnås en andengradsligning: ved 2 + 31 ved - 360 = 0. Det giver to værdier for "at": 9 og - 40. Det andet tal er ikke egnet som svar, da længden af siden af ​​en trekant kan ikke være negativ.

Det er tilbage at beregne det andet ben: tilføj 31 til det resulterende tal. Det viser sig 40. Dette er de krævede værdier i problemet.

Svar. Trekantens ben er 9 og 40 cm.

Problemet med at finde en side gennem arealet, siden og vinklen af ​​en trekant

Tilstand. Arealet af en trekant er 60 cm 2. Det er nødvendigt at beregne en af ​​dens sider, hvis den anden side er 15 cm og vinklen mellem dem er 30º.

Løsning. Baseret på de accepterede betegnelser, den ønskede side "a", kendt "b", den givne vinkel "γ". Derefter kan arealformlen omskrives som følger:

60 = ½ a * 15 * synd 30º. Her er sinus på 30 grader 0,5.

Efter transformationer viser "a" sig at være lig med 60 / (0,5 * 0,5 * 15). Det er 16.

Svar. Den ønskede side er 16 cm.

Problemet med et kvadrat indskrevet i en retvinklet trekant

Tilstand. Toppen af ​​en firkant med en side på 24 cm falder sammen med trekantens rette vinkel. De to andre ligger på benene. Den tredje tilhører hypotenusen. Længden af ​​det ene ben er 42 cm. Hvad er arealet af en retvinklet trekant?

Løsning. Overvej to retvinklede trekanter. Den første er specificeret i opgaven. Den anden er baseret på det velkendte ben i den originale trekant. De ligner hinanden, da de har en fælles vinkel og er dannet af parallelle lige linjer.

Så er forholdet mellem deres ben ens. Benene i den mindre trekant er 24 cm (side af kvadratet) og 18 cm (det givne ben er 42 cm, fratræk siden af ​​kvadratet 24 cm). De tilsvarende ben i den store trekant er 42 cm og x cm. Det er dette "x", der skal til for at beregne trekantens areal.

18/42 = 24 / x, det vil sige x = 24 * 42/18 = 56 (cm).

Så er arealet lig med produktet af 56 og 42 divideret med to, det vil sige 1176 cm 2.

Svar. Det nødvendige areal er 1176 cm 2.

Fra det modsatte toppunkt) og divider det resulterende produkt med to. I formularen ser dette sådan ud:

S = ½ * a * h,

hvor:
S er arealet af trekanten,
a er længden af ​​dens side,
h er højden sænket til denne side.

Sidelængde og højde skal præsenteres i samme enhed. I dette tilfælde vil trekantens areal blive opnået i de passende ""-enheder.

Eksempel.
På den ene side af en alsidig trekant 20 cm lang sænkes en vinkelret 10 cm lang fra det modsatte toppunkt.
Arealet af trekanten er påkrævet.
Løsning.
S = ½ * 20 * 10 = 100 (cm²).

Hvis du kender længden af ​​to sider af en alsidig trekant og vinklen mellem dem, så brug formlen:

S = ½ * a * b * sinγ,

hvor: a, b er længden af ​​to vilkårlige sider, og γ er vinklen mellem dem.

I praksis, for eksempel ved måling af jordlodder, er brugen af ​​ovenstående formler nogle gange vanskelig, da det kræver yderligere konstruktioner og målinger af vinkler.

Hvis du kender længden af ​​alle tre sider af en alsidig trekant, så brug Herons formel:

S = √ (p (p-a) (p-b) (p-c)),

a, b, c - længderne af trekantens sider,
p - semi-perimeter: p = (a + b + c) / 2.

Hvis radius af den indskrevne cirkel ud over længderne af alle sider er kendt, så brug følgende kompakte formel:

hvor: r - radius af den indskrevne cirkel (p - semi-perimeter).

For at beregne arealet af en alsidig trekant af den omskrevne cirkel og længden af ​​dens sider skal du bruge formlen:

hvor: R er radius af den omskrevne cirkel.

Hvis du kender længden af ​​en af ​​trekantens sider og tre vinkler (i princippet er to nok - værdien af ​​den tredje beregnes ud fra ligheden af ​​summen af ​​trekantens tre vinkler - 180º), så brug formlen:

S = (a² * sinβ * sinγ) / 2sinα,

hvor α er værdien af ​​vinklen modsat siden a;
β, γ er værdierne af trekantens to andre vinkler.

Behovet for at finde forskellige elementer, herunder areal trekant, dukkede op mange århundreder før vor tidsregning blandt astronomerne i det antikke Grækenland. Firkant trekant kan beregnes på forskellige måder ved hjælp af forskellige formler. Beregningsmetoden afhænger af hvilke elementer trekant er kendt.

Instruktioner

Hvis vi fra betingelsen kender værdierne af de to sider b, c og vinklen dannet af dem?, så er arealet trekant ABC findes ved formlen:
S = (bcsin?) / 2.

Hvis vi fra betingelsen kender værdierne af de to sider a, b og vinklen, der ikke dannes af dem?, så er arealet trekant ABC findes som følger:
Find vinklen ?, synd? = bsin? / a, så bestemmer vi ifølge tabellen selve vinklen.
Find vinklen ?,? = 180 ° -? - ?.
Vi finder selve området S = (absin?) / 2.

Hvis vi fra betingelsen kender værdierne af kun tre sider trekant a, b og c, derefter arealet trekant ABC findes ved formlen:
S = v (p (p-a) (p-b) (p-c)), hvor p er en semiperimeter p = (a + b + c) / 2

Hvis vi ud fra problemets tilstand kender højden trekant h og den side, hvortil denne højde er sænket, derefter området trekant ABC ved formlen:
S = ah (a) / 2 = bh (b) / 2 = ch (c) / 2.

Hvis vi kender sidernes værdier trekant a, b, c og radius beskrevet omkring det givne trekant R, så arealet af dette trekant ABC bestemmes af formlen:
S = abc/4R.
Hvis tre sider a, b, c og radius af indskrevet i er kendt, så arealet trekant ABC findes ved formlen:
S = pr, hvor p er en semiperimeter, p = (a + b + c) / 2.

Hvis ABC er ligesidet, så findes arealet ved formlen:
S = (a ^ 2v3) / 4.
Hvis trekanten ABC er ligebenet, så bestemmes arealet af formlen:
S = (cv (4a ^ 2-c ^ 2)) / 4, hvor c - trekant.
Hvis trekanten ABC er rektangulær, så bestemmes arealet af formlen:
S = ab / 2, hvor a og b er ben trekant.
Hvis trekant ABC er en retvinklet ligebenet, så bestemmes arealet af formlen:
S = c ^ 2/4 = a ^ 2/2, hvor c er hypotenusen trekant, a = b - ben.

Lignende videoer

Kilder:

• hvordan man måler arealet af en trekant

Tip 3: Sådan finder du arealet af en trekant, hvis du kender vinklen

Kendskab til kun én parameter (vinkelværdi) er ikke nok til at finde arealet tre firkant ... Hvis der er yderligere dimensioner, så kan en af ​​formlerne vælges til at bestemme området, hvori vinkelværdien også bruges som en af ​​de kendte variable. Nogle af de mest brugte formler er anført nedenfor.

Instruktioner

Hvis der ud over værdien af ​​vinklen (γ) dannet af de to sider tre firkant , er længden af ​​disse sider (A og B) også kendt firkant(S) af figuren kan defineres som halvdelen af ​​produktet af længderne af siderne og sinus af denne kendte vinkel: S = ½ × A × B × sin (γ).

Forskellige formler kan bruges til at bestemme arealet af en trekant. Af alle metoder er den nemmeste og mest brugte at gange højden med længden af ​​basen og derefter dividere resultatet med to. Denne metode er dog langt fra den eneste. Nedenfor kan du læse, hvordan du finder arealet af en trekant ved hjælp af forskellige formler.

Separat vil vi overveje metoder til beregning af arealet af specifikke typer af en trekant - rektangulær, ligebenet og ligesidet. Vi ledsager hver formel med en kort forklaring, der hjælper dig med at forstå dens essens.

Universelle måder at finde arealet af en trekant på

Følgende formler bruger specielle konventioner. Vi vil dechifrere hver af dem:

• a, b, c - længderne af de tre sider af figuren, vi overvejer;
• r er radius af en cirkel, der kan indskrives i vores trekant;
• R er radius af cirklen, der kan beskrives omkring den;
• α - værdien af ​​vinklen dannet af siderne b og c;
• β er vinklen mellem a og c;
• γ - værdien af ​​vinklen dannet af siderne a og b;
• h - højden af ​​vores trekant, sænket fra vinklen α til siden a;
• p - halvdelen af ​​summen af ​​siderne a, b og c.

Det er logisk, hvorfor det er muligt at finde arealet af en trekant på denne måde. Trekanten kan nemt færdiggøres til et parallelogram, hvor den ene side af trekanten vil fungere som en diagonal. Arealet af et parallelogram findes ved at gange længden af ​​en af ​​dets sider med værdien af ​​højden trukket til det. Diagonalen deler dette konventionelle parallelogram i 2 identiske trekanter. Derfor er det ret indlysende, at arealet af vores oprindelige trekant skal være lig med halvdelen af ​​arealet af dette hjælpeparallellogram.

S = ½ a b sin γ

Ifølge denne formel findes arealet af en trekant ved at multiplicere længderne af dens to sider, det vil sige a og b, med sinus af vinklen dannet af dem. Denne formel er logisk afledt af den foregående. Hvis vi dropper højden fra vinklen β til side b, så får vi ifølge egenskaberne af en retvinklet trekant, når vi multiplicerer længden af ​​siden a med sinus af vinklen γ, højden af ​​trekanten, dvs. h.

Arealet af den pågældende figur findes ved at gange halvdelen af ​​radius af cirklen, som kan indskrives i den, med dens omkreds. Med andre ord finder vi produktet af halvperimeteren og radius af den nævnte cirkel.

S = a b s / 4R

Ifølge denne formel kan den værdi, vi har brug for, findes ved at dividere produktet af figurens sider med 4 radier af cirklen beskrevet omkring den.

Disse formler er universelle, da de gør det muligt at bestemme arealet af enhver trekant (alsidig, ligebenet, ligesidet, rektangulær). Dette kan gøres ved hjælp af mere komplekse beregninger, som vi ikke vil dvæle i detaljer om.

Arealer af trekanter med specifikke egenskaber

Hvordan finder jeg arealet af en retvinklet trekant? Det særlige ved denne figur er, at dens to sider samtidig er dens højder. Hvis a og b er ben, og c bliver en hypotenuse, så findes området som følger:

Hvordan finder man arealet af en ligebenet trekant? Den har to sider med længde a og en side med længde b. Derfor kan dens areal bestemmes ved at dividere med 2 produktet af kvadratet på siden a med sinus af vinklen γ.

Hvordan finder man arealet af en ligesidet trekant? I den er længden af ​​alle sider lig med a, og størrelsen af ​​alle vinkler er α. Dens højde er halvdelen af ​​produktet af længden af ​​side a med kvadratroden af ​​3. For at finde arealet af en regulær trekant skal du gange kvadratet af side a med kvadratroden af ​​3 og dividere med 4.