Այս դասում մենք կքննարկենք եւս երկու գործողություն վեկտորներով. Վեկտորային արվեստի գործեր վեկտորներ մի քանազոր Խառը վեկտորներ (Անմիջապես հղում, ում կարիքը ունի), Ոչինչ սարսափելի, այնպես որ երբեմն դա տեղի է ունենում լիակատար երջանկության համար, ի հավելումն scalar արտադրանքի վեկտորներ, դա նույնպես պահանջվում է: Այստեղ այդպիսին է վեկտորի թմրամոլությունը: Կարող է տպավորություն թողնել, որ մենք բարձրանում ենք վերլուծական երկրաչափության բեկորներ: Սա ճիշտ չէ. Ամենաբարձր մաթեմատիկայի այս բաժնում ընդհանուր առմամբ բավարար վառելափայտ չկա, բացառությամբ Պինոկչիոյի: Փաստորեն, նյութը շատ տարածված է եւ պարզ, հազիվ թե ավելի դժվար է, քան նույնը scalar արտադրանքՆույնիսկ բնորոշ խնդիրները ավելի փոքր կլինեն: Հիմնական բանը վերլուծական երկրաչափության մեջ, քանի որ շատերը կսպանվեն կամ արդեն համոզված կլինեն, չեն սխալվում հաշվարկներով: Կրկնեք որպես կախարդ, եւ դուք երջանիկ կլինեք \u003d)

Եթե \u200b\u200bվեկտորները մի տեղ փայլում են, քանի որ հորիզոնում կայծակն են, ոչ թե դժվարություն, սկսեք դասը Վեկտորներ թեյի համարՎերականգնել կամ վերափոխել հիմնական գիտելիքներ վեկտորների մասին: Ավելի պատրաստված ընթերցողներ կարող են ընտրովի ծանոթանալ տեղեկատվության հետ, ես փորձեցի հավաքել օրինակների առավել ամբողջական հավաքածուն, որոնք հաճախ հայտնաբերվում են գործնական աշխատանքի մեջ:

Ինչ եք անմիջապես խնդրում: Երբ փոքր էի, ապա ես գիտեի, թե ինչպես ջարդել երկու եւ նույնիսկ երեք գնդակներ: Հմտորեն հաջողվեց: Այժմ դուք ստիպված չեք լինի ընդհանրապես ջարդել, ինչպես կքննարկենք Միայն տարածական վեկտորներ, իսկ երկու կոորդինատներով հարթ վեկտորները կմնան օվկիանոս: Ինչու Այս գործողությունները ծնվել են. Վեկտորների վեկտորը եւ խառը արտադրանքը սահմանվում եւ գործում են եռաչափ տարածության մեջ: Արդեն ավելի հեշտ է:

Այս գործողության մեջ, նույն կերպ, ինչպես Scalar Product- ում, մասնակցեք Երկու վեկտոր, Թող դա լինի անհեթեթ տառեր:

Գործողություն ինքնին նշում է Հաջորդ ձեւով. Կան այլ տարբերակներ, բայց ես նախկինում նշում էի վեկտորների վեկտորային արվեստի գործերը հենց այդպես քառակուսի փակագծերում `խաչով:

Եւ անմիջապես հարց: Եթե ներս scalar արտադրանքի վեկտորներ Ներգրավված են երկու վեկտոր, եւ այստեղ երկու վարկած է այստեղ, ապա որն է տարբերությունը? Բացահայտեք տարբերությունը, առաջին հերթին, որպես արդյունք.

Վեկտորների մասշտաբային արտադրանքի արդյունքը մի շարք է.

Վեկտորային արվեստի վեկտորների արդյունքը վեկտոր էԱյսպիսով, այսինքն, մենք բազմապատկում ենք վեկտորները եւ կրկին վեկտորը ստանում: Փակ ակումբ: Իրականում, հետեւաբար, գործողության անվանումը: Ուսումնական տարբեր գրականության մեջ նշանակումները կարող են նաեւ տարբեր լինել, ես կօգտագործեմ նամակը:

Վեկտորի արվեստի սահմանում

Սկզբում նկար նկարով կարող է լինել, ապա մեկնաբանություններ:

ՍահմանումՎեկտորային աշխատանք Ոչ գեղարոտ վեկտորներ, վերցված այս կարգով, կոչվում է վեկտոր, երկարություն որը թվային է հավասար է զուգահեռագրության հրապարակինԿառուցվել է այս վեկտորի տվյալների վրա. վեկտոր Օրթոգոնալ վեկտորներ Եվ այն ուղղված է այնպես, որ հիմքը ճիշտ կողմնորոշում ունի.

Մենք ապամոնտաժում ենք ոսկորների սահմանումը, շատ հետաքրքիր բաներ կան:

Այսպիսով, դուք կարող եք ընտրել հետեւյալ հիմնական պահերը.

1) Կարմիր նետերով նշված աղբյուրի վեկտորները ըստ սահմանման Չգիտելով, Քոլինար վեկտորների գործը տեղին կլինի մի փոքր ավելի ուշ դիտարկել:

2) վեկտորներ վերցված Խստորեն սահմանված կարգով: – «Ա» -ը բազմապատկվում է «լինել», ոչ թե «լինել» «ա» -ի վրա: Բազմապատկման վեկտորների արդյունքը Այն վեկտոր է, որը նշված է կապույտ գույնով: Եթե \u200b\u200bվեկտորները բազմապատկվում են հակառակ կարգով, ապա մենք հավասար ենք երկարության եւ հակառակ վեկտորի (ազնվամորի գույն): Այսինքն, հավասարությունը ճիշտ է .

3) Հիմա եկեք ծանոթանանք վեկտորի արտադրանքի երկրաչափական իմաստին: Սա շատ կարեւոր կետ է: Կապույտ վեկտորի երկարությունը (եւ, հետեւաբար, ազնվամորի վեկտորը) թվային հավասար է վեկտորներով կառուցված զուգահեռագրության հրապարակին: Գծապատկերում այս զուգահեռագրությունը ստվերում է սեւ գույնով:

Նշում Խաղարկությունը սխեմատիկ է, եւ, բնականաբար, վեկտորի արտադրանքի անվանական երկարությունը հավասար չէ զուգահեռագրության տարածքին:

Մենք հիշում ենք երկրաչափական բանաձեւերից մեկը. Զուգահեռագրության տարածքը հավասար է հարակից կողմերի արտադրանքին `նրանց միջեւ անկյունային սինուսում, Հետեւաբար, վեկտորային արտադրանքի երկարության հաշվարկման բանաձեւի հիման վրա.

Ես շեշտում եմ, որ բանաձեւում մենք խոսում ենք վեկտորի երկարության մասին, եւ ոչ թե շատ վեկտորի մասին: Որն է գործնական իմաստը: Եվ իմաստն այն է, որ վերլուծական երկրաչափության առաջադրանքներում զուգահեռագրության տարածքը հաճախ հանդիպում է վեկտորի արվեստի հայեցակարգի միջոցով.

Մենք կստանանք երկրորդ կարեւոր բանաձեւ: Զուգալոգրաֆիայի (կարմիր dottedier) անկյունագիծը այն բաժանում է երկու հավասար եռանկյունի: Հետեւաբար, վեկտորների մեջ կառուցված եռանկյունու տարածքը կարելի է գտնել բանաձեւով.

4) Ոչ պակաս կարեւոր փաստ է, որ վեկտորը օրթոգոնալ վեկտոր է, այսինքն , Իհարկե, ընդդեմ հակառակորդ վեկտորը (ազնվամորի սլաքը) նույնպես օրթոգոնալ է բնօրինակ վեկտորում:

5) վեկտորը ուղղված է այնպես, որ հիմք Այն ունի ճիշտ Կողմնորոշում: Դասարանում O. Անցում դեպի նոր հիմք Մանրամասն խոսեցի Ինքնաթիռի կողմնորոշումԵվ հիմա մենք կզբաղվենք տարածության կողմնորոշմամբ: Ես կբացատրեմ ձեր մատները աջ ձեռք , Մտավոր համատեղում մատնահետք Վեկտոր I. միջնամատ Վեկտորով: Անանուն մատ եւ մի փոքր մատ Սեղմեք ափը: Որպես արդյունք բութ - Վեկտորի արվեստը կանդրադառնա: Սա ճիշտ է եղել, թե ինչպես է նա, նա է նա): Այժմ փոխեք վեկտորները ( Ինդեքս եւ միջին մատներ) Տեղերը, որպես արդյունք, բութը տեղի է ունենում, եւ վեկտորի աշխատանքը արդեն կանդրադառնա: Սա նաեւ պարբերաբար հիմք է հանդիսանում: Գուցե հարց ունեք. Ինչ հիմք է գործում ձախ կողմնորոշումը: «Անվան» նույն մատները ձախ ձեռք վեկտորներ եւ ստացեք ձախ հիմքը եւ տարածության ձախ կողմնորոշումը (Այս դեպքում բութը տեղակայված կլինի ստորին վեկտորի ուղղությամբ), Պատկերավոր ասած, այս հիմքերը «պտտվում են» կամ տարբեր ուղղություններով: Եվ այս հայեցակարգը չպետք է համարվի ինչ-որ բան, որը հակված է կամ վերացական է. Ընդհանուր: Ի դեպ, երեք մատներ բերեք հայելու մեջ եւ վերլուծեք արտացոլումը ;-):

... Ինչպես լավ է, որ դուք հիմա գիտեք Օրենք եւ ձախ կողմնորոշված Հիմքեր, որոշ դասախոսների սարսափելի հայտարարությունների համար կողմնորոշման փոփոխության մասին \u003d)

Collinear վեկտորների վեկտորի արվեստի գործեր

Մանրամասները, որոնք մանրամասնորեն ապամոնտաժվում են, մնում է պարզել, թե ինչ է կատարվում, երբ կոլլինային վեկտորները: Եթե \u200b\u200bվեկտորները խարխլում են, ապա դրանք կարող են տեղադրվել մեկ ուղիղ գծի վրա, եւ մեր զուգահեռագրությունը նույնպես «ծալում է»: Դրա տարածքը, ինչպես ասում են մաթեմատիկան, այլասերված Զուգահեռագրությունը զրո է: Այն հետեւում է բանաձեւից. Sinus Zero կամ 180 աստիճանը զրո է, եւ, հետեւաբար, տարածքը զրոյական է

Այսպիսով, եթե , Խստորեն ասած, շատ վեկտորի արտադրանքը զրո վեկտոր է, բայց գործնականում այն \u200b\u200bհաճախ անտեսվում է եւ գրում, որ այն պարզապես զրոյական է:

Մասնավոր դեպք. Վեկտորի արտադրանքի վեկտորը ինքն է.

Վեկտորի արտադրանքի օգնությամբ երեք ծավալային վեկտորների կոլինարությունը կարող է ստուգվել, եւ մենք նաեւ այս խնդիրը կանդրադառնանք ի թիվս այլոց:

Գործնական օրինակներ լուծելու համար կարող է պահանջվել Եռանկյունաչափական սեղանԳտնել այն Sinuses- ի արժեքները:

Դե, բոցավառեք կրակը.

Օրինակ 1.

ա) գտեք վեկտորի արվեստի վեկտորների երկարությունը, եթե

բ) Գտեք տարբերակներով կառուցված զուգահեռագրության հրապարակը, եթե

ՈրոշումՈչ, սա Typo չէ, կետի պայմաններում նախնական տվյալները, որոնք ես դիտավորյալ արեցինք նույնը: Քանի որ որոշումներ կայացնելը տարբեր կլինի:

ա) այն պայմանով, որը դուք պետք է գտնեք Երկարություն Վեկտոր (վեկտորային արվեստ): Համաձայն համապատասխան բանաձեւի.

Պատասխան:

Կոլլը շուտով հարցրեց երկարության մասին, ապա ի պատասխան, նշեք չափը `միավորներ:

բ) գտնելու համար անհրաժեշտ վիճակի համաձայն տարածություն Վեկտորներով ներկառուցված զուգահեռագրություն: Այս զուգահեռագրության տարածքը թվային հավասար է վեկտորի արտադրանքի երկարությանը.

Պատասխան:

Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ ի պատասխան խոսքի վեկտորային արտադրանքը ընդհանրապես չի ընթանում, մեզ հարցնում էին Գծի հրապարակԸստ այդմ, չափը քառակուսի միավորներ են:

Մենք միշտ նայում ենք այն, ինչը պահանջվում է պայմանով, եւ այս հիման վրա մենք ձեւակերպում ենք Պարզ Պատասխան Դա կարող է թվալ, որ ուսուցիչների մեջ կան բավարար հիմնական բանալիներ, եւ լավ հնարավորություններ ունեցող խնդիրը կվերադառնա կատարելագործմանը: Չնայած սա առանձնապես ձգված քառյակ չէ. Եթե պատասխանը սխալ է, ապա թվում է, որ մարդը չի հասկանում հասարակ բաները եւ (կամ) առաջադրանքի էությունը: Այս պահը միշտ պետք է պահպանվի վերահսկողության տակ, բարձրագույն մաթեմատիկայի ցանկացած խնդիր լուծելը եւ այլ առարկաները նույնպես:

Որտեղ է եղել Big Bucchka «En» - ը: Սկզբունքորեն, այն կարող է լրացուցիչ միանալ լուծմանը, բայց ռեկորդը նվազեցնելու համար ես ոչ: Հուսով եմ, բոլորը հասկանում են, որ սա նույնի նշանակումը է:

Հանրաճանաչ օրինակ ինքնուրույն լուծումների համար.

Օրինակ 2.

Գտեք վեկտորներով կառուցված եռանկյունի տարածք, եթե

Եռանկյունի տարածքը վեկտորի արվեստի միջոցով գտնելու բանաձեւը տրված է սահմանման վերաբերյալ մեկնաբանություններում: Լուծում եւ պատասխան դասի վերջում:

Գործնականում խնդիրն իսկապես շատ տարածված է, եռանկյունիները, ընդհանուր առմամբ, կարող են խոշտանգել:

Այլ առաջադրանքներ լուծելու համար մեզ պետք է.

Վեկտորի արվեստի գործի հատկությունները

Վեկտորային աշխատանքի որոշ հատկություններ, որոնք մենք արդեն դիտարկել ենք, դրանք կներառեմ այս ցուցակում:

Կամայական վեկտորների եւ կամայական թվերի համար հետեւյալ հատկությունները արդար են.

1) Տեղեկատվության այլ աղբյուրներում այս ապրանքը սովորաբար չի ճանաչվում հատկություններում, բայց դա շատ կարեւոր է գործնական առումով: Հետեւաբար, թող լինի:

2) - գույքը վերեւում է ապամոնտաժվում է, երբեմն կոչվում է Հակա-տրանսպորտ, Այլ կերպ ասած, վեկտորների կարգը կարեւոր է:

3) - մռայլ կամ Ասոցիատիվ Վեկտորի աշխատանքի օրենքներ: ՎՏԱՆԳՆԵՐԸ ՆՇԱՆԱԿՎՈՒՄ ԵՆ ՎՏԱՆԳԻ ԱՇԽԱՏԱՆՔԻ: Իսկապես, ինչ են անում այնտեղ:

4) - բաշխիչ կամ Բաշխել Վեկտորի աշխատանքի օրենքներ: Փակագծերի բացահայտմամբ խնդիրներ չկան:

Որպես ցույց, քննարկեք կարճ օրինակ.

Օրինակ 3.

Գտեք, եթե

Որոշում. Վիճակով, անհրաժեշտ է կրկին գտնել վեկտորի արտադրանքի երկարությունը: Մենք բերում ենք մեր մանրանկարչությունը.

(1) Ըստ ասոցիատիվ օրենսդրության, մենք համբերում ենք վեկտորային աշխատանքի վերաբաշխման մշտական \u200b\u200bհաստատմանը:

(2) Մենք համբերում ենք մշտական \u200b\u200bմշտական \u200b\u200bմշտական, մինչդեռ մոդուլը «ուտում է» «մինուս» նշան: Երգությունը չի կարող բացասական լինել:

(3) հետագա հասկանալի է:

Պատասխան:

Ժամանակն է վառելափայտը կրակել.

Օրինակ 4.

Հաշվարկեք վեկտորների մեջ կառուցված եռանկյունի տարածքը, եթե

ՈրոշումԵռանկյունի հրապարակը գտեք բանաձեւը , Խցանն այն է, որ «ԵԽ» եւ «դե» վեկտորներն իրենք ներկայացված են որպես վեկտորների գումարներ: Այստեղ ալգորիթմը ստանդարտ է, իսկ ինչ-որ բան նման է 3-րդ եւ 4 դասերի օրինակներին Scalar արտադրանքի վեկտորներ, Պարզության լուծում `երեք փուլով ներխուժելու համար.

1) Առաջին քայլում մենք փաստորեն արտահայտում ենք վեկտորային արտադրանքի միջոցով վեկտորի արվեստի միջոցով Էքսպրես վեկտոր վեկտորի միջոցով, Երկարությունների մասին ոչ մի բառ:

(1) Մենք փոխարինում ենք վեկտորների արտահայտությունը:

(2) բաշխիչ օրենքներ օգտագործելը, փակագծերը բացահայտում են բազմամյա բազմապատկման կանոնների համաձայն:

(3) Ասոցիատիվ օրենքներ օգտագործելը, մենք դիմանում ենք բոլոր կայունություններին վեկտորային աշխատանքներից դուրս: Մալոմալի փորձի համաձայն, 2-ը եւ 3-ը կարող են միաժամանակ իրականացվել:

(4) Առաջին եւ վերջին ժամկետը զրոյական (զրո վեկտոր) է `հաճելի գույքի շնորհիվ: Երկրորդ ժամկետում մենք օգտագործում ենք վեկտորային աշխատանքի հակակրթության սեփականությունը.

(5) Մենք տալիս ենք նման բաղադրիչներ:

Արդյունքում, վեկտորը պարզվեց, որ արտահայտվում է վեկտորի միջոցով, որը պահանջվում էր հասնել.

2) Երկրորդ քայլում մենք կգտնենք ձեզ անհրաժեշտ վեկտորի արտադրանքի երկարությունը: Այս գործողությունը նման է օրինակ 3:

3) Գտեք ցանկալի եռանկյունու տարածքը.

Բաժնետոմսերը 2-3 լուծում կարող են կազմակերպվել մեկ տողի հետ:

Պատասխան:

Հաշվի առնելով խնդիրը բավարար չափով տարածված է թեստերում, ահա օրինակ `անկախ որոշման համար.

Օրինակ 5.

Գտեք, եթե

Դասի վերջում հակիրճ լուծում եւ պատասխան: Տեսնենք, թե որքան ուշադիր եք նախորդ օրինակները ուսումնասիրելիս ;-)

Վեկտորների վեկտորների արվեստի գործեր կոորդինատներում

սահմանված է օրթոնաձեւ հիմունքներով Բանաձեւը արտահայտվում է:

Բանաձեւ եւ ճշմարիտ spryskaya. Որոշիչի վերին գծում մենք գրում ենք համակարգված վեկտորները, երկրորդ եւ երրորդ տողերում «դրեք» վեկտորների կոորդինատները եւ տեղավորվում խիստ կարգով - Նախ, «VE» վեկտորի կոորդինատները, ապա «Dubl-We» վեկտորի կոորդինատները: Եթե \u200b\u200bվեկտորները պետք է բազմապատկվեն այլ կարգով, ապա տողերը պետք է փոխանակվեն տեղերում.

Օրինակ 10.

Ստուգեք, թե արդյոք կոլինեն կլինի հետեւյալ տիեզերական վեկտորները.
բայց)
բ)

ՈրոշումՍտուգումը հիմնված է այս դասի հայտարարություններից մեկի վրա. Եթե կոլլինային վեկտորները, ապա դրանց վեկտորային արտադրանքը զրոյական է (զրո վեկտոր). .

ա) ողջունում է վեկտորի արվեստը.

Այսպիսով, վեկտորները չեն փչանում:

բ) Գտեք վեկտորի արվեստ.

Պատասխան: ա) ոչ թե կոլինե, բ)

Սա թերեւս բոլոր հիմնական տեղեկությունները վեկտորների վեկտորային արտադրանքի վերաբերյալ:

Այս բաժինը շատ մեծ չի լինի, քանի որ այն առաջադրանքները, երբ օգտագործվում են վեկտորների խառը արտադրանքը, մի փոքր: Իրականում ամեն ինչ կսահմանափակվի բնորոշմամբ, երկրաչափական իմաստով եւ մի քանի աշխատանքային բանաձեւերով:

Վեկտորների խառը արվեստի գործերը երեք վեկտորների աշխատանք են::

Ահա թե ինչպես են նրանք գնացքով գնացքով եւ սպասում, չեն սպասի, երբ դրանք հաշվարկվեին:

Նախ, կրկին սահմանումը եւ նկարը.

ՍահմանումԽառը աշխատանք Ոչ կին վեկտորներ, վերցված այս կարգով, parallelepipeda- ի ծավալը, Կառուցվել է վեկտորի տվյալների վրա, որը հագեցած է «+» նշանով, եթե հիմքն իրավունք ունի, իսկ հիմքը, «-», եթե հիմքը մնացել է:

Կատարեք նկար: Անտեսանելի գծերը ծեծի են ենթարկվում կետավոր գծի միջոցով.

Ընկղմեք ինքներդ ձեզ բնորոշում.

2) վեկտորներ վերցված որոշակի կարգովԱյսինքն, վեկտորների վերադասավորումը աշխատանքի մեջ, ինչպես կռահում եք, չի անցնում առանց հետեւանքների:

3) Երկրաչափական նշանակությունը մեկնաբանելուց առաջ ես կնշեմ ակնհայտ փաստը. Խառը վեկտորները թիվ են. Ուսումնական գրականության մեջ դիզայնը կարող է փոքր-ինչ այլ լինել, ես օգտագործում էի խառը ապրանք, եւ «PE» տառի հաշվարկների արդյունքը:

А-PRIORY Խառը աշխատանքը զուգահեռ ծավալ էԿառուցված վեկտորներով (գործիչը մաքրվում է կարմիր վեկտորներով եւ սեւ գծերով): Այսինքն, թիվը հավասար է այս զուգահեռացման ծավալին:

Նշում Նկարը սխեմատիկ է:

4) Եկեք չվերանայենք հիմքի եւ տարածության կողմնորոշման հայեցակարգով: Վերջնական մասի իմաստն այն է, որ մինուս նշանը կարող է ավելացվել ծավալին: Պարզ բառեր, խառը արտադրանքը կարող է բացասական լինել.

Ուղղակի բնորոշումից հետեւում է վեկտորներով կառուցված զուգահեռների ծավալը հաշվարկելու բանաձեւին:

Տարբերակներում կառուցված զուգահեռագրության տարածքը հավասար է այս վեկտորների երկարության արտադրանքին `անկյան անկյան տակ, որը նրանց միջեւ ընկած է:

Դե, երբ այդ վեկտորի երկարությունները տրվում են պայմաններով: Այնուամենայնիվ, պատահում է նաեւ, որ զուգահեռագրերի տարածքի բանաձեւը կիրառելու համար, որը կառուցված է վեկտորներով միայն համակարգումներից հետո:
Եթե \u200b\u200bբախտավոր է, եւ պայմաններով տրվում է վեկտորների երկարությունը, ապա պարզապես անհրաժեշտ է կիրառել այն բանաձեւը, որը նախկինում ապամոնտաժվել ենք հոդվածում: Տարածքը հավասար կլինի նրանց միջեւ սին-անկյունում գտնվող մոդուլների արտադրանքին.

Դիտարկենք վեկտորներով կառուցված զուգահեռագրության տարածքը հաշվարկելու օրինակ:

Առաջադրանք. Pollogram- ը ներկառուցված է վեկտորներով եւ. Գտեք տարածքը, եթե եւ նրանց միջեւ ընկած անկյունը 30 ° է:
Արտահայտեք վեկտորը իրենց արժեքների միջոցով.

Գուցե դուք ունեք հարց. Որտեղից է եկել զրոյը: Հարկ է հիշել, որ մենք աշխատում ենք վեկտորների եւ նրանց համար , Նշեք նաեւ, որ եթե արդյունքում մենք արտահայտություն ենք ստանում, այն կվերափոխվի: Այժմ մենք իրականացնում ենք վերջնական հաշվարկները.

Եկեք վերադառնանք խնդրին, երբ վեկտորների երկարությունները սահմանված չեն պայմաններում: Եթե \u200b\u200bձեր զուգահեռագրությունը ստում է Cartesian- ի համակարգված համակարգում, ապա անհրաժեշտ կլինի անել հետեւյալը:

Կոորդինացիների կողմից սահմանված գործչի կողային երկարությունների հաշվարկ

Սկզբից մենք գտնում ենք վեկտորների կոորդինատները եւ սկզբի համապատասխան կոորդինատները վերցնում վերջի կոորդինատներից: Եկեք ստանձնենք վեկտորի ա (X1; Y1; Z1) կոորդինատները, իսկ վեկտոր B (X3; Y3; z3):
Այժմ մենք գտնում ենք յուրաքանչյուր վեկտորի երկարությունը: Դա անելու համար յուրաքանչյուր կոորդինատ պետք է բարձրացվի քառակուսի, ապա արմատը հանելու համար ստացված արդյունքները եւ վերջնական համարից: Ըստ մեր վեկտորի, կլինեն հետեւյալ հաշվարկները.


Այժմ անհրաժեշտ կլինի գտնել մեր վեկտորների մասշտաբային արտադրանք: Դրա համար նրանց համապատասխան կոորդինատները բազմապատկվում եւ զարգանում են:

Ունենալով վեկտորների եւ նրանց Scalar արտադրանքի երկարությունները, մենք կարող ենք գտնել նրանց միջեւ ընկած անկյունի կոսինը:
Այժմ մենք կարող ենք գտնել նույն անկյան սինուսը.
Այժմ մենք ունենք բոլոր անհրաժեշտ քանակությունները, եւ մենք կարող ենք հեշտությամբ գտնել արդեն հայտնի բանաձեւի տարբերակներում կառուցված զուգահեռագրության տարածքը: