• Համակարգեր Տղամարդ Գծային հավասարումներ S. Ն. Անհայտ:
  Գծային հավասարումների համակարգի լուծում - Դա շատ թվեր է ( x 1, x 2, ..., x n), երբ համակարգի յուրաքանչյուր հավասարում, հավատարիմ հավասարություն է ձեռք բերվում:
  Որտեղ a ij, i \u003d 1, ..., մ; J \u003d 1, ..., n - համակարգի գործակիցներ;
  b I, i \u003d 1, ..., մ - Ազատ անդամներ;
  x j, j \u003d 1, ..., n - Անհայտ:
  Վերը նշված համակարգը կարող է գրանցվել Matrix- ի ձեւով. A · x \u003d b,
  
  
  
  
  որտեղ ( Ա|Բ) - համակարգի հիմնական մատրիցը.
  Ա - ընդլայնված համակարգի մատրիցա;
  X. - անհայտի սյուն.
  Բ - Ազատ անդամների սյուն:
  Եթե \u200b\u200bմատրիցը Բ Այն զրոյական մատրից չէ, ապա գծային հավասարումների այս համակարգը կոչվում է տարասեռ:
  Եթե \u200b\u200bմատրիցը Բ \u003d ∅, գծային հավասարումների այս համակարգը կոչվում է համասեռ: Համասեռ համակարգը միշտ ունի զրոյական (չնչին) լուծում. x 1 \u003d x 2 \u003d ..., x n \u003d 0.
  Գծային հավասարումների համատեղ համակարգ - Սա գծային հավասարումների համակարգի լուծում է:
  Գծային հավասարումների դիսֆերային համակարգ - Սա գծային հավասարումների համակարգ չի լուծում:
  Գծային հավասարումների սահմանված համակարգ - Սա գծային հավասարումների համակարգի միակ լուծումն է:
  Գծային հավասարումների անորոշ համակարգ - Այն ունի անսահմանափակ լուծումներ գծային հավասարումների համակարգ:
• Գծային հավասարումների համակարգեր N Անհայտի հետ
  Եթե \u200b\u200bանհայտի քանակը հավասար է հավասարումների քանակին, ապա մատրիցը քառակուսի է: Մատրիցի որոշիչ կոչվում է գծային հավասարումների համակարգի հիմնական որոշիչ եւ նշվում է խորհրդանիշով δ:
  Cramer մեթոդ Համակարգերը լուծելու համար Ն. Գծային հավասարումներ S. Ն. Անհայտ:
  Cramer կանոն:
  Եթե \u200b\u200bգծային հավասարումների համակարգի հիմնական որոշիչը հավասար չէ զրոյի, ապա համակարգը համակարգված է եւ որոշվում է, եւ միակ լուծումը հաշվարկվում է Crawler բանաձեւերի համաձայն.
  Որտեղ եմ δ համակարգի հիմնական որոշիչից ստացված որոշիչները փոխարինելով Ես- Սյունակ, ազատ անդամների սյունակում: ,
• N n անծանոթների հետ գծային հավասարումների համակարգեր
  Caperera capera theorem.
  
  
  Որպեսզի գծային հավասարումների այս համակարգը համատեղ լինի, անհրաժեշտ է եւ բավարար է համակարգի մատրիցի կոչման աստիճանը, որը հավասար է ընդլայնված համակարգի մատրիցի կոչմանը, rang (α) \u003d Rang (α | բ).
  Եթե rang (α) ≠ Rang (α | բ)Համակարգը չգիտի լուծումներ:
  Էսլի rang (α) \u003d Rang (α | բ)Այնուհետեւ հնարավոր է երկու դեպք.
  1) rang (α) \u003d n (Անհայտի քանակը) - Լուծումը եզակի է եւ կարելի է ձեռք բերել cramer բանաձեւերով.
  2) rang (α)< n - Լուծումները անսահման շատ են:
• Գաուսի մեթոդ Լարային հավասարումների համակարգերը լուծելու համար
  
  
  Կատարել ընդլայնված մատրից ( Ա|Բ) Այս համակարգը գործակիցներից է անհայտ եւ աջ մասերում:
  Gauss մեթոդը կամ անհայտության բացառման եղանակը `ընդլայնված մատրիցը բերելը ( Ա|Բ) Տարրական վերափոխումների միջոցով իր տողերից վերեւ անկյունագծային ձեւին (վերին եռանկյունաձեւ ձեւին): Վերադառնալով հավասարումների համակարգ, բոլոր անհայտությունները որոշում են:
  Տողերից վերեւ տարրական վերափոխումները ներառում են հետեւյալը.
  1) երկու տողի տեղերում փոփոխություն.
  2) տողի բազմապատկումը 0-ից բացի այլ թվով.
  3) ավելացնել մեկ այլ տողի տողին բազմապատկված կամայական թվով.
  4) զրոյական գիծը նետելը:
  Դիակոնալ ձեւին տրված ընդլայնված մատրիցը համապատասխանում է դրան, որին հավասար է գծային համակարգ, որի լուծումը դժվարություններ չի առաջացնում: ,
• Համասեռ գծային հավասարումների համակարգ:
  Համատարած համակարգը ունի ձեւը.
  
  Այն համապատասխանում է մատրիցի հավասարմանը A · x \u003d 0.
  1) համասեռ համակարգը միշտ զարգացած է, քանի որ r (a) \u003d r (a | B)Միշտ կա զրոյական լուծում (0, 0, ..., 0):
  2) Որպեսզի համասեռ համակարգ լինի ոչ զրոյական լուծում, անհրաժեշտ է եւ բավական է r \u003d r (a)< n Դա համարժեք է δ \u003d 0-ին:
  3) եթե Ռ.< n , ապա գիտակցաբար δ \u003d 0, ապա անվճար անհայտ կան c 1, C 2, ..., C N-RՀամակարգն ունի ոչ-ոքի լուծումներ, եւ դրանք անսահման շատ են:
  4) ընդհանուր լուծում X. համար Ռ.< n Այն կարող է գրանցվել Matrix- ի ձեւով հետեւյալ կերպ.
  X \u003d c 1 · x 1 + c 2 · x 2 + ... + C N-R · X N-R,
  Որտեղ լուծումներ են X 1, x 2, ..., x n-r Ձեւավորել լուծումների հիմնարար համակարգը:
  5) լուծումների հիմնական համակարգը կարելի է ձեռք բերել համասեռ համակարգի ընդհանուր լուծումից.
  
  ,
  Եթե \u200b\u200bհետեւողականորեն հավատում եք պարամետրերի արժեքներին, որոնք հավասար են (1, 0, ..., 0), (0, 1, ..., 0), ..., (0, 0, ..., 1) ,
  Լուծումների հիմնարար համակարգի ընդհանուր լուծման տարրալուծում - Սա ընդհանուր լուծում է հիմնարար համակարգին պատկանող լուծումների գծային համադրության տեսքով:
  Թեորեմ, Որպեսզի գծային համասեռ հավասարումների համակարգը լինի ոչ զրոյական լուծում, այն անհրաժեշտ է եւ բավարար է δ ≠ 0-ի համար:
  Այսպիսով, եթե որոշիչ δ ≠ 0, ապա համակարգը ունի մեկ լուծում:
  Եթե \u200b\u200bδ ≠ 0, ապա գծային համասեռ հավասարումների համակարգը անսահման բազմաթիվ լուծումներ ունի:
  Թեորեմ, Որպեսզի համասեռ համակարգ լինի ոչ զրոյական լուծում, անհրաժեշտ է եւ բավական է r (ա)< n .
  Վկայություն:
  1) Ռ. չի կարող լինել ավելին Ն. (մատրիցայի կոչումը չի գերազանցում սյուների կամ տողերի քանակը).
  2) Ռ.< n որովհետեւ Եթե r \u003d N., ապա համակարգի հիմնական որոշիչ δ ≠ 0, եւ, ըստ սողացող բանաձեւերի, կա մի չնչին լուծում: x 1 \u003d x 2 \u003d ... \u003d x n \u003d 0Ինչը հակասում է պայմանին: Դա նշանակում է r (ա)< n .
  Անառակ, Համասեռ համակարգի համար Ն. Գծային հավասարումներ S. Ն. Անհայտներն ունեին ոչ զրոյական լուծում, անհրաժեշտ է եւ բավարար չափով δ \u003d 0:

Ուսումնասիրեք գծային անգեբրայական հավասարումների (Սլավա) համակարգը, որը նշանակում է, որ այս համակարգը լուծում ունի, կամ դրանք չեն: Դե, եթե կան լուծումներ, ապա նշեք, թե դրանցից քանիսը:

Մեզ անհրաժեշտ կլինեն տեղեկատվություն «Գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգը: Հիմնական պայմաններ: Գրանցման մատրիցայի ձեւը»: Մասնավորապես, մեզ անհրաժեշտ են այնպիսի հասկացություններ, ինչպիսիք են համակարգի մատրիցը եւ ընդլայնված համակարգի մատրիցը, քանի որ հենց նրանց վրա է նկարագրելու Կապելիի Թեորեմի տեսակը: Ինչպես միշտ, համակարգի մատրիցը նշվելու է $ a $ մեկ $, իսկ ընդլայնված համակարգի մատրիցը $ \\ Widetilde (A) $ տառը:

Caperera capera theorem

Գծային հանրահաշվագ հավասարումների համակարգը համակարգվում է այն ժամանակ, եւ միայն այն դեպքում, եթե համակարգի մատրիցայի կոչումը հավասար է ընդլայնված համակարգի մատրիցայի կոչմանը, ես: $ \\ Rang A \u003d \\ rang \\ widetilde (a) $.

Հիշեցնեմ ձեզ, որ համակարգը կոչվում է համագործակցող, եթե այն ունի առնվազն մեկ լուծում: Կապերա-Կապելլի Թեորեմն ասում է, որ եթե $ \\ r \\ rang \\ widetilde (a) $ կա. Եթե \u200b\u200b$ \\ \\ \\ neq \\ r \\ r \\ r \\ widetilde (A) $, ապա այս լանջը չունի լուծումներ (թերի): Այս որոշումների քանակի վերաբերյալ հարցի պատասխանը բերում է Քրոնկերի-Կապելլի Ուորերի հետեւանքը: Հետեւանքի ձեւակերպմամբ օգտագործվում է $ N $ տառը, որը հավասար է տվյալ լանջի փոփոխականների քանակին:

Kepekener-capelie theorem- ի հետեւանք

1. Եթե \u200b\u200b$ \\ \\ \\ neq \\ r \\ r \\ r \\ r \\ widetilde (ա) $, ապա սլավոն թերի է (ոչ լուծումներ):
2. Եթե \u200b\u200b$ \\ Rang A \u003d \\ rang \\ widetilde (A)< n$, то СЛАУ является неопределённой (имеет бесконечное количество решений).
3. Եթե \u200b\u200b$ \\ r \\ rang \\ widetilde (a) \u003d n $, ապա լանջը սահմանվում է (այն ունի ընդամենը մեկ լուծում):

Նկատի ունեցեք, որ ձեւավորված թեորեմը եւ դրա հետեւանքը չեն նշում, թե ինչպես գտնել սլավայի լուծում: Նրանց օգնությամբ դուք կարող եք պարզել միայն, արդյոք այդ լուծումները գոյություն ունեն, թե ոչ, եւ եթե կան, ապա որքան:

Օրինակ №1

Ուսումնասիրեք $ \\ ձախ \\ (\\ Սկիզբը (հավասարեցված) & -3x_1 + 9x_2-7x_3 \u003d 17; \\\\ & -x_1 + 2x_2-4X_3 \u003d 9; \\\\ & 4x_1-2x_2 + 19X_3 \u003d -42: \\ վերջ (հավասարեցված) ) \\ Ճիշտ. $ Միավորվելու համար: Եթե սլավան բաժանվի, նշեք լուծումների քանակը:

Տվյալ սլավայի լուծումների առկայությունը պարզելու համար մենք օգտագործում ենք Caperera Caperera theorem- ը: Մեզ պետք կլինի $ a $ matrix եւ $ \\ Widetilde համակարգի (A) $ - ի ընդլայնված մատրիցա:

$ $ a \u003d \\ ձախ (\\ Սկիզբ (զանգված) (CCC) -3 & 9 & -7 \\\\ -1 & 2 & -4 & 19 \\ վերջ (զանգված) \\ ճիշտ); \\; \\ Widetilde (a) \u003d \\ ձախ (\\ Սկիզբ (զանգված) (CCC | C) -3 & 9 & -7 & -4 & 19 & -2 & -2 & 19 & -2 & -2 & -2 & -2 & 19 & -2 & -2 & -2 & -2 & -1 \\ Վերջ (զանգված) \\ աջ): $ $:

Անհրաժեշտ է $ \\ rang \\ rang \\ rang \\ rang \\ rang \\ widetilde (a) $ (a) $ գտնել: Դրա համար կան բազմաթիվ եղանակներ, որոնցից մի քանիսը նշված են «Rank Matrix» բաժնում: Սովորաբար, նման համակարգեր ուսումնասիրելու համար օգտագործվում են երկու մեթոդ. «« Հաշվարկելով մատրիցի աստիճանի դասարանը »կամ« մատրիցայի աստիճանը հաշվարկելով տարրական վերափոխումների մեթոդով »:

Թիվ 1 մեթոդ: Հաշվարկների հաշվարկը ըստ սահմանման:

Ըստ սահմանման, կոչումը փոքրամասնությունների մատրիցայի ամենաբարձր կարգն է, որոնց թվում կա առնվազն մեկը, քան զրո: Սովորաբար, ուսումնասիրությունը սկսվում է առաջին կարգի անչափահասների հետ, բայց ահա ավելի հարմար է անհապաղ սկսել Matrix- ի երրորդ կարգի երրորդ կարգի հանքարդյունաբերության հաշվարկը: Փոքր երրորդ կարգի տարրերը գտնվում են քննարկվող մատրիցի երեք տողերի եւ երեք սյուների խաչմերուկում: Քանի որ Matrix $ $ $ պարունակությունը պարունակում է ընդամենը 3 տող եւ 3 սյուն, մատրիցայի երրորդ կարգի աննշան $ a $ ամսաթիվը $ A $ $, I.E: $ \\ Delta A $. Որոշիչին հաշվարկելու համար մենք կիրառում ենք թիվ 2 բանաձեւը «Բանաձեւերը, երկրորդ եւ երրորդ պատվերների որոշիչները հաշվարկելու համար» թեմայից.

$ $ \\ Delta A \u003d \\ ձախ | \\ Սկիզբ (զանգված) (CCC) -3 & 9 & -7 \\\\ -1 & 2 & -4 \\ 4 & -2 & 19 \\ վերջ (զանգված) \\ ճիշտ | \u003d -21: $ $.

Այսպիսով, Matrix- ի երրորդ կարգի աննշան է $ A $ $, որը հավասար չէ զրոյի: Չորրորդ կարգի աննշան անհնար է կազմել, քանի որ այն պահանջում է 4 տող եւ 4 սյուն, իսկ $ A Matrix- ում `3 տող եւ 3 սյուն: Այսպիսով, փոքրամասնությունների մատրիցային դոլարի ամենաբարձր կարգը, որի թվում կան առնվազն մեկ ոչ զրոյական, հետեւյալն է. Հետեւաբար, $ \\ Range A \u003d $ 3:

Մենք նաեւ պետք է գտնենք $ \\ rang \\ widetilde (a) $: Եկեք նայենք $ \\ Widetilde (A) $ Matrix կառուցվածքը: Մինչեւ $ \\ Widetilde Matrix (A) $ (A) $ Գոյություն ունի $ A $ Matrix- ի տարրեր, եւ մենք պարզեցինք, որ $ \\ Delta A \\ NEQ 0 $: Հետեւաբար, $ \\ Widetilde Matrix (A) $ -ը երրորդ կարգի աննշան է, որը հավասար չէ զրոյի: Matrix $ \\ Widetilde (A) $ - ի չորրորդ կարգի անչափահասները, որոնք մենք չենք կարող ստեղծել, այնպես որ մենք եզրակացնում ենք, $ \\ Rang \\ Widetilde (A) \u003d $ 3:

Քանի որ $ \\ r \\ rang \\ widetilde (a) $, ապա ըստ Կլեկեր-Կապելի Թեորեմի, համակարգը համագործակցում է, այսինքն: Այն ունի լուծում (առնվազն մեկ): Լուծումների քանակը նշելու համար մենք հաշվի ենք առնում, որ մեր լանջը պարունակում է 3 անհայտ, $ x_1 $, $ x_2 $ եւ $ X_3 $: Քանի որ անհայտ N \u003d $ 3-ի քանակը մենք եզրակացություն ենք անում. $ \\ Rang \\ widetilde (a) \u003d n $, հետեւաբար, Capera-Capereli Teorer- ի հետեւանք, համակարգը սահմանվում է, այսինքն Այն ունի մեկ որոշում:

Առաջադրանքը լուծված է: Ինչ թերություններն ու օգուտներն են այս մեթոդը: Սկսելու համար խոսեք կողմերի մասին: Նախ, մենք պետք էր գտնել միայն մեկ որոշիչ: Դրանից հետո մենք անմիջապես ավարտեցինք որոշումների քանակի մասին: Սովորաբար, ստանդարտ տիպիկ հաշվարկները տրվում են հավասարումների համակարգեր, որոնք պարունակում են երեք անհայտ եւ ունեն մեկ լուծում: Նման համակարգերի համար այս մեթոդը շատ հարմար է, քանի որ նախապես գիտենք, որ կա լուծում (հակառակ դեպքում օրինակ չի լինի ստանդարտ հաշվարկման մեջ): Նրանք: Մենք միայն պետք է ցույց տանք լուծումների առկայությունը ամենաարագ ձեւով: Երկրորդ, համակարգի համակարգի Matrix- ի հաշվարկված արժեքը (I.E. $ \\ Delta $) օգտակար է. Երբ որոշում եք նշված համակարգը կառավարման համակարգով կամ օգտագործելով հակադարձ մատրիցա:

Այնուամենայնիվ, վարկանիշը ըստ սահմանման հաշվարկման եղանակը անցանկալի է կիրառելու համար, եթե $ A $ Matrix- ը ուղղանկյուն է: Այս դեպքում ավելի լավ է կիրառել երկրորդ մեթոդը, որը կքննարկվի ստորեւ: Բացի այդ, եթե $ \\ Delta A \u003d $ 0, մենք չենք կարողանա որեւէ բան ասել անմարդկային լանջին տրվող լուծումների քանակի մասին: Միգուցե լուծումների անսահման քանակը լանջ ունի, եւ գուցե ոչ մեկը: Եթե \u200b\u200b$ \\ Delta A \u003d 0 $ պահանջում է լրացուցիչ ուսումնասիրություն, որը հաճախ ծանրաբեռնված է:

Ամփոփելով նշվածը, ես նշում եմ, որ առաջին մեթոդը լավ է այն սլավայի համար, որոնց մատրիցային քառակուսի համակարգը: Միեւնույն ժամանակ, Սլավան ինքնին պարունակում է երեք կամ չորս անհայտ եւ վերցված ստանդարտ բնորոշ հաշվարկներից կամ փորձարկման աշխատանքներից:

Թիվ 2 մեթոդ: Դասակարգի հաշվարկը տարրական վերափոխումների միջոցով:

Այս մեթոդը մանրամասն նկարագրված է համապատասխան թեմայի մեջ: Մենք հաշվարկելու ենք $ \\ Widetilde Matrix (A) $ (A) $. Ինչու Excess իշտ մատրիցա $ \\ Widetilde (A) $, ոչ $ $: Փաստն այն է, որ $ A $ Matrix- ը $ \\ Widetilde Matrix- ի (A) $ -ի մաս է կազմում, այնպես որ $ \\ Widetilde Matrix- ի վարկանիշը (ա) $ Մենք միաժամանակ գտնենք, թե $ $ Matrix աստիճան.

\\ Սկիզբ (հավասարեցված) & \\ widetilde (A) \u003d \\ ձախ (\\ Սկիզբ (զանգված) (CCC | C) -3 & 9 & 2 & 9 \\\\ & 2 & 9 \\ \\ 4 & 9 \\\\ & 2 & 2 & 19 & -42 \\ End (զանգված) \\ աջ) \\ աջ \\ ձախ | \\ տեքստ (մենք փոխում ենք առաջին եւ երկրորդ տողերը) \\ ճիշտ | \\ Ճիշտ \\\\ & \\ աջ \\ ձախ (\\ Սկիզբ (զանգված) (CCC | C) -1 & 2 & -4 & -7 & 17 \\ \\ 4 & -2 & 19 & - 42 \\ վերջ (զանգված) \\ աջ) \\ Սկիզբ (զանգված) (L) \\ Phantom (0) \\\\ II-3 \\ CDOT I \\\\ III + 4 \\ CDOT I \\ End (\\ (Զանգված) (CCC | C) -1 & 2 & -4 & 9 \\\\ 0 & 3 & 3 & -10 \\ ed (զանգված) \\ ճիշտ) \\ Սկիզբ (0) \\ \\ \\ Phantom (0) \\\\ III -2 \\ CDOT II \\ End (զանգված) \\ a Rightarrow \\\\ & \\ աջ \\ ձախ (\\ bear (զանգված) -1 & 2 & -4 եւ 9 \\\\ 0 & 3 & 5 & -10 \\ վերջ (զանգված) \\ աջ) \\ վերջ (հավասարեցված)

Մենք Trapzoid ձեւով տվեցինք $ \\ widetilde (a) $: Արդյունքում Matrix- ի հիմնական վագոնի վրա $ \\ ձախ (\\ Սկիզբ (զանգված) (CCC | C) -1 & 2 & -4 & 9 \\ \\ 0 & 3 եւ վերջ) $ Գոյություն ունեն երեք ոչ զրո տարր, -1, 3 եւ -7: Եզրակացություն. Matrix $ \\ Widetilde (A) $ - ը 3 է, I.E: $ \\ Rang \\ Widetilde (A) \u003d $ 3. Matrix $ \\ Widetilde (A) $-ի տարրերի հետ փոխարկումներ կատարելը, որը մենք միաժամանակ վերածվել ենք եւ մատրիցայի տարրերը $ A $ $, գտնվում է մինչեւ տող: $ $ Matrix- ը տրվում է նաեւ տրապիզոիդ ձեւին, $ \\ ձախ (\\ Սկիզբ (զանգված) -1 & 2 & 5 եւ 0 & -2 (Զանգված) \\ աջ) $. Եզրակացություն. Matrix- ի վարկանիշը $ A $ է նաեւ 3, I.E: $ \\ Rang A \u003d $ 3.

Քանի որ $ \\ r \\ rang \\ widetilde (a) $, ապա ըստ Կլեկեր-Կապելի Թեորեմի, համակարգը համագործակցում է, այսինքն: ունի լուծում: Լուծումների քանակը նշելու համար մենք հաշվի ենք առնում, որ մեր լանջը պարունակում է 3 անհայտ, $ x_1 $, $ x_2 $ եւ $ X_3 $: Անհայտ $ N \u003d $ 3-ի քանակից մենք կատարում ենք արդյունքը, $ \\ Rang A \u003d \\ RNG \\ Widetilde (A) \u003d N $, հետեւաբար, Կապելլիի Թեորեմի հետեւանքով, համակարգը սահմանվում է, այսպես. Այն ունի մեկ որոշում:

Որոնք են երկրորդ ճանապարհի առավելությունները: Հիմնական առավելությունն իր բազմակողմանիությունն է: Մեզ համար նշանակություն չունի, արդյոք մատրիցը քառակուսի է, թե ոչ: Բացի այդ, մենք իրականում իրականացրել ենք Gauss մեթոդի ուղղակի շարժման վերափոխումները: Մնում է ընդամենը մի քանի գործողություններ, եւ մենք կարող էինք լուծում ստանալ այս սլավայի համար: Անկեղծ ասած, երկրորդ ձեւը, որին ես ավելի շատ դուր եմ գալիս, բայց ընտրությունը համի հարց է:

ՊատասխանՆշված սլավան բաժանվում եւ սահմանվում է:

Օրինակ 2-րդ օրինակ:

Ուսումնասիրեք $ \\ ձախ \\ (\\ Սկիզբը (հավասարեցված) \\ (\\ սկսեք (հավասարեցված) & x_1-x_2 + 2x_3 \u003d -1; \\ \\ &x_1 \u003d 3 \u003d 3; \\\\ & 2x_3 \u003d 2; \\\\ & 3x_1- 2x_2 + 5x_3 \u003d 1; \\\\ & 2x_1-3X_2 + 5x_3 \u003d -4: \\ վերջ (հավասարեցված) \\ ճիշտ: $ միավորների համար:

Համակարգի մատրիցայի եւ ընդլայնված համակարգի մատրիցայի շարքեր գտնելը կլինի տարրական վերափոխումների մեթոդը: Ընդլայնված համակարգ Matrix. $ \\ Widetilde (A) \u003d \\ ձախ (\\ Սկիզբ (զանգված) (CCC | C) 1 & -1 & 3 & -1 \\ \\ \\\\ & -1 & 3 & 2 \\\\ 3 & -3 & 5 & 1 \\\\ 2 & -3 & 5 & -4 \\ վերջ (զանգված) \\ աջ) $: Գտեք պահանջվող շարքերը, վերափոխելով ընդլայնված համակարգի մատրիցը.

Ընդլայնված համակարգի մատրիցը ցուցադրվում է քայլի ձեւով: Եթե \u200b\u200bմատրիցը տրվի ոտքի ձեւին, ապա դրա կոչումը հավասար է ոչ զրոյական գծերի քանակին: Հետեւաբար, $ \\ Rang A \u003d $ 3: Matrix $ A $ $ (մինչեւ տող) ցուցադրվում է տրապիզոիդային ձեւով, իսկ դրա աստիճանը `2, $ \\ Rang A \u003d $ 2:

$ \\ Rang \\ neq \\ rang \\ r \\ widetilde (a) $, ապա ըստ konecker-chapel theorem- ի, համակարգը թերի է (այսինքն, լուծումներ չկա):

ՊատասխանՀամակարգը անհասկանալի է:

Օրինակ, թիվ 3:

Ուսումնասիրեք $ \\ (\\ Սկիզբը (հավասարեցված) & 2x_1 + 7x_3-5X_4 + 11x_5 \u003d 42; \\ \\ & x_3 + 2x_5 \u003d 17; \\\\ & -3x_1 + 9X_2_5 \u003d -64 ; \\\\ & -5x_1 + 17x_2-16x_3-5x_4-4X_5 \u003d -90; \\\\ & 7x_1-17x_2 + 23x_3 + 15x_5 \u003d 132. \\ վերջ (հավասարեցված) \\ ճիշտ: $ միավորների համար:

Ընդլայնված համակարգի մատրիցա ունի ձեւը, $ \\ Widetilde (A) \u003d \\ ձախ (\\ Սկիզբ (զանգված) (CCCCC | C) 2 & 0 & 7 & 0 & 3 & 3 & 0 & 3 & 3 & 0 & 2 & 17 \\\\ -3 & 9 & -11 & 0 & 17 & -4 & -5 & -4 & -3 & -5 & 0 & 15 & 15 & 0 & 15 & 15 & 132 \\ վերջ (զանգված) \\ Ճիշտ) $. Մենք փոխում ենք այս մատրիցի առաջին եւ երկրորդ տողերը առաջին տողի առաջին տարրին, $ \\ ձախ (\\ Սկիզբ (զանգված) (CCCCC | C) 1 & -2 & 3 & 0 & 0 & 7 & -5 & 11 & 42 \\ \\ -7 & -64 \\\\ -5 & 17 & -6 & -5 & -5 & -9 & -5 & -90 \\ \\ 9 & -17 & 23 & 0 եւ 15 եւ 132 \\ Վերջ (զանգված) \\ աջ) $:

Մենք առաջնորդեցինք ընդլայնված համակարգի մատրիցա եւ համակարգի մատրիցա ինքնին տրապիզոիդ ձեւ: Ընդլայնված համակարգի մատրիցայի կոչումը երեքն է, համակարգի մատրիցայի կոչումը նույնպես հավասար է երեքին: Քանի որ համակարգը պարունակում է $ n \u003d $ 5 անհայտ, I.E: $ \\ Rang \\ Widetilde (A) \u003d \\ rang a< n$, то согласно следствия из теоремы Кронекера-Капелли данная система является неопределённой, т.е. имеет бесконечное количество решений.

ՊատասխանՀամակարգը անորոշ է:

Երկրորդ մասում մենք վերլուծելու ենք օրինակներ, որոնք հաճախ ներառված են բնորոշ հաշվարկների կամ բարձրագույն մաթեմատիկայի վերաբերյալ թեստային աշխատանքների մեջ. Ամփոփների վերաբերյալ հետազոտություններ եւ լանջի լուծում `կախված դրա մեջ ներառված պարամետրերի արժեքներից:

Ինչպես պարզ է Կրամերի թեորեմներԳծային հավասարումների համակարգը լուծելիս կարող է լինել երեք դեպք.

Առաջին դեպք. Գծային հավասարումների համակարգը ունի մեկ լուծում

(համակարգը համախոհ եւ սահմանված)

Երկրորդ դեպք. Գծային հավասարումների համակարգը ունի անթիվ լուծումներ

(Համատեղ եւ անորոշ համակարգ)

** ,

Նրանք: Անհայտ եւ ազատ անդամների գործակիցները համաչափ են:

Երրորդ դեպք. Գծային լուծումների համակարգը չունի

(համակարգը անհասկանալի է)

Այսպիսով, համակարգ Տղամարդ Գծային հավասարումներ S. Ն.փոփոխականներ կան անդադարԵթե \u200b\u200bնա չունի լուծում, եւ ՄիացյալԵթե \u200b\u200bայն ունի առնվազն մեկ լուծում: Կոչվում է միայն մեկ լուծում ունեցող հավասարումների համատեղ համակարգը սահմանված, մեկից ավել - Անվստահ.

Cramer- ի կողմից գծային հավասարումների լուծման օրինակներ

Թող համակարգը տրվի

.

Հիմնվելով Cramer Theorem- ի վրա

………….
,

Որտեղ
-

Համակարգի սահմանում: Մնացած որոշիչ միջոցները, որոնք մենք ստանում ենք, փոխարինելով սյունակին համապատասխան փոփոխական (անհայտ) անվճար անդամների գործակիցներին.

Օրինակ 2.

.

Հետեւաբար, համակարգը սահմանվում է: Իր լուծումները գտնելու համար մենք հաշվարկում ենք որոշիչները

Crawler բանաձեւերով, մենք գտնում ենք.

Այսպիսով (1; 0; -1) համակարգի միակ լուծումն է:

3 x 3 եւ 4 x 4 հավասարումների համակարգերի լուծումները ստուգելու համար կարող եք օգտագործել առցանց հաշվիչը, լուծելով cramer մեթոդը:

Եթե \u200b\u200bմեկ կամ մի քանի հավասարումների մեջ գծային հավասարումների համակարգում փոփոխականներ չկան, ապա որոշիչում, նրանց համապատասխան տարրերը զրո են: Սա հետեւյալ օրինակը է:

Օրինակ 3. Լուծեք գծային հավասարումների համակարգը Cramer մեթոդով.

.

Որոշում Մենք գտնում ենք համակարգի որոշիչ.

Ուշադիր նայեք հավասարումների եւ համակարգի որոշիչ համակարգի վրա եւ կրկնեք հարցի պատասխանը, ինչ դեպքերում որոշիչի մեկ կամ մի քանի տարրեր զրոյական են: Այսպիսով, որոշիչը հավասար չէ զրոյի, հետեւաբար, համակարգը սահմանվում է: Իր լուծումները գտնելու համար մենք որոշիչները հաշվարկում ենք անհայտ

Crawler բանաձեւերով, մենք գտնում ենք.

Այսպիսով, համակարգի լուծումը (2; -1; 1):

6, Գծային հանրահաշվական հավասարումների ընդհանուր համակարգ: Gauss մեթոդ:

Հիշում ենք, որ Cramer Comm- ը եւ Matrix մեթոդը ոչ պիտանի են այն դեպքերում, երբ համակարգը անսահման շատ լուծումներ ունի կամ անհամատեղելի: Գաուսի մեթոդ – Գծային հավասարումների ցանկացած համակարգի լուծում գտնելու ամենահզոր եւ համընդհանուր գործիք, որը Յուրաքանչյուր դեպքումմեզ կտանի դեպի պատասխանը: Մեթոդի ալգորիթմը ինքնին բոլոր երեք դեպքերում գործում է հավասարապես: Եթե \u200b\u200bորոշիչների իմացություն անհրաժեշտ է Cramer- ի մեթոդներում եւ մատրիցում, ապա Gauss մեթոդը օգտագործելու համար անհրաժեշտ է միայն թվաբանական գործողության իմացությունը, ինչը հնարավորություն է տալիս նույնիսկ առաջնային դպրոցի ուսանողների համար:

Նախ, որոշ համակարգված գիտելիքներ գծային հավասարումների համակարգերի վերաբերյալ: Գծային հավասարումների համակարգը կարող է.

1) ունեն միակ լուծումը:
2) Անսահման շատ լուծումներ ունեն:
3) լուծումներ չունենալու համար (լինել անդադար).

Gauss մեթոդ - լուծում գտնելու ամենահզոր եւ համընդհանուր գործիք ոչ մի Գծային հավասարումների համակարգեր: Ինչպես ենք հիշում cramer Կանոն եւ մատրիցների մեթոդ Հասկանալի է այն դեպքերում, երբ համակարգը անսահման շատ լուծումներ ունի կամ անհամապատասխան: Եւ անհայտության հետեւողական բացառման մեթոդը Համենայն դեպսմեզ կտանի դեպի պատասխանը: Այս դասում մենք կրկին համարում ենք Gauss մեթոդը 1-ին գործի համար (համակարգի միակ լուծումը), հոդվածը նշանակվում է թիվ 2-3 կետերի ներքո: Ես նշում եմ, որ մեթոդի ալգորիթմն ինքնին բոլոր երեք դեպքերում գործում է հավասարապես:

Եկեք դասը վերադառնանք ամենապարզ համակարգին Ինչպես լուծել գծային հավասարումների համակարգը:
եւ լուծելով ՏՏ մեթոդ Gauss:

Առաջին փուլում ձեզ հարկավոր է արձանագրել Ընդլայնված համակարգի մատրիցա:
, Ինչ սկզբունք է արձանագրվում գործակիցները, կարծում եմ, որ բոլորը կարող են տեսնել: Matrix- ի ներսում ուղղահայաց առանձնահատկությունը չի կրում որեւէ մաթեմատիկական նշանակություն. Դա պարզապես նկար է դիզայնի հարմարության համար:

տեղեկանք: Ես խորհուրդ եմ տալիս հիշել Պայմանները Գծային հանրահաշիվ: Համակարգի մատրիցա - Սա մատրիցա է, որը բաղկացած է միայն անհայտ գործակիցներից, այս օրինակում, համակարգի մատրիցա: Ընդլայնված համակարգի մատրիցա - Սա համակարգի նույն մատրիցն է, գումարած անվճար անդամների սյուն, այս դեպքում. Matrics- ի ցանկացած ցանկությունը կարելի է անվանել պարզապես Matrix Brevity- ի համար:

Ընդլայնված համակարգի մատրիցը գրանցվելուց հետո անհրաժեշտ է կատարել նաեւ որոշ գործողություններ, որոնք նույնպես կոչվում են Տարրական վերափոխումներ.

Կան հետեւյալ տարրական վերափոխումները.

1) Տողեր Մաթրացիներ Դուք կարող եք վերադասավորվել տեղերը. Օրինակ, քննարկվող մատրիցում դուք կարող եք ցավազրկել առաջին եւ երկրորդ տողերը.

2) Եթե կա մատրիցա (կամ հայտնվում է) համամասնական (որպես հատուկ դեպք `նույն) տող, ապա հետեւում է Ջնջել Այս բոլոր տողերից Matrix- ից բացի: Դիտարկենք, օրինակ, մատրիցը , Այս մատրիցում վերջին երեք տողերը համաչափ են, ուստի բավական է թողնել նրանցից միայն մեկը. .

3) Եթե փոխարկման ընթացքում մատրիցում հայտնվեց զրոյական տող, այն նույնպես պետք է Ջնջել, Ես չեմ նկարելու, պարզ է, զրոյական գիծը լարային է, որում Որոշ զրո.

4) մատրիցի լարը կարող է լինել Բազմապատկել (բաժանված) ցանկացած համարի համար Ոչ զրո, Դիտարկենք, օրինակ, մատրիցը: Այստեղ խորհուրդ է տրվում առաջին տողը բաժանել -3, իսկ երկրորդ գիծը `2-ով բազմապատկել: , Այս գործողությունը շատ օգտակար է, քանի որ այն հեշտացնում է մատրիցայի հետագա փոխարկումը:

5) Այս վերափոխումը առաջացնում է ամենամեծ դժվարությունները, բայց իրականում նույնպես բարդ բան չկա: Դեպի մատրիցային լարային կարող է Ավելացնել մեկ այլ տող բազմապատկված քանակովտարբերվում է զրոյից: Հաշվի առեք մեր մատրիցը գործնական օրինակից. Սկզբում ես փոխակերպում եմ գրելու շատ մանրամասն: Մենք առաջին տողը բազմապատկում ենք -2. , Երկրորդ տողին ավելացնել առաջին տողը բազմապատկված -2-ով: , Այժմ առաջին գիծը կարելի է բաժանել «հետ» մինչեւ -2: Ինչպես տեսնում եք մի տող, որը ավելացնում է Սուտ – Չափված չէ. Միշտ Լարը փոխվում է, որին ավելացվում է Üt.

Գործնականում դա այնքան մանրամասն է, իհարկե, մի նկարեք, բայց դրանք կարճ են գրում.

Եվս մեկ անգամ. Երկրորդ տող Ավելացվեց առաջին տողը բազմապատկված -2-ով, Լարը սովորաբար բանավոր է կամ նախագծի վրա, մինչդեռ հաշվարկների հոգեկան ընթացքը մոտավորապես նման է.

«Ես վերաշարադրում եմ մատրիցը եւ վերաշարադրում առաջին տողը. »

«Առաջին առաջին սյունը: Ներքեւում ես պետք է զրոյական լինեմ: Հետեւաբար, վերեւի ստորաբաժանումը բազմապատկվում է -2-ին, եւ ես առաջինը ավելացնում եմ երկրորդ տողը, 2 + (-2) \u003d 0. »

«Այժմ երկրորդ սյունը: Top -1 Բազմապատկեք -2-ում: Երկրորդ գծին ես ավելացնում եմ առաջինը, 1 + 2 \u003d 3. Ես արդյունք եմ տալիս երկրորդ շարքում. »

«Եվ երրորդ սյունը: Top -5 Բազմապատկեք -2-ում. Երկրորդ տողում ես ավելացնում եմ առաջինը. -7 + 10 \u003d 3. Արդյունքը երկրորդ տողում եմ գրում. »

Խնդրում ենք ուշադիր հասկանալ այս օրինակը եւ ցրվել անընդմեջ հաշվարկման ալգորիթմում, եթե դա հասկանաք, ապա Gauss մեթոդը գործնականում «գրպանում» է: Բայց, իհարկե, մենք դեռ աշխատում ենք այս վերափոխման վրա:

Տարրական վերափոխումները չեն փոխում հավասարումների համակարգի լուծումը

ԻՇԽԱՆՈՒԹՅՈՒՆ ՈւշադրությունՀամարվել է մանիպուլյացիաներ չի կարող օգտագործելԵթե \u200b\u200bձեզ առաջարկվում է առաջադրանք, որտեղ մատրիցաները տրվում են «մենակ»: Օրինակ, «դասական» -ում Գործողություններ մատրիցներով Ինչ-որ բան վերադասավորելու է մատրիցների ներսում ոչ մի դեպքում:

Եկեք վերադառնանք մեր համակարգին: Այն գրեթե ապամոնտաժվում է ոսկորների շուրջ:

Մենք գրում ենք ընդլայնված համակարգի մատրիցա եւ տարրական վերափոխումների օգնությամբ մենք տալիս ենք այն Ստանդարտ:

(1) Երկրորդ գիծը ավելացրեց առաջին տողը բազմապատկված -2-ով: Եվ կրկին. Ինչու են առաջին տողը բազմապատկվում -2-ում: Որպեսզի զրոյի ներքեւ վերցնեք, ուստի ազատվեք երկրորդ տողից մեկ փոփոխականից:

(2) Մենք երկրորդ տողը բաժանում ենք 3-ով:

Տարրական վերափոխումների նպատակը – Առաջնորդեք մատրիցա վերեւից մի քայլի. , Առաջադրանքի ձեւավորման մեջ այն ուղղակիորեն կազմվում է մի պարզ մատիտով «սանդուղք», ինչպես նաեւ քսում է այն թվերը շրջանակներով, որոնք տեղակայված են «քայլերի» վրա: «Քայլված տեսք» տերմինը ինքնին այնքան էլ տեսական չէ, գիտական \u200b\u200bեւ կրթական գրականության մեջ, նա հաճախ կոչվում է trapezoid տեսակներ կամ Եռանկյունի տեսարան.

Ստացված տարրական վերափոխումների արդյունքում Համարժեք Հավասարումների սկզբնական համակարգը.

Այժմ համակարգը պետք է լինի «առաջխաղացում» հակառակ ուղղությամբ, ներքեւից, այս գործընթացը կոչվում է Գաուսի մեթոդի վերադարձը.

Ստորին հավասարման մեջ մենք ունենք պատրաստի արդյունք.

Դիտարկենք համակարգի առաջին հավասարումը եւ փոխարինեք «Իգարեկ» -ի արդեն հայտնի իմաստը դրանում.

Դիտարկենք ամենատարածված իրավիճակը, երբ Gauss մեթոդը պահանջվում է երեք գծային հավասարումների համակարգը լուծելու համար, երեք անհայտ:

Օրինակ 1.

Լուծեք հավասարումների համակարգի գաուսի մեթոդը.

Մենք գրում ենք ընդլայնված համակարգի մատրիցա.

Այժմ ես անմիջապես նկարում եմ այն \u200b\u200bարդյունքը, որով մենք կգանք լուծման ընթացքում.

Եվ ես կրկնում եմ, մեր նպատակը `տարրական վերափոխումների օգնությամբ, մատրիցը գլխավորում է դեպի ոտքի ձեւը: Որտեղ սկսել գործողություններ:

Սկզբում մենք նայում ենք ձախ վերին համարին.

Գրեթե միշտ պետք է լինի այստեղ ստորաբաժանում, Ընդհանրապես, այն կկազմի եւ -1 (եւ երբեմն այլ թվեր), բայց ինչ-որ կերպ այն ավանդաբար զարգացրել է, որ սովորաբար տեղադրվում է մեկը: Ինչպես կազմակերպել միավոր: Մենք նայում ենք առաջին սյունակին `մենք ունենք պատրաստի միավորը: Առաջին վերափոխում. Մենք տեղերում փոխում ենք առաջին եւ երրորդ տողերը.

Այժմ առաջին գիծը կմնա անփոփոխ մինչեւ որոշման ավարտը, Հիմա լավ է:

Կազմակերպվում է ստորաբաժանում վերին ձախ անկյունում: Այժմ հարկավոր է զրո ձեռք բերել այս վայրերում.

Զերոսը ստանում է պարզապես «ծանր» վերափոխման օգնությամբ: Սկզբում մենք նշանակում ենք երկրորդ լարով (2, -1, 3, 13): Ինչ պետք է արվի առաջին դիրքում զրոյի հասնելու համար: Պետք է Երկրորդ տողին ավելացնել առաջին տողը բազմապատկված -2-ով, Մտավոր կամ նախագծի վրա բազմապատկեք առաջին տողը -2-ից -2. (-2, -4, 2, -18): Եւ հետեւողականորեն իրականացնել (կրկին մտավոր կամ նախագծի վրա) հավելում, Երկրորդ տողին ավելացնել առաջին տողը, արդեն բազմապատկված -2-ով:

Արդյունքը գրանցվում է երկրորդ շարքում.

Նմանապես զբաղվեք երրորդ տողի հետ (3, 2, -5, -1): Առաջին դիրքում զրոյականորեն հասնելու համար ձեզ հարկավոր է Երրորդ տողին, ավելացնել առաջին տողը բազմապատկված -3-ով, Հոգեկան կամ նախագծի վրա բազմապատկեք առաջին տողը -3. (-3, -6, 3, -27): Մի քանազոր Երրորդ տողին ավելացնել առաջին տողը բազմապատկված -3-ով:

Արդյունքը գրված է երրորդ գծին.

Գործնականում այս գործողությունները սովորաբար կատարվում են բանավոր եւ արձանագրված մեկ քայլով.

Կարիք չկա ամեն ինչ անմիջապես դիտարկել եւ միեւնույն ժամանակ, Հաշվարկների եւ «տեղավորվող» արդյունքների կարգը կայուն Եվ սովորաբար այդպիսին. Նախ վերաշարադրեք առաջին լարը եւ թողեք այտուցված - հաջորդաբար եւ Ուշադիր:


Ես արդեն հաշվի եմ առել հաշվարկների հոգեկան ընթացքը:

Այս օրինակում դա հեշտ է անել, մենք երկրորդ տողը բաժանում ենք -5 (քանի որ այնտեղ բոլոր համարները բաժանվում են 5-ի `առանց մնացորդի): Միեւնույն ժամանակ, մենք բաժանվում ենք երրորդ տողը -2-ին, քանի որ որքան փոքր է թիվը, այնքան ավելի հեշտ է.

Տարրական վերափոխումների վերջին փուլում անհրաժեշտ է եւս մեկ զրո ստանալ.

Սրա համար Երրորդ տողին ավելացնել երկրորդ տողը բազմապատկված -2-ով:


Փորձեք ինքներդ ձեզ ապամոնտաժել այս գործողությունը `մտավոր բազմապատկեք երկրորդ տողը -2-ի վրա եւ լրացում կազմեք:

Վերջին գործողությունը hairstyle- ն է, մենք երրորդ գիծը բաժանում ենք 3-ով:

Տարրական վերափոխումների արդյունքում ստացվել է գծային հավասարումների համարժեք աղբյուրի համակարգ.

Հիանալի:

Ուժի մեջ է մտնում Gauss մեթոդի հակառակ քայլը: Հավասարումները ներքեւից «քողարկվում են»:

Երրորդ հավասարման մեջ մենք արդեն ունենք պատրաստի արդյունք.

Մենք նայում ենք երկրորդ հավասարմանը. «Զետ» արժեքը արդեն հայտնի է, այնպես որ.

Եվ, վերջապես, առաջին հավասարումը. Հայտնի են «Իգարեկ» եւ «զետ», դա փոքր է.

Պատասխան:

Ինչպես արդեն բազմիցս նշվել է, հնարավոր է հավասարումների ցանկացած համակարգ եւ անհրաժեշտ է ստուգել գտնված լուծումը, լավը, դա հեշտ է եւ արագ:

Օրինակ 2.

Սա օրինակ է անկախ լուծման համար, դասի ավարտին մաքուր դիզայնի եւ արձագանքի նմուշ:

Պետք է նշել, որ ձեր Վարքագիծ Կարող է համընկնել որոշման իմ որոշման հետ, Եվ սա Gauss մեթոդի առանձնահատկությունն է:, Բայց հիմա պատասխանները պետք է հավասար լինեն նույնին:

Օրինակ 3.

Լուծեք Գաուսի կողմից գծային հավասարումների համակարգը

Մենք գրում ենք համակարգի ընդլայնված մատրիցը եւ տարրական վերափոխումների օգնությամբ մենք այն տալիս ենք քայլի տեսակը.

Մենք նայում ենք ձախ վերին «քայլին»: Այնտեղ մենք պետք է միավոր ունենանք: Խնդիրն այն է, որ առաջին սյունակում ոչ մի միավոր չկա, այնպես որ ոչ մի բան չկատարելու տողերի ներխուժումը: Նման դեպքերում անհրաժեշտ է կազմակերպել տարրական վերափոխման միջոցով: Դա սովորաբար կարելի է անել մի քանի եղանակներով: Ես դա արեցի.
(1) Առաջին տողում ավելացնել երկրորդ տողը բազմապատկված -1-ով, Այսինքն, հոգեպես բազմապատկվել է երկրորդ տողը -1-ին եւ ավարտեց առաջին եւ երկրորդ տողի ավելացումը, մինչդեռ մենք չփոխեցինք երկրորդ գիծը:

Այժմ ձախ կողմում «մինուս» վերեւում, այն բավականին հարմար է: Ով ցանկանում է ստանալ +1, կարող է կատարել լրացուցիչ հեռուստատեսություն. Բազմապատկեք առաջին տողը -1-ի վրա (նշանը փոխեք դրանից):

(2) Երկրորդ տողը ավելացրեց առաջին տողը բազմապատկված 5-ով: Երրորդ տողում ավելացված է առաջին տողը բազմապատկված 3-ով:

(3) Առաջին տողը բազմապատկվել է -1, սկզբունքորեն, դա գեղեցկության համար է: Երրորդ գիծը նույնպես փոխեց նշանը եւ վերադասավորեց այն երկրորդ տեղում, այնպես որ երկրորդ «քայլը մենք ունեինք ցանկալի միավոր:

(4) երրորդ շարքին ավելացրեց երկրորդ տողը բազմապատկված 2-ով:

(5) Երրորդ գիծը բաժանվեց 3-ի:

Վատ հատկություն, որը ցույց է տալիս հաշվարկների սխալը (պակաս հաճախ մուտքագրելու մասին) «վատ» ներքեւի գիծն է: Այսինքն, եթե ներքեւում լինեինք, նման բան, եւ, համապատասխանաբար, , մեծ հավանականությամբ կարելի է պնդել, որ սխալ է առաջացել տարրական վերափոխումների ընթացքում:

Մենք գանձում ենք հակառակ քայլը, օրինակների ձեւավորման մեջ հաճախ չեն վերաշարադրվում համակարգը ինքնին, եւ հավասարումները «ուղղակիորեն վերցնում են տվյալ մատրից»: Վերադարձեք, ես հիշեցնում եմ, աշխատում, ներքեւից վեր: Այո, այստեղ նվերը պարզվեց.

Պատասխան: .

Օրինակ 4.

Լուծեք Գաուսի կողմից գծային հավասարումների համակարգը

Սա օրինակ է անկախ լուծման համար, այն փոքր-ինչ ավելի բարդ է: Ոչինչ սարսափելի չէ, եթե ինչ-որ մեկը շփոթված է: Դասի վերջում ամբողջական լուծում եւ նմուշի ձեւավորում: Ձեր որոշումը կարող է տարբերվել իմ որոշումից:

Վերջին մասում հաշվի առեք Gauss Algorithm- ի որոշ առանձնահատկություններ:
Առաջին առանձնահատկությունն այն է, որ երբեմն համակարգի հավասարումների փոփոխականներ չկան, օրինակ.

Ինչպես գրանցել ընդլայնված համակարգի մատրիցա: Այս պահի մասին ես արդեն խոսեցի դասի ժամանակ Cramer կանոն: Matrix մեթոդ, Անհայտ կորած փոփոխականների կայքում համակարգի ընդլայնված մատրիցում մենք զրո ենք դնում.

Ի դեպ, սա բավականին հեշտ օրինակ է, քանի որ առաջին սյունակում արդեն կա մեկ զրո, եւ ավելի քիչ տարրական վերափոխումներ կան:

Երկրորդ հատկությունը բաղկացած է դրանում: Հաշվի առնելով բոլոր օրինակներում, մենք տեղադրել ենք -1, կամ +1: Կարող են այնտեղ լինել այլ թվեր: Որոշ դեպքերում կարող է: Հաշվի առեք համակարգը. .

Այստեղ ձախ վերին «քայլի» վրա մենք ունենք երկուս: Բայց մենք նկատում ենք այն փաստը, որ առաջին սյունակում բոլոր համարները բաժանված են 2-ի առանց մնացորդի, իսկ մյուսը, երկու անգամ եւ վեց: Եվ վերեւում մնացած դեացին կպատճառի մեզ: Առաջին քայլում դուք պետք է կատարեք հետեւյալ վերափոխումները. Առաջին տողը բազմապատկված -1-ով երկրորդ տող ավելացնել. Երրորդ տողին ավելացնել առաջին տողը բազմապատկված -3-ով: Այսպիսով, մենք ստանում ենք ցանկալի զրո առաջին սյունակում:

Կամ մեկ այլ պայմանական օրինակ. , Այստեղ երկրորդ «քայլը» եռյակը գոհ է մեզանից, քանի որ 12-ը (այն վայրը, որտեղ մենք պետք է զրոյական լինենք), առանց հավասարակշռության: Անհրաժեշտ է իրականացնել հետեւյալ տրանսֆորմացիան. Երրորդ գիծ, \u200b\u200bավելացնել երկրորդ տողը բազմապատկված -4-ով, որի արդյունքում կստացվի մեր անհրաժեշտ զրո:

Գաուսի մեթոդը համընդհանուր է, բայց կա մեկ առանձնահատկություն: Վստահորեն սովորեք համակարգերը լուծել այլ մեթոդներով (օգտագործելով խառնարան, մատրիցային մեթոդը), այն բառացիորեն առաջին անգամ է. Կա շատ կոշտ ալգորիթմ: Բայց Գաուսի մեթոդում վստահ զգալու համար պետք է «լրացնեք ձեռքը» եւ կոտրեք առնվազն 5-10 համակարգ: Հետեւաբար, հնարավոր է շփոթել, սխալների սխալները, եւ ոչ մի անսովոր կամ ողբերգական բան չկա:

Անձրեւային աշնանային եղանակը պատուհանից դուրս .... Հետեւաբար բոլոր նրանց համար, ովքեր ցանկանում են ավելի բարդ օրինակ, անկախ լուծման համար.

Օրինակ 5.

Լուծեք չորս գծային հավասարումների Gauss մեթոդը չորս անհայտ անձանց հետ:

Գործնականում նման խնդիր չէ այնքան հազվադեպ: Կարծում եմ, նույնիսկ մի թեյի, որը մանրամասն ուսումնասիրեց այս էջը, նման համակարգը լուծելու ալգորիթմը ինտուիտիվորեն հասկացվում է: Սկզբունքորեն, ամեն ինչ նույնն է `պարզապես ավելի շատ գործողություն:

Դեպքեր, երբ համակարգը չունի լուծումներ (անհամապատասխան) \u200b\u200bկամ անսահման շատ լուծումներ ունի, որոնք դիտարկվում են դասում Ընդհանուր լուծում ունեցող անակնկանքներն ու համակարգերը, Այնտեղ կարող եք նաեւ համախմբել Gauss մեթոդի համարվող ալգորիթմը:

Ձեզ հաջողություն եմ ցանկանում!

Լուծումներ եւ պատասխաններ.

Օրինակ 2. ՈրոշումՄենք գրում ենք համակարգի ընդլայնված մատրիցը եւ տարրական վերափոխումների օգնությամբ մենք այն տալիս ենք վերեւում գտնվող քայլին:


Կատարված տարրական վերափոխումներ.
(1) Երկրորդ գիծը ավելացրեց առաջին տողը բազմապատկված -2-ով: Երրորդ տողին ավելացրեց առաջին տողը բազմապատկված -1-ով: Ուշադրություն Այստեղ կարող է լինել երրորդ գծից գայթակղություն `առաջինը հանելու համար, ես չափազանց խորհուրդ չեմ տրվում նվազեցնել. Սխալի ռիսկը խստորեն աճում է: Պարզապես ծալեք:
(2) Երկրորդ գիծը փոխեց նշանը (բազմապատկված -1): Երկրորդ եւ երրորդ տողերը փոխեցին տեղերը: ՆշումԴա «քայլերի» վրա բավարարվում է մեզանից ոչ միայն միավորը, այլեւ -1, որն էլ ավելի հարմար է:
(3) երրորդ շարքում ավելացված է երկրորդ տողը բազմապատկվել է 5-ով:
(4) Երկրորդ գիծը փոխեց նշանը (բազմապատկվել -1): Երրորդ գիծը բաժանվեց 14-ի:

Վերադարձ

Պատասխան: .

Օրինակ 4. ՈրոշումՄենք գրում ենք ընդլայնված համակարգի մատրիցը եւ տարրական վերափոխումների օգնությամբ մենք այն տալիս ենք քայլի տեսակը.

Փոխակերպումը կատարվեց.
(1) Երկրորդ գիծը ավելացվեց երկրորդին: Այսպիսով, ցանկալի միավորը կազմակերպվում է ձախ վերին «քայլի» վրա:
(2) Երկրորդ տողը ավելացվել է առաջին տողում բազմապատկված 7-ով: Երրորդ գիծը ավելացրեց, որ առաջին գիծը բազմապատկվել է 6-ով:

Երկրորդ «քայլը» ավելի վատ է«Թեկնածուներ» դրա վրա `17 եւ 23 համարներ, եւ մեզ պետք է մեկ կամ -1: Փոխակերպումը (3) եւ (4) ուղղված կլինի ցանկալի միավորի ձեռքբերմանը

(3) երրորդ գիծը ավելացրեց երկրորդը, բազմապատկվել -1-ով:
(4) Երկրորդ գիծը ավելացրեց երրորդը, բազմապատկվել -3-ով:
Ստացվում է ցանկալի բան երկրորդ քայլում .
(5) Երրորդ գիծը ավելացրեց երկրորդը, բազմապատկվում է 6-ով:

Դասերի շրջանակներում Գաուսի մեթոդ մի քանազոր Ընդհանուր լուծում ունեցող թերի համակարգեր / համակարգերՄենք համարեցինք Գծային հավասարումների անմարդկային համակարգերորտեղ ազատ դիկ(որը սովորաբար ճիշտ է) գոնե մեկը Հավասարումներից տարբերվում էր զրոյից:
Եվ հիմա, լավ մարզվելուց հետո Դասընթացի մատրիցաՄենք կշարունակենք մանրացնել սարքավորումները Տարրական վերափոխումներ վրա Գծային հավասարումների համասեռ համակարգ.
Առաջին պարբերությունների համաձայն, նյութը կարող է թվալ ձանձրալի եւ սովորական, բայց այս տպավորությունը խաբուսիկ է: Ի լրումն տեխնիկական տեխնիկայի հետագա մշակման, շատ նոր տեղեկություններ կլինեն, ուստի փորձեք չփորձել չտեսնել սույն հոդվածի օրինակները:

Գծային հավասարումների համակարգեր

I. Խնդրի հայտարարություն:

II. Միատեսակ համազգեստ եւ անմարդկային համակարգեր:

III. Համակարգ Շոշափել Հավասարումներ Շոշափել Անհայտ: Cramer կանոն:

IV. Մատրիցայի մեթոդի լուծման հավասարումների համակարգեր:

V. Gauss մեթոդը:

I. Խնդրի հայտարարություն:

Դիտումների համակարգի հավասարումներ

Կոչվում է համակարգ Տղամարդ Գծային հավասարումներ S. Ն. Անհայտ
, Այս համակարգի հավասարումների գործակիցները գրանցվում են որպես մատրիցա

կոչված Համակարգի մատրիցա (1).

Հավասարումների ճիշտ մասերում կանգնած համարները Ազատ անդամների սյուն {Բ}:

.

Եթե \u200b\u200bսյուն ( Բ}={0 ), ապա կոչվում է հավասարումների համակարգը Համազգեստ, Հակառակ դեպքում, երբ ( Բ}≠{0 ) - համակարգ Տարասեռ.

Գծային հավասարումների համակարգը (1) կարող է գրանցվել Matrix- ի ձեւով

[Ա]{x.}={Բ}. (2)

Այստեղ - անհայտ սյուն:

Լուծել հավասարումների համակարգը (1) նշանակում է գտնել համադրություն Ն. թվեր
Այնպիսին, որ համակարգում փոխարինելիս (1) անհայտի փոխարեն
Յուրաքանչյուր համակարգի հավասարումը դիմում է ինքնությանը: Թվեր
Կոչվում է հավասարումների համակարգի լուծումներ:

Գծային հավասարումների համակարգը կարող է ունենալ մեկ լուծում

,

Կարող է ունենալ անթիվ լուծումներ

կամ ընդհանրապես լուծումներ չունեն

.

Չի կարելի լուծումներ չունեցող հավասարումներ ոչ մահճակալներ, Եթե \u200b\u200bհավասարումների համակարգը ունի առնվազն մեկ լուծում, ապա այն կոչվում է Միացյալ, Հավակորդների համակարգը կոչվում է սահմանվածԵթե \u200b\u200bայն ունի միակ լուծում եւ ԱնվստահԵթե \u200b\u200bկա անթիվ լուծումներ:

II. Միատեսակ համազգեստ եւ անմարդկային համակարգեր:

Պատրաստված է գծային հավասարումների համակարգի (1) համակարգի պայմանը capera capera theoremԳծային հավասարումների համակարգը առնվազն մեկ լուծում ունի այդ եւ միայն այն դեպքում, երբ համակարգի մատրիցայի կոչումը հավասար է ընդլայնված մատրիցի կոչմանը.
.

Համակարգի ընդլայնված մատրիցը կոչվում է Matrix- ը, որն առաջացնում է համակարգի մատրիցային, որը դրան վերագրվում է անվճար անդամների աջ սյունակին.

.

Եթե \u200b\u200brg. ԱԱ * Այնուհետեւ հավասարումների համակարգը թերի է:

Գծային հավասարումների միասնական համակարգերը `համաձայն Կապելիի Թեորեմկերին, միշտ համատեղ են: Հաշվի առեք միատարր համակարգի դեպքը, որում հավասարումների թիվը հավասար է անհայտ թվին, այսինքն t \u003d P., Եթե \u200b\u200bնման համակարգի մատրիցայի որոշումը զրոյական չէ, այսինքն:
Համասեռ համակարգը ունի մի լուծում, որը չնչին է (զրո): Միատեսակ համակարգերն ունեն անթիվ լուծումներ, եթե կան գծային, որոնք կախված են համակարգի հավասարումներից, I.E:
.

Օրինակ. Դիտարկենք երեք գծային հավասարումների միատարր համակարգ `երեք անհայտ անձի հետ.

Եվ մենք ուսումնասիրում ենք նրա որոշումների հարցը: Յուրաքանչյուր հավասարում կարելի է համարել համակարգումների ծագմամբ անցնող ինքնաթիռի հավասարումը ( Գցել=0 ): Հավասարումների համակարգը ունի մեկ լուծում, երբ բոլոր երեք ինքնաթիռները հատվում են մի պահ: Միեւնույն ժամանակ, նրանց նորմալ վեկտորները ոչ առեւտրային են, եւ, հետեւաբար, պայման է իրականացվում

.

Համակարգի լուծում միաժամանակ x.=0, յ.=0, Զ.=0 .

Եթե \u200b\u200bերեք ինքնաթիռներից առնվազն երկուսը, օրինակ, առաջին եւ երկրորդը, զուգահեռ, այսինքն: Համակարգի մատրիցայի որոշումը զրո է, եւ համակարգը ունի անթիվ լուծումներ: Եւ լուծումները կլինեն կոորդինատներ x., յ., Զ. Բոլոր կետերը ստում են ուղիղ

Եթե \u200b\u200bբոլոր երեք ինքնաթիռները համընկնեն, հավասարումների համակարգը կնվազի մեկ հավասարման

,

Եվ լուծումը կլինի այս ինքնաթիռում ստող բոլոր կետերի կոորդինատները:

Գծային հավասարումների անմարդկային համակարգերի ուսումնասիրության մեջ համատեղելիության հարցը լուծվում է Կապերերա Կապերերա Թեորեմի օգնությամբ: Եթե \u200b\u200bնման համակարգում հավասարումների թիվը հավասար է անհայտ թվին, ապա համակարգը ունի մեկ լուծում, եթե դրա որոշումը զրո չէ: Հակառակ դեպքում համակարգը կամ անհամապատասխան է, կամ ունի անթիվ լուծումներ:

Օրինակ, Մենք ուսումնասիրում ենք երկու հավասարումների անմարդկային համակարգը երկու անհայտի հետ

.

Համակարգի հավասարումները կարող են համարվել որպես ինքնաթիռի երկուսի հավասարումներ: Համակարգը թերի է, երբ ուղիղ զուգահեռ, այսինքն է:
,
, Այս դեպքում համակարգի մատրիցայի կոչումը 1:

Հեղինակ Ա=1 որովհետեւ
,

Եւ ընդլայնված մատրիցայի կոչում
Հավասար է երկուսի, քանի որ դրա համար երրորդ սյունը պարունակող երկրորդ կարգը կարող է ընտրվել որպես հիմնական անչափահաս:

Այս դեպքում rg ԱԱ * .

Եթե \u200b\u200bուղղակի համընկնում է, ես: Հավասարումների համակարգը ունի անթիվ լուծումներ. Ուղղակի կետերի կոորդինատները
, Այս դեպքում rg Ա= Հեղինակ Ա * =1.

Համակարգն ունի մեկ լուծում, երբ անօրինական է, զուգահեռ, այսինքն:
, Այս համակարգի լուծումը ուղղակիորեն խաչմերուկի խաչմերուկային կետի համակարգումն է

III. ՀամակարգՇոշափել ՀավասարումներՇոշափել Անհայտ: Cramer կանոն:

Դիտարկենք ամենապարզ դեպքը, երբ համակարգի հավասարումների քանակը հավասար է անհայտի թվին: Տղամարդ= Ն., Եթե \u200b\u200bհամակարգի մատրիցայի որոշումը տարբերվում է զրոյից, համակարգի լուծումը կարելի է գտնել ըստ Կրամերի կանոնների.

(3)

Այստեղ
- Համակարգի մատրիցայի որոշիչ,

- Ստացված մատրիցայի որոշիչ [ Ա] Փոխարինել ԵսԵրկու սյունակն ազատ անդամների սյունակում.

.

Օրինակ, Հավաքածուների համակարգը լուծեք cramer մեթոդով:

Որոշում :

1) Մենք կգտնենք համակարգի որոշիչ

2) մենք գտնում ենք օժանդակ որոշիչներ

3) Մենք կգտնենք համակարգի լուծումը ըստ Cramer- ի կառավարման.

Լուծման արդյունքը կարող է ստուգվել փոխարինմամբ `հավասարումների համակարգին:

Ստացվում են հուսալի ինքնություններ:

IV. Մատրիցայի մեթոդի լուծման հավասարումների համակարգեր:

Գրեք գծային հավասարումների համակարգ Matrix ձեւով (2)

[Ա]{x.}={Բ}

եւ բազմապատկեք հարաբերությունների ճիշտ եւ ձախ մասերը (2) մատրիցի ձախ կողմում [ Ա -1 ] Հակադարձ համակարգի մատրիցա.

[Ա -1 ][Ա]{x.}=[Ա -1 ]{Բ}. (2)

Վերադարձի մատրիցայի սահմանման միջոցով աշխատանքը [ Ա -1 ][Ա]=[Ե.], եւ ըստ մեկ մատրիցայի հատկությունների [ Ե.]{x.}={x.): Այնուհետեւ մենք ստանում ենք հարաբերակցությունը (2 ")

{x.}=[Ա -1 ]{Բ}. (4)

Հարաբերակցությունը (4) ընդգծում է գծային հավասարումների համակարգի լուծման մատրիցային մեթոդը. Անհրաժեշտ է գտնել համակարգի հակադարձ մատրիցա եւ դրա աջ մասերի ձախ վեկտոր-սյունակում:

Օրինակ, Նախորդ օրինակում դիտարկված հավասարումների համակարգի մատրիցային մեթոդը լուծելով:

Համակարգի մատրիցա
Դրա որոշիչ դիլը: Ա==183 .

Աջ ձեռքի մասերի սյուն
.

Մատրիցը գտնելու համար [ Ա -1 ], գտեք [կցված է մատրիցը [ Ա]:

կամ

Վերադարձի մատրիցի մտնող միջոցների հաշվարկման բանաձեւում
, ապա

Այժմ կարող եք գտնել լուծման համակարգը

Ապա վերջապես ստացեք .

V. Gauss մեթոդը:

Վերահսկիչի կամ մատրիցային մեթոդի հավասարումների համակարգի մեծ թվով անհայտ լուծույթներով այն կապված է բարձր կարգի որոշիչների կամ մեծ թվով մատրիցների շրջանառության հաշվարկման հետ: Այս ընթացակարգերը շատ աշխատատար են նույնիսկ ժամանակակից համակարգիչների համար: Հետեւաբար, մեծ թվով հավասարումների համակարգերը լուծելու համար Gauss մեթոդը ավելի հաճախ օգտագործվում է:

Gauss մեթոդը բաղկացած է անհայտի հետեւողական բացառմամբ `ընդլայնված համակարգի մատրիցայի տարրական վերափոխումների միջոցով: Matrix- ի տարրական վերափոխումները ներառում են տողերի, ծալովի տողերի թույլտվություն, բազմապատկիչ շարքեր `ըստ զրոյից: Փոխակերպումների արդյունքում համակարգի մատրիցը հանվում է բարձրագույն եռանկյունաձեւ, որի հիմնական անկյունագծով կան միավորներ եւ հիմնական անկյունագծի ներքեւում `Զերոս: Սա Gauss մեթոդի ուղղակի քայլն է: Մեթոդի հակառակ ընթացքը անհայտ է ուղղակիորեն սահմանել, սկսած վերջիններից:

Մենք պատկերում ենք Գաուսի մեթոդը հավասարումների համակարգը լուծելու օրինակով

Առաջին քայլում ուղիղ հարվածները որոնում են գործակիցը
Վերափոխված համակարգը հավասար դարձավ 1 եւ գործակիցները
մի քանազոր
դիմել է զրոյի: Դրա համար առաջին հավասարումը կբազմապատկվի 1/10 , երկրորդ հավասարումը `բազմապատկելու համար 10 եւ պառկեք առաջինի հետ, երրորդ հավասարումը `բազմապատկելու համար -10/2 եւ պառկեցիր առաջինի հետ: Այս վերափոխումներից հետո մենք ստանում ենք

Երկրորդ քայլում մենք դիմում ենք տրանսֆորմացիայի գործակիցը
դարձավ հավասար 1 եւ գործակիցը
, Դա անելու համար երկրորդ հավասարումը բաժանված է 42 եւ երրորդ հավասարումը `բազմապատկելու համար -42/27 եւ ծալեք երկրորդը: Մենք ստանում ենք հավասարումների համակարգ

Երրորդ քայլում պետք է ստանա գործակիցը
, Դրա համար երրորդ հավասարումը բաժանվում է (37 - 84/27) ; Ստացում

Գաուսի մեթոդի այս ուղղակի ընթացքի ավարտին, քանի որ Համակարգի մատրիցը կրճատվում է վերին եռանկյունաձեւին.

Վերադարձեք, գտնեք անհայտ

Գծային հանրահաշիվ հավասարումների (Սլավայի) համակարգերի լուծումը, անկասկած, գծային հանրահաշվի տողի կարեւորագույն թեման է: Մաթեմատիկայի բոլոր բաժիններից հսկայական առաջադրանքներ կրճատվում են գծային հավասարումների համակարգերի լուծման համար: Այս գործոնները բացատրում են այս հոդվածը ստեղծելու պատճառը: Հոդվածի հոդվածը ընտրվում եւ կառուցված է այնպես, որ դրա հետ կարող եք

• Ընտրեք ձեր գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգի լուծման օպտիմալ մեթոդը,
• Ուսումնասիրեք ընտրված մեթոդի տեսությունը,
• Լուծեք ձեր գծային հավասարումների համակարգը, ուսումնասիրված բնութագրական օրինակների եւ առաջադրանքների մանրամասնորեն ապամոնտաժված լուծումներով:

Հոդվածի նյութի հակիրճ նկարագրությունը:

Նախ, մենք կտանք բոլոր անհրաժեշտ սահմանումները, հասկացությունները եւ ծանուցում կներկայացնենք:

Հաջորդը, մենք հաշվի ենք առնում գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգերի լուծման մեթոդներ, որոնցում հավասարումների թիվը հավասար է անհայտ փոփոխականների քանակին, եւ որոնք ունեն մեկ լուծում: Նախ, մենք կանդրադառնանք Cramer մեթոդի վրա, երկրորդ, մենք ցույց կտանք հավասարումների նման համակարգերի լուծման մատրիցային եղանակը, երրորդը, մենք կվերլուծենք Gauss մեթոդը (անհայտ փոփոխականների հետեւողական բացառման մեթոդը): Տեսությունը ապահովելու համար դա անպայմանորեն կլուծի մի քանի դանդաղ տարբեր եղանակներով:

Դրանից հետո մենք շարունակում ենք լուծել ընդհանուր ձեւի գծային հանրահաշվական հավասարությունների համակարգերը, որոնցում հավասարումների թիվը չի համընկնում անհայտ փոփոխականների կամ համակարգի հիմնական մատրիցի հետ, այլասերված է: Մենք ձեւավորում ենք Krocecker - Capelli- ի տեսակը, որը թույլ է տալիս ստեղծել Սլավայի համատեղելիություն: Մենք վերլուծելու ենք համակարգերի լուծումը (դրանց համատեղելիության դեպքում) `մատրիցայի հիմնական աննշանության հայեցակարգի օգնությամբ: Մենք կքննարկենք նաեւ Gauss մեթոդը եւ մանրամասն նկարագրել օրինակների լուծումները:

Մենք անպայման կանդրադառնանք գծային հանրահաշվական հավասարումների համասեռ եւ անմարդկային համակարգերի ընդհանուր լուծման կառուցվածքի վրա: Մենք տալիս ենք հիմնարար լուծման համակարգի հայեցակարգը եւ ցույց տալիս, թե ինչպես է ընդհանուր լուծումը սլավա գրվում, օգտագործելով հիմնարար լուծումների համակարգի վեկտորները: Ավելի լավ հասկանալու համար մենք վերլուծելու ենք մի քանի օրինակներ:

Եզրափակելով, մենք համարում ենք հավասարումների համակարգը, որոնք կրճատվում են գծային, ինչպես նաեւ տարբեր առաջադրանքներ, երբ լուծում է լանջը:

Նավիգացիոն էջ:

Սահմանումներ, հասկացություններ, նոտացիա:

Մենք կքննարկենք P գծային հանրահաշվական հավասարումները N անհայտ փոփոխականների հետ (p կարող է հավասար լինել n)

Անհայտ փոփոխականներ - գործակիցներ (որոշ վավեր կամ բարդ համարներ) - անվճար անդամներ (նաեւ վավեր կամ բարդ համարներ):

Գրվածի նման ձեւը կոչվում է համակարգել.

Մեջ matrix ձեւ գրառում է հավասարումների այս համակարգը ձեւ է
Որտեղ - Համակարգի հիմնական մատրիցը `անհայտ փոփոխականների մատրիցա սյունը, - անվճար անդամների մատրիցա սյուն:

Եթե \u200b\u200bավելացնեք մատրիցը եւ ավելացրեք անվճար անդամների մատրիցա սյուն-սյուն, ապա մենք ստանում ենք այսպես կոչված Ընդլայնված մատրիցա Գծային հավասարումների համակարգեր: Սովորաբար, ընդլայնված մատրիցը նշվում է T տառով, եւ անվճար անդամների սյունը մնացած սյուներից առանձնացված է ուղղահայաց գծով, այսինքն,

Լուծելով գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգը Զանգահարեք անհայտ փոփոխականների արժեքների մի շարք, ավելացնելով համակարգի բոլոր հավասարումները ինքնություններում: Անհայտ փոփոխականների այս արժեքների մատրիցային հավասարումը նույնպես վերաբերում է ինքնությանը:

Եթե \u200b\u200bհավասարումների համակարգը ունի առնվազն մեկ լուծում, ապա այն կոչվում է Միացյալ.

Եթե \u200b\u200bլուծումների համակարգը չունի, ապա այն կոչվում է անդադար.

Եթե \u200b\u200bմիակ լուծումը մեկ որոշում ունի, ապա այն կոչվում է սահմանված; Եթե \u200b\u200bլուծումները մեկից ավելին են, ապա - Անվստահ.

Եթե \u200b\u200bբոլոր համակարգի հավասարումների անվճար պայմանները զրո են Այնուհետեւ համակարգը կոչվում է Համազգեստ, հակառակ դեպքում Տարասեռ.

Գծային հանրահաշվական հավասարումների տարրական համակարգերի լուծում:

Եթե \u200b\u200bհամակարգի հավասարումների թիվը հավասար է անհայտ փոփոխականների թվին, եւ դրա հիմնական մատրիցի որոշումը զրո չէ, ապա կկոչվի նման լանջ Նախնական, Հավասարությունների նման համակարգերը ունեն մեկ լուծում, իսկ համասեռ համակարգի դեպքում, բոլոր անհայտ փոփոխականները զրոյական են:

Մենք սկսեցինք սովորել ավագ դպրոցում այդ գանգի մեջ: Երբ դրանք լուծվեին, մենք մի տեսակ հավասարեցանք, արտահայտեց մի անհայտ փոփոխական ուրիշների միջոցով եւ փոխարինեց այն մնացած հավասարումների մեջ, հետեւեց հետեւյալ անհայտ փոփոխություններին եւ այլն: Կամ օգտագործեց հավելման եղանակը, այսինքն, երկու կամ ավելի հավասարումներ, որոնք ծալվել են, բացառելու որոշ անհայտ փոփոխականներ: Մենք մանրամասն չենք դադարի այս մեթոդների վերաբերյալ, քանի որ դրանք ըստ էության փոփոխություններ են կատարում Gauss մեթոդի:

Գծային հավասարումների տարրական համակարգերի լուծման հիմնական մեթոդները Cramer- ի մեթոդն են, մատրիցային մեթոդը եւ Gauss մեթոդը: Մենք կվերլուծենք դրանք:

Cramer մեթոդով գծային հավասարումների համակարգերի լուծում:

Եկեք պետք է լուծենք գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգը

Այն դեպքում, երբ հավասարումների թիվը հավասար է անհայտ փոփոխականների թվին, եւ համակարգի հիմնական մատրիցայի որոշումը տարբերվում է զրոյից, այսինքն:

Թող - համակարգի հիմնական մատրիցայի որոշումը եւ - մատրիցաների որոշիչ միջոցներ, որոնք ստացվում են փոխարինումից 1-ին, 2-րդ, ..., n-wow Համապատասխանաբար, ազատ անդամների սյունակի վրա.

Նման պատկերացումով անհայտ փոփոխականները հաշվարկվում են, օգտագործելով cramer մեթոդի բանաձեւերը, ինչպես , Այսպիսով, Cramer մեթոդով գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգի լուծում կա:

Օրինակ.

Cramer մեթոդ .

Որոշում

Համակարգի հիմնական մատրիցը ունի ձեւը , Մենք հաշվարկում ենք դրա որոշումը (անհրաժեշտության դեպքում, տես հոդվածը).

Քանի որ համակարգի հիմնական մատրիցայի որոշումը տարբերվում է զրոյից, համակարգը ունի մեկ լուծում, որը կարելի է գտնել cramer մեթոդով:

Մենք կկառուցենք եւ կհամարկենք անհրաժեշտ որոշիչները (Մենք ստանում ենք որոշիչ, փոխարինելով Matrix- ում եւ անվճար անդամների սյունակի առաջին սյունակում, որոշիչ `երկրորդ սյունը փոխարինելով անվճար անդամների սյունակի վրա, - անվճար անդամների երրորդ սյունակի փոխարինում եւ անվճար անդամների սյունակի փոխարինում )

Մենք գտնում ենք անհայտ փոփոխականներ բանաձեւերով :

Պատասխան:

Կրեդերի մեթոդի հիմնական թերությունը (եթե այն կարող է անվայել անվանել) որոշիչ միջոցները հաշվարկելու բարդությունն է, երբ համակարգի հավասարումների քանակը երեքից ավելին է:

Մատրիցային մեթոդով գծային հանրահաշվագ հավասարումների համակարգեր լուծելը (օգտագործելով հակադարձ մատրիցա):

Թող գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգը նշվի Matrix- ի ձեւով, որտեղ Matrix A- ն ունի N- ի N- ի N- ը, եւ դրա որոշումը տարբերվում է զրոյից:

Քանի որ, այնուհետեւ Matrix A- ն հետադարձելի է, այսինքն, կա հակադարձ մատրիցա: Եթե \u200b\u200bդուք բազմապատկեք ձախ կողմի երկու մասերը, մենք ստանում ենք բանաձեւ, անհայտ փոփոխականների սյունը գտնելու համար: Այսպիսով, մենք մատրիցայի մեթոդով ձեռք բերեցինք գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգի լուծում:

Օրինակ.

Որոշեք գծային հավասարումների համակարգը մատրիցա մեթոդ:

Որոշում

Ես վերաշարադրում եմ հավասարումների համակարգը մատրիցայի ձեւով.

Որպես

Որ լանջը կարող է լուծվել մատրիցայի մեթոդով: Հակադարձ մատրիցայի օգնությամբ այս համակարգի լուծումը կարելի է գտնել որպես .

Մենք կառուցում ենք հակադարձ մատրիցա, օգտագործելով Matrix A տարրերի հանրահաշվական լրացումներից (անհրաժեշտության դեպքում, տես հոդվածը).

Մնում է հաշվարկել `անհայտ փոփոխականների մատրիցը, բազմապատկելով վերադարձի մատրիցը Ազատ անդամների մատրիցս-սյունակի վրա (անհրաժեշտության դեպքում տես հոդվածը).

Պատասխան:

Կամ մեկ այլ ռեկորդում x 1 \u003d 4, x 2 \u003d 0, x 3 \u003d -1:

Հիմնական խնդիրը գծային հանրաճանաչ հավասարումների լուծույթների լուծման ժամանակ Matrix մեթոդը բաղկացած է Inverse Matrix- ի բարդությունից, հատկապես երրորդից բարձր կարգի հրապարակային մատրիցների համար:

Գաուսի մեթոդով գծային հավասարումների համակարգերի լուծում:

Եկեք կարիք գտնենք համակարգի լուծում N Linear հավասարումներից N անհայտ փոփոխականների հետ
Հիմնական մատրիցայի որոշումը տարբերվում է զրոյից:

Գաուսի մեթոդի էությունը Այն բաղկացած է անհայտ փոփոխականների հաջորդական բացառությունից. Նախ եւ առաջ բացվում է համակարգի բոլոր հավասարումների x 1-ը, սկսած երկրորդից, քան X 2-ը, սկսած երրորդից եւ այլն, քանի դեռ մնում է միայն անհայտ փոփոխական Xn- ը Վերջին հավասարման մեջ: Անհայտ փոփոխականների հետեւողական բացառման համար համակարգի հավասարումների նման գործընթացը կոչվում է gauss մեթոդի ուղղակի գործարկում, Գաուսի մեթոդի ուղղակի շարժումը հեռացնելուց հետո, վերջին հավասարումը x n է, քանի որ այս արժեքի օգնությամբ նախավերջին հավասարվելուց հետո X N-1 հաշվարկվում է, եւ այսպես, X 1-ը հաշվարկվում է առաջին հավասարման: Անհայտ փոփոխականներ հաշվարկելու գործընթացը, երբ համակարգի վերջին հավասարումը առաջինը քշում է Գաուսի մեթոդի վերադարձը.

Հակիրճ նկարագրեք ալգորիթմը `անհայտ փոփոխականները բացառելու համար:

Մենք կստանձնենք դա, քանի որ միշտ կարող ենք հասնել համակարգի հավասարումների այս թույլտվությանը: Բացառությամբ համակարգի բոլոր հավասարումների անհայտ փոփոխական x 1-ը, սկսած երկրորդից: Դա անելու համար համակարգի երկրորդ հավասարումը կավելացնի առաջինը, բազմապատկվում է երրորդ հավասարմանը, ավելացնել առաջինը, բազմապատկվել է առաջին, բազմապատկվելով: Նման վերափոխումներից հետո հավասարումների համակարգը կվերցնի ձեւը

որտեղ, Ա. .

Մենք կգնայի նույն արդյունքի դեպքում, եթե x 1-ը X 1- ն արտահայտվի այլ անհայտ փոփոխականների միջոցով `համակարգի առաջին հավասարման եւ արդյունքում ստացված արտահայտության մեջ, որը փոխարինվում է բոլոր մյուս հավասարումներին: Այսպիսով, փոփոխական x 1-ը բացառված է բոլոր հավասարումներից, սկսած երկրորդից:

Հաջորդը, մենք գործում ենք նաեւ, բայց միայն ձեռք բերված համակարգի մի մասի հետ, որը նշված է այդ ցուցանիշում

Դա անելու համար մենք ավելացնում ենք երկրորդը, բազմապատկվում է չորրորդ հավասարման չորրորդ հավասարման հետ, երկրորդը, բազմապատկվում է եւ այլն, ավելացնելով երկրորդը, բազմապատկվել: Նման վերափոխումներից հետո հավասարումների համակարգը կվերցնի ձեւը

որտեղ, Ա. , Այսպիսով, փոփոխական x 2-ը բացառված է բոլոր հավասարումներից, սկսած երրորդից:

Հաջորդը, անցեք անհայտ X 3-ի բացառմանը, մինչդեռ նմանապես գործելով գործիչում նշված համակարգի մի մասի հետ

Այսպիսով, մենք շարունակում ենք Gauss մեթոդի անմիջական քայլը, մինչդեռ համակարգը չի ստացվում

Այդ պահից մենք սկսում ենք Gauss մեթոդի հակադարձ ընթացքը. Հաշվարկեք XN- ը վերջին հավասարումից, քանի որ արդյունքում ստացված XN- ն օգտագործում ենք նախավերջին հավասարեցումից, մենք առաջինից գտնում ենք X 1-ը հավասարումը:

Օրինակ.

Որոշեք գծային հավասարումների համակարգը Gauss մեթոդ:

Որոշում

Եկեք բացառենք անհայտ փոփոխական x 1-ը երկրորդ եւ երրորդ համակարգի հավասարումից: Դա անելու համար մենք առաջին հավասարման համապատասխան մասերը ավելացնում ենք երկրորդ եւ երրորդ հավասարումների երկու մասերին, որոնք բազմապատկվել են համապատասխանաբար եւ:

Այժմ, երրորդ հավասարումից, բացառեք X 2-ը, ավելացնելով նրա ձախ եւ աջ մասերը, երկրորդ հավասարման ձախ եւ աջ մասերը, բազմապատկվել է.

Դրա մասին ավարտվում է Gauss մեթոդի ուղղակի քայլը, մենք սկսում ենք հակառակը:

Հավասարումների ձեռք բերված համակարգի վերջին հավասարումը մենք գտնում ենք x 3:

Երկրորդ հավասարությունից մենք ստանում ենք:

Առաջին հավասարումից մենք գտնում ենք մնացած անհայտ փոփոխականը, եւ դրանք ավարտում են Gauss մեթոդի հակառակ քայլը:

Պատասխան:

X 1 \u003d 4, x 2 \u003d 0, x 3 \u003d -1:

Ընդհանուր ձեւի գծային հանրահաշվական հավասարությունների լուծում:

Ընդհանուր առմամբ, P- ի հավասարումների քանակը չի համընկնում անհայտ փոփոխականների N:

Նման լանջը կարող է լուծումներ չունենալ, ունենալ մեկ որոշում կամ անսահման շատ լուծումներ ունենալ: Այս հայտարարությունը վերաբերում է նաեւ հավասարումների համակարգերին, որի հիմնական մատրիցը քառակուսի է եւ այլասերված:

Քոնկերայի տեսակը - Կապելլի:

Նախքան գծային հավասարումների համակարգի լուծում գտնելը անհրաժեշտ է հաստատել դրա համատեղելիությունը: Հարցի պատասխանը, երբ Սլավան միասին է, եւ երբ թերի է տալիս koncheker Theorem - Capelli:
Որպեսզի համակարգը p- ի հավասարումներից մինչեւ անհայտ (P- ը հավասար լինի n), անհրաժեշտ է եւ բավարար է, որ համակարգի հիմնական մատրիցայի կոչումը հավասար է ( Ա) \u003d կոչում (t):

Դիտարկենք Քրեյքերի - Կապելլիի տեսականի օգտագործումը `գծային հավասարումների համակարգի կազմումը որոշելու համար:

Օրինակ.

Պարզեք, արդյոք ունի գծային հավասարումների համակարգը լուծումներ:

Որոշում

, Մենք օգտագործում ենք անչափահասի ցնցող մեթոդը: Երկրորդ կարգի աննշան Տարբերվում է զրոյից: Մենք կհաղթահարենք առաջնագծում երրորդ կարգի անչափահասներին.

Քանի որ բոլոր երրորդ կարգի հիմնարար անչափահասները զրո են, հիմնական մատրիցի կոչումը երկուսն են:

Իր հերթին, ընդլայնված մատրիցայի կոչում հավասար է երեքի, ինչպես երրորդ կարգի աննշան

Տարբերվում է զրոյից:

Այս կերպ, Հետեւաբար, Crakecker Theorem - Capelli- ում, կարելի է եզրակացնել, որ գծային հավասարումների նախնական համակարգը թերի է:

Պատասխան:

Լուծումների համակարգը չունի:

Այսպիսով, մենք սովորեցինք, թե ինչպես ստեղծել համակարգի անավարտությունը, օգտագործելով Կլեկեր - Կապելլի Թեորեմը:

Բայց ինչպես գտնել սլավայի լուծում, եթե դրա համատեղելիությունը տեղադրված է:

Դա անելու համար մեզ պետք է մատրիցայի եւ թեորեմի բազայի հայեցակարգը, մատրիցայի մատանի վրա:

Կոչվում է զրոյից տարբերվող Matrix- ի ամենաբարձր կարգի աննշան Հիմք.

Հիմնական աննշան սահմանումից հետեւում է, որ դրա կարգը հավասար է մատրիցայի լուսանցքին: Nonzero Matrix- ի համար, բայց կարող են լինել մի քանի հիմնական փոքրամասներ, մի հիմնական անչափահաս միշտ:

Օրինակ, հաշվի առեք մատրիցը .

Այս մատրիցայի երրորդ կարգի բոլոր անչափահասները զրո են, քանի որ այս մատրիցայի երրորդ գծի տարրերը առաջին եւ երկրորդ գծերի համապատասխան տարրերի գումարն են:

Հիմնականը երկրորդ կարգի հետեւյալ անչափահասներն են, քանի որ դրանք տարբերվում են զրոյից

Աննշան Հիմնականը չէ, քանի որ դրանք զրո են:

Թեորեմը մատրիցայի աստիճանի վրա:

Եթե \u200b\u200bPer N N- ի պատվերի օղակը հավասար է R- ին, ապա մատրիցայի տողերի (եւ սյուների) բոլոր տարրերը, որոնք չեն կազմում ընտրված բազան, գծային արտահայտված են տողերի (եւ սյունների) ձեւավորման համապատասխան տարրերի միջոցով բազան անչափահաս:

Ինչը մեզ տալիս է The Erorem- ը մատրիցայի աստիճանի վրա:

Եթե \u200b\u200bԿապոնկեր - Կապելլիի, մենք սահմանեցինք համակարգի ստորաբաժանումները, ընտրում ենք համակարգի հիմնական մատրիցայի ցանկացած հիմնական աննշան (դրա կարգը հավասար է R- ից) ձեւավորել ընտրված բազան աննշան: Այսպիսով ստացված լանջը համարժեք կլինի բնօրինակին, քանի որ անտեսված հավասարումները դեռ ավելորդ են (դրանք մնացած հավասարումների գծային համադրություն են Մատրիցի կոչման թեորեմի ուղղությամբ):

Արդյունքում, համակարգի ավելցուկների ավելցուկները մերժելուց հետո հնարավոր է երկու դեպք:

Եթե \u200b\u200bարդյունքում ստացված համակարգում r հավասարումների թիվը հավասար է անհայտ փոփոխականների թվին, դա կլինի որոշակի եւ միակ լուծումը կարելի է գտնել Cramer մեթոդով, մատրիցային մեթոդի կամ Gauss մեթոդով:

Օրինակ.

.

Որոշում

Դասակարգեք հիմնական համակարգի մատրիցը հավասար է երկուսի, քանի որ երկրորդ կարգը անչափահաս է Տարբերվում է զրոյից: Ընդլայնված մատրիցայի կոչում Նույնպես հավասար է երկուսի, քանի որ երրորդ կարգի միակ աննշան զրոյական է

Եվ վերեւում քննարկված անչափահաս առաջին կարգը տարբերվում է զրոյից: Հիմնվելով Krocecker - Capelli- ի տեսախցիկի վրա, հնարավոր է հաստատել գծային հավասարումների բնօրինակ համակարգի բաժանումը, քանի որ դասակարգում (ա) \u003d աստիճանի (t) \u003d 2:

Որպես հիմնական աննշան, վերցրեք , Այն կազմում է առաջին եւ երկրորդ հավասարումների գործակիցները.


Համակարգի երրորդ հավասարումը ներգրավված չէ բազային անչափահասի ձեւավորման մեջ, հետեւաբար, մենք դա կբացուցենք համակարգից, որը հիմնված է օղակի մատրիցի վրա:


Այսպիսով, մենք ստացանք գծային հանրահաշվական հավասարումների տարրական համակարգ: Այն լուծելով `օգտագործելով խառնարանը.


Պատասխան:

x 1 \u003d 1, x 2 \u003d 2:

Եթե \u200b\u200bարդյունքում R- ի հավասարումների թիվը պակաս է անհայտ փոփոխականների n- ից, ապա հավասարումների ձախ մասում մենք թողնում ենք այն բաղադրիչները, որոնք կազմում են բազա աննշան, մնացած մասերը փոխանցվում են համակարգի հավասարումների հակառակ նշանի հետ:

Անհնարավոր փոփոխականներ (դրանց r կտորները) հավասարումների ձախ մասերում մնացած են Հիմնական.

Անհայտ փոփոխականներ (դրանց N - r կտորները), որոնք ճիշտ մասերում էին, կանչվում են անվճար.

Այժմ մենք հավատում ենք, որ անվճար անհայտ փոփոխականները կարող են կամայական արժեքներ առաջացնել, մինչդեռ R- ի հիմնական անհայտ փոփոխականները կուտվեն անվճար անհայտ փոփոխականների միջոցով: Նրանց արտահայտությունը կարելի է գտնել արդյունքում ստացված նմուշի լուծում `սկավառակի մեթոդով, մատրիցային մեթոդի կամ գաուսի մեթոդի:

Մենք կվերլուծենք օրինակին:

Օրինակ.

Որոշեք գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգը .

Որոշում

Մենք գտնում ենք համակարգի հիմնական մատրիցայի կոչումը Անչափահաս անչափահասների մեթոդը: Որպես առաջին կարգի Nonzero աննշան, վերցրեք 1 1 \u003d 1: Եկեք սկսենք որոնումը երկրորդ կարգի ոչ զրո անչափահասի, որը կտրում է այս անչափահասը.


Այսպիսով, մենք գտանք երկրորդ կարգի աննշան աննշանությունը: Եկեք սկսենք երրորդ կարգը սահմանակից ոչ-ի որոնումը.


Այսպիսով, հիմնական մատրիցի կոչումը երեքն է: Ընդլայնված մատրիցի կոչումը հավասար է նաեւ երեքին, այսինքն, համակարգը համակարգված է:

Երրորդ կարգի աննշանորեն հիմնված nonzero անչափահասը կվերցնի որպես հիմնական:

Պարզության համար մենք ցույց ենք տալիս այն տարրերը, որոնք կազմում են բազան անչափահասը.


Մենք թողնում ենք համակարգի բաղադրիչները `անչափահասի բազայում ներգրավված հավասարումների ձախ մասում, մնացած մասը հակառակ նշաններով փոխանցվում է աջ մասերին.


Տվեք անվճար անհայտ փոփոխականներ x 2 եւ x 5 կամայական արժեքներ, այսինքն, մենք կվերցնենք որտեղ - կամայական համարներ: Միեւնույն ժամանակ, լանջը կվերցնի


Գծային հանրահաշվական հավասարումների արդյունքում ստացված տարրական համակարգը `կառավարման համակարգը լուծելով.


Հետեւաբար,.

Ի պատասխան, մի մոռացեք նշել անվճար անհայտ փոփոխությունները:

Պատասխան:

Որտեղ - կամայական համարներ:

Ամփոփեք:

Ընդհանուր տիպի գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգը լուծելու համար մենք նախ պարզում ենք դրա համատեղելիությունը `օգտագործելով Konpeker- ի թեորեմը` Կապելլի: Եթե \u200b\u200bհիմնական մատրիցայի կոչումը հավասար չէ ընդլայնված մատրիցայի կոչմանը, ապա մենք եզրակացնում ենք համակարգի թերիությունը:

Եթե \u200b\u200bհիմնական մատրիցայի կոչումը հավասար է ընդլայնված մատրիցայի կոչմանը, ապա մենք ընտրում ենք անչափահասի բազան եւ հեռացնում այն \u200b\u200bհամակարգի հավասարումը, որը չի մասնակցում ընտրված բազայի ձեւավորմանը:

Եթե \u200b\u200bանչափահասի բազայի կարգը հավասար է անհայտ փոփոխականների թվին, ապա Սլավան ունի մեկ լուծում, որը մենք գտնում ենք մեզ հայտնի ցանկացած մեթոդ:

Եթե \u200b\u200bանչափահասի բազայի կարգը պակաս է անհայտ փոփոխականների քանակից, ապա համակարգի ձախ մասում, հավասարումների ձախ մասում մենք թողնում ենք բաղադրիչները հիմնական անհայտ փոփոխականների հետ եւ տալիս են անվճար բաղադրիչները եւ տալիս են անվճար անհայտ փոփոխություններ կամայական արժեքներ: Գծային հավասարումների արդյունքում առաջացած համակարգից մենք գտնում ենք արտադրողի կողմից հիմնական անհայտ փոփոխությունները, մատրիցային մեթոդը կամ Gauss- ի մեթոդը:

Գաուսի մեթոդ `ընդհանուր ձեւի գծային հանրահաշվական հավասարությունների համակարգերի լուծման համար:

Gauss մեթոդը կարող է լուծել ցանկացած տեսակի գծային հանրահաշվական հավասարումների համակարգը `առանց դրանց միավորների ուսումնասիրության: Անհայտ փոփոխականների հետեւողական բացառման գործընթացը թույլ է տալիս եզրակացնել ինչպես սլավայի համատեղելիությունն ու թերիությունը, եւ լուծման գոյության դեպքում հնարավոր է գտնել այն:

Հաշվողական գործողության տեսանկյունից նախընտրելի է Գաուսի մեթոդը:

Տեսեք նրա մանրամասն նկարագրությունը եւ ապամոնտաժված օրինակները ընդհանուր ձեւի գծային հանրահաշվական հավասարությունների համակարգերի լուծման գաուս մեթոդով:

Գծային հանրահաշվայի համասեռ եւ անմարդկային համակարգերի ընդհանուր լուծում է, օգտագործելով հիմնարար լուծումների համակարգի վեկտորները:

Այս բաժնում մենք կքննարկենք Infinite Set Solutions ունենալով գծային հանրահաշիվ հավասարումների համատեղ համասեռ եւ անմարդկային համակարգերը:

Մենք նախ կհասկանանք համասեռ համակարգերով:

Հիմնարար համակարգի լուծումներ Հի գծային հանրահաշվոնական հավասարումներից համասեռ համակարգը անվանել է այս համակարգի գծային (N - R) գծային (N - R), որտեղ r համակարգի հիմնական մատրիցայի հիմնական բազայի կարգը:

Եթե \u200b\u200bդուք նշում եք համասեռ լանջի գծային անկախ լուծումներ, որքան X (1), X (2), ..., x (nr) (x (1), x (2), ..., x (nr) - սրանք Արդյոք N- ի չափման սյունակների մատրիցիաներն են, այս համասեռ համակարգի ընդհանուր լուծումը ներկայացվում է 1, գ 2, ..., ..., ..., «Կրկնառելիք» հիմնահարցի հիմնարար համակարգի վեկտորների տեսքով, ..., C (nr), այսինքն.

Ինչը նշանակում է գծային հանրահաշվական հավասարումների (OROSTAL) համասեռ համակարգի ընդհանուր լուծման տերմինը:

Իմաստը պարզ է. Բանաձեւը սահմանում է բոլոր հնարավոր լուծումները բնօրինակ սլավայի համար, այլ կերպ ասած, որեւէ բանաձեւի համաձայն, կամայական կայունության C (NR), Մենք ստանում ենք նախնական համասեռ լանջի լուծումներից մեկը:

Այսպիսով, եթե գտնենք լուծումների հիմնական համակարգ, մենք կկարողանանք բոլոր լուծումները տալ այս համասեռ լանջին:

Եկեք ցույց տանք հիմնական լուծման համակարգը համասեռ լանջով կառուցելու գործընթացը:

Մենք ընտրում ենք գծային հավասարումների բնօրինակ համակարգի հիմնական անչափահասը, մենք բացառում ենք բոլոր մյուս հավասարումները համակարգից եւ փոխանցվում ենք համակարգի ճիշտ մասերին հակառակ նշաններով, անվճար անհայտ փոփոխականներ պարունակող բոլոր պայմաններով: Եկեք տամ անվճար անհայտ փոփոխական արժեք 1.0.0, ..., 0 եւ հաշվարկենք հիմնական անհայտը, որը լուծում է գծային հավասարումների արդյունքում ստացված տարրական համակարգը ցանկացած ձեւով, օրինակ, սկավառակի մեթոդով: Այսպիսով, կստացվի X (1) - Հիմնարար համակարգի առաջին լուծումը: Եթե \u200b\u200bդուք տալիս եք անվճար անհայտ արժեք 0.1.0.0, ..., 0 եւ հաշվարկեք հիմնական անհայտը, ապա մենք ստանում ենք X (2): Եվ այլն Եթե \u200b\u200bանվճար անհայտ փոփոխականները տալիս են 0,0, ..., 0.1 արժեքը եւ հաշվարկենք հիմնական անհայտը, ապա մենք ստանում ենք X (N-R): Դա կկառուցվի լուծումների հիմնարար համակարգ, համասեռ լանջին եւ կարող է գրանցվել դրա ընդհանուր լուծումը:

Գծային հանրահաշվական հավասարումների անմարդկային համակարգերի համար ներկայացված է ընդհանուր լուծում, որտեղ կա համապատասխան համասեռ համակարգի ընդհանուր լուծումը եւ նախնական անոմոգենային լանջի մասնավոր լուծումը, որը մենք ստանում ենք անվճար անհայտ արժեք, տալով անվճար անհայտ արժեք 0.0-ի, ..., 0 եւ հաշվարկելով հիմնական անհայտների արժեքները:

Մենք վերլուծելու ենք օրինակների վերաբերյալ:

Օրինակ.

Գտեք հիմնարար լուծումների համակարգ եւ գծային հանրահաշվական հավասարումների համասեռ համակարգի ընդհանուր լուծում: .

Որոշում

Գծային հավասարումների համասեռ համակարգերի հիմնական մատրիցայի կոչումը միշտ հավասար է ընդլայնված մատրիցայի կոչմանը: Մենք գտնում ենք հիմնական մատրիցի կոչումը `անչափահասների բուռն եղանակով: Որպես առաջին կարգի Nonzero աննշան, վերցրեք համակարգի հիմնական մատրիցայի 1 1 \u003d 9 տարրը: Մենք կգտնենք երկրորդ կարգի Nonzero- ի սահմանը.

Երկրորդ կարգի աննշան, որը տարբերվում է զրոյից, հայտնաբերվել է: Մենք հաղթահարելու ենք երրորդ կարգի աննշան մթերքները ոչ զրոյի որոնման մեջ.

Բոլոր երրորդ կարգի կենտրոնացող անչափահասները զրոյական են, հետեւաբար, հիմնական եւ երկարաձգված մատրիցի կոչումը երկուսն են: Մենք վերցնում ենք հիմնական անչափահասը: Մենք նշում ենք պարզության համար այն ձեւ, որը ձեւավորում է այն.

Բնօրինակ լանջի երրորդ հավասարումը չի մասնակցում հիմնական անչափահասի ձեւավորմանը, հետեւաբար, այն կարող է բացառվել.

Մենք թողնում ենք հիմնական անհայտությունները հավասարումների ճիշտ մասերում պարունակող հավասարեցումները, եւ մենք տերմիններ ենք իրականացնում անվճար մասերի.

Մենք կառուցում ենք գծային հավասարումների նախնական համասեռ համակարգի լուծումների հիմնարար համակարգ: Այս լանջին լուծումների հիմնարար համակարգը բաղկացած է երկու լուծումներից, քանի որ նախնական լանջը պարունակում է չորս անհայտ փոփոխականներ, եւ դրա հիմնական աննշանության կարգը երկուսն են: Գտելու համար X (1), եկեք անվճար անհայտ փոփոխական արժեք տանք x 2 \u003d 1, x 4 \u003d 0, ապա հիմնական անհայտ է հավասարումների համակարգից գտնելու համար
.