Ինչպես գիտեք, աստիճաններով արտահայտությունները բազմապատկելով, նրանց ցուցանիշները միշտ ծալված են (A B * C \u003d A B + C): Այս մաթեմատիկական օրենքը բխում էր Արխիմեմայի կողմից, իսկ ավելի ուշ, VIII դարում, մաթեմատիկա Վիրասենը ստեղծեց ամբողջ թվերի ցուցանիշների սեղան: Նրանք ծառայեցին լոգարիթմների հետագա բացման համար: Այս հատկության օգտագործման օրինակները կարելի է գտնել գրեթե ամենուր, որտեղ անհրաժեշտ է պարզեցնել ծանրաբեռնվածության վրա ծանրաբեռնվածության վրա: Եթե \u200b\u200bայս հոդվածը կարդալու համար 10 րոպե եք ծախսում, մենք ձեզ կբացատրենք, թե որոնք են լոգարիթմերը եւ ինչպես աշխատել նրանց հետ: Պարզ եւ մատչելի լեզու:

Սահմանում մաթեմատիկայում

Լոգարիթմը հետեւյալ տիպի արտահայտությունն է. , որում անհրաժեշտ է «Ա» -ի հիմքը կառուցել «B» արժեքը: Օրինակ, վերլուծելու ենք լոգարիթմը, օրինակ, կա արտահայտություն: 2 8. Ինչպես գտնել պատասխան: Դա շատ պարզ է, դուք պետք է գտնեք նման աստիճան, որպեսզի ստանաք 8-ից 8-ը: Մտքումս որոշակի հաշվարկներ կատարեք, մենք ստանում ենք թիվ 3: Եւ ճիշտ, քանի որ 2-րդ աստիճանի 3-ը ի պատասխան 8-րդ համարին տալիս է:

Լոգարիթմի սորտեր

Շատ ուսանողների եւ ուսանողների համար այս թեման թվում է դժվար եւ անհասկանալի, բայց իրականում լոգարիթմը այնքան սարսափելի չէ, գլխավորը հասկանալ նրանց իմաստը եւ որոշ կանոններ: Լոգարիթմական արտահայտությունների երեք առանձին տեսակ կա.

1. Բնական լոգարիթմ LN A, որտեղ հիմքը Euler- ի քանակն է (E \u003d 2.7):
2. Տասնորդական ա, որտեղ հիմքը 10-րդ համարն է:
3. Log անկացած համարի L Logarithm- ը `A\u003e 1-ի հիման վրա:

Նրանցից յուրաքանչյուրը լուծվում է ստանդարտ եղանակով, որն իր մեջ ներառում է պարզեցում, նվազեցում եւ հետագա հավասարեցում մեկ լոգարիթմի `լոգարիթմական թեորեմների օգնությամբ: Լոգարիթմերի հավատարիմ արժեքներ ձեռք բերելու համար պետք է հիշել նրանց հատկությունները եւ դրանց լուծման ժամանակ գործողությունների կարգը:

Կանոններ եւ որոշ սահմանափակումներ

Մաթեմատիկայում կան մի քանի սահմանային կանոններ, որոնք ընդունվում են որպես աքսիոմներ, այսինքն, քննարկման ենթակա չեն եւ ճշմարտությունն են: Օրինակ, համարը հնարավոր չէ բաժանել զրոյի, եւ անհնար է նաեւ բացասական թվերից էլ քաղել նույնիսկ աստիճանի արմատ: Լոգարիթմներն ունեն նաեւ իրենց կանոնները, հետեւելով, որից հետո կարող եք հեշտությամբ սովորել, թե ինչպես աշխատել նույնիսկ երկար եւ թույլ լոգարիթմական արտահայտություններով.

• «Ա» հիմքը միշտ պետք է լինի ավելի զրո, եւ միեւնույն ժամանակ 1-ին հավասար չլինելը, հակառակ դեպքում արտահայտությունը կկորցնի իր իմաստը, քանի որ ցանկացած աստիճանի «1» -ը եւ «0-ը» միշտ հավասար են նրա արժեքներին.
• Եթե\u003e 0, ապա եւ B\u003e 0, ստացվում է, որ երկու «C» - ը պետք է ավելի զրոյական լինեն:

Ինչպես լուծել լոգարիթմները:

Օրինակ, խնդիրն է գտնել պատասխան 10 x \u003d 100: Դա շատ հեշտ է, դուք պետք է վերցնեք նման աստիճանի, տեղադրելով տասը: Դա, իհարկե, 10 2 \u003d 100 ,

Եվ հիմա եկեք պատկերացնենք այս արտահայտությունը լոգարիթմական տեսքով: Մենք ստանում ենք մատյան 10 100 \u003d 2. Լոգարիթմերը լուծելիս բոլոր գործողությունները գործնականում համընկնում են, գտնելու համար, թե որքանով պետք է մուտքագրվի լոգարիթմի հիմքը:

Անհայտ աստիճանի սխալների սահմանման համար անհրաժեշտ է սովորել, թե ինչպես աշխատել աստիճանի սեղանի հետ: Կարծես սա.

Ինչպես տեսնում եք, աստիճանի որոշ ցուցանիշներ կարող են ինտուիտիվ գուշակել, եթե կա մտքի եւ բազմապատկման աղյուսակի գիտելիքների տեխնիկական պահեստ: Այնուամենայնիվ, մեծ արժեքների համար կպահանջվի աստիճանի աղյուսակ: Նույնիսկ նրանք, ովքեր ամենեւին իմաստ չունեն բարդ մաթեմատիկական թեմաներում, կարող են օգտագործել այն: Ձախ սյունը ցույց է տալիս համարները (բազային ա), թվերի վերին քանակը աստիճանի արժեքն է, որի մեջ տեղադրվում է համարը: Խաչմերուկում խաչմերուկում սահմանվել են պատասխանների արժեքները, որոնք պատասխան են (A C \u003d B): Օրինակ վերցրեք, թե ինչպես է 10-րդ համարը 10-ը եւ այն տեղադրեք հրապարակ, մենք ստանում ենք 100 արժեք, որը նշված է մեր երկու բջիջների խաչմերուկում: Ամեն ինչ այնքան պարզ է եւ հեշտ է, որ նույնիսկ առավել իրական հումանիտար հասկանան:

Հավասարումներ եւ անհավասարություններ

Պարզվում է, որ որոշակի պայմաններում ցուցանիշը լոգարիթմ է: Հետեւաբար, ցանկացած մաթեմատիկական թվային արտահայտություններ կարելի է գրել լոգարիթմական հավասարության տեսքով: Օրինակ, 3 4 \u003d 81-ը կարելի է գրել 81 համարի լոգարիթմի տեսքով `3-ով, հավասար է չորսին (մատյան 3 81 \u003d 4): Բացասական աստիճանի համար կանոնը նույնն է. 2 -5 \u003d 1/32 Մենք գրում ենք լոգարիթմի տեսքով, ստանում ենք մատյան 2 (1/32) \u003d -5: Մաթեմատիկայի առավել հետաքրքրաշարժ հատվածներից մեկը «լոգարիթմ» թեման է: Հավասարումների օրինակներ եւ լուծումներ Մենք կանդրադառնանք մի փոքր ավելի ցածր, իրենց հատկությունները ուսումնասիրելուց անմիջապես հետո: Եվ հիմա հետաքրքրվենք, թե որքան անհավասարությունն է թվում եւ ինչպես տարբերակել դրանք հավասարումներից:

Տրված է հետեւյալ տեսակը. Մուտք 2 (X - 1)\u003e 3 - Դա լոգարիթմական անհավասարություն է, քանի որ «X» - ի անհայտ արժեքը լոգարիթմի նշանի տակ է: Եվ նաեւ արտահայտության մեջ համեմատում է երկու արժեքը. Հիմքի ցանկալի համարի լոգարիթմը երկուն է, քան երեքը:

Լոգարիթմական հավասարումների եւ անհավասարությունների միջեւ ամենակարեւոր տարբերությունն այն է, որ լոգարիթմի հավասարումները (օրինակ - Logarithm 2 X \u003d √9) ենթադրում են ի պատասխան մեկ կամ մի քանի հատուկ թվային արժեքներ, մինչդեռ անհավասարության լուծումը սահմանվում է ինչպես թույլատրելի արժեքների տարածքը Եւ միավոր: Այս գործառույթը խախտելը: Արդյունքում, պատասխանը չի ստանում անհատական \u200b\u200bհամարների պարզ քանակ, ինչպես եւ հավասարման ի պատասխան, բայց շարունակական շարքի կամ թվերի շարք:

Հիմնական տեսանյութերը լոգարիթմի վրա

Լոգարիթմի արժեքները գտնելու պարզունակ առաջադրանքներ լուծելիս դրա հատկությունները չեն կարող հայտնի լինել: Այնուամենայնիվ, երբ խոսքը վերաբերում է լոգարիթմական հավասարումներին կամ անհավասարություններին, առաջին հերթին անհրաժեշտ է հստակ հասկանալ եւ կիրառել լոգարիթմների բոլոր հիմնական հատկությունները գործնականում: Հավասարումների օրինակներով մենք ավելի ուշ կիմանանք, եկեք առաջին հերթին նայենք յուրաքանչյուր գույք:

1. Հիմնական ինքնությունը այսպիսին է. Եւ Logab \u003d բ. Այն տարածվում է միայն այն պայմանի համաձայն, երբ 0-ից ավելի մեծը հավասար չէ մեկ, իսկ B- ն ավելի մեծ է, քան զրոյից:
2. Աշխատանքների լոգարիթմը կարող է ներկայացված լինել հետեւյալ բանաձեւով. Log D (S 1 * S 2) \u003d log d s 1 + log d s 2. Այս դեպքում, նախադրյալը, D, S 1 եւ S 2\u003e 0; Ա ≠ 1: Հնարավոր է ապացույցներ բերել լոգարիթմների այս բանաձեւի համար, օրինակներով եւ լուծումներով: Թող մուտք գործեք որպես 1 \u003d F 1 եւ մուտքագրեք որպես 2 \u003d F 2, ապա F1 \u003d S 1, F2 \u003d S 2. Մենք ստանում ենք այդ S 1 * S 2 \u003d A F2 \u003d A F1 + F2 (հատկությունները Դեպի աստիճաններ), իսկ հետո `ըստ սահմանման. Մուտք գործեք (S 1 * S 2) \u003d F 1 + F 2 \u003d Մուտք S1 + Log- ը որպես 2, որը պահանջվում էր ապացուցել:
3. Մասնավոր լոգարիթմը այսպիսին է. Log A (S 1 / S 2) \u003d Մուտք S 1 - Մուտքագրեք S 2:
4. Բանաձեւի ձեւով տեսարանը դառնում է հետեւյալ ձեւը. Մուտք գործեք Q B N \u003d N / Q LOG A B.

Այս բանաձեւը կոչվում է «Լոգարիթմ» գույք: Այն նման է սովորական աստիճանի հատկություններին, եւ զարմանալի չէ, քանի որ բոլոր մաթեմատիկան շարունակում է բնական պաստառները: Եկեք նայենք ապացույցին:

Թող նշեք B \u003d t- ը ստացվում է T \u003d B- ով: Եթե \u200b\u200bմենք երկու մասերը կառուցենք մագիստրոսի մեջ. A tn \u003d b n;

Բայց քանի որ tn \u003d (a q) nt / q \u003d b n, հետեւաբար, մուտք գործեք Q B N \u003d (n * t) / t, ապա մուտքագրեք Q B N \u003d N / Q LOG A B. Թեորեմը ապացուցված է:

Առաջադրանքների եւ անհավասարությունների օրինակներ

Լոգարիթմների թեմայի ամենատարածված առաջադրանքների ամենատարածված տեսակներն են հավասարումների եւ անհավասարությունների օրինակներ: Դրանք հայտնաբերվում են գրեթե բոլոր առաջադրանքներում, ինչպես նաեւ ընդգրկված են մաթեմատիկայի քննությունների պարտադիր մասում: Համալսարան ընդունելու կամ մաթեմատիկայում մուտքի թեստերը դնելու համար հարկավոր է իմանալ, թե ինչպես ճիշտ լուծել նման առաջադրանքները:

Դժբախտաբար, լոգարիթմի անհայտ արժեքը լուծելու եւ որոշելու համար մեկ պլան կամ պլան գոյություն չունի, բայց յուրաքանչյուր մաթեմատիկական անհավասարության կամ լոգարիթմական հավասարման համար կարող են կիրառվել որոշակի կանոններ: Նախեւառաջ պետք է պարզել, արդյոք հնարավոր է պարզեցնել արտահայտությունը կամ հանգեցնել ընդհանուր մտքի: Պարզեցրեք երկար լոգարիթմական արտահայտությունները կարող են ճիշտ օգտագործվել `դրանց հատկությունները օգտագործելու համար: Եկեք ծանոթանանք նրանց հետ:

Նույն լոգարիթմական հավասարումները լուծելիս պետք է որոշվի, թե որն է լոգարիթմի տեսակետը. Արտահայտության օրինակ կարող է պարունակել բնական լոգարիթմ կամ տասնորդական:

Ահա LN100, LN1026 օրինակներ: Նրանց որոշումը կրճատվում է այն փաստի համար, որ անհրաժեշտ է որոշել այն աստիճանը, որով 10-ը կլինի համապատասխանաբար 10-ը եւ 1026-ը: Լուծումների համար բնական լոգարիթմերը պետք է կիրառվեն լոգարիթմական ինքնություններ կամ դրանց հատկություններ: Եկեք քննարկենք տարբեր տեսակի լոգարիթմական խնդիրների լուծումը:

Ինչպես օգտագործել լոգարիթմի բանաձեւերը. Օրինակներով եւ լուծումներով

Այսպիսով, հաշվի առեք հիմնական լոգարիթմի թեորեմների օգտագործման օրինակները:

1. Աշխատանքի լոգարիթմի ունեցվածքը կարող է կիրառվել այնպիսի առաջադրանքներում, որտեղ անհրաժեշտ է տարրալուծել B համարի մեծ արժեքը ավելի պարզ գործոնների համար: Օրինակ, մատյան 2 4 + մատյան 2 128 \u003d մատյան 2 (4 * 128) \u003d մատյան 2 512. Պատասխանը `9:
2. Մուտք 4 8 \u003d Մուտք 2 2 2 \u003d 3/2 մատյան 2 2 \u003d 1.5 - Ինչպես տեսնում եք, կիրառելով լոգարիթմի չորրորդ գույքի աստիճանը, առաջին հայացքից հնարավոր եղավ լուծել բարդ եւ անսահմանափակ արտահայտություն: Անհրաժեշտ է միայն քայքայվել բազմապատկիչների հիմքը, այնուհետեւ դարձնել աստիճանի արժեքը լոգարիթմի նշանից:

Առաջադրանքներ EGE- ից

Լոգարիթմերը հաճախ հայտնաբերվում են ընդունելության քննություններում, հատկապես EEG- ում շատ լոգարիթմական առաջադրանքներ (պետական \u200b\u200bքննություն բոլոր դպրոցների շրջանավարտների համար): Սովորաբար, այս խնդիրները ներկա են ոչ միայն մասում (քննության ամենահեշտ փորձարկման մի մասը), այլեւ առիթ (առավել բարդ եւ ծավալուն առաջադրանքների): Քննությունը ենթադրում է «Բնական լոգարիթմներ» թեմայի ճշգրիտ եւ կատարյալ իմացությունը:

Առաջադրանքների օրինակներն ու լուծումները վերցվում են պաշտոնական EGE ընտրանքներից: Տեսնենք, թե ինչպես են լուծվում նման առաջադրանքները:

Հաշվի առնելով Log 2 (2x-1) \u003d 4. Լուծում.
Ես վերաշարադրում եմ արտահայտությունը, իր պարզեցման մի քանի տեղեկամատյան 2 (2x-1) \u003d 2 2, Logalithm- ի սահմանման միջոցով մենք ստանում ենք այն 2x-1 \u003d 2 4, հետեւաբար 2x \u003d 17; x \u003d 8.5.

• Բոլոր լոգարիթմերը լավագույնս հանգեցնում են մեկ բազայի, որպեսզի լուծումը ծանր եւ խառնաշփոթ չէ:
• Լոգարիթմի նշանի տակ գտնվող բոլոր արտահայտությունը նշվում է որպես դրական, հետեւաբար, երբ ես ներկայացնում եմ բազմապատկիչ այն արտահայտման ցուցիչի, որը կանգնած է լոգարիթմի նշանի տակ եւ որպես իր հիմք, պետք է լինի դրական:

Լոգարիթմի համարը Ն. Հիմնված բայց կոչվում է աստիճանի ցուցանիշ Հ. որում դուք պետք է կառուցեք բայց Մի շարք ստանալու համար Ն.

Պայմանով, որ
,
,

Լոգարիթմի սահմանումից դրան հետեւում է
,
- Այս հավասարությունը հիմնական լոգարիթմական ինքնությունն է:

10-ի հիման վրա լոգարիթմերը կոչվում են տասնորդական լոգարիթմներ: Փոխարեն
գրել
.

Լոգարիթմիա, որի հիման վրա Ե. կոչվում է բնական եւ նշանակված
.

Լոգարիթմների հիմնական հատկությունները:

Log արտարապետի ստորաբաժանումները ցանկացած հիմքի համար զրոյական են

Աշխատանքի լոգարիթմը հավասար է գործոնների լոգարիթմների գումարին:

3) Մասնավոր լոգարիթմը հավասար է լոգարիթմների տարբերությանը

Գործոն
կոչվում է անցումային մոդուլ `բազայի լոգարիթմներից Ա բազայի լոգարիթմներին Բ .

2-5 հատկություններ օգտագործելով, հաճախ հնարավոր է նվազեցնել բարդ արտահայտման լոգարիթմը `լոգարիթմների նկատմամբ պարզ թվաբանական գործողությունների արդյունքում:

Օրինակ,

Լոգարիթմի նման վերափոխումները կոչվում են լոգարիթմինգ: Փոխադրումներ փոխադարձ լոգարիթմինգը կոչվում է ուժեղացում:

Գլուխ 2. Բարձրագույն մաթեմատիկայի տարրեր:

1. Սահմանափակումներ

Սահմանափակ գործառույթ
վերջավոր համարն է ա, եթե ցանկությամբ xx 0 Յուրաքանչյուրի սահմանված համար
Նման մի շարք կա
որ հենց որ շուտ
Շոշափել
.

Սահմանը ունենալու գործառույթը դրանից տարբերվում է անսահման ցածր արժեքից.
Որտեղ --- b.m.v., I.E.
.

Օրինակ. Դիտարկենք գործառույթ
.

Ցանկությամբ
գործառույթ յ. Նա ձգտում է զրոյի:

1.1. Հիմնական տեսանյութերը սահմանների մասին են:

Մշտական \u200b\u200bարժեքի սահմանը հավասար է այս մշտական \u200b\u200bարժեքին:

.

Գործառույթների վերջնական քանակի գումարի (տարբերության) սահմանը հավասար է այս գործառույթների սահմանների գումարին:

Վերջավոր թվով գործառույթների սահմանը հավասար է այս գործառույթների արտադրանքին:

Մասնավոր երկու գործառույթների սահմանը հավասար է այս գործառույթների մասնավոր սահմաններին, եթե դավանանքի սահմանը զրո չէ:

Հրաշալի սահմաններ

,
որտեղ

1.2. Հաշվարկման սահմանների օրինակներ

Այնուամենայնիվ, ոչ բոլոր սահմանները հաշվարկվում են այնքան պարզ: Ավելի հաճախ սահմանի հաշվարկը կրճատվում է տիպի անորոշության բացահայտման համար. կամ .

.

2. ածանցյալ գործառույթ

Թող գործառույթ ունենանք
Շարունակվում է հատվածի վրա
.

Փաստարկ Ստացավ որոշակի աճ
, Այնուհետեւ գործառույթը կստանա աճ
.

Փաստարկի իմաստը համապատասխանում է գործառույթի արժեքին
.

Փաստարկի իմաստը
Համապատասխանում է գործառույթի արժեքին:

Հետեւաբար,.

Մենք կգտնենք այս հարաբերությունների սահմանը, երբ
, Եթե \u200b\u200bայս սահմանը գոյություն ունի, այն կոչվում է այս գործառույթի ածանցյալ:

Այս հատկության 3-արտադրության սահմանումը
Ըստ փաստարկների Այն կոչվում է գործառույթի գործառույթի գործառույթի փոխհարաբերությունների սահմանը `փաստարկի ավելացմանը, երբ փաստարկի աճը կամայականորեն ձգտում է զրոյի:

Ստացված գործառույթ
Այն կարելի է նշել հետեւյալ կերպ.

; ; ; .

Որոշում 4 կոչվող գործառույթի ածանցյալներ գտնելու գործողություն Տարբերակում:

2.1. Մեխանիկական իմաստով ածանցյալ:

Դիտարկենք որոշ պինդ կամ նյութական կետի պարզ շարժումը:

Թող որոշ պահի ժամանակ շարժվող կետ
հեռավորության վրա էր Նախնական դիրքից
.

Որոշ ժամանակ անց
Նա տեղափոխվեց հեռավորության վրա
, Վերաբերմունք =- նյութական կետի միջին նյութ
, Մենք գտնում ենք այս հարաբերությունների սահմանը, հաշվի առնելով դա
.

Հետեւաբար, նյութական կետի ակնթարթային արագության սահմանումը կրճատվում է ժամանակից ածանցյալ գտնելու համար:

2.2. Ածանցյալների երկրաչափական արժեքը

Եկեք գրաֆիկականորեն տրվի որոշակի գործառույթ
.

ՆկՂ 1. Երկրաչափական նշանակություն ածանցյալ

Եթե
, ապա կետ
կտեղափոխվի կորի շուրջը, մոտենալով կետին
.

Ուստի
, Փաստարկի այս արժեքով ածանցյալների արժեքը Դա թվայինորեն հավասար է այս պահին կրթված շոշափելի անկյան շոշափումին, դրական առանցքի ուղղությամբ:
.

2.3. Հիմնական տարբերակման բանաձեւերի աղյուսակ:

Էլեկտրաէներգիայի գործառույթ

Էքսպոնենտալ գործառույթ

Լոգարիթմական գործառույթ

Եռանկյունաչափական գործառույթ

Հակադարձ տրիգոնոմետրիկ գործառույթ

2.4. Տարբերակման կանոններ:

Բխում է

Ստացված գումարի (տարբերություն) գործառույթների

Երկու գործառույթների ածանցյալ աշխատանք

Մասնավոր երկու գործառույթների ածանցյալ

2.5. Բխում է բարդ գործառույթից:

Թող գործառույթը տրվի
Այնպիսին, որ այն կարող է ներկայացվել որպես

մի քանազոր
որտեղ փոփոխականը հետո միջանկյալ փաստարկ է

Համալիր գործառույթի ածանցյալը հավասար է այս գործառույթի ածանցյալների արտադրանքին `միջանկյալ փաստարկի ածանցյալների միջոցով միջանկյալ փաստարկով:

Օրինակ 1

Օրինակ 2.

3. Դիֆերենցիալ գործառույթ:

Թող այդպես լինի; թող դա լինի
ՆՇԱՆԱԿՎԱԾ ՆԱԽԱԳԱՀԻ ՀԱՄԱՐ
թող գնա Կ. Այս գործառույթը ստացվում է

,

Հետո կարող եք գրառում

(1),

Որտեղ - Անսահման փոքր արժեք,

երբվանից սկսած

Բազմապատկելով հավասարության բոլոր անդամներին (1)
Մենք ունենք:

Որտեղ
- B.M.V. Լավագույն կարգը:

Արժեք
կոչվում է դիֆերենցիալ գործառույթ
Եւ նշանակում է

.

3.1. Դիֆերենցիալ երկրաչափական արժեքը:

Թող գործառույթը տրվի
.

Նկար .2. Դիֆերենցիալ երկրաչափական իմաստը:

.

Ակնհայտ է, որ դիֆերենցիալ գործառույթ
Այս պահին այն հավասար է կարգավորված շոշափելիության աճին:

3.2. Տարբեր պատվերների ածանցյալներ եւ դիֆերենցիալներ:

Եթե \u200b\u200bայնտեղ
, ապա
կոչվում է առաջին ածանցյալ:

Առաջին ածանցյալի ածանցյալը կոչվում է երկրորդ կարգի ածանցյալ եւ ձայնագրված
.

N-th կարգի ածանցյալ գործառույթից
Ածանցյալը (N-1) կոչվում է կարգադրություն եւ գրառումներ.

.

Դիֆերենցիալ ֆունկցիաներից տարբերվում է երկրորդ դիֆերենցիալ կամ երկրորդ կարգի դիֆերենցիալ:

.

.

3.3 կենսաբանական խնդիրների լուծում տարբերակման օգտագործման հետ:

Առաջադրանք 1. Ուսումնասիրությունները ցույց են տվել, որ միկրոօրգանիզմների գաղութի աճը ենթակա է օրենքին
որտեղ Ն. - միկրոօրգանիզմների քանակը (հազարավոր), Շոշափել - մեծ (օր):

բ) Արդյոք այս ժամանակահատվածում կլինի աճ կամ նվազում:

Պատասխան Գաղութի քանակը կավելանա:

Առաջադրանք 2. Լճի ջուրը պարբերաբար փորձարկվում է պաթոգեն մանրէների բովանդակությունը վերահսկելու համար: Միջով Շոշափել Բակտերիաների կոնցենտրացիան փորձարկելուց օրերը որոշվում են հարաբերակցության միջոցով

.

Երբ է լիճը կմտնի լճի նվազագույն բակտերիաների կոնցենտրացիան եւ կարող եմ լողալ դրա մեջ:

Definctation- ը հասնում է առավելագույնը կամ րոպեին, երբ դրա ածանցյալը զրոյական է:

,

Մենք սահմանում ենք առավելագույնը կամ րոպեը 6 օր հետո կլինենք: Դա անելու համար վերցրեք երկրորդ ածանցյալը:

Պատասխան. 6 օր հետո կլինի մանրէների նվազագույն կոնցենտրացիա:

Այս հոդվածի ուշադրության կենտրոնում - լոգարիթմ, Այստեղ մենք կտանք լոգարիթմի բնորոշումը, ցույց տալ ընդունված նշանակումը, մենք տալիս ենք լոգարիթմների օրինակներ, եւ ասենք բնական եւ տասնորդական լոգարիթմների մասին: Դրանից հետո հաշվի առեք հիմնական լոգարիթմական ինքնությունը:

Նավիգացիոն էջ:

Լոգարիթմի սահմանում

Լոգարիթմի հայեցակարգը տեղի է ունենում հակադարձի որոշակի իմաստով լուծելիս, երբ անհրաժեշտ է գտնել աստիճանի ցուցանիշ `ըստ աստիճանի արժեքի եւ հայտնի հիմքի:

Բայց բավականաչափ նախապատվություններ, ժամանակն է պատասխանել «Ինչ է լոգարիթմը: Եկեք տանք համապատասխան սահմանում:

Սահմանում:

Logarithm Number B հիմնված, Որտեղ է\u003e 0, A ≠ 1 եւ B\u003e 0-ը այն աստիճանի ցուցիչ, որում պետք է տեղադրվի A թիվը, որպեսզի ստանա բ.

Այս փուլում մենք նշում ենք, որ «Logarithm» բառը պետք է անհապաղ զանգի արդյունքում ստացված հարցը. «Որն է թիվը» եւ «Ինչ հիմքի վրա»: Այլ կերպ ասած, պարզապես լոգարիթմ, ինչպես եղել է, եւ ինչ-ինչ պատճառներով կա միայն թվերի լոգարիթմ:

Անմիջապես ներկայացնել Լոգարիթմի նշանակումը. B համարի լոգարիթմը, որը հիմնված է A- ի վրա, նշվելու համար, որպես B: 10-րդ մասի հիման վրա B- ի եւ լոգարիթմի վրա նշված համարի լոգարիթմն ունի համապատասխանաբար LNB- ի եւ LGB- ի իր հատուկ նշանակումը, այսինքն, այլ ոչ թե տեղեկամատյանները, այլ LNB, եւ ոչ թե 10 B եւ LGB:

Այժմ կարող եք տալ.
Եւ գրառումներ Իմաստ չէ, քանի որ դրանցից առաջինում, լոգարիթմի նշանի տակ կա բացասական թիվ, երկրորդում `բազայում բացասական թիվ, իսկ երրորդում` լոգարիթմի նշանի ներքո բացասական թիվ եւ մեկը հիմքում:

Հիմա եկեք ասենք Օ. logarovmov Ընթերցանության կանոններ, Մուտք B Գրանցումը կարդացվում է որպես «Logarithm B հիման վրա»: Օրինակ, Log 2 3-ը երեք հիմքի վրա երեք լոգարիթիթ է, եւ հանդիսանում է երկու ամբողջ թվով երկու երրորդի լոգարիթմը `բազայի քառակուսի արմատից հինգից: Logarithm- ը, որը հիմնված է E- ի վրա Բնական լոգարիթմԵւ LNB ձայնագրումը կարդացվում է որպես «բնական լոգարիթմ B»: Օրինակ, LN7- ը յոթ բնական լոգարիթմ է, եւ մենք կարդում ենք որպես բնական լոգարիթմի PI: 10-րդ բազայի վրա լոգարիթմը ունի նաեւ հատուկ անուն - Տասնորդական լոգարիթմԵվ LGB գրառումը կարդացվում է որպես «տասնորդական լոգարիթմ B»: Օրինակ, LG1- ը տասնորդական լոգարիթմի միավոր է, իսկ LG2,75-ը `երկու տասնյակի տասնհինգերորդ հարյուրերորդ տասնորդական լոգարիթմ:

Այն արժե այն առանձին `տերմինների վրա\u003e 0, a ≠ 1 եւ B\u003e 0, որի տակ տրվում է լոգարիթմի սահմանում: Եկեք բացատրենք, թե որտեղից են բխում այդ սահմանափակումները: Դարձրեք այն կօգնի մեզ զանգահարված տեսակների հավասարությունը, որն ուղղակիորեն հետեւում է լոգարիթմի վերը նշված սահմանումից:

Սկսենք 1-ից: Քանի որ միավորը ցանկացած աստիճանի հավասար է մեկին, հավասարությունը կարող է վավեր լինել միայն B \u003d 1-ում, բայց մատյան 1 1-ը կարող է լինել ցանկացած վավեր համարը: Այս բազմամրցակից խուսափելու համար եւ ընդունվում է ≠ 1:

Եկեք արդարացնենք A\u003e 0 վիճակի նպատակահարմարությունը: A \u003d 0- ում, լոգարիթմի սահմանման միջոցով մենք կունենային հավասարություն, որը հնարավոր է միայն B \u003d 0-ում: Բայց հետո մուտք 0 0-ը կարող է լինել ցանկացած տարբերակ, որը տարբերվում է զրոյից, քանի որ ցանկացած ոչ զրոյական աստիճանի զրոյական է: Խուսափեք այս բազմադիմալից թույլ տալը `0-ը: Եւ Ա.<0 нам бы пришлось отказаться от рассмотрения рациональных и иррациональных значений логарифма, так как степень с рациональным и иррациональным показателем определена лишь для неотрицательных оснований. Поэтому и принимается условие a>0 .

Վերջապես, B\u003e 0 վիճակը հետեւում է IN\u003e 0-ից, քանի որ եւ դրական բազայի աստիճանի արժեքը միշտ դրական է:

Եզրափակելով այս նյութը, ասենք, որ լոգարիթմի ձայնը թույլ է տալիս անմիջապես նշել լոգարիթմի արժեքը, երբ լոգարիթմի նշանի տակ գտնվող համարը հիմնադրամի որոշ աստիճան է: Իրոք, լոգարիթմի սահմանումը թույլ է տալիս պնդել, որ եթե B \u003d A P- ն, ապա BASE- ի համար B համարի Logarithm- ը հավասար է p. Այսինքն, հավասարության մատյան A P \u003d p- ն ուժի մեջ է: Օրինակ, մենք գիտենք, որ 2 3 \u003d 8, ապա մուտքագրեք 2 8 \u003d 3: Այս մասին մենք կխոսենք հոդվածում ավելի մանրամասն:

Ասել դրա սահմանումից: Եվ այսպես լոգարիթմի համարները Բ Հիմնված բայցՈրոշվում է որպես աստիճանի ցուցիչ, որում պետք է տրվի համարը ԱՄի շարք ստանալու համար Բ (Լոգարիթմը գոյություն ունի միայն դրական թվերով):

Այս ձեւակերպումից հետեւում է այդ հաշվարկը x \u003d Մուտք բհավասարումը լուծելու համարժեք a x \u003d բ. Օրինակ, Մուտք 2 8 \u003d 3որովհետեւ 8 = 2 3 , Լոգարիթմի ձեւակերպումը թույլ է տալիս արդարացնել, եթե Բ \u003d ա հետԱյնուհետեւ լոգարիթմի համարները Բ Հիմնված Ա Ագռավ դեպի, Հասկանալի է նաեւ, որ լոգարիթմինգի թեման սերտորեն փոխկապակցված է համարի թեմայով:

Լոգարիթմներով, ինչպես ցանկացած համարի, կարող է իրականացվել Լրացուցիչ գործառնություններ, հանում եւ վերափոխվում ամեն կերպ: Բայց այն պատճառով, որ լոգարիթմները լիովին սովորական թվեր չեն, ահա նրանց հատուկ կանոնները, որոնք կոչվում են Հիմնական հատկություններ.

Լոգարիթմների ավելացում եւ հանում:

Վերցրեք երկու լոգարիթմ նույն հիմքերով. Մուտքագրեք X. մի քանազոր Մուտք գործեք Y., Այնուհետեւ հնարավոր է հնարավոր դարձնել լրացումներ եւ հանման գործողություններ.

Մուտքագրեք X + Log A Y \u003d Log A (X · Y);

Մուտքագրեք X - Մուտքագրեք Y \u003d Log A (x: Y):

log A.(x. 1 . x. 2 . x. 3 ... x Կ.) = Մուտքագրեք X. 1 + Մուտքագրեք X. 2 + Մուտքագրեք X. 3 + ... + Մուտք գործեք x k.

Հյուրատետր Լոգարիթմի թեորեմները մասնավոր ենԴուք կարող եք ստանալ լոգարիթմի մեկ այլ սեփականություն: Հայտնի է այդ մատյան Ա1 \u003d 0, հետեւաբար,

Մուտք Ա 1 / Բ\u003d Տեղեկամատյան: Ա1 - մատյան: Բ.\u003d - մատյան: Բ..

Եվ, հետեւաբար, հավասարությունը տեղի է ունենում.

Մուտք գործեք 1 / B \u003d - Մուտք բ.

Երկու փոխադարձ հակադարձ համարների լոգարիթմներԳրեթե բազան տարբերվում է միմյանցից բացառապես ծանոթ: Այսպիսով.

Մուտք 3 9 \u003d - Մուտք 3 1/9; Մուտք 5 1/125 \u003d -LOG 5 125:

Սկսենք Ս. Հատկություններ Լոգարիթմի միավորներ, Դրա ձեւակերպումը հետեւյալն է. Լոգարիթմի միավորը զրո է, այսինքն, Մուտքագրեք 1 \u003d 0 Ցանկացած A\u003e 0, A ≠ 1-ի համար: Ապացույցը դժվարություններ չի առաջացնում. Քանի որ 0 \u003d 1-ը ցանկացած A\u003e 0 եւ 1-ից վերեւ նշված պայմանները բավարարելով, ապա ապացուցված հավասարության մատյանում 1 \u003d 0-ն անմիջապես հետեւում է լոգարիթմի սահմանումից:

Մենք տալիս ենք դիտարկվող հատկությունները կիրառելու օրինակներ. Մուտք 3 1 \u003d 0, LG1 \u003d 0 եւ.

Գնալ հետեւյալ գույքին. Բազային հավասար համարի լոգարիթմը հավասար է մեկին, Ես, Մուտք A \u003d 1 A\u003e 0, A ≠ 1: Իրոք, 1 \u003d A \u003d A- ի համար `ցանկացած A- ի համար, ապա Logarithm Log A \u003d 1 սահմանման միջոցով:

Լոգարիթմերի այս գույքի օգտագործման օրինակները հավասարաչափ տեղեկամատյան են 5 5 \u003d 1, մատյան 5.6 5.6 եւ Lne \u003d 1:

Օրինակ, մատյան 2 2 7 \u003d 7, LG10 -4 \u003d -4 եւ .

Երկու դրական թվերի լոգարիթմի աշխատանքներ X եւ Y- ը հավասար է այս համարների լոգարիթմների արտադրանքին. Մուտք գործեք (x · y) \u003d Մուտք X + Log A Y, A\u003e 0, A ≠ 1: Մենք ապացուցում ենք աշխատանքի լոգարիթմի ունեցվածքը: Աստիճանի առաքինությամբ a Log A x + Log A \u003d a Log A x · a log a yեւ քանի որ հիմնական լոգարիթմական ինքնությունը, որը մուտք է գործում x \u003d x եւ log a y \u003d y, ապա մատյան x · log a y \u003d x · y: Այսպիսով, մուտքագրեք X + Log A \u003d x · y, որտեղից է ենթադրում լոգարիթմի սահմանումը ապացուցված հավասարություն:

Եկեք ցույց տանք լոգարիթմի հատկությունները օգտագործելու օրինակներ. Գրանցամ 5 (2 · 3) \u003d մատյան 5 2 + մատյան 5 3 եւ .

Աշխատանքի լոգարիթմի ունեցվածքը կարող է ընդհանրացված լինել N դրական թվերի x 1, x 2, ..., x n- ի համար Մուտք գործեք (x 1 · x 2 · ... · x) \u003d Մուտքագրեք X 1 + Մուտք A X 2 + ... + Մուտք X N , Այս հավասարությունն ապացուցվում է առանց խնդիրների:

Օրինակ, բնական լոգարիթմի աշխատանքները կարող են փոխարինվել 4-րդ համարների երեք բնական լոգարիթմների գումարով եւ:

Մասնավոր երկու դրական թվերի լոգարիթմ X- ը եւ Y- ը հավասար է այս թվերի լոգարիթմների տարբերությանը: Մասնավոր լոգարիթմի հատկությունները համապատասխանում են ձեւի բանաձեւին, որտեղ\u003e 0, A ≠ 1, X եւ Y- ը որոշ դրական թվեր են: Այս բանաձեւի վավերականությունը ապացուցվում է որպես լոգարիթմի բանաձեւ , Լոգարիթմի սահմանմամբ:

Եկեք օրինակ բերենք այս լոգարիթմի գույքը օգտագործելու համար. .

Գնացեք Կ. Լոգարիթմի աստիճանի ունեցվածքը, Լոգարիթմի աստիճանը հավասար է այս աստիճանի հիմնական մոդուլի լոգարիթմում աստիճանի արտադրանքին: Մենք գրում ենք լոգարիթմի այս գույքը բանաձեւում. Մուտքագրեք B P \u003d P · POM A | B |որտեղ\u003e 0, A ≠ 1, B եւ P Նման թվեր, որոնք B աստիճանը իմաստացնում է եւ b p\u003e 0:

Նախ, մենք ապացուցում ենք այս գույքը դրական բ. Հիմնական լոգարիթմական ինքնությունը թույլ է տալիս մեզ ներկայացնել B համարը որպես B, ապա B P \u003d (a log a b) p, իսկ ստացված արտահայտությունը `աստիճանի գույքի շնորհիվ, P · Log A B. Այսպիսով, մենք գալիս ենք հավասարության B \u003d A P · Log A B, որից, լոգարիթմի սահմանումից, մենք եզրակացնում ենք, որ Log A B p \u003d P · Log A B.

Մնում է ապացուցել այս գույքը բացասական բ. Այստեղ մենք նկատում ենք, որ Log ABP- ի արտահայտությունը բացասական B- ով իմաստ ունի միայն նույնիսկ աստիճանի p (քանի որ B- ի արժեքը պետք է լինի զրոյական), եւ այս դեպքում լոգարիթմը իմաստ չունի | B | փ. Ապա Բ \u003d | բ | P \u003d (a log a | B |) p \u003d a p · log a | բ |Որտեղ log a b p \u003d p · pog a | բ | ,

Օրինակ, եւ ln (-3) 4 \u003d 4 · ln | -3 | \u003d 4 · LN3:

Նախորդ գույքի հոսքից Արմատային լոգարիթմի գույքN- աստիճանի արմատի լոգարիթմը հավասար է 1 / n Frection 1 / n արտադրանքը կերակրման արտահայտության լոգարիթմի վրա, այսինքն , որտեղ\u003e 0, A ≠ 1, N- ը բնական թիվ է, ավելի շատ միավորներ, B\u003e 0:

Ապացույցը հիմնված է հավասարության (տես), որը վավեր է ցանկացած դրական B- ի եւ լոգարիթմի գույքի համար. .

Ահա այս գույքի օգտագործման օրինակ. .

Հիմա ապացուցել Լոգարիթմի նոր հիմքի անցման բանաձեւը Տեղավորել , Դա անելու համար բավական է ապացուցել հավասարության գրանցման վավերականությունը C B \u003d Մուտք B · Log C A- ն: Հիմնական լոգարիթմական ինքնությունը թույլ է տալիս մեզ B համարը ներկայացնել որպես Log \u200b\u200bA B, ապա մուտքագրեք C B \u003d LOG C A բ. Մնում է օգտվել լոգարիթմի գույքից. log C Log A B \u003d Մուտք B · Log C A, Այսպիսով, ապացուցեց տեղեկամատյանների հավասարությունը, եւ նշեք B · Log C A- ն, եւ, հետեւաբար, ապացուցված է նաեւ լոգարիթմի նոր հիմքի անցման բանաձեւը:

Եկեք ցույց տանք մի քանի օրինակ `լոգարիթմների այս գույքը կիրառելու համար. Եւ .

Նոր բազայի անցումային բանաձեւը թույլ է տալիս տեղափոխվել աշխատանքի «հարմարավետ» բազա ունեցող լոգարիթմների հետ: Օրինակ, օգտագործելով այն, կարող եք գնալ բնական կամ տասնորդական լոգարիթմներ, որպեսզի կարողանաք հաշվարկել լոգարիթմի արժեքը լոգարիթմի սեղանի երկայնքով: Լոգարիթմի նոր բազայի անցումային բանաձեւը որոշ դեպքերում թույլ է տալիս գտնել այս լոգարիթմի արժեքը, երբ հայտնի են այլ հիմքերով որոշ լոգարիթմերի արժեքներ:

Այն հաճախ օգտագործվում է տեսակի C \u003d B- ում լոգարիթմի նոր հիմքի նոր հիմքի հետ մեկնելու բանաձեւի հատուկ դեպք , Կարելի է տեսնել, որ B- ն է B եւ Log B A. Օրինակ, .

Նաեւ հաճախ օգտագործվում է բանաձեւ որը հարմար է լոգարիթմներ գտնելիս: Ձեր խոսքերը հաստատելու համար մենք ցույց ենք տալիս, թե ինչպես է այն հաշվարկվում տեսադաշտի լոգարիթմի արժեքով: Ունենալ , Բանաձեւը ապացուցելու համար Բավական է օգտվել լոգարիթմի նոր հիմքի անցումից. .

Մնում է ապացուցել լոգարիթմների համեմատության հատկությունները:

Մենք դա ապացուցում ենք, որ ցանկացած դրական թվերի համար B 1 եւ B 2, B 1 log A B 2, իսկ A\u003e 1-ում `անհավասարության մատյան B 1

Վերջապես, մնում է ապացուցել լոգարիթմների թվարկված հատկությունների վերջին: Մենք սահմանափակում ենք դրա առաջին մասի ապացույցը, այսինքն, մենք դա ապացուցում ենք, եթե 1\u003e 1, a 2\u003e 1 եւ 1 1 Fair Log A 1 B\u003e Մուտք 2 բ. Լոգարիթմերի այս գույքի մնացած հայտարարությունները ապացուցվում են նման սկզբունքով:

Մենք օգտագործում ենք մեթոդը հակառակը: Ենթադրենք, որ 1\u003e 1-ում, A 2\u003e 1 եւ 1-ում 1 Fair Log A 1 B≤log A 2 B. Լոգարիթմերի հատկությունների համաձայն, այս անհավասարությունները կարող են վերաշարադրել որպես մի քանազոր Ըստ այդմ, հետեւում է, որ համապատասխանաբար Log B A 1 ≤log B A 2-ը եւ Log B A 1 Log B A 2- ը: Այնուհետեւ, ըստ նույն հիմունքներով աստիճանի, հավասարության B տեղեկամատյան B A 1 ≥b Log B A 1 ≥b Log B A 2, այսինքն, 1 ≥a 2: Այսպիսով, մենք հասանք հակասության պայմանը 1

Մատենագիտություն:

• Կոլմոգորով Ա.Ն., Աբրամով Ա .., Դուդնիցին Յու.Պ. et al. Հանրահաշիվ եւ մեկնարկի վերլուծություն. Ընդհանուր ուսումնական հաստատությունների 10 - 11 դասերի դասագիրք:
• Գուսեւ Վ.Ա., Մորդկովիչ Ա. Գ. Մաթեմատիկա (դիմորդների թույլտվություն տեխնիկական դպրոցներին):