Pažvelkime į šį algoritmą naudodami pavyzdį. Mes rasime

1 žingsnis. Padalijame skaičių po šaknimi į dviženklius veidus (iš dešinės į kairę):

2 žingsnis. Paimame pirmojo veido kvadratinę šaknį, t.y. iš skaičiaus 65, gauname skaičių 8. Po pirmuoju veidu rašome skaičiaus 8 kvadratą ir atimame. Antrąjį veidą (59) priskiriame likusiai daliai:

(skaičius 159 yra pirmoji liekana).

3 žingsnis. Padvigubiname rastą šaknį ir rašome rezultatą kairėje:

4-as žingsnis. Dešinėje išskiriame vieną skaitmenį likusioje dalyje (159), o kairėje gauname dešimčių skaičių (jis lygus 15). Tada 15 padalijame iš dvigubo pirmojo šaknies skaitmens, t.y. iš 16, nes 15 nesidalija iš 16, tada koeficientas gaunasi nulis, kurį įrašome kaip antrą šaknies skaitmenį. Taigi, koeficiente gavome skaičių 80, kurį vėl padvigubiname ir pašaliname kitą briauną

(skaičius 15 901 yra antrasis likutis).

5 žingsnis. Antroje liekanoje atskiriame vieną skaitmenį iš dešinės ir gautą skaičių 1590 padaliname iš 160. Rezultatą (skaičius 9) įrašome trečiuoju šaknies skaitmeniu ir pridedame prie skaičiaus 160. Gautą skaičių 1609 padauginame iš 9 ir raskite kitą likutį (1420):

Vėliau veiksmai atliekami algoritme nurodyta seka (šaknį galima išgauti reikiamu tikslumu).

komentuoti. Jei radikalioji išraiška yra dešimtainė trupmena, tai visa jos dalis padalijama į dviejų skaitmenų briaunas iš dešinės į kairę, trupmeninė dalis - dviem skaitmenimis iš kairės į dešinę, o šaknis išgaunama pagal nurodytą algoritmą.

DIDAKTINĖ MEDŽIAGA

1. Paimkite kvadratinę šaknį iš skaičiaus: a) 32; b) 32,45; c) 249,5; d) 0,9511.

Pirmas skyrius.

Didžiausio sveikojo skaičiaus kvadratinės šaknies radimas iš nurodyto sveikojo skaičiaus.

170. Pirminės pastabos.

A) Kadangi kalbėsime tik apie kvadratinės šaknies ištraukimą, tai norėdami sutrumpinti kalbą šiame skyriuje, vietoj „kvadratinės šaknies“ sakysime tiesiog „šaknis“.

b) Jei natūralių eilučių skaičius kvadratu išlyginsime: 1,2,3,4,5. . . , tada gauname tokią kvadratų lentelę: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100,121,144. .,

Akivaizdu, kad šioje lentelėje yra daug sveikųjų skaičių; Žinoma, iš tokių skaičių neįmanoma ištraukti visos šaknies. Todėl, jei reikia, pavyzdžiui, išgauti bet kurio sveikojo skaičiaus šaknį. reikia rasti √4082, tada sutinkame šį reikalavimą suprasti taip: jei įmanoma, ištraukite visą 4082 šaknį; jei tai neįmanoma, turime rasti didžiausią sveikąjį skaičių, kurio kvadratas yra 4082 (toks skaičius yra 63, nes 63 2 = 3969, o 64 2 = 4090).

V) Jei šis skaičius yra mažesnis nei 100, tada jo šaknis randama naudojant daugybos lentelę; Taigi √60 būtų 7, nes septyni 7 yra lygūs 49, o tai yra mažiau nei 60, o aštuoni 8 yra lygūs 64, o tai yra daugiau nei 60.

171. Skaičiaus, mažesnio nei 10 000, bet didesnio nei 100, šaknies ištraukimas. Tarkime, kad turime rasti √4082. Kadangi šis skaičius yra mažesnis nei 10 000, jo šaknis yra mažesnė nei √l0 000 = 100. Kita vertus, šis skaičius yra didesnis nei 100; tai reiškia, kad jo šaknis yra didesnė nei (arba lygi 10). (Jei, pavyzdžiui, reikėjo rasti √ 120 , tada nors skaičius 120 > 100, tačiau √ 120 yra lygus 10, nes 11 2 = 121.) Bet kiekvienas skaičius, didesnis nei 10, bet mažesnis už 100, turi 2 skaitmenis; Tai reiškia, kad reikalinga šaknis yra suma:

dešimtys + vieni,

ir todėl jo kvadratas turi būti lygus sumai:

Ši suma turi būti didžiausia 4082 kvadratas.

Paimkime didžiausią iš jų – 36 – ir manykime, kad dešimčių šaknies kvadratas bus lygus būtent šiam didžiausiam kvadratui. Tada dešimčių skaičius šaknyje turi būti 6. Dabar patikrinkime, ar taip turi būti visada, t. y. dešimčių skaičius šaknyje visada yra lygus radikalo šimtų skaičiaus didžiausiai sveikajai šaknei.

Iš tiesų, mūsų pavyzdyje šaknies dešimčių skaičius negali būti didesnis nei 6, nes (7 dec.) 2 = 49 šimtai, o tai viršija 4082. Bet jis negali būti mažesnis nei 6, nes 5 gr. (su vienetais) yra mažesnis nei 6 des., o tuo tarpu (6 des.) 2 = 36 šimtai, tai yra mažiau nei 4082. O kadangi mes ieškome didžiausios visos šaknies, neturėtume imti šaknies 5 des, kai net 6 dešimtukai nėra daug.

Taigi, mes radome šaknies dešimčių skaičių, ty 6. Rašome šį skaičių į dešinę nuo = ženklo, prisimindami, kad jis reiškia šaknies dešimtis. Pakėlus jį prie aikštės, gauname 36 šimtukus. Šiuos 36 šimtus atimame iš 40 radikalaus skaičiaus šimtų ir atimame likusius du šio skaičiaus skaitmenis. Likusioje 482 dalyje turi būti 2 (6 gr.) (vnt.) + (vnt.)2. Produktas (6 gr.) (vnt.) turi būti dešimtys; todėl dvigubos dešimčių sandaugos vienetais reikia ieškoti liekanos dešimtukuose, t.y., 48 (jų skaičių gauname atskyrę vieną skaitmenį dešinėje iš likusios 48 "2). Šaknies padvigubintos dešimtys Sudarome 12. Tai reiškia, kad jei 12 padauginsime iš šaknies vienetų (kurie dar nežinomi), gautume skaičių, esantį 48. Todėl 48 padalijame iš 12.

Norėdami tai padaryti, nubrėžkite vertikalią liniją į kairę nuo likusios dalies, o už jos (atsitraukdami nuo linijos viena vieta į kairę tuo tikslu, kuris dabar pasirodys) parašykite dvigubą pirmąjį šaknies skaitmenį, ty 12, ir Padalinkite iš jo 48. Dalinyje gauname 4.

Tačiau negalime iš anksto garantuoti, kad skaičius 4 gali būti paimtas kaip šaknies vienetas, nes dabar iš 12 padalijome visą likusios dešimčių skaičių, o kai kurie iš jų gali nepriklausyti dvigubai dešimties sandaugai. vienetų, bet yra vienetų kvadrato dalis. Todėl skaičius 4 gali būti didelis. Turime tai išbandyti. Akivaizdu, kad tinka, jei suma 2 (6 gr.) 4 + 4 2 yra ne didesnė už likusią 482.

Dėl to iš karto gauname abiejų sumą. Gautas produktas buvo 496, kuris yra didesnis nei likęs 482; Tai reiškia, kad skaičius 4 yra didelis. Tada tokiu pat būdu išbandykime kitą mažesnį skaičių 3.

Pavyzdžiai.

4 pavyzdyje dalijant 47 likusios dešimtis iš 4, kaip koeficientą gauname 11. Tačiau kadangi šaknies vienetų skaičius negali būti dviženklis skaičius 11 arba 10, turime tiesiogiai patikrinti skaičių 9.

5 pavyzdyje iš pirmojo kvadrato paviršiaus atėmus 8, likusioji dalis yra 0, o kitas paviršius taip pat susideda iš nulių. Tai rodo, kad norima šaknis susideda tik iš 8 dešimčių, todėl vietoj vienetų reikia dėti nulį.

172. Didesnio nei 10000 skaičiaus šaknies ištraukimas. Tarkime, reikia rasti √35782. Kadangi radikalus skaičius viršija 10 000, jo šaknis yra didesnė nei √10000 = 100, todėl jį sudaro 3 ar daugiau skaitmenų. Nesvarbu, kiek skaitmenų jį sudaro, visada galime laikyti jį tik dešimčių ir vienetų suma. Pavyzdžiui, jei pasirodo, kad šaknis yra 482, tai galime skaičiuoti kaip 48 des. + 2 vnt Tada šaknies kvadratą sudarys 3 terminai:

(dec.) 2 + 2 (dec.) (vienetas) + (vienetas) 2 .

Dabar galime samprotauti lygiai taip pat, kaip ir radę √4082 (ankstesnėje pastraipoje). Vienintelis skirtumas bus tas, kad norėdami rasti 4082 šaknies dešimtis, turėjome išgauti šaknį iš 40, ir tai galima padaryti naudojant daugybos lentelę; dabar, norėdami gauti dešimtis√35782, turėsime paimti 357 šaknį, o to negalima padaryti naudojant daugybos lentelę. Bet mes galime rasti √357 naudodami techniką, aprašytą ankstesnėje pastraipoje, nes skaičius 357< 10 000. Наибольший целый корень из 357 оказывается 18. Значит, в √3"57"82 должно быть 18 десятков. Чтобы найти единицы, надо из 3"57"82 вычесть квадрат 18 десятков, для чего достаточно вычесть квадрат 18 из 357 сотен и к остатку снести 2 последние цифры подкоренного числа. Остаток от вычитания квадpaта 18 из 357 у нас уже есть: это 33. Значит, для получения остатка от вычитания квадрата 18 дес. из 3"57"82, достаточно к 33 приписать справа цифры 82.

Toliau elgiamės taip, kaip darėme radę √4082, būtent: į kairę nuo likusio 3382 nubrėžiame vertikalią liniją ir už jos įrašome (atsitraukdami vieną tarpą nuo linijos) dvigubą dešimties rastos šaknies skaičių, y., 36 (du kartus 18). Likusioje dalyje atskiriame vieną skaitmenį dešinėje ir dešimčių skaičių iš liekanos, t.y 338, padalijame iš 36. Dalinyje gauname 9. Išbandome šį skaičių, kuriam priskiriame 36 dešinėje ir padauginti iš jo. Paaiškėjo, kad produktas yra 3321, tai yra mažiau nei likusi dalis. Tai reiškia, kad tinka skaičius 9, mes jį rašome šaknyje.

Apskritai, norėdami išgauti bet kurio sveikojo skaičiaus kvadratinę šaknį, pirmiausia turite ištraukti jo šimtų šaknį; jei šis skaičius yra didesnis nei 100, tuomet turėsite ieškoti šimtų iš šių šimtų, tai yra, tam tikro skaičiaus dešimčių tūkstančių, šaknies; jei šis skaičius yra didesnis nei 100, šaknį turėsite paimti iš šimtų dešimčių tūkstančių, tai yra, iš tam tikro skaičiaus milijonų ir pan.

Pavyzdžiai.

Paskutiniame pavyzdyje suradę pirmąjį skaitmenį ir atėmę jo kvadratą, gauname likutį 0. Kitus 2 skaitmenis atimame 51. Atskirdami dešimtis gauname 5 des, o šaknies dvigubas rastas skaitmuo yra 6. Tai reiškia, kad padalijus 5 iš 6 gauname 0 į antrą vietą šaknyje ir prie likusios pridedame kitus 2 skaitmenis. gauname 5110. Tada tęsiame kaip įprasta.

Šiame pavyzdyje reikiamą šaknį sudaro tik 9 šimtai, todėl dešimtukų ir vienetų vietose turi būti dedami nuliai.

Taisyklė. Norėdami išgauti duoto sveikojo skaičiaus kvadratinę šaknį, jie padalija jį iš dešinės į kairę, kraštinėje, po 2 skaitmenis kiekviename, išskyrus paskutinį, kuris gali turėti vieną skaitmenį.
Norėdami rasti pirmąjį šaknies skaitmenį, paimkite kvadratinę šaknį iš pirmojo veido.
Norint rasti antrąjį skaitmenį, šaknies pirmojo skaitmens kvadratas atimamas iš pirmojo veido, antrasis paimamas į likutį, o gauto skaičiaus dešimčių skaičius dalijamas iš dvigubo pirmojo šaknies skaitmens. ; gautas sveikasis skaičius tikrinamas.
Šis testas atliekamas taip: už vertikalios linijos (į kairę nuo likusios dalies) parašykite du kartus anksčiau rastą šaknies skaičių ir dešinėje pusėje po šio papildymo pridėkite bandomąjį skaitmenį, gautą skaičių. , padauginamas iš bandomojo skaitmens. Jei padauginus gaunamas skaičius, didesnis už likutį, tai patikrintas skaitmuo netinka ir reikia patikrinti kitą mažesnį skaitmenį.
Kiti šaknies skaitmenys randami ta pačia technika.
Jei, pašalinus veidą, gauto skaičiaus dešimčių skaičius yra mažesnis už daliklį, tai yra mažiau nei du kartus už rastą šaknies dalį, tada jie įdeda 0 prie šaknies, pašalina kitą veidą ir tęsti veiksmą toliau.

173. Šaknies skaitmenų skaičius. Atsižvelgiant į šaknies radimo procesą, darytina išvada, kad šaknis turi tiek skaitmenų, kiek radikaliame skaičiuje yra 2 skaitmenų veidai (kairėje pusėje gali būti vienas skaitmuo).

Antras skyrius.

Apytikslių sveikųjų skaičių ir trupmenų kvadratinių šaknų ištraukimas .

Norėdami išgauti daugianario kvadratinę šaknį, žr. § 399 ir paskesnių 2-osios dalies papildymus.

174. Tikslios kvadratinės šaknies ženklai. Tiksli nurodyto skaičiaus kvadratinė šaknis yra skaičius, kurio kvadratas yra tiksliai lygus nurodytam skaičiui. Nurodykime keletą ženklų, pagal kuriuos galima nuspręsti, ar iš nurodyto skaičiaus galima išgauti tikslią šaknį, ar ne:

A) Jei tiksli visa šaknis nėra išskirta iš duoto sveikojo skaičiaus (likutis gaunamas išimant), tai trupmeninės tikslios šaknies negalima rasti iš tokio skaičiaus, nes bet kuri trupmena, kuri nėra lygi sveikam skaičiui, padauginta iš taip pat gaminyje sukuria trupmeną, o ne sveikąjį skaičių.

b) Kadangi trupmenos šaknis yra lygi skaitiklio šaknims, padalytai iš vardiklio šaknies, tikslios neredukuojamos trupmenos šaknies negalima rasti, jei jos negalima išskirti iš skaitiklio arba vardiklio. Pavyzdžiui, neįmanoma išgauti tikslios šaknies iš trupmenų 4/5, 8/9 ir 11/15, nes pirmoje trupmenoje ji negali būti išskirta iš vardiklio, antroje - iš skaitiklio, o trečia – nei iš skaitiklio, nei iš vardiklio.

Iš skaičių, iš kurių negalima išgauti tikslios šaknies, galima išgauti tik apytiksles šaknis.

175. Apytikslė šaknis, kurios tikslumas yra 1. Apytikslė kvadratinė šaknis, kurios tikslumas yra 1, nuo nurodyto skaičiaus (sveikasis skaičius ar trupmena, nesvarbu), yra sveikasis skaičius, atitinkantis šiuos du reikalavimus:

1) šio skaičiaus kvadratas nėra didesnis už nurodytą skaičių; 2) bet šio skaičiaus kvadratas, padidintas 1, yra didesnis už šį skaičių. Kitaip tariant, apytikslė kvadratinė šaknis, kurios tikslumas yra 1, yra didžiausia tam tikro skaičiaus sveikoji kvadratinė šaknis, ty šaknis, kurią išmokome rasti ankstesniame skyriuje. Ši šaknis vadinama apytiksliu 1 tikslumu, nes norėdami gauti tikslią šaknį, prie šios apytikslės šaknies turėtume pridėti trupmeną, mažesnę nei 1, todėl jei vietoj nežinomos tikslios šaknies imsime šią apytikslę, padarysime klaidą mažiau nei 1.

Taisyklė. Norėdami išgauti apytikslę kvadratinę šaknį, kurios tikslumas yra 1, turite išgauti didžiausią sveikojo skaičiaus šaknį iš nurodyto skaičiaus sveikosios dalies.

Pagal šią taisyklę rastas skaičius yra apytikslė šaknis su trūkumu , nes jam trūksta tikslios tam tikros trupmenos šaknies (mažiau nei 1). Jei padidinsime šią šaknį 1, gausime kitą skaičių, kuriame yra šiek tiek pertekliaus už tikslią šaknį, o šis perteklius yra mažesnis už 1. Šią šaknį, padidintą 1, taip pat galima vadinti apytiksle šaknimi, kurios tikslumas yra 1, tačiau su pertekliumi. (Pavadinimai: „su trūkumu“ arba „su pertekliumi“ kai kuriose matematinėse knygose pakeičiami kitais lygiaverčiais: „pagal trūkumą“ arba „pertekliu“.)

176. Apytikslė šaknis 1/10 tikslumu. Tarkime, kad reikia rasti √2.35104 1/10 tikslumu. Tai reiškia, kad reikia rasti dešimtainę trupmeną, kurią sudarytų sveikieji vienetai ir dešimtosios ir kuri atitiktų šiuos du reikalavimus:

1) šios trupmenos kvadratas neviršija 2,35104, bet 2) padidinus ją 1/10, tai šios padidintos trupmenos kvadratas viršija 2,35104.

Norėdami rasti tokią trupmeną, pirmiausia randame apytikslę šaknį, kurios tikslumas yra 1, tai yra, šaknį ištraukiame tik iš sveikojo skaičiaus 2. Gauname 1 (o likusioji dalis yra 1). Šaknyje rašome skaičių 1, o po jo dedame kablelį. Dabar ieškosime dešimtųjų skaičiaus. Norėdami tai padaryti, iki liekanos 1 pašaliname skaitmenis 35, esančius kablelio dešinėje, ir tęsiame išskyrimą taip, lyg ištrauktume sveikojo skaičiaus 235 šaknį. Gautą skaičių 5 įrašome šaknyje vietoje dešimtųjų. Mums nereikia likusių radikalaus skaičiaus (104) skaitmenų. Kad gautas skaičius 1,5 iš tikrųjų bus apytikslis šaknis, kurio tikslumas yra 1/10, galima matyti iš toliau pateiktų dalykų. Jei rastume didžiausią sveikąjį skaičių 235 šaknį 1 tikslumu, gautume 15. Taigi:

15 2 < 235, bet 16 2 >235.

Padalinę visus šiuos skaičius iš 100, gauname:

Tai reiškia, kad skaičius 1,5 yra dešimtainė trupmena, kurią pavadinome apytiksle šaknimi 1/10 tikslumu.

Naudodami šią techniką taip pat galime rasti šias apytiksles šaknis 0,1 tikslumu:

177. Apytikslė kvadratinė šaknis nuo 1/100 iki 1/1000 ir kt.

Tarkime, kad reikia rasti apytikslį √248, kurio tikslumas yra 1/100. Tai reiškia: suraskite dešimtainę trupmeną, kurią sudarytų sveikos, dešimtosios ir šimtinės dalys ir kuri atitiktų du reikalavimus:

1) jos kvadratas neviršija 248, bet 2) jei šią trupmeną padidiname 1/100, tai šios padidintos trupmenos kvadratas viršija 248.

Tokią trupmeną rasime tokia seka: iš pradžių rasime sveikąjį skaičių, tada dešimtųjų skaičių, tada šimtąją. Sveikojo skaičiaus šaknis yra 15 sveikųjų skaičių. Norėdami gauti dešimtųjų skaičių, kaip matėme, prie likusios dalies turite pridėti dar 2 skaitmenis dešimtainio kablelio dešinėje. Mūsų pavyzdyje šių skaičių visai nėra; Pridėję juos prie liekanos ir tęsdami taip, lyg rastume sveikojo skaičiaus 24 800 šaknį, rasime dešimtųjų skaičių 7. Belieka rasti šimtųjų skaičių. Norėdami tai padaryti, prie likusio 151 pridedame dar 2 nulius ir tęsiame ištraukimą, tarsi rastume sveikojo skaičiaus 2 480 000 šaknį. Gauname 15,74. Kad šis skaičius iš tikrųjų yra apytikslis 248 šaknis, kurio tikslumas yra 1/100, matyti iš toliau pateiktų dalykų. Jei rastume didžiausią sveikojo skaičiaus kvadratinę šaknį iš sveikojo skaičiaus 2 480 000, gautume 1574; Priemonės:

1574 2 < 2 480 000, bet 1575 2 > 2 480 000.

Padalinę visus skaičius iš 10 000 (= 100 2), gauname:

Tai reiškia, kad 15,74 yra ta dešimtainė trupmena, kurią pavadinome apytiksle šaknimi, kurios tikslumas yra 1/100 iš 248.

Taikydami šią techniką apytiksliai šaknims rasti, kurių tikslumas yra nuo 1/1000 iki 1/10000 ir t. t., gauname taip.

Taisyklė. Norėdami išgauti apytikslę šaknį iš duoto sveikojo skaičiaus arba tam tikros dešimtainės trupmenos tikslumu nuo 1/10 iki 1/100 iki 1/100 ir tt, pirmiausia suraskite apytikslę šaknį, kurios tikslumas yra 1, ištraukdami sveikasis skaičius (jei ne, jie rašo apie 0 sveikųjų skaičių šaknį).

Tada jie suranda dešimtųjų skaičių. Norėdami tai padaryti, prie likusios dalies pridėkite 2 radikalinio skaičiaus skaitmenis, esančius dešinėje nuo kablelio (jei jų nėra, prie likusios dalies pridėkite du nulius) ir tęskite ekstrahavimą, kaip daroma išimant sveikojo skaičiaus šaknį. . Gautas skaičius rašomas šaknyje dešimtųjų vietoje.

Tada suraskite šimtąją skaičių. Norėdami tai padaryti, du skaičiai, esantys dešinėje nuo ką tik pašalintų, pridedami prie likusios dalies ir kt.

Taigi, išimant sveikojo skaičiaus šaknį su dešimtaine trupmena, reikia padalyti į veidus po 2 skaitmenis, pradedant nuo kablelio, tiek į kairę (sveikojoje skaičiaus dalyje), tiek į dešinę (į trupmeninė dalis).

Pavyzdžiai.

1) Raskite iki 1/100 šaknų: a) √2; b) √0,3;

Paskutiniame pavyzdyje trupmeną 3/7 konvertavome į dešimtainį skaičių, apskaičiuodami 8 skaitmenis po kablelio, kad sudarytume 4 veidus, kurių reikia norint rasti 4 šaknies skaitmenis po kablelio.

178. Kvadratinių šaknų lentelės aprašymas.Šios knygos pabaigoje yra kvadratinių šaknų lentelė, apskaičiuota keturiais skaitmenimis. Naudodami šią lentelę galite greitai rasti sveikojo skaičiaus (arba dešimtainės trupmenos) kvadratinę šaknį, išreikštą ne daugiau kaip keturiais skaitmenimis. Prieš paaiškindami šios lentelės struktūrą, pažymime, kad pirmą reikšmingą norimos šaknies skaitmenį visada galime rasti be lentelių pagalbos, tiesiog pažvelgę ​​į radikalųjį skaičių; Taip pat galime nesunkiai nustatyti, kurią dešimtainę vietą reiškia pirmasis šaknies skaitmuo, todėl kur šaknyje, radę jos skaitmenis, turime dėti kablelį. Štai keletas pavyzdžių:

1) √5"27,3 . Pirmasis skaitmuo bus 2, nes radikalaus skaičiaus kairėje pusėje yra 5; o 5 šaknis lygi 2. Be to, kadangi radikalo sveikojoje dalyje yra tik 2 veidai, tai sveikojoje norimos šaknies dalyje turi būti 2 skaitmenys, todėl pirmasis jos skaitmuo 2 turi būti reiškia dešimtukus.

2) √9,041. Akivaizdu, kad šioje šaknyje pirmasis skaitmuo bus 3 pirminiai vienetai.

3) √0,00"83"4. Pirmasis reikšmingas skaitmuo yra 9, nes veidas, iš kurio reikėtų paimti šaknį, norint gauti pirmąjį reikšminį skaitmenį, yra 83, o 83 šaknis yra 9. Kadangi norimame skaičiuje nebus nei sveikųjų, nei dešimtųjų, pirmasis skaitmuo 9 turi reikšti šimtąsias dalis.

4) √0,73"85. Pirmas reikšmingas skaičius – 8 dešimtosios.

5) √0.00"00"35"7. Pirmas reikšmingas skaičius bus 5 tūkstantosios dalys.

Padarykime dar vieną pastabą. Tarkime, kad reikia išgauti šaknį iš skaičiaus, kuris, atmetus jame užimtą žodį, yra pavaizduotas tokia skaičių seka: 5681. Ši šaknis gali būti viena iš šių:

Jei paimsime šaknis, kurias pabraukėme viena eilute, tada jos visos bus išreikštos ta pačia skaičių seka, būtent tais skaičiais, kurie gaunami ištraukus šaknį iš 5681 (tai bus skaičiai 7, 5, 3, 7 ). Taip yra todėl, kad veidai, į kuriuos reikia padalyti radikalųjį skaičių ieškant šaknies skaitmenų, visuose šiuose pavyzdžiuose bus vienodi, todėl kiekvienos šaknies skaitmenys bus vienodi (tik dešimtainio skaičiaus vieta taškas, žinoma, bus kitoks). Lygiai taip pat visose šaknyse, kurias pabraukėme dviem eilutėmis, turėtų būti gauti tie patys skaičiai, būtent tie, kurie naudojami išreikšti √568.1 (šie skaičiai bus 2, 3, 8, 3) ir tuo pačiu. priežastis. Taigi skaičių šaknų skaitmenys, pavaizduoti (atmetus kablelį) ta pačia skaičių eilute 5681, bus dviejų (ir tik dviejų) rūšių: arba tai yra 7, 5, 3, 7 eilutė arba 2, 3, 8, 3 eilutė. Tą patį, be abejo, galima pasakyti ir apie bet kurią kitą skaičių seką. Todėl, kaip dabar matysime, lentelėje kiekviena radikalinio skaičiaus skaitmenų eilutė atitinka 2 šaknų skaitmenų eilutes.

Dabar galime paaiškinti lentelės struktūrą ir kaip ją naudoti. Siekiant aiškumo, čia parodėme pirmojo lentelės puslapio pradžią.

Ši lentelė yra keliuose puslapiuose. Ant kiekvieno iš jų pirmame stulpelyje kairėje dedami skaičiai 10, 11, 12... (iki 99). Šie skaičiai išreiškia pirmuosius 2 skaičiaus, iš kurio ieškoma kvadratinės šaknies, skaitmenis. Viršutinėje horizontalioje eilutėje (taip pat ir apačioje) yra skaičiai: 0, 1, 2, 3... 9, reiškiantys 3 šio skaičiaus skaitmenį, o toliau į dešinę yra skaičiai 1, 2, 3. . . 9, reiškiantis 4 šio skaičiaus skaitmenį. Visose kitose horizontaliose eilutėse yra 2 keturženkliai skaičiai, išreiškiantys atitinkamų skaičių kvadratines šaknis.

Tarkime, kad reikia rasti kokio nors skaičiaus kvadratinę šaknį – sveikąjį skaičių arba išreikštą dešimtaine trupmena. Visų pirma, be lentelių pagalbos randame pirmąjį šaknies skaitmenį ir jo skaitmenį. Tada atmesime kablelį šiame skaičiuje, jei toks yra. Pirmiausia darykime prielaidą, kad, pavyzdžiui, atmetus kablelį, liks tik 3 skaitmenys. 114. Lentelėse kairiausiame stulpelyje randame pirmuosius 2 skaitmenis, t.y 11, ir judame iš jų į dešinę horizontalia linija, kol pasiekiame vertikalią stulpelį, kurio viršuje (ir apačioje) yra 3 skaitmuo. skaičiaus , t.y 4. Šioje vietoje randame du keturženklius skaičius: 1068 ir 3376. Kurį iš šių dviejų skaičių reikia paimti ir kur jame dėti kablelį, tai lemia pirmasis šaknies skaitmuo ir jo skaitmuo, kurį radome anksčiau. Taigi, jei reikia rasti √0,11"4, tada pirmasis šaknies skaitmuo yra 3 dešimtosios, todėl šaknies skaitmuo turi būti 0,3376. Jei reikia rasti √1,14, tada pirmasis šaknies skaitmuo būtų 1, o mes Tada imtume 1,068.

Tokiu būdu galime lengvai rasti:

√5,30 = 2,302; √7"18 = 26,80; √0,91"6 = 0,9571 ir kt.

Tarkime, kad reikia rasti 4 skaitmenimis išreikšto skaičiaus (atmetant dešimtainį tašką) šaknį, pavyzdžiui, √7"45.6. Atsižvelgdami į tai, kad pirmasis šaknies skaitmuo yra 2 dešimtys, randame skaičius 745, kaip jau buvo paaiškinta, skaitmenys 2729 (pastebime šį skaičių tik pirštu, bet neužsirašykite, tada judame toliau į dešinę nuo šio skaičiaus iki dešinės lentelės pusės (už.). paskutinę paryškintą eilutę) sutinkame vertikalią stulpelį, pažymėtą viršuje (ir apačioje) 4. šio skaičiaus skaitmenį, t (galvoje) prie anksčiau rasto skaičiaus 2729. Užrašome šį skaičių ir dedame kablelį į reikiamą vietą: 27.30.

Tokiu būdu randame, pavyzdžiui:

√44,37 = 6,661; √4,437 = 2,107; √0,04"437 =0,2107 ir kt.

Jei radikalus skaičius išreiškiamas tik vienu ar dviem skaitmenimis, galime daryti prielaidą, kad po šių skaitmenų yra vienas arba du nuliai, ir tada elgtis taip, kaip paaiškinta trijų skaitmenų skaičiui. Pavyzdžiui, √2,7 =√2,70 =1,643; √0,13 = √0,13"0 = 0,3606 ir kt.

Galiausiai, jei radikalus skaičius išreikštas daugiau nei 4 skaitmenimis, paimsime tik pirmuosius 4 iš jų, o likusius išmesime, o klaidos sumažinimui, jei pirmasis iš atmestų skaitmenų yra 5 arba daugiau nei 5, tada padidinsime l ketvirtąjį iš išsaugotų skaitmenų . Taigi:

√357,8| 3 | = 18,91; √0,49"35|7 | = 0,7025; ir taip toliau.

komentuoti.

Lentelėse nurodoma apytikslė kvadratinė šaknis, kartais su trūkumu, kartais su pertekliumi, būtent ta iš šių apytikslių šaknų, kuri yra arčiau tikslios šaknies. 179. Kvadratinių šaknų išskyrimas iš paprastųjų trupmenų.

Tikslią neredukuojamos trupmenos kvadratinę šaknį galima išgauti tik tada, kai abu trupmenos nariai yra tikslūs kvadratai. Tokiu atveju pakanka atskirai išgauti skaitiklio ir vardiklio šaknį, pavyzdžiui:

Lengviausias būdas rasti apytikslę paprastosios trupmenos kvadratinę šaknį su tam tikru tikslumu po kablelio – pirmiausia paprastąją trupmeną konvertuoti į dešimtainę trupmeną, šioje trupmenoje apskaičiuojant po kablelio skaičių po kablelio, kuris būtų dvigubai didesnis už kablelio skaičių. norimoje šaknyje.

Tačiau galite tai padaryti kitaip. Paaiškinkime tai tokiu pavyzdžiu:

Raskite apytikslę √ 5 / 24

Padarykime vardiklį tiksliu kvadratu. Tam pakaktų abu trupmenos narius padauginti iš vardiklio 24; bet šiame pavyzdyje galite tai padaryti kitaip. Išskaidykime 24 į pirminius veiksnius: 24 = 2 2 2 3. Iš šio skilimo aišku, kad jei 24 padauginsime iš 2 ir dar iš 3, tai sandaugoje kiekvienas paprastas veiksnys kartosis lyginį skaičių kartų, todėl , vardiklis taps kvadratu:

Belieka tam tikru tikslumu paskaičiuoti √30 ir padalyti rezultatą iš 12. Reikia turėti omenyje, kad padalijus iš 12 sumažės ir trupmena, rodanti tikslumo laipsnį. Taigi, jei rasime √30 1/10 tikslumu ir rezultatą padalinsime iš 12, gausime apytikslę trupmenos 5/24 šaknį 1/120 tikslumu (būtent 54/120 ir 55/120)

Trečias skyrius.Funkcijos grafikas .

x = √y 180. Atvirkštinė funkcija. Leiskite pateikti tam tikrą lygtį, kuri nustato adresu kaip funkcija X , pavyzdžiui, taip: 2 y = x Leiskite pateikti tam tikrą lygtį, kuri nustato adresu kaip funkcija . Galima sakyti, kad tai lemia ne tik , bet ir atvirkščiai, lemia adresu Leiskite pateikti tam tikrą lygtį, kuri nustato X kaip funkcija , nors ir numanomai. Kad ši funkcija būtų aiški, turime išspręsti šią lygtį Leiskite pateikti tam tikrą lygtį, kuri nustato , paėmus , pavyzdžiui, taip: 2 .

už žinomą numerį; Taigi, iš lygties, kurią paėmėme, randame:

Algebrinė išraiška, gauta x, išsprendus lygtį, apibrėžiančią y kaip x funkciją, vadinama atvirkštine tos apibrėžiančios y funkcija. Funkcijos grafikas Taigi, funkcija , pavyzdžiui, taip: 2 atvirkštinė funkcija kaip funkcija . Jei, kaip įprasta, žymime nepriklausomą kintamąjį Leiskite pateikti tam tikrą lygtį, kuri nustato , ir išlaikytinis , tada dabar gautą atvirkštinę funkciją galima išreikšti taip: y = √x kaip funkcija . Taigi, norint gauti funkciją, atvirkštinę duotai (tiesioginei) funkcijai, reikia išvesti iš lygties, apibrėžiančios šią duotąją funkciją Priklausomai nuo o gautoje išraiškoje pakeisti Priklausomai nuo įjungta x , A kaip funkcija įjungta Priklausomai nuo .

181. Funkcijos grafikas , tada dabar gautą atvirkštinę funkciją galima išreikšti taip: . Ši funkcija negalima su neigiama verte kaip funkcija , bet jį galima apskaičiuoti (bet kokiu tikslumu) bet kokiai teigiamai vertei x , ir kiekvienai tokiai vertei funkcija gauna dvi skirtingas reikšmes su ta pačia absoliučia verte, bet su priešingais ženklais. Jei esate susipažinę √ Jei žymime tik kvadratinės šaknies aritmetinę reikšmę, tada šias dvi funkcijos reikšmes galima išreikšti taip: y= ± √x Norėdami nubraižyti šios funkcijos grafiką, pirmiausia turite sudaryti jos reikšmių lentelę. Lengviausias būdas sukurti šią lentelę yra iš tiesioginių funkcijų reikšmių lentelės:

, pavyzdžiui, taip: 2 .

x

Priklausomai nuo

jei vertybės Leiskite pateikti tam tikrą lygtį, kuri nustato priimti kaip vertybes kaip funkcija , ir atvirkščiai:

y= ± √x

Nubraižę visas šias reikšmes brėžinyje, gauname tokią grafiką.

Tame pačiame brėžinyje pavaizdavome (su laužta linija) tiesioginės funkcijos grafiką , pavyzdžiui, taip: 2 . Palyginkime šiuos du grafikus tarpusavyje.

182. Tiesioginių ir atvirkštinių funkcijų grafikų ryšys. Sudaryti atvirkštinės funkcijos verčių lentelę y= ± √x paėmėme už kaip funkcija tie skaičiai, kurie yra tiesioginės funkcijos lentelėje , pavyzdžiui, taip: 2 tarnavo kaip vertybės Leiskite pateikti tam tikrą lygtį, kuri nustato , ir už Leiskite pateikti tam tikrą lygtį, kuri nustato paėmė tuos skaičius; kurių vertės šioje lentelėje buvo x . Iš to išplaukia, kad abu grafikai yra vienodi, tik tiesioginės funkcijos grafikas yra išdėstytas ašies atžvilgiu Leiskite pateikti tam tikrą lygtį, kuri nustato - kaip atvirkštinės funkcijos grafikas yra ašies atžvilgiu kaip funkcija - ov. Dėl to, jei brėžinį sulenksime aplink tiesią liniją OA dalijantis stačiu kampu xOy , kad brėžinio dalis, kurioje yra pusašis OU , nukrito ant dalies, kurioje yra ašies velenas Oi , Tai OU suderinama su Oi , visi skyriai OU sutaps su dalybomis Oi , ir parabolės taškai , pavyzdžiui, taip: 2 sulygiuos su atitinkamais grafiko taškais y= ± √x . Pavyzdžiui, taškai M Ir N , kurio ordinatė 4 , ir abscisės 2 Ir - 2 , sutaps su taškais M" Ir N" , kuriam abscisė 4 , ir ordinatės 2 Ir - 2 . Jei šie taškai sutampa, tai reiškia, kad tiesios linijos MM" Ir NN" statmenai OA ir padalykite šią tiesią per pusę. Tą patį galima pasakyti apie visus kitus atitinkamus abiejų grafikų taškus.

Taigi atvirkštinės funkcijos grafikas turėtų būti toks pat kaip tiesioginės funkcijos grafikas, tačiau šie grafikai yra išdėstyti skirtingai, būtent simetriškai vienas kito atžvilgiu kampo pusiausvyros atžvilgiu. xOy . Galime sakyti, kad atvirkštinės funkcijos grafikas yra tiesioginės funkcijos grafiko atspindys (kaip veidrodyje) kampo pusiausvyros atžvilgiu. xOy .

Apskritimas parodė, kaip galite išgauti kvadratines šaknis stulpelyje. Galite apskaičiuoti šaknį savavališku tikslumu, rasti bet kokį skaitmenų skaičių jo dešimtainėje žymėjime, net jei jis pasirodo neracionalus. Algoritmas buvo prisimintas, bet klausimų liko. Neaišku, iš kur atsirado šis metodas ir kodėl jis davė teisingą rezultatą. To nebuvo knygose, o gal aš tiesiog ieškojau netinkamose knygose. Galiausiai, kaip ir daugumą to, ką šiandien žinau ir galiu padaryti, sugalvojau pats. Čia dalinuosi savo žiniomis. Beje, aš vis dar nežinau, kur pateikiamas algoritmo pagrindimas)))

Taigi, pirmiausia pateikiu pavyzdį, „kaip veikia sistema“, o tada paaiškinu, kodėl ji iš tikrųjų veikia.

Paimkime skaičių (skaičius paimtas „iš oro“, tiesiog atėjo į galvą).

1. Jo skaičius suskirstome į poras: tie, kurie yra kairėje nuo kablelio, grupuojami po du iš dešinės į kairę, o esantys dešinėje – po du iš kairės į dešinę. Mes gauname.

2. Kvadratinę šaknį ištraukiame iš pirmosios skaičių grupės kairėje - mūsų atveju tai yra (aišku, kad tikslios šaknies negalima išgauti, imame skaičių, kurio kvadratas yra kuo artimesnis mūsų skaičiui, kurį sudaro pirmoji skaičių grupė, bet jos neviršija). Mūsų atveju tai bus skaičius. Užrašome atsakymą – tai reikšmingiausias šaknies skaitmuo.

3. Skaičius, kuris jau yra atsakyme – tai – pakeliame kvadratu ir atimame jį iš pirmosios skaičių grupės kairėje – iš skaičiaus. Mūsų atveju tai išlieka.

4. Dešinėje priskiriame tokią dviejų skaičių grupę: . Atsakyme jau esantį skaičių padauginame iš , ir gauname .

5. Dabar atidžiai stebėkite. Dešinėje esančiam skaičiui turime priskirti vieną skaitmenį ir skaičių padauginti iš, tai yra, iš to paties priskirto skaitmens. Rezultatas turėtų būti kuo arčiau šio skaičiaus, bet vėlgi ne didesnis. Mūsų atveju tai bus skaičius, jį rašome atsakyme šalia, dešinėje. Tai yra kitas mūsų kvadratinės šaknies dešimtainės dalies skaitmuo.

6. Iš atėmus sandaugą gauname .

7. Toliau kartojame pažįstamas operacijas: sekančią skaitmenų grupę priskiriame dešinėje, gautam skaičiui padauginame iš ,> dešinėje priskiriame vieną skaitmenį taip, kad padauginus iš jo gautume skaičių, mažesnį už , bet artimiausią į jį – tai kitas dešimtainės šaknies žymėjimo skaitmuo.

Skaičiavimai bus parašyti taip:

O dabar žadėtas paaiškinimas. Algoritmas pagrįstas formule

Komentarai: 50

1. 2 Antanas:

   Per daug chaotiška ir painu. Išdėstykite viską taškas po taško ir sunumeruokite. Pliusas: paaiškinkite, kur kiekviename veiksme pakeičiame reikiamas reikšmes. Niekada anksčiau neskaičiavau šaknies; man buvo sunku tai suprasti.

2. 5 Julija:

3. 6 :

   Julija, 23, šiuo metu parašyta dešinėje, tai yra pirmieji du (kairėje) atsakyme jau gauti šaknies skaitmenys. Padauginkite iš 2 pagal algoritmą. Kartojame 4 punkte aprašytus veiksmus.

4. 7 zzz:

   klaida „6. Iš 167 atimame sandaugą 43 * 3 = 123 (129 nada), gauname 38.
   Nesuprantu, kaip pasirodė 08 po kablelio...

5. 9 Fedotovas Aleksandras:

   Ir net prieš skaičiuotuvą mokykloje buvome mokomi ne tik kvadratinės šaknies, bet ir kubo šaknies stulpelyje, tačiau tai buvo nuobodesnis ir kruopštesnis darbas. Lengviau buvo naudoti Bradis lenteles arba skaidrių taisyklę, kurią mokėmės jau vidurinėje mokykloje.

6. 10 :

   Aleksandrai, tu teisus, tu gali ištraukti didelių galių šaknis į koloną. Aš parašysiu tik apie tai, kaip rasti kubo šaknį.

7. 12 Sergejus Valentinovičius:

   Miela Elizaveta Aleksandrovna! Aštuntojo dešimtmečio pabaigoje sukūriau automatinio (t. y. ne atrankos) kvadratų skaičiavimo schemą. šaknis Felix pridėjimo mašinoje. Jei domina, galiu atsiųsti aprašymą.

8. 14 Vlad aus Engelsstadt:

   (((Stulpelio kvadratinės šaknies ištraukimas)))
   Algoritmas supaprastėja, jei naudojate 2-ąją skaičių sistemą, kuri yra studijuojama informatikos srityje, bet yra naudinga ir matematikoje. A.N. Kolmogorovas pristatė šį algoritmą populiariose paskaitose moksleiviams. Jo straipsnį galima rasti „Čebyševo kolekcijoje“ (matematikos žurnalas, nuorodos į jį ieškokite internete)
   Beje, sakyk:
   G. Leibnicas kažkada žaisdavo su mintimi pereiti nuo 10-osios skaičių sistemos prie dvejetainės dėl jos paprastumo ir prieinamumo pradedantiesiems (pradiniams mokiniams). Tačiau nusistovėjusių tradicijų laužymas yra tarsi kakta laužti tvirtovės vartus: tai įmanoma, bet nenaudinga. Taip išeina, kaip anot senais laikais labiausiai cituojamo barzdoto filosofo: visų mirusių kartų tradicijos slopina gyvųjų sąmonę.

   Iki kito karto.

9. 15 Vlad aus Engelsstadt:

   ))Sergey Valentinovich, taip, man įdomu...((

   Lažinuosi, kad tai yra Babilonijos kvadrato riterio išgavimo metodo „Felikso“ variantas, naudojant nuoseklių aproksimacijų metodą. Šis algoritmas buvo padengtas Niutono metodu (tangentiniu metodu)

   Įdomu, ar klydau savo prognozėje?

10. 18 :

    2Vlad aus Engelsstadt

    Taip, dvejetainis algoritmas turėtų būti paprastesnis, tai gana akivaizdu.

    Apie Niutono metodą. Galbūt tai ir tiesa, bet vis tiek įdomu

11. 20 Kirilas:

    Labai ačiū. Bet vis dar nėra algoritmo, niekas nežino, iš kur jis atsirado, bet rezultatas yra teisingas. LABAI AČIŪ! Ilgai to ieškojau)

12. 21 Aleksandras:

    Kaip ištrauksite šaknį iš skaičiaus, kai antroji grupė iš kairės į dešinę yra labai maža? pavyzdžiui, visų mėgstamiausias skaičius yra 4 398 046 511 104. Po pirmos atimties nebegalima visko tęsti pagal algoritmą. Ar galite paaiškinti prašau.

13. 22 Aleksejus:

    Taip, aš žinau šį metodą. Prisimenu, skaičiau ją kažkokio seno leidimo knygoje „Algebra“. Tada pagal analogiją jis pats padarė išvadą, kaip stulpelyje išgauti kubo šaknį. Bet ten jau sudėtingiau: kiekvienas skaitmuo nustatomas ne vienu (kaip kvadratui), o dviem atimtimis, ir net ten kiekvieną kartą reikia dauginti ilgus skaičius.

14. 23 straipsnis:

    Kvadratinės šaknies iš 56789.321 ištraukimo pavyzdyje yra rašybos klaidų. Skaičių grupė 32 du kartus priskiriama skaičiams 145 ir 243, skaičiuje 2388025 antrasis 8 turi būti pakeistas 3. Tada paskutinę atimtį reikia rašyti taip: 2431000 – 2383025 = 47975.
    Be to, dalijant likutį iš dvigubos atsakymo reikšmės (neatsižvelgiant į kablelį), gauname papildomą reikšminių skaitmenų skaičių (47975/(2*238305) = 0,100658819...), kuriuos reikia pridėti prie atsakymas (√56789.321 = 238.305... = 238.305100659).

15. 24 Sergejus:

    Matyt, algoritmas atėjo iš Isaac Newton knygos „Bendroji aritmetika arba knyga apie aritmetinę sintezę ir analizę“. Štai ištrauka iš jo:

    APIE ŠAKNŲ IŠGAVIMĄ

    Norėdami išgauti skaičiaus kvadratinę šaknį, pirmiausia turite įdėti tašką virš jo skaitmenų, pradedant vienetais. Tada į dalinį arba radikalą turėtumėte įrašyti skaičių, kurio kvadratas yra lygus skaičiams arba skaičiui, esantiems prieš pirmąjį tašką, arba yra arčiausiai jo. Atėmus šį kvadratą, likę šaknies skaitmenys bus rasti paeiliui, likutį padalijus iš dvigubai jau ištrauktos šaknies dalies vertės ir kiekvieną kartą iš likusios kvadrato dalies atimant paskutinį rastą skaitmenį ir jo dešimteriopą sandaugą pavadintas daliklis.

16. 25 Sergejus:

    Taip pat pataisykite knygos pavadinimą „Bendroji aritmetika arba knyga apie aritmetinę sintezę ir analizę“

17. 26 Aleksandras:

    Ačiū už įdomią medžiagą. Tačiau šis metodas man atrodo šiek tiek sudėtingesnis nei, pavyzdžiui, mokyklos mokiniui. Aš naudoju paprastesnį metodą, pagrįstą kvadratinės funkcijos išplėtimu, naudojant pirmąsias dvi išvestines. Jo formulė yra tokia:
    sqrt(x)= A1+A2-A3, kur
    A1 yra sveikasis skaičius, kurio kvadratas yra arčiausiai x;
    A2 yra trupmena, skaitiklis yra x-A1, vardiklis yra 2*A1.
    Daugeliui skaičių, sutinkamų mokyklos kurse, to pakanka, kad rezultatas būtų tikslus iki šimtosios dalies.
    Jei reikia tikslesnio rezultato, imkite
    A3 – trupmena, skaitiklis – A2 kvadratas, vardiklis – 2*A1+1.
    Žinoma, norint ją naudoti, reikia sveikųjų skaičių kvadratų lentelės, tačiau mokykloje tai nėra problema. Prisiminti šią formulę yra gana paprasta.
    Tačiau mane glumina, kad A3 gavau empiriškai, eksperimentuodamas su skaičiuokle, ir nelabai suprantu, kodėl šis narys turi tokią išvaizdą. Gal galit patarti?

18. 27 Aleksandras:

    Taip, aš taip pat svarsčiau šiuos svarstymus, bet velnias slypi detalėse. Tu rašai:
    „Kadangi a2 ir b skiriasi gana mažai“. Kyla klausimas, kiek tiksliai.
    Ši formulė gerai veikia antroje dešimtyje ir daug blogiau (ne iki šimtųjų, tik iki dešimtųjų) su skaičiais pirmajame dešimtyje. Kodėl taip nutinka, sunku suprasti nenaudojant išvestinių priemonių.

19. 28 Aleksandras:

    Paaiškinsiu, ką laikau siūlomos formulės pranašumu. Tam nereikia ne visai natūralaus skaičių skirstymo į skaitmenų poras, o tai, kaip rodo patirtis, dažnai atliekama su klaidomis. Jo reikšmė akivaizdi, bet žmogui, susipažinusiam su analize, ji yra nereikšminga. Puikiai veikia su skaičiais nuo 100 iki 1000, kurie yra dažniausiai pasitaikantys skaičiai mokykloje.

20. 29 Aleksandras:

    Beje, šiek tiek pasigilinau ir savo formulėje radau tikslią A3 išraišką:
    A3 = A22 /2 (A1 + A2)

21. 30 vasil stryzhak:

    Mūsų laikais, plačiai naudojant kompiuterines technologijas, praktiniu požiūriu neverta išgauti kvadratinio riterio iš skaičiaus. Tačiau matematikos mėgėjams neabejotinai bus įdomios įvairios šios problemos sprendimo galimybės. Mokyklos programoje šio skaičiavimo metodas nenaudojant papildomų lėšų turėtų būti lygus daugybai ir dalybai išilgai. Skaičiavimo algoritmas turi būti ne tik įsimenamas, bet ir suprantamas. Klasikinis metodas, pateiktas šioje medžiagoje aptarimui, atskleidžiant esmę, visiškai atitinka aukščiau nurodytus kriterijus.
    Reikšmingas Aleksandro pasiūlyto metodo trūkumas yra sveikųjų skaičių kvadratų lentelės naudojimas. Autorius tyli apie daugumą skaičių, sutinkamų mokyklos kurse. Kalbant apie formulę, apskritai ji man patinka dėl gana didelio skaičiavimo tikslumo.

22. 31 Aleksandras:

    už 30 vasil stryzhak
    Nieko netylėjau. Kvadratų lentelė turėtų būti iki 1000. Mano laikais mokykloje jie tiesiog mokėsi mintinai ir buvo visuose matematikos vadovėliuose. Aš aiškiai pavadinau šį intervalą.
    Kalbant apie kompiuterines technologijas, ji nenaudojama daugiausia matematikos pamokose, nebent būtų konkrečiai aptariama skaičiuotuvo naudojimo tema. Dabar skaičiuotuvai yra įtaisyti įrenginiuose, kuriuos draudžiama naudoti atliekant vieningą valstybinį egzaminą.

23. 32 vasil stryzhak:

    Aleksandrai, ačiū už paaiškinimą, maniau, kad teoriškai reikia atsiminti arba naudoti visų dviženklių skaičių kvadratų lentelę naudokite techniką, kaip juos padidinti arba sumažinti reikiamu dydžių skaičiumi perkeliant po kablelio.

24. 33 vasil stryzhak:

25. 39 ALEKSANDRIS:

    MANO PIRMOJI PROGRAMA „IAMB“ KALBA TARYBŲ MAŠINOSE „ISKRA 555″ BUVO PARAŠYTA KAD SKAIČIŲ Kvadratinei šaknis išgauti, naudojant Stulpelių ištraukimo ALGORITMĄ! ir dabar pamiršau, kaip jį išgauti rankiniu būdu!

Atėjo laikas tai sutvarkyti šaknų ištraukimo metodai. Jie pagrįsti šaknų savybėmis, visų pirma lygybe, kuri galioja bet kuriam neneigiamam skaičiui b.

Žemiau apžvelgsime pagrindinius šaknų išgavimo būdus po vieną.

Pradėkime nuo paprasčiausio atvejo – šaknų ištraukimas iš natūraliųjų skaičių naudojant kvadratų lentelę, kubelių lentelę ir kt.

Jei lentelės iš kvadratų, kubelių ir kt. Jei jo neturite po ranka, logiška naudoti šaknies išskyrimo metodą, kuris apima radikalaus skaičiaus skaidymą į pirminius veiksnius.

Atskirai verta paminėti, kas įmanoma šaknims su nelyginiais rodikliais.

Galiausiai apsvarstykime metodą, leidžiantį nuosekliai rasti šaknies reikšmės skaitmenis.

Pradėkime.

Naudojant kvadratų lentelę, kubelių lentelę ir kt.

Paprasčiausiais atvejais šaknis leidžia išgauti kvadratų, kubelių ir pan. Kas yra šios lentelės?

Sveikųjų skaičių nuo 0 iki 99 imtinai kvadratų lentelė (parodyta toliau) susideda iš dviejų zonų. Pirmoji lentelės zona yra pilkame fone, pasirinkus konkrečią eilutę ir stulpelį, ji leidžia sudaryti skaičių nuo 0 iki 99. Pavyzdžiui, pasirinkime 8 dešimčių eilutę ir 3 vienetų stulpelį, taip pataisydami skaičių 83. Antroji zona užima likusią stalo dalį. Kiekvienas langelis yra tam tikros eilutės ir tam tikro stulpelio sankirtoje ir yra atitinkamo skaičiaus kvadratas nuo 0 iki 99. Mūsų pasirinktos 8 dešimčių eilutės ir 3 vienetų stulpelio sankirtoje yra langelis su skaičiumi 6889, kuris yra skaičiaus 83 kvadratas.

Kubų lentelės, skaičių nuo 0 iki 99 ketvirtųjų laipsnių lentelės ir pan., panašios į kvadratų lentelę, tik jose antroje zonoje yra kubelių, ketvirtųjų laipsnių ir pan. atitinkamus skaičius.

Kvadratų, kubelių, ketvirtųjų laipsnių lentelės ir kt. leidžia išgauti kvadratines šaknis, kubines šaknis, ketvirtąsias šaknis ir kt. atitinkamai iš šiose lentelėse pateiktų skaičių. Paaiškinkime jų naudojimo principą išgaunant šaknis.

Tarkime, kad reikia išgauti n-ąją skaičiaus a šaknį, o skaičius a yra n-ųjų laipsnių lentelėje. Naudodami šią lentelę randame skaičių b, kad a=b n. Tada , todėl skaičius b bus norima n-ojo laipsnio šaknis.

Kaip pavyzdį parodykime, kaip naudoti kubo lentelę, norint išgauti 19 683 kubo šaknį. Kubų lentelėje randame skaičių 19 683, iš jo randame, kad šis skaičius yra skaičiaus 27 kubas, todėl .

Aišku, kad n-ųjų laipsnių lentelės labai patogios šaknims išgauti. Tačiau jų dažnai nėra po ranka, o jų sudarymas reikalauja šiek tiek laiko. Be to, dažnai reikia išgauti šaknis iš skaičių, kurių nėra atitinkamose lentelėse. Tokiais atvejais turite naudoti kitus šaknų ištraukimo būdus.

Radikalaus skaičiaus faktorinavimas į pirminius veiksnius

Gana patogus būdas išgauti natūraliojo skaičiaus šaknį (jei, žinoma, šaknis išskirta) yra radikalųjį skaičių išskaidyti į pirminius veiksnius. Jo esmė tokia: po to gana paprasta jį pavaizduoti kaip laipsnį su norimu rodikliu, kuris leidžia gauti šaknies reikšmę. Paaiškinkime šį dalyką.

Tegu paimama n-oji natūraliojo skaičiaus a šaknis ir jos reikšmė lygi b. Šiuo atveju lygybė a=b n yra teisinga. Skaičius b, kaip ir bet kuris natūralusis skaičius, gali būti pavaizduotas kaip visų jo pirminių faktorių p 1 , p 2 , …, p m sandauga forma p 1 ·p 2 ·…·p m , o radikalinis skaičius a šiuo atveju vaizduojamas kaip (p 1 · p 2 ·… · p m) n . Kadangi skaičiaus išskaidymas į pirminius veiksnius yra unikalus, radikalinio skaičiaus a išskaidymas į pirminius veiksnius turės formą (p 1 ·p 2 ·…·p m) n, todėl bus galima apskaičiuoti šaknies reikšmę. kaip .

Atkreipkite dėmesį, kad jei radikalinio skaičiaus a išskaidymas į pirminius veiksnius negali būti pavaizduotas forma (p 1 ·p 2 ·…·p m) n, tada tokio skaičiaus a n-oji šaknis nėra visiškai išskirta.

Išsiaiškinkime tai spręsdami pavyzdžius.

Pavyzdys.

Paimkite kvadratinę šaknį iš 144.

Sprendimas.

Jei pažvelgsite į ankstesnėje pastraipoje pateiktą kvadratų lentelę, aiškiai pamatysite, kad 144 = 12 2, iš kurios aišku, kad 144 kvadratinė šaknis yra 12.

Tačiau atsižvelgiant į tai, mus domina, kaip šaknis išgaunama išskaidžius radikalųjį skaičių 144 į pirminius veiksnius. Pažvelkime į šį sprendimą.

Išskaidykime 144 prie pagrindinių veiksnių:

Tai yra, 144=2·2·2·2·3·3. Remiantis gautu skaidymu, gali būti atliekamos šios transformacijos: 144 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 = (2 · 2) 2 · 3 2 = (2 · 2 · 3) 2 = 12 2. Vadinasi, .

Naudojant laipsnio savybes ir šaknų savybes, tirpalą būtų galima suformuluoti kiek kitaip: .

Atsakymas:

Norėdami konsoliduoti medžiagą, apsvarstykite dar dviejų pavyzdžių sprendimus.

Pavyzdys.

Apskaičiuokite šaknies vertę.

Sprendimas.

Radikalio skaičiaus 243 pirminis faktorius turi formą 243=3 5 . Taigi, .

Atsakymas:

Pavyzdys.

Ar šaknies reikšmė yra sveikasis skaičius?

Sprendimas.

Norėdami atsakyti į šį klausimą, suskirstykime radikalųjį skaičių į pirminius veiksnius ir pažiūrėkime, ar jį galima pavaizduoti kaip sveikojo skaičiaus kubą.

Turime 285 768 = 2 3 · 3 6 · 7 2. Gauta plėtra negali būti pavaizduota kaip sveikojo skaičiaus kubas, nes pirminio koeficiento 7 laipsnis nėra trijų kartotinis. Todėl negalima visiškai išgauti 285 768 kubo šaknies.

Atsakymas:

Nr.

Šaknų ištraukimas iš trupmeninių skaičių

Atėjo laikas išsiaiškinti, kaip išgauti trupmeninio skaičiaus šaknį. Tegul trupmeninis radikalinis skaičius užrašomas kaip p/q. Pagal koeficiento šaknies savybę teisinga tokia lygybė. Iš šios lygybės išplaukia trupmenos šaknies ištraukimo taisyklė: trupmenos šaknis yra lygi skaitiklio šaknies daliniui, padalytam iš vardiklio šaknies.

Pažvelkime į šaknies ištraukimo iš trupmenos pavyzdį.

Pavyzdys.

Kokia yra bendrosios trupmenos 25/169 kvadratinė šaknis?

Sprendimas.

Naudodamiesi kvadratų lentele, nustatome, kad pradinės trupmenos skaitiklio kvadratinė šaknis yra lygi 5, o vardiklio kvadratinė šaknis lygi 13. Tada . Tai užbaigia paprastosios frakcijos 25/169 šaknies išgavimą.

Atsakymas:

Dešimtainės trupmenos arba mišraus skaičiaus šaknis išgaunama radikalius skaičius pakeitus paprastosiomis trupmenomis.

Pavyzdys.

Paimkite dešimtainės trupmenos 474.552 kubinę šaknį.

Sprendimas.

Įsivaizduokime pradinę dešimtainę trupmeną kaip paprastąją trupmeną: 474.552=474552/1000. Tada . Belieka išskirti kubo šaknis, kurios yra gautos trupmenos skaitiklyje ir vardiklyje. Nes 474 552=2·2·2·3·3·3·13·13·13=(2 3 13) 3 = 78 3 ir 1 000 = 10 3, tada Ir . Belieka tik užbaigti skaičiavimus .

Atsakymas:

.

Neigiamojo skaičiaus šaknies paėmimas

Verta pasilikti ties šaknų ištraukimu iš neigiamų skaičių. Tirdami šaknis sakėme, kad kai šaknies rodiklis yra nelyginis skaičius, tada po šaknies ženklu gali būti neigiamas skaičius. Šiems įrašams suteikėme tokią reikšmę: neigiamam skaičiui −a ir nelyginiam šaknies 2 n−1 rodikliui, . Ši lygybė suteikia nelyginių šaknų ištraukimo iš neigiamų skaičių taisyklė: norėdami išgauti neigiamo skaičiaus šaknį, turite paimti priešingo teigiamo skaičiaus šaknį ir prieš rezultatą įdėti minuso ženklą.

Pažvelkime į sprendimo pavyzdį.

Pavyzdys.

Raskite šaknies vertę.

Sprendimas.

Transformuokime pradinę išraišką taip, kad po šaknies ženklu būtų teigiamas skaičius: . Dabar pakeiskite mišrų skaičių paprastąja trupmena: . Taikome paprastosios trupmenos šaknies ištraukimo taisyklę: . Belieka apskaičiuoti gautos trupmenos skaitiklio ir vardiklio šaknis: .

Štai trumpa sprendimo santrauka: .

Atsakymas:

.

Šakninės vertės nustatymas bitais

Paprastai po šaknimi yra skaičius, kuris, naudojant aukščiau aptartus metodus, negali būti vaizduojamas kaip bet kurio skaičiaus n-asis laipsnis. Bet šiuo atveju reikia žinoti tam tikros šaknies reikšmę, bent jau iki tam tikro ženklo. Tokiu atveju, norėdami išgauti šaknį, galite naudoti algoritmą, leidžiantį nuosekliai gauti pakankamą norimo skaičiaus skaitmenų skaičių.

Pirmasis šio algoritmo žingsnis yra išsiaiškinti, koks yra svarbiausias šakninės reikšmės bitas. Tam skaičiai 0, 10, 100, ... paeiliui keliami iki laipsnio n, kol gaunamas momentas, kai skaičius viršija radikalųjį skaičių. Tada skaičius, kurį ankstesniame etape padidinome iki laipsnio n, parodys atitinkamą reikšmingiausią skaitmenį.

Pavyzdžiui, apsvarstykite šį algoritmo veiksmą, kai ištraukite kvadratinę šaknį iš penkių. Paimkite skaičius 0, 10, 100, ... ir padėkite juos kvadratu, kol gausime skaičių, didesnį už 5. Turime 0 2 = 0<5 , 10 2 =100>5, o tai reiškia, kad svarbiausias skaitmuo bus vienas. Šio bito, kaip ir žemesniųjų, reikšmė bus rasta kituose šaknies ištraukimo algoritmo žingsniuose.

Visais sekančiais algoritmo žingsniais siekiama nuosekliai išsiaiškinti šaknies reikšmę, surandant norimos šaknies reikšmės kitų bitų reikšmes, pradedant nuo didžiausio ir pereinant prie mažiausių. Pavyzdžiui, šaknies reikšmė pirmame žingsnyje pasirodo esanti 2, antrajame – 2,2, trečiame – 2,23 ir tt 2,236067977…. Apibūdinkime, kaip randamos skaitmenų reikšmės.

Skaičiai randami ieškant pagal galimas jų reikšmes 0, 1, 2, ..., 9. Šiuo atveju lygiagrečiai skaičiuojami atitinkamų skaičių n-ieji laipsniai ir lyginami su radikaliuoju skaičiumi. Jei tam tikru etapu laipsnio reikšmė viršija radikalų skaičių, tada skaitmens, atitinkančio ankstesnę reikšmę, reikšmė laikoma rasta ir pereinama prie kito šaknies ištraukimo algoritmo žingsnio, jei tai neįvyksta; tada šio skaitmens reikšmė lygi 9.

Paaiškinkime šiuos taškus naudodami tą patį penkių kvadratinės šaknies ištraukimo pavyzdį.

Pirmiausia randame vienetų skaitmens reikšmę. Mes eisime per reikšmes 0, 1, 2, ..., 9, atitinkamai apskaičiuodami 0 2, 1 2, ..., 9 2, kol gausime reikšmę, didesnę už radikalų skaičių 5. Visus šiuos skaičiavimus patogu pateikti lentelės pavidalu:

Taigi vienetų skaitmens reikšmė yra 2 (nuo 2 2<5 , а 2 3 >5). Pereikime prie dešimtosios vietos vertės nustatymo. Tokiu atveju skaičius 2.0, 2.1, 2.2, ..., 2.9 padalinsime kvadratu, gautas reikšmes lygindami su radikaliu skaičiumi 5:

Nuo 2.2 2<5 , а 2,3 2 >5, tada dešimtosios vietos reikšmė yra 2. Galite pradėti ieškoti šimtosios vietos vertės:

Taip buvo rasta kita penkių šaknies reikšmė, ji lygi 2,23. Taigi galite ir toliau ieškoti vertybių: 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .

Norėdami konsoliduoti medžiagą, mes analizuosime šaknies ištraukimą šimtųjų dalių tikslumu, naudodami nagrinėjamą algoritmą.

Pirmiausia nustatome reikšmingiausią skaitmenį. Norėdami tai padaryti, supjaustome skaičius 0, 10, 100 ir kt. kol gausime skaičių, didesnį už 2 151 186. Turime 0 3 = 0<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151 186 , todėl reikšmingiausias skaitmuo yra dešimties skaitmuo.

Nustatykime jo vertę.

Nuo 103<2 151,186 , а 20 3 >2 151,186, tada dešimties vietos reikšmė yra 1. Pereikime prie vienetų.

Taigi vienetų skaitmenų reikšmė yra 2. Pereikime prie dešimtųjų.

Kadangi net 12,9 3 yra mažesnis už radikalųjį skaičių 2 151,186, tai dešimtosios vietos reikšmė yra 9. Belieka atlikti paskutinį algoritmo žingsnį, jis duos mums šaknies reikšmę reikiamu tikslumu.

Šiame etape šaknies reikšmė nustatoma šimtųjų dalių tikslumu: .

Baigdamas šį straipsnį norėčiau pasakyti, kad yra daug kitų būdų išgauti šaknis. Tačiau daugeliui užduočių užtenka aukščiau išnagrinėtų užduočių.

Bibliografija.

• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: vadovėlis 8 klasei. švietimo įstaigų.
• Kolmogorovas A.N., Abramovas A.M., Dudnicinas Yu.P. ir kt. Algebra ir analizės pradžia: Vadovėlis bendrojo ugdymo įstaigų 10 - 11 klasėms.
• Gusevas V.A., Mordkovičius A.G. Matematika (vadovas stojantiems į technikos mokyklas).

Didelio skaičiaus šaknies ištraukimas. Mieli draugai!Šiame straipsnyje parodysime, kaip išgauti didelio skaičiaus šaknį be skaičiuoklės. Tai reikalinga ne tik sprendžiant tam tikro tipo vieningo valstybinio egzamino uždavinius (yra tokių, kurie susiję su judėjimu), bet ir bendram matematiniam tobulėjimui, patartina išmanyti šią analizės techniką.

Atrodytų, viskas paprasta: sudėti į veiksnius ir išgauti. Jokiu problemu. Pavyzdžiui, skaičius 291600 išskleistas suteiks produktui:

Skaičiuojame:

Yra vienas BET! Metodas geras, jei nesunkiai nustatomi dalikliai 2, 3, 4 ir pan. O kas, jei skaičius, iš kurio išgauname šaknį, yra pirminių skaičių sandauga? Pavyzdžiui, 152881 yra skaičių 17, 17, 23, 23 sandauga. Pabandykite iš karto rasti šiuos daliklius.

Mes svarstome metodo esmę- Tai gryna analizė. Turint išvystytus įgūdžius, šaknį galima greitai rasti. Jei įgūdis nebuvo praktikuojamas, o požiūris tiesiog suprastas, tada jis yra šiek tiek lėtesnis, bet vis tiek ryžtingas.

Paimkime šaknį 190969.

Pirmiausia nustatykime, tarp kurių skaičių (šimto kartotinių) yra mūsų rezultatas.

Akivaizdu, kad šio skaičiaus šaknies rezultatas yra intervale nuo 400 iki 500, nes

400 2 = 160 000 ir 500 2 = 250 000

Tikrai:

viduryje, arčiau 160 000 ar 250 000?

Skaičius 190969 yra maždaug per vidurį, bet vis tiek arčiau 160000. Galime daryti išvadą, kad mūsų šaknies rezultatas bus mažesnis nei 450. Patikrinkime:

Iš tiesų, tai yra mažiau nei 450, nes 190 969< 202 500.

Dabar patikrinkime skaičių 440:

Tai reiškia, kad mūsų rezultatas yra mažesnis nei 440, nes 190 969 < 193 600.

Patikrinkite numerį 430:

Mes nustatėme, kad šios šaknies rezultatas yra nuo 430 iki 440.

Skaičių sandauga, kurios pabaigoje yra 1 arba 9, suteikia skaičių, kurio pabaigoje yra 1. Pavyzdžiui, 21 iš 21 yra lygus 441.

Skaičių sandauga, kurios pabaigoje yra 2 arba 8, suteikia skaičių, kurio pabaigoje yra 4. Pavyzdžiui, 18 iš 18 yra lygus 324.

Skaičių sandauga, kurios pabaigoje yra 5, suteikia skaičių, kurio pabaigoje yra 5. Pavyzdžiui, 25 x 25 yra lygus 625.

Skaičių sandauga, kurios pabaigoje yra 4 arba 6, suteikia skaičių, kurio pabaigoje yra 6. Pavyzdžiui, 26 iš 26 yra lygus 676.

Skaičių sandauga, kurios pabaigoje yra 3 arba 7, suteikia skaičių, kurio pabaigoje yra 9. Pavyzdžiui, 17 iš 17 yra lygus 289.

Kadangi skaičius 190969 baigiasi skaičiumi 9, tai yra skaičiaus 433 arba 437 sandauga.

*Tik jie, surašyti kvadratu, gali duoti 9 pabaigoje.

Mes tikriname:

Tai reiškia, kad šaknies rezultatas bus 437.

Tai yra, atrodo, kad „radome“ teisingą atsakymą.

Kaip matote, daugiausiai reikia atlikti 5 veiksmus stulpelyje. Galbūt iškart pasieksite tašką arba žengsite tik tris žingsnius. Viskas priklauso nuo to, kaip tiksliai nustatote pradinį skaičių.

Išskleiskite 148996 šaknį patys

Užduotyje gaunamas toks diskriminantas:

Motorlaivis upe nuplaukia 336 km iki tikslo ir sustojęs grįžta į išvykimo vietą. Raskite laivo greitį stovinčiame vandenyje, jei dabartinis greitis yra 5 km/h, buvimas trunka 10 valandų, o laivas grįžta į savo išvykimo vietą praėjus 48 valandoms po išvykimo. Atsakymą pateikite km/val.

Žiūrėti sprendimą

Šaknies rezultatas yra tarp skaičių 300 ir 400:

300 2 =90000 400 2 =160000

Tiesa, 90 000<148996<160000.

Tolesnių samprotavimų esmė yra nustatyti, kaip skaičius 148996 yra (nutolęs) nuo šių skaičių.

Paskaičiuokime skirtumus 148996 – 90000=58996 ir 160000 – 148996=11004.

Pasirodo, 148996 yra artimas (daug arčiau) 160000. Todėl šaknies rezultatas tikrai bus didesnis nei 350 ir net 360.

Galime daryti išvadą, kad mūsų rezultatas yra didesnis nei 370. Be to, aišku: kadangi 148996 baigiasi skaičiumi 6, tai reiškia, kad turime kvadratuoti skaičių, kuris baigiasi arba 4, arba 6. *Tik šie skaičiai, padalyti kvadratu, suteikia pabaigą 6 .

Pagarbiai Aleksandras Krutitskichas.

P.S. Būčiau dėkingas, jei papasakotumėte apie svetainę socialiniuose tinkluose.