2 vaizdo pamoka: 2: Sprendimas kvadratinių lygčių

Paskaita: Kvadratinės lygtys. \\ T

Lygtis. \\ T

Lygtis. \\ T - Tai yra tam tikra lygybė, kurių išraiškos yra kintamos.

Išspręsti lygtį - tai reiškia surasti tokį skaičių, o ne kintamąjį, kuris paskatins jį į tikrą lygybę.

Lygtis gali turėti vieną sprendimą ar kelis, ar ne visai.

Norėdami išspręsti bet kokią lygtį, ji turėtų būti lengvai supaprastinta į formą:

Linijinis: a * x \u003d b;

Square: a * x 2 + b * x + c \u003d 0.

Tai yra bet kokia lygtis prieš tirpalą turi būti konvertuojamas į standartines rūšis.

Bet kokia lygtis gali būti išspręsta dviem būdais: analitiniu ir grafiniu.

Diagrame sprendžiant lygtį, taškai yra laikomi, kai tvarkaraštis kerta ašį.

Kvadratinės lygtys. \\ T

Lygtis gali būti vadinama kvadratu, jei jis įgyja vaizdą, kai supaprastinta:

a * x 2 + b * x + c \u003d 0.

Kur. \\ T a, b, c yra lygties koeficientai, kurie skiriasi nuo nulio. Bet "X" - lygties šaknis. Manoma, kad kvadratinė lygtis turi dvi šaknis arba visai negali turėti sprendimų. Gautos šaknys gali būti vienodos.

"Bet" - koeficientas, kuris stovi prieš šaknį aikštėje.

"B" - tai prieš tai nežinoma pirmojo laipsnio.

"nuo" - laisvas lygties narys.

Jei, pavyzdžiui, mes turime formos lygtį:

2x 2 -5x + 3 \u003d 0

Jame "2" yra koeficientas su vyresniuoju lygties nariu "-5" - antrasis koeficientas ir "3" - laisvas narys.

Sprendimas kvadratinės lygties

Yra didžiulis būdas išspręsti kvadratinę lygtį. Tačiau matematikos mokykloje sprendimas tiriamas Vietos teore, taip pat diskriminant.

Sprendimas dėl diskriminant:

Sprendžiant naudojant šį metodą, reikia apskaičiuoti diskriminer formulę:

Jei skaičiavimai, jūs gavote, kad diskriminant yra mažesnis nei nulis, tai reiškia, kad ši lygtis neturi sprendimų.

Jei diskriminant yra nulis, lygtis turi du identiškus sprendimus. Šiuo atveju polinomas gali būti žlugo pagal sutrumpinto dauginimo formulę į sumos ar skirtumo kvadratą. Po to išspręsti ją kaip linijinę lygtį. Arba pasinaudoti formulė:

Jei diskriminant yra didesnis nei nulis, būtina naudoti šį metodą:

Vieta teorema

Jei yra suteikta lygtis, tai yra, vyresnysis narys koeficientas yra lygus vienai, tada galite naudoti vieta teorema.

Taigi, tarkime, kad lygtis atrodo kaip:

Lygčių šaknys yra tokios:

Nebaigta kvadratinė lygtis

Yra keletas galimybių gauti neišsamią kvadratinę lygtį, kurios tipas priklauso nuo koeficientų buvimo.

1. Jei antrasis ir trečiasis koeficientas yra nulis (B \u003d 0, c \u003d 0)Kvadratinė lygtis pažvelgs:

Ši lygtis turės vieną sprendimą. Lygybė bus teisinga tik tada, kai lygtis yra nulis kaip sprendimas.

Kvadratinė lygtis - tai tiesiog išspręsta! * Tekstas "ku".Draugai, atrodo, matematika gali būti lengviau nei tokios lygties sprendimas. Bet kažkas pasiūlė man, kad daugelis turi problemų su juo. Aš nusprendžiau pamatyti, kiek parodymų už prašymą per mėnesį suteikia Yandex. Štai kas nutiko:

Ką tai reiškia? Tai reiškia, kad apie 70 000 žmonių ieško šios informacijos per mėnesį, kas yra ši vasara, ir kas bus tarp mokslo metų - prašymai bus dvigubai daugiau. Nenuostabu, nes tie vaikinai ir mergaitės, kurios ilgai baigė mokyklą ir ruošiasi egzaminui, jie ieško šios informacijos, o moksleiviai siekia atnaujinti jį atmintyje.

Nepaisant to, kad yra daug svetainių, kuriose jis yra aprašytas, kaip išspręsti šią lygtį, nusprendžiau prisidėti ir skelbti medžiagą. Pirma, noriu atvykti į mano svetainę šiam prašymui ir lankytojams atėjo į mano svetainę; Antra, kitais straipsniais, kai "KU" kalba pateiks nuorodą į šį straipsnį; Trečia, aš jums pasakysiu apie savo sprendimą šiek tiek daugiau nei paprastai nustatomi kitose svetainėse. Baister!Straipsnio turinys:

Kvadratinė lygtis yra formos lygtis:

kur koeficientai ab. ir su savavališkais skaičiais, su kažkuo a ≠ 0.

Mokyklos kurse medžiaga pateikiama tokia forma - lygčių atskyrimas trims klasėms yra sąlyginai padaryta:

1. Turėkite dvi šaknis.

2. * Yra tik viena šaknis.

3. neturi šaknų. Čia verta paminėti, kad jie neturi galiojančių šaknų

Kaip skaičiuojami šaknys? Tiesiog!

Apskaičiuoti diskriminant. Pagal šį "baisi" žodis yra gana paprasta formulė:

Šaknų formulės turi tokią formą:

* Šios formulės turi žinoti pagal širdį.

Jūs galite nedelsiant rašyti ir nuspręsti:

Pavyzdys:

1. Jei d\u003e 0, lygtis turi dvi šaknis.

2. Jei d \u003d 0, lygtis turi vieną šaknį.

3. Jei D.< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Pažvelkime į lygtį:

Šia proga, kai diskriminant yra nulis, mokyklos kurso sakoma, kad vienas šaknis pasirodo, čia jis yra lygus devyniems. Tai yra teisinga ir yra, bet ...

Šis požiūris yra šiek tiek neteisingas. Tiesą sakant, gaunamos dvi šaknys. Taip, nebūkite nustebinti, gaunamos dvi lygios šaknys, ir jei esate matematiškai tikslūs, tada į atsakymą reikia įrašyti dvi šaknys:

x 1 \u003d 3 x 2 \u003d 3

Bet tai yra šiek tiek atsitraukimas. Mokykloje gali rašyti ir pasakyti, kad šaknis yra vienas.

Dabar šis pavyzdys yra toks:

Kaip žinome - neigiamo skaičiaus šaknis nėra pašalintas, todėl šiuo atveju nėra sprendimų.

Tai yra visas sprendimo procesas.

Kvadratinė funkcija.

Čia pateikiama, kaip tirpalas atrodo geometriškai. Labai svarbu suprasti (ateityje viename iš straipsnių, išsamiai išmontuosime kvadratinės nelygybės sprendimą).

Tai yra formos funkcija:

kur x ir y yra kintamieji

a, B, C - nustatyti numeriai, su tuo, kas a ≠ 0

Tvarkaraštis yra parabola:

Tai reiškia, kad paaiškėja, kad sprendimas dėl kvadratinės lygties "Y" lygus nuliui, mes randame parabolos sankirtos tašką su ašimi. Šie taškai gali būti du (diskidinė teigiama), viena (diskriminantija yra nulis), o ne viena (neigiama diskriminant). Išsami informacija apie kvadratinę funkciją galite peržiūrėti "Inna Feldman" straipsnis.

Apsvarstykite pavyzdžius:

1 pavyzdys: išspręskite 2x 2 +8 x.–192=0

a \u003d 2 b \u003d 8 c \u003d -192

D \u003d B. 2 -4ac \u003d 8 2 -4 ∙ 2 ∙ (-192) \u003d 64 + 1536 \u003d 1600

Atsakymas: x 1 \u003d 8 x 2 \u003d -12

* Tai buvo įmanoma iš karto į kairę ir teisę į lygtį padalinti 2, tai yra supaprastinti. Skaičiavimai bus lengviau.

2 pavyzdys: Nuspręsti x 2–22 x + 121 \u003d 0

a \u003d 1 b \u003d -22 c \u003d 121

D \u003d B 2 -4ac \u003d (- 22) 2 -4 ∙ 1 ∙ 121 \u003d 484-484 \u003d 0

Gauta x 1 \u003d 11 ir x 2 \u003d 11

Atsakydama, tai yra leistina rašyti x \u003d 11.

Atsakymas: x \u003d 11

3 pavyzdys: Nuspręsti x 2 -8x + 72 \u003d 0

a \u003d 1 b \u003d -8 c \u003d 72

D \u003d B 2 -4ac \u003d (- 8) 2 -4 ∙ 1 ∙ 72 \u003d 64-288 \u003d -224

Diskriminieriai yra neigiamas, galiojančių skaičių sprendimų nėra.

Atsakymas: Nėra sprendimų

Diskriminant yra neigiama. Sprendimas yra!

Čia bus aptarta apie išspręsti lygtį tuo atveju, kai gaunama neigiama diskriminant. Ar žinote apie integruotus numerius? Aš nekalsiu išsamiai apie tai, kodėl ir kur jie atsirado ir kokie yra jų specifinis vaidmuo ir matematikos poreikis yra didelės atskiros straipsnio temai.

Sudėtingo skaičiaus sąvoka.

Šiek tiek teorijos.

Kompleksinis numeris Z pavadino rūšių skaičių

z \u003d a + bi

jei A ir B yra galiojantys numeriai, I - vadinamasis įsivaizduojamas vienetas.

a + Bi - tai yra vienas numeris, o ne.

Įsivaizduojamas vienetas yra lygus minusų vienetų šaknai:

Dabar apsvarstykite lygtį:

Gavo dvi konjuguotos šaknys.

Neišsamios kvadratinės lygties.

Apsvarstykite privačius atvejus, tai yra tada, kai koeficientas "B" arba "C" yra nulis (arba abu yra nulis). Jie yra lengvai išspręsti be jokių diskriminacijų.

Byla 1. koeficientas B \u003d 0.

Lygtis įgyja formą:

Mes transformuojame:

Pavyzdys:

4x 2 -16 \u003d 0 \u003d\u003e 4x 2 \u003d 16 \u003d\u003e x 2 \u003d 4 \u003d\u003e x 1 \u003d 2 x 2 \u003d -2

Byla 2. C \u003d 0 koeficientas.

Lygtis įgyja formą:

Mes transformuojame, išdėstytume daugiklius:

* Darbas yra nulis, kai bent vienas iš daugiklių yra nulis.

Pavyzdys:

9x 2 -45x \u003d 0 \u003d\u003e 9x (x-5) \u003d 0 \u003d\u003e x \u003d 0 arba x-5 \u003d 0

x 1 \u003d 0 x 2 \u003d 5

Byla 3. koeficientai b \u003d 0 ir c \u003d 0.

Čia aišku, kad lygties sprendimas visada bus x \u003d 0.

Naudingos savybės ir koeficientų modeliai.

Yra savybių, kurios leidžia išspręsti lygtis su dideliais koeficientais.

betx. 2 + bX.+ c.=0 Yra lygybė

a. + b. + C \u003d 0,tam. \\ T

- jei dėl lygties koeficientų betx. 2 + bX.+ c.=0 Yra lygybė

a. + C \u003d.b., tam. \\ T

Šios savybės padeda išspręsti tam tikrą lygtį.

1 pavyzdys: 5001 x. 2 –4995 x. – 6=0

Koeficientų suma yra 5001+ ( – 4995)+(– 6) \u003d 0, tai reiškia

2 pavyzdys: 2501 x. 2 +2507 x.+6=0

Yra lygybė a. + C \u003d.b., SO

Koeficientų įstatymai.

1. Jei AX 2 + BX + C \u003d 0 lygtis, koeficientas "B" yra lygus (A 2 +1), o koeficientas "C" yra skaitmeninis lygus koeficientui "A", jos šaknys yra lygios

2 + (a 2 +1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d -a x 2 \u003d -1 / a.

Pavyzdys. Apsvarstykite 6x 2 + 37x + 6 lygtį 0.

x 1 \u003d -6 x 2 \u003d -1/6.

2. Jei AX 2 - BX + C \u003d 0 lygtis, koeficientas "B" yra lygus (ir 2 +1), o koeficientas "C" yra skaitmeninis lygus koeficientui "A", jos šaknys yra lygios

aX 2 - (a 2 +1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d 1 / a.

Pavyzdys. Apsvarstykite 15x 2 -226x +15 lygtį \u003d 0.

x 1 \u003d 15 x 2 \u003d 1/15.

3. Jei lygtyjeaX 2 + BX - C \u003d 0 koeficientas "B" lygus (a 2 - 1) ir koeficientas "C" skaičiaus lygus koeficientui "A", tada jo šaknys yra lygios

aX 2 + (A 2 -1) ∙ x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d - a x 2 \u003d 1 / a.

Pavyzdys. Apsvarstykite 17x 2 + 288x - 17 \u003d 0 lygtį.

x 1 \u003d - 17 x 2 \u003d 1/17.

4. Jei AX 2 - BX - C \u003d 0 lygtis, koeficientas "B" yra lygus (A 2 - 1), o koeficientas yra skaitmeninis lygus "A" koeficientui, jo šaknys yra lygūs

aX 2 - (A 2 -1) ∙ x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d - 1 / a.

Pavyzdys. Apsvarstykite 10x 2 - 99x -10 \u003d 0 lygtį.

x 1 \u003d 10 x 2 \u003d - 1/10

Vieta teorema.

Vieta teorema yra vadinamas garsaus prancūzų matematikos francois Vieta vardu. Naudojant Vieta teorem, galite išreikšti sumą ir iš savavališko KU šaknų, per savo koeficientus.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

Apibendrinant, skaičius 14 yra skiriamas tik 5 ir 9. Tai šaknys. Su tam tikru įgūdžiais, naudojant teoremą, atstovaujamą daugelyje kvadratinių lygčių, galite nuspręsti, ar ateiti per burną.

Be to, Vieta teorema. Tai patogu, nes po to, kai sprendžiant kvadratinį lygtį įprastu būdu (per diskriminant), gautų šaknų galima patikrinti. Aš rekomenduoju tai daryti visada.

Metodas. \\ T

Šiuo metodu koeficientas "A" padauginamas iš laisvo nario, tarsi "juda" jam, todėl jis vadinamas "Tranzito" metodas.Šis metodas naudojamas, kai jūs galite lengvai rasti lygties šaknis naudojant Vieta teorem ir, svarbiausia, kai diskriminant yra tiksli aikštė.

Jeigu bet± b + C.≠ 0, tada priėmimas naudojamas, pavyzdžiui:

2h. 2 – 11x +.5 = 0 (1) => h. 2 – 11x +.10 = 0 (2)

Vietos teorema lygtyje (2) yra lengva nustatyti, kad x 1 \u003d 10 x 2 \u003d 1

Gautos lygties šaknys turi būti suskirstytos į 2 (kaip du kartus iš x 2 "buvo perkelta), mes gauname

x 1 \u003d 5 x 2 \u003d 0,5.

Kas yra pagrindimas? Pažvelkite, kas vyksta.

Diskriminacijos lygtys (1) ir (2) yra lygūs:

Jei pažvelgsite į lygčių šaknis, gaunami tik skirtingi vardikliai, o rezultatas priklauso nuo koeficiento x 2:

Antrasis (modifikuotos) šaknys gaunamos 2 kartus daugiau.

Todėl rezultatas ir padalijimas 2.

* Jei mes mesti kelionę, rezultatas yra atskirtas 3 ir tt

Atsakymas: x 1 \u003d 5 x 2 \u003d 0,5

Kv. Ur-ye ir Ege.

Aš trumpai pasakysiu apie jo svarbą - turėtumėte greitai išspręsti ir be mąstymo, šaknų ir diskriminano formules, kurias reikia žinoti pagal širdį. Labai daug užduočių, įtrauktų į naudojimo užduotis, yra sumažintos iki kvadratinės lygties (geometrinių, įskaitant).

Ką švęsti!

1. Įrašymo lygties forma gali būti "netiesioginė". Pavyzdžiui, šis įrašas yra įmanomas:

15+ 9x 2 - 45x \u003d 0 arba 15x + 42 + 9x 2 - 45x \u003d 0 arba 15 -5x + 10x 2 \u003d 0.

Jums reikia jį į standartinę formą (taip, kad išspręstumėte sprendžiant).

2. Atminkite, kad X yra nežinoma vertė ir ji gali būti nurodyta bet kuri kita raidė - T, Q, P, H ir kita.

Pirmasis lygis

Kvadratinės lygtys. Išsamus vadovas (2019)

Kalbant apie "kvadratinę lygtį", raktas yra žodis "aikštė". Tai reiškia, kad kintamasis turi būti lygtyje (tame pačiame IX) aikštėje, ir trečiame (ir didesniame) laipsnyje neturėtų būti jokios IC.

Daugelio lygčių tirpalas sumažinamas iki tiksliai kvadratinių lygčių.

Sužinokite, kaip nustatyti, kad turime kvadratinę lygtį, o ne kitą.

1 pavyzdys.

Kiekvienas danomininko lygties narys ir dominarų bus atsikratyti

Mes perkeliame viską į kairę ir įdėkite narius mažėjančia ICA laipsnių tvarka

Dabar galite pasitikėti, kad ši lygtis yra kvadratinė!

2 pavyzdys.

Vidaus kairėje ir dešinėje pusėje:

Ši lygtis, nors ji buvo iš pradžių, nėra kvadratinė!

3 pavyzdys.

Doming visi:

Baugus? Ketvirtas ir antrasis laipsnis ... Tačiau, jei mes pakeisime, pamatysime, kad turime paprastą kvadratinę lygtį:

4 pavyzdys.

Atrodo, kad tai yra, bet pažvelgsime atidžiai. Mes perkeliame viską į kairę:

Žiūrėkite, sumažėjo - ir dabar tai yra paprasta linijinė lygtis!

Dabar pabandykite nustatyti, kuris iš šių lygčių yra kvadratinių ir kurių ne:

Pavyzdžiai:

Atsakymai:

1. aikštė;
2. aikštė;
3. ne aikštė;
4. ne aikštė;
5. ne aikštė;
6. aikštė;
7. ne aikštė;
8. aikštė.

Matematika Balandiškai padalinkite visas kvadratines lygtis ant tipo:

• Visos kvadratinės lygtys - lygtys, kuriose koeficientai ir, taip pat laisvas narys nėra lygūs nuliui (kaip ir pavyzdyje). Be to, tarp pilnų kvadratinių lygčių skiria pateikta - Tai yra lygtys, kai koeficientas (lygtis iš pavyzdžio yra ne tik baigtas, bet ir duotas!)

• Nebaigtos kvadratinės lygtys - lygtys, kuriose koeficientas ir laisvas narys yra nulis:

  Nepamirškite, nes jiems trūksta tam tikro elemento. Tačiau lygtis visada turėtų būti kvadratiniame !!! Priešingu atveju jis nebus kvadratinis, bet kai kurios kitos lygties.

Kodėl sugalvojote tokį padalijimą? Atrodytų, kad aikštėje yra X ir gerai. Toks padalijimas yra susijęs su sprendimų metodais. Apsvarstykite kiekvieną iš jų išsamiau.

Nebaigtų kvadratinių lygčių sprendimas

Norėdami pradėti, mes sustosime išspręsti neišsamias kvadratines lygtis - jie yra daug paprastesni!

Nebaigtos kvadratinės lygtys yra tipai:

1. Šioje lygtyje koeficientas yra lygus.
2. Šioje lygtyje laisvas narys yra lygus.
3. Šioje lygtyje, koeficientas ir laisvas narys yra lygūs.

1. Ir. Kaip žinome, kaip išgauti kvadratinę šaknį, išreiškiame šią lygtį

Sąvoka gali būti neigiama ir teigiama. Į aikštę pastatytas skaičius negali būti neigiamas, nes su dviem neigiamais arba dviem teigiamais skaičiais - rezultatas visada bus teigiamas skaičius, kad jei lygtis neturi sprendimų.

Ir jei gausite dvi šaknis. Šios formulės nereikia įsiminti. Svarbiausia, ką turėtumėte žinoti ir visada prisiminti, kad jis gali būti ne mažesnis.

Pabandykime išspręsti keletą pavyzdžių.

5 pavyzdys:

Nuspręskite lygtį

Dabar lieka pašalinti iš kairės ir dešinės pusės. Galų gale, ar prisimenate, kaip išgauti šaknis?

Atsakymas:

Niekada nepamirškite apie šaknis su neigiamu ženklu !!!

6 pavyzdys:

Nuspręskite lygtį

Atsakymas:

7 pavyzdys:

Nuspręskite lygtį

Oi! Numerio kvadratas negali būti neigiamas, o tai reiškia lygtį

nėra šaknų!

Dėl tokių lygčių, kuriose nėra šaknų, matematika atvedė su specialia piktograma - (tuščia rinkinys). Ir atsakymas gali būti parašytas kaip:

Atsakymas:

Taigi ši kvadratinė lygtis turi dvi šaknis. Čia nėra jokių apribojimų, nes nenaudojome šaknų.
8 pavyzdys:

Nuspręskite lygtį

Aš apibendrinsiu skliaustelius:

Šiuo būdu,

Ši lygtis turi dvi šaknis.

Atsakymas:

Lengviausias neišsamių kvadratinių lygčių tipas (nors jie visi yra paprasti, tiesa?). Akivaizdu, kad ši lygtis visada turi tik vieną šaknį:

Čia mes darysime be pavyzdžių.

Visų kvadratinių lygčių sprendimas

Mes jums priminti, kad visa kvadratinė lygtis yra lygties lygtis, kur

Visų kvadratinių lygčių sprendimas yra šiek tiek sudėtingesnis (labai šiek tiek) nei pirmiau.

Prisiminti, bet kokia kvadratinė lygtis gali būti išspręsta diskriminuojant! Net neišsami.

Likusieji būdai padės tai padaryti greičiau, bet jei turite problemų su kvadratinėmis lygtimis, pradėti, sprendimas vadinamas diskriminuojančiu pagalba.

1. Kvadratinių lygčių sprendimas su diskriminant.

Kvadratinių lygčių sprendimas yra labai paprastas, pagrindinis dalykas yra prisiminti veiksmų seką ir pora formules.

Jei lygtis turi ypatingą dėmesį į žingsnį. Diskriminant () nurodo mus apie lygties šaknų skaičių.

• Jei, formulė yra sumažinta iki. Taigi lygtis turės visą šaknį.
• Jei, mes negalėsime išgauti šaknų nuo diskriminano. Tai rodo, kad lygtis neturi šaknų.

Grįžkime prie mūsų lygčių ir apsvarstykite keletą pavyzdžių.

9 pavyzdys:

Nuspręskite lygtį

1 žingsnis Mes praleidžiame.

2 žingsnis.

Mes randame diskriminant:

Taigi lygtis turi dvi šaknis.

3 žingsnis.

Atsakymas:

10 pavyzdys:

Nuspręskite lygtį

Lygtis pateikiama standartine forma, taigi 1 žingsnis Mes praleidžiame.

2 žingsnis.

Mes randame diskriminant:

Taigi lygtis turi vieną šaknį.

Atsakymas:

11 pavyzdys:

Nuspręskite lygtį

Lygtis pateikiama standartine forma, taigi 1 žingsnis Mes praleidžiame.

2 žingsnis.

Mes randame diskriminant:

Jis negalės išgauti šaknų nuo diskriminant. Lygties šaknys nėra.

Dabar mes žinome, kaip rašyti tokius atsakymus teisingai.

Atsakymas:Nėra šaknų

2. Sprendimas kvadratinių lygčių naudojant Vieta teorem.

Jei prisimenate, tai yra tokia lygčių, kurios yra vadinamos pateikiamos (kai koeficientas yra lygus):

Tokios lygtys yra labai lengva išspręsti naudojant Vieta teoremą:

Šaknų suma nurodyta Kvadratinė lygtis yra lygi, o šaknų produktas yra lygus.

12 pavyzdys:

Nuspręskite lygtį

Ši lygtis tinka sprendžiant Vieta teoremą, nes .

I lygties šaknų suma yra lygi, t. Y. Mes gauname pirmąją lygtį:

Ir darbas yra:

Mes taip pat nuspręsime apie sistemą:

• ir. Suma yra lygi;
• ir. Suma yra lygi;
• ir. Suma yra lygi.

ir yra sistemos sprendimas:

Atsakymas: ; .

13 pavyzdys:

Nuspręskite lygtį

Atsakymas:

14 pavyzdys:

Nuspręskite lygtį

Pateikiama lygtis, todėl:

Atsakymas:

Kvadratinės lygtys. Vidutinis lygis

Kas yra kvadratinė lygtis?

Kitaip tariant, kvadratinė lygtis yra rūšies lygtis, kurioje nežinoma yra kai kurie numeriai, ir.

Numeris vadinamas vyresniuoju arba pirmasis koeficientas Kvadratinė lygtis - antrasis koeficientas, bet - nEMOKAMAS narys.

Kodėl? Nes jei lygtis nedelsiant tampa linijine, nes išnyksta.

Tuo pačiu metu ir gali būti nulis. Šioje kėdėje lygtis vadinama neišsami. Jei visi komponentai yra vietoje, tai yra, lygtis baigta.

Įvairių rūšių kvadratinių lygčių sprendimai

Neišsamių kvadratinių lygčių sprendimo būdai:

Norėdami pradėti, mes analizuosime neišsamių kvadratinių lygčių sprendimų metodus - jie yra lengviau.

Galite pasirinkti tokių lygčių tipą:

I. Šioje lygtyje, koeficientas ir laisvas narys yra lygūs.

Ii. Šioje lygtyje koeficientas yra lygus.

III. Šioje lygtyje laisvas narys yra lygus.

Dabar apsvarstykite kiekvieno iš šių potipių sprendimą.

Akivaizdu, kad ši lygtis visada turi tik vieną šaknį:

Į aikštę pastatytas skaičius negali būti neigiamas, nes su dviem neigiamais ar dviem teigiamais skaičiais, rezultatas visada bus teigiamas skaičius. Todėl:

jei lygtis neturi sprendimų;

jei išmokome dvi šaknis

Šios formulės nereikia įsiminti. Svarbiausia prisiminti, kad jis gali būti ne mažesnis.

Pavyzdžiai:

Sprendimai:

Atsakymas:

Niekada nepamirškite apie šaknis su neigiamu ženklu!

Numerio kvadratas negali būti neigiamas, o tai reiškia lygtį

nėra šaknų.

Trumpai įrašyti, kad užduotis neturi sprendimų, naudokite tuščią rinkinio piktogramą.

Atsakymas:

Taigi, ši lygtis turi dvi šaknis: ir.

Atsakymas:

Apibendrinsiu skliaustų gamyklą:

Produktas yra nulis, jei bent vienas iš daugiklio yra nulis. Tai reiškia, kad lygtis turi sprendimą, kai:

Taigi, ši kvadratinė lygtis turi dvi šaknis: ir.

Pavyzdys:

Nuspręskite lygtį.

Sprendimas:

Skleiskite kairę gamyklos lygtį ir suraskite šaknis:

Atsakymas:

Visų kvadratinių lygčių sprendimo būdai:

1. Diskriminant

Skirtingų lygčių sprendimas tokiu būdu paprasta, svarbiausia yra prisiminti veiksmų seką ir pora formules. Atminkite, bet kokia kvadratinė lygtis gali būti išspręsta su diskriminant! Net neišsami.

Ar pastebėjote šaknų šaknį šaknų formulėje? Tačiau diskriminant gali būti neigiama. Ką daryti? Turime atkreipti ypatingą dėmesį į 2 žingsnį. Diskriminieriai nurodo mus dėl lygties šaknų skaičiaus.

• Jei lygtis turi šaknį:
• Jei lygtis turi tą pačią šaknį ir iš tiesų, viena šaknis:

  Tokios šaknys yra vadinamos dvigubai.

• Jei diskriminano šaknis nepašalinama. Tai rodo, kad lygtis neturi šaknų.

Kodėl galima skirtingą šaknų skaičių? Pasukite į geometrinę kvadratinio lygties prasmę. Funkcijos grafikas yra parabola:

Tam tikru atveju, kuris yra kvadratinė lygtis. Tai reiškia, kad kvadratinės lygties šaknys yra sankirtos taškai su abscisos ašimi (ašimi). Parabola negali kirsti ašies arba kirsti jį į vieną (kai parabolos viršuje yra ant ašies) arba du taškus.

Be to, koeficientas yra atsakingas už parabolos šakų kryptį. Jei parabolos šakos yra nukreiptos į viršų, ir jei jis yra žemyn.

Pavyzdžiai:

Sprendimai:

Atsakymas:

Atsakymas:.

Atsakymas:

Taigi, nėra sprendimų.

Atsakymas:.

2. Vieta teorema

Vieta teorema yra labai paprasta naudoti: jūs tiesiog reikia pasiimti tokį skaičių skaičių, kurio produktas yra lygus laisvam nariui lygties, ir suma yra antrasis koeficientas, priimtas su priešingu ženklu.

Svarbu prisiminti, kad Vietos teorema gali būti naudojama tik sumažintos kvadratinės lygtys ().

Apsvarstykite keletą pavyzdžių:

1 pavyzdys:

Nuspręskite lygtį.

Sprendimas:

Ši lygtis tinka sprendžiant Vieta teoremą, nes . Likusios koeficientai:; .

Iš lygties šaknų suma yra:

Ir darbas yra:

Pasirinksime tokias numerių poras, kurių produktas yra lygus ir patikrinkite, ar jų suma yra lygi:

• ir. Suma yra lygi;
• ir. Suma yra lygi;
• ir. Suma yra lygi.

ir yra sistemos sprendimas:

Taigi, mūsų lygties šaknys.

Atsakymas:; .

2 pavyzdys:

Sprendimas:

Atrinksime tokias darbo poras, kurios pateiktos darbe, ir patikrinkite, ar jų suma yra lygi:

ir: jie davė.

ir: jie davė. Norėdami gauti pakankamai, kad pakeistumėte tariamų šaknų požymius: ir, nes darbas.

Atsakymas:

3 pavyzdys:

Sprendimas:

Laisvas lygties narys yra neigiamas, o tai reiškia šaknų produktą - neigiamą skaičių. Tai įmanoma tik tada, kai viena iš šaknų yra neigiama, o kitas yra teigiamas. Todėl šaknų kiekis yra lygus jų modulių skirtumai.

Atrinksime tokias darbo vietų poras, kurios yra pateiktos darbe, o jų skirtumas yra lygus:

ir: jų skirtumas yra lygus - netinka;

ir: - netinka;

ir: - netinka;

ir: - Tinka. Jis lieka tik prisiminti, kad viena iš šaknų yra neigiama. Kadangi jų suma turėtų būti lygi, tada neigiamas turėtų būti mažesnis šaknų modulis :. Patikrinti:

Atsakymas:

4 pavyzdys:

Nuspręskite lygtį.

Sprendimas:

Pateikiama lygtis, todėl:

Laisvas narys yra neigiamas, todėl šaknų produktas yra neigiamas. Ir tai įmanoma tik tada, kai viena šaknis lygtis yra neigiama, o kitas yra teigiamas.

Mes pasirinksime tokias numerių poras, kurių produktas yra lygus, o tada mes apibrėžiame, kurios šaknys turėtų turėti neigiamą ženklą:

Akivaizdu, kad tik šaknys yra tinkamos pirmai sąlygai ir:

Atsakymas:

5 pavyzdys:

Nuspręskite lygtį.

Sprendimas:

Pateikiama lygtis, todėl:

Šaknų kiekis yra neigiamas, o tai reiškia, kad bent viena iš šaknų yra neigiama. Bet kadangi jų darbas yra teigiamas, tai reiškia abu šaknis su minuso ženklu.

Mes pasirinksime tokias numerių poras, kurių produktas yra:

Akivaizdu, kad šaknys yra numeriai ir.

Atsakymas:

Sutinku, tai yra labai patogu - išradinėti šaknis žodžiu, o ne apsvarstyti šią bjaurus diskriminant. Pabandykite naudoti Vietos teoriją kiek įmanoma.

Tačiau Vieta teorema reikalinga siekiant palengvinti ir paspartinti šaknų išvadą. Norėdami padėti jums jį naudoti, turite imtis veiksmų automatizmui. Ir už tai, šmeižto daugiau kulnų pavyzdžių. Bet ne skalavimas: diskriminant negalima naudoti! Tik Vietos teorema:

Užduočių sprendimai savarankiškam darbui:

Užduotis 1. ((x) ^ (2)) - 8x + 12 \u003d 0

Vieta teorema:

Kaip įprasta, mes pradedame darbo pasirinkimą:

Netelpa, nes suma;

: Suma - tai, ko jums reikia.

Atsakymas:; .

2 užduotis.

Ir vėl, mūsų mėgstamiausia Vieta teorema: sumoje turėtų pasirodyti, o darbas yra lygus.

Bet kadangi jis neturėtų būti, bet pakeiskite šaknų požymius: ir (sumoje).

Atsakymas:; .

3 užduotis.

Hmm ... ir kur kas?

Būtina perkelti visas sąlygas vienoje dalyje:

Šaknų kiekis yra lygus, darbas.

Taigi, sustabdykite! Lygtis nėra pateikta. Tačiau Vieta teorema yra taikoma tik pirmiau minėtose lygtyse. Taigi pirmiausia turite pareikšti lygtį. Jei neveikia, išmeskite šią idėją ir nuspręskite kitaip (pavyzdžiui, diskriminant). Leiskite jums priminti, kad atneša kvadratinę lygtį - tai reiškia, kad vyresnysis koeficientas būtų:

Puikus. Tada šaknų kiekis yra lygus ir darbas.

Čia lengviau pasiimti paprastą: galų gale paprastas numeris (atsiprašau dėl tautologijos).

Atsakymas:; .

4 užduotis.

Nemokamas narys yra neigiamas. Kas ypatinga tai? Ir tai, kad šaknys bus skirtingi ženklai. Ir dabar atrankos metu mes nekontroliuojame šaknų kiekio, tačiau skirtumas tarp jų modulių: šis skirtumas yra lygus ir darbas.

Taigi, šaknys yra lygios ir, bet viena iš jų su minusu. Vieta teorema mums sako, kad šaknų kiekis yra lygus antrajam koeficientui su priešingu ženklu, tai yra. Taigi minus bus mažesnėje šaknyse: ir nuo to laiko.

Atsakymas:; .

5 užduotis.

Ką reikia padaryti pirmiausia? Teisė, pareikšti lygtį:

Vėlgi: mes pasirenkame skaičiaus daugiklius ir jų skirtumas turėtų būti lygus:

Šaknys yra lygios ir, bet vienas iš jų su minusu. Ką? Jų suma turėtų būti lygi, tai reiškia, kad minus bus didesnis.

Atsakymas:; .

Aš apibendrinsiu:

1. Vieta teorema naudojama tik tam tikrose kvadratinėse lygtyse.
2. Naudojant Vieta teoremą galite rasti šaknų pasirinkimu, žodžiu.
3. Jei lygtis nėra pateikta arba nėra tinkamos poros daugiklių nemokamo nario, o tai reiškia, kad nėra visos šaknys, ir būtina išspręsti kitą metodą (pavyzdžiui, diskriminant).

3. Viso kvadrato paskirstymo metodas

Jei visos sąlygos, kurias sudaro nežinoma, pristatyti sutrumpintos sumos sumos ar skirtumo sumos komponentų forma, tada pakeitus kintamuosius, gali būti atstovaujama lygtis. .

Pavyzdžiui:

1 pavyzdys:

Nuspręskite lygtį :.

Sprendimas:

Atsakymas:

2 pavyzdys:

Nuspręskite lygtį :.

Sprendimas:

Atsakymas:

Apskritai, transformacija atrodys taip:

Tai reiškia :.

Nieko primena? Tai yra diskriminant! Tai yra diskriminano formulė ir gavo.

Kvadratinės lygtys. Trumpai apie pagrindinį dalyką

Kvadratinė lygtis- Tai yra rūšies lygtis, kur - nežinoma, - kvadratinės lygties koeficientai yra laisvas narys.

Visa kvadratinė lygtis - lygtis, kuria koeficientai nėra lygūs nuliui.

Sumažinta kvadratinė lygtis - lygtis, kurioje koeficientas yra :. \\ t

Nebaigta kvadratinė lygtis - lygtis, kurioje koeficientas ir laisvas narys yra nulis:

• jei koeficientas, lygtis yra :,
• jei laisvas narys, lygtis turi formą: \\ t
• jei lygtis turi formą :.

1. Algoritmo sprendimas neišsamių kvadratinių lygčių

1.1. Neišsamoje kvadratinės rūšies lygtis, kur:

1) išreikšti nežinomą:

2) išraiškos ženklo tikrinimas:

• jei lygtis neturi sprendimų,
• jei lygtis turi dvi šaknis.

1.2. Neišsamoje kvadratinės rūšies lygtis, kur:

1) Aš apibendrinsiu skliaustų gamyklą:

2) Produktas yra nulis, jei bent vienas iš daugiklio yra nulis. Todėl lygtis turi dvi šaknis:

1.3. Neišsamos rūšies lygybės, kur:

Ši lygtis visada turi tik vieną šaknį :.

2. Algoritmas, skirta išspręsti visas rūšies lygtis, kur

2.1. Sprendimas su diskriminuojančia pagalba

1) Mes suteikiame lygtį į standartinę formą: \\ t

2) Apskaičiuokite diskriminant pagal formulę: tai rodo lygties šaknų skaičių:

3) Raskite lygties šaknis:

• jei lygtis turi šaknį, kuri yra formulėje:
• jei lygtis turi šaknį, kuri yra pagal formulę:
• jei lygtis neturi šaknų.

2.2. Sprendimas naudojant "Vieta" teoremą

Sumažintos kvadratinės lygties šaknų sumos (formos lygtis, kur) yra lygūs, o šaknų produktas yra lygus, t. Y.. , bet.

2.3. Išspręskite visą kvadratinį paskirstymo metodą

Tiesiog. Pagal formules ir aiškiai paprastas taisykles. Pirmajame etape

būtina nurodyti lygtį, kad būtų sukurta standartinė forma, t. Y. Į galvą:

Jei lygtis pateikta šioje formoje - pirmasis etapas nereikalingas. Svarbiausia yra teisinga

nustatyti visus koeficientus bet, b. ir. \\ T c..

Kvadratinės lygties šaknų paieškos formulė.

Vadinamas išraiška po šaknies ženklu diskriminant . Kaip matote, ieškant iqua, mes

naudojant. \\ T tik a, b ir su. Tie. Koeficientai nuo. \\ T kvadratinė lygtis. Tiesiog tvarkingai pakeista

vertybės a, b ir su Šioje formulėje manome. So naughty. Ženklai!

pavyzdžiui, lygtyje:

bet =1; b. = 3; c. = -4.

Mes pakeisime vertybes ir rašome:

Pavyzdys yra praktiškai išspręstas:

Tai atsakymas.

Dažniausios klaidos - sumišimas su vertybių požymiais a, B.ir. \\ T Nuo.. Atvirkščiai, pakeičiant

neigiamos vertės šaknų skaičiavimo formulėje. Čia deponuokite išsamų formulės įrašą

su konkrečiais numeriais. Jei yra problemų su skaičiavimu, tai padaryti!

Tarkime, kad būtina išspręsti tokį pavyzdį:

Čia a. = -6; b. = -5; c. = -1

Mes aprašome viską išsamiai, kruopščiai, aš nieko nepraleisiu su visais ženklais ir skliausteliais:

Dažnai kvadratinės lygtys atrodo šiek tiek kitokios. Pavyzdžiui, kaip šis:

Ir dabar atkreipkite dėmesį į praktinius metodus, kurie žymiai sumažina klaidų skaičių.

Pirmasis priėmimas. Nebūkite tingūs anksčiau sprendžiant kvadratinę lygtį pareikšti jį į standartinę formą.

Ką tai reiškia?

Tarkime, po visų transformacijų gausite tokią lygtį:

Neskubėkite parašyti šaknų formulę! Beveik tikriausiai jūs supainiate koeficientus a, b ir s.

Teisingai sukurti pavyzdį. Pirma, X yra aikštėje, tada be kvadrato, tada nemokamai penis. Kaip šitas:

Atsikratyti minuso. Kaip? Būtina padauginti visą lygtį -1. Mes gauname:

Bet dabar galite saugiai įrašyti šaknų formulę, apsvarstyti diskriminant ir pavyzdį.

Dore save. Jūs turite turėti 2 ir -1 šaknis.

Priimkite du. Patikrinkite šaknis! Iki dalies vieta teorema.

Norėdami išspręsti išvardytas kvadratinių lygtis, t.y. Jei koeficientas

x 2 + bx + c \u003d 0,

tada x 1 x 2 \u003d c

x 1 + x 2 \u003d - -b.

Už visą kvadratinę lygtį a ≠ 1.:

x 2 +.b.x +.c.=0,

mes padaliame visą lygtį bet:

→ →

kur x 1 ir. \\ T x. 2 - šaknų lygtis.

Trečdalį. Jei jūsų lygtyje yra dalinių koeficientų, - atsikratyti frakcijų! Dominuojantis

lygtis dėl bendro vardiklio.

Išėjimas. Praktiniai patarimai:

1. Prieš sprendžiant, mes suteikiame kvadratinę lygtį į standartinę formą, statykite teisė.

2. Jei neigiamas koeficientas stovi aikštėje kvadratiniame kvadrate, pašalinkite jį su dauginimu

lygtys -1.

3. Jei daliniai koeficientai panaikina frakciją, padauginus visą lygtį atitinkamai

veiksnys.

4. Jei X yra kvadratas - švarus, koeficientas yra lygus vienai, tirpalas gali būti lengvai patikrintas

Kvadratinės lygtys yra tiriamos 8 klasėje, todėl čia nėra nieko sunku. Gebėjimas juos išspręsti yra absoliučiai būtina.

Kvadratinė lygtis yra formos AX 2 + BX + C \u003d 0 lygtis, kai koeficientai A, B ir C yra savavališki skaičiai, ir a ≠ 0.

Prieš mokydamiesi konkrečių sprendimų metodų, atkreipiame dėmesį, kad visos kvadratinės lygtys gali būti suskirstytos į tris klases:

1. Neturi šaknų;
2. Turėti tiksliai vieną šaknį;
3. Turėti dvi skirtingas šaknis.

Tai yra svarbus skirtumas tarp kvadratinių lygčių iš linijinių, kur šaknis visada egzistuoja ir yra unikalus. Kaip nustatyti, kiek šaknų turi lygtį? Dėl to yra nuostabus dalykas - diskriminant.

Diskriminant

Leiskite kvadratinės lygties AX 2 + BX + C \u003d 0. Tada diskriminant yra tik numeris D \u003d B 2 - 4AC.

Ši formulė turi būti žinoma pagal širdį. Kur ji trunka - dabar nesvarbu. Kita Svarbu: diskriminuojantis ženklas gali būti nustatomas, kiek šaknų turi kvadratinę lygtį. Būtent:

1. Jei D.< 0, корней нет;
2. Jei d \u003d 0, yra tiksliai vienas šaknis;
3. Jei d\u003e 0, bus dvi šaknys.

Atkreipkite dėmesį: diskriminant rodo šaknų skaičių, o ne visai jų ženkluose, kaip dėl kokių nors priežasčių, daugelis apsvarsto. Pažvelkite į pavyzdžius - ir jūs suprasite viską:

Užduotis. Kiek šaknų yra kvadratinių lygčių:

1. x 2 - 8x + 12 \u003d 0;
2. 5x 2 + 3x + 7 \u003d 0;
3. x 2 - 6x + 9 \u003d 0.

Mes atstumome pirmosios lygties koeficientus ir rasti diskriminant:
a \u003d 1, b \u003d -8, c \u003d 12;
D \u003d (-8) 2 - 4 · 1 · 12 \u003d 64 - 48 \u003d 16

Taigi, diskriminant yra teigiamas, todėl lygtis turi dvi skirtingas šaknis. Panašiai išardyti antrąją lygtį:
a \u003d 5; B \u003d 3; C \u003d 7;
D \u003d 3 2 - 4 · 5 · 7 \u003d 9 - 140 \u003d -131.

Diskriminieriai yra neigiama, nėra šaknų. Paskutinė lygtis išlieka:
a \u003d 1; B \u003d -6; C \u003d 9;
D \u003d (-6) 2 - 4 · 1 · 9 \u003d 36 - 36 \u003d 0.

Diskriminant yra nulis - šaknis bus vienas.

Atkreipkite dėmesį, kad kiekvienai lygtinai koeficientai buvo įvykdyti. Taip, tai ilgas laikas, taip, tai yra nuobodus - bet jūs nesupainiate koeficientų ir neleiskite kvailiems klaidų. Pasirinkite save: greitį ar kokybę.

Beje, jei jūs "užpildysite ranką", po kurio laiko nebereikia parašyti visų koeficientų. Tokios operacijos, kurias bus atliktas jūsų galva. Dauguma žmonių pradeda tai padaryti kažkur po 50-70 išsprestų lygčių - apskritai, ne tiek daug.

Šaknų aikštės lygtis

Dabar mes iš tikrųjų kreipiamės į sprendimą. Jei diskriminant D\u003e 0, šaknys galima rasti formulėse:

Pagrindinė kvadratinių lygčių šaknų formulė

Kai D \u003d 0, galite naudoti bet kurią iš šių formulių - tai bus tas pats numeris, kuris bus atsakymas. Galiausiai, jei d< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 - 2x - 3 \u003d 0;
2. 15 - 2x - x 2 \u003d 0;
3. x 2 + 12x + 36 \u003d 0.

Pirmoji lygtis:
x 2 - 2x - 3 \u003d 0 ⇒ a \u003d 1; B \u003d -2; C \u003d -3;
D \u003d (-2) 2 - 4 · 1 · (-3) \u003d 16.

D\u003e 0 ⇒ lygtis turi dvi šaknis. Surask juos:

Antroji lygtis:
15 - 2x - x 2 \u003d 0 ⇒ a \u003d -1; B \u003d -2; C \u003d 15;
D \u003d (-2) 2 - 4 · (-1) · 15 \u003d 64.

D\u003e 0 ⇒ lygtis vėl turi dvi šaknis. Mes juos randame

[pradžia (sulygiu) ir ((x) _ (1)) \u003d \\ t frac (2+ (2+) (64)) (2 cdot į kairę (-1 į dešinę)) \u003d - 5; ir (x) _ (2)) \u003d frac (2- \\ t (64)) (2 cdot į kairę (-1 į dešinę)) \u003d 3. Pabaiga (lygi) \\ t

Galiausiai trečioji lygtis:
x 2 + 12x + 36 \u003d 0 ⇒ a \u003d 1; B \u003d 12; C \u003d 36;
D \u003d 12 2 - 4 · 1 · 36 \u003d 0.

D \u003d 0 ⇒ lygtis turi vieną šaknį. Galite naudoti bet kokią formulę. Pavyzdžiui, pirmasis:

Kaip matyti iš pavyzdžių, viskas yra labai paprasta. Jei žinote formulę ir galėsite apsvarstyti, nebus jokių problemų. Dažniausiai klaidos atsiranda pakeitimo metu neigiamų koeficientų formulėje. Čia vėl, pirmiau aprašytas priėmimas padės: pažvelgti į formulę tiesiogine prasme, dažykite kiekvieną žingsnį - ir labai greitai atsikratyti klaidų.

Nebaigtos kvadratinės lygtys

Taip atsitinka, kad kvadratinė lygtis yra šiek tiek skiriasi nuo apibrėžime. Pavyzdžiui:

1. x 2 + 9x \u003d 0;
2. x 2 - 16 \u003d 0.

Tai lengva pamatyti, kad šiose lygtys nėra jokių terminų. Tokios kvadratinės lygtys yra net lengviau nei standartai: jie net nereikia atsižvelgti į diskriminant. Taigi, pristatome naują koncepciją:

AX 2 + BX + C \u003d 0 lygtis vadinama neišsamia kvadratine lygtimi, jei b \u003d 0 arba c \u003d 0, i.e. Koeficientas su kintamu x arba laisvas elementas yra nulis.

Žinoma, visiškai sudėtingas atvejis yra įmanoma, kai abu šie koeficientai yra nulis: b \u003d c \u003d 0. Šiuo atveju lygtis užima formą AX 2 \u003d 0. Akivaizdu, kad tokia lygtis turi vieną šaknį: x \u003d 0 .

Apsvarstykite likusius atvejus. Leiskite b \u003d 0 būti 0, tada mes gauname neišsamią lygtinę formos kirvį 2 + c \u003d 0. Mes šiek tiek konvertuojame:

Kadangi aritmetinis kvadratinė šaknis egzistuoja tik nuo ne neigiamo skaičiaus, pastaroji lygybė yra prasminga tik esant (-C / a) ≥ 0. Išvada:

1. Jei neužbaigta kvadratinių lygčių formos AX 2 + C \u003d 0, nelygybė (-C / A) atliekama ≥ 0, bus dvi šaknys. Formulė pateikiama pirmiau;
2. Jei (-C / a)< 0, корней нет.

Kaip matote, diskriminant nereikėjo - neišsamių kvadratinių lygčių nėra sudėtingų kompiuterių. Tiesą sakant, net nebūtina prisiminti nelygybę (-C / a) ≥ 0. Pakanka išreikšti x 2 vertę ir pamatyti, kas stovi kitoje lygybės ženklo pusėje. Jei yra teigiamas skaičius - šaknys bus du. Jei neigiama - šaknys nebus.

Dabar mes suprasime su formos AX 2 + BX \u003d 0 lygtimis, kuriuose laisvas elementas yra nulis. Viskas yra paprasta čia: šaknys visada bus du. Pakanka suskaidyti polinomo į daugiklius:

"Subliks" daugiklis

Darbas yra nulis, kai bent vienas iš daugiklio yra nulis. Iš čia yra šaknys. Apibendrinant, mes analizuosime keletą tokių lygčių:

Užduotis. Kvadratinės kvadratinės lygtys:

1. x 2 - 7x \u003d 0;
2. 5x 2 + 30 \u003d 0;
3. 4x 2 - 9 \u003d 0.

x 2 - 7x \u003d 0 ⇒ x · (x - 7) \u003d 0 ⇒ x 1 \u003d 0; x 2 \u003d - (- 7) / 1 \u003d 7.

5x 2 + 30 \u003d 0 ⇒ 5x 2 \u003d -30 ⇒ x 2 \u003d -6. Nėra šaknų, nes Kvadratas negali būti lygus neigiamam skaičiui.

4x 2 - 9 \u003d 0 ⇒ 4x 2 \u003d 9 ⇒ x 2 \u003d 9/4 ⇒ x 1 \u003d 3/2 \u003d 1.5; x 2 \u003d -1,5.