Pateikiamas monotoniškos sekos ribos teoremo įrodymas. Aptariami ribotų ir neribotų sekų atvejai. Pavyzdys, kuriame būtina, taikant Weierstrass teoremą, įrodyti sekos konvergenciją ir rasti jo ribą.

Bet kokia monotoninė ribota seka (x n) Ji turi ribotą ribą, lygią tiksliam gana ribai, sUP (x n) Už neparduodamą ir tikslią apatinę ribą, \\ t iNF (x n) Už ne šaudymo seką.
Bet kokia monotoninė neribota seka turi begalinę ribą, lygią "Infinity Plus", nesuderinamam ir atėmus begalybę, nesilaiko sekos.

Įrodymai

1) beprasmiška ribota seka.

(1.1) .

Kadangi seka yra ribota, ji turi tikslią viršutinę ribą
.
Tai reiškia kad:

• visiems n,
  (1.2) ;
• 
  (1.3) .

.
Čia mes taip pat naudojome (1.3). Derinant su (1.2), mes randame:
ne.
Nuo to laiko
,
arba. \\ T
ne.
Įrodyta pirmoji teorijos dalis.

2) Dabar leiskite sekai yra nelaimingos ribotos sekos:
(2.1) Visiems n.

Kadangi seka yra ribota, ji turi tikslią apatinę ribą
.
Tai reiškia:

• visiems N, nelygybė:
  (2.2) ;
• dėl bet kokio teigiamo numerio yra numeris, priklausomai nuo ε, už kurį
  (2.3) .

.
Čia mes taip pat naudojome (2.3). Atsižvelgiant į (2.2), mes randame:
ne.
Nuo to laiko
,
arba. \\ T
ne.
Tai reiškia, kad numeris yra sekos riba.
Įrodyta antroji teorijos dalis.

Dabar apsvarstykite neribotas sekas.
3) Leiskite sekai būti neribota nesuderinama seka.

Kadangi seka yra nesuderinama, nelygybė yra vykdoma visiems N:
(3.1) .

Kadangi seka yra nepastebima ir neribota, ji yra neribota dešinėje pusėje. Tada už bet kokį skaičių m, yra numeris, priklausomai nuo m, už kurį
(3.2) .

Kadangi seka yra nesuderinama, tada, kai turime:
.
Čia mes taip pat naudojome (3.2).

.
Tai reiškia, kad sekos riba yra lygi plius begalybei:
.
Įrodyta trečioji teorijos dalis.

4) Galiausiai apsvarstykite atvejį, kai yra neribota nesuvokiama seka.

Panašus į ankstesnį, nes seka yra nesinaudojama,
(4.1) Visiems n.

Kadangi seka yra nesinaudojama ir neribota, ji yra neribota kairiajame pusėje. Tada už bet kokį skaičių m, yra numeris, priklausomai nuo m, už kurį
(4.2) .

Kadangi seka negaunama, tada, kai turime:
.

Taigi, bet kokiam skaičiui m, yra natūralus skaičius, kuris priklauso nuo M, kad būtų atlikta nelygybė visiems numeriams:
.
Tai reiškia, kad sekos riba yra minus begalybė:
.
Įrodyta teorema.

Problemos sprendimo pavyzdys

Naudojant Weierstrass teorem, įrodyti sekos konvergenciją:
, , . . . , , . . .
Po to suranda savo ribą.

Įsivaizduokite seką pasikartojančių formulių pavidalu:
,
.

Mes įrodiame, kad nurodyta seka yra ribota iš viršaus
(P1) .
Įrodymas atliekame matematinio indukcijos metodą.
.
Leisti būti . Tada
.
Įrodyta nelygybė (P1).

Įrodyti, kad seka monotoniškai padidėja.
;
(P2) .
Nes, frakcijos vardiklis ir pirmasis skaitiklio veiksnys yra teigiamas. Dėl ribotų narių nelygybės (P1), antrasis veiksnys taip pat yra teigiamas. todėl
.
Tai yra, seka yra griežtai didėja.

Kadangi seka padidėja ir yra ribota iš viršaus, tai yra ribota seka. Todėl Weierstrass teorem, ji turi ribą.

Mes surasime šią ribą. Pažymėkite jį per a:
.
Mes naudojame tai, kad
.
Taikykite tai (P2) naudojant konvergencinių sekų ribų aritmetines savybes:
.
Sąlyga tenkina šaknį.

Apibrėžimas1. Seka mažėjantis. \\ t (ne galvos ) jei visiems
atlikta nelygybė
.

Apibrėžimas2. Seka
vadinamas didėja (neteisėtas ) jei visiems
atlikta nelygybė
.

Apibrėžimas3. Mažėjant, nesilaikant, didėjančios ir nepastebimos sekos yra vadinamos monotoniškas taip pat vadinami sekos, mažėjančios ir didėjančios sekos griežtai monotoniškas sekos.

Akivaizdu, kad nesumažinama seka yra ribota žemiau, nesilaikoma seka yra ribota iš viršaus. Todėl bet kokia monotoninė seka yra akivaizdžiai ribota, viena vertus.

Pavyzdys1. Seka
didėja
mažinti
nekyla
- ne monotoninė seka.

Monotoninėms sekoms svarbus vaidmuo Spektakliai. \\ T

Teorema1. Jei nesilaikymas (nesilaikymo) seka yra ribota nuo aukščiau (apačios), ji konverdo.

Įrodymai. Leiskite sekai
nesumažėja ir yra ribotas iš viršaus, t. Y.
ir daug
ribotas iš viršaus. 1 straipsnio 2 dalis yra
. Mes tai įrodome
.

Paimkite
savavališkai. Tiek, kiek. \\ T bet- tiksli viršutinė riba, yra numeris N. toks toks dalykas
. Kadangi seka yra nesuderinama, tada visiems
mes turime, i.e.
, SO.
visiems
ir tai reiškia, kad
.

Nesilaikant sekos, apribota iki apačios, įrodymas atliekamas panašiai ( studentai gali įrodyti šį pareiškimą namuose). Įrodyta teorema.

Komentaras. 1 teorija gali būti suformuluota kitaip.

Teorema2. Norint, kad monotoninė seka susilieja, būtina ir pakankamai apriboti.

Pakankamumas yra įsisteigęs 1 teorijoje, poreikis - 2 § 5.

Monotonijos būklė nėra būtina sekos konvergencijai, nes susilieja seka nebūtinai monotonne. Pavyzdžiui, seka
ne monotoniškas, bet konvertuojasi į nulį.

Pasekmė. Jei seka
padidėja (mažėja) ir yra ribotas iš viršaus (apačios), tada
(
).

Iš tiesų, pagal teoREM 1
(
).

Apibrėžimas4. IF
dėl
, tada seka Įtvirtintų segmentų sugriežtinimo sistema .

Teorema3 (įdėtų segmentų principas). Bet kokia įtempto segmentų sistema egzistuoja ir be to, vienintelis taškas nuo.priklauso visiems šios sistemos segmentams.

Įrodymai. Mes tai įrodome nuo.egzistuoja. Tiek, kiek. \\ T
T.
ir todėl seka
nesumažėja ir seka
nepadidina. Kur. \\ T
ir. \\ T
ribotas, nes. Tada 1 teorija egzistuoja
ir. \\ T
, bet nuo
T.
=
. Rasta nuo.priklauso visiems sistemos segmentams, nuo 1 teoremo tyrimo
,
.
visoms vertybėms n..

Rodyti dabar, kad taškas nuo.- vienintelė. Tarkime, kad du taškai yra du: nuo.ir. \\ T d.ir net tikrumo
. Tada supjaustyti
priklauso visiems segmentams
.
visiems n.tai neįmanoma, nes
ir tai reiškia, pradedant nuo tam tikro skaičiaus,
. Įrodyta teorema.

Atkreipkite dėmesį, kad būtina apsvarstyti uždaras spragas, t. Y. Segmentai. Jei manome, kad sugriežtintos intervalai sistema, tada principas, apskritai, yra neteisingas. Pavyzdžiui, intervalai
akivaizdžiai sugriežtintas iki taško
, tačiau taškas
jis nepriklauso jokiam šios sistemos intervalui.

Apsvarstykite dabar sujungimo monotono sekų pavyzdžiai.

1) NUMBER e..

Apsvarstykite dabar seką
. Kaip ji elgiasi? Bazė

laipsnis
, SO.
? \\ T Iš kitos pusės,
, bet
, SO.
? \\ T Ar riba neegzistuoja?

Jei norite atsakyti į šiuos klausimus, apsvarstykite pagalbinę seką
. Mes įrodome, kad jis sumažėja ir yra ribotas žemiau. Tuo pačiu metu mums reikės

Lemma.. Jeigu
Tada už visas natūralias vertybes n.turėti

(Bernoulli nelygybė).

Įrodymai. Mes naudojame matematinio indukcijos metodą.

Jeigu
T.
. Nelygybė yra teisinga.

Tarkime, kad tai tiesa
ir įrodyti savo teisingumą
+1.

Teisė
. Padauginkite šią nelygybę
:

Šiuo būdu, . Taigi, atsižvelgiant į matematinio indukcijos principą, Bernoulli nelygybė yra teisinga visoms gamtinėms vertybėms. n.. Lemma yra įrodyta.

Mes parodome, kad seka
sumažėja. Turėti

| Bernoulli nelygybė |
ir tai reiškia, kad seka
sumažėja.

Toliau nuo nelygybės apribojimas
| Bernoulli nelygybė |
dėl visų gamtinių vertybių n..

Egzistuoja 1 teorema
tai, kas yra pažymėta raide e.. todėl
.

Skaičius e.neracionalus ir transcendentinis e.\u003d 2,718281828 .... Jis yra žinomas, natūralių logaritmų pagrindas.

Pastabos. 1) "Bernoulli" nelygybė gali būti naudojama įrodinėjimui
dėl
. Iš tiesų, jei
T.
. Tada Bernoulli nelygybė,
. Taigi sluoksnis
turėti
, t.y
dėl
.

2) pirmiau pateiktame pavyzdyje, laipsnio pagrindas linkęs 1, bet laipsnio rodiklis n.- K. , tai yra, yra rūšių neapibrėžtumas . Tokio pobūdžio netikrumas, kaip parodėme, yra atskleista naudojant nuostabią ribą.
.

2)
(*)

Įrodyti, kad ši seka konvertuojasi. Norėdami tai padaryti, mes parodome, kad jis yra ribotas iš apačios ir didėja. Tuo pačiu metu mes naudojame nelygybę
visiems
tai yra nelygybės pasekmė
.

Turėti
cm. daugiau nelygybė
. Seka yra tik skaičiaus apačioje.
.

Toliau,
 taip

. Seka didėja.

Egzistuoja 1 teorema
kuris yra pažymėtas. h.. Praeiti į lygybę (*) iki ribos
, gauti

.
Nuo!
(Mes priimame pliuso ženklą, nes visi sekos nariai yra teigiami).

Sekite seka (*) taikoma apskaičiuojant
maždaug. Per paimkite bet kokį teigiamą skaičių. Pavyzdžiui, mes rasime
. Leisti būti
. Tada
. Šiuo būdu,
.

3)
.

Turėti
. Tiek, kiek. \\ T
dėl
, Yra numeris N., taip, kad visiems
atlikta nelygybė
. Taigi seka
pradedant nuo tam tikro skaičiaus N., mažėja ir yra ribotas žemiau, nes nuo
visoms vertybėms n.. Taigi, 1 teorema egzistuoja
. Tiek, kiek. \\ T
, turi
.

Taigi,
.

4)
, Dešinėje - n. šaknys.

Matematinio indukcijos metodas
visoms vertybėms n.. Turėti
. Leisti būti
. Tada mes gauname pareiškimą dėl matematinio indukcijos principo. Naudojant šį faktą, mes randame, i.e. seka
padidėja ir ribota iš viršaus. Todėl egzistuoja, nes.
.

Šiuo būdu,
.