Figūros ribotų linijų apimtis. Pamoka "Sukimosi įstaigų apimties apskaičiavimas naudojant konkretų integralą

Be to rasti plokščios figūros sritį su konkrečiu neatsiejama (žr. 7.2.3.)svarbiausia tema tema yra sukimosi tūrio apskaičiavimas. Medžiaga yra paprasta, tačiau skaitytojas turi būti paruoštas: turite sugebėti išspręsti neaiškūs integralaividurinis sudėtingumas ir "Newton-Leibnic" formulė specifinis neatsiejamas, ntaip pat galėtų taip pat pasitikėti brėžiniais įgūdžiais. Apskritai, integruotame skaičiavimuose, daug įdomių programų, su konkrečiu neatskiriama, galite apskaičiuoti figūros plotą, sukimosi kūno tūrį, lanko ilgį, paviršiaus plotą Kūnas ir daug daugiau. Įsivaizduokite, kad koordinačių plokštumoje yra šiek tiek plokščios. Pateikta? ... Dabar šis skaičius taip pat gali būti pasukamas ir sukasi dviem būdais:

- aplink abscisos ašį ;

- aplink ordinato ašį .

Mes analizuosime abi atvejus. Antrasis rotacijos būdas yra ypač įdomus, jis sukelia didžiausius sunkumus, tačiau iš tikrųjų sprendimas yra beveik toks pat, kaip ir labiau paplitęs rotacijos aplink abscisos ašį. Pradėkime nuo populiariausių sukimosi įvairovės.

Kūno tūrio skaičiavimas, sudarytas sukant plokščią formą aplink ašį JAUTIS.

1 pavyzdys.

Apskaičiuokite kūno kiekį, gaunamą sukant formą, ribotas linijas aplink ašį.

Sprendimas:Kaip ir rasti teritoriją, sprendimas prasideda nuo plokščios figūros brėžinio. Tai yra plokštumoje XOY. Būtina statyti figūrą ribotas linijas, ir nepamirškite, kad lygtis nustato ašį. Brėžinys čia yra gana paprastas:

Norimas plokščias skaičius yra tamsesnis mėlyna, ji yra ji, kuri sukasi aplink ašį. Kaip sukimosi rezultatas, toks nedidelis kiaušinių formos plaukiojimas plokštelė su dviem aštriais viršūnių ant ašies JAUTIS., simetriškas apie ašį JAUTIS.. Tiesą sakant, kūnas turi matematinį pavadinimą, žiūri į katalogą.

Kaip apskaičiuoti sukimosi kūno tūrį? Jei kūnas yra suformuotas kaip sukimosi aplink ašįJAUTIS.Jo psichiškai suskirstytas į lygiagretus mažo storio sluoksnius dX.kurie yra statmenai ašiai JAUTIS.. Viso kūno apimtis akivaizdžiai yra tokių elementarių sluoksnių tūrio suma. Kiekvienas sluoksnis, kaip apvalios važinėjo citrina, - mažas cilindro aukštis dX. ir su pamatų spinduliu f.(x.). Tada vieno sluoksnio tūris yra pagrindinio ploto produktas π f. 2 į cilindro aukštį ( dX.) arba π ∙ f. 2 (x.)∙dX.. Viso sukimosi kūno plotas yra elementarių apimčių kiekis arba atitinkamai nustatyta integruota. Rotacijos kūno tūrį galima apskaičiuoti pagal formulę:

Kaip įdėti integracijos ribas "A" ir "būti", lengva atspėti iš piešinio. Funkcija ... Kas yra ši funkcija? Pažvelkime į piešinį. Plokščias skaičius apsiriboja parabolos diagrama iš viršaus. Tai yra funkcija, kuri yra skirta formulėje. Praktiniuose užduotyse, plokščias skaičius kartais gali būti žemiau ašies JAUTIS.. Tai nieko nekeičia - formulės funkcija yra pastatyta į kvadratą: f. 2 (x.), šiuo būdu, rotacijos kūno tūris visada yra ne neigiamastai yra labai logiška. Apskaičiuokite sukimosi taikymo sritį naudojant šią formulę:

Kaip jau pastebėjome, integralas beveik visada yra paprastas, pagrindinis dalykas turi būti dėmesingas.

Atsakymas:

Atsakydama, turite apibrėžti dimensiją - kubinius vienetus. Tai yra mūsų sukimosi korpuso maždaug 3,35 "kubeliai". Kodėl tai yra kubinis vienetai. \\ T? \\ T Nes tai yra universaliausia formuluotė. Kubiniai centimetrai gali būti kubiniai metrai, gali būti kubiniai kilometrai ir pan.

2 pavyzdys.

Rasti sukimosi aplink ašies kėbulo tūrį JAUTIS. Skaičiai, ribotos linijos ,,

Tai yra nepriklausomo sprendimo pavyzdys. Pilnas sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje.

3 pavyzdys.

Apskaičiuokite kūno tūrį sukimosi aplink abscisa ašį, ribotas linijas ir.

Sprendimas:Aš parodysiu plokščią figūrą brėžinyje, ribojama linijomis ,,,, nepamirštant šios lygties x. \u003d 0 nustato ašį Oy.:

Norimas skaičius yra tamsesnis mėlyna spalva. Kai jis sukasi aplink ašį JAUTIS. Jis išskiria plokščią kampinį bagelį (ploviklį su dviem kūginiais paviršiais).

Sukimosi kūno kiekis apskaičiuojamas kaip skirtumas apimtis. Pirmiausia apsvarstykite figūrą, kuri yra apvali raudona. Kai jis sukasi aplink ašį JAUTIS. Gaunamas sutrumpintas kūgis. Žymi šio sutrumpinto kūgio tūrį V. 1 .

Apsvarstykite figūrą, kuri yra apvali žalia. Jei pasukate šį skaičių aplink ašį JAUTIS., Aš taip pat turėsiu sutrumpintą kūgį, tik šiek tiek mažiau. Žymi jo tūrį V. 2 .

Akivaizdu, kad skirtumas apimtis V. = V. 1 - V. 2 - Tai mūsų "Bagelio" tūris.

Mes naudojame standartinę formulę, kaip rasti sukimosi kūno apimtį:

1) Raudona apytaka apytaka ribota nuo virš tiesios, todėl:

2) Žaliojo žvilgsnio skaičius yra ribotas iš viršaus tiesios, taip:

3) originalios sukimosi korpuso tūris:

Atsakymas:

Tai smalsu, kad šiuo atveju sprendimas gali būti tikrinamas naudojant mokyklos formulę apskaičiuoti sutrumpinto kūgio tūrį.

Pats sprendimas dažniau išdėstytas trumpai, maždaug tokioje dvasioje:

Kalbant apie užduotį rasti teritoriją, jums reikia pasitikėjimo įgūdžių statyti brėžinius - tai yra beveik svarbiausia (nes patys integralai bus lengvai lengvai). Galite įvaldyti kompetentingą ir greitą techniką statyti grafikus naudojant metodines medžiagas ir geometrines diagramos transformacijas. Bet iš tikrųjų apie brėžinių svarbą, aš ne kartą kalbėjau pamokoje.

Apskritai, integruotame skaičiavimuose yra daug įdomių programų, su konkrečiu neatsiejama, figūros dydžio, sukimosi kūno apimtis, lanko ilgio, paviršiaus plotas Apskaičiuoti rotacija ir daug daugiau. Todėl bus smagu, prašome nustatyti optimistiškai!

Įsivaizduokite, kad koordinačių plokštumoje yra šiek tiek plokščios. Pateikta? ... Įdomu, kas aš pateikiau ... \u003d)) Mes jau tai radome. Tačiau, be to, šis skaičius taip pat gali būti pasukamas ir sukasi dviem būdais:

- aplink abscisos ašį;
- aplink ordinato ašį.

Šis straipsnis bus išardomas abiem atvejais. Antrasis rotacijos būdas yra ypač įdomus, jis sukelia didžiausius sunkumus, tačiau iš tikrųjų sprendimas yra beveik toks pat, kaip ir labiau paplitęs rotacijos aplink abscisos ašį. Kaip premija, aš grįšiu užduotis rasti figūros sritįIr aš jums pasakysiu, kaip rasti sritį antrajame kelyje - palei ašį. Net tiek daug premijos, kiek medžiagos sėkmingai tinka į temą.

Pradėkime nuo populiariausių sukimosi įvairovės.

plokščios formos aplink ašį

1 pavyzdys.

Apskaičiuokite kūno kiekį, gaunamą sukant formą, ribotas linijas aplink ašį.

Sprendimas Šis sprendimas: Kaip užduotį ieškant aikštės, sprendimas prasideda nuo plokščios figūros brėžinio. Tai yra, ant plokštumos būtina statyti figūrą ribotas linijas, o ne pamiršti, kad lygtis nustato ašį. Kaip racionalus ir greitesnis atlikite brėžinį, galite sužinoti puslapiuose Pagrindinių funkcijų diagramos ir savybėsir. \\ T Tam tikras neatsiejamas. Kaip apskaičiuoti figūros plotą. Tai yra Kinijos priminimas, ir šiuo metu aš nebegaliu sustoti.

Brėžinys čia yra gana paprastas:

Pageidaujamas plokščias skaičius yra mėlynos spalvos, tai yra ji, kuri sukasi aplink ašį kaip sukimosi rezultatas, paaiškėja tokį nedidelį kiaušinio formos plaukiojančią plokštę, kuri yra simetriška su ašimi. Tiesą sakant, kūnas turi matematinį pavadinimą, bet pagal katalogų kažką pernelyg tingus patikrinti, todėl mes einame.

Kaip apskaičiuoti sukimosi kūno tūrį?

Sukimosi kūno tūrį galima apskaičiuoti pagal formulę:

Formulėje integralas būtinai yra. Tai buvo būtina - viskas, kas sukasi gyvenime yra susijęs su šiuo pastoviu.

Kaip organizuoti integracijos ribas "A" ir "būti", manau, kad tai lengva atspėti iš brėžinio.

Funkcija ... Kas yra ši funkcija? Pažvelkime į piešinį. Plokščias skaičius apsiriboja parabolos diagrama iš viršaus. Tai yra funkcija, kuri yra skirta formulėje.

Praktinėmis užduotimis, plokščias skaičius kartais gali būti žemiau ašies. Tai nieko nekeičia - integruota funkcija formulėje yra pastatyta į kvadratą: taigi "Integral" visada yra neužstatytatai yra labai logiška.

Apskaičiuokite sukimosi taikymo sritį naudojant šią formulę:

Kaip jau pastebėjau, integralas beveik visada yra paprastas, pagrindinis dalykas turi būti dėmesingas.

Atsakymas:

Atsakydama, turite apibrėžti dimensiją - kubinius vienetus. Tai yra mūsų sukimosi korpuso maždaug 3,35 "kubeliai". Kodėl tai yra kubinis vienetai. \\ T? \\ T Nes visuotinė formuluotė. Kubiniai centimetrai gali būti kubiniai metrai, gali būti kubiniai kilometrai ir pan.

2 pavyzdys.

Rasti kūno suformuluotą kūno garsumą aplink formos ašies ribotas linijas ,,

Tai yra nepriklausomo sprendimo pavyzdys. Pilnas sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje.

Apsvarstykite dar dvi sudėtingas užduotis, kurios taip pat yra įprastos praktikoje.

3 pavyzdys.

Apskaičiuokite kūno tūrį, gaunamą sukant aplink abscisa ašį, skirtą ribotas linijas ir

Sprendimas Šis sprendimas: Parodykite plokščią figūrą, ribotą linijų ,,,,,,,,, lygtis nustato ašį:

Norimas skaičius yra tamsesnis mėlyna spalva. Kai jis sukasi aplink ašį, gaunamas toks siurrealistinis bagelis su keturiais kampais.

Sukimosi kūno kiekis apskaičiuojamas kaip skirtumas apimtis.

Pirmiausia apsvarstykite figūrą, kuri yra apvali raudona. Su savo sukimu aplink ašį, gaunamas sutrumpintas kūgis. Pažymėkite šio sutrumpinto kūgio tūrį.

Apsvarstykite figūrą, kuri yra apvali žalia. Jei pasukate šį paveikslą aplink ašį, jūs taip pat gausite sutrumpintą kūgį, tik šiek tiek mažesnis. Žymi jo apimtį.

Ir, žinoma, apimčių skirtumas yra būtent mūsų "bagelio" tūris.

Mes naudojame standartinę formulę, kaip rasti sukimosi kūno apimtį:

1) Raudona apytaka apytaka ribota nuo virš tiesios, todėl:

2) Žaliojo žvilgsnio skaičius yra ribotas iš viršaus tiesios, taip:

3) originalios sukimosi korpuso tūris:

Atsakymas:

Tai smalsu, kad šiuo atveju sprendimas gali būti tikrinamas naudojant mokyklos formulę apskaičiuoti sutrumpinto kūgio tūrį.

Pats sprendimas dažniau išdėstytas trumpai, maždaug tokioje dvasioje:

Dabar šiek tiek poilsio ir pasakoja apie geometrines iliuzijas.

Žmonės dažnai turi iliuzijų, susijusių su tūriu, kuris buvo pastebėtas perelman (kitas) knygoje Pramoginė geometrija. Pažvelkite į plokščio figūrą išbandytoje užduotyje - atrodo, kad plotas yra mažas, o sukimosi kūno tūris yra šiek tiek daugiau nei 50 kubinių vienetų, kurie atrodo per daug. Beje, vidutinis žmogus savo visame gyvenime geria skystį su kambario su 18 kvadratinių metrų ploto, kuris, priešingai, atrodo per mažas.

Apskritai, TSRS švietimo sistema buvo tikrai geriausia. Ta pati Perelman knyga, paskelbta 1950 metais, vystosi labai gerai, kaip sakė humoristas, konsoliduoja ir moko ieškoti originalių nestandartinių problemų sprendimų. Neseniai kai kurie skyriai skaito su dideliu susidomėjimu, rekomenduoja, prieinama net humanitariniam. Ne, jums nereikia šypsotis, kad aš pasiūliau įtakos pramoga, erudition ir platų ryšių spektrą - puikus dalykas.

Po lyrinio atsitraukimo, svarbu išspręsti kūrybinę užduotį:

4 pavyzdys.

Apskaičiuokite sukimosi rotacijos sukimosi kūno kiekį, palyginti su plokščios figūros ašimi, ribojama linijomis, kur.

Tai yra nepriklausomo sprendimo pavyzdys. Atkreipkite dėmesį, kad visi dalykai atsiranda juostelėje, kitaip tariant, gatavos integracijos ribos faktiškai pateikiami. Tinkamai atkreipti trigonometrinių funkcijų grafikus, priminkite apie pamoką geometrinės diagramos transformacijos: Jei argumentas yra padalintas į du: tada grafikai yra ištempiami išilgai ašies du kartus. Patartina rasti bent 3-4 taškus pagal trigonometrines lentelesSiekiant tiksliau atlikti brėžinį. Pilnas sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje. Beje, užduotis gali būti išspręsta racionaliai ir nėra labai racionalus.

Apskaičiuojant sukimosi formuluotę
plokščios formos aplink ašį

Antroji pastraipa bus dar įdomesnė nei pirmoji. Užtikrinant sukimosi kūno apimtį aplink ordinato ašį užduotis taip pat yra gana dažnas bandymų svečias. Pakilo kelyje užduotis rasti figūros sritį Ankstesniu būdu - integruoti ant ašies, tai leis jums ne tik pagerinti savo įgūdžius, bet ir mokyti palankiausią būdą išspręsti. Jame yra praktiška gyvenimo prasmė! Kaip šypsena, mano mokytojas prisiminė dėl matematikos mokymo metodo, daugelis absolventų padėkojo savo žodžiams: "Mes tikrai padėjo jūsų dalykui, dabar esame veiksmingi vadovai ir optimaliai pagal darbuotojus." Atsižvelgdamas į šią galimybę, aš taip pat išreiškiu savo didelę dėkingumą, ypač todėl, kad naudoju žinias, gaunamas tiesioginiu tikslu \u003d).

Rekomenduoju perskaityti visus, netgi pilnus artintus. Be to, pasimokėta medžiaga antroje pastraipoje bus neįkainojama pagalba apskaičiuojant dvigubus integrals..

5 pavyzdys.

Dana plokščias skaičius riboja linijas ,,

1) Raskite plokščią figūrą, ribotą šiomis linijomis.
2) Raskite kūno tūrį, gautą pagal plokščią figūrą, ribotą šių linijų aplink ašį.

DĖMESIO! Net jei norite susipažinti tik su antruoju elementu, pirmiausia anksčiau Perskaitykite pirmąjį!

Sprendimas Šis sprendimas: Užduotis susideda iš dviejų dalių. Pradėkime nuo kvadrato.

1) Atlikite brėžinį:

Tai lengva matyti, kad funkcija nustato viršutinę parabolos šaką, o funkcija yra žemesnysis parabolos filialas. Prieš mus yra trivialus parabola, kad "yra šone."

Norimą figūrą, kurios plotas turi būti rastas, mėlyna spalva.

Kaip rasti figūros sritį? Tai galima rasti "įprastą" kelią, kuris buvo laikomas pamokoje Tam tikras neatsiejamas. Kaip apskaičiuoti figūros plotą. Be to, skaičiaus plotas yra tarsi ploto suma:
- ant pjūvio ;
- ant segmento.

Todėl:

Kas šiuo atveju yra įprasta spręsti? Pirma, paaiškėjo du integralai. Antra, pagal šaknų integralus, o šaknys Integrals nėra dovana, be to, galite supainioti į integracijos ribų pakeitimą. Tiesą sakant, integralai, žinoma, nėra žmogžudystė, tačiau praktiškai viskas yra daug liūdesnių, aš tiesiog pakilo už "geresnės" funkcijos užduotį.

Yra racionalesnis sprendimas: jis susideda iš perėjimo prie atvirkštinių funkcijų ir integracijos palei ašį.

Kaip eiti į atvirkštines funkcijas? Apytiksliai kalbant, jums reikia išreikšti "x" per "IEEK". Pirmiausia susidursime su parabola:

Tai pakanka, bet įsitikinkite, kad tą pačią funkciją galima pašalinti iš apatinio filialo:

Su tiesiu, viskas yra lengviau:

Dabar mes žiūrime į ašį: prašome periodiškai pakreipti galvą į dešinę nuo 90 laipsnių išilgai paaiškinimų (tai nėra pokštas!). Skaičius mums reikia ant segmento, kuris yra pažymėtas raudona punktyrinė linija. Tuo pačiu metu, segmente, tiesioginis yra virš parabolos, todėl figūros plotas turėtų būti rasta jau pažįstamą formulę: . Kas pasikeitė formulėje? Tik laiškas ir nieko daugiau.

! Pastaba: Turėtų būti dedamos integracijos ribos virš ašies griežtai apačioje!

Rasti plotą:

Ant segmento, todėl:

Atkreipkite dėmesį, kaip įdiegiau integraciją yra racionaliausias būdas, o kitame užduoties taške bus aišku - kodėl.

Skaitytojams, kurie abejoja integracijos teisingumu, rasiu darinius:

Gauta pradinė integracija, tai reiškia, kad integracija yra tinkamai pateikta.

Atsakymas:

2) Apskaičiuokite kūno apimtį, sudarytą pagal šį paveikslą aplink ašį.

Redrawing piešimo šiek tiek į kitą dizainą:

Taigi, paveikslas, tamsesnis mėlyna, sukasi aplink ašį. Kaip rezultatas, paaiškėja "pakabinti drugelį", kuris sukasi aplink savo ašį.

Norėdami rasti sukimosi kūno apimtį, mes integruosime ašį. Pirmiausia turite eiti į atvirkštines funkcijas. Tai jau padaryta ir išsamiai aprašyta ankstesnėje pastraipoje.

Dabar mes vėl nukreipiame į dešinę ir studijuojame savo figūrą. Akivaizdu, kad sukimosi kūno apimtis turėtų būti nustatyta kaip skirtumai.

Pasukite figūrą, apvyniojantį raudonai, aplink ašį, dėl to sukelia sutrumpintą kūgį. Žymi šį garsumą.

Pasukite figūrą, apvyniojantį su žalia, aplink ašį ir nurodykite sukimosi kūno tūrį.

Mūsų drugelio apimtis yra lygi apimties skirtumui.

Mes naudojame formulę, kaip rasti sukimosi kūno apimtį:

Koks skirtumas nuo ankstesnės pastraipos formulės? Tik laiške.

Tačiau integracijos privalumas, kurį neseniai kalbėjau, yra daug lengviau rasti nei iš anksto sukurti pakeitimo funkciją 4 laipsniu.

Atsakymas:

Tačiau stabilus drugelis.

Atkreipkite dėmesį, kad jei tas pats plokščias skaičius sukasi aplink ašį, tada jis bus visiškai kitokia sukimosi korpuso, iš kitos, natūraliai, tūrį.

6 pavyzdys.

Dana plokščia figūra ribotos linijos ir ašys.

1) Eikite į atvirkštines funkcijas ir suraskite plokščią figūrą, ribotą šių linijų, integruojant kintamąjį.
2) Apskaičiuokite kūno tūrį, gaunamą sukant plokščią figūrą, ribotą šių linijų aplink ašį.

Tai yra nepriklausomo sprendimo pavyzdys. Tie, kurie nori, taip pat gali rasti figūros "įprastą" būdą, taip atliekant 1 dalies patikrinimą). Bet jei aš pakartoju, pasukti plokščią figūrą aplink ašį, tada gausite visiškai skirtingą sukimosi kūną su kita tūrio, beje, teisingas atsakymas (taip pat mėgėjams mišinys).

Pilnas dviejų siūlomų užduočių elementų sprendimas pamokos pabaigoje.

Taip, ir nepamirškite pakreipti galvos į teisę išsiaiškinti sukimosi įstaigas ir integracijos metu!

3 apibrėžimas. Rotacijos korpusas yra kūnas, gaunamas pasukant plokščią figūrą aplink ašį, kuris neperžengia figūros ir gulėjo su juo toje pačioje plokštumoje.

Sukimosi ašis gali ir kirsti figūrą, jei tai yra figūros simetrijos ašis.

2 teorija.
, ašis.
ir tiesūs gabalai
ir. \\ T

sukasi aplink ašį
. Tada gautos sukimosi kūno tūrį galima apskaičiuoti pagal formulę

(2)

Įrodymai. Tokiam kūnui, skerspjūviui su abscisiu - tai yra spindulio ratas
SO
ir formulė (1) suteikia reikiamą rezultatą.

Jei šis skaičius apsiriboja dviejų nuolatinių funkcijų grafikais
ir. \\ T
ir tiesūs pjūviai
ir. \\ T
Be to
ir. \\ T
, kai sukant aplink abscisa ašį, mes gauname kūną, kurio tūris

3 pavyzdys. Apskaičiuokite tūrio tūrį, gaunamą rato rotacija

aplink abscisos ašį.

R. priemonė. Nurodytą apskritimo dugną riboja grafikas
ir iš viršaus -
. Šių funkcijų kvadratų skirtumas:

Norimą tūrį

("Integrand" grafikas yra viršutinė atranka, todėl pirmiau pateiktas neatskiriamas yra puslankis plotas).

4 pavyzdys. Parabolinis segmentas
ir aukštas , sukasi aplink pagrindą. Apskaičiuokite gauto kūno garsumą ("Lemon" Cavalieri).

R. priemonė. Parabola dedama kaip parodyta paveiksle. Tada jo lygtis
, ir
. Raskite parametro vertę :
. Taigi, norimas tūris:

3 teorema. Leiskite trapecijai, ribojant nuolatinės ne neigiamos funkcijos diagramą
, ašis.
ir tiesūs gabalai
ir. \\ T
Be to
sukasi aplink ašį
. Tada gaunamo sukimosi kūno tūrį galima rasti formulėje

(3)

Įrodymų idėja. Mažas supjaustymas
points.

, dalis ir išleiskite tiesioginį
. Visa trapecija suskaidys ant juostų, kurios gali būti laikomos maždaug stačiakampėmis su pagrindu.
ir aukštis
.

Cilindras gaunamas sukant tokį stačiakampį, mes supjaustysime formuojant ir atsiskleisime. Mes gauname "beveik" lygiagretus su matmenimis:
,
ir. \\ T
. Jo apimtis
. Taigi, už sukimosi kūno tūrį, turėsime apytiksliai lygybę

Norėdami gauti tikslią lygybę, turite eiti į ribą
. Aukščiau nurodyta suma yra neatskiriama funkcija
Todėl, riboje, mes gauname integrumą iš formulės (3). Įrodyta teorema.

1 pastaba. 2 ir 3 teorijose
galite praleisti: formulę (2) paprastai yra nejautrus ženklui
ir (3) formulė (3) formulė
pakeistas
.

5 pavyzdys. Parabolinis segmentas (bazė)
, aukštis ) Kainos aplink aukštį. Raskite gauto kūno garsumą.

Sprendimas. Įdėkite parabolą, kaip parodyta paveiksle. Ir nors sukimosi ašis kerta figūrą, tai yra ašis - yra simetrijos ašis. Todėl būtina apsvarstyti tik pusę segmento. Parabolla lygtis
, ir
SO
. Turime tūrį:

Užrašas 2. Jei kreivės trapecijos kreivės ribos nustato parametrinėmis lygtimis
,
,
ir. \\ T
,
galite naudoti formules (2) ir (3) su pakeitimu ant
ir. \\ T
ant
kai jis keičia t. Nuo.
anksčiau .

6 pavyzdys. Skaičius apsiriboja pirmais arkos cikloidais
,
,
ir abscisos ašis. Raskite kūno garsumą, gautą sukant šį paveikslą apie: 1) ašį
; 2) ašis.
.

Sprendimas. 1) Bendra formulė
Mūsų atveju:

2) Bendra formulė
Mūsų figūrai:

Siūlome studentams savarankiškai atlikti visus skaičiavimus.

3 pastaba. Tegul kirstuvo sektorius apsiriboja neur-rive
ir spinduliai
,

sukasi aplink poliarinę ašį. Gauto kūno tūrį galima apskaičiuoti pagal formulę.

7 pavyzdys. Dalis formos riboto Cardioid
perimetras
sukasi aplink poliarinę ašį. Raskite kūno garsumą.

Sprendimas. Abi linijos, taigi ir figūra, kurią jie riboja, yra simetriškas poliarinės ašies atžvilgiu. Todėl būtina apsvarstyti tik dalį
. Kreivės susikerta
ir. \\ T

dėl
. Be to, šis skaičius gali būti laikomas dviejų sektorių skirtumu, o tai reiškia, kad apimtis apskaičiuoja kaip dviejų integralų skirtumą. Mes turime:

Užduotys Nepriklausomam sprendimui.

1. Apvali segmentas, kurio pagrindas
, aukštis , sukasi aplink pagrindą. Raskite sukimosi apimtį.

2. Raskite sukimosi paraboloidų kiekį, kurio pagrindas ir aukštis yra lygus .

3. Astroido ribotas skaičius
,
sukasi šypsosi aplink abscisos ašį. Raskite gauto kūno garsumą.

4. Apskaičiuoti ribotas linijas
ir. \\ T
kainos aplink abscisos ašį. Raskite sukimosi apimtį.

Kaip apskaičiuoti sukimosi apimtį naudojant konkretų integruotą?

Be to rasti plokščią skaičių su konkrečiu neatsiejama svarbiausia tema tema yra sukimosi tūrio apskaičiavimas. Medžiaga yra paprasta, tačiau skaitytojas turi būti paruoštas: turite sugebėti išspręsti neaiškūs integralai Vidurinis sudėtingumas ir "Newton-Leibnic" formulė tam tikras neatsiejamas. \\ T . Kalbant apie užduotį rasti teritoriją, jums reikia pasitikėjimo įgūdžių statyti brėžinius - tai yra beveik svarbiausia (nes patys integralai bus lengvai lengvai). Galite įsisavinti kompetentingą ir greitą techniką grafikams statant metodinę medžiagą. . Tačiau, iš tiesų, apie brėžinių svarbą, aš ne kartą kalbėjau pamokoje .

Apskritai, integruotais skaičiavimais, yra daug įdomių programų, naudojant konkretų neatskiriamą, figūros plotą, kūno tūrį, lanko ilgį, kūno paviršiaus plotą ir daug daugiau yra įmanoma. Todėl bus smagu, prašome nustatyti optimistiškai!

– aplink abscisos ašį; - aplink ordinato ašį.

Šis straipsnis bus išardomas abiem atvejais. Antrasis rotacijos būdas yra ypač įdomus, jis sukelia didžiausius sunkumus, tačiau iš tikrųjų sprendimas yra beveik toks pat, kaip ir labiau paplitęs rotacijos aplink abscisos ašį. Kaip premija, aš grįšiu užduotis rasti figūros sritį Ir aš jums pasakysiu, kaip rasti sritį antrajame kelyje - palei ašį. Net tiek daug premijos, kiek medžiagos sėkmingai tinka į temą.

Pradėkime nuo populiariausių sukimosi įvairovės.

1 pavyzdys.

Apskaičiuokite kūno kiekį, gaunamą sukant formą, ribotas linijas aplink ašį.

Sprendimas: Kaip ir rasti teritoriją, sprendimas prasideda nuo plokščios figūros brėžinio. Tai yra, ant plokštumos būtina statyti figūrą ribotą linijų, o nepamirškite, kad lygtis yra ašis. Kaip racionalus ir greitesnis atlikite brėžinį, galite sužinoti puslapiuose Pagrindinių funkcijų diagramos ir savybės ir. \\ T Tam tikras neatsiejamas. Kaip apskaičiuoti figūros plotą . Tai yra Kinijos priminimas, ir šiuo metu aš nebegaliu sustoti.

Brėžinys čia yra gana paprastas:

Norimas plokščias skaičius yra tamsesnis mėlyna, ji yra ji, kuri sukasi aplink ašį. Dėl sukimosi, toks nedidelis kiaušinių formos plaukiojimas plokštė, kuri yra simetriška, palyginti su ašimi. Tiesą sakant, kūnas turi matematinį vardą, bet referencinėje knygoje kažką pernelyg tingi, kad galėtume pažvelgti, todėl mes einame.

Kaip apskaičiuoti sukimosi kūno tūrį?

Rotacijos kūno tūrį galima apskaičiuoti pagal formulę:

Formulėje integralas būtinai yra. Tai buvo būtina - viskas, kas sukasi gyvenime yra susijęs su šiuo pastoviu.

Kaip organizuoti integracijos ribas "A" ir "būti", manau, kad tai lengva atspėti iš brėžinio.

Funkcija ... Kas yra ši funkcija? Pažvelkime į piešinį. Plokščias skaičius apsiriboja "Parabolys" viršutiniu tvarkaraščiu. Tai yra funkcija, kuri yra skirta formulėje.

Praktinėmis užduotimis, plokščias skaičius kartais gali būti žemiau ašies. Tai nieko nekeičia - formulės funkcija yra pastatyta į aikštę: taigi rotacijos kūno tūris visada yra ne neigiamastai yra labai logiška.

Apskaičiuokite sukimosi taikymo sritį naudojant šią formulę:

Kaip jau pastebėjau, integralas beveik visada yra paprastas, pagrindinis dalykas turi būti dėmesingas.

Atsakymas:

2 pavyzdys.

Raskite kūno suformuluotą kūno garsumą aplink formos ašį riboja linijomis ,,

Tai yra nepriklausomo sprendimo pavyzdys. Pilnas sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje.

Apsvarstykite dar dvi sudėtingas užduotis, kurios taip pat yra įprastos praktikoje.

3 pavyzdys.

Apskaičiuokite kūno garsumą, gaunamą sukant aplink abscisa ašį, kurio figūros ribotos linijos ,, ir

Sprendimas:Aš parodysiu plokščią figūrą brėžinyje, ribojama linijomis ,,, nepamirštant, kad lygtis yra ašis:

Norimas skaičius yra tamsesnis mėlyna spalva. Kai jis sukasi aplink ašį, gaunamas toks siurrealistinis bagelis su keturiais kampais.

Sukimosi kūno kiekis apskaičiuojamas kaip skirtumas apimtis.

Pirmiausia apsvarstykite figūrą, kuri yra apvali raudona. Su savo sukimu aplink ašį, gaunamas sutrumpintas kūgis. Pažymėkite šio sutrumpinto kūgio tūrį.

Apsvarstykite figūrą, kuri yra apvali žalia. Jei pasukate šį paveikslą aplink ašį, jūs taip pat gausite sutrumpintą kūgį, tik šiek tiek mažesnis. Žymi jo apimtį.

Ir, žinoma, apimčių skirtumas yra būtent mūsų "bagelio" tūris.

Mes naudojame standartinę formulę, kaip rasti sukimosi kūno apimtį:

1) Raudona apytaka apytaka ribota nuo virš tiesios, todėl:

2) Žaliojo žvilgsnio skaičius yra ribotas iš viršaus tiesios, taip:

3) originalios sukimosi korpuso tūris:

Atsakymas:

Tai smalsu, kad šiuo atveju sprendimas gali būti tikrinamas naudojant mokyklos formulę apskaičiuoti sutrumpinto kūgio tūrį.

Pats sprendimas dažniau išdėstytas trumpai, maždaug tokioje dvasioje:

Dabar šiek tiek poilsio ir pasakoja apie geometrines iliuzijas.

Žmonės dažnai turi iliuzijų, susijusių su tūriu, kuris buvo pastebėtas perelman (ne) knygoje Pramoginė geometrija. Pažvelkite į plokščio figūrą išbandytoje užduotyje - atrodo, kad plotas yra mažas, o sukimosi kūno tūris yra šiek tiek daugiau nei 50 kubinių vienetų, kurie atrodo per daug. Beje, vidutinis žmogus savo visame gyvenime geria skystį su kambario su 18 kvadratinių metrų ploto, kuris, priešingai, atrodo per mažas.

Apskritai, TSRS švietimo sistema buvo tikrai geriausia. Ta pati Perelman knyga, parašyta 1950 m., Labai gerai vystosi, kaip sakė humoristas, pavertė ir moko ieškoti originalių nestandartinių problemų sprendimų. Neseniai kai kurie skyriai skaito su dideliu susidomėjimu, rekomenduoja, prieinama net humanitariniam. Ne, jums nereikia šypsotis, kad aš pasiūliau įtakos pramoga, erudition ir platų ryšių spektrą - puikus dalykas.

Po lyrinio atsitraukimo, svarbu išspręsti kūrybinę užduotį:

4 pavyzdys.

Apskaičiuokite sukimosi sukimosi sukimosi kūno kiekį, palyginti su plokščiu figūra riboja linijomis, kur.

Tai yra nepriklausomo sprendimo pavyzdys. Atkreipkite dėmesį, kad visi dalykai atsiranda juostelėje, kitaip tariant, yra pateiktos beveik paruoštos integracijos ribos. Taip pat pabandykite teisingai atkreipti trigonometrinių funkcijų grafikus, jei argumentas yra suskirstytas į du :, tada grafikai yra ištempiami po du kartus. Pabandykite rasti bent 3-4 taškus pagal trigonometrines lenteles Ir tiksliau atlikti brėžinį. Pilnas sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje. Beje, užduotis gali būti išspręsta racionaliai ir nėra labai racionalus.

Kūno tūrio skaičiavimas, sudarytas sukant plokščią formą aplink ašį

5 pavyzdys.

Dana plokščias skaičius riboja linijas ,,.

1) Raskite plokščią figūrą, ribotą šiomis linijomis. 2) Raskite kūno tūrį, gautą pagal plokščią figūrą, ribotą šių linijų aplink ašį.

DĖMESIO! Net jei norite susipažinti tik su antruoju elementu, pirmiausia anksčiau Perskaitykite pirmąjį!

Sprendimas: Užduotį susideda iš dviejų dalių. Pradėkime nuo kvadrato.

1) Atlikite brėžinį:

Tai lengva pastebėti, kad funkcija nustato viršutinę parabolos šaką, o funkcija yra apatinė parabolos filialas. Prieš mus yra trivialus parabola, kad "yra šone."

Norimą figūrą, kurios plotas turi būti rastas, mėlyna spalva.

Kaip rasti figūros sritį? Tai galima rasti "įprastą" kelią, kuris buvo laikomas pamokoje Tam tikras neatsiejamas. Kaip apskaičiuoti figūros plotą . Be to, skaičiaus plotas yra srities dydis: - ant segmento ; - ant segmento.

Todėl:

Yra racionalesnis sprendimas: jis susideda iš perėjimo prie atvirkštinių funkcijų ir integracijos palei ašį.

Kaip eiti į atvirkštines funkcijas? Apytiksliai kalbant, jums reikia išreikšti "x" per "IEEK". Pirmiausia susidursime su parabola:

Tai pakanka, bet įsitikinkite, kad tą pačią funkciją galima pašalinti iš apatinio filialo:

Su tiesiu, viskas yra lengviau:

Dabar mes žiūrime į ašį: prašome periodiškai pakreipti galvą į dešinę nuo 90 laipsnių išilgai paaiškinimų (tai nėra pokštas!). Skaičius mums reikia ant segmento, kuris yra pažymėtas raudona punktyrinė linija. Tuo pačiu metu, parabolavos, todėl figūros plotas turėtų būti rasta jau pažįstamą formulę: . Kas pasikeitė formulėje? Tik laiškas ir nieko daugiau.

! Pastaba: turėtų būti surengtos ašių integracijos ribos.griežtai apačioje !

Rasti plotą:

Ant segmento, todėl:

Atkreipkite dėmesį, kaip įdiegiau integraciją yra racionaliausias būdas, o kitame užduoties taške bus aišku - kodėl.

Skaitytojams, kurie abejoja integracijos teisingumu, rasiu darinius:

Gauta pradinė integracija, tai reiškia, kad integracija yra tinkamai pateikta.

Atsakymas:

2) Apskaičiuokite kūno apimtį, sudarytą pagal šį paveikslą aplink ašį.

Redrawing piešimo šiek tiek į kitą dizainą:

Taigi, paveikslas, tamsesnis mėlyna, sukasi aplink ašį. Kaip rezultatas, paaiškėja "pakabinti drugelį", kuris sukasi aplink savo ašį.

Norėdami rasti sukimosi kūno apimtį, mes integruosime ašį. Pirmiausia turite eiti į atvirkštines funkcijas. Tai jau padaryta ir išsamiai aprašyta ankstesnėje pastraipoje.

Dabar mes vėl nukreipiame į dešinę ir studijuojame savo figūrą. Akivaizdu, kad sukimosi kūno apimtis turėtų būti nustatyta kaip skirtumai.

Pasukite figūrą, apvyniojantį raudonai, aplink ašį, dėl to sukelia sutrumpintą kūgį. Žymi šį garsumą.

Pasukite figūrą, apvytą žalia, aplink ašį ir nurodykite gauto sukimosi kūno garsumą.

Mūsų drugelio apimtis yra lygi apimties skirtumui.

Mes naudojame formulę, kaip rasti sukimosi kūno apimtį:

Koks skirtumas nuo ankstesnės pastraipos formulės? Tik laiške.

Tačiau integracijos privalumas, kurį neseniai kalbėjau, yra daug lengviau rasti nei iš anksto sukurti pakeitimo funkciją 4 laipsniu.

Sukimosi kūno tūrį galima apskaičiuoti pagal formulę:

Formulėje integralas būtinai yra. Tai buvo būtina - viskas, kas sukasi gyvenime yra susijęs su šiuo pastoviu.

Kaip organizuoti integracijos ribas "A" ir "būti", manau, kad tai lengva atspėti iš brėžinio.

Funkcija ... Kas yra ši funkcija? Pažvelkime į piešinį. Plokščias skaičius apsiriboja "Parabolys" viršutiniu tvarkaraščiu. Tai yra funkcija, kuri yra skirta formulėje.

Praktinėmis užduotimis, plokščias skaičius kartais gali būti žemiau ašies. Tai nieko nekeičia - integruota funkcija formulėje yra pastatyta į aikštę: taip "Integral" visada yra neužstatyta tai yra labai logiška.

Apskaičiuokite sukimosi taikymo sritį naudojant šią formulę:

Kaip jau pastebėjau, integralas beveik visada yra paprastas, pagrindinis dalykas turi būti dėmesingas.

Atsakymas:

2 pavyzdys.

Raskite kūno suformuluotą kūno garsumą aplink formos ašį riboja linijomis ,,

Tai yra nepriklausomo sprendimo pavyzdys. Pilnas sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje.

Apsvarstykite dar dvi sudėtingas užduotis, kurios taip pat yra įprastos praktikoje.

3 pavyzdys.

Apskaičiuokite kūno garsumą, gaunamą sukant aplink abscisa ašį, kurio figūros ribotos linijos ,, ir

Sprendimas Šis sprendimas: Parodykite plokščią figūrą brėžinyje, ribojama linijomis ,,, nepamirštant, kad lygtis yra ašis:

Norimas skaičius yra tamsesnis mėlyna spalva. Kai jis sukasi aplink ašį, gaunamas toks siurrealistinis bagelis su keturiais kampais.

Sukimosi kūno kiekis apskaičiuojamas kaip skirtumas apimtis.

Pirmiausia apsvarstykite figūrą, kuri yra apvali raudona. Su savo sukimu aplink ašį, gaunamas sutrumpintas kūgis. Pažymėkite šio sutrumpinto kūgio tūrį.

Apsvarstykite figūrą, kuri yra apvali žalia. Jei pasukate šį paveikslą aplink ašį, jūs taip pat gausite sutrumpintą kūgį, tik šiek tiek mažesnis. Žymi jo apimtį.

Ir, žinoma, apimčių skirtumas yra būtent mūsų "bagelio" tūris.

Mes naudojame standartinę formulę, kaip rasti sukimosi kūno apimtį:

1) Raudona apytaka apytaka ribota nuo virš tiesios, todėl:

2) Žaliojo žvilgsnio skaičius yra ribotas iš viršaus tiesios, taip:

3) originalios sukimosi korpuso tūris:

Atsakymas:

Tai smalsu, kad šiuo atveju sprendimas gali būti tikrinamas naudojant mokyklos formulę apskaičiuoti sutrumpinto kūgio tūrį.

Pats sprendimas dažniau išdėstytas trumpai, maždaug tokioje dvasioje:

Dabar šiek tiek poilsio ir pasakoja apie geometrines iliuzijas.

Po lyrinio atsitraukimo, svarbu išspręsti kūrybinę užduotį:

4 pavyzdys.

Apskaičiuokite sukimosi sukimosi sukimosi kūno kiekį, palyginti su plokščiu figūra riboja linijomis, kur.

Tai yra nepriklausomo sprendimo pavyzdys. Atkreipkite dėmesį, kad visi dalykai atsiranda juostelėje, kitaip tariant, gatavos integracijos ribos faktiškai pateikiami. Tinkamai atkreipti trigonometrinių funkcijų grafikus, priminkite apie pamoką geometrinės diagramos transformacijos : Jei argumentas yra suskirstytas į du: tada grafikai yra ištempiami po du kartus. Patartina rasti bent 3-4 taškus pagal trigonometrines lenteles Siekiant tiksliau atlikti brėžinį. Pilnas sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje. Beje, užduotis gali būti išspręsta racionaliai ir nėra labai racionalus.