Šiuos mokslus bent paviršutiniškai išmano visi, kurie mokykloje mokėsi matematikos ir geometrijos. Tačiau laikui bėgant, jei jose nepraktikuosi, žinios pasimiršta. Daugelis netgi mano, kad jie tiesiog praleido laiką studijuodami geometrinius skaičiavimus. Tačiau jie klysta. Technikai atlieka kasdienius geometrinių skaičiavimų darbus. Kalbant apie daugiakampio ploto apskaičiavimą, šios žinios taip pat pritaikomos gyvenime. Jų prireiks bent jau norint apskaičiuoti žemės sklypo plotą. Taigi išsiaiškinkime, kaip rasti daugiakampio plotą.

Daugiakampio apibrėžimas

Pirma, apibrėžkime, kas yra daugiakampis. Tai plokščia geometrinė forma, kuri susidaro susikirtus trims ar daugiau tiesių linijų. Kitas paprastas apibrėžimas: daugiakampis yra uždara polilinija. Natūralu, kad tiesėms susikertant susidaro susikirtimo taškai, kurių skaičius lygus tiesių, kurios sudaro daugiakampį, skaičiui. Susikirtimo taškai vadinami viršūnėmis, o tiesių atkarpos – daugiakampio kraštinėmis. Gretimos daugiakampio atkarpos nėra toje pačioje tiesioje linijoje. Negretimos linijos yra tos, kurios nekerta bendrų taškų.

Trikampių plotų suma

Kaip rasti daugiakampio plotą? Daugiakampio plotas yra plokštumos, kuri susidaro susikertant daugiakampio linijoms arba kraštinėms, vidus. Kadangi daugiakampis yra formų, tokių kaip trikampis, rombas, kvadratas, trapecija, derinys, universalios formulės jo plotui apskaičiuoti tiesiog nėra. Praktikoje universaliausias yra daugiakampio padalijimas į paprastesnes formas, kurių plotą nesunku rasti. Sudėjus šių paprastų formų plotų sumas, gausite daugiakampio plotą.

Per apskritimo plotą

Daugeliu atvejų daugiakampis yra taisyklingas ir sudaro formą su lygiomis kraštinėmis ir kampais tarp jų. Apskaičiuoti plotą šiuo atveju labai paprasta naudojant įbrėžtą arba apibrėžtą apskritimą. Jei apskritimo plotas yra žinomas, tada jis turi būti padaugintas iš daugiakampio perimetro, o tada gautas sandaugas dalijamas iš 2. Dėl to tokio daugiakampio ploto apskaičiavimo formulė yra Gauta: S = ½ ∙ P ∙ r., kur P yra apskritimo plotas, o r yra daugiakampio perimetras ...

Daugiakampio padalijimo į „patogias“ formas metodas yra populiariausias geometrijoje, jis leidžia greitai ir teisingai rasti daugiakampio plotą. 4 klasė vidurinė mokykla dažniausiai išmoksta tokių technikų.

Gebėjimas nustatyti įvairių formų plotą vaidina svarbų vaidmenį kiekvieno žmogaus gyvenime. Anksčiau ar vėliau jūs turite susidoroti su šiomis žiniomis. Pavyzdžiui, atnaujinant patalpą, norint nustatyti reikiamą tapetų, linoleumo, parketo, plytelių ritinėlių skaičių vonioje ar virtuvėje, reikia mokėti apskaičiuoti reikiamą plotą.

Geometrijos žinios buvo naudojamos senovės Babilone ir kitose šalyse. Žengiant pirmuosius žingsnius kultūros link, visada reikėjo išmatuoti vietą, atstumą. Statant pirmuosius reikšmingus statinius, reikėjo mokėti išlaikyti vertikalę, suprojektuoti planą.

Didelę reikšmę turėjo ir estetiniai žmonių poreikiai. Būsto puošimas, apranga, piešiniai prisidėjo prie geometrijos srities informacijos formavimosi ir kaupimo, kurią to meto žmonės gaudavo empiriškai, po truputį ir perduodavo iš kartos į kartą.

Geometrijos žinios šiandien būtinos pjaustytojui, statybininkui, architektui ir kiekvienam paprastam žmogui kasdieniame gyvenime.

Todėl jūs turite išmokti apskaičiuoti įvairių formų plotą ir prisiminti, kad kiekviena formulė gali būti naudinga vėliau praktikoje, įskaitant įprasto šešiakampio formulę. Šešiakampis yra daugiakampė forma, turinti iš viso šešis kampus.

Taisyklingo šešiakampio plotas

Taisyklingas šešiakampis yra šešiakampė forma, turinti lygias puses. Taisyklingo šešiakampio kampai taip pat lygūs vienas kitam.

Kasdieniame gyvenime dažnai galime rasti objektų, turinčių taisyklingo šešiakampio formą. Tai metalinė veržlė, korio ląstelės ir snaigės struktūra. Šešiakampės formos puikiai tinka užpildyti plokštumas. Taigi, pavyzdžiui, klodami grindinio plokštes, galime stebėti, kaip plytelės klojamos viena šalia kitos, nepaliekant tuščių tarpų.

Įprastos šešiakampės savybės

• Įprastas šešiakampis visada turės vienodus kampus, kurių kiekvienas yra 120˚.
• Figūros kraštinė lygi apibrėžto apskritimo spinduliui.
• Visos taisyklingo šešiakampio kraštinės yra lygios.
• Taisyklingas šešiakampis sandariai užpildo plokštumą.

Įprasto šešiakampio plotą galima apskaičiuoti padalijus jį į šešis trikampius, kurių kiekvienas turės lygias kraštines.

Taisyklingo trikampio plotui apskaičiuoti naudojama ši formulė:

Žinodami vieno iš trikampių plotą, galite lengvai apskaičiuoti šešiakampio plotą. Apskaičiavimo formulė yra paprasta: kadangi reguliarus šešiakampis yra šeši vienodi trikampiai, mūsų trikampio plotas turi būti padaugintas iš 6.

Nubrėžę statmeną iš figūros centro į bet kurią jos kraštinę, gausime atkarpą, vadinamą apotema. Apsvarstykite, kaip rasti šešiakampio plotą su žinomu apotemu:

1. Plotas = 1/2 * perimetras * apotemas.
2. Tarkime, kad mūsų apotemas yra 5√3 cm.

1. Naudodami apotemą randame perimetrą: Kadangi apotemas yra statmenas šešiakampio kraštinei, trikampio, sukurto su apotemu, kampai bus 30˚-60˚-90˚. Kiekviena gauto trikampio kraštinė atitiks: x-x√3-2x, kur trumpoji kraštinė, esanti priešais 30˚ kampą, yra x, ilgoji kraštinė, priešinga 60˚ kampui, yra x√3, o hipotenuzė yra 2x.
2. Kadangi apotema vaizduojama kaip x√3, galite jį pakeisti formule a = x√3 ir išspręsti. Jei, pavyzdžiui, apotemas = 5√3, tai šią reikšmę formulėje pakeičiame ir gauname: 5√3 cm = x√3 arba x = 5 cm.
3. Taigi, trumpoji trikampio kraštinė yra 5 cm. Kadangi ši vertė yra pusė šešiakampio kraštinės ilgio, padauginkite 5 iš 2 ir gaukite 10 cm, tai yra kraštinės ilgis.
4. Žinodami kraštinės ilgį, padauginkite jį iš 6 ir gaukite šešiakampio perimetrą: 10 cm x 6 = 60 cm
5. Pakeiskime gautus rezultatus į mūsų formulę:

Plotas = 1/2 * Perimetras * Apotema

Plotas = ½ * 60 cm * 5√3

Dabar belieka supaprastinti atsakymą, kad atsikratytumėte kvadratinių šaknų, ir nurodykite gautą rezultatą kvadratiniais centimetrais:

½ * 60 cm * 5√3 cm = 30 * 5√3 cm = 150 √3 cm = 259,8 cm²

Vaizdo įrašas apie tai, kaip rasti įprasto šešiakampio plotą

Netaisyklingo šešiakampio plotas

Yra keletas variantų, kaip nustatyti netaisyklingo šešiakampio plotą:

• Trapecijos metodas.
• Metodas netaisyklingų daugiakampių plotams apskaičiuoti naudojant koordinačių ašį.
• Šešiakampio padalijimo į kitas formas metodas.

Atsižvelgiant į pradinius jums žinomus duomenis, pasirenkamas tinkamas metodas.

Trapecijos metodas

Savavališkos (netaisyklingos) formos šešiakampio plotas apskaičiuojamas trapecijos metodu, kurio esmė yra padalinti šešiakampį į atskiras trapecijas ir tada apskaičiuoti kiekvieno iš jų plotą.

Metodas su koordinačių ašimis

Be to, netaisyklingo šešiakampio plotas gali būti apskaičiuojamas naudojant netaisyklingų daugiakampių ploto apskaičiavimo metodą. Panagrinėkime tai tokiu pavyzdžiu:

Skaičiavimas bus atliktas naudojant daugiakampio viršūnių koordinates:

1. Šiame etape turėtumėte sudaryti lentelę ir užsirašyti viršūnių x ir y koordinates. Pasirinkite viršūnes eilės tvarka prieš laikrodžio rodyklę, sąrašo pabaigą užbaigdami perrašydami pirmosios viršūnės koordinates:

1. Dabar turėtumėte padauginti 1-osios viršūnės x koordinatės reikšmes iš 2-osios viršūnės y ir taip tęsti dauginimą toliau. Tada reikia susumuoti rezultatus. Mūsų atveju gavome 82:

1. Iš eilės padauginkite y1-osios viršūnės koordinačių reikšmes iš 2-osios viršūnės x koordinačių reikšmių. Apibendrinkime gautus rezultatus. Mūsų atveju gavome 38:

1. Atimkite sumą, kurią gavome ketvirtame etape iš sumos, kurią gavome trečiajame etape: 82 - (-38) = 120

1. Dabar turime padalyti rezultatą, gautą ankstesniame žingsnyje, ir rasti mūsų figūros plotą: S = 120/2 = 60 cm²

Šešiakampio padalijimo į kitas formas metodas

Kiekvienas daugiakampis gali būti padalintas į keletą kitų formų. Tai gali būti trikampiai, trapecijos, stačiakampiai. Remiantis žinomais duomenimis, naudojant išvardintų figūrų plotų nustatymo formules, nuosekliai apskaičiuojami jų plotai ir sumuojami.

Kai kurie netaisyklingi šešiakampiai sudaryti iš dviejų lygiagrečių. Norėdami nustatyti lygiagretainio plotą, padauginkite jo ilgį iš pločio ir pridėkite dvi jau žinomas sritis.

Vaizdo įrašas, kaip rasti daugiakampio plotą

Lygiakraščio šešiakampio sritis

Lygiakraštis šešiakampis turi šešias lygias puses ir yra taisyklingas šešiakampis.

Lygiakraščio šešiakampio plotas yra lygus 6 trikampių sritims, į kurias padalinta taisyklinga šešiakampė figūra.

Visi taisyklingos formos šešiakampio trikampiai yra lygūs, todėl norint rasti tokio šešiakampio plotą, pakaks žinoti bent vieno trikampio plotą.

Norėdami rasti lygiakraščio šešiakampio plotą, žinoma, naudokite aukščiau aprašytą taisyklingo šešiakampio ploto formulę.

Ar žinojote, kaip rasti šešiakampio plotą? Kaip manote, kur šios žinios jums pravers gyvenime? Pasidalinkite savo nuomone apie

1.1 Plotų skaičiavimas senovėje

1.2 Skirtingi požiūriai į sąvokų „plotas“, „daugiakampis“, „daugiakampio plotas“ tyrimą

1.2.1 Ploto samprata. Ploto savybės

1.2.2 Daugiakampio samprata

1.2.3 Daugiakampio ploto samprata. Aprašomasis apibrėžimas

1.3 Įvairios daugiakampių plotų formulės

1.4 Daugiakampių plotų formulių išvedimas

1.4.1 Trikampio plotas. Garnio formulė

1.4.2 Stačiakampio plotas

1.4.3 Trapecijos plotas

1.4.4 Keturkampio plotas

1.4.5 Universali formulė

1.4.6 n kampo plotas

1.4.7 Daugiakampio ploto apskaičiavimas pagal jo viršūnių koordinates

1.4.8 Piko formulė

1.5 Pitagoro teorema apie kvadratų, pastatytų ant stačiojo trikampio kojelių, plotų sumos

1.6 Vienoda trikampių sudėtis. Bolyai-Gerwin teorema

1.7 Panašių trikampių plotų santykis

1.8 Didžiausio ploto formos

1.8.1 Trapecija arba stačiakampis

1.8.2 Puiki aikštės savybė

1.8.3 Kitos formos sritys

1.8.4 Didžiausio ploto trikampis

2 skyrius. Daugiakampių plotų tyrimo matematinėse klasėse metodiniai ypatumai

2.1 Teminis planavimas ir mokymas išplėstinėse matematikos klasėse

2.2 Pamokų vedimo metodika

2.3 Eksperimentinio darbo rezultatai

Išvada

Literatūra

Įvadas

Tema „Daugiakampių plotai“ yra neatsiejama mokyklinio matematikos kurso dalis, kas yra gana natūralu. Iš tiesų istoriškai pats geometrijos atsiradimas yra susijęs su poreikiu lyginti vienos ar kitos formos žemės sklypus. Kartu pažymėtina, kad edukacinės galimybės atskleisti šią temą vidurinėje mokykloje dar toli gražu nėra išnaudojamos.

Pagrindinis matematikos mokymo mokykloje uždavinys – užtikrinti, kad mokiniai ilgai ir sąmoningai įsisavintų kasdieniame gyvenime reikalingų matematinių žinių ir įgūdžių sistemą bei darbo veikla kiekvienam šiuolaikinės visuomenės nariui, pakankamam studijuoti susijusias disciplinas ir tęsti mokslus.

Kartu su pagrindinės problemos sprendimu, giluminis matematikos mokymasis numato stabilaus mokinių domėjimosi dalyku formavimą, matematinių gebėjimų atpažinimą ir ugdymą, orientaciją į profesijas, kurios reikšmingai susijusios su matematika, pasirengimą universitetinėms studijoms.

Kvalifikacinis darbas apima matematikos kurso turinį bendrojo lavinimo mokykloje ir daugybę papildomų klausimų, kurie yra tiesiogiai susiję su šiuo kursu ir pagilina jį pagrindinėmis ideologinėmis linijomis.

Papildomų klausimų įtraukimas turi du tarpusavyje susijusius tikslus. Viena vertus, tai yra bazės sukūrimas kartu su pagrindinėmis kurso dalimis matematikai polinkių studentų pomėgiams tenkinti ir jų gebėjimams lavinti, kita vertus, turinio išpildymas. pagrindinio kurso spragų, suteikiančių giluminių studijų turiniui reikiamo vientisumo.

Kvalifikacinį darbą sudaro įvadas, du skyriai, išvados ir cituojama literatūra. Pirmajame skyriuje aptariami daugiakampių plotų tyrimo teoriniai pagrindai, o antrajame – tiesiogiai jau metodologiniai plotų tyrimo ypatumai.

1 skyrius. Daugiakampių plotų tyrimo teoriniai pagrindai

1.1Plotų skaičiavimas senovėje

Geometrinių žinių užuomazgos, susijusios su plotų matavimu, prarandamos tūkstantmečių gilumoje.

Dar prieš 4-5 tūkstančius metų babiloniečiai mokėjo kvadratiniais vienetais nustatyti stačiakampio ir trapecijos plotą. Kvadratas ilgą laiką tarnavo kaip plotų matavimo standartas dėl daugybės puikių savybių: lygių kraštinių, vienodų ir stačių kampų, simetrijos ir bendro formos tobulumo. Kvadratus piešti lengva arba galite užpildyti plokštumą be tarpų.

Senovės Kinijoje ploto matas buvo stačiakampis. Kai mūrininkai nustatė stačiakampės namo sienos plotą, jie padaugino sienos aukštį ir plotį. Tai yra geometrijoje priimtas apibrėžimas: stačiakampio plotas yra lygus gretimų jo kraštinių sandaugai. Abi šios pusės turi būti išreikštos tais pačiais tiesiniais vienetais. Jų produktas sudarys stačiakampio plotą, išreikštą atitinkamais kvadratiniais vienetais. Tarkime, jei sienos aukštis ir plotis matuojami decimetrais, tai abiejų matavimų sandauga bus išreikšta kvadratiniais decimetrais. Ir jei kiekvieno apdailinto plausto plotas yra kvadratinis decimetras, tada gautas produktas parodys, kiek plytelių reikia apdailai. Tai išplaukia iš teiginio, kuriuo grindžiamas plotų matavimas: figūros, sudarytos iš nesikertančių figūrų, plotas yra lygus jų plotų sumai.

Senovės egiptiečiai prieš 4000 metų naudojo beveik tuos pačius metodus, kaip ir mes matuodami stačiakampio, trikampio ir trapecijos plotą: trikampio pagrindas buvo padalintas per pusę ir padaugintas iš aukščio; trapecijai lygiagrečių kraštinių suma buvo padalinta per pusę ir padauginta iš aukščio ir kt. Norėdami apskaičiuoti plotą

keturkampis su kraštinėmis (1.1 pav.) pritaikyta formulė (1.1)

tie. priešingų pusių pusės sumos padaugintos.

Ši formulė akivaizdžiai netinka jokiam keturkampiui; ji visų pirma reiškia, kad visų rombų plotai yra vienodi. Tuo tarpu akivaizdu, kad tokių rombų plotai priklauso nuo kampų viršūnėse dydžio. Ši formulė galioja tik stačiakampiui. Su jo pagalba galite apskaičiuoti apytikslį keturkampių plotą, kuriame kampai yra arti dešinės.

Norėdami nustatyti plotą

lygiašonis trikampis (1.2 pav.), kuriame egiptiečiai naudojo apytikslę formulę:
(1.2) Ryžiai. 1.2 Šiuo atveju padaryta klaida yra mažesnė, tuo mažesnis skirtumas tarp trikampio kraštinės ir aukščio, kitaip tariant, tuo viršūnė (-ės) arčiau aukščio pagrindo nuo. Štai kodėl apytikslė formulė (1.2) taikoma tik trikampiams, kurių kampas viršūnėje yra palyginti mažas.

Tačiau jau senovės graikai žinojo, kaip teisingai rasti daugiakampių plotus. Savo „Pradžioje“ Euklidas nevartoja žodžio „sritis“, nes žodžiu „figūra“ supranta plokštumos dalį, kurią riboja viena ar kita uždara linija. Euklidas ploto matavimo rezultato neišreiškia skaičiumi, o lygina skirtingų figūrų plotus tarpusavyje.

Kaip ir kiti antikos mokslininkai, Euklidas rūpinasi vienų figūrų pavertimu kitomis, joms lygiavertėmis. Sudėtinės formos plotas nesikeičia, jei jo dalys yra išdėstytos skirtingai, bet be susikirtimo. Todėl, pavyzdžiui, remiantis stačiakampio ploto formulėmis, galima rasti formules kitų figūrų plotams. Taigi, trikampis yra padalintas į tokias dalis, iš kurių galite padaryti tokio pat dydžio stačiakampį. Iš šios konstrukcijos matyti, kad trikampio plotas yra lygus pusei jo pagrindo ir aukščio sandaugos. Panaudoję panašų perbraižymą, jie nustato, kad lygiagretainio plotas yra lygus pagrindo ir aukščio sandaugai, o trapecijos plotas yra lygus pagrindų pusės sumos sandaugai. ir aukštis.

Kai mūrininkai turi apkalti sudėtingos konfigūracijos sieną, jie gali nustatyti sienos plotą skaičiuodami į apkalą įdėtų plytelių skaičių. Kai kurias plyteles, žinoma, teks nuskelti, kad dangos kraštai sutaptų su sienos kraštu. Visų panaudotų plytelių skaičius įvertina sienos plotą su pertekliumi, nesulaužytų plytelių skaičius - su trūkumu. Mažėjant ląstelių dydžiui, mažėja atliekų kiekis, vis tiksliau apskaičiuojamas sienų plotas, nustatomas pagal plytelių skaičių.

Vienas iš vėlyvųjų graikų matematikų – enciklopedistų, kurio darbai daugiausia buvo taikomojo pobūdžio, buvo Aleksandrijos Heronas, gyvenęs I amžiuje prieš Kristų. n. NS. Kaip puikus inžinierius, jis taip pat buvo pavadintas „Gernių mechaniku“. Savo darbe "Dioptrica" ​​​​Heron aprašo įvairias mašinas ir praktinius matavimo prietaisus.

Vieną Herono knygų jis pavadino „Geometrija“ ir yra savotiškas formulių ir atitinkamų uždavinių rinkinys. Jame pateikiami kvadratų, stačiakampių ir trikampių plotų skaičiavimo pavyzdžiai. Apie trikampio ploto išilgai jo kraštinių radimą Heronas rašo: „Tarkime, pavyzdžiui, vienos trikampio kraštinės ilgis yra 13 matmenų virvelių, antrosios – 14, o trečiosios – 15. Norėdami rasti plotą, atlikite taip: seka. Pridėkite 13, 14 ir 15; tai bus 42. Pusė to bus 21. Atimkite iš šios trys kraštinės viena po kitos; pirmiausia atimkite 13 - lieka 8, tada lieka 14 - 7 ir galiausiai 15 - 6. Dabar padauginkite juos: 21 kartą 8 gausite 168, paimkite tai 7 kartus - gausite 1176, o dar 6 kartus - gausite 7056. kvadratinė šaknis bus 84. Tiek išmatuotų virvelių bus trikampio srityje.

\ [(\ Didelis (\ tekstas (pagrindiniai faktai apie sritį))) \]

Galima sakyti, kad daugiakampio plotas yra dydis, nurodantis plokštumos dalį, kurią užima tam tikras daugiakampis. Ploto matavimo vienetas yra kvadrato, kurio kraštinė yra \ (1 \) cm, \ (1 \) mm ir kt., plotas. (vieneto kvadratas). Tada plotas bus matuojamas atitinkamai cm \ (^ 2 \), mm \ (^ 2 \).

Kitaip tariant, galime sakyti, kad figūros plotas yra dydis, kurio skaitinė reikšmė parodo, kiek kartų kvadrato vienetas telpa duotoje figūroje.

Ploto savybės

1. Bet kurio daugiakampio plotas yra teigiama reikšmė.

2. Lygių daugiakampių plotai yra vienodi.

3. Jei daugiakampis sudarytas iš kelių daugiakampių, tai jo plotas lygus šių daugiakampių plotų sumai.

4. Kvadrato, kurio kraštinė yra \ (a \), plotas yra \ (a ^ 2 \).

\ [(\ Didelis (\ tekstas (stačiakampio ir lygiagretainio plotas))) \]

Teorema: stačiakampio plotas

Stačiakampio su kraštinėmis \ (a \) ir \ (b \) plotas yra \ (S = ab \).

Įrodymas

Užbaikime stačiakampį \ (ABCD \) į kvadratą, kurio kraštinė \ (a + b \), kaip parodyta paveikslėlyje:

Šį kvadratą sudaro stačiakampis \ (ABCD \), kitas jam lygus stačiakampis ir du kvadratai, kurių kraštinės \ (a \) ir \ (b \). Taigi,

\ (\ pradžia (daugia eilute *) S_ (a + b) = 2S _ (\ tekstas (pr-k)) + S_a + S_b \ Rodyklė į kairę (a + b) ^ 2 = 2S _ (\ tekstas (pr-k)) ) + a ^ 2 + b ^ 2 \ Rodyklė į kairę \\ a ^ 2 + 2ab + b ^ 2 = 2S _ (\ tekstas (pr-k)) + a ^ 2 + b ^ 2 \ Rodyklė dešinėn S _ (\ tekstas ( pr-k) ) = ab \ pabaiga (kelių eilučių *) \)

Apibrėžimas

Lygiagretainio aukštis – tai statmenas, nubrėžtas iš lygiagretainio viršūnės į kraštinę (arba į kraštinės tęsinį), kurioje šios viršūnės nėra.
Pavyzdžiui, aukštis \ (BK \) patenka į \ (AD \) pusę, o \ (BH \) aukštis patenka į \ (CD \) pusės tęsinį:

Teorema: lygiagretainio plotas

Lygiagretainio plotas lygus aukščio ir kraštinės, į kurią nubrėžtas šis aukštis, sandaugai.

Įrodymas

Nubrėžkime statmenus \ (AB "\) ir \ (DC" \), kaip parodyta paveikslėlyje. Atkreipkite dėmesį, kad šie statmenys yra lygūs lygiagretainio aukščiui \ (ABCD \).

Tada \ (AB "C" D \) yra stačiakampis, todėl \ (S_ (AB "C" D) = AB "\ cdot AD \).

Atkreipkite dėmesį, kad stačiakampiai trikampiai \ (ABB "\) ir \ (DCC" \) yra lygūs. Taigi,

\ (S_ (ABCD) = S_ (ABC "D) + S_ (DCC") = S_ (ABC "D) + S_ (ABB") = S_ (AB "C" D) = AB "\ cdot AD. \)

\ [(\ Didelis (\ tekstas (trikampio sritis))) \]

Apibrėžimas

Kraštinę, į kurią trikampyje nubrėžtas aukštis, vadinsime trikampio pagrindu.

Teorema

Trikampio plotas yra lygus pusei jo pagrindo sandaugos iš aukščio, nubrėžto iki šio pagrindo.

Įrodymas

Tegul \ (S \) yra trikampio \ (ABC \) plotas. Paimkite kraštinę \ (AB \) kaip trikampio pagrindą ir nubrėžkite aukštį \ (CH \). Įrodykime tai \ Užbaikime trikampį \ (ABC \) iki lygiagretainio \ (ABDC \), kaip parodyta paveikslėlyje:

Trikampiai \ (ABC \) ir \ (DCB \) yra lygūs iš trijų kraštinių (\ (BC \) yra jų bendroji kraštinė, \ (AB = CD \) ir \ (AC = BD \) kaip priešingos lygiagretainio kraštinės \ (ABDC \ )), todėl jų plotai lygūs. Todėl trikampio \ (ABC \) plotas \ (S \) yra lygus pusei lygiagretainio \ (ABDC \) ​​ploto, tai yra \ (S = \ dfrac (1) (2) AB \ cdot CH \).

Teorema

Jei du trikampiai \ (\ trikampis ABC \) ir \ (\ trikampis A_1B_1C_1 \) turi vienodus aukščius, tada jų plotai vadinami bazėmis, į kurias brėžiami šie aukščiai.

Pasekmė

Trikampio mediana padalija jį į du vienodo ploto trikampius.

Teorema

Jei du trikampiai \ (\ trikampis ABC \) ir \ (\ trikampis A_2B_2C_2 \) turi vienodą kampą, tada jų plotai yra susieti kaip šį kampą sudarančių kraštinių sandaugos.

Įrodymas

Tegu \ (\ kampas A = \ kampas A_2 \). Sujunkite šiuos kampus, kaip parodyta paveikslėlyje (taškas \ (A \) sulygiuotas su tašku \ (A_2 \)):

Nubrėžkime aukščius \ (BH \) ir \ (C_2K \).

Trikampiai \ (AB_2C_2 \) ir \ (ABC_2 \) yra vienodo aukščio \ (C_2K \), todėl: \ [\ dfrac (S_ (AB_2C_2)) (S_ (ABC_2)) = \ dfrac (AB_2) (AB) \]

Trikampiai \ (ABC_2 \) ir \ (ABC \) yra vienodo aukščio \ (BH \), todėl: \ [\ dfrac (S_ (ABC_2)) (S_ (ABC)) = \ dfrac (AC_2) (AC) \]

Padauginus paskutines dvi lygybes, gauname: \ [\ dfrac (S_ (AB_2C_2)) (S_ (ABC)) = \ dfrac (AB_2 \ cdot AC_2) (AB \ cdot AC) \ qquad \ tekstas (arba) \ qquad \ dfrac (S_ (A_2B_2C_2)) (S_ (A_2B_2C_2)) (ABC)) = \ dfrac (A_2B_2 \ cdot A_2C_2) (AB \ cdot AC) \]

Pitagoro teorema

Stačiakampiame trikampyje hipotenuzės ilgio kvadratas yra lygus kojų ilgių kvadratų sumai:

Taip pat yra priešingai: jei trikampyje vienos kraštinės ilgio kvadratas yra lygus kitų dviejų kraštinių ilgių kvadratų sumai, tai toks trikampis yra stačiakampis.

Teorema

Stačiakampio trikampio plotas yra pusė kojų sandaugos.

Teorema: Garnio formulė

Tegu \ (p \) yra trikampio pusperimetras, \ (a \), \ (b \), \ (c \) jo kraštinių ilgiai, tada jo plotas yra \

\ [(\ Didelis (\ tekstas (rombo ir trapecijos plotas))) \]

komentuoti

Nes rombas yra lygiagretainis, tada jam galioja ta pati formulė, t.y. rombo plotas lygus aukščio ir kraštinės, į kurią nubrėžtas šis aukštis, sandaugai.

Teorema

Išgaubto keturkampio, kurio įstrižainės yra statmenos, plotas yra pusė įstrižainių sandaugos.

Įrodymas

Apsvarstykite keturkampį \ (ABCD \). Žymime \ (AO = a, CO = b, BO = x, DO = y \):

Atkreipkite dėmesį, kad šis keturkampis sudarytas iš keturių stačiakampių trikampių, todėl jo plotas lygus šių trikampių plotų sumai:

\ (\ begin (multline *) S_ (ABCD) = \ frac12ax + \ frac12xb + \ frac12by + \ frac12ay = \ frac12 (ax + xb + by + ay) = \\ \ frac12 ((a + b) x + ( a + b) y) = \ frac12 (a + b) (x + y) \ pabaiga (kelių eilučių *) \)

Išvada: rombo plotas

Rombo plotas lygus pusei jo įstrižainių sandaugos: \

Apibrėžimas

Trapecijos aukštis yra statmenas, nubrėžtas iš vieno pagrindo viršaus į kitą pagrindą.

Teorema: trapecijos plotas

Trapecijos plotas lygus pagrindų ir aukščio pusės sumos sandaugai.

Įrodymas

Apsvarstykite trapeciją \ (ABCD \) su bazėmis \ (BC \) ir \ (AD \). Nubrėžkime \ (CD "\ lygiagrečiai AB \), kaip parodyta paveikslėlyje:

Tada \ (ABCD "\) yra lygiagretainis.

Taip pat nubrėžkime \ (BH "\ perp AD, CH \ perp AD \) (\ (BH" = CH \) - trapecijos aukščiai).

Tada \ (S_ (ABCD ") = BH" \ cdot AD "= BH" \ cdot BC, \ quad S_ (CDD ") = \ dfrac12CH \ cdot D" D \)

Nes trapecija susideda iš lygiagretainio \ (ABCD "\) ir trikampio \ (CDD" \), tada jos plotas lygus lygiagretainio ir trikampio plotų sumai, tai yra:

\ \ [= \ dfrac12 CH \ kairė (BC + AD "+ D" D \ dešinė) = \ dfrac12 CH \ kairė (BC + AD \ dešinė) \]

Tokia figūra tikrai pasižymės dviem pozicijomis:

1. Gretimos pusės nepriklauso tai pačiai tiesei.
2. Negretimos neturi bendrų taškų, tai yra, nesikerta.

Norėdami suprasti, kurios viršūnės yra gretimos, turite pamatyti, ar jos priklauso tai pačiai pusei. Jei taip, tai kaimyniniai. Priešingu atveju juos galima sujungti segmentu, kuris turi būti vadinamas įstrižainiu. Juos galima nubrėžti tik daugiakampiuose, kuriuose yra daugiau nei trys viršūnės. Kokie jų tipai? Daugiakampis su daugiau nei keturiais kampais gali būti išgaubtas arba įgaubtas. Skirtumas tarp pastarųjų yra tas, kad kai kurios jo viršūnės gali būti priešingose ​​tiesės, nubrėžtos per savavališką daugiakampio kraštinę, pusėse.

Daugiakampio plotas

Daugiakampio ploto apskaičiavimas naudojant įbrėžto apskritimo spindulį ir kraštinės ilgį: [(A × P) / 2] [Apotema (A) = kraštinė / (2 × Tan (π / N))] Įveskite ilgį = Įveskite kraštinių skaičių = Plotas Daugiakampis = Ploto išilgai kraštinės apskaičiavimas: Daugiakampio plotas = ((kraštinė) ² * N) / (4Tan (π / N)) Daugiakampio perimetras = N * (kraštinė) Ploto išilgai apibrėžto apskritimo spindulio apskaičiavimas: Daugiakampio plotas = ½ * R² * Sin (2π / N) Ploto apskaičiavimas pagal įbrėžto apskritimo spindulį: Plotas Daugiakampis = A² * N * Tan (π / N), kur A = R * Cos (π / N) Pagal įbrėžto apskritimo spindulį ir kraštinės ilgį: Daugiakampio plotas = ( A * P) / 2 kur A = pusė / (2 * Tan (π / N)) kur,

• N = kraštinių skaičius,
• A = įbrėžto apskritimo spindulys,
• R = apibrėžto apskritimo spindulys,
• P = perimetras

Pavyzdžiai: 1 uždavinys: Raskite daugiakampio plotą ir perimetrą, jei kraštinės ilgis = 2, o kraštinių skaičius = 4.

Taisyklingo daugiakampio plotas

Iš jo nesunku gauti tokį, kuris būtų naudingas ypatingais atvejais:

1. trikampis: S = (3√3) / 4 * R2;
2. kvadratas: S = 2 * R2;
3. šešiakampis: S = (3√3) / 2 * R2.

Situacija su neteisinga figūra Išeitis, kaip sužinoti daugiakampio plotą, jei jis neteisingas ir negali būti priskirtas nė vienai iš anksčiau žinomų figūrų, yra toks algoritmas:

• suskaidykite jį į paprastas formas, pavyzdžiui, trikampius, kad jos nesusikirstų;
• apskaičiuokite jų plotus pagal bet kokią formulę;
• sudėkite visus rezultatus.

Ką daryti, jei uždavinyje yra daugiakampio viršūnių koordinatės? Tai yra, yra žinoma kiekvieno taško skaičių porų rinkinys, ribojantis figūros puses.

Paprastai jie rašomi kaip (x1; y1) pirmajam, (x2; y2) antrajam, o n-oji viršūnė turi tokias reikšmes (xn; yn).

Daugiakampio plotas ir perimetras

Tada daugiakampio plotas apibrėžiamas kaip n narių suma.

Dėmesio

Kiekvienas iš jų atrodo taip: ((yi + 1 + yi) / 2) * (xi + 1 - xi).

Šioje išraiškoje i keičiasi iš vieno į n. Reikėtų pažymėti, kad rezultato ženklas priklausys nuo figūros perėjimo.
Naudojant nurodytą formulę ir judant pagal laikrodžio rodyklę, atsakymas bus neigiamas.

Užduoties pavyzdys Sąlyga. Viršūnių koordinatės pateikiamos reikšmėmis (0,6; 2,1), (1,8; 3,6), (2,2; 2,3), (3,6; 2,4), (3,1; 0,5).

Informacija

Norite apskaičiuoti daugiakampio plotą. Sprendimas.

Pagal aukščiau pateiktą formulę pirmasis terminas bus (1,8 + 0,6) / 2 * (3,6 - 2,1). Čia tereikia paimti žaidimo reikšmes ir x iš antrojo ir pirmojo taškų. Paprastas skaičiavimas duos 1.8 rezultatą. Panašiai gaunamas ir antrasis narys: (2,2 + 1,8) / 2 * (2,3 - 3,6) = -2,6. Sprendžiant tokias problemas nereikėtų gąsdinti neigiamų vertybių.
Viskas vyksta taip, kaip turėtų.
1 veiksmas: Raskite įbrėžto apskritimo spindulį A = R * Cos (π / N) = 2 * Cos (3,14 / 5) = 2 * Cos (0,63) = 2 * 0,81 Apotemas (įbrėžto apskritimo spindulys) = 1.62. 2 veiksmas: raskite plotą. Plotas = A² * N * Įdegis (π / N) = 1,62² * 5 * Įdegis (3,14 / 5) = 2,62 * 5 * Įdegis (0,63) = 13,1 * 0,73 Plotas = 9,5. 4 uždavinys: Raskite daugiakampio plotą naudodami Apothema (įbrėžto apskritimo spindulį), jei kraštinės ilgis yra 2, o kraštinių skaičius yra 5. 1 veiksmas: Raskite Apothema. Apothema = kraštinės ilgis / (2 * Tan () π / N)) = 2 / ( 2 * Tan (π / 4)) = 2 / (2 * Tan (0,785)) = 2 / (2 * 0,999) = 2 / 1,998 Apotemas (A) = 1. 2 veiksmas : Raskite perimetrą. Perimetras (P) = (N * (kraštinės ilgis) = 4 * 2 = 8 3 veiksmas: Raskite plotą. Plotas = (A * P) / 2 = (1 * 8) / 2 = 8/ 2 Plotas = 4.

Aukščiau pateikti pavyzdžiai rodo, kaip rankiniu būdu apskaičiuoti daugiakampio plotą ir perimetrą.

Taisyklingas daugiakampis

S tan⁡〖(180 °) / n〗) / n) / 2 tan⁡ 〖(180 °) / n〗 = √ (S / (n tan⁡〖(180 °) / n〗)) R = a / (2 sin⁡〖(180°) / n〗) = √ ((4S tan⁡〖(180°) / n〗) / n) / 2 sin⁡〖(180°) / n〗 = √ (S / () n cos⁡ 〖(180 °) / n〗)) Galima apskaičiuoti taisyklingo daugiakampio perimetrą per plotą, jei pavaizduosime jį kaip kraštinių skaičiaus n sandaugą radikalu, gautu vietoj kraštinės, ir tada supaprastinkite išraišką įvesdami n šaknyje. P = na = n√ ((4S tan⁡〖(180°) / n〗) / n) = √ (4nS tan⁡〖(180°) / n〗) Taisyklingo daugiakampio kampas gali būti apskaičiuojamas naudojant formulę kuris turi tik vieną kintamąjį – figūros kraštinių skaičių, todėl jo keisti nereikia.

Daugiakampio ploto skaičiuoklė

Pakeitę figūros kraštinių skaičių vietoj n, galite gauti formulę, kaip nustatyti bet kurio taisyklingo daugiakampio plotą, kuris bus kvadrato a ^ 2 plotas, padaugintas iš tam tikro koeficiento.

Įdomu tai, kad padidėjus kampų skaičiui, šis koeficientas taip pat padidės, pavyzdžiui, penkiakampiui – 1,72, o šešiakampiui – 2,59. Kadangi aplink bet kurį taisyklingą daugiakampį galima apibūdinti apskritimą arba į jį įrašyti, daugiakampių plotams apskaičiuoti galime naudoti atitinkamus spindulius.

Bet kurio daugiakampio apibrėžtojo apskritimo kraštinė ir spindulys yra susiję taip: a = R × 2 sin (pi / n), kur R yra apibrėžto apskritimo spindulys, n yra geometrinės figūros kraštinių skaičius.

Apskritimo, įrašyto į daugiakampį, santykis šiek tiek pasikeičia ir atrodo taip: a = r × 2 tg (pi / n), kur r yra įbrėžto apskritimo spindulys.

Kaip apskaičiuoti taisyklingo daugiakampio plotą

Daugiakampio pavyzdys Šis skaičiuotuvas apskaičiuoja daugiakampio plotą iš įvestų kraštinių ir įstrižainių, padalijančių daugiakampį į atskirtus trikampius.

Pažiūrėkite į paveikslėlį – daugiakampio ABCDE plotą galima apskaičiuoti kaip trikampių ABD, BCD ir ADE plotų sumą.

Tam, žinoma, be daugiakampio kraštinių ilgių, reikia žinoti ir įstrižainių BD ir AD ilgius, tačiau tai viskas, ko reikia - galima apskaičiuoti bet kurio trikampio plotą. tik jos kraštinių ilgiais, nematuojant kampų.

O tai gana patogu, pavyzdžiui, atliekant buitinį remontą – ilgius išmatuoti lengviau nei kampus.

Taigi, išmatuojame mus dominančio daugiakampio kraštinių ilgius, įrašome juos į lentelę, mintyse padalijame daugiakampį į trikampius, išmatuojame reikiamas įstrižaines, taip pat įrašome į lentelę, po to skaičiuotuvas apskaičiuoja daugiakampio plotą. visa figūra.

Kaip žinoti daugiakampio plotą?

Ką daryti su taisyklingu daugiakampiu, turinčiu daugiau nei keturias viršūnes? Pirmiausia tokia figūra pasižymi tuo, kad joje visos pusės yra lygios. Be to, daugiakampis turi tuos pačius kampus. Jei apibūdinsite apskritimą aplink tokią figūrą, tada jo spindulys sutaps su atkarpa nuo daugiakampio centro iki vienos iš viršūnių. Todėl, norint apskaičiuoti taisyklingo daugiakampio plotą su savavališku viršūnių skaičiumi, jums reikia šios formulės: Sn = 1/2 * n * Rn2 * sin (360º / n), kur n yra skaičius daugiakampio viršūnės.
Taigi, norėdami nustatyti bet kurio teisingo daugiakampio plotą, turite nurodyti kraštinių skaičių n ir bet kurį pasirinktą parametrą:

• kraštinės ilgis a;
• įbrėžto apskritimo spindulys r;
• apibrėžtojo apskritimo R spindulys.

Pažvelkime į keletą pavyzdžių, kaip rasti bet kurio daugiakampio plotą.

Pavyzdžiai iš gyvenimo Honeycomb Honeycomb yra unikalus gamtos objektas, susidedantis iš daugybės šešiakampių prizminių ląstelių.

Suskaičiuokime, kiek šių šešiakampių yra vienoje ląstelėje.

Norėdami tai padaryti, turime žinoti bendrą vienos ląstelės plotą ir plotą.

Iš Vikipedijos žinome, kad standartinio korio rėmo matmenys yra 435 x 300 mm, taigi bendras plotas yra 130 500 kvadratinių milimetrų.

Tai taip pat rodo, kad vienos ląstelės horizontalus skersmuo yra maždaug 5,5 mm.

Įstrižainė 2 Kampas α ($ pagrindiniai.kampai $) Kampas β ($ pagrindiniai.kampai $) Įveskite bet kokias 3 reikšmes.Side A Pusė B Aukštis ha Aukštis hb Įstrižainė 1 Įstrižainė 2 Kampas α ($ Pagrindinis.kampai $) Kampas β ( $ pagrindinis .kampai $) Įveskite bet kokias 3 reikšmes Pagrindas A Pagrindas C Aukštis H Užpildykite kraštines, kad surastumėte perimetrą Side B Side D Įveskite 1 reikšmę Side A Apskritimo spindulys (R) Įrašytas apskritimo spindulys (r) Daugiakampio kraštinių skaičius Įveskite 1 reikšmė A kraštinė Apskritimo apskritimo spindulys (R) Įbrėžto apskritimo spindulys (r) Įveskite 1 reikšmę Pusė A = apskritimo spindulys (R) Apibrėžto apskritimo spindulys (r) Skaičiavimo rezultatas

• Perimetras: ($ rezultatas.p | skaičius: 4 $)
• Iškirpti: ($ rezultatas.s | skaičius: 4 $)

Daugiakampis arba daugiakampis – geometrinė figūra, turinti n-ąjį kampų skaičių.
Apskritai daugiakampis yra plokštumos dalis, kurią riboja uždaras daugiakampis.

Daugiakampių geometrija Apskritai tokia geometrinė figūra gali turėti absoliučiai bet kokią formą.

Pavyzdžiui, žvaigždės ir kompaso simboliai, modeliavimo daugiakampis arba krumpliaračio paviršius yra daugiakampiai.

Daugiakampės formos skirstomos į dvi grupes:

• neišgaubtos, turinčios kokią nors keistą formą ir galimus susikirtimus (ryškiausias pavyzdys yra žvaigždė);
• išgaubtas, kurio visi taškai yra vienoje tiesės, nubrėžtos per dvi gretimas viršūnes (kvadratą, trikampį), pusėje.

Išgaubtas daugiakampis, kurio visi kampai yra lygūs ir visos kraštinės lygios, laikomas teisingu ir turi savo pavadinimą.