Uw privacy is belangrijk voor ons. Om deze reden hebben we een privacybeleid ontwikkeld dat beschrijft hoe we uw informatie gebruiken en opslaan. Lees ons privacybeleid en laat het ons weten als je vragen hebt.

Verzameling en gebruik van persoonlijke informatie

Persoonlijke informatie verwijst naar gegevens die kunnen worden gebruikt om een ​​specifieke persoon te identificeren of contact met hem op te nemen.

U kunt te allen tijde worden gevraagd om uw persoonlijke gegevens te verstrekken wanneer u contact met ons opneemt.

Hieronder vindt u enkele voorbeelden van de soorten persoonlijke informatie die we kunnen verzamelen en hoe we dergelijke informatie kunnen gebruiken.

Welke persoonlijke informatie we verzamelen:

• Wanneer u een verzoek achterlaat op de site, kunnen we verschillende informatie verzamelen, waaronder uw naam, telefoonnummer, e-mailadres, enz.

Hoe we uw persoonlijke informatie gebruiken:

• De persoonlijke informatie die we verzamelen, stelt ons in staat contact met u op te nemen en unieke aanbiedingen, promoties en andere evenementen en aankomende evenementen te melden.
• Van tijd tot tijd kunnen we uw persoonlijke gegevens gebruiken om belangrijke meldingen en berichten te verzenden.
• We kunnen persoonlijke informatie ook gebruiken voor interne doeleinden, zoals het uitvoeren van audits, gegevensanalyse en verschillende onderzoeken om de diensten die wij leveren te verbeteren en om u aanbevelingen te doen met betrekking tot onze diensten.
• Als u deelneemt aan een prijstrekking, wedstrijd of soortgelijk promotie-evenement, kunnen we de informatie die u verstrekt gebruiken om dergelijke programma's te beheren.

Openbaarmaking van informatie aan derden

Wij verstrekken geen informatie die wij van u hebben ontvangen aan derden.

Uitzonderingen:

• Indien het nodig is - in overeenstemming met de wet, gerechtelijk bevel, in gerechtelijke procedures, en/of op basis van openbare verzoeken of verzoeken van overheidsinstanties op het grondgebied van de Russische Federatie - om uw persoonlijke gegevens vrij te geven. We kunnen ook informatie over u vrijgeven als we vaststellen dat een dergelijke openbaarmaking noodzakelijk of gepast is voor veiligheid, wetshandhaving of andere sociaal belangrijke redenen.
• In het geval van een reorganisatie, fusie of verkoop, kunnen we de persoonlijke informatie die we verzamelen overdragen aan de juiste derde partij - de rechtsopvolger.

Bescherming van persoonlijke informatie

We nemen voorzorgsmaatregelen - inclusief administratieve, technische en fysieke - om uw persoonlijke informatie te beschermen tegen verlies, diefstal en misbruik, evenals tegen ongeoorloofde toegang, openbaarmaking, wijziging en vernietiging.

Respect voor uw privacy op bedrijfsniveau

Om ervoor te zorgen dat uw persoonlijke informatie veilig is, brengen we de regels van vertrouwelijkheid en veiligheid naar onze medewerkers en houden we strikt toezicht op de implementatie van vertrouwelijkheidsmaatregelen.

Ik hoop dat je al hebt gelezen over de getallencirkel en weet waarom deze getallencirkel wordt genoemd, waar de oorsprong van de coördinaten is en in welke richting de positieve richting is. Zo niet, dan rennen! Als je natuurlijk punten op een getallencirkel gaat vinden.

We noteren de getallen \ (2π \), \ (π \), \ (\ frac (π) (2) \), \ (- \ frac (π) (2) \), \ (\ frac (3π) (2 ) \)

Zoals je uit het vorige artikel weet, is de straal van de getallencirkel \ (1 \). De omtrek is dus \ (2π \) (berekend met de formule \ (l = 2πR \)). Met dit in gedachten markeren we \ (2π \) op de getallencirkel. Om dit nummer te markeren, moet je van \ (0 \) langs de numerieke cirkel gaan, de afstand is \ (2π \) in de positieve richting, en aangezien de omtrek \ (2π \), blijkt dat we zullen maken een complete revolutie. Dat wil zeggen, het getal \ (2π \) en \ (0 \) komt overeen met hetzelfde punt. Maak je geen zorgen, meerdere waarden voor een enkel punt is normaal voor een getallencirkel.

Laten we nu het getal \ (π \) op de getallencirkel aangeven. \ (π \) is de helft van \ (2π \). Om dit nummer en het bijbehorende punt te markeren, moet u dus van \ (0 \) in de positieve richting van de halve cirkel gaan.

Markeer het punt \ (\ frac (π) (2) \). \ (\ frac (π) (2) \) is de helft van \ (π \), dus om dit getal te markeren, moet je van \ (0 \) in de positieve richting een afstand gaan die gelijk is aan de helft \ (π \), dat is een kwart cirkel.

We duiden op de cirkel de punten \ (- \) \ (\ frac (π) (2) \) aan. We verplaatsen dezelfde afstand als de vorige keer, maar in een negatieve richting.

Laten we \ (- π \) toepassen. Om dit te doen, zullen we een afstand afleggen die gelijk is aan een halve cirkel in negatieve richting.

Laten we nu naar een ingewikkelder voorbeeld kijken. Markeer het getal \ (\ frac (3π) (2) \) op de cirkel. Vertaal hiervoor de breuk \ (\ frac (3) (2) \) naar \ (\ frac (3) (2) \) \ (= 1 \) \ (\ frac (1) (2) \) , dat wil zeggen e. \ (\ frac (3π) (2) \) \ (= π + \) \ (\ frac (π) (2) \). Dit betekent dat je van \ (0 \) in de positieve richting de afstand tot de vloer van de cirkel en nog een kwart moet gaan.

Oefening 1... Markeer de punten \ (- 2π \), \ (- \) \ (\ frac (3π) (2) \) op de getallencirkel.

We noteren de getallen \ (\ frac (π) (4) \), \ (\ frac (π) (3) \), \ (\ frac (π) (6) \), \ (\ frac (7π) (6 ) \), \ (- \ frac (4π) (3) \), \ (\ frac (7π) (4) \)

Hierboven vonden we de waarden op de snijpunten van de getallencirkel met de assen \ (x \) en \ (y \). Laten we nu de positie van de tussenliggende punten definiëren. Teken eerst de punten \ (\ frac (π) (4) \), \ (\ frac (π) (3) \) en \ (\ frac (π) (6) \).
\ (\ frac (π) (4) \) is de helft van \ (\ frac (π) (2) \) (dat wil zeggen, \ (\ frac (π) (4) \) \ (= \) \ ( \ frac (π) (2) \) \ (: 2) \), dus de afstand \ (\ frac (π) (4) \) is een halve kwart cirkel.

\ (\ frac (π) (4) \) is een derde van \ (π \) (met andere woorden, \ (\ frac (π) (3) \) \ (= π: 3 \)), dus de afstand \ (\ frac (π) (3) \) is een derde van de halve cirkel.

\ (\ frac (π) (6) \) is de helft van \ (\ frac (π) (3) \) (per slot van rekening \ (\ frac (π) (6) \) \ (= \) \ (\ frac (π) (3) \) \ (: 2 \)) dus de afstand \ (\ frac (π) (6) \) is de helft van de afstand \ (\ frac (π) (3) \).

Zo bevinden ze zich ten opzichte van elkaar:

Commentaar: Locatie van punten met waarde \ (0 \), \ (\ frac (π) (2) \), \ (π \), \ (\ frac (3π) (2) \), \ (\ frac (π) ( 4) \), \ (\ frac (π) (3) \), \ (\ frac (π) (6) \) beter gewoon onthouden. Zonder hen lijkt de cijfercirkel, net als een computer zonder monitor, een handig ding, maar het is buitengewoon onhandig om te gebruiken.

Laten we nu het punt \ (\ frac (7π) (6) \) op de cirkel aanduiden, hiervoor voeren we de volgende transformaties uit: \ (\ frac (7π) (6) \) \ (= \) \ (\ frac (6π + π ) (6) \) \ (= \) \ (\ frac (6π) (6) \) \ (+ \) \ (\ frac (π) (6) \) \ (= π + \ ) \ (\ frac (π) (6) \). Hieruit is duidelijk dat het van nul naar de positieve kant nodig is om de afstand \ (π \) te passeren, en dan nog een \ (\ frac (π) (6) \).

Markeer het punt \ (- \) \ (\ frac (4π) (3) \) op de cirkel. We transformeren: \ (- \) \ (\ frac (4π) (3) \) \ (= - \) \ (\ frac (3π) (3) \) \ (- \) \ (\ frac (π) ( 3) \) \ (= - π - \) \ (\ frac (π) (3) \). Het is dus noodzakelijk om van \ (0 \) in negatieve richting de afstand \ (π \) en ook \ (\ frac (π) (3) \) door te geven.

We tekenen een punt \ (\ frac (7π) (4) \), hiervoor transformeren we \ (\ frac (7π) (4) \) \ (= \) \ (\ frac (8π-π) (4) \) \ (= \) \ (\ frac (8π) (4) \) \ (- \) \ (\ frac (π) (4) \) \ (= 2π - \) \ (\ frac (π) (4) \). Dus om een ​​punt met de waarde \ (\ frac (7π) (4) \) te plaatsen, moet je van het punt met de waarde \ (2π \) naar de negatieve kant de afstand \ (\ frac (π) (4) \).

Opdracht 2... Markeer de punten \ (- \) \ (\ frac (π) (6) \), \ (- \) \ (\ frac (π) (4) \), \ (- \) \ (\ frac (π ) (3) \), \ (\ frac (5π) (4) \), \ (- \) \ (\ frac (7π) (6) \), \ (\ frac (11π) (6) \) , \ (\ frac (2π) (3) \), \ (- \) \ (\ frac (3π) (4) \).

We noteren de getallen \ (10π \), \ (- 3π \), \ (\ frac (7π) (2) \), \ (\ frac (16π) (3) \), \ (- \ frac (21π) ) ( 2) \), \ (- \ frac (29π) (6) \)

Laten we \ (10π \) schrijven als \ (5 \ cdot 2π \). Bedenk dat \ (2π \) een afstand is die gelijk is aan de omtrek, dus om het punt \ (10 ​​\) te markeren, moet je van nul naar een afstand gelijk aan \ (5 \) cirkels gaan. Het is niet moeilijk te raden dat we ons weer op het punt \ (0 \) bevinden, we zullen maar vijf bochten maken.

Uit dit voorbeeld kunnen we concluderen:

Getallen met een verschil in \ (2πn \), waarbij \ (n∈Z \) (dat wil zeggen, \ (n \) een willekeurig geheel getal is) overeenkomt met hetzelfde punt.

Dat wil zeggen, om een ​​getal in te voeren met een waarde groter dan \ (2π \) (of kleiner \ (- 2π \)), moet je er een even geheel getal uit selecteren \ (π \) (\ (2π \), \ (8π \), \ (- 10π \) ...) en weggooien. We zullen dus het nummer verwijderen dat geen invloed heeft op de positie van het punt "lege omwentelingen".

Nog een conclusie:

Het punt waarmee \ (0 \) overeenkomt, komt ook overeen met alle even grootheden \ (π \) (\ (± 2π \), \ (± 4π \), \ (± 6π \) ...).

Nu gaan we \ (- 3π \) op de cirkel tekenen. \ (- 3π = -π-2π \), dus \ (- 3π \) en \ (- π \) staan ​​op dezelfde plaats op de cirkel (aangezien ze verschillen door een "lege bocht" in \ (- 2π \ )).

Trouwens, alle oneven \ (π \) zullen er ook zijn.

Alle oneven grootheden \ (π \) (\ (± π \), \ (± 3π \), \ (± 5π \) ...) komen ook overeen met het punt waarmee \ (π \) overeenkomt.

Laten we nu het getal \ (\ frac (7π) (2) \) aanduiden. Zoals gebruikelijk transformeren we: \ (\ frac (7π) (2) \) \ (= \) \ (\ frac (6π) (2) \) \ (+ \) \ (\ frac (π) (2) \ ) \ (= 3π + \) \ (\ frac (π) (2) \) \ (= 2π + π + \) \ (\ frac (π) (2) \). We gooien twee pi weg en het blijkt dat je, om het getal \ (\ frac (7π) (2) \) aan te duiden, van nul naar de positieve kant moet gaan over een afstand gelijk aan \ (π + \) \ ( \ frac (π) (2) \ ) (d.w.z. een halve cirkel en nog een kwart).

Bij het bestuderen van trigonometrie op school wordt elke student geconfronteerd met een zeer interessant concept "nummercirkel". Het vermogen van de schoolleraar om uit te leggen wat het is en waar het voor is, hangt af van hoe goed de student later naar trigonometrie zal gaan. Helaas kan niet elke docent deze stof op een toegankelijke manier uitleggen. Als gevolg hiervan raken veel studenten in de war, zelfs over hoe ze het moeten vieren punten op de getallencirkel... Als u dit artikel tot het einde leest, leert u hoe u dit zonder problemen kunt doen.

Dus laten we beginnen. Laten we een cirkel tekenen waarvan de straal 1 is. Het meest "juiste" punt van deze cirkel wordt aangegeven met de letter O:

Gefeliciteerd, je hebt zojuist een eenheidscirkel getekend. Aangezien de straal van deze cirkel 1 is, is de lengte ervan.

Elk reëel getal kan worden geassocieerd met de lengte van het traject langs de getallencirkel vanaf het punt O... De positieve richting wordt genomen als de bewegingsrichting tegen de klok in. Voor negatief - met de klok mee:

Punten op een getallencirkel lokaliseren

Zoals we al opmerkten, is de lengte van de getallencirkel (eenheidscirkel) gelijk aan. Waar komt het nummer dan op deze cirkel te staan? Duidelijk vanaf het punt O tegen de klok in, je moet de halve omtrek nemen en we zullen ons op het gewenste punt bevinden. Laten we het met de letter aanduiden B:

Merk op dat hetzelfde punt kan worden bereikt door de halve cirkel in negatieve richting te passeren. Dan zetten we een getal op de eenheidscirkel. Dat wil zeggen, hetzelfde punt komt overeen met de cijfers.

Bovendien komt dit punt ook overeen met getallen,,, en, in het algemeen, een oneindige reeks getallen die kan worden geschreven in de vorm, waarbij, dat wil zeggen, behoort tot de reeks gehele getallen. Dit alles komt omdat vanaf het punt B je kunt een "rond de wereld" reis maken in elke richting (optellen of aftrekken van de omtrek) en op hetzelfde punt uitkomen. We krijgen een belangrijke conclusie die moet worden begrepen en onthouden.

Elk cijfer komt overeen met een enkel punt op de cijfercirkel. Maar elk punt op de getallencirkel komt overeen met oneindig veel getallen.

We delen nu de bovenste halve cirkel van de getallencirkel in bogen van gelijke lengte door een punt C... Het is gemakkelijk te zien dat de lengte van de boog OC is gelijk. Nu zullen we uitstellen vanaf het punt C een boog van dezelfde lengte tegen de klok in. Daardoor komen we to the point B... Het resultaat is vrij te verwachten, sinds. Laten we deze boog opnieuw in dezelfde richting uitstellen, maar nu vanaf het punt B... Daardoor komen we to the point D, die al overeenkomt met het nummer:

Merk nogmaals op dat dit punt niet alleen overeenkomt met een getal, maar bijvoorbeeld ook met een getal, omdat dit punt bereikt kan worden door opzij te zetten van het punt O een kwart cirkel met de klok mee (negatieve richting).

En in het algemeen merken we nogmaals op dat oneindig veel getallen overeenkomen met dit punt, dat kan worden geschreven in de vorm ... Maar ze kunnen ook worden geschreven als. Of, zo u wilt, in het formulier. Al deze records zijn absoluut gelijkwaardig, en ze kunnen van elkaar worden verkregen.

Laten we nu de boog breken in OC in halve punt M... Zoek nu uit wat de lengte van de boog is OM? Dat klopt, de helft van de boog OC... d.w.z. Met welke getallen komt de punt overeen? M op de cijfercirkel? Ik weet zeker dat u zich nu zult realiseren dat deze getallen in de vorm kunnen worden geschreven.

Maar het kan ook anders. Laten we de gepresenteerde formule nemen. Dan snappen we dat ... Dat wil zeggen, deze getallen kunnen worden geschreven als ... Hetzelfde resultaat kan worden verkregen met behulp van de getallencirkel. Zoals ik al zei, zijn beide vermeldingen equivalent en kunnen ze van elkaar worden afgeleid.

Nu kunt u eenvoudig een voorbeeld geven van getallen die overeenkomen met punten nee, P en K op de cijfercirkel. Bijvoorbeeld cijfers en:

Vaak zijn het de minimale positieve getallen die worden gebruikt om de corresponderende punten op de getallencirkel aan te duiden. Hoewel dit helemaal niet nodig is, en het punt is: nee zoals je al weet, is er een oneindig aantal andere getallen. Inclusief bijvoorbeeld een nummer.

Als je de boog breekt OC in drie gelijke bogen door punten S en L dus het punt S zal tussen de punten liggen O en L, dan de booglengte OS gelijk zal zijn, en de lengte van de boog OL gelijk zal zijn aan. Met behulp van de kennis die je in het vorige deel van de les hebt gekregen, kun je gemakkelijk achterhalen hoe de rest van de punten op de cijfercirkel zijn geworden:

Getallen die geen veelvouden zijn van π op de getallencirkel

Laten we ons nu de vraag stellen, waar op de getallenlijn het punt dat overeenkomt met het getal 1 markeren? Om dit te doen, moet je vanaf het meest "juiste" punt van de eenheidscirkel O om een ​​boog uit te stellen, waarvan de lengte gelijk zou zijn aan 1. We kunnen de locatie van het gewenste punt slechts bij benadering aangeven. Laten we als volgt te werk gaan.

>> Cijfer cirkel

Bij het bestuderen van de cursus algebra in de klassen 7-9, hebben we tot nu toe algebraïsche functies behandeld, d.w.z. functies analytisch gedefinieerd door uitdrukkingen, waarbij algebraïsche bewerkingen op getallen en een variabele zijn gebruikt (optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, divisie, machtsverheffing, vierkantswortel). Maar wiskundige modellen van reële situaties worden vaak geassocieerd met functies van een ander type, niet algebraïsch. In dit hoofdstuk maken we kennis met de eerste vertegenwoordigers van de klasse van niet-algebraïsche functies - trigonometrische functies. Op de middelbare school bestudeer je trigonometrische functies en andere soorten niet-algebraïsche functies (exponentieel en logaritmisch).
Om trigonometrische functies te introduceren, hebben we een nieuwe wiskundig model- de getallencirkel, die je nog niet hebt ontmoet, maar de getallenlijn kent je wel. Bedenk dat de getallenlijn een lijn is waarop het startpunt O, de schaal (eenheidssegment) en de positieve richting worden gegeven. We kunnen elk reëel getal associëren met een punt op een rechte lijn en terug.

Hoe vind je het corresponderende punt M op de lijn met het getal x? Het startpunt O komt overeen met het getal 0. Als x> 0, dan is het nodig om langs een rechte lijn vanaf het punt 0 in de positieve richting te gaan n ^ de lengte x; het einde van dit pad zal het gewenste punt M (x) zijn. Als x< 0, то, двигаясь по прямой из точки О в отрицательном направлении, нужно пройти путь 1*1; конец этого пути и будет искомой точкой М(х). Число х - координата точки М.

En hoe hebben we het inverse probleem opgelost, d.w.z. hoe heb je de x-coördinaat van een bepaald punt M op de getallenlijn gezocht? We vonden de lengte van het segment ОМ en namen het met het teken "+" of * - "afhankelijk van aan welke kant van het punt O zich op de rechte lijn bevindt.

Maar in het echte leven moet je niet alleen in een rechte lijn bewegen. Beweging mee cirkels... Hier is een concreet voorbeeld. Laten we de loopband van het stadion als een cirkel beschouwen (in feite is het natuurlijk geen cirkel, maar onthoud, zoals sportcommentatoren meestal zeggen: "een loper liep een cirkel", "een halve cirkel over om te rennen tot de finishlijn ", enz.), de lengte is 400 m. Gemarkeerd startpunt - punt A (Fig. 97). De loper van punt A beweegt in een cirkel tegen de klok in. Waar zal hij zijn over 200 m? na 400 meter? na 800 meter? na 1500 meter? En waar trek je de finishlijn als hij een marathonafstand van 42 km 195 m loopt?

Na 200 m bevindt het zich op punt C, diametraal tegenover punt A (200 m is de lengte van de helft van de loopband, d.w.z. de lengte van een halve cirkel). Nadat hij 400 m heeft gelopen (dwz "één cirkel", zoals de atleten zeggen), keert hij terug naar punt A. Na 800 m te hebben gelopen (dwz "twee cirkels"), zal hij opnieuw op punt A zijn. En wat is 1500 m ? Dit zijn "drie cirkels" (1200 m) plus nog eens 300 m, dwz. 3

Loopband - de finish van deze afstand is bij punt 2) (fig. 97).

We hebben gewoon te maken met de marathon. Na 105 ronden te hebben afgelegd, legt de atleet de afstand van 105-400 = 42.000 m af, d.w.z. 42 kilometer. Er zijn 195 m tot de finish, dat is 5 m minder dan de helft van de omtrek. Dit betekent dat de finish van de marathonafstand zal zijn op punt M, gelegen nabij punt C (Fig. 97).

Commentaar. U begrijpt natuurlijk de conventie van het laatste voorbeeld. Niemand loopt een marathonafstand in het stadion, het maximum is 10.000 m, d.w.z. 25 ronden.

Je kunt op de loopband van het stadion rennen of lopen. Dit betekent dat elk positief getal overeenkomt met een bepaald punt - "einde van de afstand". Bovendien kun je elk negatief getal in overeenstemming met de punt van de cirkel plaatsen: je hoeft de atleet alleen maar te dwingen in de tegenovergestelde richting te rennen, d.w.z. start vanaf punt A niet tegen de klok in, maar met de klok mee. Dan kan de stadionloopband worden gezien als een getallencirkel.

In principe kan elke cirkel als numeriek worden beschouwd, maar in de wiskunde hebben we afgesproken om hiervoor een eenheidscirkel te gebruiken - een cirkel met een straal van 1. Dit wordt onze "loopband". De lengte b van een cirkel met straal K wordt berekend met de formule De lengte van een halve cirkel is n, en de lengte van een kwart van een cirkel is AB, BC, SB, DA in Fig. 98 - gelijk Laten we afspreken om de boog AB het eerste kwart van de eenheidscirkel te noemen, de boog BC - het tweede kwart, de boog СB - het derde kwart, de boog DА - het vierde kwart (Fig. 98). In dit geval hebben we het meestal over een Open boog, d.w.z. over een boog zonder zijn uiteinden (zoiets als een interval op een getallenlijn).

Definitie. Een eenheidscirkel wordt gegeven, het startpunt A is erop gemarkeerd - het rechter uiteinde van de horizontale diameter (Fig. 98). Laten we corresponderen met elk reëel getal I een punt van de cirkel volgens de volgende regel:

1) als x> 0, dan beschrijven we het pad langs de cirkel met de lengte en het eindpunt M van dit pad en dit zal het gewenste punt zijn, bewegend vanaf punt A in de richting tegen de klok in (positieve richting van het doorlopen van de cirkel). : M = M (x);

2) als x< 0, то, двигаясь из точки А в направлении по часовой стрелке (отрицательное направление обхода окружности), опишем по окружности путь длиной и |; конечная точка М этого пути и будет искомой точкой: М = М(1);

0 zetten we in correspondentie het punt A: A = A (0).

De eenheidscirkel met de vastgestelde overeenkomst (tussen reële getallen en punten van de cirkel) wordt de getallencirkel genoemd.
Voorbeeld 1. Zoek op Cijfercirkel
Omdat de eerste zes van de gegeven zeven getallen positief zijn, moet je, om de corresponderende punten op de cirkel te vinden, een pad van een bepaalde lengte langs de cirkel afleggen, vanuit punt A in de positieve richting. Laten we daar rekening mee houden

Punt A komt overeen met nummer 2, omdat, na een cirkel te hebben afgelegd, een pad met lengte 2, d.w.z. precies één cirkel, komen we weer bij het startpunt A. Dus, A = A (2).
Wat Dus als je vanuit punt A in de positieve richting beweegt, moet je de hele cirkel doorlopen.

Commentaar. Als we in de groepen 7-8 . zitten werkte met de getallenlijn hebben we afgesproken om kortheidshalve niet te zeggen "punt van de lijn die overeenkomt met het getal x", maar om "punt x" te zeggen. We houden ons aan precies dezelfde overeenkomst als we met een getallencirkel werken: "punt f" - dit betekent dat we het hebben over een punt van de cirkel dat overeenkomt met het nummer
Voorbeeld 2.
Als we het eerste kwartaal AB in drie gelijke delen verdelen door de punten K en P, krijgen we:

Voorbeeld 3. Zoek op de getallencirkel de punten die overeenkomen met getallen
We zullen de constructies doen met behulp van Fig. 99. Als we de boog AM (de lengte is gelijk aan -) vanaf punt A vijf keer in de negatieve richting opzij leggen, krijgen we punt !, - het midden van de boog BC. Zo,

Commentaar. Besteed aandacht aan een deel van de vrijheid die we onszelf toestaan ​​in het gebruik van wiskundige taal. Het is duidelijk dat de boog AK en de lengte van de boog AK verschillende dingen zijn (het eerste concept is een geometrische figuur en het tweede concept is een getal). Maar beide worden op dezelfde manier aangeduid: AK. Bovendien, als de punten A en K zijn verbonden door een segment, dan worden zowel het resulterende segment als de lengte ervan op dezelfde manier aangegeven: AK. Meestal is uit de context duidelijk welke betekenis aan de aanduiding wordt gegeven (boog, booglengte, segment of segmentlengte).

Daarom zijn we erg handig twee lay-outs van de getallencirkel.

EERSTE INDELING
Elk van de vier kwartalen van de numerieke cirkel is verdeeld in twee gelijke delen, en hun "namen" zijn geschreven in de buurt van elk van de acht beschikbare punten (Fig. 100).

TWEEDE LAY-OUT Elk van de vier kwartalen van de numerieke cirkel is verdeeld in drie gelijke delen, en hun "namen" zijn geschreven in de buurt van elk van de twaalf beschikbare punten (Fig. 101).

Merk op dat we in beide lay-outs andere "namen" kunnen toewijzen aan de gegeven punten.
Is het je opgevallen dat in alle geanalyseerde voorbeelden de lengtes van de bogen
uitgedrukt door enkele fracties van het getal n? Dit is niet verwonderlijk: de lengte van de eenheidscirkel is immers 2n, en als we de cirkel of zijn kwart in gelijke delen verdelen, krijgen we bogen waarvan de lengte wordt uitgedrukt door fracties van het getal en. En wat denk je, is het mogelijk om een ​​punt E op de eenheidscirkel te vinden zodat de lengte van de boog AE gelijk is aan 1? Laten we schatten:

Op dezelfde manier redenerend concluderen we dat op de eenheidscirkel het punt E2 kan worden gevonden waarvoor AE = 1, en het punt E2, waarvoor AEr = 2, en het punt E3, waarvoor AE3 = 3, en de punt E4, waarvoor AE4 = 4, en punt Eb, waarvoor AEb = 5, en punt E6, waarvoor AE6 = 6. In Fig. 102 gemarkeerd (ongeveer) de corresponderende punten (en ter oriëntatie is elk van de kwartalen van de eenheidscirkel door streepjes in drie gelijke delen verdeeld).

Voorbeeld 4. Zoek op de cijfercirkel het punt dat overeenkomt met het cijfer -7.

We moeten, beginnend bij punt A (0) en bewegend in een negatieve richting (met de klok mee), langs een cirkel met een lengte van 7 gaan. Als we door één cirkel gaan, krijgen we (ongeveer) 6,28, wat betekent dat we nog (in dezelfde richting) padlengte 0,72 moeten doorlopen. Wat is deze boog? Iets minder dan een half kwart van de cirkel, d.w.z. de lengte is kleiner dan het getal -.

Dus de opgebouwde cirkel heeft, net als de opgebouwde lijn, één punt dat overeenkomt met elk reëel getal (alleen is het natuurlijk gemakkelijker om het op een rechte lijn te vinden dan op een cirkel). Maar voor de rechte lijn geldt ook het tegenovergestelde: elk punt komt overeen met een enkel getal. Voor de getallencirkel is deze stelling niet waar, hierboven hebben we daar herhaaldelijk voor gezorgd. De volgende bewering is waar voor de getallencirkel.
Als het punt M van de numerieke cirkel overeenkomt met het getal I, dan komt het ook overeen met het getal van de vorm I + 2yak, waarbij k een willekeurig geheel getal is (k e 2).

Inderdaad, 2n is de lengte van de numerieke (eenheids)cirkel, en het gehele getal | d | kan worden beschouwd als het aantal volledige rondes van de cirkel in de ene of de andere richting. Als bijvoorbeeld k = 3, dan betekent dit dat we drie rondjes van de cirkel in positieve richting maken; als k = -7, dan betekent dit dat we zeven (| k | = | -71 = 7) rondjes van de cirkel in de negatieve richting maken. Maar als we op het punt M (1) zijn, dan presteren we meer | naar | volledige verplaatsingen van de cirkel, bevinden we ons opnieuw in punt M.

AG Mordkovich Algebra Grade 10

Inhoud van de les lesoverzicht ondersteuning kader les presentatie versnellingsmethoden interactieve technologieën Praktijk taken en oefeningen zelftest workshops, trainingen, cases, speurtochten huiswerk discussievragen retorische vragen van studenten Illustraties audio, videoclips en multimedia foto's, afbeeldingen, grafieken, tabellen, schema's humor, anekdotes, grappen, stripparabels, gezegden, kruiswoordraadsels, citaten Add-ons samenvattingen artikelen fiches voor nieuwsgierige spiekbriefjes leerboeken basis- en aanvullende woordenschat van termen anderen Leerboeken en lessen verbeterenbugfixes in de tutorial een fragment in het leerboek bijwerken elementen van innovatie in de les vervangen van verouderde kennis door nieuwe Alleen voor docenten perfecte lessen kalenderplan voor het jaar methodologische aanbevelingen van het discussieprogramma Geïntegreerde lessen

Als u een eenheidsgetalcirkel op een coördinatenvlak plaatst, kunnen de coördinaten voor de punten ervan worden gevonden. De numerieke cirkel is zo geplaatst dat het middelpunt samenvalt met het oorsprongspunt van het vlak, dat wil zeggen het punt O (0; 0).

Gewoonlijk worden op de cirkel met het eenheidsnummer punten gemarkeerd die overeenkomen met de oorsprong op de cirkel

• kwarten - 0 of 2π, π / 2, π, (2π) / 3,
• midden kwart - π / 4, (3π) / 4, (5π) / 4, (7π) / 4,
• derde kwart - π / 6, π / 3, (2π) / 3, (5π) / 6, (7π) / 6, (4π) / 3, (5π) / 3, (11π) / 6.

Op het coördinatenvlak met de bovenstaande locatie van de eenheidscirkel erop, kun je de coördinaten vinden die overeenkomen met deze punten van de cirkel.

De coördinaten van de uiteinden van de kwartieren zijn heel gemakkelijk te vinden. Op punt 0 van de cirkel is de x-coördinaat 1 en y is 0. We kunnen het aanduiden als A (0) = A (1; 0).

Het einde van het eerste kwartaal staat op de positieve y-as. Daarom is B (π / 2) = B (0; 1).

Het einde van het tweede kwartaal staat op de negatieve halve as: C (π) = C (-1; 0).

Einde van het derde kwartaal: D ((2π) / 3) = D (0; -1).

Maar hoe vind je de coördinaten van de middelpunten van de kwartieren? Bouw hiervoor een rechthoekige driehoek. De hypotenusa is een segment van het middelpunt van de cirkel (of oorsprong) tot het middelpunt van de kwart cirkel. Dit is de straal van de cirkel. Aangezien de cirkel eenheid is, is de hypotenusa 1. Vervolgens wordt een loodlijn getrokken van het punt van de cirkel naar een willekeurige as. Laat het in de richting van de x-as zijn. Het blijkt een rechthoekige driehoek te zijn, waarvan de lengtes van de benen de x- en y-coördinaten van het punt van de cirkel zijn.

De kwartcirkel is 90º. En een half kwartier is 45 graden. Aangezien de hypotenusa naar het punt van het midden van het kwart wordt getrokken, is de hoek tussen de hypotenusa en het been dat zich uitstrekt vanaf de oorsprong 45º. Maar de som van de hoeken van elke driehoek is 180º. Daarom is de hoek tussen de hypotenusa en het andere been ook 45º. Het blijkt een gelijkbenige rechthoekige driehoek te zijn.

Uit de stelling van Pythagoras krijgen we de vergelijking x 2 + y 2 = 1 2. Aangezien x = y en 1 2 = 1, wordt de vergelijking vereenvoudigd tot x 2 + x 2 = 1. Als we dit oplossen, krijgen we x = √½ = 1 / √2 = √2 / 2.

De coördinaten van het punt zijn dus M 1 (π / 4) = M 1 (√2 / 2; √2 / 2).

In de coördinaten van de punten van de middelpunten van andere kwartalen zullen alleen de tekens veranderen en zullen de moduli van de waarden hetzelfde blijven, omdat de rechthoekige driehoek alleen wordt omgekeerd. We krijgen:
M 2 ((3π) / 4) = M 2 (-√2 / 2; √2 / 2)
M 3 ((5π) / 4) = M 3 (-√2 / 2; -√2 / 2)
M 4 ((7π) / 4) = M 4 (√2 / 2; -√2 / 2)

Bij het bepalen van de coördinaten van de derde delen van de kwartieren van de cirkel wordt ook een rechthoekige driehoek gebouwd. Als we het punt π / 6 nemen en een loodlijn op de x-as tekenen, dan is de hoek tussen de hypotenusa en het op de x-as liggende been 30º. Het is bekend dat het been, dat tegenover een hoek van 30 graden ligt, gelijk is aan de helft van de hypotenusa. Daarom hebben we de y-coördinaat gevonden, deze is gelijk aan ½.

Als we de lengtes van de hypotenusa en een van de benen kennen, vinden we volgens de stelling van Pythagoras een ander been:
x 2 + (½) 2 = 1 2
x 2 = 1 - ¼ =
x = √3 / 2

Dus, T 1 (π / 6) = T 1 (√3 / 2; ½).

Voor het punt van het tweede derde deel van het eerste kwartaal (π / 3) is het beter om de loodlijn op de as op de y-as te tekenen. Dan is de hoek bij de oorsprong ook 30º. Hier is de x-coördinaat gelijk aan ½ en y, respectievelijk √3 / 2: T 2 (π / 3) = T 2 (½; √3 / 2).

Voor andere punten in het derde kwartaal veranderen de tekens en volgorde van de coördinaatwaarden. Alle punten die dichter bij de x-as liggen, hebben een x-coördinaat modulo √3 / 2. De punten die dichter bij de y-as liggen, hebben een y-waarde van √3 / 2 in absolute waarde.
T 3 ((2π) / 3) = T 3 (-½; √3 / 2)
T 4 ((5π) / 6) = T 4 (-√3 / 2; ½)
T 5 ((7π) / 6) = T 5 (-√3 / 2; -½)
T 6 ((4π) / 3) = T 6 (-½; -√3 / 2)
T 7 ((5π) / 3) = T 7 (½; -√3 / 2)
T 8 ((11π) / 6) = T 8 (√3 / 2; -½)