Voor de trinomiale \ (3x ^ 2 + 2x-7 \) is de discriminant bijvoorbeeld \ (2 ^ 2-4 \ cdot3 \ cdot (-7) = 4 + 84 = 88 \). En voor de trinomiale \ (x ^ 2-5x + 11 \), wordt het \ ((- 5) ^ 2-4 \ cdot1 \ cdot11 = 25-44 = -19 \).

De discriminant wordt aangegeven met de letter \ (D \) en wordt vaak gebruikt bij het oplossen. Door de waarde van de discriminant kunt u ook begrijpen hoe de grafiek er ongeveer uitziet (zie hieronder).

Discriminant en wortels van de vergelijking

De discriminantwaarde geeft de hoeveelheid van de kwadratische vergelijking weer:
- als \ (D \) positief is - zal de vergelijking twee wortels hebben;
- als \ (D \) gelijk is aan nul - slechts één wortel;
- als \ (D \) negatief is, zijn er geen wortels.

Dit hoeft niet te worden geleerd, het is gemakkelijk om tot deze conclusie te komen, gewoon wetende wat van de discriminant (dat wil zeggen, \ (\ sqrt (D) \) de formule invoert voor het berekenen van de wortels van de vergelijking: \ (x_ (1) = \) \ (\ frac (-b + \ sqrt (D)) (2a) \) en \ (x_ (2) = \) \ (\ frac (-b- \ sqrt (D)) ( 2a) \) Laten we elk geval eens nader bekijken ...

Als de discriminant positief is

In dit geval is de wortel ervan een positief getal, wat betekent dat \ (x_ (1) \) en \ (x_ (2) \) een andere betekenis hebben, omdat in de eerste formule \ (\ sqrt (D) \) wordt opgeteld en in de tweede wordt het afgetrokken. En we hebben twee verschillende wortels.

Voorbeeld : Vind de wortels van de vergelijking \ (x ^ 2 + 2x-3 = 0 \)
Oplossing :

Antwoord : \ (x_ (1) = 1 \); \ (x_ (2) = - 3 \)

Als de discriminant nul is

En hoeveel wortels zullen er zijn als de discriminant nul is? Laten we redeneren.

De basisformules zien er als volgt uit: \ (x_ (1) = \) \ (\ frac (-b + \ sqrt (D)) (2a) \) en \ (x_ (2) = \) \ (\ frac ( -b- \ sqrt (D)) (2a) \). En als de discriminant nul is, dan is de wortel ervan ook nul. Dan blijkt:

\ (x_ (1) = \) \ (\ frac (-b + \ sqrt (D)) (2a) \) \ (= \) \ (\ frac (-b + \ sqrt (0)) (2a) \) \ (= \) \ (\ frac (-b + 0) (2a) \) \ (= \) \ (\ frac (-b) (2a) \)

\ (x_ (2) = \) \ (\ frac (-b- \ sqrt (D)) (2a) \) \ (= \) \ (\ frac (-b- \ sqrt (0)) (2a) \) \ (= \) \ (\ frac (-b-0) (2a) \) \ (= \) \ (\ frac (-b) (2a) \)

Dat wil zeggen, de waarden van de wortels van de vergelijking zullen hetzelfde zijn, omdat het optellen of aftrekken van nul niets verandert.

Voorbeeld : Vind de wortels van de vergelijking \ (x ^ 2-4x + 4 = 0 \)
Oplossing :

\ (x ^ 2-4x + 4 = 0 \)		We schrijven de coëfficiënten op:
\ (a = 1; \) \ (b = -4; \) \ (c = 4; \)		Bereken de discriminant met de formule \ (D = b ^ 2-4ac \)
\ (D = (- 4) ^ 2-4 \ cdot1 \ cdot4 = \) \(=16-16=0\)		Vind de wortels van de vergelijking
\ (x_ (1) = \) \ (\ frac (- (- 4) + \ sqrt (0)) (2 \ cdot1) \)\ (= \) \ (\ frac (4) (2) \) \ (= 2 \) \ (x_ (2) = \) \ (\ frac (- (- 4) - \ sqrt (0)) (2 \ cdot1) \)\ (= \) \ (\ frac (4) (2) \) \ (= 2 \)		We hebben twee identieke wortels, dus het heeft geen zin om ze apart te schrijven - we schrijven ze als één op.

Antwoord : \ (x = 2 \)

Dit onderwerp lijkt in eerste instantie misschien ingewikkeld vanwege de vele moeilijke formules. Niet alleen hebben de kwadratische vergelijkingen zelf lange records, maar ook de wortels worden gevonden via de discriminant. Er zijn in totaal drie nieuwe formules. Het is niet gemakkelijk te onthouden. Dit is alleen mogelijk na veelvuldige oplossing van dergelijke vergelijkingen. Dan worden alle formules vanzelf onthouden.

Algemeen beeld van de kwadratische vergelijking

Hier wordt hun expliciete opname voorgesteld, wanneer de hoogste graad eerst wordt geregistreerd en vervolgens in aflopende volgorde. Er zijn vaak situaties waarin de voorwaarden niet in orde zijn. Dan is het beter om de vergelijking te herschrijven in afnemende volgorde van de graad van de variabele.

Laten we de notatie introduceren. Ze zijn weergegeven in de onderstaande tabel.

Als we deze aanduidingen accepteren, worden alle kwadratische vergelijkingen teruggebracht tot het volgende record.

Bovendien is de coëfficiënt a ≠ 0. Laat deze formule worden aangeduid met nummer één.

Wanneer de vergelijking wordt gegeven, is het niet duidelijk hoeveel wortels er in het antwoord zullen zijn. Omdat een van de drie opties altijd mogelijk is:

• er zullen twee wortels in de oplossing zijn;
• het antwoord is één getal;
• de vergelijking heeft helemaal geen wortels.

En totdat de beslissing niet ten einde is, is het moeilijk te begrijpen welke van de opties in een bepaald geval zullen vallen.

Soorten records van kwadratische vergelijkingen

Taken kunnen hun verschillende records bevatten. Ze zullen er niet altijd uitzien als een algemene kwadratische vergelijking. Soms ontbreken er enkele termen. Wat hierboven is geschreven, is een volledige vergelijking. Als je de tweede of derde term erin verwijdert, krijg je iets anders. Deze records worden ook kwadratische vergelijkingen genoemd, alleen onvolledig.

Bovendien kunnen alleen de termen waarin de coëfficiënten "b" en "c" verdwijnen. Het getal "a" kan in geen geval nul zijn. Omdat in dit geval de formule verandert in een lineaire vergelijking. Formules voor een onvolledige vorm van vergelijkingen zijn als volgt:

Er zijn dus slechts twee typen, naast de volledige, zijn er ook onvolledige kwadratische vergelijkingen. Laat de eerste formule nummer twee zijn en de tweede nummer drie.

Discriminant en afhankelijkheid van het aantal wortels van de waarde ervan

U moet dit getal weten om de wortels van de vergelijking te berekenen. Het kan altijd worden berekend, ongeacht de formule voor de kwadratische vergelijking. Om de discriminant te berekenen, moet u de onderstaande gelijkheid gebruiken, die het getal vier heeft.

Nadat u de waarden van de coëfficiënten in deze formule hebt vervangen, kunt u getallen met verschillende tekens krijgen. Als het antwoord ja is, zal het antwoord op de vergelijking twee verschillende wortels zijn. Bij een negatief getal ontbreken de wortels van de kwadratische vergelijking. Als het gelijk is aan nul, is het antwoord één.

Hoe wordt een volledige kwadratische vergelijking opgelost?

In feite is de behandeling van deze kwestie al begonnen. Want eerst moet je de discriminant vinden. Nadat is vastgesteld dat er wortels van de kwadratische vergelijking zijn en hun aantal bekend is, moet u de formules voor de variabelen gebruiken. Als er twee wortels zijn, moet u de volgende formule toepassen.

Omdat het het teken "±" bevat, zijn er twee waarden. De vierkantsworteluitdrukking is de discriminant. Daarom kan de formule op een andere manier worden herschreven.

Formule nummer vijf. Hetzelfde record laat zien dat als de discriminant nul is, beide wortels dezelfde waarden zullen aannemen.

Als de oplossing van kwadratische vergelijkingen nog niet is uitgewerkt, is het beter om de waarden van alle coëfficiënten op te schrijven voordat de discriminant- en variabeleformules worden toegepast. Later zal dit moment geen problemen opleveren. Maar in het begin is er verwarring.

Hoe wordt een onvolledige kwadratische vergelijking opgelost?

Alles is hier veel eenvoudiger. Er zijn zelfs geen extra formules nodig. En je hebt degenen die al zijn opgenomen voor de discriminant en het onbekende niet nodig.

Overweeg eerst de onvolledige vergelijking nummer twee. In deze gelijkheid wordt verondersteld dat het de onbekende hoeveelheid uit de haakjes haalt en de lineaire vergelijking oplost, die tussen haakjes blijft. Het antwoord heeft twee wortels. De eerste is noodzakelijkerwijs gelijk aan nul, omdat er een factor is die uit de variabele zelf bestaat. De tweede wordt verkregen bij het oplossen van een lineaire vergelijking.

Onvolledige vergelijking nummer drie wordt opgelost door het nummer van de linkerkant van de vergelijking naar rechts over te brengen. Dan moet je delen door de factor voor het onbekende. Het enige dat overblijft is om de vierkantswortel te extraheren en te onthouden om deze twee keer op te schrijven met tegengestelde tekens.

Vervolgens worden enkele acties geschreven om u te helpen allerlei soorten vergelijkingen op te lossen, die in kwadratische vergelijkingen veranderen. Ze zullen de student helpen om onzorgvuldige fouten te voorkomen. Deze tekortkomingen zijn de reden voor slechte cijfers bij het bestuderen van het uitgebreide onderwerp "Kwadratische vergelijkingen (Grade 8)". Vervolgens hoeven deze handelingen niet constant te worden uitgevoerd. Omdat er een stabiele vaardigheid zal verschijnen.

• Eerst moet u de vergelijking in standaardvorm schrijven. Dat wil zeggen, eerst de term met de hoogste graad van de variabele, en dan - zonder de graad en de laatste - alleen een getal.

• Als er een min voor de coëfficiënt "a" staat, kan dit het werk voor een beginner om kwadratische vergelijkingen te bestuderen, bemoeilijken. Het is beter om er vanaf te komen. Voor dit doel moet alle gelijkheid worden vermenigvuldigd met "-1". Dit betekent dat alle termen hun teken veranderen in het tegenovergestelde.

• Op dezelfde manier wordt aanbevolen om breuken te verwijderen. Vermenigvuldig de vergelijking met de juiste factor om de noemers weg te werken.

Voorbeelden van

Het is nodig om de volgende kwadratische vergelijkingen op te lossen:

x 2 - 7x = 0;

15 - 2x - x 2 = 0;

x 2 + 8 + 3x = 0;

12x + x 2 + 36 = 0;

(x + 1) 2 + x + 1 = (x + 1) (x + 2).

De eerste vergelijking: x 2 - 7x = 0. Het is onvolledig, daarom wordt het opgelost zoals beschreven voor formule nummer twee.

Na het verlaten van de haakjes, blijkt: x (x - 7) = 0.

De eerste wortel heeft de waarde: x 1 = 0. De tweede wordt gevonden uit de lineaire vergelijking: x - 7 = 0. Het is gemakkelijk in te zien dat x 2 = 7.

Tweede vergelijking: 5x 2 + 30 = 0. Opnieuw onvolledig. Alleen wordt het opgelost zoals beschreven voor de derde formule.

Na het overbrengen van 30 naar de rechterkant van de gelijkheid: 5x 2 = 30. Nu moet je delen door 5. Het blijkt: x 2 = 6. De antwoorden zijn de getallen: x 1 = √6, x 2 = - √6.

De derde vergelijking: 15 - 2x - x 2 = 0. Hierna begint het oplossen van kwadratische vergelijkingen door ze in de standaardvorm te herschrijven: - x 2 - 2x + 15 = 0. Nu is het tijd om het tweede nuttige advies te gebruiken en alles vermenigvuldigen met min één... Het blijkt x 2 + 2x - 15 = 0. Volgens de vierde formule moet je de discriminant berekenen: D = 2 2 - 4 * (- 15) = 4 + 60 = 64. Het is een positief getal. Uit wat hierboven werd gezegd, blijkt dat de vergelijking twee wortels heeft. Ze moeten worden berekend met behulp van de vijfde formule. Het blijkt dat x = (-2 ± √64) / 2 = (-2 ± 8) / 2. Dan x 1 = 3, x 2 = - 5.

De vierde vergelijking x 2 + 8 + 3x = 0 wordt hierin omgezet: x 2 + 3x + 8 = 0. De discriminant is gelijk aan deze waarde: -23. Aangezien dit getal negatief is, is het antwoord op deze taak het volgende item: "Er zijn geen wortels."

De vijfde vergelijking 12x + x 2 + 36 = 0 moet als volgt worden herschreven: x 2 + 12x + 36 = 0. Na toepassing van de formule voor de discriminant wordt het getal nul verkregen. Dit betekent dat het één wortel zal hebben, namelijk: x = -12 / (2 * 1) = -6.

De zesde vergelijking (x + 1) 2 + x + 1 = (x + 1) (x + 2) vereist transformaties, die erin bestaan ​​dat je vergelijkbare termen moet gebruiken voordat je de haakjes opent. In plaats van de eerste zal er een dergelijke uitdrukking zijn: x 2 + 2x + 1. Na de gelijkheid verschijnt dit record: x 2 + 3x + 2. Nadat dergelijke termen zijn geteld, zal de vergelijking de vorm aannemen: x 2 - x = 0. Het werd onvolledig ... Iets soortgelijks is al als een beetje hoger beschouwd. De wortels hiervan zijn de getallen 0 en 1.

We blijven het onderwerp bestuderen “ vergelijkingen oplossen". We hebben al een ontmoeting gehad met lineaire vergelijkingen en gaan verder om kennis te maken met kwadratische vergelijkingen.

Eerst zullen we analyseren wat een kwadratische vergelijking is, hoe deze in algemene vorm is geschreven en gerelateerde definities geven. Daarna zullen we aan de hand van voorbeelden in detail analyseren hoe onvolledige kwadratische vergelijkingen worden opgelost. Daarna gaan we verder met het oplossen van de volledige vergelijkingen, verkrijgen de formule voor de wortels, maken kennis met de discriminant van de kwadratische vergelijking en bekijken de oplossingen van typische voorbeelden. Laten we tot slot de relatie tussen wortels en coëfficiënten nagaan.

Paginanavigatie.

Wat is een kwadratische vergelijking? hun typen

Eerst moet je duidelijk begrijpen wat een kwadratische vergelijking is. Daarom is het logisch om te beginnen praten over kwadratische vergelijkingen met de definitie van een kwadratische vergelijking, evenals gerelateerde definities. Daarna kunt u de belangrijkste soorten kwadratische vergelijkingen overwegen: gereduceerde en niet-gereduceerde, evenals volledige en onvolledige vergelijkingen.

Definitie en voorbeelden van kwadratische vergelijkingen

Definitie.

Kwadratische vergelijking Is een vergelijking van de vorm a x 2 + b x + c = 0, waarbij x een variabele is, a, b en c enkele getallen zijn en a niet nul is.

Laten we meteen zeggen dat kwadratische vergelijkingen vaak vergelijkingen van de tweede graad worden genoemd. Dit komt omdat de kwadratische vergelijking is algebraïsche vergelijking tweedegraads.

Met de klinkende definitie kunt u voorbeelden geven van kwadratische vergelijkingen. Dus 2 x 2 + 6 x + 1 = 0, 0.2 x 2 + 2.5 x + 0.03 = 0, enz. Zijn kwadratische vergelijkingen.

Definitie.

Cijfers a, b en c heten coëfficiënten van de kwadratische vergelijking a x 2 + b x + c = 0, en de coëfficiënt a wordt de eerste, of de hoogste, of de coëfficiënt bij x 2 genoemd, b is de tweede coëfficiënt, of de coëfficiënt bij x, en c is de vrije term.

Laten we bijvoorbeeld een kwadratische vergelijking nemen van de vorm 5x2 −2x3 = 0, hier is de leidende coëfficiënt 5, de tweede coëfficiënt is −2 en het snijpunt is −3. Merk op dat wanneer de coëfficiënten b en / of c negatief zijn, zoals in het zojuist gegeven voorbeeld, de korte vorm van het schrijven van de kwadratische vergelijking 5 x 2 −2 x − 3 = 0 is, niet 5 x 2 + (- 2 ) X + (- 3) = 0.

Het is vermeldenswaard dat wanneer de coëfficiënten a en / of b gelijk zijn aan 1 of -1, ze meestal niet expliciet aanwezig zijn in de kwadratische vergelijking, wat te wijten is aan de eigenaardigheden van het schrijven ervan. Bijvoorbeeld, in een kwadratische vergelijking y 2 −y + 3 = 0, is de leidende coëfficiënt één, en de coëfficiënt op y is -1.

Gereduceerde en niet-gereduceerde kwadratische vergelijkingen

Afhankelijk van de waarde van de leidende coëfficiënt worden gereduceerde en niet-gereduceerde kwadratische vergelijkingen onderscheiden. Laten we de bijbehorende definities geven.

Definitie.

Een kwadratische vergelijking waarin de leidende coëfficiënt 1 is, wordt genoemd gereduceerde kwadratische vergelijking... Anders is de kwadratische vergelijking ongereduceerd.

Volgens deze definitie zijn kwadratische vergelijkingen x 2 −3 x + 1 = 0, x 2 −x − 2/3 = 0, enz. - gegeven, in elk van hen is de eerste coëfficiënt gelijk aan één. A 5 x 2 −x − 1 = 0, enz. - niet-gereduceerde kwadratische vergelijkingen, hun leidende coëfficiënten verschillen van 1.

Van elke niet-gereduceerde kwadratische vergelijking, door beide delen ervan te delen door de leidende coëfficiënt, kun je naar de gereduceerde gaan. Deze actie is een equivalente transformatie, dat wil zeggen dat de op deze manier verkregen gereduceerde kwadratische vergelijking dezelfde wortels heeft als de oorspronkelijke niet-gereduceerde kwadratische vergelijking, of, net als deze, geen wortels heeft.

Laten we bijvoorbeeld analyseren hoe de overgang van een niet-gereduceerde kwadratische vergelijking naar een gereduceerde vergelijking wordt uitgevoerd.

Voorbeeld.

Ga vanuit de vergelijking 3 x 2 + 12 x − 7 = 0 naar de overeenkomstige gereduceerde kwadratische vergelijking.

Oplossing.

Het is voldoende voor ons om beide zijden van de oorspronkelijke vergelijking te delen door de leidende coëfficiënt 3, deze is niet nul, dus we kunnen deze actie uitvoeren. We hebben (3 x 2 + 12 x − 7): 3 = 0: 3, wat hetzelfde is, (3 x 2): 3+ (12 x): 3−7: 3 = 0, en verder (3: 3) x 2 + (12: 3) x − 7: 3 = 0, vanwaar. Dus we hebben de gereduceerde kwadratische vergelijking, die gelijk is aan de originele.

Antwoord:

Volledige en onvolledige kwadratische vergelijkingen

De definitie van een kwadratische vergelijking bevat de voorwaarde a ≠ 0. Deze voorwaarde is nodig om ervoor te zorgen dat de vergelijking a x 2 + b x + c = 0 exact kwadratisch is, aangezien het bij a = 0 in feite een lineaire vergelijking wordt van de vorm b x + c = 0.

De coëfficiënten b en c kunnen zowel afzonderlijk als samen nul zijn. In deze gevallen wordt de kwadratische vergelijking onvolledig genoemd.

Definitie.

De kwadratische vergelijking a x 2 + b x + c = 0 heet incompleet als ten minste één van de coëfficiënten b, c gelijk is aan nul.

Beurtelings

Definitie.

Volledige kwadratische vergelijking Is een vergelijking waarin alle coëfficiënten niet nul zijn.

Dergelijke namen worden niet zomaar gegeven. Dit zal blijken uit de volgende overwegingen.

Als de coëfficiënt b gelijk is aan nul, dan heeft de kwadratische vergelijking de vorm a x 2 + 0 x + c = 0, en is gelijk aan de vergelijking a x 2 + c = 0. Als c = 0, dat wil zeggen, de kwadratische vergelijking heeft de vorm a x 2 + b x + 0 = 0, dan kan deze worden herschreven als a x 2 + b x = 0. En met b = 0 en c = 0, krijgen we de kwadratische vergelijking a x 2 = 0. De resulterende vergelijkingen verschillen van de volledige kwadratische vergelijking doordat hun linkerzijden geen term met variabele x bevatten, of een vrije term, of beide. Vandaar hun naam - onvolledige kwadratische vergelijkingen.

Dus de vergelijkingen x 2 + x + 1 = 0 en −2 x 2 −5 x + 0.2 = 0 zijn voorbeelden van volledige kwadratische vergelijkingen, en x 2 = 0, −2 x 2 = 0.5 x 2 + 3 = 0, − x 2 −5 · x = 0 zijn onvolledige kwadratische vergelijkingen.

Onvolledige kwadratische vergelijkingen oplossen

Uit de informatie in de vorige paragraaf volgt dat er: drie soorten onvolledige kwadratische vergelijkingen:

• a · x 2 = 0, het komt overeen met de coëfficiënten b = 0 en c = 0;
• a x 2 + c = 0 wanneer b = 0;
• en a x 2 + b x = 0 wanneer c = 0.

Laten we analyseren hoe onvolledige kwadratische vergelijkingen van elk van deze typen worden opgelost.

a x 2 = 0

Laten we beginnen met het oplossen van onvolledige kwadratische vergelijkingen waarin de coëfficiënten b en c gelijk zijn aan nul, dat wil zeggen met vergelijkingen van de vorm a · x 2 = 0. De vergelijking a · x 2 = 0 is gelijk aan de vergelijking x 2 = 0, die wordt verkregen uit het origineel door beide delen ervan te delen door een niet-nul getal a. Het is duidelijk dat de wortel van de vergelijking x 2 = 0 nul is, aangezien 0 2 = 0. Deze vergelijking heeft geen andere wortels, wat inderdaad wordt verklaard voor elk niet-nul getal p, de ongelijkheid p 2> 0 geldt, waaruit volgt dat voor p ≠ 0 de gelijkheid p 2 = 0 nooit wordt bereikt.

Dus de onvolledige kwadratische vergelijking a · x 2 = 0 heeft een enkele wortel x = 0.

Laten we als voorbeeld de oplossing geven van de onvolledige kwadratische vergelijking −4 · x 2 = 0. Het is gelijk aan de vergelijking x 2 = 0, de enige wortel is x = 0, daarom heeft de oorspronkelijke vergelijking een unieke wortel nul.

Een korte oplossing kan in dit geval als volgt worden geformuleerd:
−4 x 2 = 0,
x2 = 0,
x = 0.

a x 2 + c = 0

Laten we nu eens kijken hoe onvolledige kwadratische vergelijkingen worden opgelost, waarin de coëfficiënt b gelijk is aan nul, en c ≠ 0, dat wil zeggen vergelijkingen van de vorm a · x 2 + c = 0. We weten dat het overbrengen van een term van de ene kant van de vergelijking naar de andere met het tegenovergestelde teken, evenals het delen van beide kanten van de vergelijking door een getal dat niet nul is, een equivalente vergelijking oplevert. Daarom kunnen we de volgende equivalente transformaties van de onvolledige kwadratische vergelijking a x 2 + c = 0 uitvoeren:

• beweeg c naar rechts, wat de vergelijkingax 2 = −c geeft,
• en beide delen delen door a, krijgen we.

De resulterende vergelijking stelt ons in staat om conclusies te trekken over de wortels ervan. Afhankelijk van de waarden van a en c kan de waarde van de uitdrukking negatief zijn (bijvoorbeeld als a = 1 en c = 2 dan) of positief (bijvoorbeeld als a = −2 en c = 6 , dan), is het niet gelijk aan nul , aangezien door hypothese c 0. Laten we de gevallen afzonderlijk onderzoeken en.

Als, dan heeft de vergelijking geen wortels. Deze verklaring volgt uit het feit dat het kwadraat van een willekeurig getal een niet-negatief getal is. Hieruit volgt dat wanneer, dan voor elk getal p de gelijkheid niet waar kan zijn.

Als, dan is de situatie met de wortels van de vergelijking anders. In dit geval, als je het je herinnert, wordt de wortel van de vergelijking meteen duidelijk, het is een getal, sinds. Het is gemakkelijk te raden dat het getal inderdaad ook de wortel van de vergelijking is. Deze vergelijking heeft geen andere wortels, die bijvoorbeeld door tegenspraak kunnen worden aangetoond. Laten we het doen.

Laten we de wortels aanduiden van de vergelijking die zojuist klonk als x 1 en −x 1. Stel dat de vergelijking nog een wortel x 2 heeft, verschillend van de aangegeven wortels x 1 en −x 1. Het is bekend dat substitutie van zijn wortels in een vergelijking in plaats van x de vergelijking verandert in een echte numerieke gelijkheid. Voor x 1 en −x 1 hebben we, en voor x 2 hebben we. De eigenschappen van numerieke gelijkheden stellen ons in staat om term-voor-term af te trekken van echte numerieke gelijkheden, dus het aftrekken van de corresponderende delen van de gelijkheden geeft x 1 2 −x 2 2 = 0. Met de eigenschappen van acties met getallen kun je de resulterende gelijkheid herschrijven als (x 1 - x 2) · (x 1 + x 2) = 0. We weten dat het product van twee getallen nul is als en slechts dan als ten minste één van hen nul is. Daarom volgt uit de verkregen gelijkheid dat x 1 - x 2 = 0 en / of x 1 + x 2 = 0, wat hetzelfde is, x 2 = x 1 en / of x 2 = −x 1. Zo kwamen we tot een tegenstrijdigheid, aangezien we in het begin zeiden dat de wortel van de vergelijking x 2 anders is dan x 1 en −x 1. Dit bewijst dat de vergelijking geen andere wortels heeft dan en.

Laten we de informatie van dit item samenvatten. De onvolledige kwadratische vergelijking a x 2 + c = 0 is gelijk aan de vergelijking die

• heeft geen wortels als,
• heeft twee wortels en als.

Beschouw voorbeelden van het oplossen van onvolledige kwadratische vergelijkingen van de vorm a · x 2 + c = 0.

Laten we beginnen met de kwadratische vergelijking 9 x 2 + 7 = 0. Na het overbrengen van de vrije term naar de rechterkant van de vergelijking, zal deze de vorm aannemen 9 · x 2 = −7. Als we beide zijden van de resulterende vergelijking delen door 9, komen we uit op. Aangezien er een negatief getal aan de rechterkant is, heeft deze vergelijking geen wortels, daarom heeft de oorspronkelijke onvolledige kwadratische vergelijking 9 · x 2 + 7 = 0 geen wortels.

Los nog een onvolledige kwadratische vergelijking −x 2 + 9 = 0 op. Verplaats de negen naar rechts: −x 2 = −9. Nu delen we beide zijden door -1, we krijgen x 2 = 9. Aan de rechterkant staat een positief getal, waaruit we afleiden dat of. Dan schrijven we het uiteindelijke antwoord op: de onvolledige kwadratische vergelijking −x 2 + 9 = 0 heeft twee wortels x = 3 of x = −3.

a x 2 + b x = 0

Het blijft om de oplossing van het laatste type onvolledige kwadratische vergelijkingen voor c = 0 te behandelen. Met onvolledige kwadratische vergelijkingen van de vorm a x 2 + b x = 0 kun je oplossen factorisatie methode:... Vanzelfsprekend kunnen we, aan de linkerkant van de vergelijking, waarvoor het voldoende is om de gemeenschappelijke factor x weg te werken. Dit stelt ons in staat om van de oorspronkelijke onvolledige kwadratische vergelijking over te gaan naar een equivalente vergelijking van de vorm x · (a · x + b) = 0. En deze vergelijking is gelijk aan een set van twee vergelijkingen x = 0 en a x + b = 0, waarvan de laatste lineair is en een wortel heeft x = −b / a.

Dus de onvolledige kwadratische vergelijking a x 2 + b x = 0 heeft twee wortels x = 0 en x = −b / a.

Om het materiaal te consolideren, zullen we de oplossing van een specifiek voorbeeld analyseren.

Voorbeeld.

Los De vergelijking op.

Oplossing.

Als u x buiten haakjes plaatst, krijgt u de vergelijking. Het is gelijk aan twee vergelijkingen x = 0 en. We lossen de resulterende lineaire vergelijking op:, en na het gemengde getal te delen door een gewone breuk, vinden we. Daarom zijn de wortels van de oorspronkelijke vergelijking x = 0 en.

Na het verkrijgen van de nodige oefening, kunnen de oplossingen van dergelijke vergelijkingen kort worden geschreven:

Antwoord:

x = 0,.

Discriminant, de formule voor de wortels van een kwadratische vergelijking

Er is een wortelformule voor het oplossen van kwadratische vergelijkingen. Laten we opschrijven kwadratische formule: , waar D = b 2 −4 een c- zogenaamde kwadratische discriminant... De notatie betekent in wezen dat.

Het is handig om te weten hoe de wortelformule is verkregen en hoe deze wordt toegepast bij het vinden van de wortels van kwadratische vergelijkingen. Laten we het uitzoeken.

Afleiding van de formule voor de wortels van een kwadratische vergelijking

Stel dat we de kwadratische vergelijking a x 2 + b x + c = 0 moeten oplossen. Laten we een aantal equivalente transformaties uitvoeren:

• We kunnen beide zijden van deze vergelijking delen door een niet-nul getal a, als resultaat krijgen we de gereduceerde kwadratische vergelijking.
• nutsvoorzieningen selecteer een volledig vierkant aan de linkerkant:. Daarna zal de vergelijking de vorm aannemen.
• In dit stadium is het mogelijk om de overdracht van de laatste twee termen naar de rechterkant uit te voeren met het tegenovergestelde teken dat we hebben.
• En we transformeren ook de uitdrukking aan de rechterkant:.

Als resultaat komen we tot een vergelijking die equivalent is aan de oorspronkelijke kwadratische vergelijking a x 2 + b x + c = 0.

We hebben al vergelijkingen opgelost die qua vorm vergelijkbaar zijn in de vorige paragrafen, toen we ze analyseerden. Dit stelt ons in staat om de volgende conclusies te trekken met betrekking tot de wortels van de vergelijking:

• als, dan heeft de vergelijking geen echte oplossingen;
• als, dan heeft de vergelijking dus de vorm waarvan de enige wortel zichtbaar is;
• als, dan of, wat hetzelfde is of, dat wil zeggen, de vergelijking heeft twee wortels.

Dus de aanwezigheid of afwezigheid van de wortels van de vergelijking, en dus de oorspronkelijke kwadratische vergelijking, hangt af van het teken van de uitdrukking aan de rechterkant. Het teken van deze uitdrukking wordt op zijn beurt bepaald door het teken van de teller, aangezien de noemer 4 · a 2 altijd positief is, dat wil zeggen het teken van de uitdrukking b 2 −4 · a · c. Deze uitdrukking b 2 −4 a c heette de discriminant van de kwadratische vergelijking en gemarkeerd met de letter D... Daarom is de essentie van de discriminant duidelijk - door zijn waarde en teken wordt geconcludeerd of de kwadratische vergelijking echte wortels heeft, en zo ja, wat is hun nummer - één of twee.

Terugkerend naar de vergelijking, herschrijf deze met de discriminantnotatie:. En we trekken conclusies:

• als D<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
• als D = 0, dan heeft deze vergelijking een enkele wortel;
• tenslotte, als D> 0, dan heeft de vergelijking twee wortels of, die op grond van de vorm kan worden herschreven in de vorm of, en na het uitbreiden en verkleinen van de breuken tot een gemeenschappelijke noemer, krijgen we.

We hebben dus formules afgeleid voor de wortels van een kwadratische vergelijking, ze hebben de vorm, waarbij de discriminant D wordt berekend met de formule D = b 2 −4 · a · c.

Met hun hulp, met een positieve discriminant, kun je beide reële wortels van de kwadratische vergelijking berekenen. Wanneer de discriminant gelijk is aan nul, geven beide formules dezelfde wortelwaarde die overeenkomt met een unieke oplossing van de kwadratische vergelijking. En met een negatieve discriminant worden we, wanneer we de formule voor de wortels van een kwadratische vergelijking proberen te gebruiken, geconfronteerd met het extraheren van de vierkantswortel van een negatief getal, wat ons buiten het bereik van het schoolcurriculum brengt. Met een negatieve discriminant heeft de kwadratische vergelijking geen echte wortels, maar een paar complex geconjugeerd wortels, die kunnen worden gevonden door dezelfde wortelformules die door ons zijn verkregen.

Algoritme voor het oplossen van kwadratische vergelijkingen met wortelformules

In de praktijk kun je bij het oplossen van kwadratische vergelijkingen meteen de wortelformule gebruiken, waarmee je hun waarden kunt berekenen. Maar dit gaat meer over het vinden van complexe wortels.

In de cursus algebra op school gaat het echter meestal niet om complexe, maar om reële wortels van een kwadratische vergelijking. In dit geval is het raadzaam om eerst de discriminant te vinden voordat je de formules voor de wortels van de kwadratische vergelijking gebruikt, zorg ervoor dat deze niet-negatief is (anders kunnen we concluderen dat de vergelijking geen echte wortels heeft), en pas daarna die de waarden van de wortels berekenen.

De bovenstaande redenering stelt ons in staat om te schrijven: kwadratische vergelijkingenoplosser... Om de kwadratische vergelijking a x 2 + b x + c = 0 op te lossen, heb je nodig:

• bereken met de discriminantformule D = b 2 −4 · a · c de waarde ervan;
• concluderen dat de kwadratische vergelijking geen echte wortels heeft als de discriminant negatief is;
• bereken de enige wortel van de vergelijking met de formule als D = 0;
• vind twee echte wortels van een kwadratische vergelijking met behulp van de wortelformule als de discriminant positief is.

Hier merken we alleen op dat wanneer de discriminant gelijk is aan nul, de formule ook kan worden gebruikt, deze dezelfde waarde zal geven als.

U kunt doorgaan met voorbeelden van het toepassen van het algoritme voor het oplossen van kwadratische vergelijkingen.

Voorbeelden van het oplossen van kwadratische vergelijkingen

Overweeg oplossingen voor drie kwadratische vergelijkingen met positieve, negatieve en nuldiscriminanten. Na hun oplossing te hebben behandeld, zal het naar analogie mogelijk zijn om elke andere kwadratische vergelijking op te lossen. Laten we beginnen.

Voorbeeld.

Zoek de wortels van de vergelijking x 2 + 2 x − 6 = 0.

Oplossing.

In dit geval hebben we de volgende coëfficiënten van de kwadratische vergelijking: a = 1, b = 2 en c = −6. Volgens het algoritme moet je eerst de discriminant berekenen, hiervoor vervangen we de aangegeven a, b en c in de discriminantformule, we hebben D = b 2 −4 a c = 2 2 −4 1 (−6) = 4 + 24 = 28... Aangezien 28> 0, dat wil zeggen dat de discriminant groter is dan nul, heeft de kwadratische vergelijking twee reële wortels. We vinden ze met behulp van de wortelformule, we krijgen, hier kun je de uitdrukkingen vereenvoudigen die worden verkregen door te doen het teken van de wortel buiten beschouwing laten met de daaropvolgende reductie van de breuk:

Antwoord:

Laten we verder gaan met het volgende typische voorbeeld.

Voorbeeld.

Los de kwadratische vergelijking −4x2 + 28x − 49 = 0 op.

Oplossing.

We beginnen met het vinden van de discriminant: D = 28 2 −4 (−4) (−49) = 784−784 = 0... Daarom heeft deze kwadratische vergelijking een enkele wortel, die we vinden als, dat wil zeggen,

Antwoord:

x = 3,5.

Het blijft om de oplossing van kwadratische vergelijkingen met negatieve discriminant te overwegen.

Voorbeeld.

Los de vergelijking 5 y 2 + 6 y + 2 = 0 op.

Oplossing.

Dit zijn de coëfficiënten van de kwadratische vergelijking: a = 5, b = 6 en c = 2. Als we deze waarden in de discriminantformule plaatsen, hebben we: D = b 2 −4 a c = 6 2 −4 5 2 = 36−40 = −4... De discriminant is negatief, daarom heeft deze kwadratische vergelijking geen echte wortels.

Als je complexe wortels moet aangeven, passen we de bekende formule voor de wortels van de kwadratische vergelijking toe en voeren we uit: complexe getalbewerkingen:

Antwoord:

er zijn geen echte wortels, complexe wortels zijn als volgt:.

Merk nogmaals op dat als de discriminant van een kwadratische vergelijking negatief is, ze op school meestal meteen een antwoord opschrijven waarin ze aangeven dat er geen echte wortels zijn, en complexe wortels worden niet gevonden.

Wortelformule voor even tweede coëfficiënten

De formule voor de wortels van een kwadratische vergelijking, waarbij D = b 2 −4 a ln5 = 2 7 ln5). Laten we het eruit halen.

Laten we zeggen dat we een kwadratische vergelijking van de vorm a x 2 + 2 n x + c = 0 moeten oplossen. Laten we de wortels ervan vinden met behulp van de formule die we kennen. Bereken hiervoor de discriminant D = (2 n) 2 −4 a c = 4 n 2 −4 a c = 4 (n 2 −a c), en dan gebruiken we de formule voor wortels:

Laten we de uitdrukking n 2 - a · c aanduiden als D 1 (soms wordt het aangeduid met D "). Dan heeft de formule voor de wortels van de beschouwde kwadratische vergelijking met de tweede coëfficiënt 2 n de vorm , waarbij D 1 = n 2 - a · c.

Het is gemakkelijk te zien dat D = 4 · D 1, of D 1 = D / 4. Met andere woorden, D 1 is het vierde deel van de discriminant. Het is duidelijk dat het teken van D 1 hetzelfde is als het teken van D. Dat wil zeggen, het teken van D 1 is ook een indicator van de aanwezigheid of afwezigheid van de wortels van een kwadratische vergelijking.

Dus om de kwadratische vergelijking met de tweede coëfficiënt 2 n op te lossen, heb je nodig

• Bereken D 1 = n 2 −a · c;
• Als D 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
• Als D 1 = 0, bereken dan de enige wortel van de vergelijking met de formule;
• Als D 1> 0, zoek dan twee echte wortels met de formule.

Overweeg een voorbeeld op te lossen met behulp van de basisformule die in deze paragraaf is verkregen.

Voorbeeld.

Los de kwadratische vergelijking 5x2 −6x − 32 = 0 op.

Oplossing.

De tweede coëfficiënt van deze vergelijking kan worden weergegeven als 2 · (−3). Dat wil zeggen, je kunt de oorspronkelijke kwadratische vergelijking herschrijven in de vorm 5 x 2 + 2 (−3) x − 32 = 0, hier a = 5, n = −3 en c = −32, en het vierde deel van de discriminerend: D 1 = n 2 −a c = (- 3) 2 −5 (−32) = 9 + 160 = 169... Omdat de waarde positief is, heeft de vergelijking twee reële wortels. Laten we ze vinden met behulp van de bijbehorende hoofdformule:

Merk op dat het mogelijk was om de gebruikelijke formule voor de wortels van een kwadratische vergelijking te gebruiken, maar in dit geval zou meer rekenwerk moeten worden gedaan.

Antwoord:

De weergave van kwadratische vergelijkingen vereenvoudigen

Soms kan het geen kwaad om, voordat u begint met het berekenen van de wortels van een kwadratische vergelijking met formules, de vraag te stellen: "Is het mogelijk om de vorm van deze vergelijking te vereenvoudigen?" Mee eens dat het qua berekeningen gemakkelijker zal zijn om de kwadratische vergelijking 11 x 2 −4 x − 6 = 0 op te lossen dan 1100 x 2 −400 x − 600 = 0.

Gewoonlijk wordt een vereenvoudiging van de vorm van een kwadratische vergelijking bereikt door beide delen ervan te vermenigvuldigen of te delen door een bepaald aantal. In de vorige paragraaf zijn we er bijvoorbeeld in geslaagd om de vergelijking 1100x2 −400x − 600 = 0 te vereenvoudigen door beide zijden te delen door 100.

Een soortgelijke transformatie wordt uitgevoerd met kwadratische vergelijkingen, waarvan de coëfficiënten dat niet zijn. In dit geval worden beide zijden van de vergelijking meestal gedeeld door de absolute waarden van de coëfficiënten. Laten we bijvoorbeeld de kwadratische vergelijking 12 x 2 −42 x + 48 = 0 nemen. de absolute waarden van zijn coëfficiënten: GCD (12, 42, 48) = GCD (GCD (12, 42), 48) = GCD (6, 48) = 6. Door beide zijden van de oorspronkelijke kwadratische vergelijking te delen door 6, komen we uit op de equivalente kwadratische vergelijking 2 x 2 −7 x + 8 = 0.

En de vermenigvuldiging van beide zijden van de kwadratische vergelijking wordt meestal gedaan om fractionele coëfficiënten kwijt te raken. In dit geval wordt de vermenigvuldiging uitgevoerd door de noemers van zijn coëfficiënten. Als bijvoorbeeld beide zijden van de kwadratische vergelijking worden vermenigvuldigd met de LCM (6, 3, 1) = 6, dan zal deze een eenvoudigere vorm aannemen x 2 + 4 x − 18 = 0.

Ter afsluiting van deze paragraaf merken we op dat we bijna altijd de min bij de leidende coëfficiënt van de kwadratische vergelijking wegwerken door de tekens van alle termen te veranderen, wat overeenkomt met het vermenigvuldigen (of delen) van beide delen door −1. Bijvoorbeeld, gewoonlijk gaat men uit de kwadratische vergelijking −2x2 −3x + 7 = 0 over naar de oplossing 2x2 + 3x − 7 = 0.

Relatie tussen wortels en coëfficiënten van een kwadratische vergelijking

De formule voor de wortels van een kwadratische vergelijking drukt de wortels van een vergelijking uit in termen van zijn coëfficiënten. Op basis van de formule voor de wortels kun je andere afhankelijkheden krijgen tussen de wortels en de coëfficiënten.

De bekendste en meest toepasselijke formules zijn van Vieta's stelling van de vorm en. In het bijzonder is voor de gegeven kwadratische vergelijking de som van de wortels gelijk aan de tweede coëfficiënt met het tegenovergestelde teken, en is het product van de wortels gelijk aan de vrije term. Door bijvoorbeeld de vorm van de kwadratische vergelijking 3 x 2 −7 x + 22 = 0, kunnen we onmiddellijk zeggen dat de som van de wortels 7/3 is en het product van de wortels 22/3.

Met behulp van de reeds geschreven formules kun je een aantal andere relaties krijgen tussen de wortels en de coëfficiënten van de kwadratische vergelijking. U kunt bijvoorbeeld de som van de kwadraten van de wortels van een kwadratische vergelijking uitdrukken door zijn coëfficiënten:.

Bibliografie.

• Algebra: studie. voor 8cl. algemene educatie. instellingen / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; red. S.A. Teljakovski. - 16e druk. - M.: Onderwijs, 2008 .-- 271 p. : ziek. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• A.G. Mordkovich Algebra. 8e leerjaar. Om 14.00 uur Deel 1. Leerboek voor studenten van onderwijsinstellingen / A. G. Mordkovich. - 11e druk, gewist. - M.: Mnemozina, 2009 .-- 215 p.: ziek. ISBN 978-5-346-01155-2.

Met dit wiskundeprogramma kun je: kwadratische vergelijking oplossen.

Het programma geeft niet alleen een antwoord op het probleem, maar geeft ook het oplossingsproces op twee manieren weer:
- gebruik van de discriminant
- gebruik maken van de stelling van Vieta (indien mogelijk).

Bovendien wordt het antwoord nauwkeurig weergegeven, niet bij benadering.
Voor de vergelijking \ (81x ^ 2-16x-1 = 0 \) wordt het antwoord bijvoorbeeld in deze vorm weergegeven:

$$ x_1 = \ frac (8+ \ sqrt (145)) (81), \ quad x_2 = \ frac (8- \ sqrt (145)) (81) $$ en niet zo: \ (x_1 = 0.247; \ viertal x_2 = -0,05 \)

Dit programma kan nuttig zijn voor ouderejaarsstudenten van middelbare scholen ter voorbereiding op toetsen en examens, bij het controleren van kennis voor het examen, voor ouders om de oplossing van veel problemen in wiskunde en algebra te beheersen. Of is het misschien te duur voor je om een ​​bijlesdocent in te huren of nieuwe studieboeken te kopen? Of wil je gewoon zo snel mogelijk je huiswerk voor wiskunde of algebra af hebben? In dit geval kunt u onze programma's ook gebruiken met een gedetailleerde oplossing.

Op deze manier kunt u uw eigen onderwijs geven en/of het onderwijs van uw jongere broers en zussen geven, terwijl het opleidingsniveau op het gebied van de op te lossen problemen stijgt.

Als u niet bekend bent met de regels voor het invoeren van een vierkante polynoom, raden we u aan er vertrouwd mee te raken.

Regels voor het invoeren van een vierkante veelterm

Elke Latijnse letter kan als variabele worden gebruikt.
Bijvoorbeeld: \ (x, y, z, a, b, c, o, p, q \) enz.

Getallen kunnen worden ingevoerd als gehele of fractionele getallen.
Bovendien kunnen fractionele getallen niet alleen in de vorm van een decimaal worden ingevoerd, maar ook in de vorm van een gewone breuk.

Regels voor het invoeren van decimale breuken.
In decimale breuken kan het breukdeel van het geheel worden gescheiden door een punt of een komma.
U kunt bijvoorbeeld decimale breuken als volgt invoeren: 2,5x - 3,5x ^ 2

Regels voor het invoeren van gewone breuken.
Alleen een geheel getal kan worden gebruikt als de teller, de noemer en het hele deel van een breuk.

De noemer kan niet negatief zijn.

Bij het invoeren van een numerieke breuk wordt de teller gescheiden van de noemer door een deelteken: /
Het hele deel wordt van de breuk gescheiden door een ampersand: &
Invoer: 3 & 1/3 - 5 & 6 / 5z + 1 / 7z ^ 2
Resultaat: \ (3 \ frac (1) (3) - 5 \ frac (6) (5) z + \ frac (1) (7) z ^ 2 \)

Bij het invoeren van een uitdrukking beugels kunnen worden gebruikt... In dit geval wordt bij het oplossen van een kwadratische vergelijking eerst de geïntroduceerde uitdrukking vereenvoudigd.
Bijvoorbeeld: 1/2 (y-1) (y + 1) - (5y-10 & 1/2)

=0

Beslissen

Er is vastgesteld dat sommige scripts die nodig zijn om dit probleem op te lossen, niet zijn geladen en dat het programma mogelijk niet werkt.
Misschien heb je AdBlock ingeschakeld.
Schakel het in dit geval uit en vernieuw de pagina.

JavaScript is uitgeschakeld in uw browser.
Om de oplossing te laten verschijnen, moet u JavaScript inschakelen.
Hier zijn instructies voor het inschakelen van JavaScript in uw browser.

Omdat Er zijn veel mensen die het probleem willen oplossen, uw verzoek staat in de wachtrij.
Na een paar seconden verschijnt de oplossing hieronder.
Wacht alsjeblieft zie ...

als jij merkte een fout op in de beslissing, dan kunt u hierover schrijven in het Feedbackformulier.
Vergeet niet aangeven welke taak jij bepaalt en wat? vul de velden in.

Onze spellen, puzzels, emulators:

Een beetje theorie.

Kwadratische vergelijking en zijn wortels. Onvolledige kwadratische vergelijkingen

Elk van de vergelijkingen
\ (- x ^ 2 + 6x + 1,4 = 0, \ quad 8x ^ 2-7x = 0, \ quad x ^ 2- \ frac (4) (9) = 0 \)
heeft de vorm
\ (ax ^ 2 + bx + c = 0, \)
waarbij x een variabele is, a, b en c getallen zijn.
In de eerste vergelijking a = -1, b = 6 en c = 1,4, in de tweede a = 8, b = -7 en c = 0, in de derde a = 1, b = 0 en c = 4/9. Dergelijke vergelijkingen worden genoemd kwadratische vergelijkingen.

Definitie.
Kwadratische vergelijking is een vergelijking van de vorm ax 2 + bx + c = 0, waarbij x een variabele is, a, b en c enkele getallen zijn, en \ (a \ neq 0 \).

De getallen a, b en c zijn de coëfficiënten van de kwadratische vergelijking. Het getal a wordt de eerste coëfficiënt genoemd, het getal b - de tweede coëfficiënt en het getal c - de vrije term.

In elk van de vergelijkingen van de vorm ax 2 + bx + c = 0, waarbij \ (a \ neq 0 \), is de grootste macht van de variabele x het kwadraat. Vandaar de naam: kwadratische vergelijking.

Merk op dat een kwadratische vergelijking ook een vergelijking van de tweede graad wordt genoemd, omdat de linkerkant ervan een polynoom van de tweede graad is.

Een kwadratische vergelijking waarin de coëfficiënt bij x 2 gelijk is aan 1 heet gereduceerde kwadratische vergelijking... De gereduceerde kwadratische vergelijkingen zijn bijvoorbeeld de vergelijkingen
\ (x ^ 2-11x + 30 = 0, \ quad x ^ 2-6x = 0, \ quad x ^ 2-8 = 0 \)

Als in de kwadratische vergelijking ax 2 + bx + c = 0 tenminste één van de coëfficiënten b of c gelijk is aan nul, dan heet zo'n vergelijking onvolledige kwadratische vergelijking... Dus de vergelijkingen -2x 2 + 7 = 0, 3x 2 -10x = 0, -4x 2 = 0 zijn onvolledige kwadratische vergelijkingen. In de eerste b = 0, in de tweede c = 0, in de derde b = 0 en c = 0.

Onvolledige kwadratische vergelijkingen zijn van drie soorten:
1) ax 2 + c = 0, waarbij \ (c \ neq 0 \);
2) ax 2 + bx = 0, waarbij \ (b \ neq 0 \);
3) bijl 2 = 0.

Laten we eens kijken naar de oplossing van vergelijkingen van elk van deze typen.

Om een ​​onvolledige kwadratische vergelijking van de vorm ax 2 + c = 0 voor \ (c \ neq 0 \) op te lossen, verplaatst u de vrije term naar de rechterkant en deelt u beide zijden van de vergelijking door a:
\ (x ^ 2 = - \ frac (c) (a) \ Pijl naar rechts x_ (1,2) = \ pm \ sqrt (- \ frac (c) (a)) \)

Aangezien \ (c \ neq 0 \), dan \ (- \ frac (c) (a) \ neq 0 \)

Als \ (- \ frac (c) (a)> 0 \), dan heeft de vergelijking twee wortels.

Als \ (- \ frac (c) (a) Om een ​​onvolledige kwadratische vergelijking van de vorm ax 2 + bx = 0 op te lossen met \ (b \ neq 0 \) ontbind je de linkerkant en krijg je de vergelijking
\ (x (ax + b) = 0 \ Pijl-rechts \ links \ (\ begin (array) (l) x = 0 \\ ax + b = 0 \ end (array) \ rechts. \ Pijl-rechts \ links \ (\ begin (array) (l) x = 0 \\ x = - \ frac (b) (a) \ end (array) \ rechts. \)

Dit betekent dat een onvolledige kwadratische vergelijking van de vorm ax 2 + bx = 0 voor \ (b \ neq 0 \) altijd twee wortels heeft.

Een onvolledige kwadratische vergelijking van de vorm ax 2 = 0 is gelijk aan de vergelijking x 2 = 0 en heeft daarom een ​​unieke wortel 0.

De formule voor de wortels van een kwadratische vergelijking

Laten we nu eens kijken hoe kwadratische vergelijkingen worden opgelost waarin zowel de coëfficiënten van de onbekenden als de vrije term niet nul zijn.

Laten we de kwadratische vergelijking in algemene vorm oplossen en als resultaat krijgen we de formule voor de wortels. Dan kan deze formule worden toegepast om elke kwadratische vergelijking op te lossen.

Los de kwadratische vergelijking ax 2 + bx + c = 0 . op

Door beide delen te delen door a, verkrijgen we de equivalente gereduceerde kwadratische vergelijking
\ (x ^ 2 + \ frac (b) (a) x + \ frac (c) (a) = 0 \)

We transformeren deze vergelijking door het kwadraat van de binomiaal te selecteren:
\ (x ^ 2 + 2x \ cdot \ frac (b) (2a) + \ left (\ frac (b) (2a) \ right) ^ 2- \ left (\ frac (b) (2a) \ right) ^ 2 + \ frac (c) (a) = 0 \ Pijl naar rechts \)

\ (x ^ 2 + 2x \ cdot \ frac (b) (2a) + \ links (\ frac (b) (2a) \ rechts) ^ 2 = \ links (\ frac (b) (2a) \ rechts) ^ 2 - \ frac (c) (a) \ Pijl naar rechts \) ​​\ (\ links (x + \ frac (b) (2a) \ rechts) ^ 2 = \ frac (b ^ 2) (4a ^ 2) - \ frac ( c) (a) \ Pijl naar rechts \ links (x + \ frac (b) (2a) \ rechts) ^ 2 = \ frac (b ^ 2-4ac) (4a ^ 2) \ Pijl naar rechts \) ​​\ (x + \ frac (b ) (2a) = \ pm \ sqrt (\ frac (b ^ 2-4ac) (4a ^ 2)) \ Pijl naar rechts x = - \ frac (b) (2a) + \ frac (\ pm \ sqrt ( b ^ 2 -4ac)) (2a) \ Pijl naar rechts \) ​​\ (x = \ frac (-b \ pm \ sqrt (b ^ 2-4ac)) (2a) \)

De radicale uitdrukking heet de discriminant van de kwadratische vergelijking ax 2 + bx + c = 0 ("discriminant" in het Latijn - discriminator). Het wordt aangeduid met de letter D, d.w.z.
\ (D = b ^ 2-4ac \)

Nu, met behulp van de notatie van de discriminant, herschrijven we de formule voor de wortels van de kwadratische vergelijking:
\ (x_ (1,2) = \ frac (-b \ pm \ sqrt (D)) (2a) \), waarbij \ (D = b ^ 2-4ac \)

Het is duidelijk dat:
1) Als D> 0, dan heeft de kwadratische vergelijking twee wortels.
2) Als D = 0, dan heeft de kwadratische vergelijking één wortel \ (x = - \ frac (b) (2a) \).
3) Als D Dus, afhankelijk van de waarde van de discriminant, kan de kwadratische vergelijking twee wortels hebben (voor D> 0), één wortel (voor D = 0) of geen wortels hebben (voor D Bij het oplossen van een kwadratische vergelijking met behulp van deze formule, is het raadzaam om als volgt te werk te gaan:
1) bereken de discriminant en vergelijk deze met nul;
2) als de discriminant positief of gelijk aan nul is, gebruik dan de wortelformule, als de discriminant negatief is, noteer dan dat er geen wortels zijn.

Stelling van Vieta

De gegeven kwadratische vergelijking ax 2 -7x + 10 = 0 heeft wortels 2 en 5. De som van de wortels is 7 en het product is 10. We zien dat de som van de wortels gelijk is aan de tweede coëfficiënt genomen met het tegenovergestelde teken, en het product van de wortels is gelijk aan de vrije term. Elke gegeven kwadratische vergelijking met wortels bezit deze eigenschap.

De som van de wortels van de gegeven kwadratische vergelijking is gelijk aan de tweede coëfficiënt, genomen met het tegenovergestelde teken, en het product van de wortels is gelijk aan de vrije term.

Die. De stelling van Vieta stelt dat de wortels x 1 en x 2 van de gereduceerde kwadratische vergelijking x 2 + px + q = 0 de eigenschap hebben:
\ (\ left \ (\ begin (array) (l) x_1 + x_2 = -p \\ x_1 \ cdot x_2 = q \ end (array) \ right. \)

Van de hele cursus van het schoolcurriculum van algebra, is een van de meest omvangrijke onderwerpen het onderwerp van kwadratische vergelijkingen. In dit geval betekent een kwadratische vergelijking een vergelijking van de vorm ax 2 + bx + c = 0, waarbij a ≠ 0 (lees: en vermenigvuldig met x kwadraat plus be x plus tse gelijk is aan nul, waarbij a niet gelijk is aan nul). In dit geval wordt de belangrijkste plaats ingenomen door formules voor het vinden van de discriminant van een kwadratische vergelijking van het gespecificeerde type, wat wordt opgevat als een uitdrukking waarmee men de aanwezigheid of afwezigheid van wortels in een kwadratische vergelijking kan bepalen, evenals hun nummer (indien aanwezig).

Formule (vergelijking) van de discriminant van een kwadratische vergelijking

De algemeen aanvaarde formule voor de discriminant van een kwadratische vergelijking is als volgt: D = b 2 - 4ac. Door de discriminant volgens de gespecificeerde formule te berekenen, kan men niet alleen de aanwezigheid en het aantal wortels in een kwadratische vergelijking bepalen, maar ook een methode kiezen om deze wortels te vinden, waarvan er verschillende zijn, afhankelijk van het type kwadratische vergelijking.

Wat betekent het als de discriminant nul is \ De formule voor de wortels van een kwadratische vergelijking als de discriminant nul is

De discriminant, zoals volgt uit de formule, wordt aangeduid met de Latijnse letter D. In het geval dat de discriminant nul is, moet worden geconcludeerd dat een kwadratische vergelijking van de vorm ax 2 + bx + c = 0, waarbij a ≠ 0 , heeft slechts één wortel, die wordt berekend met een vereenvoudigde formule. Deze formule wordt alleen toegepast met nuldiscriminant en ziet er als volgt uit: x = –b / 2a, waarbij x de wortel van de kwadratische vergelijking is, b en a de overeenkomstige variabelen van de kwadratische vergelijking. Om de wortel van een kwadratische vergelijking te vinden, is het noodzakelijk om de negatieve waarde van de variabele b te delen door de verdubbelde waarde van de variabele a. De resulterende uitdrukking is de oplossing van de kwadratische vergelijking.

Een kwadratische vergelijking oplossen in termen van de discriminant

Als bij het berekenen van de discriminant met behulp van de bovenstaande formule een positieve waarde wordt verkregen (D is groter dan nul), dan heeft de kwadratische vergelijking twee wortels, die worden berekend met de volgende formules: x 1 = (–b + vD) / 2a, x 2 = (–b - vD) / 2a. Meestal wordt de discriminant niet afzonderlijk berekend, maar wordt de radicale uitdrukking in de vorm van een discriminantformule eenvoudigweg vervangen door de D-waarde waaruit de wortel wordt geëxtraheerd. Als de variabele b een even waarde heeft, kun je voor het berekenen van de wortels van een kwadratische vergelijking van de vorm ax 2 + bx + c = 0, waarbij a 0, ook de volgende formules gebruiken: x 1 = (–k + v (k2 - ac)) / a , x 2 = (–k + v (k2 - ac)) / a, waarbij k = b / 2.

In sommige gevallen kun je voor de praktische oplossing van kwadratische vergelijkingen de stelling van Vieta gebruiken, die stelt dat voor de som van de wortels van een kwadratische vergelijking van de vorm x 2 + px + q = 0, de waarde x 1 + x 2 = –p is geldig, en voor het product van de wortels van de gespecificeerde vergelijking - uitdrukking x 1 xx 2 = q.

Kan de discriminant kleiner zijn dan nul?

Bij het berekenen van de waarde van de discriminant kunt u een situatie tegenkomen die niet onder een van de beschreven gevallen valt - wanneer de discriminant een negatieve waarde heeft (dat wil zeggen kleiner dan nul). In dit geval is het gebruikelijk om aan te nemen dat de kwadratische vergelijking van de vorm ax 2 + bx + c = 0, waarbij a ≠ 0, geen echte wortels heeft, daarom zal de oplossing ervan beperkt zijn tot het berekenen van de discriminant, en het bovenstaande formules voor de wortels van de kwadratische vergelijking worden in dit geval niet toegepast. In dit geval staat in het antwoord op de kwadratische vergelijking dat "de vergelijking geen echte wortels heeft".

Verklarende video: