De tekst van het werk is geplaatst zonder afbeeldingen en formules.
De volledige versie van het werk is beschikbaar op het tabblad "Werkbestanden" in PDF-formaat

Invoering

In de toespraak van volwassenen kon je de volgende zin horen: "Laat me je coördinaten achter." Deze uitdrukking betekent dat de gesprekspartner zijn adres of telefoonnummer moet achterlaten waarop hij te vinden is. Degenen onder jullie die zeegevechten hebben gespeeld, hebben het bijbehorende coördinatensysteem gebruikt. Een soortgelijk coördinatensysteem wordt gebruikt bij schaken. Stoelen in het auditorium van de bioscoop zijn ingesteld met twee nummers: het eerste nummer geeft het nummer van de rij aan en het tweede - het nummer van de stoel in deze rij. Het idee om de positie van een punt op een vlak te specificeren met behulp van getallen stamt uit de oudheid. Het coördinatensysteem doordringt het hele praktische leven van een persoon en heeft een enorme praktische toepassing. Daarom hebben we besloten om dit project te creëren om onze kennis over het onderwerp "Coördinatenvlak" uit te breiden

Projectdoelen:

vertrouwd raken met de geschiedenis van het optreden van een rechthoekig coördinatensysteem op een vlak;

prominente figuren die aan dit onderwerp werken;

vind interessante historische feiten;

coördinaten goed op het gehoor waarnemen; constructies helder en nauwkeurig uitvoeren;

een presentatie voorbereiden.

Hoofdstuk I. Coördinatenvlak

Het idee om de positie van een punt op een vlak te specificeren met behulp van getallen is ontstaan ​​in de oudheid - voornamelijk onder astronomen en geografen bij het samenstellen van ster- en geografische kaarten, kalenders.

§een. Oorsprong van coördinaten. Coördinatenstelsel in geografie

200 v.Chr. De Griekse wetenschapper Hipparchus introduceerde geografische coördinaten. Hij stelde voor om parallellen en meridianen op een geografische kaart te tekenen en de lengte- en breedtegraad met getallen aan te duiden. Met behulp van deze twee getallen kun je nauwkeurig de positie van een eiland, dorp, berg of put in de woestijn bepalen en deze op een kaart of wereldbol plotten.Je hebt geleerd de breedte- en lengtegraad van de locatie van het schip in de open lucht te bepalen wereld konden zeilers de richting kiezen die ze nodig hadden.

Oosterlengte en noorderbreedte worden aangegeven met cijfers met een plusteken, en westerlengte en zuiderbreedte worden aangegeven met een minteken. Een paar cijfers met tekens identificeert dus op unieke wijze een punt op de wereldbol.

Geografische breedte? - de hoek tussen het loodlijn op een bepaald punt en het vlak van de evenaar, gemeten van 0 tot 90 aan beide zijden van de evenaar. Geografische lengtegraad? - de hoek tussen het vlak van de meridiaan dat door dit punt gaat en het vlak van het begin van de meridiaan (zie Greenwich-meridiaan). Lengtegraden van 0 tot 180 ten oosten van het begin van de meridiaan worden oost genoemd, naar het westen - west.

Om een ​​bepaald object in de stad te vinden, is het in de meeste gevallen voldoende om het adres te kennen. Er ontstaan ​​moeilijkheden als u moet uitleggen waar bijvoorbeeld een zomerhuisje, een plek in het bos zich bevindt. Geografische coördinaten zijn een universeel middel om een ​​locatie aan te geven.

Bij een noodgeval moet een persoon als eerste in staat zijn om in het gebied te navigeren. Soms is het nodig om de geografische coördinaten van uw locatie te bepalen, bijvoorbeeld voor overdracht naar de reddingsdienst of voor andere doeleinden.

In de moderne navigatie wordt standaard het wereldcoördinatenstelsel WGS-84 gebruikt. Alle GPS-navigators en grote cartografische projecten op internet werken in dit coördinatensysteem. Coördinaten in het WGS-84-systeem zijn net zo gewoon en begrijpelijk voor iedereen als universele tijd. De algemeen beschikbare nauwkeurigheid bij het werken met geografische coördinaten is 5 - 10 meter op de grond.

Geografische coördinaten zijn getekende getallen (breedtegraad van -90 ° tot + 90 °, lengtegraad van -180 ° tot + 180 °) en kunnen in verschillende vormen worden geschreven: in graden (ddd.ddddd °); graden en minuten (ddd ° mm.mmm "); graden, minuten en seconden (ddd ° mm" ss.s "). Opnameformulieren kunnen eenvoudig in elkaar worden omgezet (1 graad = 60 minuten, 1 minuut = 60 seconden) Om het teken van coördinaten aan te duiden, worden vaak letters gebruikt, volgens de namen van de windstreken: N en E - noorderbreedte en oosterlengte - positieve getallen, S en W - zuiderbreedte en westerlengte - negatieve getallen.

De vorm van het schrijven van coördinaten in GRADEN is het handigst voor handmatige invoer en valt samen met de wiskundige notatie van een getal. De vorm van het vastleggen van coördinaten in GRADEN EN MINUTEN heeft in veel gevallen de voorkeur, dit formaat is standaard ingesteld in de meeste GPS-navigators en wordt standaard gebruikt in de luchtvaart en op zee. De klassieke vorm van het schrijven van coördinaten in GRADEN, MINUTEN EN SECONDEN vindt niet echt veel praktische toepassing.

§2. Coördinatenstelsel in de astronomie. Sterrenbeeld mythen

Zoals hierboven vermeld, ontstond het idee om de positie van een punt op een vlak te specificeren met behulp van getallen in de oudheid onder astronomen bij het opstellen van sterrenkaarten. Mensen moesten de tijd tellen, seizoensverschijnselen voorspellen (hoogwater, laagwater, seizoensregens, overstromingen), ze moesten tijdens het reizen door het terrein navigeren.

Astronomie is de wetenschap van sterren, planeten, hemellichamen, hun structuur en ontwikkeling.

Duizenden jaren zijn verstreken, de wetenschap is ver vooruit gegaan en een persoon kan zijn bewonderende blik nog steeds niet afhouden van de schoonheid van de nachtelijke hemel.

Sterrenbeelden zijn gebieden van de sterrenhemel, karakteristieke figuren gevormd door heldere sterren. De hele hemel is verdeeld in 88 sterrenbeelden, waardoor het gemakkelijker is om tussen de sterren te navigeren. De meeste namen van de sterrenbeelden stammen uit de oudheid.

Het bekendste sterrenbeeld is de Grote Beer. In het oude Egypte werd het "Nijlpaard" genoemd en de Kazachen "paard aan de leiband", hoewel het sterrenbeeld uiterlijk niet op het ene of het andere dier lijkt. Hoe is het?

De oude Grieken hadden een legende over de sterrenbeelden Ursa Major en Ursa Minor. De almachtige god Zeus besloot tegen de wil van de laatste te trouwen met de mooie nimf Calisto, een van de dienstmaagden van de godin Aphrodite. Om Calisto te redden van de vervolging van de godin, veranderde Zeus Calisto in de Ursa Major, haar geliefde hond in Ursa Minor en nam ze mee naar de hemel. Breng de sterrenbeelden Grote Beer en Kleine Beer over van de sterrenhemel naar het coördinatenvlak. ... Elk van de sterren van de "Big Dipper Bucket" heeft zijn eigen naam.

DE GROTE BEER

Ik herken door de BUCKET!

Zeven sterren schijnen hier

En hier is hun naam:

DUBKHE verlicht de duisternis,

MERAK brandt naast hem,

Zij FEKDA met MEGRETS,

Een gedurfde kerel.

Van MEGRETS voor vertrek

ALIOT is gevestigd,

En achter hem - MITZAR met ALKOR

(Deze twee schitteren in koor).

Onze pollepel gaat dicht

De onvergelijkbare BENETNASH.

Hij wijst naar het oog

Het pad naar het sterrenbeeld VOLOPASA,

Waar ARKTUR mooi schijnt,

Iedereen zal hem nu opmerken!

Niet minder mooie legende over de sterrenbeelden "Cepheus", "Cassiopeia" en "Andromeda".

Ooit regeerde koning Cepheus over Ethiopië. Eens had zijn vrouw, koningin Cassiopeia, de onvoorzichtigheid om op te scheppen over haar schoonheid in het bijzijn van de bewoners van de zee - de Nereïden. De laatste, beledigd, klaagde bij de god van de zee Poseidon, en de heerser van de zeeën, woedend door de brutaliteit van Cassiopeia, liet het zeemonster - Kita - naar de kust van Ethiopië komen. Om zijn koninkrijk van vernietiging te redden, besloot Cepheus, op advies van het orakel, om te offeren aan het monster en hem zijn geliefde dochter Andromeda te geven om te worden verslonden. Hij ketende Andromeda aan een kustrots en liet haar in afwachting van de beslissing van zijn lot.

Ondertussen verrichtte de mythische held Perseus aan de andere kant van de wereld een dappere prestatie. Hij ging een afgelegen eiland binnen waar gorgonen leefden - verbazingwekkende monsters in de vorm van vrouwen, wiens hoofden wemelden van slangen in plaats van haar. De blik van de gorgonen was zo verschrikkelijk dat iedereen naar wie ze keken onmiddellijk in steen veranderde.

Gebruikmakend van de slaap van deze monsters, hakte Perseus het hoofd af van een van hen, de Gorgon Medusa. Op dat moment vloog het paard Pegasus uit het afgehakte lichaam van Medusa. Perseus greep de kop van de kwal, sprong op Pegasus en rende door de lucht naar zijn thuisland. Toen hij over Ethiopië vloog, zag hij Andromeda vastgeketend aan een rots. Op dat moment was Kit al uit de diepten van de zee opgedoken, klaar om zijn slachtoffer in te slikken. Maar Perseus, die zich in een dodelijk gevecht met Kit stortte, versloeg het monster. Hij liet Kit de kop van een kwal zien, die zijn kracht nog niet had verloren, en het monster veranderde in steen en veranderde in een eiland. Wat Perseus betreft, die Andromeda had losgemaakt, bracht hij haar terug naar zijn vader, en Cepheus, geraakt door geluk, gaf Andromeda aan Perseus als zijn vrouw. Dus dit verhaal eindigde gelukkig, waarvan de hoofdpersonen door de oude Grieken in de hemel werden geplaatst.

Op de sterrenkaart vind je niet alleen Andromeda met haar vader, moeder en echtgenoot, maar ook het magische paard Pegasus en de boosdoener van alle problemen - het monster Kit.

Het sterrenbeeld Cetus bevindt zich onder Pegasus en Andromeda. Helaas wordt het niet gekenmerkt door karakteristieke heldere sterren en behoort het daarom tot het aantal kleine sterrenbeelden.

§3. Het idee van rechthoekige coördinaten gebruiken in de schilderkunst.

Sporen van het gebruik van het idee van rechthoekige coördinaten in de vorm van een vierkant raster (palet) zijn afgebeeld op de muur van een van de grafkamers van het oude Egypte. Er is een netwerk van vierkanten op de muur in de grafkamer van de piramide van Rameses' vader. Met hun hulp werd een vergroot beeld overgebracht. Renaissance-kunstenaars gebruikten ook het rechthoekige raster.

Het woord "perspectief" in vertaling uit het Latijn betekent "duidelijk zien". In de beeldende kunst is lineair perspectief het beeld van objecten op een vlak in overeenstemming met de schijnbare veranderingen in hun grootte. De basis van de moderne perspectieftheorie werd gelegd door de grote kunstenaars van de Renaissance - Leonardo da Vinci, Albrecht Durer en anderen. Een van Dürers gravures (afb. 3) toont een methode om door glas naar het leven te tekenen met daarop een vierkant raster. Dit proces kan als volgt worden beschreven: als je voor een raam staat en, zonder je gezichtspunt te veranderen, alles omcirkelt wat erachter zichtbaar is op het glas, dan zal de resulterende tekening een perspectiefbeeld van de ruimte zijn.

Egyptische ontwerpmethoden die lijken te zijn gebaseerd op vierkante rasterlay-outs. Er zijn talloze voorbeelden in de Egyptische kunst die aantonen dat schilders en beeldhouwers eerst een raster op een muur schilderden om te schilderen of te snijden om de gevestigde proporties te behouden. De eenvoudige numerieke verhoudingen van deze rasters vormen de kern van alle grote kunstwerken van de Egyptenaren.

Dezelfde methode werd gebruikt door veel renaissanceschilders, waaronder Leonardo da Vinci. In het oude Egypte werd dit belichaamd in de Grote Piramide, die wordt versterkt door de nauwe relatie met het patroon op Marlborough Down.

Voordat hij aan het werk ging, trok de Egyptische kunstenaar de muur over met een raster van rechte lijnen en bracht hij er vervolgens zorgvuldig figuren op over. Maar de geometrische volgorde weerhield hem er niet van de natuur met gedetailleerde nauwkeurigheid te herscheppen. Het uiterlijk van elke vis, elke vogel wordt zo waarheidsgetrouw weergegeven dat moderne zoölogen hun soort gemakkelijk kunnen bepalen. Figuur 4 toont een detail van de compositie met een illustratie - een boom met vogels gevangen door het net van Khnumhotep. De beweging van de hand van de kunstenaar werd niet alleen geleid door de reserves van zijn vaardigheden, maar ook door het oog, gevoelig voor de contouren van de natuur.

Afb. 4 Vogels op acacia

Hoofdstuk II. Coördinatenmethode in de wiskunde

§een. Toepassing van coördinaten in de wiskunde. Verdienste

Franse wiskundige René Descartes

Lange tijd gebruikte alleen geografie "landbeschrijving" - deze opmerkelijke uitvinding, en pas in de 14e eeuw probeerde de Franse wiskundige Nicolas Orem (1323-1382) het toe te passen op "aardmeting" - geometrie. Hij stelde voor om het vlak te bedekken met een rechthoekig raster en de lengte- en breedtegraad te noemen wat we nu abscis en ordinaat noemen.

Op basis van deze succesvolle innovatie ontstond de coördinatenmethode, die meetkunde koppelt aan algebra. De belangrijkste verdienste bij het maken van deze methode is van de grote Franse wiskundige Rene Descartes (1596 - 1650). Ter ere van hem wordt zo'n coördinatensysteem cartesiaans genoemd, waarmee de locatie van elk punt in het vlak wordt aangegeven door de afstanden van dit punt tot de "nulbreedte" - de abscis-as "en de" nulmeridiaan "- de ordinaat-as.

Deze briljante Franse wetenschapper en denker uit de 17e eeuw (1596-1650) vond echter niet meteen zijn plek in het leven. Geboren in een adellijke familie, kreeg Descartes een goede opleiding. In 1606 stuurde zijn vader hem naar het jezuïetencollege van La Flèche. Gezien de niet al te goede gezondheid van Descartes, kreeg hij enkele aflaten in het strikte regime van deze onderwijsinstelling, hij mocht bijvoorbeeld later opstaan ​​dan anderen. Nadat hij veel kennis had opgedaan op de universiteit, was Descartes tegelijkertijd doordrenkt met een antipathie tegen de scholastieke filosofie, die hij zijn hele leven behield.

Na zijn afstuderen aan de universiteit zette Descartes zijn opleiding voort. In 1616 behaalde hij aan de Universiteit van Poitiers een Bachelor of Laws. In 1617 nam Descartes dienst in het leger en reisde veel door Europa.

1619 bleek wetenschappelijk een sleuteljaar te zijn voor Descartes.

Het was in deze tijd, zoals hij zelf in zijn dagboek schreef, dat de fundamenten van een nieuwe 'verbazingwekkende wetenschap' aan hem werden geopenbaard. Hoogstwaarschijnlijk had Descartes de ontdekking van een universele wetenschappelijke methode voor ogen, die hij vervolgens met succes in verschillende disciplines toepast.

In de jaren 1620 ontmoette Descartes de wiskundige M. Mersenne, door wie hij jarenlang 'contact hield' met de hele Europese wetenschappelijke gemeenschap.

In 1628 vestigde Descartes zich meer dan 15 jaar in Nederland, maar hij vestigde zich niet op één plaats, maar veranderde ongeveer twee dozijn keer van woonplaats.

Toen Descartes in 1633 hoorde over de veroordeling van Galileo door de kerk, weigerde hij het natuurlijk-filosofische werk "The World" te publiceren, dat de ideeën over de natuurlijke oorsprong van het universum uiteenzette volgens de mechanische wetten van de materie.

In 1637 werd Descartes' werk "Discourse on Method" gepubliceerd in het Frans, waarmee, zoals velen geloven, de moderne Europese filosofie begon.

Het laatste filosofische werk van Descartes, The Passion of the Soul, gepubliceerd in 1649, had ook grote invloed op het Europese denken.In datzelfde jaar ging Descartes op uitnodiging van de Zweedse koningin Christine naar Zweden. Het barre klimaat en het ongewone regime (de koningin dwong Descartes om vijf uur 's ochtends op te staan ​​om haar lessen te geven en andere boodschappen te doen) ondermijnden Descartes' gezondheid, en toen hij verkouden werd,

overleden aan een longontsteking.

Volgens de traditie geïntroduceerd door Descartes, wordt de "breedtegraad" van het punt aangeduid met de letter x, de "lengtegraad" met de letter y

Veel manieren om een ​​plaats te specificeren zijn gebaseerd op dit systeem.

Op een bioscoopkaartje staan ​​bijvoorbeeld twee cijfers: een rij en een stoel - ze kunnen worden beschouwd als de coördinaten van een stoel in de zaal.

Soortgelijke coördinaten worden geaccepteerd in schaken. In plaats van een van de cijfers wordt een letter genomen: de verticale rijen cellen worden aangegeven met letters van het Latijnse alfabet en horizontale rijen - met cijfers. Zo wordt aan elk veld van het schaakbord een paar letters en cijfers toegewezen en krijgen de schakers de kans om hun partijen op te schrijven. Konstantin Simonov schrijft over het gebruik van coördinaten in zijn gedicht "The Son of an Artilleryman".

De hele nacht lopen als een slinger

Majoor sloot zijn oog niet,

Dag morgen op de radio

Het eerste signaal kwam:

"Het is goed, ik ben er,

Duitsers links van mij

Coördinaten (3; 10),

Schiet op, laten we schieten!

De wapens zijn geladen

De majoor heeft alles zelf uitgerekend.

En met een brul de eerste volleys

Raak de bergen.

En weer het signaal op de radio:

"De Duitsers heersen over mij,

Coördinaten (5; 10),

Liever meer vuur!

Aarde en rotsen vlogen

Rook steeg op in een kolom.

Het leek nu vanaf daar

Niemand gaat levend weg.

Derde radiosignaal:

"De Duitsers zijn om me heen,

Coördinaten (4; 10),

Spaar het vuur niet.

De majoor werd bleek toen hij hoorde:

(4; 10) - gewoon

De plaats waar zijn Lyonka

Zou nu moeten zitten.

Konstantin Simonov "Zoon van een artillerist"

§2. Legenden van de uitvinding van het coördinatenstelsel

Er zijn verschillende legendes over de uitvinding van het coördinatensysteem, dat de naam Descartes draagt.

Legende 1

Zo'n verhaal is in onze tijd teruggekomen.

Descartes bezocht de Parijse theaters en werd er nooit moe van verrast te worden door de verwarring, ruzies en soms zelfs uitdagingen voor een duel veroorzaakt door het ontbreken van een elementaire volgorde van verdeling van het publiek in de zaal. Het door hem voorgestelde nummeringssysteem, waarbij elke plaats een rijnummer en een serienummer van de rand kreeg, nam onmiddellijk alle redenen voor twist weg en zorgde voor een echte sensatie in de Parijse high society.

Legende 2. Eens lag René Descartes de hele dag in bed, ergens aan denkend, en een vlieg zoemde rond en stond hem niet toe zich te concentreren. Hij begon na te denken over hoe hij de positie van de vlieg op elk willekeurig moment wiskundig kon beschrijven, zodat hij hem kon meppen zonder hem te missen. En ... bedacht, Cartesiaanse coördinaten, een van de grootste uitvindingen in de geschiedenis van de mensheid.

Markovtsev Yu.

Eenmaal in een onbekende stad

De jonge Descartes arriveerde.

De honger kwelde hem verschrikkelijk.

Het was de koude maand maart.

Ik besloot me tot een voorbijganger te wenden

Descartes, die zijn rilling probeert te kalmeren:

Waar is het hotel, vertel me?

En de dame begon uit te leggen:

- Ga naar de zuivelfabriek

Dan naar de bakker, achter haar

Zigeunervrouw die spelden verkoopt

En vergif voor ratten en muizen,

Je zult er zeker in vinden

Kaas, koekjes, fruit

En veelkleurige zijde ...

Ik luisterde naar al deze uitleg

Descartes, rillend van de kou.

Hij wilde heel graag eten,

- Achter de winkels - een apotheek

(de apotheker daar is een besnorde Zweed),

En de kerk, waar aan het begin van de eeuw

Het lijkt erop dat mijn grootvader is getrouwd ...

Toen de dame even stil was,

Opeens zei haar bediende:

- Loop drie blokken rechtdoor

En twee naar rechts. Entree vanaf de hoek.

Dit is de derde fabel over de zaak die Descartes op het idee van coördinaten bracht.

Conclusie

Tijdens het maken van ons project leerden we over het gebruik van het coördinatenvlak op verschillende gebieden van de wetenschap en het dagelijks leven, wat informatie uit de geschiedenis van de oorsprong van het coördinatenvlak en wiskundigen die een grote bijdrage hebben geleverd aan deze uitvinding. Het materiaal dat we tijdens het schrijven van het werk hebben verzameld, kan worden gebruikt in de klas van de schoolkring, als aanvullend materiaal voor de lessen. Dit alles kan schoolkinderen interesseren en het onderwijsproces opfleuren.

En we willen eindigen met deze woorden:

"Stel je je leven voor als een coördinatenvlak. De y-as is uw positie in de samenleving. De x-as gaat vooruit, naar het doel, naar je droom. En zoals we weten, is het oneindig ... we kunnen naar beneden vallen, dieper en dieper in de min gaan, we kunnen op nul blijven en niets doen, helemaal niets. We kunnen omhoog gaan, we kunnen vallen, we kunnen vooruit of achteruit gaan, en dat allemaal omdat ons hele leven een coördinatenvlak is en het belangrijkste is, wat is jouw coördinaat ... "

Bibliografie

Glazer G.I. Geschiedenis van de wiskunde op school: - M.: Onderwijs, 1981. - 239 p, ill.

Lyatker Ya.A. Descartes. M.: Gedachte, 1975. - (Denkers van het verleden)

Matvievskaya GP Rene Descartes, 1596-1650. Moskou: Nauka, 1976.

A. Savin. Coördineren. Quantum. 1977. Nr. 9

Wiskunde - een bijlage bij de krant "1 september", nr. 7, nr. 20, nr. 17, 2003, nr. 11, 2000.

Siegel F.Yu. Star ABC: een studentengids. - M.: Onderwijs, 1981 .-- 191 p., Il

Steve Parker, Nicholas Harris. Geïllustreerde encyclopedie voor kinderen. Geheimen van het universum. Charkov Belgorod. 2008

Materialen van de site http://istina.rin.ru/

Op oppervlak. Laat de ene x zijn, de andere y. En laat deze lijnen onderling loodrecht staan ​​(dat wil zeggen, ze snijden elkaar in een rechte hoek). Bovendien zal het punt van hun snijpunt de oorsprong zijn van de coördinaten voor beide rechte lijnen, en het eenheidssegment is hetzelfde (Fig. 1).

Dus we hebben rechthoekig coördinatenstelsel, en ons vliegtuig is coördinaat geworden. De rechte lijnen x en y worden coördinaatassen genoemd. Bovendien is de x-as de abscis en de y-as de ordinaat. Een soortgelijk vlak wordt meestal aangeduid met de namen van de assen en het referentiepunt - xOy. Het rechthoekige coördinatenstelsel wordt ook wel Cartesisch coördinatenstelsel, omdat het voor het eerst actief werd gebruikt door de Franse wiskundige en filosoof - Rene Descartes.

De rechte hoeken gevormd door de rechte lijnen x en y heten hoeken coördineren... Elke hoek is genummerd zoals getoond in Fig. 2.

Dus toen we het hadden over de coördinaatlijn, had elk punt van deze lijn één coördinaat. Als we het nu hebben over het coördinatenvlak, dan heeft elk punt van dit vlak al twee coördinaten. Eén komt overeen met de rechte lijn x (deze coördinaat heet is abscis), de andere komt overeen met de rechte lijn y (deze coördinaat heet ordinaat). Het is zo geschreven: M (x; y), waarbij x de abscis is en y de ordinaat. Het leest als: "Punt M met coördinaten x, y".

Hoe bepaal je de coördinaten van een punt op een vlak?
We weten nu dat elk punt op het vlak twee coördinaten heeft. Om de coördinaten te achterhalen, volstaat het om twee rechte lijnen door dit punt te trekken, loodrecht op de coördinaatassen. De snijpunten van deze rechte lijnen met de coördinaatassen zullen de gewenste coördinaten zijn. Dus bijvoorbeeld in afb. 3 hebben we vastgesteld dat de coördinaten van punt M 5 en 3 zijn.

Hoe teken je een punt op een vlak aan de hand van zijn coördinaten?
Het komt ook voor dat we de coördinaten van een punt op het vlak al kennen. En we moeten haar locatie vinden. Laten we zeggen dat we de coördinaten van het punt (-2; 5) hebben. Dat wil zeggen, de abscis is -2 en de ordinaat is 5. Neem het punt met de coördinaat -2 op de x-as (abscis) en trek er een rechte lijn doorheen evenwijdig aan de y-as. Merk op dat elk punt op deze lijn een abscis heeft die gelijk is aan -2. Nu vinden we op de lijn y (de ordinaat) een punt met coördinaat 5 en trekken er een lijn b door evenwijdig aan de x-as. Merk op dat elk punt op deze lijn een ordinaat heeft gelijk aan 5. Op het snijpunt van lijnen a en b zal er een punt zijn met coördinaten (-2; 5). Laten we het aanduiden met de letter P (Fig. 4).

We voegen ook toe dat de rechte lijn a, waarvan alle punten de abscis -2 hebben, wordt gegeven door de vergelijking
x = -2 of dat x = -2 de vergelijking is van de rechte a. Voor het gemak kunnen we niet zeggen "de rechte lijn, die wordt gegeven door de vergelijking x = -2", maar gewoon "de rechte lijn x = -2". Inderdaad, voor elk punt van de lijn a is de gelijkheid x = -2 waar. En de lijn b, waarvan alle punten ordinaat 5 hebben, wordt op zijn beurt gegeven door de vergelijking y = 5 of dat y = 5 de vergelijking van de lijn b is.

Om de relatieve positie van enkele onderzochte objecten aan te geven, wordt het volgende gebruikt:

1. coördinaatstraal, wanneer hun plaatsing of beweging plaatsvindt langs een rechte lijn aan één kant van een bepaald object, genomen als oorsprong;
2. coördinaatlijn, wanneer hun plaatsing of beweging plaatsvindt langs een rechte lijn aan weerszijden van een bepaald object, als oorsprong genomen;
3. het coördinatenvlak wanneer hun plaatsing of beweging plaatsvindt langs een willekeurige gebogen lijn.

Coördinatenvlakelementen

Een coördinatenvlak verschilt van een regulier vlak doordat er een coördinatensysteem op wordt toegepast. Een voorbeeld is de afbeelding van een continent waarop parallellen en meridianen zijn getekend, die een systeem van geografische coördinaten instellen waarmee u elk object op de kaart kunt vinden of de positie ervan kunt bepalen.

Het coördinatensysteem bestaat uit twee elkaar snijdende loodrechte coördinaatlijnen op de oorsprongspunten. De horizontale coördinaatlijn wordt meestal de abscis-as genoemd (abscis uit het Latijn - segment). Verticale lijn - ordinaat-as (ordinaat uit het Latijn - uitlijning in volgorde).

Evenzo verschilt de coördinaatlijn van de gebruikelijke rechte lijn doordat er een punt als oorsprong op is geselecteerd; kies de schaal van een eenheidssegment afhankelijk van de afstanden die moeten worden weergegeven; positieve referentierichting, aangegeven op de coördinaatlijn door een pijl.

De positie van een object op zo'n vlak wordt aangegeven door een punt met twee cijfers - coördinaten: abscis en ordinaat.

Coördinatenvlakken gebruiken

Coördinatenvlakken worden veel gebruikt voor het oplossen van geometrische en fysieke problemen. Bovendien wordt in de natuurkunde vaak de tijdas als de abscis-as genomen. Vervolgens stelt de ordinaat-as de coördinaat van het lichaam in op de coördinaatlijn, die zich langs de rechtlijnige baan van het lichaam bevindt.

Wiskunde is een complexe wetenschap. Als je het bestudeert, moet je niet alleen voorbeelden en problemen oplossen, maar ook werken met verschillende figuren en zelfs vlakken. Een van de meest gebruikte in de wiskunde is het vlakke coördinatensysteem. Kinderen hebben meer dan een jaar geleerd hoe ze met haar moeten werken. Daarom is het belangrijk om te weten wat het is en hoe je er op de juiste manier mee kunt werken.

Laten we eens kijken wat dit systeem is, welke acties met zijn hulp kunnen worden uitgevoerd en ook de belangrijkste kenmerken en functies ervan ontdekken.

Definitie van het concept

Het coördinatenvlak is het vlak waarop een specifiek coördinatensysteem is gedefinieerd. Zo'n vlak wordt bepaald door twee rechte lijnen die elkaar loodrecht snijden. De oorsprong van de coördinaten ligt op het snijpunt van deze lijnen. Elk punt op het coördinatenvlak wordt gespecificeerd door een paar getallen die coördinaten worden genoemd.

In een wiskundecursus op school moeten schoolkinderen heel nauw samenwerken met een coördinatensysteem - er figuren en punten op bouwen, bepalen tot welk vlak een bepaalde coördinaat behoort, en ook de coördinaten van een punt bepalen en ze opschrijven of benoemen. Laten we daarom in meer detail praten over alle kenmerken van coördinaten. Maar laten we het eerst hebben over de geschiedenis van de schepping, en dan zullen we het hebben over hoe we op het coördinatenvlak kunnen werken.

historische referentie

Ideeën voor het maken van een coördinatensysteem waren al in de tijd van Ptolemaeus. Zelfs toen dachten astronomen en wiskundigen na over hoe ze konden leren hoe ze de positie van een punt op een vlak konden bepalen. Helaas was er toen nog geen coördinatensysteem bij ons bekend en moesten wetenschappers andere systemen gebruiken.

Aanvankelijk stellen ze punten in door de breedtegraad en lengtegraad op te geven. Lange tijd was het een van de meest gebruikte manieren om deze of gene informatie in kaart te brengen. Maar in 1637 creëerde Rene Descartes zijn eigen coördinatensysteem, later genoemd naar het 'Cartesiaanse'.

Al aan het einde van de 17e eeuw. het concept van "coördinatenvlak" is op grote schaal gebruikt in de wereld van de wiskunde. Ondanks het feit dat er verschillende eeuwen zijn verstreken sinds de oprichting van dit systeem, wordt het nog steeds veel gebruikt in de wiskunde en zelfs in het leven.

Coördinatenvlak voorbeelden

Voordat we het over theorie hebben, zijn hier enkele illustratieve voorbeelden van het coördinatenvlak, zodat je het je kunt voorstellen. Het coördinatensysteem wordt voornamelijk gebruikt bij schaken. Op het bord heeft elk vierkant zijn eigen coördinaten - een lettercoördinaat, de tweede digitaal. Met zijn hulp kun je de positie van een bepaald stuk op het bord bepalen.

Het tweede meest opvallende voorbeeld is het door velen geliefde spel "Sea Battle". Onthoud hoe je tijdens het spelen de coördinaat benoemt, bijvoorbeeld B3, zodat je precies aangeeft waar je moet mikken. Tegelijkertijd plaatst u de schepen en stelt u punten op het coördinatenvlak in.

Dit coördinatensysteem wordt niet alleen veel gebruikt in wiskunde, logische spellen, maar ook in militaire zaken, astronomie, natuurkunde en vele andere wetenschappen.

Coördinaatassen

Zoals reeds vermeld, worden in het assenstelsel twee assen onderscheiden. Laten we het er even over hebben, want ze zijn van groot belang.

De eerste as, abscis, is horizontaal. Het wordt aangeduid als ( Os). De tweede as is de ordinaat, die verticaal door het referentiepunt loopt en wordt aangeduid als ( Oy). Het zijn deze twee assen die het coördinatensysteem vormen en het vlak in vier delen verdelen. De oorsprong ligt op het snijpunt van deze twee assen en heeft de waarde 0 ... Alleen als het vlak wordt gevormd door twee assen die elkaar loodrecht snijden en een referentiepunt hebben, is het een coördinatenvlak.

Merk ook op dat elk van de assen zijn eigen richting heeft. Meestal is het bij het construeren van een coördinatensysteem gebruikelijk om de richting van de as in de vorm van een pijl aan te geven. Bovendien wordt bij het construeren van een coördinatenvlak elk van de assen ondertekend.

kwartalen

Laten we nu een paar woorden zeggen over zo'n concept als een kwart van het coördinatenvlak. Het vlak is door twee assen in vier kwarten verdeeld. Elk van hen heeft zijn eigen nummer, terwijl de nummering van de vlakken tegen de klok in is.

Elk van de wijken heeft zijn eigen kenmerken. Dus in het eerste kwartaal zijn de abscis en ordinaat positief, in het tweede kwartaal is de abscis negatief, de ordinaat is positief, in het derde kwartaal zijn zowel de abscis als de ordinaat negatief, in het vierde is de abscis positief en de ordinaat is negatief.

Als u deze kenmerken onthoudt, kunt u eenvoudig bepalen bij welk kwartaal dit of dat punt hoort. Daarnaast kan deze informatie voor u van pas komen in het geval u berekeningen moet doen met het cartesiaanse systeem.

Werken met een coördinatenvlak

Toen we het concept van een vliegtuig ontdekten en over zijn kwartalen spraken, kunnen we verder gaan met een probleem als werken met dit systeem, en ook praten over hoe punten, coördinaten van figuren erop kunnen worden toegepast. Op het coördinatenvlak is dit niet zo moeilijk als het op het eerste gezicht lijkt.

Allereerst wordt het systeem zelf gebouwd, alle belangrijke aanduidingen worden erop toegepast. Dan werken we direct met punten of vormen. In dit geval worden, zelfs bij het construeren van figuren, eerst punten op het vlak getekend en dan zijn de figuren al getekend.

Regels voor het bouwen van vliegtuigen

Als je besluit om vormen en punten op papier te gaan markeren, heb je een coördinatenvlak nodig. De coördinaten van de punten worden erop toegepast. Om een ​​coördinatenvlak te bouwen, heb je alleen een liniaal en een pen of potlood nodig. Eerst wordt de horizontale abscis getekend, dan de verticale - de ordinaat. Het is belangrijk om te onthouden dat de assen elkaar in een rechte hoek kruisen.

Het volgende verplichte item is markering. Op elk van de assen in beide richtingen zijn de eenheidssegmenten gemarkeerd en ondertekend. Dit wordt gedaan zodat u vervolgens met maximaal gemak met het vliegtuig kunt werken.

Markeer het punt

Laten we het nu hebben over het plotten van de coördinaten van punten op het coördinatenvlak. Dit is de basis die u moet kennen om met succes verschillende vormen op een vlak te plaatsen en zelfs vergelijkingen te markeren.

Onthoud bij het plotten van punten hoe hun coördinaten correct zijn vastgelegd. Dus, meestal door een punt op te geven, worden twee getallen tussen haakjes geschreven. Het eerste cijfer geeft de coördinaat van het punt langs de as van de abscis aan, het tweede - langs de ordinaat.

Het punt moet op deze manier worden opgebouwd. Eerste markering op de as Os instelpunt en markeer vervolgens het punt op de as Oy... Trek vervolgens denkbeeldige lijnen uit deze aanduidingen en vind de plaats van hun snijpunt - dit is het gegeven punt.

Je hoeft het alleen maar te markeren en te ondertekenen. Zoals je kunt zien, is alles vrij eenvoudig en vereist het geen speciale vaardigheden.

Plaats de vorm

Laten we nu verder gaan met een vraag als de constructie van figuren op het coördinatenvlak. Om een ​​vorm op het coördinatenvlak te bouwen, moet u weten hoe u er punten op plaatst. Als je weet hoe je dit moet doen, dan is het niet zo moeilijk om een ​​vorm op een vlak te plaatsen.

Allereerst heb je de coördinaten van de punten van de vorm nodig. Volgens hen zullen we de door u gekozen coördinaten toepassen op ons coördinatenstelsel.Overweeg om een ​​rechthoek, een driehoek en een cirkel te tekenen.

Laten we beginnen met een rechthoek. Het is vrij eenvoudig aan te brengen. Eerst worden vier punten op het vlak getekend, die de hoeken van de rechthoek aangeven. Dan zijn alle punten in serie met elkaar verbonden.

Het tekenen van een driehoek is niet anders. Het enige is dat het drie hoeken heeft, wat betekent dat er drie punten op het vlak worden toegepast, die de hoekpunten aangeven.

Wat betreft de cirkel, hier zou je de coördinaten van de twee punten moeten kennen. Het eerste punt is het middelpunt van de cirkel, het tweede is het punt dat de straal aangeeft. Deze twee punten zijn uitgezet op het vlak. Vervolgens wordt een kompas genomen, de afstand tussen twee punten wordt gemeten. De punt van het kompas wordt in het middelpunt geplaatst en er wordt een cirkel beschreven.

Zoals je ziet is ook hier niets ingewikkelds, het belangrijkste is dat je altijd een liniaal en passer bij de hand hebt.

Nu weet je hoe je de coördinaten van de vormen moet plotten. Op het coördinatenvlak is dit niet zo moeilijk als het op het eerste gezicht lijkt.

conclusies

Daarom hebben we samen met jou een van de meest interessante en fundamentele concepten voor wiskunde overwogen waarmee elke student te maken krijgt.

We hebben ontdekt dat het coördinatenvlak een vlak is dat wordt gevormd door het snijpunt van twee assen. Met zijn hulp kunt u de coördinaten van punten instellen, er vormen op toepassen. Het vliegtuig is opgedeeld in kwartieren, die elk hun eigen kenmerken hebben.

De belangrijkste vaardigheid die moet worden ontwikkeld bij het werken met een coördinatenvlak, is het vermogen om gespecificeerde punten erop correct toe te passen. Om dit te doen, moet u de juiste locatie van de assen, de kenmerken van de kwartalen en de regels kennen waarmee de coördinaten van de punten worden bepaald.

We hopen dat de door ons gepresenteerde informatie toegankelijk en begrijpelijk was, en ook nuttig voor u was en u heeft geholpen dit onderwerp beter te begrijpen.

Punten - "huurders" zijn "geregistreerd", elk punt heeft zijn eigen "huisnummer" - zijn coördinaat. Als het punt in een vliegtuig wordt genomen, moet voor de "registratie" niet alleen het "huisnummer", maar ook het "appartementnummer" worden aangegeven. Laten we ons herinneren hoe dit wordt gedaan.

We zullen twee onderling loodrechte coördinaatlijnen tekenen en we zullen het snijpunt, punt O, beschouwen als de oorsprong van beide lijnen. Er wordt dus een rechthoekig coördinatensysteem op het vlak gezet (Fig. 20), dat de gebruikelijke transformeert vliegtuig coördineren. Punt O wordt de oorsprong genoemd, de coördinaatlijnen (x-as en y-as) worden coördinaatassen genoemd en rechte hoeken gevormd door de coördinaatassen worden coördinaathoeken genoemd. Coördinaat rechthoekige hoeken zijn genummerd zoals weergegeven in afbeelding 20.

En laten we nu kijken naar figuur 21, waar een rechthoekig coördinatensysteem wordt getoond en punt M. Trek er een rechte lijn doorheen evenwijdig aan de y-as. De rechte lijn snijdt de x-as ergens, dit punt heeft een coördinaat - op de x-as. Voor het in figuur 21 getoonde punt is deze coördinaat -1,5, dit wordt de abscis van punt M genoemd. Trek vervolgens een rechte lijn door punt M evenwijdig aan de x-as. De rechte lijn snijdt de y-as op een bepaald punt, dit punt heeft een coördinaat - op de y-as.

Voor punt M, weergegeven in figuur 21, is deze coördinaat gelijk aan 2, het wordt de ordinaat van punt M genoemd. Kortweg als volgt geschreven: M (-1,5; 2). De abscis is in de eerste plaats geschreven, de ordinaat in de tweede. Gebruik eventueel een andere notatievorm: x = -1,5; j = 2.

Opmerking 1 ... In de praktijk worden, om de coördinaten van het punt M te vinden, gewoonlijk in plaats van rechte lijnen evenwijdig aan de coördinaatassen en die door het punt M gaan, segmenten van deze rechte lijnen geconstrueerd van het punt M naar de coördinaatassen (Fig. 22).

Opmerking 2. In de vorige paragraaf hebben we verschillende notaties voor getalintervallen geïntroduceerd. In het bijzonder, zoals we waren overeengekomen, betekent de notatie (3, 5) dat we op de coördinaatlijn een interval beschouwen dat eindigt op de punten 3 en 5. In deze sectie beschouwen we een paar getallen als coördinaten van een punt; bijvoorbeeld (3; 5) is een punt op coördinaatvlak met abscis 3 en ordinaat 5. Hoe is het juist om uit de symbolische notatie te bepalen wat er op het spel staat: het interval of de coördinaten van een punt? Meestal blijkt dit uit de tekst. En als het niet duidelijk is? Let op één detail: we gebruikten een komma in de intervalaanduiding en een puntkomma in de coördinaataanduiding. Dit is natuurlijk niet erg significant, maar toch een verschil; we zullen het toepassen.

Rekening houdend met de geïntroduceerde termen en aanduidingen, wordt de horizontale coördinaatlijn de abscis, of de x-as, en de verticale coördinaatlijn, de ordinaat-as of de y-as genoemd. De aanduidingen x, y worden meestal gebruikt bij het specificeren van een rechthoekig coördinatensysteem op het vlak (zie Fig. 20) en zeggen vaak als volgt: gegeven een coördinatensysteem xOy. Er zijn echter andere aanduidingen: in figuur 23 wordt bijvoorbeeld het coördinatensysteem tOs gespecificeerd.
Algoritme voor het vinden van de coördinaten van een punt M, gegeven in een rechthoekig coördinatenstelsel xOy

Dit is precies hoe we gehandeld hebben, de coördinaten van het punt M in figuur 21 vinden. Als het punt M 1 (x; y) tot de eerste coördinaathoek behoort, dan is x> 0, y> 0; als punt M 2 (x; y) bij de tweede coördinaathoek hoort, dan is x< 0, у >0; als punt М 3 (x; y) bij de derde coördinaathoek hoort, dan is x< О, у < 0; если точка М 4 (х; у) принадлежит четвертому координатному углу, то х >OU< 0 (рис. 24).

En wat gebeurt er als het punt waarvan je de coördinaten moet vinden op een van de coördinaatassen ligt? Laat punt A op de x-as liggen en punt B op de y-as (Fig. 25). Het heeft geen zin om een ​​rechte lijn door punt A evenwijdig aan de y-as te trekken en het snijpunt van deze lijn met de x-as te vinden, aangezien zo'n snijpunt al bestaat - dit is punt A, zijn coördinaat ( abscis) is 3. Op dezelfde manier is het niet nodig om door het punt En de rechte lijn evenwijdig aan de x-as te tekenen - deze rechte lijn is de x-as zelf, die de y-as snijdt in het punt O met de coördinaat (ordinaat) 0. Als resultaat krijgen we voor het punt A A (3; 0). Evenzo verkrijgen we voor punt B B (0; - 1.5). En voor punt O hebben we O (0; 0).

Over het algemeen heeft elk punt op de x-as coördinaten (x; 0), en elk punt op de y-as heeft coördinaten (0; y)

We hebben dus besproken hoe we de coördinaten van een punt in het coördinatenvlak kunnen vinden. En hoe het inverse probleem op te lossen, dat wil zeggen, hoe, nadat we de coördinaten hebben gegeven, het corresponderende punt construeren? Om een ​​algoritme te ontwikkelen, voeren we twee aanvullende, maar tegelijkertijd belangrijke redeneringen uit.

Eerste redenering. Laat I getekend zijn in het xOy-coördinatensysteem, evenwijdig aan de y-as en de x-as snijdend in een punt met een coördinaat (abscis) 4

(afb. 26). Elk punt dat op deze rechte lijn ligt, heeft een abscis 4. Dus voor de punten М 1, М 2, М 3 hebben we М 1 (4; 3), М 2 (4; 6), М 3 (4; - 2) . Met andere woorden, de abscis van elk punt M van de rechte lijn voldoet aan de voorwaarde x = 4. Ze zeggen dat x = 4 - de vergelijking lijn l of die lijn I voldoet aan de vergelijking x = 4.

Figuur 27 toont rechte lijnen die voldoen aan de vergelijkingen x = - 4 (lijn I 1), x = - 1
(rechte I 2) x = 3,5 (rechte I 3). En welke lijn voldoet aan de vergelijking x = 0? Heb je het geraden? Y-as.

Tweede redenering. Laat een rechte lijn I tekenen in het xOy-coördinatensysteem, evenwijdig aan de x-as en de y-as snijdend in een punt met coördinaat (ordinaat) 3 (Fig. 28). Elk punt dat op deze rechte lijn ligt, heeft ordinaat 3. Dus voor de punten М 1, М 2, М 3 hebben we: М 1 (0; 3), М 2 (4; 3), М 3 (- 2; 3) ... Met andere woorden, de ordinaat van elk punt M van de lijn I voldoet aan de voorwaarde y = 3. Ze zeggen dat y = 3 de vergelijking is van de lijn I of dat de lijn I voldoet aan de vergelijking y = 3.

Figuur 29 toont rechte lijnen die voldoen aan de vergelijkingen y = - 4 (rechte l 1), y = - 1 (rechte I 2), y = 3,5 (rechte I 3) - A welke rechte lijn voldoet aan de vergelijking y = 01 Raad eens? X-as.

Merk op dat wiskundigen, die streven naar beknoptheid van spraak, zeggen "rechte lijn x = 4", en niet "rechte lijn die voldoet aan de vergelijking x = 4". Evenzo zeggen ze "de lijn y = 3" en niet "de lijn die voldoet aan de vergelijking y = 3". Wij zullen hetzelfde doen. Laten we nu terugkeren naar figuur 21. Merk op dat het punt M (-1,5; 2), dat daar wordt weergegeven, het snijpunt is van de rechte lijn x = -1,5 en de rechte lijn y = 2. Nu is blijkbaar de algoritme voor het construeren van het punt zal duidelijk zijn volgens de gegeven coördinaten.

Algoritme voor het construeren van een punt M (a; b) in een rechthoekig coördinatenstelsel xOy

VOORBEELD Bouw in het xOy-coördinatensysteem de punten: A (1; 3), B (- 2; 1), C (4; 0), D (0; - 3).

Besluit. Punt A is het snijpunt van de lijnen x = 1 en y = 3 (zie Fig. 30).

Punt B is het snijpunt van de lijnen x = - 2 en y = 1 (Fig. 30). Punt C hoort bij de x-as en punt D bij de y-as (zie Fig. 30).

Ter afsluiting van de sectie merken we op dat voor het eerst een rechthoekig coördinatensysteem op een vlak actief werd gebruikt om algebraïsche modellen geometrische Franse filosoof Rene Descartes (1596-1650). Daarom zeggen ze soms "Cartesiaans coördinatensysteem", "Cartesiaanse coördinaten".

Een volledige lijst met onderwerpen per klas, een kalenderplan volgens het schoolcurriculum in wiskunde online, videobeelden in wiskunde voor rang 7 downloaden

A. V. Pogorelov, Geometrie voor de rangen 7-11, Leerboek voor onderwijsinstellingen

Inhoud van de les lesoverzicht ondersteuning kader les presentatie versnellingsmethoden interactieve technologieën Praktijk taken en oefeningen zelftest workshops, trainingen, cases, speurtochten huiswerk discussievragen retorische vragen van studenten Illustraties audio, videoclips en multimedia foto's, afbeeldingen, grafieken, tabellen, schema's humor, anekdotes, grappen, stripparabels, spreuken, kruiswoordraadsels, citaten Add-ons samenvattingen artikelen fiches voor nieuwsgierige spiekbriefjes leerboeken basis- en aanvullende woordenschat van termen anderen Leerboeken en lessen verbeterenbugfixes in de tutorial een fragment in het leerboek bijwerken elementen van innovatie in de les vervangen van verouderde kennis door nieuwe Alleen voor docenten perfecte lessen kalenderplan voor het jaar methodologische aanbevelingen van het discussieprogramma Geïntegreerde lessen