Pas volume- en oppervlakteformules toe voor een cilinder, kegel en bal. Ze staan ​​allemaal op onze tafel. Leer uit het hoofd. Dit is waar de kennis van stereometrie begint.

1. Het volume van de kegel is 16.Door het midden van de hoogte, evenwijdig aan de basis van de kegel, wordt een doorsnede getrokken, die de basis is van de kleinere kegel met dezelfde top. Vind het volume van de kleinere kegel.

Het is duidelijk dat het volume van de kleinere kegel 8 keer kleiner is dan het volume van de grote en gelijk is aan twee.

Basiskennis van stereometrie is nuttig voor het oplossen van sommige problemen. Bijvoorbeeld - wat is een regelmatige piramide of een recht prisma. Het is handig om te onthouden dat een cilinder, een kegel en een bal ook een gemeenschappelijke naam hebben - omwentelingslichamen. Wat een bol heet het oppervlak van een bal. En, bijvoorbeeld, de uitdrukking "de beschrijvende lijn van een kegel helt onder een hoek van 30 graden naar het vlak van de basis, suggereert dat je weet wat de hoek tussen een rechte lijn en een vlak is. Je kunt ook de stelling van Pythagoras en eenvoudige formules gebruiken voor de oppervlakten van figuren.

Soms is het een goed idee om een ​​bovenaanzicht te tekenen. Of, zoals in dit probleem, van onderaf.

2. Hoe vaak is het volume van een kegel beschreven rond een regelmatige vierhoekige piramide groter dan het volume van een kegel ingeschreven in deze piramide?

Het is eenvoudig: teken een onderaanzicht. We zien dat de straal van de grotere cirkel keer groter is dan de straal van de kleinere. De hoogtes van beide kegels zijn gelijk. Bijgevolg zal het volume van de grotere kegel 2 keer groter zijn.

Oefeningen voor zelfstandig werk.

1. Meting van een rechthoekig parallellepipedum van 15, 50 en 36 m. Bepaal de rand van een kubus van dezelfde grootte.

2. In een gewone 4-zijdige piramide is de hoogte 3 cm, de zijrand is 5 cm Zoek het volume van de piramide.

3. De axiale doorsnede van de cilinder is een rechthoek met zijden van 8 dm en 12 dm. Bereken het volume van een cilinder.

4. De beschrijvende lijn van de kegel helt ten opzichte van het vlak van de basis in een hoek van 30 °, de straal van de basis is 3 dm. Zoek het volume van de kegel.

5. De straal van de bal is 4 m. Vind het volume van een bolvormig segment met een hoogte van 3 m.

Bibliografie

Meetkunde, 10-11: leerboek. voor onderwijsinstellingen / L.S. Atanasyan, V.F. Butuzov, S. B. Kadomtsev et al. -Moskou: Onderwijs, 2009

2. Ershova A.P., Goloborodko V.V., Ershova A.S. Onafhankelijk en controlerend werk aan geometrie voor rang 10. - 4e editie, rev. en aanvullend - M.: Ileksa, 2007, - 175 p.

3. Geometrie. 10-11 graden: tests voor huidige en algemene controle / geschreven door G.I. Kovaleva, NI Mazurova - Volgograd: Teacher, 2009, 187 pp.

4. Cyril en Methodius virtuele school. Wiskundeleraar. Moskou. 2007 jaar

5. Educatieve elektronische editie. Wiskunde 5-11 cijfers. Werkplaats. Bewerkt door VN Dubrovsky, 2004.

PRAKTIJK WERK Nr. 16

"Coördinaten en vectoren gebruiken bij het oplossen van wiskundige problemen"

Het doel van de les:

1) De theoretische kennis over het onderwerp generaliseren: "Het gebruik van coördinaten en vectoren bij het oplossen van wiskundige problemen."

2) Overweeg de algoritmen voor het oplossen van taken over het onderwerp "Coördinaten en vectoren gebruiken bij het oplossen van wiskundige problemen", om problemen op te lossen.

3) Vorm de behoefte aan zelfkennis, zelfbeheersing, het behalen van de gestelde doelen.

Theoretisch materiaal

Gelijkaardige informatie:

1. F. Een nieuw hoogtepunt in prijzen gaat gepaard met een toename van het volume, vergelijkbaar met punt A. Blijf een opwaartse positie behouden

De naam van de wetenschap "geometrie" wordt vertaald als "meting van de aarde". Het werd geboren door de inspanningen van de allereerste oude landmeters. En het was als volgt: tijdens de overstromingen van de heilige Nijl spoelden waterstromen soms de grenzen van boerenpercelen weg, en de nieuwe grenzen vielen misschien niet samen met de oude. Belastingen werden door de boeren betaald aan de schatkist van de farao in verhouding tot de grootte van het toegewezen land. Na de lekkage waren speciale mensen betrokken bij het opmeten van het bouwland in de nieuwe grenzen. Het was als gevolg van hun activiteiten dat een nieuwe wetenschap ontstond, die werd ontwikkeld in het oude Griekenland. Daar kreeg ze de naam en kreeg ze een bijna moderne uitstraling. Later werd de term de internationale naam voor de wetenschap van platte en volumetrische figuren.

Planimetrie is een tak van de meetkunde die zich bezighoudt met de studie van vlakke figuren. Een andere tak van wetenschap is stereometrie, die de eigenschappen van ruimtelijke (volumetrische) figuren onderzoekt. De in dit artikel beschreven cilinder hoort ook bij dergelijke vormen.

Er zijn tal van voorbeelden van de aanwezigheid van cilindrische objecten in het dagelijks leven. Bijna alle delen van rotatie - assen, bussen, tappen, assen, enz. Hebben een cilindrische (veel minder vaak - conische) vorm. De cilinder wordt veel gebruikt in de bouw: torens, ondersteuning, decoratieve kolommen. En daarnaast schalen, sommige soorten verpakkingen, buizen van alle mogelijke diameters. En tot slot - de beroemde hoeden, die lange tijd een symbool zijn geworden van mannelijke elegantie. De lijst is eindeloos.

Een cilinder definiëren als een geometrische vorm

Het is gebruikelijk om een ​​cilinder (cirkelcilinder) een figuur te noemen die bestaat uit twee cirkels, die desgewenst worden gecombineerd door middel van een parallelle overdracht. Het zijn deze cirkels die de basis van de cilinder vormen. Maar de lijnen (rechte lijnsegmenten) die de corresponderende punten verbinden, worden "generatoren" genoemd.

Het is belangrijk dat de basis van de cilinder altijd gelijk is (als niet aan deze voorwaarde wordt voldaan, dan hebben we een afgeknotte kegel, iets anders, maar geen cilinder) en in evenwijdige vlakken staan. De segmenten die de corresponderende punten op de cirkels verbinden, zijn evenwijdig en gelijk.

De verzameling van een oneindige reeks generatoren is niets meer dan het zijoppervlak van de cilinder - een van de elementen van deze geometrische figuur. Het andere belangrijke onderdeel zijn de hierboven besproken cirkels. Ze worden basen genoemd.

Soorten cilinders

Het eenvoudigste en meest voorkomende type cilinder is cirkelvormig. Het wordt gevormd door twee regelmatige cirkels die als basen fungeren. Maar in plaats daarvan kunnen er andere cijfers zijn.

De basis van cilinders kan (behalve cirkels) ellipsen vormen, andere gesloten vormen. Maar de cilinder hoeft niet noodzakelijk een gesloten vorm te hebben. De basis van een cilinder kan bijvoorbeeld een parabool, hyperbool of een andere open functie zijn. Zo'n cilinder zal open of uitgezet zijn.

Door de hellingshoek van de beschrijvende lijnen met de basis kunnen de cilinders recht of hellend zijn. Voor een rechte cilinder staan ​​de beschrijvende lijnen strikt loodrecht op het basisvlak. Als deze hoek afwijkt van 90 °, staat de cilinder schuin.

Wat is een revolutieoppervlak?

De rechte ronde cilinder is zonder twijfel het meest voorkomende omwentelingsoppervlak dat in de techniek wordt gebruikt. Soms worden om technische redenen taps, bolvormig, sommige andere soorten oppervlakken gebruikt, maar 99% van alle roterende assen, assen, enz. precies gemaakt in de vorm van cilinders. Om beter te begrijpen wat een omwentelingsoppervlak is, kunnen we bekijken hoe de cilinder zelf wordt gevormd.

Laten we zeggen dat er een bepaalde rechte lijn is een verticaal gelegen. ABCD - een rechthoek waarvan een van de zijden (segment AB) op een rechte lijn ligt een... Als je de rechthoek rond een rechte lijn draait, zoals weergegeven in de afbeelding, zal het volume dat het inneemt tijdens het draaien ons omwentelingslichaam zijn - een rechte cirkelvormige cilinder met hoogte H = AB = DC en straal R = AD = BC.

In dit geval wordt als gevolg van de rotatie van de vorm - de rechthoek - een cilinder verkregen. Door een driehoek te draaien, kun je een kegel krijgen, een halve cirkel draaien - een bal, enz.

Cilinderoppervlak

Om het oppervlak van een gewone rechthoekige cilinder te berekenen, is het noodzakelijk om de oppervlakken van de basis en het zijoppervlak te berekenen.

Laten we eerst eens kijken hoe het laterale oppervlak wordt berekend. Dit is het product van de omtrek en de hoogte van de cilinder. De omtrek is op zijn beurt gelijk aan tweemaal het product van het universele getal P door de straal van de cirkel.

De oppervlakte van een cirkel is, zoals je weet, gelijk aan het product P per vierkant straal. Dus door de formules op te tellen voor het gebied van het bepalen van het zijoppervlak met een dubbele uitdrukking voor het gebied van de basis (er zijn er twee) en door eenvoudige algebraïsche transformaties uit te voeren, verkrijgen we de uiteindelijke uitdrukking voor het bepalen van het oppervlak oppervlakte van een cilinder.

Het volume van een figuur bepalen

Het volume van een cilinder wordt bepaald volgens het standaardschema: het oppervlak van de basis wordt vermenigvuldigd met de hoogte.

De uiteindelijke formule ziet er dus als volgt uit: de gewenste wordt gedefinieerd als het product van de lichaamslengte door het universele getal P en door het kwadraat van de straal van de basis.

De resulterende formule is, moet ik zeggen, van toepassing op het oplossen van de meest onverwachte problemen. Op dezelfde manier als bijvoorbeeld het volume van een cilinder, wordt het volume van de elektrische bedrading bepaald. Dit is soms nodig om de massa van de draden te berekenen.

De enige verschillen in de formule zijn dat in plaats van de straal van één cilinder, de diameter van de draadkern in tweeën wordt gedeeld, en het aantal kernen in de draad verschijnt in de uitdrukking nee... Ook wordt de lengte van de draad gebruikt in plaats van de hoogte. Het volume van de "cilinder" wordt dus niet door één berekend, maar door het aantal gevlochten draden.

Dergelijke berekeningen zijn in de praktijk vaak nodig. Een aanzienlijk deel van de watertanks is immers gemaakt in de vorm van een pijp. En het is vaak nodig om het volume van een cilinder zelfs in een huishouden te berekenen.

Zoals reeds vermeld, kan de vorm van de cilinder echter verschillen. En in sommige gevallen is het nodig om te berekenen waar het volume van een hellende cilinder gelijk aan is.

Het verschil is dat het oppervlak van de basis niet wordt vermenigvuldigd met de lengte van de beschrijvende lijn, zoals in het geval van een rechte cilinder, maar met de afstand tussen de vlakken - een loodrecht segment dat ertussen is gebouwd.

Zoals uit de figuur blijkt, is zo'n segment gelijk aan het product van de lengte van de beschrijvende lijn door de sinus van de hellingshoek van de beschrijvende lijn naar het vlak.

Hoe een cilinder uitgevouwen te bouwen?

In sommige gevallen is het nodig om een ​​zwaai van de cilinder uit te snijden. De onderstaande afbeelding toont de regels waarmee een plano wordt gebouwd voor de vervaardiging van een cilinder met een bepaalde hoogte en diameter.

Houd er rekening mee dat de figuur wordt weergegeven zonder rekening te houden met de naden.

Afgeschuinde cilinderverschillen C

Laten we ons een bepaalde rechte cilinder voorstellen die aan één zijde wordt begrensd door een vlak loodrecht op de beschrijvende lijn. Maar het vlak dat de cilinder begrenst staat daarentegen niet loodrecht op de beschrijvende lijn en is niet evenwijdig aan het eerste vlak.

De afbeelding toont een afgeschuinde cilinder. Vliegtuig maar onder een bepaalde hoek anders dan 90 ° ten opzichte van de generatoren, snijdt het de figuur.

Deze geometrische vorm komt in de praktijk vaker voor in de vorm van pijpverbindingen (ellebogen). Maar er zijn zelfs gebouwen gebouwd in de vorm van een afgeschuinde cilinder.

Afgeschuinde cilindergeometrie

De helling van een van de vlakken van de afgeschuinde cilinder verandert enigszins de volgorde van het berekenen van zowel het oppervlak van een dergelijke figuur als het volume ervan.

Lesdoelen:

Educatief: de concepten van een cilinder, een kegel en een bal introduceren, studenten vertrouwd maken met formules voor het vinden van de gebieden van omwentelingslichamen, het vermogen om formules toe te passen (ontvangen kennis) bij het oplossen van problemen op een cilinder, kegel en bal;

Educatief: educatie van mindfulness bij studenten.

Ontwikkelen: de ontwikkeling van ruimtelijke verbeelding, logisch denken, de cultuur van mondelinge wiskundige spraak.

Lesplan:

1. Tijd organiseren;
2. Uitleg van het nieuwe materiaal;
3. Vastzetten van nieuw materiaal;
4. Huiswerk maken en de les samenvatten.

Uitrusting: Computer, projector, scherm.

Tijdens de lessen

I. Organisatorisch moment.

II. Uitleg van het nieuwe materiaal.

Vandaag zullen we in de les kennis maken met concepten die nieuw voor je zijn: het concept van een cilinder, een kegel en een bol, de gebieden van de zijvlakken van deze lichamen en we zullen de secties van een cilinder en een kegel beschouwen door verschillende vlakken, evenals de relatieve positie van een bol en een vlak.

1. Laten we beginnen met het concept cilinder.

Beschouw twee evenwijdige vlakken en en een cirkel L gecentreerd op punt O met straal r, gelegen in het vlak (dia 2). Door elk punt van de cirkel L trekken we een rechte lijn loodrecht op het vlak.

De segmenten van deze rechte lijnen, ingesloten tussen de vlakken en vormen cilindrisch oppervlak... De segmenten zelf heten generatoren cilindrisch oppervlak.

Een lichaam begrensd door een cilindrisch oppervlak en twee cirkels met grenzen L en L 1 heet cilinder(dia 2).

Het cilindrische oppervlak heet zijvlak cilinder, en cirkels - cilinder bases.

De beschrijvende lijnen van een cilindrisch oppervlak worden . genoemd beschrijvende lijnen van de cilinder, rechte lijn OO 1 - cilinder as.

Alle beschrijvende lijnen van de cilinder zijn evenwijdig en gelijk aan elkaar. Waarom? (als segmenten van evenwijdige lijnen, ingesloten tussen evenwijdige vlakken).

De lengte van de generator wordt genoemd hoogte cilinder, en de straal van de basis is straal cilinder.

Jongens, laten we een cilinder tekenen in onze notitieboekjes en de definitie ervan opschrijven.

Een cilinder kan worden verkregen door een rechthoek rond een van zijn zijden te draaien (dia 2).

Laten we nu het totale oppervlak van de kegel vinden. Wat zijn de suggesties? (het totale oppervlak van de kegel is gelijk aan de som van het mantelvlak en het basisoppervlak) Wat is de oppervlakte van de basis van de kegel? () En het gebied van het zijoppervlak van de kegel is gelijk aan het product van de halve omtrek van de basis door de generator, d.w.z. (verduidelijken). Dan snappen we dat .

Over afgeknotte kegel u leest thuis (pagina 125) en maakt hiervan een schets.

3. Concept met ferra en bal.

- Gebied een oppervlak genoemd dat bestaat uit alle punten in de ruimte die zich op een bepaalde afstand van een bepaald punt bevinden (dia 6).

Dit punt heet centrum bollen, en deze afstand is straal bollen. Het segment dat twee punten van de bol verbindt en door het middelpunt gaat, heet is diameter bollen.

Een bol kan worden verkregen door een halve cirkel rond zijn diameter te draaien (dia 6).

Een lichaam begrensd door een bol heet bal... Het middelpunt, de straal en de diameter van een bol worden ook het middelpunt, de straal en de bol van de bal genoemd.

Nu jongens, laten we de vergelijking van de bol met straal afleiden R gecentreerd op punt C (x 0, y 0, z 0)... We geven in notitieboekjes een tekening weer die hetzelfde is als de mijne (dia 7).

Afstand vanaf een willekeurig punt M (x, y, z) ter zake C berekend met de formule. Als het punt M op de gegeven bol ligt, dan of, d.w.z. de coördinaten van het punt M voldoen aan de vergelijking.

Als het punt M (x, y, z) ligt dus niet op dit gebied, d.w.z. punt coördinaten M niet voldoen aan de vergelijking. Daarom, in een rechthoekig coördinatensysteem, de vergelijking van een bol met straal R gecentreerd op punt C (x 0, y 0, z 0) heeft de vorm. Laten we dit opschrijven in ons notitieboekje. Nog vragen?

Overwegen delen van de cilinder met verschillende vlakken... Als het snijvlak door de as van de cilinder gaat, dan is de sectie een rechthoek, waarvan twee zijden generatoren zijn en de andere twee de diameters van de basis van de cilinder (dia 8). Dit gedeelte heet axiaal.

Als het doorsnedevlak loodrecht staat op de as van de cilinder, dan is de doorsnede een cirkel (dia 8). We verbeelden in onze notitieboekjes.

Overweeg de secties kegels met verschillende vlakken... Als het snijvlak door de as van de kegel gaat, dan is de sectie een gelijkbenige driehoek (waarom?), waarvan de basis de diameter is van de basis van de kegel, en de zijkanten vormen de kegel. Dit gedeelte heet axiaal.

Als het doorsnedevlak loodrecht staat op de as van de kegel, dan is de doorsnede een cirkel die zich op de as van de kegel bevindt. We geven de doorsneden van de kegel weer in onze notitieboekjes. Laten we de foto's bekijken, naar het scherm kijken (dia 8).

Je leert alleen over de relatieve positie van de bol en het vlak, laten we het nu hebben over het raakvlak aan de bol.

We schrijven de definitie op: een vlak dat maar één punt gemeen heeft met een bol heet raakvlak aan de bol, en hun gemeenschappelijke punt heet aanraakpunt vlakken en bollen (dia 10).

Het raakvlak aan de bol heeft de volgende eigenschap:

Stelling. De straal van de bol, getrokken op het raakpunt van de bol en het vlak, staat loodrecht op het raakvlak.

Bewijs.

Laten we teruggaan naar onze tekening. Laten we bewijzen dat de straal loodrecht op het vlak staat.

Laten we aannemen dat dat niet zo is. Dan helt de straal naar het vlak, en daarom is de afstand van het middelpunt van de bol tot het vlak kleiner dan de straal van de bol. Daarom snijden de bol en het vlak elkaar in een cirkel. Maar dit is in tegenspraak met het feit dat het vlak tangentieel is, d.w.z. de bol en het vlak hebben maar één punt gemeen. De resulterende tegenstrijdigheid bewijst dat de straal loodrecht op het vlak staat. De stelling is bewezen.

is waar en omgekeerde stelling... Laten we het samen formuleren (als de straal van de bol loodrecht staat op het vlak dat door het op de bol liggende uiteinde gaat, dan raakt dit vlak aan de bol)

Formule voor het berekenen van de oppervlakte van een bol:.

III. Nieuw materiaal veiligstellen.

Opgave 539. Hoeveel verf is er nodig om een ​​cilindrische tank met een basisdiameter van 1,5 m en een hoogte van 3 m te schilderen, als 200 g verf per vierkante meter wordt verbruikt?

Leraar vragen	Reacties van leerlingen
Wat moet je vinden?	Hoeveel verf is er nodig om een ​​cilindrische tank met een basisdiameter van 1,5 m en een hoogte van 3 m te schilderen, als 200 g verf per vierkante meter wordt verbruikt?
Hoe gaan we vinden?	Laten we eerst het oppervlak van de cilinder zoeken.
Laten we het er meteen over eens zijn dat de tank een deksel heeft. Dan vinden we het gebied van het volledige oppervlak van de cilinder of het zijoppervlak van de cilinder?	Het totale oppervlak van de cilinder.
En dan wat?	We vermenigvuldigen het resulterende gebied met 200 g.
Laten we het antwoord opschrijven

Laten we nu eens kijken hoe je de stof hebt geleerd. (Afhankelijk van de lesvoorwaarden kan de toets in elektronische vorm of in gedrukte vorm aan de leerlingen worden aangeboden.)

Los de test op (gedrukte versie)... Ik geef je nu een tabel, de eerste regel van de tabel bevat de nummers van de taken, in de tweede regel schrijf je de nummers van de juiste antwoorden.

1	2	3	4	5

IV. Huiswerk maken en de les samenvatten.

Huiswerk: Tutorial Hoofdstuk VI (leer basisdefinities, stellingen), taak 541

Samenvatting: in deze les maakten we kennis met begrippen als een cilinder, een kegel, een bal en een bol. (tonen

\ [(\ Groot (\ tekst (Cilinder))) \]

Beschouw de cirkel \ (C \) met middelpunt \ (O \) van straal \ (R \) op het vlak \ (\ alpha \). Trek een rechte lijn door elk punt van de cirkel \ (C \) loodrecht op het vlak \ (\ alpha \). Het oppervlak gevormd door deze lijnen heet cilindrisch oppervlak.
De rechte lijnen zelf heten generatoren dit oppervlak.

Laten we nu door een bepaald punt van een genererend vlak \ (\ beta \ parallel \ alpha \) trekken. De verzameling punten waarlangs de generatoren het vlak \ (\ beta \) snijden, vormt een cirkel \ (C "\), gelijk aan de cirkel \ (C \).
Een deel van de ruimte begrensd door twee cirkels \ (K \) en \ (K "\) met respectievelijk grenzen \ (C \) en \ (C" \), evenals een deel van een cilindrisch oppervlak ingesloten tussen de vlakken \ (\ alpha \) en \ (\ beta \) heet cilinder.

De cirkels \ (K \) en \ (K "\) worden de basis van de cilinder genoemd; de segmenten van de beschrijvende lijnen tussen de vlakken zijn de beschrijvende lijnen van de cilinder; het deel van het cilindrische oppervlak dat daardoor wordt gevormd, is de laterale oppervlak van de cilinder Het segment dat de middelpunten van de basis van de cilinder verbindt, is gelijk aan de beschrijvende lijn van de cilinder en is gelijk aan de hoogte van de cilinder (\ (l = h \)).

Stelling

Het laterale oppervlak van de cilinder is: \

waarbij \ (R \) de straal van de basis van de cilinder is, \ (h \) de hoogte (generatrix).

Stelling

Het totale oppervlak van de cilinder is gelijk aan de som van het zijoppervlak en de oppervlakken van beide bases \

Stelling

Het volume van de cilinder wordt berekend met de formule: \

\ [(\ Groot (\ tekst (kegel))) \]

Beschouw het vlak \ (\ alpha \) en daarop de cirkel \ (C \) met middelpunt \ (O \) en straal \ (R \). Trek een rechte lijn door het punt \ (O \) loodrecht op het vlak \ (\ alpha \). Laten we een punt \ (P \) op deze lijn markeren. Het oppervlak gevormd door alle lijnen die door het punt \ (P \) en elk punt van de cirkel \ (C \) gaan heet conisch oppervlak, en deze lijnen zijn beschrijvende lijnen van het conische oppervlak. Het deel van de ruimte dat wordt begrensd door een cirkel met een grens \ (C \) en segmenten van generatoren ingesloten tussen een punt \ (P \) en een punt op de cirkel heet ijshoorntje... De segmenten \ (PA \), waarbij \ (A \ in \ text (env.) C \), heten generatoren van de kegel; punt \ (P \) - top van de kegel; een cirkel met een rand \ (C \) - de basis van de kegel; segment \ (PO \) - de hoogte van de kegel.

Commentaar

Merk op dat de hoogte van de kegel en de beschrijvende lijn niet gelijk aan elkaar zijn, zoals bij de cilinder het geval was.

Stelling

Het laterale oppervlak van de kegel is \

waarbij \ (R \) de straal van de basis van de kegel is, \ (l \) de generator.

Stelling

Het totale oppervlak van de kegel is gelijk aan de som van het zijoppervlak en de basisgebieden \

Stelling

Het volume van de kegel wordt berekend met de formule \

Commentaar

Merk op dat de cilinder in zekere zin een prisma is, alleen aan de basis is geen veelhoek (zoals een prisma), maar een cirkel.
De formule voor het volume van een cilinder is dezelfde als de formule voor het volume van een prisma: het product van de oppervlakte van de basis en de hoogte.

Evenzo is een kegel in zekere zin een piramide. Daarom is de formule voor het volume van een kegel hetzelfde als die van een piramide: een derde van het oppervlak van de basis tot de hoogte.

\ [(\ Groot (\ tekst (bol en bal))) \]

Beschouw de verzameling punten in de ruimte op gelijke afstand van een punt \ (O \) op een afstand \ (R \). Deze set heet gebied gecentreerd op het punt \ (O \) van straal \ (R \).
Het segment dat twee punten van de bol verbindt en door het middelpunt gaat, wordt de diameter van de bol genoemd.

De bol, samen met zijn binnenste, heet bal.

Stelling

De oppervlakte van een bol wordt berekend met de formule \

Stelling

Het volume van de bal wordt berekend met de formule: \

Definitie

Een bolvormig segment is een deel van een bol dat er door een bepaald vlak van is afgesneden.
Laat het vlak de bal snijden in de cirkel \ (K \) gecentreerd op het punt \ (Q \). We verbinden de punten \ (O \) (het middelpunt van de bal) en \ (Q \) en breiden dit segment uit tot het snijpunt met de bol - we krijgen de straal \ (OP \). Het segment \ (QP \) wordt dan de segmenthoogte genoemd.

Stelling

Zij \ (R \) de straal van de bol, \ (h \) de hoogte van het segment, dan is het volume van het bolsegment \

Definitie

Een bolvormige laag is een deel van een bal die is ingesloten tussen twee evenwijdige vlakken die deze bal snijden. De cirkels waarlangs de vlakken de bal snijden, worden de basis van de bolvormige laag genoemd, het segment dat de middelpunten van de basis verbindt - de hoogte van de bolvormige laag.
De twee overige delen van de bal zijn in dit geval bolvormige segmenten.

Het volume van de bolvormige laag is gelijk aan het verschil tussen het volume van de bol en de volumes van bolvormige segmenten met hoogte \ (AP \) en \ (BT \).

Uw privacy is belangrijk voor ons. Om deze reden hebben we een privacybeleid ontwikkeld dat beschrijft hoe we uw informatie gebruiken en opslaan. Lees ons privacybeleid en laat het ons weten als je vragen hebt.

Verzameling en gebruik van persoonlijke informatie

Persoonlijke informatie verwijst naar gegevens die kunnen worden gebruikt om een ​​specifieke persoon te identificeren of contact met hem op te nemen.

U kunt te allen tijde worden gevraagd om uw persoonlijke gegevens te verstrekken wanneer u contact met ons opneemt.

Hieronder vindt u enkele voorbeelden van de soorten persoonlijke informatie die we kunnen verzamelen en hoe we dergelijke informatie kunnen gebruiken.

Welke persoonlijke informatie we verzamelen:

• Wanneer u een verzoek achterlaat op de site, kunnen we verschillende informatie verzamelen, waaronder uw naam, telefoonnummer, e-mailadres, enz.

Hoe we uw persoonlijke informatie gebruiken:

• De persoonlijke informatie die we verzamelen, stelt ons in staat contact met u op te nemen en unieke aanbiedingen, promoties en andere evenementen en aankomende evenementen te melden.
• Van tijd tot tijd kunnen we uw persoonlijke gegevens gebruiken om belangrijke meldingen en berichten te verzenden.
• We kunnen persoonlijke informatie ook gebruiken voor interne doeleinden, zoals het uitvoeren van audits, gegevensanalyse en verschillende onderzoeken om de diensten die wij leveren te verbeteren en om u aanbevelingen te doen met betrekking tot onze diensten.
• Als u deelneemt aan een prijstrekking, wedstrijd of soortgelijk promotie-evenement, kunnen we de informatie die u verstrekt gebruiken om dergelijke programma's te beheren.

Openbaarmaking van informatie aan derden

Wij verstrekken geen informatie die wij van u hebben ontvangen aan derden.

Uitzonderingen:

• Indien het nodig is - in overeenstemming met de wet, een gerechtelijk bevel, in gerechtelijke procedures en/of op basis van openbare onderzoeken of verzoeken van overheidsinstanties op het grondgebied van de Russische Federatie - om uw persoonlijke gegevens vrij te geven. We kunnen ook informatie over u vrijgeven als we vaststellen dat een dergelijke openbaarmaking noodzakelijk of gepast is voor veiligheid, wetshandhaving of andere sociaal belangrijke redenen.
• In het geval van een reorganisatie, fusie of verkoop, kunnen we de persoonlijke informatie die we verzamelen overdragen aan een geschikte derde partij - de rechtsopvolger.

Bescherming van persoonlijke informatie

We nemen voorzorgsmaatregelen - inclusief administratieve, technische en fysieke - om uw persoonlijke informatie te beschermen tegen verlies, diefstal en misbruik, evenals tegen ongeoorloofde toegang, openbaarmaking, wijziging en vernietiging.

Respect voor uw privacy op bedrijfsniveau

Om ervoor te zorgen dat uw persoonlijke informatie veilig is, brengen we de regels van vertrouwelijkheid en veiligheid naar onze medewerkers en houden we strikt toezicht op de implementatie van vertrouwelijkheidsmaatregelen.