Bij het oplossen van algebraïsche vergelijkingen, hoeft het vaak een polynoom te ontbinden met vermenigvuldigers. Deciside een polynoom voor vermenigvuldigers - het betekent het presenteren in de vorm van een werk van twee of verschillende polynomen. Sommige methoden van ontbinding van polynomen die we vaak gebruiken: een gemeenschappelijke factor, het gebruik van formules van verkorte vermenigvuldiging, toewijzing van een volledig vierkant, groepering. Overweeg wat meer methoden.

Soms, bij het ontbinden van een polynoom voor vermenigvuldigers, zijn de volgende uitspraken nuttig:

1) Als een polynoom, met geheel getalcoëfficiënten, een rationele wortel heeft (waar is een onopvallende fractie, dan een vrijgelegen model en een dealer van de senior coëfficiënt:

2) Indien op de een of andere manier de root van een polynoom van de mate kiezen, kan de polynoom worden weergegeven in het formulier waar een polynoom

Het polynoom kan worden gevonden door de polynoom te delen die door de "kolom" of de overeenkomstige groepering van de componenten van de polynomiale en de afgifte van de vermenigvuldiger of door de werkwijze van onbepaalde coëfficiënten worden afgedankt.

Voorbeeld. Ontlagbare polynomen

Besluit. Aangezien de coëfficiënt bij X4 1 is, dan zijn de rationele wortels van dit polynoom, bestaande deelnemers van het nummer 6, d.w.z. kunnen gehele getallen ± 1, ± 2, ± 3, ± 6. Duiden door deze polynoom via P4 (X). Sinds P4 (1) \u003d 4 en P4 (-4) \u003d 23 zijn de cijfers 1 en -1 niet de wortels van de RA-polynomiale (X). Aangezien P4 (2) \u003d 0, X \u003d 2 de root is van de polynomiale P4 (X), en, betekent dit dat deze polynoom wordt verdeeld in uitsmijter X - 2. daarom X4 -5x3 + 7x2 -5x +6 x-2 x4 -2x3 x3 -3x2 + x-3

3x3 + 7x2 -5x +6

3x3 + 6x2 x2 - 5x + 6 x2- 2x

Dientengevolge, P4 (X) \u003d (X - 2) (X3 - зх2 + X - 3). Sinds xz - зх2 + x - 3 \u003d x2 (x - 3) + (x - 3) \u003d (x - 3) (x2 + 1), dan X4 - 5x3 + 7x2 - 5x + 6 \u003d (x - 2) ( X - 3) (X2 + 1).

Wijze van toediening van de parameter

Soms, tijdens ontbinding van een polynoom voor vermenigvuldigers, helpt de methode om een \u200b\u200bparameter in te voeren. De essentie van deze methode wordt in het volgende voorbeeld uitgelegd.

Voorbeeld. X3 - (√3 + 1) x2 + 3.

Besluit. Overweeg een polynoom met een parameter A: X3 - (A + 1) X2 + A2, die wanneer A \u003d √3 in een gegeven polynoom wordt. We schrijven deze polynoom als een vierkante triplee ten opzichte van A: AG - AH2 + (X3 - X2).

Omdat de wortels van dit plein relatief geactiveerd zijn, zijn er A1 \u003d X en A2 \u003d X2 - X, dan is de gelijkheid A2 - AH2 + (XS - X2) \u003d (A-X) (A - X2 + X) geldig. Dientengevolge ontbindt de polynomiale X3 - (√3 + 1) x2 + 3 op de factor √3 - X en √3 - X2 + X, d.w.z.

x3 - (√3 + 1) x2 + 3 \u003d (x - √3) (X2-X-√3).

De introductiemethode van een nieuw onbekend

In sommige gevallen kan door het vervangen van de expressie F (x), die is opgenomen in de polynomiale RP (X), via Y wordt verkregen door een polynoom ten opzichte van Y, die al gemakkelijk is om te ontbinden op vermenigvuldigers. Vervolgens, nadat we het in F (X) hebben vervangen, verkrijgen we een ontleding van polynomen van de polynomiale RP (X).

Voorbeeld. Verzendingspolynomen X (x + 1) (x + 2) (x + 3) -15) (x + 3) -15.

Besluit. We transformeren dit polynoom als volgt: x (x + 1) (x + 2) (x + 3) -15 \u003d [x (x + 3)] [(x + 1) (x + 2)] - 15 \u003d ( x2 + 3x) (x2 + 3x + 2) - 15.

Duiden x2 + 3x aan via y. Dan hebben we (Y + 2) - 15 \u003d U2 + 2Y - 15 \u003d Y2 + 2AU + 1 - 16 \u003d (Y + 1) 2 - 16 \u003d (Y + 1 + 4) (Y + 1 - 4) \u003d ( in + 5) (Y - 3).

Daarom, x (x + 1) (x + 2) (x + 3) - 15 \u003d (x2 + 3x + 5) (x2 + 3x - 3).

Voorbeeld. Ontbinden op polynomiale multipliers (x-4) 4+ (x + 2) 4

Besluit. Duiden door x-4 + x + 2 \u003d x - 1 tot en met y.

(x - 4) 4 + (x + 2) 2 \u003d (Y - 3) 4 + (Y + 3) 4 \u003d Y4 - 12U3 + 54U3 - 108U + 81 + U4 + 12U3 + 54U2 + 108U + 81 \u003d

2U4 + 108U2 + 162 \u003d 2 (U4 + 54U2 + 81) \u003d 2 [(UG + 27) 2 - 648] \u003d 2 (U2 + 27 - √b48) (U2 + 27 + √b48) \u003d

2 (((X - 1) 2 + 27-√b48) ((X - 1) 2 + 27 + √b48) \u003d 2 (x2-2x + 28- 18√ 2) (X2- 2x + 28 + 18√ 2).

Verschillende methoden combineren

Vaak is het tijdens ontbinding van een polynoom op vermenigvuldigers noodzakelijk om achtereenvolgens een aantal van de hierboven besproken methoden toe te passen.

Voorbeeld. Dispatch Polynomials X4 - 3x2 + 4x-3.

Besluit. Gebruik het gebruik van een groepering, herschrijf een polynoom in het formulier X4 - 3x2 + 4x - 3 \u003d (x4 - 2x2) - (x2 -4x + 3).

Solliciteren op de eerste beugel, de methode van isolatie van een compleet vierkant, hebben we x4 - 3x3 + 4x - 3 \u003d (x4 - 2 · 1 · x2 + 12) - (x2 -4x + 4).

Met behulp van de formule van een compleet vierkant kunt u nu opschrijven die X4 - 3x2 + 4x - 3 \u003d (x2 -1) 2 - (x - 2) 2.

Ten slotte krijgen we de formule van het verschil van vierkanten, die x4 - 3x2 + 4x - 3 \u003d (x2 - 1 + x - 2) (x2 - 1 - x + 2) \u003d (x2 + x-3) (X2 -X + 1).

§ 2. Symmetrische vergelijkingen

1. Symmetrische vergelijkingen van de derde graad

De vergelijkingen van het formulier AH3 + BX2 + BX + A \u003d 0, en ≠ 0 (1) worden symmetrische vergelijkingen van de derde graad genoemd. Aangezien AH3 + BX2 + BX + A \u003d A (x3 + 1) + BX (x + 1) \u003d (x + 1) (AH2 + (B - A) X + A), dan is vergelijking (1) gelijk aan de Totaliteit van vergelijkingen X + 1 \u003d 0 en AH2 + (B - A) X + A \u003d 0, die niet moeilijk is om te beslissen.

Voorbeeld 1. Los de vergelijking op

3x3 + 4x2 + 4x + 3 \u003d 0. (2)

Besluit. Vergelijking (2) is een symmetrische vergelijking van de derde graad.

Sinds 3x3 + 4xG + 4x + 3 \u003d 3 (x3 + 1) + 4x (x + 1) \u003d (x + 1) (3x2 - zh + 3 + 4x) \u003d (x + 1) (3x2 + x + 3) , De vergelijking (2) is gelijk aan de totaliteit van de vergelijkingen x + 1 \u003d 0 en 3x3 + x + 3 \u003d 0.

De oplossing van de eerste van deze vergelijkingen is x \u003d -1, de tweede requiratie van oplossingen heeft niet.

Antwoord: x \u003d -1.

2. Symmetrische vergelijkingen van de vierde graad

Bekijk vergelijking

(3) wordt de vierde graadsymmetrische vergelijking genoemd.

Omdat X \u003d 0 niet de root van vergelijking (3) is en vervolgens zowel delen van vergelijking (3) tot x2 verdelen, verkrijgen we vergelijking, equivalent aan het origineel (3):

We herschrijven vergelijking (4) in het formulier:

In deze vergelijking zullen we vervangen, dan krijgen we een vierkante vergelijking

Als vergelijking (5) 2 U1- en U2-wortels heeft, is de initiële vergelijking gelijk aan de totaliteit van vergelijkingen

Als vergelijking (5) één U0-root heeft, is de initiële vergelijking gelijk aan vergelijking

Eindelijk, als vergelijking (5) geen wortels heeft, dan heeft de eerste vergelijking ook geen wortels.

Voorbeeld 2. Los de vergelijking op

Besluit. Deze vergelijking is de symmetrische vergelijking van de vierde graad. Omdat x \u003d 0 niet de root is, en vervolgens de vergelijking (6) tot x2 verdelen, verkrijgen we de gelijkwaardige vergelijking aan het:

Gegroepeerd de voorwaarden, herschrijf de vergelijking (7) in het formulier of in het formulier

Pointing, we verkrijgen de vergelijking met twee wortels U1 \u003d 2 en U2 \u003d 3. Bijgevolg is de initiële vergelijking gelijk aan de totaliteit van vergelijkingen

De oplossing van de eerste vergelijking van deze totaliteit is X1 \u003d 1, en er is een beslissing van de tweede en.

Bijgevolg heeft de initiële vergelijking drie wortels: X1, X2 en X3.

Antwoord: x1 \u003d 1,.

§3. Algebraïsche vergelijkingen

1. Verlaag de mate van vergelijking

Sommige algebraïsche vergelijkingen door sommige polynomen in hen te vervangen, kunnen worden teruggebracht tot algebraïsche vergelijkingen, waarvan de mate van wat minder is dan de mate van de bronvergelijking en de oplossing hiervan is.

Voorbeeld 1. Los de vergelijking op

Besluit. Duid aan, dan kan de vergelijking (1) herschrijven in de vorm van de laatste vergelijking, heeft een root en daarom is vergelijking (1) gelijk aan de totaliteit van vergelijkingen en. De oplossing van de eerste vergelijking van deze totaliteit is en oplossingen van de tweede vergelijking zijn

Oplossingen Vergelijking (1) zijn

Voorbeeld 2. Los de vergelijking op

Besluit. Vermenigvuldigen van beide delen van de vergelijking voor 12 en duidt aan

We verkrijgen de vergelijking om deze vergelijking in het formulier te herschrijven

(3) en aangeduid met herschrijfvergelijking (3), aangezien de laatste vergelijking een root heeft en daarom verkrijgen we die vergelijking (3) gelijk aan de combinatie van twee vergelijkingen en het oplossen van deze reeks vergelijkingen, en dat is vergelijking (2) is gelijk aan de totaliteit van vergelijkingen en (2) vier)

De oplossingen van het aggregaat (4) zijn en het zijn oplossingen van vergelijking (2).

2. Bekijk vergelijkingen

De vergelijking

(5) waar -Dny-nummers kunnen worden gereduceerd tot een bic-duty-vergelijking met behulp van een vervanging van een onbekende, d.w.z. vervanging

Voorbeeld 3. Los de vergelijking op

Besluit. Duiden door, t. e. We zullen de variabelen vervangen of vervolgens de vergelijking (6) kan worden herschreven in het formulier of, het toepassen van de formule, als

Omdat de wortels van de vierkante vergelijking de oplossingen van vergelijking (7) zijn, zijn er oplossingen voor de combinatie van vergelijkingen en. Deze totaliteit van vergelijkingen heeft twee oplossingen en daarom zijn de oplossingen van vergelijking (6) en

3. Bekijk vergelijkingen

De vergelijking

(8) Wanneer de cijfers a, β, γ, δ en α zodanig zijn dat α

Voorbeeld 4. Los vergelijking op

Besluit. We zullen een vervanging van onbekend t. E. Y \u003d x + 3 of x \u003d y - 3. Dan kan vergelijking (9) worden herschreven

(Y-2) (Y-1) (Y + 1) (Y + 2) \u003d 10, d.w.z. in het formulier

(Y2-4) (Y2-1) \u003d 10 (10)

Biquette-vergelijking (10) heeft twee wortels. Bijgevolg heeft de vergelijking (9) ook twee wortels:

4. Bekijk vergelijkingen

Vergelijking, (11)

Waar, niet de root x \u003d 0 heeft, daarom de vergelijking (11) tot x2 scheidt, verkrijgen we de gelijkwaardige vergelijking

Die, na het vervangen van het onbekende, herschreven in de vorm van een vierkante vergelijking, waarvan de oplossing geen moeilijkheden weergeeft.

Voorbeeld 5. Los vergelijking op

Besluit. Omdat h \u003d 0 niet de root van vergelijking (12) is, scheiden we dan aan x2, we krijgen gelijkwaardig gelijk aan

Een vervanging onbekend maken, we verkrijgen vergelijking (Y + 1) (Y + 2) \u003d 2, die twee wortels heeft: Y1 \u003d 0 en Y1 \u003d -3. Bijgevolg is de initiële vergelijking (12) gelijk aan de totaliteit van vergelijkingen

Deze combinatie heeft twee wortels: x1 \u003d -1 en x2 \u003d -2.

Antwoord: x1 \u003d -1, x2 \u003d -2.

Commentaar. Vergelijking van het type

Waarin, je kunt altijd tot gedachten leiden (11) en bovendien, tellen α\u003e 0 en λ\u003e 0 naar het formulier.

5. Bekijk vergelijkingen

De vergelijking

, (13) Wanneer aantallen, α, β, γ, δ, en α zodanig zijn dat αβ \u003d γδ ≠ 0 kan worden herschreven, de eerste beugel met de tweede en de derde met de vierde, in de vorm van dat verplaatsen IE Vergelijking (13) Nu is het in de vorm (11) geschreven en kan zijn beslissing op dezelfde manier worden uitgevoerd als de oplossing van vergelijking (11).

Voorbeeld 6. Los vergelijking op

Besluit. Vergelijking (14) heeft de vorm (13), dus we herschrijven het als

Omdat x \u003d 0 geen oplossing is voor deze vergelijking, scheiden we het met beide delen op x2, verkrijgen we het equivalent van de oorspronkelijke vergelijking. Het vervangen van variabelen, we krijgen een vierkante vergelijking, waarvan de oplossing is en. Bijgevolg is de initiële vergelijking (14) gelijk aan de totaliteit van vergelijkingen en.

De oplossing van de eerste vergelijking van deze totaliteit is

De tweede vergelijking van deze reeks oplossingen heeft niet. Dus de initiële vergelijking heeft roots x1 en x2.

6. Bekijk vergelijkingen

De vergelijking

(15) Wanneer de nummers A, B, C, Q, A zodanig zijn dat, geen wortel X \u003d 0 heeft, daarom de vergelijking (15) tot x2 scheidt. We verkrijgen de equivalente vergelijking, die na het vervangen van het onbekende, herschreven in de vorm van een vierkante vergelijking, waarvan de oplossing geen moeilijkheden weergeeft.

Voorbeeld 7. Oplossing van de vergelijking

Besluit. Aangezien X \u003d 0 niet de root van vergelijking (16) is, en vervolgens beide delen ervan scheiden op x2, verkrijgen we de vergelijking

, (17) gelijkwaardige vergelijking (16). Een vervanging onbekend maken, vergelijking (17) om in het formulier te herschrijven

De vierkante vergelijking (18) heeft 2 wortels: U1 \u003d 1 en Y2 \u003d -1. Daarom is vergelijking (17) gelijk aan de totaliteit van vergelijkingen en (19)

De combinatie van vergelijkingen (19) heeft 4 wortels :,.

Ze zullen de wortels van vergelijking (16) zijn.

§Vuur. Rationele vergelijkingen

Vergelijkingen van het formulier \u003d 0, waarbij n (x) en q (x) polynomen zijn, rationeel genoemd.

Het vinden van de wortels van de vergelijking H (x) \u003d 0, dan moet u controleren welke van hen niet de wortels van de vergelijking q (x) \u003d 0. Deze wortels en alleen zij zullen de vergelijking oplossen.

Overweeg enkele methoden voor het oplossen van de vergelijking van het formulier \u003d 0.

1. Bekijk vergelijkingen

De vergelijking

(1) Onder sommige omstandigheden kunnen de cijfers als volgt worden opgelost. Grouping-leden van vergelijking (1) twee en het samenvatten elk paar, het is noodzakelijk om polynomen van de eerste of nul graad in het numerieke getal te verkrijgen, verschillen in slechts numerieke factoren, en in noemers - drie meter met dezelfde twee termen die x bevatten , dan na het vervangen van variabelen, zal de vergelijking ook, het formulier (1), maar met een kleiner aantal termen, of het is gelijk aan de combinatie van twee vergelijkingen, waarvan er één de eerste graad is, en de Ten tweede is de vergelijking van de vorm (1), maar met een kleiner aantal termen.

Voorbeeld. Solve vergelijking

Besluit. Grumping in het linkerdeel van vergelijking (2) het eerste lid met de laatste, en de tweede met de voorlaatste, herschrijf vergelijking (2) in de vorm van

Samenvatten in elke beugeltermen, herschrijf vergelijking (3) als

Aangezien er geen oplossing is (4), het verdelen van deze vergelijking, verkrijgen we de vergelijking

, (5) gelijkwaardige vergelijking (4). We zullen het onbekende vervangen, dan wordt vergelijking (5) herschreven in de vorm van

Aldus wordt de oplossing van vergelijking (2) met vijf termen in het linkerdeel gereduceerd tot de oplossing van vergelijking (6) van dezelfde soort, maar met drie termen aan de linkerkant. Samenvatten alle leden in het linkerdeel van de vergelijking (6), herschrijf het in de vorm van

De oplossingen van de vergelijking zijn ook. Geen van deze nummers trekt op nul de nul van de rationele functie in het linkerdeel van vergelijking (7). Bijgevolg heeft vergelijking (7) deze twee wortels, en daarom is de initiële vergelijking (2) gelijk aan de totaliteit van vergelijkingen

Oplossingen van de eerste vergelijking van deze totaliteit

Oplossingen van de tweede vergelijking van deze totaliteit is er

Dus de eerste vergelijking heeft wortels

2. Bekijk vergelijkingen

De vergelijking

(8) In sommige omstandigheden kunnen de nummers als volgt worden opgelost: het is noodzakelijk om het hele deel toe te wijzen aan elk van de fracties van de vergelijking, d.w.z. Vervang de vergelijking (8) door de vergelijking

Om het tot het formulier (1) te verminderen en het vervolgens op te lossen op de wijze die in de vorige paragraaf wordt beschreven.

Voorbeeld. Solve vergelijking

Besluit. We schrijven vergelijking (9) zoals of als

Samenvatten van de componenten tussen haakjes, herschrijf vergelijking (10) als

Het vervangen van de onbekende, herschrijf vergelijking (11) als

Samenvattende de leden in het linkerdeel van de vergelijking (12), herschrijf het als

Het is gemakkelijk om te zien dat vergelijking (13) twee wortels heeft: en. Bijgevolg heeft de eerste vergelijking (9) vier wortels:

3) Vergelijkingen van de soort.

De vergelijking van de vorm (14) onder bepaalde voorwaarden in cijfers kan zo worden opgelost: ontbinding (als het is, natuurlijk, het is mogelijk) elk van de fracties in het linkerdeel van vergelijking (14) in de suma van de eenvoudigste fracties

Om vergelijking (14) te verminderen tot vorm (1), en vervolgens een handige herschikking van de leden van de verkregen vergelijking uit te voeren, om het op te lossen door de methode die is uiteengezet in paragraaf 1).

Voorbeeld. Solve vergelijking

Besluit. Sindsdien en, dan, het vermenigvuldigen van de teller van elke fractie in vergelijking (15) door 2 en opmerkt die vergelijking (15) kan worden geschreven als

Vergelijking (16) heeft de vorm (7). Herschroef de componenten in deze vergelijking, herschrijf deze in het formulier of in het formulier

Vergelijking (17) is gelijk aan de totaliteit van vergelijkingen en

Om de tweede vergelijking van de set (18) op te lossen, zullen we het onbekende vervangen, het zal in het formulier of in het formulier herschrijven

Samenvatten alle leden in het linkerdeel van de vergelijking (19), herschrijf het in de vorm van

Omdat de vergelijking geen wortels heeft, heeft de vergelijking (20) ook niet.

De eerste vergelijking van het aggregaat (18) heeft de enige root sinds deze root is opgenomen in de OTZ van de tweede vergelijking van de set (18), dan is het de enige root van het aggregaat (18) en daarom de initiële vergelijking .

4. Bekijk vergelijkingen

De vergelijking

(21) In sommige omstandigheden in cijfers en A kan het na de presentatie van elke termijn aan de linkerkant worden gereduceerd tot het formulier (1).

Voorbeeld. Solve vergelijking

Besluit. Herschrijf vergelijking (22) zoals of als

Zo wordt vergelijking (23) gereduceerd tot het formulier (1). Nu, het groeperen van het eerste lid met de laatste, en de tweede met de derde, herschrijf de vergelijking (23) in de vorm van

Deze vergelijking is gelijk aan de totaliteit van vergelijkingen en. (24)

De laatste vergelijking van de totaliteit (24) kan worden herschreven als

De oplossingen van deze vergelijking zijn en, aangezien het is opgenomen in de OTZ van de tweede vergelijking van de set (30), dan heeft het aggregaat (24) drie wortels:. Ze zijn allemaal oplossingen van de oorspronkelijke vergelijking.

5. Vergelijkingen van de soort.

Vergelijking van de vorm (25)

Onder sommige omstandigheden kunnen de aantallen van het onbekende worden teruggebracht tot de vergelijking van het type

Voorbeeld. Solve vergelijking

Besluit. Aangezien het geen oplossing is van vergelijking (26) en vervolgens de teller en de noemer van elke fractie aan de linkerkant op, herschrijven deze als

Het vervangen van variabelen door de vergelijking (27) te draaien als

Oplossende vergelijking (28) is ook. Daarom is vergelijking (27) gelijk aan de totaliteit van vergelijkingen en. (29)

Het gebruik van vergelijkingen is wijdverbreid in ons leven. Ze worden gebruikt in vele berekeningen, constructie van structuren en zelfs sporten. De vergelijkingen van de persoon die in de oudheid worden gebruikt en sindsdien neemt hun toepassing alleen toe. In de wiskunde zijn de vergelijking van hogere diploma met hele coëfficiënten vrij gebruikelijk. Om dit soort vergelijking op te lossen, is het noodzakelijk:

Bepalen de rationele wortels van de vergelijking;

Ontbinden op polynomiale vermenigvuldigers, die zich aan de linkerkant van de vergelijking bevinden;

Zoek de wortels van de vergelijking.

Stel dat we de vergelijking van de volgende vorm krijgen:

We vinden alle daadwerkelijke wortels. Vermenigvuldig de linker- en rechterdelen van de vergelijking op \\

Voer de vervanging van variabelen uit \\

We hebben dus een gegeven vergelijking van de vierde graad verkregen, die is opgelost volgens het standaardalgoritme: wij controleren de verdeling, wij voeren divisie uit en als gevolg hiervan komen we erachter dat de vergelijking twee geldige wortels \\ en twee complex heeft. We verkrijgen het volgende antwoord van onze vergelijking voor de vierde graad:

Waar kan ik de vergelijking van de hoogste graden van de online oplosser oplossen?

U kunt de vergelijking op onze website HTTPS: //-site oplossen. Een gratis online oplosser zal de online vergelijking van elke complexiteit in seconden oplossen. Het enige dat u hoeft te doen, is gewoon uw gegevens in de oplosser invoeren. Je kunt ook de video-instructie bekijken en leren hoe je de vergelijking op onze website kunt oplossen. En als u vragen heeft, kunt u hen vragen in onze Vkontakte-groep http://vk.com/pocketteacher. Word lid van onze groep, we helpen u altijd graag.

Om te genieten van voorbeeldpresentaties, maakt u een account (account) Google en log in op IT: https://accounts.google.com

Handtekeningen voor dia's:

Vergelijkingen van hogere graden (wortels van polynoom van de ene variabele).

P LAN-lezing. № 1. Vergelijkingen van de hoogste graden in het schoolverloop van de wiskunde. № 2. Standaard type polynoom. № 3. De wortels van de polynoom. Gorner-regeling. № 4. Fractionele wortels van de polynoom. № 5. Vergelijkingen van het formulier: (x + a) (x + c) (x + c) (x + c) ... \u003d een nummer 6. Nogmaals. Nr. 7. Uniforme vergelijkingen. Nr. 8. Wijze van onzekere coëfficiënten. Nr. 9. Functioneel - grafische methode. Nr. 10. Vieta-formules voor vergelijkingen van hogere graden. Nr. 11. Niet-standaardmethoden voor het oplossen van de vergelijking van hogere graden.

Vergelijkingen van de hoogste graden in het schoolverloop van de wiskunde. Groep 7. Standaard type polynoom. Acties met polynomen. Ontbinding van polynomen op vermenigvuldigers. In de gebruikelijke klasse van 42 uur, in de speciale klas van 56 uur. 8 speciale klasse. Hele wortels van de polynomiale, divisie van polynomen, retourvergelijkingen, het verschil en de hoeveelheid pompen van de bevoegdheden van de twee-Mero, de methode van onzekere coëfficiënten. Yu.n. Makarychev "Aanvullende hoofdstukken voor de schoolcursus 8 Class AlgeBras", M.L.Galitsky-verzameling taken op Algebra 8 - 9e klas. " 9 speciale klasse. Rationele wortels van polynoom. Gegeneraliseerde retourvergelijkingen. Vieta-formules voor vergelijkingen van hogere graden. N.ya. Vilenkin "Algebra Grade 9 met diepgaande studie. 11 speciale klasse. De identiteit van polynomen. Polynoom van verschillende variabelen. Functioneel - een grafische methode om de vergelijking van hogere graden op te lossen.

Standaard type polynoom. POLYNOMIAL P (X) \u003d A ⁿ X ⁿ + en P-1 X P-1 + ... + A₂H ² + A₁H + A₀. Riep een polynoom van een standaardsoort. A P x ⁿ is een hoger lid van de polynomiale a p-coëfficiënt met een hoger lid van de polynoom. Bij een p \u003d 1 p (x) wordt de bovenstaande polynoom genoemd. Een ₀ - een vrij lid van de polynomiale P (X). P - mate van polynoom.

Hele wortels zijn polynoom. Gorner-regeling. THEOREM NODS 1. Als een geheel getal A de wortel is van de POLYNOMIAL P (X), is A een gratis lid Divider P (X). Voorbeeld nummer 1. Beslis vergelijking. X⁴ + 2x³ \u003d 11xx - 4x - 4 Wij presenteren de vergelijking met het standaardformulier. X⁴ + 2x³ - 11xqm + 4x + 4 \u003d 0. We hebben een polynomiale p (x) \u003d x ⁴ + 2x³ - 11xqm + 4x + 4 gratis lid Divisors: ± 1, ± 2, ± 4. x \u003d 1 rootvergelijking omdat P (1) \u003d 0, x \u003d 2 rootvergelijking omdat P (2) \u003d 0 stelling van de MOUTURE. Het residu van de divisie van de polynomiale p (x) op biccoon (x - a) is gelijk aan P (A). Corollary. Als A de wortel van de polynomiale P (X) is, is P (X) verdeeld in (X - A). In onze vergelijking p (x) is het verdeeld in (x - 1) en op (x - 2) en daarom (x - 1) (x - 2). Bij het delen van P (x) op (x ² - 3x + 2) blijkt het driehile x ² + 5x + 2 \u003d 0, die wortels x \u003d (- 5 ± √17) / 2 heeft

Fractionele wortels van polynoom. Theorem nummer 2. Als P / G de root is van de polynomiale P (X), dan is P een vrije ledenverdeler, G is de coëfficiëntverdeler van de coëfficiënt van het senior lid P (X). Voorbeeld nr. 2. Bepaal de vergelijking. 6x³ - 11xx - 2x + 8 \u003d 0. Vrije termijn Divisors: ± 1, ± 2, ± 4, ± 8. Geen van deze nummers voldoet aan de vergelijking. Er zijn geen wortels. Natuurlijke delicanten van de coëfficiënt van het senior deel P (x): 1, 2, 3, 6. Mogelijke fractionele wortels van de vergelijking: ± 2/3, ± 4/3, ± 8/3. Controle is ervan overtuigd dat P (4/3) \u003d 0. x \u003d 4/3 root van de vergelijking. Volgens het HORNER-schema verdelen we P (X) op (x - 4/3).

Voorbeelden voor zelfbeslissingen. Bepaal vergelijkingen: 9x³ - 18x \u003d x - 2, x ³ - x ² \u003d x - 1, x ³ - 3x² -3x + 1 \u003d 0, x ⁴ - 2x³ + 2x - 1 \u003d 0, x⁴ - 3x² + 2 \u003d 0 , x ⁵ + 5x³ - 6x² \u003d 0, x ³ + 4xqm + 5x + 2 \u003d 0, x⁴ + 4 x³ - x ² - 16x - 12 \u003d 0 4х³ + x ² - x + 5 \u003d 0 3x⁴ + 5x³ - 9x² - 9x + 10 \u003d 0. Reacties: 1) ± 1/3; 2 2) ± 1, 3) -1; 2 ± √3, 4) ± 1, 5) ± 1; ± √2, 6) 0; 1 7) -2; -1, 8) -3; -een; ± 2, 9) - 5/4 10) -2; - 5/3; een.

Vergelijkingen van de vorm (x + a) (x + c) (x + c) (x + d) ... \u003d A. Voorbeeld nummer 3. Bepaal vergelijking (x + 1) (x + 2) (x + 3) (x + 4) \u003d 24. A \u003d 1, B \u003d 2, C \u003d 3, D \u003d 4 A + D \u003d B + C. Ik draai de eerste beugel met de vierde en tweede met de derde. (x + 1) (x + 4) (x + 20 (x + 3) \u003d 24. (x ² + 5x + 4) (x ² + 5x + 6) \u003d 24. Laat x ² + 5x + 4 \u003d y , dan (Y + 2) \u003d 24, U² + 2Y - 24 \u003d 0 Y₁ \u003d - 6, U2 \u003d 4. x ² + 5x + 4 \u003d -6 of x ² + 5x + 4 \u003d 4. x ² + 5x + 10 \u003d 0, D

Voorbeelden voor zelfbeslissingen. (x + 1) (x + 3) (x + 5) (x + 7) \u003d -15, x (x + 4) (x + 5) (x + 9) + 96 \u003d 0, x (x + 3 ) (x + 5) (x + 8) + 56 \u003d 0, (x - 4) (x - 3) (x - 2) (x - 1) \u003d 24, (x - 3) (x -4) ( X - 5) (X - 6) \u003d 1680, (x ² - 5x) (x + 3) (X - 8) + 108 \u003d 0, (x + 4) ² (x + 10) (x - 2) + 243 \u003d 0 (x ² + 3x + 2) (x ² + 9x + 20) \u003d 4, indicatie: x + 3x + 2 \u003d (x + 1) (x + 2), x ² + 9x + 20 \u003d (x + 4) (x + 5) Antwoorden: 1) -4 ± √6; - 6; - 2. 6) - 1; 6; (5 ± √97) / 2 7) -7; -een; -4 ± √3.

Nogmaals-vergelijkingen. Definitie nummer 1. De vergelijking van het formulier: AH⁴ + VX ³ + CX ² + BX + A \u003d 0 wordt de vierde graad retourvergelijking genoemd. Definitie nummer 2. De vergelijking van het formulier: AH⁴ + VX ³ + CX ² + KVC + C² A \u003d 0 wordt een gegeneraliseerde geretourneerde vergelijking genoemd voor de vierde graad. K² A: A \u003d C²; SQ: B \u003d K. Voorbeeld nummer 6. Bepaal de vergelijking x ⁴ - 7x³ + 14xqm - 7x + 1 \u003d 0. We verdelen beide delen van de vergelijking op x ². x ² - 7x + 14 - 7 / x + 1 / x ² \u003d 0, (x ² + 1 / x ²) - 7 (x + 1 / x) + 14 \u003d 0. Laat x + 1 / x \u003d y. We bouwen beide delen van gelijkheid op het plein. x ² + 2 + 1 / x ² \u003d u², x ² + 1 / x ² \u003d u² - 2. Wij verkrijgen de vierkante vergelijking U² - 7U + 12 \u003d 0, u₁ \u003d 3, y \u003d 4. x + 1 / x \u003d 3 of x + 1 / x \u003d 4. Wij verkrijgen twee vergelijkingen: x ² - 3x + 1 \u003d 0, x ² - 4x + 1 \u003d 0. Voorbeeld nummer 7. 3x⁴ - 2x³ - 31xqm + 10x + 75 \u003d 0. 75: 3 \u003d 25, 10: (- 2) \u003d -5, (-5) ² \u003d 25. De toestand van de gegeneraliseerde retourvergelijking wordt uitgevoerd naar \u003d -5. Het is analoog opgelost in Voorbeeld nr. 6. We verdelen beide delen van de vergelijking op x ². 3x⁴ - 2x - 31 + 10 / x + 75 / x ² \u003d 0, 3 (x ⁴ + 25 / x ²) - 2 (x - 5 / x) - 31 \u003d 0. Laat X - 5 / X \u003d Y, We bouwen beide delen van de gelijkheid in vierkant x ² - 10 + 25 / x ² \u003d u², x ² + 25 / x ² \u003d uq² + 10. We hebben een vierkante vergelijking 3e ² - 2AU - 1 \u003d 0, U₁ \u003d 1, U2 \u003d - 1/3. X - 5 / X \u003d 1 of X - 5 / X \u003d -1/3. We verkrijgen twee vergelijkingen: x ² - x - 5 \u003d 0 en 3x² + x - 15 \u003d 0

Voorbeelden voor zelfbeslissingen. 1. 78x⁴ - 133x³ + 78xqm - 133x + 78 \u003d 0, 2. x ⁴ - 5x³ + 10x² - 10x + 4 \u003d 0, 3. x ⁴ - x ³ - 10xqm + 2x + 4 \u003d 0, 4. 6x⁴ + 5x³ - 38xqm -10x + 24 \u003d 0, 5. x ⁴ + 2x³ - 11xqm + 4x + 4 \u003d 0, 6. x ⁴ - 5x³ + 10x² -10x + 4 \u003d 0. Reacties: 1) 2/3; 3/2, 2) 1; 2 3) -1 ± √3; (3 ± √17) / 2, 4) -1 ± √3; (7 ± √337) / 12 5) 1; 2; (-5 ± √17) / 2, 6) 1; 2.

Uniforme vergelijkingen. Definitie. De vergelijking van het formulier A₀ U³ + A₁ U² V + A₂ UV² + A₃ V³ \u003d 0 wordt een homogene vergelijking van de derde graad ten opzichte van u v. Definitie. De vergelijking van het formulier A₀ U⁴ + A₁ U³V + A₂ U²V² + A₃ UV³ + A₄ V⁴ \u003d 0 wordt een homogene vergelijking van de vierde graad ten opzichte van u v. Voorbeeld nummer 8. Bepaal vergelijking (x ² - x + 1) ³ + 2x⁴ (x ² - x + 1) - 3x⁶ \u003d 0 uniforme vergelijking van de derde graad ten opzichte van u \u003d x ² + 1, v \u003d x ². We verdelen beide delen van de vergelijking op x ⁶. Eerder gecontroleerd dat x \u003d 0 niet de oorzaak is van de vergelijking. (x ² - x + 1 / x ²) ³ + 2 (x ² - x + 1 / x ²) - 3 \u003d 0. (x ² - x + 1) / x ²) \u003d y, y ³ + 2e - 3 \u003d 0, y \u003d 1 rootvergelijking. We verdelen de polynomiale p (x) \u003d u³ + 2AU - 3 op Y - 1 volgens het bergschema. In privé krijgen we driehijl, wat geen wortels heeft. Antwoord 1.

Voorbeelden voor zelfbeslissingen. 1. 2 (x ² + 6x + 1) ² + 5 (x² + 6x + 1) (x² + 1) + 2 (x² + 1) ² \u003d 0, 2. (x + 5) ⁴ - 13xqm (x + 5) ² + 36x⁴ \u003d 0, 3. 2 (x² + x + 1) ² - 7 (x - 1) ² \u003d 13 (x³ - 1), 4. 2 (x -1) ⁴ - 5 (x² - 3x + 2) ² + 2 (x - 2) ⁴ \u003d 0, 5. (x ² + x + 4) ² + 3x (x ² + x + 4) + 2x² \u003d 0, antwoorden: 1) -1; -2 ± √3, 2) -5/3; -5/4; 5/2; 5 3) -1; -1/2; 2; 4 4) ± √2; 3 ± √2, 5) Geen wortels.

Methode van onzekere coëfficiënten. THEOREM NUMMER 3. Twee polynomen p (x) en g (x) zijn identiek als en alleen als ze dezelfde graad en coëfficiënten met dezelfde graden van de variabele in beide polynomen zijn gelijk. Voorbeeld nummer 9. Decisid op vermenigvuldigers van polynomen U⁴ - 4U³ + 5U² - 4U + 1. U⁴ - 4U³ + 5U² - 4U + 1 \u003d (U² + VO + C) (U² + ₁U + S₁) \u003d y ⁴ + u ³ (₁ + C) + U² (S₁ + C + V₁V) + U (Sun ₁ + SV ₁) + SS ₁. Volgens Theorem No. 3 hebben we een systeem van vergelijkingen: ₁ + B \u003d -4, C + C + V₁B \u003d 5, ZON ₁ + SV ₁ \u003d -4, SS ₁ \u003d 1. Het is noodzakelijk om het systeem op te lossen in gehele getallen. De laatste vergelijking in gehele getallen kan oplossingen hebben: C \u003d 1, C₁ \u003d 1; C \u003d -1, S₁ \u003d -1. Laat C \u003d C ₁ \u003d 1, dan hebben we van de eerste vergelijking in \u003d -4-in. We vervangers in de tweede vergelijking van het systeem C² + 4B + 3 \u003d 0, B \u003d -1, V₁ \u003d -3 of B \u003d -3, V₁ \u003d -1. Deze waarden zijn geschikt voor de derde vergelijking van het systeem. Wanneer c \u003d c ₁ \u003d -1 d

Voorbeeld nummer 10. Het is een polynoom om een \u200b\u200bpolynoom te ontbinden in ³ - 5U + 2. U ³ -5U + 2 \u003d (U + A) (U² + VO + C) \u003d u ³ + (A + C) U² + (AV + C) y + luidsprekers. We hebben een systeem van vergelijkingen: A + B \u003d 0, AB + C \u003d -5, AC \u003d 2. Mogelijke hele oplossingen van de derde vergelijking: (2; 1), (1; 2), (-2; -1 ), (-1; -2). Laat een \u003d -2, C \u003d -1. Van de eerste vergelijking van het systeem B \u003d 2, dat voldoet aan de tweede vergelijking. Substitueren van deze waarden in de gewenste gelijkheid krijgen we het antwoord: (Y - 2) (U² + 2WE - 1). Op de tweede manier. U ³ - 5U + 2 \u003d Y ³ -5U + 10 - 8 \u003d (Y³ - 8) - 5 (Y - 2) \u003d (Y - 2) (U² + 2U -1).

Voorbeelden voor zelfbeslissingen. Verspreid op multipliers van polynomen: 1. U⁴ + 4U³ + 6у ² + 4U -8, 2. U⁴ - 4U³ + 7U² - 6U + 2, 3. x ⁴ + 324, 4. U⁴ -8U³ + 24U² -32U + 15, 5. Beslis de vergelijking met behulp van de methode van ontbinding in vermenigvuldigers: A) x ⁴ -3x² + 2 \u003d 0, b) x ⁵ + 5x³ -6x² \u003d 0. Reacties: 1) (U² + 2U -2) (U² + 2U +4), 2) (Y - 1) ² (U² -2U + 2), 3) (x ² -6x + 18) (x ² + 6x + 18), 4) (Y - 1) (Y - 3 ) (U² - 4U + 5), 5A) ± 1; ± √2, 5b) 0; een.

Functioneel - een grafische methode om de vergelijking van hogere graden op te lossen. Voorbeeld nummer 11. Bepaal de vergelijking x ⁵ + 5x -42 \u003d 0. De functie Y \u003d x ⁵ neemt toe, de functie Y \u003d 42 - 5X afnemende (naar

Voorbeelden voor zelfbeslissingen. 1. Bewijs het gebruik van de eigenschap van de monotonie van de functie, bewijs dat de vergelijking de enige root heeft en deze root vind: A) x ³ \u003d 10 - x, b) x ⁵ + 3x³ - 11√2 - x. Antwoorden: a) 2, b) √2. 2. Bepaal de vergelijking met functioneel - grafische methode: a) x \u003d ³ √H, b) l x l \u003d ⁵ √H, c) 2 \u003d 6 - x, g) (1/3) \u003d x +4, d) ( X - 1) ² \u003d log₂ x, e) log \u003d (x + ½) ², g) 1 - √H \u003d LN X, H) √H - 2 \u003d 9 / x. Antwoorden: a) 0; ± 1, b) 0; 1, C) 2, D) -1, D) 1; 2, e) ½, g) 1, H) 9.

Vieta-formules voor vergelijkingen van hogere graden. Theorem No. 5 (Vieta Theorem). Als de vergelijking AX ⁿ + AX \u200b\u200bⁿ + ... + A₁H + A₀ NS van verschillende geldige wortels x ₁, x ₂, ..., X, dan bevredigen, voldoen zij aan gelijkheden: voor de vierkante vergelijking AH² + VX + C \u003d O : x ₁ + x ₂ \u003d -B / A, x₁h ₂ \u003d S / A; Voor kubieke vergelijking, ³ + A₂H ² + A₁H + A₀ \u003d O: x ₁ + x ₂ + x ₃ \u003d -A₂ / А₃; x₁x ₂ + x₁x ₃ + x₂h ₃ \u003d А₁ / А₃; x₁h₂h ₃ \u003d -A₀ / А₃; ... voor de vergelijking van n-graad: x ₁ + x ₂ + ... x \u003d - A / A, x₁x ₂ + x ₃ x ₃ + ... + xx \u003d A / A, ..., x ₂ · ... · x \u003d (- 1) ⁿ А₀ / a. De omgekeerde stelling wordt uitgevoerd.

Voorbeeld №13. Schrijf de kubieke vergelijking, waarvan de wortels de wortels van de vergelijking x ³ - 6xqm + 12x - 18 \u003d 0, en de coëfficiënt op x ³ zijn is 2. 1. door de stelling van de Vieta voor de kubieke vergelijking, wij hebben: x ₁ + x ₂ + x ₃ \u003d 6, x₁ ₂ + x₁x ₃ + x₂x ₃ \u003d 12, x₁x₂h ₃ \u003d 18. 2. We maken omgekeerde waarden van deze wortels en voor hen gebruiken we de reverse theorem van de Vieta. 1 / x ₁ + 1 / x ₂ + 1 / x ₃ \u003d (x₂x ₃ + x₁x ₃ + x₁x ₂) / x₁x₂h ₃ \u003d 12/18 \u003d 2/3. 1 / x₁x ₂ + 1 / x₁x ₃ + 1 / x₂x ₃ \u003d (x ₃ + x ₂ + x ₁) / x₁x₂h ₃ \u003d 6/18 \u003d 1/3, 1 / x₁x ₃ \u003d 1/18. We verkrijgen de vergelijking x ³ + 2 / 3xqm + 1 / 3x - 1/18 \u003d 0 · 2 antwoord: 2x³ + 4 / 3xqm + 2 / 3x -1/9 \u003d 0.

Voorbeelden voor zelfbeslissingen. 1. Schrijf een kubieke vergelijking, waarvan de wortels omgekeerd zijn de vierkanten van de wortels van de vergelijking x ³ - 6xqm + 11x - 6 \u003d 0, en de coëfficiënt op x ³ is 8. Antwoord: 8x³ - 98 / 9xqm + 28 / 9x -2/9 \u003d 0. Niet-standaardmethoden voor het oplossen van vergelijkingen van hogere graden. Voorbeeld nummer 12. Bepaal de vergelijking x ⁴ -8x + 63 \u003d 0. Spatuleren het linkerdeel van de vergelijking van de factoren. We markeren nauwkeurige vierkanten. X⁴ - 8x + 63 \u003d (x ⁴ + 16xqm + 64) - (16xqm + 8x + 1) \u003d (x ² + 8) ² - (4x + 1) ² \u003d (x ² + 4x + 9) (X² - 4x + 7) \u003d 0. Beide discriminanten zijn negatief. Antwoord: Geen wortels.

Voorbeeld nummer 14. Bepaal vergelijking 21x³ + x ² - 5x - 1 \u003d 0. Als het vrije lid van de vergelijking ± 1 is, wordt de vergelijking omgezet in de gegeven vergelijking door X \u003d 1 / Y te vervangen. 21 / u³ + 1 / u² - 5 / y - 1 \u003d 0 · u ³, y ³ + 5U² - 21 \u003d 0. U \u003d -3 rootvergelijking. (in + 3) (U² + 2W -7) \u003d 0, y \u003d -1 ± 2√2. x ₁ \u003d -1/3, x ₂ \u003d 1 / -1 + 2√2 \u003d (2√2 + 1) / 7, x₃ \u003d 1 / -1 -2√2 \u003d (1-2√2) / 7 . Voorbeeld nummer 15. Solve vergelijking 4x³-10x² + 14x - 5 \u003d 0. Vermenigvuldig beide delen van de vergelijking op 2. 8x³ -20x² + 28x - 10 \u003d 0, (2x) ³ - 5 (2x) ² + 14 · (2x) -10 \u003d 0. We introduceren een nieuwe variabele y \u003d 2x, we verkrijgen de verminderde vergelijking in ³ - 5U ² + 14U -10 \u003d 0, y \u003d 1 root van de vergelijking. (Y - 1) (U² - 4e + 10) \u003d 0, D

Voorbeeld nummer 16. Bewijs dat de vergelijking x ⁴ + x ³ + x - 2 \u003d 0 één positieve root heeft. Laat f (x) \u003d x ⁴ + x ³ + x - 2, f '(x) \u003d 4 x³ + 3xqm + 1\u003e o met x\u003e o. De functie F (X) neemt toe op X\u003e O en de waarde F (O) \u003d -2. Uiteraard heeft de vergelijking één positieve wortel van ch.t.d. Voorbeeld nummer 17. Bepaal vergelijking 8x (2xqm - 1) (8x⁴ - 8xqm + 1) \u003d 1. Indien Sharge "optionele koers in wiskunde voor rang 11" .. Onderwijs 1991 P90. 1. L x 1 2x² - 1\u003e 1 en 8x⁴ -8x² + 1\u003e 1 2. We vervangen X \u003d gezellig, in € (0; N). Met de resterende waarden van Y worden de waarden van X herhaald en heeft de vergelijking niet meer dan 7 wortels. 2xqm - 1 \u003d 2 COS² - 1 \u003d COS2Y, 8X⁴ - 8XQM + 1 \u003d 2 (2xqm - 1) ² - 1 \u003d 2 COS²2Y - 1 \u003d COS4Y. 3. De vergelijking neemt de vorm 8 Cosycos2ycos4y \u003d 1. Vermenigvuldig beide delen van de vergelijking op het opzichtige. 8 sinycosycos2ycos4y \u003d siny. 3 keer de formule van de dubbele hoek toepassen, krijgen we de vergelijking Sin8y \u003d SINDY, SIN8Y - SINIY \u003d 0

Het einde van het besluit van voorbeeld nr. 17. We gebruiken de sinusverschilformule. 2 SIN7Y / 2 · COS9Y / 2 \u003d 0. Gezien het feit dat in € (0; P), Y \u003d 2PK / 3, K \u003d 1, 2, 3 of Y \u003d N / 9 + 2PK / 9, K \u003d 0, 1, 2, 3. Keer terug naar de variabele X Wij Krijg antwoord: COS2 P / 7, COS4 P / 7, COS6 P / 7, COS P / 9, ½, COS5 P / 9, COS7 P / 9. Voorbeelden voor zelfbeslissingen. Zoek alle waarden van A, waarin vergelijking (x ² + x) (x ² + 5x + 6) \u003d en heeft precies drie wortels. Antwoord: 9/16. Opmerking: bouw een grafiek van het linkerdeel van de vergelijking. F max \u003d f (0) \u003d 9/16. Rechte y \u003d 9/16 Kruist een grafiek van een functie op drie punten. Bepaal vergelijking (x ² + 2x) ² - (x + 1) ² \u003d 55. Antwoord: -4; 2. Bepaal vergelijking (x + 3) ⁴ + (x + 5) ⁴ \u003d 16. Antwoord: -5; -3. Bepaal vergelijking 2 (x ² + x + 1) ² -7 (x - 1) ² \u003d 13 (x ³ - 1). Het antwoord: -1; -1/2, 2; 4 Zoek het aantal geldige wortels van de vergelijking x ³ - 12x + 10 \u003d 0 tot [-3; 3/2]. Opmerking: zoek een afgeleide en verken monot.

Voorbeelden voor Self Solutions (vervolg). 6. Zoek het aantal geldige wortels van de vergelijking x ⁴ - 2x³ + 3/2 \u003d 0. Antwoord: 2 7. Laat x ₁, x ₂, x ₃ - de wortels van de polynomiale P (x) \u003d x ³ - 6xqm -15x + 1. Zoek X₁² + x ₂² + x ₃². Antwoord: 66. Opmerking: Breng Vieta Theorem aan. 8. Bewijs dat bij a\u003e o en willekeurig materiaal in de vergelijking x ³ + ah + b \u003d o slechts één echte root heeft. Opmerking: veeg het bewijs van smerig. Breng de Vieta-stelling aan. 9. Bepaal vergelijking 2 (x ² + 2) ² \u003d 9 (x ³ + 1). Antwoord: ½; een; (3 ± √13) / 2. Opmerking: geef de vergelijking aan een homogeen met behulp van de gelijkheid X² + 2 \u003d x + 1 + x ² - x + 1, x ³ + 1 \u003d (x + 1) (x ² - x + 1). 10. Bepaal het systeem van vergelijkingen x + y \u003d x ², 3W - x \u003d u². Antwoord: (0; 0), (2; 2), (√2; 2 - √2), (- √2; 2 + √2). 11. Bepaal het systeem: 4U² -3HU \u003d 2x -U, 5xqm - 3U² \u003d 4x - 2e. Antwoord: (O; O), (1; 1), (297/265; - 27/53).

Test. 1 optie. 1. Bepaal vergelijking (x ² + x) - 8 (x ² + x) + 12 \u003d 0. 2. Bepaal vergelijking (x + 1) (x + 3) (x + 5) (x + 7) \u003d - 15 . 3. Bepaal vergelijking 12xqm (X - 3) + 64 (X - 3) ² \u003d x ⁴. 4. Bepaal de vergelijking x ⁴ - 4 x³ + 5xqm - 4x + 1 \u003d 0 5. Bepaal het systeem van leeftijden: x ² + 2 ² - x + 2WAD \u003d 6, 1,5xqm + 3 ² - x + 5U \u003d 12.

2 Optie 1. (x ² - 4x) ² + 7 (x ² - 4x) + 12 \u003d 0. 2. x (x + 1) (x + 5) (x + 6) \u003d 24. 3. x ⁴ + 18 (x + 4) ² \u003d 11xqm (x + 4). 4. x ⁴ - 5x³ + 6xqm - 5x + 1 \u003d 0. 5. X ² - 2H + O² + 2xQM - 9 \u003d 0, X - Y - X² van + 3 \u003d 0. 3 optie. 1. (x ² + 3x) ² - 14 (x ² + 3x) + 40 \u003d 0 2. (x - 5) (x - 3) (x + 3) (x + 1) \u003d - 35. 3. X4 + 8х² (x + 2) \u003d 9 (x + 2) ². 4. x ⁴ - 7x³ + 14x² - 7x + 1 \u003d 0. 5. X + U + x ² + in ² \u003d 18, HU + x ² + u² \u003d 19.

4 optie. (x ² - 2x) ² - 11 (x ² - 2x) + 24 \u003d O. (x -7) (x - 4) (x - 2) (x + 1) \u003d -36. X⁴ + 3 (x -6) ² \u003d 4xqm (6 - x). X⁴ - 6x³ + 7xqm - 6x + 1 \u003d 0. X² + 3H + US² \u003d - 1, 2xqm - 3H - 3U ² \u003d - 4. Aanvullende taak: het residu van de divisie van de polynomiale P (X) op (x - 1) is 4, het saldo van de divisie op (x + 1) is 2, en bij het delen van (x - 2) is 8. Zoek het saldo van het delen van P (x) tot (x ³ - 2x² - x + 2) .

Antwoorden en instructies: Optie nummer 1 nr. 2. Nr. 3. Nr. 4. Nr. 5. 1. - 3; ± 2; 1 1; 2; 3. -vijf; -four; een; 2. Uniforme vergelijking: u \u003d x -3, v \u003d x² -2; -een; 3; 4. (2; 1); (2/3; 4/3). Opmerking: 1 · (-3) + 2 · 2 2. -6; -2; -4 ± √6. -3 ± 2√3; - vier; - 2. 1 ± √11; vier; - 2. Uniforme vergelijking: u \u003d x + 4, v \u003d x² 1; 5; 3 ± √13. (2; 1); (0; 3); (- dertig). Opmerking: 2 · 2 + 1. 3. -6; 2; vier; 12 -3; -2; vier; 12 -6; -3; -een; 2. Uniform U \u003d x + 2, v \u003d x² -6; ± 3; 2 (2; 3), (3; 2), (-2 + √7; -2 - √7); (-2 - √7; -2 + √7). Opmerking: 2 -1. 4. (3 ± √5) / 2 2 ± √3 2 ± √3; (3 ± √5) / 2 (5 ± √21) / 2 (1; -2), (-1; 2). Opmerking: 1 · 4 + 2.

Besluit aanvullende taak. Door de stellingschrijvingen: P (1) \u003d 4, P (-1) \u003d 2, P (2) \u003d 8. P (x) \u003d g (x) (x ³ - 2x² - x + 2) + AH² + vx + van. Substituut 1; - een; 2. P (1) \u003d g (1) · 0 + A + B + C \u003d 4, A + B + C \u003d 4. P (-1) \u003d A - B + C \u003d 2, P (2) \u003d 4A² + 2V + C \u003d 8. We verkrijgen het oplossen van het resulterende systeem van drie vergelijkingen: A \u003d B \u003d 1, C \u003d 2. Antwoord: x ² + x + 2.

Criterium nr. 1 - 2 punten. 1 punt is een computerfout. № 2,3,4 - 3 punten. 1 Score - leidde tot een vierkante vergelijking. 2 punten - een computerfout. No. 5. - 4 punten. 1 Score - uitgedrukt door de andere variabele. 2 punten - kreeg een van de oplossingen. 3 punten - een computerfout. Bijkomende taak: 4 punten. 1 Score - Toegepaste de stelling van de Mouture voor alle vier de gevallen. 2 punten - goed voor een systeem van vergelijkingen. 3 punten - een computerfout.

Methoden voor het oplossen van algebraïsche vergelijkingen van hogere graden.

Habibullina alfia yakubovna ,

mathematics-leraar van de hoogste categorie MBOU SOSH №177

steden Kazan, Geëerde leraar van de Republiek Tatarstan,

kandidaat van pedagogische wetenschappen.

Definitie 1. Algebraïsche vergelijking van graad n De vergelijking van het formulier P N (x) \u003d 0, waarbij P N (X) een polynoom is van graad n, d.w.z. P n (x) \u003d een 0 x N + A 1 x N-1 + ... + A N-1 x + A N A 0.

Definitie 2. Wortel Vergelijkingen - de numerieke waarde van de variabele X, die, wanneer het substitueren, trouwe gelijkheid geeft in deze vergelijking.

Definitie 3. Besluiten de vergelijking betekent om al zijn wortels te vinden of te bewijzen dat ze dat niet zijn.

IK. Werkwijze voor ontleding van polynomen aan vermenigvuldigen met latere opname.

De vergelijking kan op vermenigvuldigers worden ontleed en de verplettingsmethode op te lossen, die wil zeggen, doorbreken van de reeks vergelijkingen van kleinere graden.

Commentaar: In het algemeen, bij het oplossen van de vergelijking door te verpletteren, moeten we niet vergeten dat het product dan nul is, en alleen als ten minste één van de vermenigvuldigers nul is, terwijl anderen de betekenis behouden.

Manieren van ontbinding van polynoom voor vermenigvuldigers:

1. Een gemeenschappelijke factor voor haakjes verwijderen.

2. Vierkante kamer kan worden ontleed aan multipliers met formules ah 2 + WX + C \u003d A (X-X 1 ) (xh 2 ), Waar ben 0, x 1 en x 2 - vierkante drie-shred-wortels.

3. Gebruik makend van formules van verkorte vermenigvuldiging :

een N-in N \u003d (A- C) (en N-1 + CN-2 A N-2 B + CN-3 A N-3 B + ... + C 1 A in N-2 + in N- 1), N. N.

Selectie van het volledige vierkant. De polynoom kan worden ontleed aan vermenigvuldigers met behulp van de formule van de vierkante verschil, die het volledige vierkant van de som of het verschil van uitdrukkingen pre-markeert.

4. Groepering (Gecombineerd met de overdracht van een gemeenschappelijke factor achter de beugels).

5. Gebruik het effect van de stelling.

1) Als de vergelijking A 0 x N + A 1 X N-1 + ... + A N-1 X + A N \u003d 0, A 0 0 C hele coëfficiënten heeft een rationele wortel x 0 \u003d (Waar - onstabiele fractie, p
V.
), Dan P-sequencer van een vrije termijn A N, en Q is een verdeler van een senior coëfficiënt A 0.

2) Als X \u003d X 0 de root is van de vergelijking P N (x) \u003d 0, dan is P n (x) \u003d 0 gelijk aan de vergelijking

(x - x 0) P N-1 (x) \u003d 0, waarbij R N-1 (X) een polynoom is die in divisie kan worden gevonden

P n (x) op (x - x 0) "hoek" of door de methode van onbepaalde coëfficiënten.

II. . Methode voor het introduceren van een nieuwe variabele (vervanging )

Overweeg de vergelijking F (x) \u003d g (x). Het is gelijk aan vergelijking F (x) -g (x) \u003d 0. Duid op het verschil F (x) -g (x) \u003d H (P (x)), en
. We introduceren de vervanging T \u003d P (X) (de functie T \u003d P (X) wordt genoemd vervanging ). Dan verkrijgen we de vergelijking H (P (x)) \u003d 0 of H (T) \u003d 0, het oplossen van de laatste vergelijking, we vinden T 1, T2, ... terugkeren naar de substitutie P (x) \u003d t 1, P (x) \u003d t 2, ..., zoek de waarden van de variabele X.

III Methode van strikte monotonie.

Stelling. Als y \u003d f (x) strikt monotonne per p is, dan heeft de vergelijking F (x) \u003d A (A-Const) niet meer dan één root op de set. (De functie is strikt monotoon: ofwel dalen of alleen toenemen)

Commentaar. U kunt de wijziging van deze methode gebruiken. Overweeg de vergelijking F (x) \u003d g (x). Als de functie Y \u003d F (X) monotoon afneemt naar P, en de functie Y \u003d G (X) neemt een monotief af naar P (of vice versa), heeft de vergelijking F (x) \u003d g (x) niet meer dan één wortel op de set.

IV. Methode voor het vergelijken van een reeks waarden van beide delen van de vergelijking (beoordelingsmethode)

Stelling Als voor elke X uit de set P, worden ongelijkheden F (x) uitgevoerd a, en g (x) a, dan is de vergelijking F (x) \u003d g (x) op de set P gelijk aan het systeem
.

Corollary: Als op de set r
of
, De vergelijking F (x) \u003d g (x) heeft geen wortels.

Deze methode is vrij effectief bij het oplossen van transcendentale vergelijkingen.

V. WERKWIJZE VAN DE DUITSCHAP VAN DIVERS VAN EXTREME COEFEFICIËNTEN

Overweeg de vergelijking A 0 x N + A 1 x N-1 + ... + A N-1 x + A n \u003d 0

Stelling. Als x 0 \u003d - De wortel van de algebraïsche vergelijking van de mate n, en ik is de integer-coëfficiënten, dan P is een vrije ledenverdeler A N, en q is een dealer van de senior coëfficiënt A 0. Op een 0 \u003d 1 x 0 \u003d p (vrije ledenverdeler).

Corollary Theorems: als x 0 de wortel is van een algebraïsche vergelijking, is PN (x) verdeeld in (x - x 0) zonder een residu, d.w.z. p n (x) \u003d (x - x 0) q n - 1 (x).

Vi Methode van onzekere coëfficiënten.

Het is gebaseerd op de volgende aantijgingen:

twee polynomen zijn op identiek gelijk en alleen als hun coëfficiënten gelijk zijn met dezelfde degels x.

elk polynoom van de derde graad ontbindt zich in het werk van twee multipliers: lineair en vierkant.

elk polynoom van de vierde graad ontbindt zich in het werk van twee polynomen

tweedegraads.

VII. Gorner-regeling .

Met de hulp van de coëfficiëntstabel door het algoritme van de stad, is de selectie de wortels van de vergelijking tussen de vrije ledendivisors.

VIII. . Derivatieve methode.

Stelling. Als 2 polynomen P (x) en q (x) identiek gelijke derivaten hebben, is er een dergelijke basis die P (x) \u003d q (x) + c voor X. R.

Vesem. Als een
(x) en
(x) zijn verdeeld in
T.
(x) is verdeeld in
.

Corollary: Als een
(x) en
(x) zijn verdeeld in een polynomiale r (x), dan
(x) is verdeeld in (x), en de grootste algemene verdeler van polynomen
(x) en
(X) heeft wortels die alleen de wortels van de polynoom zijn
(x) vermenigvuldiging van ten minste 2.

IX. . Symmetrische, retourvergelijkingen .

Definitie. Vergelijking A 0 x N + A 1 X N - 1 + ... + A N-1 x + A N \u003d 0 gebeld symmetrisch , als een

1. Overweeg het geval wanneer N-even, n \u003d 2k. Als een
, dan is x \u003d 0 niet de oorzaak van de vergelijking, die het recht geeft om de vergelijking te verdelen

0
+
+
+\u003d 0 We introduceren de vervanging T \u003d
en, gezien de lemma, het bepalen van de vierkante vergelijking ten opzichte van de variabele T. De omgekeerde substitutie geeft een oplossing ten opzichte van de variabele X.

2. Overweeg het geval wanneer n-oneven, n \u003d 2k + 1. Dan \u003d -1 is de wortel van de vergelijking. We verdelen de vergelijking op basis van
En we krijgen de zaak 1 .. Met de backstage kunt u waarden x vinden. Merk op dat bij M \u003d -1 de vergelijking wordt genoemd transformatie van de algebraïsche vergelijking P N (x) \u003d 0 (waarbij P N (x) een polynoom van graden n) is in de vergelijking van de vorm F (x) \u003d g ( X). We stellen de functies y \u003d f (x), y \u003d g (x); We beschrijven hun eigenschappen en construeer grafieken in één coördinatensysteem. De abcissies van de kruisingspunten zijn wortels van de vergelijking. De cheque wordt uitgevoerd door substitutie aan de initiële vergelijking.

Over het algemeen kan de vergelijking met een graad boven 4 in radicalen niet worden opgelost. Maar soms kunnen we nog steeds de wortels van de polynoom staan \u200b\u200baan de linkerkant in de vergelijking van de hoogste graad, als we het presenteren in de vorm van een product van polynomen tot een mate van niet meer dan 4e. De oplossing van dergelijke vergelijkingen is gebaseerd op de ontbinding van polynomen op vermenigvuldigers, dus we adviseren u om dit onderwerp te herhalen voordat u dit artikel leert.

Meestal hebben te maken met vergelijking van hogere graden met hele coëfficiënten. In deze gevallen kunnen we proberen rationele wortels te vinden en vervolgens een polynoom te ontbinden met vermenigvuldigers om het om te zetten naar een lagere graadvergelijking die eenvoudigweg kan beslissen. Als onderdeel van dit materiaal zullen we alleen rekening houden met dergelijke voorbeelden.

Vergelijkingen van de hoogste graad met hele coëfficiënten

Alle vergelijkingen met een formulier A N x N + A N - 1 x N - 1 +. . . + A 1 x + A 0 \u003d 0, we kunnen leiden tot de vergelijking van dezelfde mate met behulp van de vermenigvuldiging van beide delen door een N N - 1 en de variabele van het formulier Y \u003d A n x:

een n x n + a n - 1 x n - 1 +. . . + A 1 x + A 0 \u003d 0 Ann · XN + A - 1 · Ann - 1 · XN - 1 + ... + A 1 · (A) N - 1 · X + A 0 · (A) N - 1 \u003d 0 y \u003d ang ⇒ Yn + BN - 1 YN - 1 + ... + B 1 Y + B 0 \u003d 0

Die coëfficiënten die uiteindelijk bleek, zullen ook gehogt zijn. We moeten dus de gegeven vergelijking van n-roorn oplossen met integercoëfficiënten met een formulier X N + A N X N - 1 + ... + A 1 x + A 0 \u003d 0.

Bereken de gehele wortels van de vergelijking. Als de vergelijking volledige wortels heeft, moet u naar hen zoeken tussen de verdelers van een vrije termijn A 0. We schrijven ze op en we zullen op hun beurt in de eerste gelijkheid vervangen, het resultaat controleren. Zodra we identiteit ontvingen en een van de wortels van de vergelijking vonden, kunnen we het in de vorm X - X 1 · P N - 1 (X) \u003d 0 schrijven. Hier is x 1 de wortel van de vergelijking en P N - 1 (X) is een privé van het delen van x N + A N X N - 1 + ... + A 1 x + A 0 tot X - X 1.

We vervangen de resterende ontladen delers in P N - 1 (X) \u003d 0, beginnend met X 1, aangezien de wortels kunnen worden herhaald. Na ontvangst van de identiteit wordt de root x 2 beschouwd als te vinden en kan de vergelijking in de vorm (x - x 1) (x - x 2) · PN - 2 (x) \u003d 0. van de PN - 2 worden geschreven (x) is privé van divisie P n - 1 (x) tot x - x 2.

We blijven delen door dividers. We vinden alle hele wortels en geven hun nummer aan als m. Daarna kan de initiële vergelijking worden weergegeven als x - x 1 x - x 2 · ... · x - x m · p n - m (x) \u003d 0. Hier is P N - M (X) een polynoom n-m-graad. Voor berekening is het handig om het Horner-schema te gebruiken.

Als onze eerste vergelijking hele coëfficiënten heeft, kunnen we niet leiden tot fractionele wortels.

We kregen uiteindelijk de vergelijking P N - M (X) \u003d 0, wiens wortels op elke handige manier te vinden zijn. Ze kunnen irrationeel of complex zijn.

Laten we op een specifiek voorbeeld laten zien, omdat een oplossingschema van toepassing is.

Voorbeeld 1.

Staat: Zoek de oplossing van de vergelijking x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 \u003d 0.

Besluit

Laten we beginnen met de bevindingen van de hele wortels.

We hebben een vrij lid gelijk aan min drie. Hij heeft deelnemers gelijk aan 1, - 1, 3 en - 3. Vervang ze naar de oorspronkelijke vergelijking en laten we kijken welke van hen de identiteiten krijgen.

Voor X, gelijk aan één, verkrijgen we 1 4 + 1 3 + 2 · 1 2 - 1 - 3 \u003d 0, het betekent dat het apparaat de oorzaak is van deze vergelijking.

Nu zullen we de divisies van de polynoom x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 op (x - 1) in de kolom uitvoeren:

Dus, x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 \u003d x - 1 x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3.

1 3 + 2 · 1 2 + 4 · 1 + 3 \u003d 10 ≠ 0 (- 1) 3 + 2 · (- 1) 2 + 4 · - 1 + 3 \u003d 0

We hadden een identiteit, het betekent dat we nog een wortel van de vergelijking vonden gelijk aan 1.

We verdelen de polynomiale x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3 op (x + 1) in de kolom:

Dat krijgen we

x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 \u003d (x - 1) (x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3) \u003d \u003d (x - 1) (x + 1) (x 2 + x + 3)

We vervangen de volgende verdeler in de gelijkheid x 2 + x + 3 \u003d 0, beginnend vanaf - 1:

1 2 + (- 1) + 3 = 3 ≠ 0 3 2 + 3 + 3 = 15 ≠ 0 (- 3) 2 + (- 3) + 3 = 9 ≠ 0

Gelijkheid die uiteindelijk is verkregen, is onjuist, het betekent dat de vergelijking niet langer de hele wortels meer heeft.

De resterende wortels zijn de wortels van expressie x 2 + x + 3.

D \u003d 1 2 - 4 · 1 · 3 \u003d - 11< 0

Hieruit volgt hieruit dat dit vierkant drie declletjes er geen geldige wortels zijn, maar er zijn uitgebreid geconjugeerd: x \u003d - 1 2 ± I 11 2.

We zullen specificeren dat in plaats van in de kolom te delen, u het schema van Gunner kunt gebruiken. Dit gebeurt zo: nadat we de eerste root van de vergelijking hebben geïdentificeerd, vul dan de tabel in.

In de coëfficiënt tabel kunnen we onmiddellijk de coëfficiënten van het individu zien uit het delen van polynomen, het betekent dat x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 \u003d x - 1 x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3.

Na het vinden van de volgende root, gelijk aan - 1, krijgen we het volgende:

Antwoord: x \u003d - 1, x \u003d 1, x \u003d - 1 2 ± I 11 2.

Voorbeeld 2.

Staat: Bepaal vergelijking x 4 - x 3 - 5 x 2 + 12 \u003d 0.

Besluit

Een vrij lid heeft Divisors 1, - 1, 2, - 2, 3, - 3, 4, - 4, 6, - 6, 12, - 12.

Controleer ze in volgorde:

1 4 - 1 3 - 5 · 1 2 + 12 \u003d 7 ≠ 0 (- 1) 4 - (- 1) 3 - 5 · (- 1) 2 + 12 \u003d 9 ≠ 0 2 4 · 2 3 - 5 · 2 2 + 12 \u003d 0

SO X \u003d 2 is de root van de vergelijking. We splitsen x 4 - x 3 - 5 x 2 + 12 op x - 2, met behulp van het Gunner-schema:

Dientengevolge verkrijgen we x - 2 (x 3 + x 2 - 3 x - 6) \u003d 0.

2 3 + 2 2 - 3 · 2 - 6 \u003d 0

Dus 2 is weer de root. We splitsen x 3 + x 2 - 3 x - 6 \u003d 0 tot x - 2:

Dientengevolge verkrijgen we (x - 2) 2 · (x 2 + 3 x + 3) \u003d 0.

Het controleren van de resterende delers is niet logisch, aangezien de gelijkheid x 2 + 3 x + 3 \u003d 0 sneller en handiger is om op te lossen met de hulp van discriminant.

Spest vierkante vergelijking:

x 2 + 3 x + 3 \u003d 0 D \u003d 3 2 - 4 · 1 · 3 \u003d - 3< 0

We verkrijgen een uitgebreid geconjugeerd paar wortels: x \u003d - 3 2 ± I 3 2.

Antwoord: X \u003d - 3 2 ± I 3 2.

Voorbeeld 3.

Staat: Zoek voor vergelijking x 4 + 1 2 x 3 - 5 2 x - 3 \u003d 0 geldige wortels.

Besluit

x 4 + 1 2 x 3 - 5 2 x - 3 \u003d 0 2 x 4 + x 3 - 5 x - 6 \u003d 0

We voeren een logging van 2 3 van beide delen van de vergelijking uit:

2 x 4 + x 3 - 5 x - 6 \u003d 0 2 4 · x 4 + 2 3 x 3 - 20 · 2 · x - 48 \u003d 0

We vervangen de variabelen y \u003d 2 x:

2 4 · x 4 + 2 3 x 3 - 20 · 2 · x - 48 \u003d 0 y 4 + y 3 - 20 y - 48 \u003d 0

Als gevolg hiervan hadden we een standaard vergelijking 4e, die volgens het standaardschema kan worden opgelost. We controleren de verdelers, wij verdelen en verkrijgen als gevolg hiervan dat het 2 geldige wortels heeft Y \u003d - 2, Y \u003d 3 en twee complex. Het besluit volledig hier zullen we niet leiden. Op grond van de vervanging met de geldige wortels van deze vergelijking, zal x \u003d y 2 \u003d - 2 2 \u003d - 1 en x \u003d y 2 \u003d 3 2 x \u003d 3 2 zijn.

Antwoord: x 1 \u003d - 1, x 2 \u003d 3 2

Als u een fout in de tekst opmerkt, selecteert u deze en drukt u op CTRL + ENTER