Dit artikel brengt informatie samen die het idee van gelijkheid vormgeeft in de context van de wiskunde. Hier zullen we ontdekken wat gelijkheid is vanuit wiskundig oogpunt, en wat ze zijn. Laten we het ook hebben over het schrijven van gelijkheden en het gelijkteken. Ten slotte noemen we de belangrijkste eigenschappen van gelijkheden en geven we voorbeelden ter verduidelijking.

Paginanavigatie.

Wat is gelijkheid?

Het concept van gelijkheid is onlosmakelijk verbonden met vergelijking: het vergelijken van eigenschappen en kenmerken om soortgelijke kenmerken te identificeren. En vergelijking veronderstelt op zijn beurt de aanwezigheid van twee objecten of objecten, waarvan er één met de ander wordt vergeleken. Tenzij je natuurlijk een object met zichzelf vergelijkt, en dan kan dit worden beschouwd als een speciaal geval van het vergelijken van twee objecten: het object zelf en zijn ‘exacte kopie’.

Uit de bovenstaande redenering wordt het duidelijk dat gelijkheid niet kan bestaan ​​zonder de aanwezigheid van ten minste twee objecten, anders hebben we simpelweg niets om te vergelijken. Het is duidelijk dat je drie, vier of meer objecten ter vergelijking kunt nemen. Maar het van nature komt neer op het vergelijken van alle mogelijke paren die uit deze objecten bestaan. Met andere woorden, het komt neer op het vergelijken van twee objecten. Voor gelijkheid zijn dus twee objecten nodig.

De essentie van het concept van gelijkheid in de meest algemene zin wordt het duidelijkst weergegeven door het woord ‘identiek’. Als we twee identieke objecten nemen, kunnen we erover zeggen dat ze gelijkwaardig. Als voorbeeld geven we twee gelijke vierkanten en . De verschillende objecten worden op hun beurt opgeroepen ongelijk.

Het concept van gelijkheid kan zowel van toepassing zijn op objecten als geheel als op hun individuele eigenschappen en kenmerken. Objecten zijn in het algemeen gelijk als ze in alle opzichten gelijk zijn. In het vorige voorbeeld hadden we het over de gelijkheid van objecten in het algemeen - beide objecten zijn vierkanten zelfde maat, dezelfde kleur, en over het algemeen zijn ze volledig hetzelfde. Aan de andere kant kunnen objecten in het algemeen ongelijk zijn, maar ze kunnen wel enkele gelijke kenmerken hebben. Beschouw bijvoorbeeld dergelijke objecten en . Het is duidelijk dat ze gelijk van vorm zijn - het zijn beide cirkels. En qua kleur en maat zijn ze ongelijk, de een is blauw en de ander rood, de een is klein en de ander is groot.

Uit het vorige voorbeeld merken we voor onszelf op dat we vooraf moeten weten waar we het precies over hebben.

Alle bovenstaande argumenten zijn van toepassing op gelijkheden in de wiskunde, alleen hier verwijst gelijkheid naar wiskundige objecten. Dat wil zeggen dat we bij het bestuderen van wiskunde zullen praten over de gelijkheid van getallen, de gelijkheid van uitdrukkingswaarden, de gelijkheid van alle hoeveelheden, bijvoorbeeld lengtes, oppervlakten, temperaturen, arbeidsproductiviteit, enz.

Gelijkheden schrijven, =

Het is tijd om te kijken naar de regels voor het schrijven van gelijkheden. Voor dit doel wordt het gebruikt =(het wordt ook het gelijkteken genoemd), dat de vorm = heeft, dat wil zeggen dat het twee identieke lijnen vertegenwoordigt die horizontaal boven elkaar liggen. Het gelijkteken = wordt als algemeen aanvaard beschouwd.

Wanneer u gelijkheden schrijft, schrijft u gelijke objecten en plaatst u er een gelijkteken tussen. Opnemen bijvoorbeeld gelijke aantallen 4 en 4 zouden er uitzien als 4=4 en kunnen gelezen worden als "vier is vier". Nog een voorbeeld: de oppervlakte S ABC van driehoek ABC is gelijk aan zeven vierkante meters wordt geschreven als S ABC =7 m 2. Naar analogie kunnen we andere voorbeelden geven van het schrijven van gelijkheden.

Het is vermeldenswaard dat in de wiskunde de weloverwogen notaties van gelijkheden vaak worden gebruikt als definitie van gelijkheid.

Definitie.

Records die het gelijkteken gebruiken om twee wiskundige objecten (twee getallen, uitdrukkingen, enz.) van elkaar te scheiden, worden aangeroepen gelijkheden.

Als u de ongelijkheid van twee objecten schriftelijk wilt aangeven, gebruik dan geen gelijkteken≠. We zien dat het een doorgestreept gelijkteken vertegenwoordigt. Laten we als voorbeeld de invoer 1+2≠7 nemen. Het kan als volgt worden gelezen: “De som van één en twee is niet gelijk aan zeven.” Een ander voorbeeld is |AB|≠5 cm – de lengte van segment AB is niet gelijk aan vijf centimeter.

Ware en valse gelijkheid

De geschreven gelijkheden kunnen overeenkomen met de betekenis van het concept van gelijkheid, of ze kunnen het tegenspreken. Afhankelijk hiervan worden gelijkheden verdeeld in echte gelijkheden En valse gelijkheden. Laten we dit met voorbeelden begrijpen.

Laten we de gelijkheid 5=5 schrijven. De getallen 5 en 5 zijn ongetwijfeld gelijk, dus 5=5 is een echte gelijkheid. Maar de gelijkheid 5=2 is onjuist, aangezien de getallen 5 en 2 niet gelijk zijn.

Eigenschappen van gelijkheden

Uit de manier waarop het concept van gelijkheid wordt geïntroduceerd, volgen de karakteristieke resultaten ervan – de eigenschappen van gelijkheid – vanzelf. Er zijn drie belangrijke eigenschappen van gelijkheden:

• De eigenschap van reflexiviteit, die stelt dat een object gelijk is aan zichzelf.
• De eigenschap van symmetrie, die stelt dat als het eerste object gelijk is aan het tweede, het tweede ook gelijk is aan het eerste.
• En ten slotte de eigenschap van transitiviteit, die stelt dat als het eerste object gelijk is aan het tweede, en het tweede gelijk is aan het derde, het eerste gelijk is aan het derde.

Laten we de stemhebbende eigenschappen in de taal van de wiskunde opschrijven met behulp van letters:

• een=een;
• als a=b dan b=a;
• als a=b en b=c dan a=c .

Afzonderlijk is het de moeite waard om de verdienste van de tweede en derde eigenschap van gelijkheden op te merken – de eigenschappen van symmetrie en transitiviteit – in het feit dat ze ons in staat stellen te praten over de gelijkheid van drie en meer objecten door hun paarsgewijze gelijkheid.

Dubbele, drievoudige gelijkheid, enz.

Naast de gebruikelijke notaties voor gelijkheden, waarvan we in de voorgaande paragrafen voorbeelden hebben gegeven, de zogenaamde dubbele gelijkheid, drievoudige gelijkheid enzovoort, die als het ware ketens van gelijkheid vertegenwoordigen. De notatie 1+1+1=2+1=3 is bijvoorbeeld een dubbele gelijkheid, en |AB|=|BC|=|CD|=|DE|=|EF| - een voorbeeld van een viervoudige gelijkheid.

Het gebruik van dubbels, triples, enz. Voor gelijkheden is het handig om de gelijkheid van drie, vier, enz. op te schrijven. voorwerpen dienovereenkomstig. Deze gegevens duiden inherent op de gelijkheid van twee objecten die deel uitmaken van de oorspronkelijke keten van gelijkheden. De bovenstaande dubbele gelijkheid 1+1+1=2+1=3 betekent bijvoorbeeld in essentie de gelijkheid 1+1+1=2+1, en 2+1=3, en 1+1+1=3, en in vanwege de symmetrie-eigenschap van de gelijkheden en 2+1=1+1+1, en 3=2+1, en 3=1+1+1.

Het is handig om in de vorm van dergelijke ketens van gelijkheid te schrijven stap voor stap oplossing voorbeelden en problemen, terwijl de oplossing kort lijkt en de tussenstadia van het transformeren van de oorspronkelijke uitdrukking zichtbaar zijn.

Bibliografie.

• Moro M.I.. Wiskunde. Leerboek voor 1 klas. begin school In 2 uur. Deel 1. (Eerste helft van het jaar) / M. I. Moro, S. I. Volkova, S. V. Stepanova. - 6e druk. - M.: Onderwijs, 2006. - 112 p.: ill.+Toevoegen. (2 aparte l. afb.). - ISBN 5-09-014951-8.
• Wiskunde: leerboek voor het 5e leerjaar. algemene educatie instellingen / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - 21e druk, gewist. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 pp.: ill. ISBN-5-346-00699-0.

Met het materiaal in het artikel kunt u vertrouwd raken met de wiskundige interpretatie van het concept van gelijkheid. Laten we het hebben over de essentie van gelijkheid; Laten we eens kijken naar de soorten en manieren om het op te nemen; Laten we de eigenschappen van gelijkheid opschrijven en de theorie illustreren met voorbeelden.

Het concept van gelijkheid is nauw verweven met het concept van vergelijking, wanneer we eigenschappen en kenmerken vergelijken om vergelijkbare kenmerken te identificeren. Het vergelijkingsproces vereist de aanwezigheid van twee objecten, die met elkaar worden vergeleken. Deze argumenten suggereren dat het concept van gelijkheid niet kan bestaan ​​als er niet minstens twee objecten zijn om te vergelijken. In dit geval kan uiteraard een groter aantal objecten worden genomen: drie of meer, maar uiteindelijk zullen we op de een of andere manier paren gaan vergelijken die van bepaalde objecten zijn verzameld.

De betekenis van het concept ‘gelijkheid’ in een algemene interpretatie wordt perfect gedefinieerd door het woord ‘identiek’. We kunnen spreken van twee identieke objecten als “gelijk”. Bijvoorbeeld vierkanten en . Maar objecten die op de een of andere manier van elkaar verschillen, worden ongelijk genoemd.

Als we het over gelijkheid hebben, kunnen we zowel objecten als geheel als hun individuele eigenschappen of kenmerken bedoelen. Objecten zijn over het algemeen gelijk als ze in alle kenmerken identiek zijn. Toen we bijvoorbeeld het voorbeeld gaven van de gelijkheid van vierkanten, bedoelden we hun gelijkheid in al hun inherente eigenschappen: vorm, grootte, kleur. Ook kunnen objecten in het algemeen niet gelijk zijn, maar dezelfde individuele kenmerken hebben. Bijvoorbeeld: en . Deze objecten zijn gelijk van vorm (beide zijn cirkels), maar verschillend (ongelijk) van kleur en grootte.

Het is dus noodzakelijk om van tevoren te begrijpen wat voor soort gelijkheid we bedoelen.

Gelijkheden schrijven, =

Om gelijkheid vast te leggen, gebruikt u het gelijkteken (of gelijkteken), aangegeven als =. Deze notatie is algemeen aanvaard.

Bij het maken van een gelijkheid worden gelijke voorwerpen naast elkaar geplaatst, met daartussen een gelijkteken. We schrijven bijvoorbeeld de gelijkheid van de getallen 5 en 5 als 5 = 5. Of laten we zeggen dat we de gelijkheid van de omtrek van driehoek ABC tot 6 meter moeten opschrijven: P A B C = 6 m.

Definitie 1

Gelijkwaardigheid– een record waarin een gelijkteken wordt gebruikt om twee wiskundige objecten (of getallen, of uitdrukkingen, enz.) van elkaar te scheiden.

Wanneer het nodig wordt om de ongelijkheid van objecten schriftelijk aan te geven, wordt het niet-gelijkteken gebruikt, aangegeven als ≠, d.w.z. in wezen een doorgestreept gelijkteken.

Ware en valse gelijkheid

De geconstrueerde gelijkheden kunnen overeenkomen met de essentie van het gelijkheidsconcept, maar ze kunnen het ook tegenspreken. Op basis van dit criterium worden alle gelijkheden geclassificeerd in echte gelijkheden en valse gelijkheden. Laten we voorbeelden geven.

Laten we de gelijkheid 7 = 7 maken. De getallen 7 en 7 zijn uiteraard gelijk, en daarom is 7 = 7 een echte gelijkheid. De gelijkheid 7 = 2 is op zijn beurt onjuist, aangezien de getallen 7 en 2 niet gelijk.

Eigenschappen van gelijkheden

Laten we drie hoofdeigenschappen van gelijkheden opschrijven:

Definitie 2

• de eigenschap van reflexiviteit, die stelt dat een object gelijk is aan zichzelf;
• eigenschap van symmetrie: als het eerste object gelijk is aan het tweede, dan is het tweede gelijk aan het eerste;
• transitiviteitseigenschap: wanneer het eerste object gelijk is aan het tweede, en het tweede gelijk is aan het derde, dan is het eerste gelijk aan het derde.

Laten we de letterlijke eigenschappen als volgt schrijven:

• een = een;
• Als een = b, Dat b = een;
• Als een = b En b = c, Dat een = c.

Laten we het bijzondere voordeel van de tweede en derde eigenschap van gelijkheid opmerken – de eigenschappen van symmetrie en transitiviteit – zij maken het mogelijk om de gelijkheid van drie of meer objecten te bevestigen door hun paarsgewijze gelijkheid.

Dubbel, drievoudig, enz. gelijkwaardigheid

Samen met de standaardnotatie van gelijkheid, waarvan we hierboven een voorbeeld gaven, worden ook vaak zogenaamde dubbele gelijkheden, drievoudige gelijkheden, etc. samengesteld. Dergelijke records zijn als een keten van gelijkheden. Opname bijvoorbeeld 2 + 2 + 2 = 4 + 2 = 6 - dubbele gelijkheid, en | EEN B | = | B C | = | CD | = | DE | = | E F |- een voorbeeld van een kwartgelijkheid.

Met behulp van dergelijke ketens van gelijkheden is het optimaal om gelijkheid tussen drie of meer objecten te creëren. Dergelijke records zijn in hun betekenis een aanduiding van de gelijkheid van twee willekeurige objecten die de oorspronkelijke keten van gelijkheden vormen.

De hierboven geschreven dubbele gelijkheid 2 + 2 + 2 = 4 + 2 = 6 betekent bijvoorbeeld de gelijkheden: 2 + 2 + 2 = 4 + 2 , En 4 + 2 = 6 , En 2 + 2 + 2 = 6 , en vanwege de symmetrie-eigenschap van de gelijkheden en 4 + 2 = 2 + 2 + 2 , En 6 = 4 + 2 , En 6 = 2 + 2 + 2 .

Bij het samenstellen van dergelijke ketens is het handig om de volgorde van het oplossen van voorbeelden en problemen op te schrijven: zo'n oplossing wordt visueel en weerspiegelt alle tussenliggende stadia van berekeningen.

Als u een fout in de tekst opmerkt, markeer deze dan en druk op Ctrl+Enter

50. Eigenschappen van gelijkheden waarop de oplossing van vergelijkingen is gebaseerd. Laten we een vergelijking nemen, niet erg ingewikkeld, bijvoorbeeld:

7x – 24 = 15 – 3x

x/2 – (x – 3)/3 – (x – 5)/6 = 1

We zien in elke vergelijking een gelijkteken: alles wat links van het gelijkteken wordt geschreven, wordt het linker of eerste deel van de vergelijking genoemd (in de eerste vergelijking is 7x – 24 het linker of eerste deel, en in de tweede x /2 – (x – 3)/ 3 – (x – 5)/6 is het eerste of linker deel); alles wat rechts van het gelijkteken wordt geschreven, wordt het rechter- of tweede deel van de vergelijking genoemd (15 – 3x is de rechterkant van de eerste vergelijking, 1 is het rechter- of tweede deel van de tweede vergelijking).

Elk deel van elke vergelijking vertegenwoordigt een getal. De getallen uitgedrukt door de linker- en rechterkant van de vergelijking moeten gelijk zijn aan elkaar. Het is ons duidelijk: als we bij elk van deze getallen hetzelfde getal optellen, of er hetzelfde getal van aftrekken, of ze allemaal met hetzelfde getal vermenigvuldigen, of ten slotte delen door hetzelfde getal, dan zijn de resultaten van deze acties moeten ook gelijk zijn aan elkaar. Met andere woorden: als a = b, dan a + c = b + c, a – c = b – c, ac = bc en a/c = b/c. Wat de deling betreft, moet echter in gedachten worden gehouden dat er in de rekenkunde geen deling door nul bestaat - we kunnen bijvoorbeeld het getal 5 niet door nul delen. Daarom kan in de gelijkheid a/c = b/c het getal c niet gelijk zijn aan nul.

1. Hetzelfde getal kan aan beide kanten van de vergelijking worden opgeteld of afgetrokken.
2. Beide zijden van een vergelijking kunnen worden vermenigvuldigd of gedeeld door hetzelfde getal, tenzij het getal nul is.

Met behulp van deze eigenschappen van de vergelijking kunnen we vinden handige manier vergelijkingen oplossen. Laten we dit geval verduidelijken met voorbeelden.

Voorbeeld 1. Stel dat we de vergelijking moeten oplossen

5x – 7 = 4x + 15.

We zien dat het eerste deel van de vergelijking twee termen bevat; een ervan bevat 5x onbekende vermenigvuldiger x kan de onbekende term worden genoemd, en de andere -7 - bekend. Het tweede deel van de vergelijking heeft ook 2 termen: onbekend 4x en bekend +15. Laten we ervoor zorgen dat er aan de linkerkant van de vergelijking alleen onbekende termen zijn (en de bekende term –7 zou worden vernietigd), en aan de rechterkant alleen bekende termen (en de onbekende term +4x zou worden vernietigd) . Voor dit doel voegen we aan beide kanten van de vergelijking dezelfde getallen toe: 1) tel elk +7 op (zodat de term –7 wordt vernietigd) en 2) tel elk –4x op (zodat de term +4x wordt vernietigd). Dan krijgen we:

5x – 7 + 7 – 4x = 4x + 15 + 7 – 4x

Nadat we soortgelijke termen in elk deel van de vergelijking hebben gereduceerd, krijgen we

Deze gelijkheid is de oplossing van de vergelijking, omdat deze aangeeft dat we voor x het getal 22 moeten nemen.

Voorbeeld 2. Los de vergelijking op:

8x + 11 = 7 – 4x

Opnieuw voegen we –11 en +4x toe aan beide kanten van de vergelijking, we krijgen:

8x + 11 – 11 + 4x = 7 – 4x – 11 + 4x

Als we vergelijkbare termen reduceren, krijgen we:

Deel nu beide kanten van de vergelijking door +12, we krijgen:

x = –4/12 of x = –1/3

(het eerste deel van de vergelijking 12x gedeeld door 12 - we krijgen 12x/12 of gewoon x; het tweede deel van de vergelijking -4 gedeeld door +12 - we krijgen -4/12 of -1/3).

De laatste gelijkheid is de oplossing van de vergelijking, omdat deze aangeeft dat we voor x het getal –1/3 moeten nemen.

Voorbeeld 3. Oplossen met vergelijking

x – 23 = 3 (2x – 3)

Laten we eerst de haakjes openen en het volgende krijgen:
x – 23 = 6x – 9

Voeg +23 en –6x toe aan beide kanten van de vergelijking en we krijgen:

x – 23 + 23 – 6x = 6x – 9 + 23 – 6x.

Om vervolgens het proces van het oplossen van de vergelijking te versnellen, zullen we niet onmiddellijk de reductie van alle vergelijkbare termen uitvoeren, maar alleen opmerken dat de termen –23 en +23 aan de linkerkant van de vergelijking elkaar opheffen. en de termen +6x en –6x in het eerste deel heffen elkaar op. worden vernietigd - we krijgen:

x – 6x = –9 + 23.

Laten we deze vergelijking vergelijken met de oorspronkelijke: in het begin was er een vergelijking:

x – 23 = 6x – 9

Nu hebben we de vergelijking:

x – 6x = –9 + 23.

We zien dat het uiteindelijk bleek dat de term –23, die aanvankelijk aan de linkerkant van de vergelijking stond, nu naar de rechterkant van de vergelijking leek te bewegen, en dat het teken ervan veranderde (er stond een term –23 op de linkerkant van de initiële vergelijking, maar nu is het er niet, maar aan de rechterkant van de vergelijking staat een term + 23, die er voorheen niet was). Op dezelfde manier stond aan de rechterkant van de vergelijking een term +6x, nu staat die er niet meer, maar aan de linkerkant van de vergelijking is een term –6x verschenen, die er voorheen niet was. Als we vanuit dit gezichtspunt de voorbeelden 1 en 2 beschouwen, komen we tot een algemene conclusie:

U kunt elke term van de vergelijking van het ene deel naar het andere overbrengen door het teken van deze term te veranderen(we zullen dit in verdere voorbeelden gebruiken).

Dus als we terugkeren naar ons voorbeeld, hebben we de vergelijking

x – 6x = –9 + 23

Deel beide zijden van de vergelijking door –5. Dan krijgen we:

[–5x: (–5) we krijgen x] – dit is de oplossing voor onze vergelijking.

Voorbeeld 4. Los de vergelijking op:

Laten we ervoor zorgen dat er geen breuken in de vergelijking voorkomen. Voor dit doel zullen we een gemeenschappelijke noemer voor onze breuken vinden - de gemeenschappelijke noemer is het getal 24 - en beide kanten van onze vergelijking daarmee vermenigvuldigen (het is immers mogelijk om ervoor te zorgen dat de gelijkheid niet wordt geschonden, we kunnen alleen vermenigvuldigen beide zijden van de vergelijking met hetzelfde getal). Het eerste deel heeft 3 termen, en elke term is een breuk - daarom is het noodzakelijk om elke breuk met 24 te vermenigvuldigen: het tweede deel van de vergelijking is 0, en vermenigvuldig nul met 24 - we krijgen nul. Dus,

We zien dat elk van onze drie breuken, vanwege het feit dat deze wordt vermenigvuldigd met het gemeenschappelijke kleinste veelvoud van de noemers van deze breuken, zal worden gereduceerd en een hele uitdrukking zal worden, namelijk: we krijgen:

(3x – 8) 4 – (2x – 1) 6 + (x – 7) 3 = 0

Het is natuurlijk raadzaam om dit allemaal in gedachten te doen: we moeten ons voorstellen dat bijvoorbeeld de teller van de eerste breuk tussen haakjes wordt geplaatst en met 24 wordt vermenigvuldigd, waarna onze verbeeldingskracht ons zal helpen de reductie van deze breuk te zien. breuk (bij 6) en het eindresultaat, d.w.z. (3x – 8) · 4. Hetzelfde geldt voor andere breuken. Laten we nu de haakjes openen in de resulterende vergelijking (aan de linkerkant):

12x – 32 – 12x + 6 + 3x – 21 = 0

(Houd er rekening mee dat het hier nodig was om de binomiale 2x – 1 bij 6 te vermenigvuldigen en het resulterende product 12x – 6 af te trekken van het vorige, waardoor de tekens van de voorwaarden van dit product zouden moeten veranderen - erboven staat geschreven –12x +6). Laten we de bekende termen (d.w.z. –32, +6 en –21) van de linkerkant van de vergelijking naar de rechterkant verplaatsen, en (zoals we al weten) zouden de tekens van deze termen moeten veranderen - we krijgen:

12x – 12x + 3x = 32 – 6 + 21.

Laten we soortgelijke termen gebruiken:

(met vaardigheid moet je de benodigde termen onmiddellijk van het ene deel van de vergelijking naar het andere overbrengen en vergelijkbare termen gebruiken), en tenslotte beide kanten van de vergelijking delen door 3 - we krijgen:

x = 15(2/3) - dit is de oplossing van de vergelijking.

Voorbeeld 5. Los de vergelijking op:

5 – (3x + 1)/7 = x + (2x – 3)/5

Er zijn hier twee breuken en hun gemeenschappelijke noemer is 35. Om de vergelijking vrij te maken van breuken, vermenigvuldigen we beide zijden van de vergelijking met de gemeenschappelijke noemer 35. Elk deel van onze vergelijking heeft twee termen. Wanneer we elk deel met 35 vermenigvuldigen, moet elke term met 35 worden vermenigvuldigd - we krijgen:

De breuken worden verkleind en we krijgen:

175 – (3x + 1) 5 = 35x + (2x – 3) 7

(als je de vaardigheid had, zou je deze vergelijking natuurlijk meteen kunnen opschrijven).

Laten we alle stappen uitvoeren:

175 – 15x – 5 = 35x + 14x – 21.

Laten we alle onbekende termen van de rechterkant (d.w.z. termen +35x en +14x) naar links verplaatsen, en alle bekende termen van de linkerkant (d.w.z. termen +175 en –5) naar rechts - we mogen de overdracht niet vergeten leden veranderen van teken:

–15x – 35x – 14x = –21 – 175 + 5

(de term –15x, zoals die vroeger aan de linkerkant stond, blijft er nu in staan ​​- daarom zou het teken helemaal niet moeten veranderen; iets soortgelijks gebeurt voor de term –21). Nadat we vergelijkbare termen hebben gereduceerd, krijgen we:

–64x = –191.

[Het is mogelijk om ervoor te zorgen dat er geen minteken aan beide kanten van de vergelijking staat; Om dit te doen, vermenigvuldigen we beide zijden van de vergelijking met (–1), we krijgen 64x = 191, maar we hoeven dit niet te doen.]
Vervolgens delen we beide zijden van de vergelijking door (–64) en krijgen we een oplossing voor onze vergelijking

[Als we beide zijden van de vergelijking met (–1) hebben vermenigvuldigd en de vergelijking 64x = 191 hebben verkregen, moeten we nu beide zijden van de vergelijking delen door 64.]

Gebaseerd op wat we moesten doen in de voorbeelden 4 en 5, kunnen we vaststellen: het is mogelijk om de vergelijking vrij te maken van breuken - om dit te doen moeten we de gemeenschappelijke noemer vinden voor alle breuken die in de vergelijking zijn opgenomen (of de minst voorkomende veelvoud van de noemers van alle breuken) en vermenigvuldig beide met delen van de vergelijking - dan zouden de breuken moeten verdwijnen.

Voorbeeld 6. Los de vergelijking op:

Als we de 4x-term van de rechterkant van de vergelijking naar links verplaatsen, krijgen we:

5x – 4x = 0 of x = 0.

De oplossing is dus gevonden: voor x moeten we het getal nul nemen. Als we x in deze vergelijking vervangen door nul, krijgen we 5 0 = 4 0 of 0 = 0, wat aangeeft dat aan de vereiste is voldaan die door deze vergelijking wordt uitgedrukt: zoek een getal voor x zodat de monomial 5x blijkt te zijn gelijk aan dat hetzelfde getal als de monomiale 4x.

Als je vanaf het allereerste begin opmerkt dat beide zijden van de vergelijking 5x = 4x gedeeld kunnen worden door x en deze deling uitvoert, is het resultaat een duidelijke inconsistentie: 5 = 4! De reden hiervoor is dat het delen van 5x/x in dit geval niet mogelijk is, omdat, zoals we hierboven hebben gezien, de vraag die in onze vergelijking wordt uitgedrukt vereist dat x = 0, en delen door nul niet mogelijk is.

Laten we ook opmerken dat vermenigvuldigen met nul enige zorg vereist: vermenigvuldigen met nul en twee ongelijke getallen krijgen we als resultaat van deze vermenigvuldigingen gelijke producten, namelijk nullen.

Als we bijvoorbeeld de vergelijking hebben

x – 3 = 7 – x (zijn oplossing: x = 5)

en als iemand daarop de eigenschap wil toepassen ‘beide zijden van de vergelijking kunnen met hetzelfde getal worden vermenigvuldigd’ en beide zijden met x wil vermenigvuldigen, krijgt hij:

x 2 – 3x = 7x – x 2.

Hierna zul je misschien opmerken dat alle termen van de vergelijking een factor x bevatten, waaruit we kunnen concluderen dat we om deze vergelijking op te lossen het getal nul kunnen nemen, dat wil zeggen: x = 0. En inderdaad, dan krijgen we:
0 2 – 3 0 = 7 0 – 0 2 of 0 = 0.

Deze oplossing x = 0 is echter uiteraard niet geschikt voor de gegeven vergelijking x – 3 = 7 – x; Als we x door nul vervangen, krijgen we een duidelijke inconsistentie: 3 = 7!

GELIJKHEDEN MET HOEVEELHEDEN.

Nadat het kind vertrouwd is geraakt met de hoeveelheidskaarten van 1 tot 20, kunt u een tweede fase toevoegen aan de eerste fase van de training: gelijkheid met hoeveelheden.

Wat is gelijkheid? Dit is een rekenkundige bewerking en het resultaat ervan.

Je begint deze leerfase met het onderwerp 'Toevoeging'.

Toevoeging.

Door twee sets hoeveelheidskaarten te tonen, voegt u optellingsvergelijkingen toe.

Deze handeling is heel eenvoudig te leren. Sterker nog, uw kind is hier al enkele weken aan toe. Elke keer dat je hem een ​​nieuwe kaart laat zien, ziet hij immers dat er een extra stip op is verschenen.

De baby weet nog niet hoe het heet, maar heeft wel al een idee van wat het is en hoe het werkt.

Je hebt al materiaal voor toevoegingsvoorbeelden op de achterkant van elke kaart.

Technologie om gelijkheid te tonen ziet er ongeveer zo uit: Je wilt het kind de gelijkheid geven: 1 +2 = 3. Hoe kun je dat laten zien?

Voordat u met de les begint, legt u drie kaarten met de afbeelding naar beneden op uw schoot, de een op de ander. De bovenste kaart oppakken met één knokkelspaak, bijvoorbeeld "een", leg het dan opzij en zeg het "plus", laat bijvoorbeeld een kaart zien met twee dominostenen "twee", leg het opzij na het woord "zullen", laat een kaart zien met drie dominostenen, zeggende "drie".

Per dag geef je drie lessen met gelijkheden en bij elke les laat je drie verschillende gelijkheden zien. In totaal ziet de baby negen verschillende gelijkheden per dag.

Het kind begrijpt zonder enige uitleg wat het woord betekent "plus", hij leidt zelf de betekenis ervan af uit de context. Door acties uit te voeren, demonstreer je daardoor sneller dan welke uitleg dan ook de ware betekenis van optellen. Wanneer u over gelijkheid spreekt, hanteer dan altijd dezelfde manier van presenteren en gebruik dezelfde termen. Gezegd hebbende "Eén plus twee is drie" praat niet later “Twee opgeteld bij één is drie.” Als je een kind feiten leert, trekt hij zijn eigen conclusies en leert hij de regels. Als je de voorwaarden verandert, heeft het kind alle reden om te denken dat de regels ook zijn veranderd.

Bereid van tevoren alle kaarten voor die nodig zijn voor een bepaalde gelijkheid. Denk niet dat uw kind rustig zal zitten kijken hoe u door een stapel kaarten snuffelt en de kaarten selecteert die u nodig heeft. Hij zal gewoon wegrennen en gelijk krijgen, aangezien zijn tijd niet minder waard is dan die van jou.

Probeer geen gelijkheden te creëren die iets gemeenschappelijks hebben en het kind in staat stellen deze van tevoren te voorspellen (dergelijke gelijkheden kunnen later worden gebruikt). Hier is een voorbeeld van dergelijke gelijkheden:

Het is veel beter om deze te gebruiken:

1 +2 = 3 5+6=11 4 + 8 = 12

Het kind moet de wiskundige essentie zien; hij ontwikkelt wiskundige vaardigheden en concepten. Na ongeveer twee weken ontdekt de baby wat optellen is: gedurende deze tijd heb je hem immers 126 verschillende vergelijkingen voor optellen laten zien.

Inspectie.

Controleren op in dit stadium vertegenwoordigt de oplossing voor de voorbeelden.

Hoe verschilt een voorbeeld van een gelijkheid?
Gelijkheid is een actie waarvan het resultaat aan het kind wordt getoond.

Een voorbeeld is een uit te voeren actie. In ons geval laat je het kind twee antwoorden zien, en hij kiest de juiste, d.w.z. lost het voorbeeld op.

Je kunt na een reguliere les een voorbeeld plaatsen met drie optellingsvergelijkingen. Je laat het voorbeeld zien op dezelfde manier waarop je eerder gelijkheid hebt aangetoond. Dat wil zeggen, je herschikt de kaarten in je handen en zegt ze allemaal hardop. Bijvoorbeeld: “twintig plus tien is dertig of vijfenveertig?” en laat het kind twee kaarten zien, waarvan er één het juiste antwoord heeft.

Kaarten met antwoorden moeten op dezelfde afstand van de ogen van de baby worden gehouden en er mogen geen aanmoedigende acties worden toegestaan.

Bij het maken van de juiste keuze kind, je drukt krachtig je vreugde uit, kust en prijst hem.

Als je het verkeerde antwoord kiest, zonder je teleurstelling te uiten, duw je de kaart met het juiste antwoord naar de baby toe en stel je de vraag: “Het worden er dertig, nietwaar?” Op zo’n vraag antwoordt het kind meestal bevestigend. Zorg ervoor dat u uw kind prijst voor dit juiste antwoord.

Welnu, als uw kind er van de tien voorbeelden minstens zes correct oplost, dan is het zeker tijd om verder te gaan met aftrekkingsvergelijkingen!

Als u het niet nodig vindt om uw kind te controleren (en terecht!), ga dan na 10-14 dagen toch verder met aftrekken!

Overweeg -Aftrekken.

Je stopt met optellen en schakelt volledig over op aftrekken. Geef drie dagelijkse lessen met elk drie verschillende gelijkheden.

Druk aftrekkingsvergelijkingen als volgt uit: “Twaalf min zeven is vijf.”

Tegelijkertijd blijf je ook drie keer per dag hoeveelheidskaarten (twee sets van elk vijf kaarten) tonen. In totaal heb je dagelijks negen zeer korte lessen. Je werkt dus maximaal twee weken.

Inspectie

Testen kan, net als bij optellen, het oplossen van voorbeelden inhouden door één antwoord uit twee te kiezen.

Overweeg-vermenigvuldiging.

Vermenigvuldigen is niets anders dan herhaaldelijk optellen, dus deze handeling zal voor uw kind geen grote ontdekking zijn. Terwijl je doorgaat met het bestuderen van de hoeveelheidskaarten (twee sets van elk vijf kaarten), krijg je de mogelijkheid om te maken.

Druk vermenigvuldigingsgelijken als volgt uit: “Twee keer drie is zes.”

Het kind zal het woord begrijpen "vermenigvuldigen" zo snel als hij dit woord voorheen begreep "plus" En "minus".

Je geeft nog steeds drie lessen per dag, die elk drie verschillende bevatten. Deze werkzaamheden duren maximaal twee weken.

Blijf voorspelbare gelijkheid vermijden. Bijvoorbeeld, zoals:

Het is noodzakelijk om uw kind voortdurend in een staat van verrassing en verwachting van iets nieuws te houden. De belangrijkste vraag voor hem zou moeten zijn: "Wat is het volgende?"- en bij elke les zou hij er een nieuw antwoord op moeten krijgen.

Inspectie

Je lost de voorbeelden op dezelfde manier op als in het onderwerp “Optellen” en “Aftrekken”. Als uw kind de spelletjes van het aanvinken van vakjes met hoeveelheidskaarten leuk vond, kunt u ze blijven spelen en zo nieuwe herhalen, grote hoeveelheden.

Als je je aan het schema houdt dat we hebben voorgesteld, kun je tegen die tijd al de eerste fase van het leren van wiskunde voltooien - studieaantallen binnen 100. Nu is het tijd om kennis te maken met de kaart die kinderen het leukst vinden.

Laten we eens kijken naar het concept van nul.

Ze zeggen dat wiskundigen het idee van nul al vijfhonderd jaar bestuderen. Of dit nu waar is of niet, maar kinderen, die nauwelijks het idee van kwantiteit hebben geleerd, begrijpen onmiddellijk de betekenis ervan. volledige afwezigheid. Ze zijn gewoon dol op nul, en je reis naar de wereld van cijfers zal onvolledig zijn als je je baby geen kaart laat zien waarop helemaal geen stippen staan ​​(dat wil zeggen: het zal een volledig blanco kaart zijn).

Om de kennismaking van uw kind met nul leuk en interessant te maken, kunt u de weergave van de kaart begeleiden met een raadsel:

Thuis zijn er zeven baby-eekhoorntjes. Op het bord liggen zeven honingpaddestoelen. Alle paddenstoelen aten de eekhoorns. Wat ligt er nog op het bord?

Bij het uitspreken van de laatste zin laten we de “nul”-kaart zien.

Je zult het bijna elke dag gebruiken. Het zal nuttig zijn voor optel-, aftrekkings- en vermenigvuldigingsbewerkingen.

Je kunt een week lang met de “nul”-kaart werken. Het kind beheerst dit onderwerp snel. Net als voorheen geef je overdag drie lessen. Bij elke les laat u uw kind drie verschillende gelijkheden zien voor optellen, aftrekken en vermenigvuldigen met nul. In totaal krijg je negen gelijkheden per dag.

Inspectie

Het oplossen van voorbeelden met nul volgt een bekend patroon.

Overweeg -Divisie.

Als je alle hoeveelheidskaarten van 0 tot en met 100 hebt ingevuld, heb je al het benodigde materiaal voor de verdelingsvoorbeelden met hoeveelheden.

De technologie voor het weergeven van gelijkheden voor dit onderwerp is hetzelfde. Elke dag geef je drie lessen. Bij elke les laat u uw kind drie verschillende gelijkheden zien. Het is goed als de passage van dit materiaal niet langer duurt dan twee weken.

Inspectie

De test bestaat uit het oplossen van voorbeelden waarbij één uit twee antwoorden wordt gekozen.

Als je alle hoeveelheden hebt doorgenomen en bekend bent met de vier rekenregels, kun je je studie op alle mogelijke manieren diversifiëren en ingewikkelder maken. Toon eerst de gelijkheden waarbij één rekenkundige bewerking wordt gebruikt: alleen optellen, aftrekken, vermenigvuldigen of delen.

Dan - gelijkheden waarbij optellen en aftrekken of vermenigvuldigen en delen worden gecombineerd:

20 + 8-10=18 9-2 + 26 = 33 47+11-50 = 8

Om niet in de war te raken in de kaarten, kun je de manier waarop je lessen geeft veranderen. Nu is het niet nodig om elke breinaaldenkaart te laten zien; je kunt alleen het antwoord laten zien en alleen de acties zelf uitspreken. Hierdoor worden je lessen korter. Je zegt eenvoudigweg tegen het kind: ‘Tweeëntwintig gedeeld door elf, gedeeld door twee is één’- en laat hem de “één”-kaart zien.

In dit onderwerp kunt u gelijkheden gebruiken waartussen een bepaald patroon bestaat.

Bijvoorbeeld:

2*2*3= 12 2*2*6=24 2*2*8=32

Wanneer u vier rekenkundige bewerkingen combineert in een gelijkheid, onthoud dan dat vermenigvuldigen en delen aan het begin van de gelijkheid moeten worden geplaatst:

Wees niet bang om gelijkheden te tonen, waarvan er bijvoorbeeld meer dan honderd zijn.

tussenresultaat in

42 * 3 - 36 = 90,

waarbij het tussenresultaat 126 is (42 * 3 = 126)

Je baby zal het geweldig met ze doen!

De test bestaat uit het oplossen van voorbeelden waarbij één uit twee antwoorden wordt gekozen. U kunt een voorbeeld demonstreren door alle gelijkheidskaarten en twee kaarten voor het kiezen van een antwoord te laten zien, of u kunt eenvoudigweg de hele gelijkheid zeggen, waarbij u slechts twee kaarten voor het antwoord aan uw kind laat zien.

Herinneren! Hoe langer je studeert, hoe sneller je nieuwe onderwerpen moet introduceren. Zodra je de eerste tekenen van onoplettendheid of verveling van een kind opmerkt, ga dan verder met een nieuw onderwerp. Na een tijdje kun je terugkeren naar het vorige onderwerp (maar om kennis te maken met de gelijkheden die nog niet zijn getoond).

Opeenvolgingen

Reeksen zijn dezelfde gelijkheden. Uit de ervaringen van ouders met dit onderwerp is gebleken dat kinderen reeksen erg interessant vinden.

Plusreeksen zijn toenemende reeksen. Reeksen met een minpunt nemen af.

Hoe gevarieerder de reeksen zijn, hoe interessanter ze zijn voor de baby.

Hier zijn enkele voorbeelden van reeksen:

3,6,9,12,15,18,2 (+3)

4, 8, 12, 16, 20, 24, 28 (+4)

5,10,15,20,25,30,35 (+5)

100,90,80,70,60,50,40 (-10)

72, 70, 68, 66, 64, 62, 60 (-2)

95,80,65,50,35,20,5 (-15)

Technologie het tonen van reeksen kan er zo uitzien. Je hebt drie reeksen voor plus voorbereid.

Kondig het onderwerp van de les aan het kind aan, leg de kaarten van de eerste reeks één voor één op de grond en spreek ze uit.

Ga met uw kind naar een andere hoek van de kamer en leg de tweede reeks op dezelfde manier neer.

In de derde hoek van de kamer leg je de derde reeks neer, terwijl je deze inspreekt.

Reeksen kunnen ook onder elkaar worden geplaatst, waarbij er gaten tussen worden gelaten.

Probeer altijd vooruit te gaan, van eenvoudig naar complex. Varieer met de activiteiten: zeg soms hardop wat je laat zien, en laat de kaarten soms in stilte zien. Hoe dan ook, het kind ziet de reeks voor zich ontvouwen.

Voor elke reeks moet je minimaal zes kaarten gebruiken, soms meer, om het voor het kind gemakkelijker te maken het principe van de reeks zelf te bepalen.

Zodra je de schittering in de ogen van het kind ziet, probeer dan een voorbeeld toe te voegen aan de drie reeksen (d.w.z. zijn kennis testen).

Je laat een voorbeeld als volgt zien: eerst leg je de hele reeks neer, zoals je gewoonlijk doet, en aan het einde pak je twee kaarten (de ene kaart is de volgende in de reeks, en de andere is willekeurig) en vraagt het kind: “Welke is de volgende?”

Leg de kaarten eerst achter elkaar neer, daarna kunt u de lay-outvormen wijzigen: plaats de kaarten in een cirkel, rond de omtrek van de kamer, enz.

Naarmate je beter en beter wordt, wees dan niet bang om vermenigvuldiging en deling in je reeksen te gebruiken.

Voorbeelden van reeksen:

4; 6; 8; 10; 12; 14 - in deze reeks wordt elk volgend getal met 2 verhoogd;

2; 4; 7; 14; 17; 34 - in deze reeks wisselen vermenigvuldiging en optelling elkaar af (x 2; + 3);

2; 4; 8; 16; 32; 64 - in deze reeks wordt elk volgend getal 2 keer verhoogd;

22; 18; 14; 10; 6; 2 - in deze reeks wordt elk volgend getal met 4 verminderd;

84; 42; 40; 20; 18; 9 - in deze reeks wisselen delen en aftrekken elkaar af (: 2; - 2);

Tekent "groter dan", "kleiner dan"

Deze kaarten zijn opgenomen in 110 kaarten met cijfers en tekens (het tweede onderdeel van de ANASTA-methode).

De lessen om uw kind kennis te laten maken met de concepten ‘meer en minder’ zullen erg kort zijn. Het enige wat je hoeft te doen is drie kaarten laten zien.

Weergavetechnologie

Ga op de grond zitten en leg elke kaart voor het kind neer, zodat hij alle drie de kaarten tegelijk kan zien. Je geeft elke kaart een naam.

Je kunt het zo zeggen: "zes is meer dan drie" of "zes is meer dan drie."

Bij elke les laat u er drie aan uw kind zien verschillende opties ongelijkheid met

kaarten "meer" - "minder". ongelijkheid per dag.

Je laat dus negen verschillende zien

Net als voorheen laat je elke ongelijkheid slechts één keer zien.

Na een paar dagen kun je een voorbeeld toevoegen aan de drie shows. Het is al inspectie, en het gaat zo:

Plaats vooraf voorbereide kaarten op de grond, bijvoorbeeld een kaart met het nummer “68” en een kaart met een “meer” -teken. Vraag je baby: ‘Achtenzestig is groter dan welk getal?’ of “Is achtenzestig meer dan vijftig of vijfennegentig?” Nodig uw kind uit om uit twee kaarten degene te kiezen die hij nodig heeft. U (of hijzelf) plaatst de juiste kaart aangegeven door het kind achter het bordje ‘meer’.

U kunt twee kaartjes met hoeveelheden voor het kind leggen en hem de kans geven het bordje te kiezen dat daarbij past, dat wil zeggen: > of<.

Gelijkheid en ongelijkheid

Gelijkheid en ongelijkheid zijn net zo gemakkelijk te onderwijzen als de concepten ‘meer’ en ‘minder’.

Je hebt zes rekenkundige symboolkaarten nodig. Je vindt ze ook als onderdeel van 110 kaarten met cijfers en tekens (het tweede onderdeel van de ANASTA-methode).

Weergavetechnologie

U heeft besloten uw kind de volgende twee ongelijkheden en één gelijkheid te laten zien:

8-6<10 −7 11-3= 9 −1 55-12^50 −13

Je plaatst ze achter elkaar op de grond, zodat het kind ze allemaal tegelijk kan zien. Tegelijkertijd zeg je van alles, bijvoorbeeld: "Acht min zes is niet gelijk aan tien min zeven."

Op dezelfde manier spreek je de resterende gelijkheid en ongelijkheid uit tijdens het opmaken.

In de beginfase van het onderwijzen van dit onderwerp worden alle kaarten neergelegd.

Dan mag je alleen ‘gelijke’ en ‘niet gelijke’ kaarten tonen.

De ene dag geef je je kind de kans om zijn kennis te laten zien. Je legt kaarten met hoeveelheden neer en vraagt ​​hem om te kiezen welke kaart met welk teken geplaatst moet worden: ‘gelijk’ of ‘niet gelijk’.

Voordat u met uw kind algebra gaat leren, moet u hem kennis laten maken met het concept van een variabele die wordt weergegeven door een letter.

De letter x wordt vaak gebruikt in de wiskunde, maar omdat deze gemakkelijk kan worden verward met het vermenigvuldigingsteken, wordt aanbevolen om y te gebruiken.

Je plaatst eerst een kaart met vijf dominokralen, dan een plusteken (+), gevolgd door een y-teken, dan een gelijkteken en ten slotte een kaart met zeven dominokralen. Dan stel je de vraag: ‘Wat bedoel je hier?’

En je beantwoordt het zelf: "In deze vergelijking betekent het twee."

Inspectie:

Na ongeveer één tot anderhalve week les kunt u uw kind in deze fase de kans geven een antwoord te kiezen.

VIERDE FASE VAN GELIJKHEID MET CIJFERS EN HOEVEELHEDEN

Wanneer je de cijfers 1 tot en met 20 hebt doorlopen, is het tijd om “bruggen te bouwen” tussen cijfers en hoeveelheden. Er zijn veel manieren om dit te doen. Een van de eenvoudigste is het gebruik van gelijkheden en ongelijkheden, de relaties tussen ‘meer’ en ‘minder’, gedemonstreerd met behulp van kaarten met cijfers en dominostenen.

Weergavetechnologie.

Neem een ​​kaart met het getal 12, leg deze op de grond, plaats er een ‘groter dan’-bordje naast en vervolgens een kaart met het getal 10, terwijl je zegt: ‘Twaalf is meer dan tien.’

Ongelijkheid (gelijkheid) kan er als volgt uitzien:

Elke (gelijkheden)dag bestaat uit drie lessen, en elke les bestaat uit drie ongelijkheden in hoeveelheden en getallen. Het totale aantal dagelijkse gelijkheden zal negen zijn. Tegelijkertijd blijf je getallen bestuderen met behulp van twee sets van elk vijf kaarten, ook drie keer per dag.

Inspectie.

U kunt uw kind de mogelijkheid geven om kaartjes ‘meer dan’, ‘kleiner dan’, ‘gelijk aan’ te kiezen of een voorbeeld zo maken dat het kind het zelf kan afmaken. We plaatsen bijvoorbeeld een cijferkaart 7, vervolgens een "groter dan"-teken en geven het kind de kans om het voorbeeld aan te vullen, dat wil zeggen: kies een cijferkaart, bijvoorbeeld 9, of een cijferkaart, bijvoorbeeld 5.

Nadat het kind het verband tussen hoeveelheden en getallen begrijpt, kunt u beginnen met het oplossen van gelijkheden met behulp van kaarten met zowel getallen als hoeveelheden.

Gelijkheid met getallen en hoeveelheden.

Aan de hand van kaarten met getallen en hoeveelheden doorloop je al bekende onderwerpen: optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, delen, reeksen, gelijkheden en ongelijkheden, breuken, vergelijkingen, gelijkheden in twee of meer bewerkingen.

Als je zorgvuldig naar het geschatte wiskundelesschema kijkt (p. 20), zul je zien dat er geen einde komt aan de lessen. Bedenk uw eigen voorbeelden voor het ontwikkelen van het mentale tellen van een kind, correleer hoeveelheden met echte voorwerpen (noten, lepels voor gasten, stukjes gehakte banaan, brood, enz.) - kortom: durf, creëer, bedenk, probeer! En het zal je lukken!

- (gelijkheid verouderd), gelijkheid, vgl. (boek). 1. Alleen eenheden afgeleid zelfstandig naamwoord gelijkheid, gelijkheid, volledige gelijkenis (in grootte, kwaliteit, waardigheid, enz.). “Zonder collectieve boerderijen is er ongelijkheid, binnen collectieve boerderijen is er gelijkheid van rechten.” Stalin. Gelijkheid van macht. Gelijkwaardigheid... ... Ushakovs verklarend woordenboek

- (gelijkheid) Feitelijke en/of normatieve bewering van gelijke competentie of gelijke status van personen, die aanleiding geeft tot het recht op eerlijke verdeling (verdelende rechtvaardigheid). Quasi-empirische gelijkheid van individuen verwijst naar puur fysieke... ... Politieke wetenschappen. Woordenboek.

Alle mensen worden vrij en gelijk in waardigheid en rechten geboren. Universele Verklaring van de Rechten van de Mens (1948) Alle mensen worden gelijk geboren en vechten hiertegen tot aan hun dood. Leszek Kumor Mensen worden vrij en ongelijk geboren. Grant Allen... ... Geconsolideerde encyclopedie van aforismen

Een van de basisconcepten van de sociale filosofie en het sociale leven zelf. De basis voor alle soorten R. is de formele R., die afhankelijk van het toepassingsgebied en de keuze van de waardegrondslag van egalisatie verschillende inhoudelijke... ... Filosofische encyclopedie

Sociaal, een kenmerk van een bepaalde sociale staat, een integraal onderdeel van veel sociale idealen. De eis voor politieke en sociale gelijkheid speelde een actieve, vaak revolutionaire rol in het historische proces. Het stoïcisme ontwikkelde zich... ... Moderne encyclopedie

Sociaal kenmerk van een bepaalde sociale staat, een integraal onderdeel van veel sociale idealen. De eis voor politieke en sociale gelijkheid speelde een actieve, vaak revolutionaire rol in het historische proces. Het stoïcisme ontwikkelde zich... ...

- (gelijkheid) Dezelfde waarde hebben. Aangegeven door het gelijkteken (=) en van toepassing op getallen of algebraïsche uitdrukkingen. Als x en y reële getallen zijn, betekent x=y dat x en y hetzelfde zijn. Als x en y complex zijn... ... Economisch woordenboek

Gelijkwaardigheid- Gelijkheid ♦ Égalité Twee wezens zijn gelijk als ze even groot zijn of dezelfde hoeveelheid van iets hebben. Het concept krijgt dus slechts relatief betekenis en veronderstelt de aanwezigheid van een bepaalde referentiewaarde. Dus wij zeggen... Sponville's filosofisch woordenboek

Cm … Synoniem woordenboek

gelijkwaardigheid- 1. Volledige gelijkenis, gelijkenis (in grootte, kwaliteit, waardigheid). 2. Een kwalitatief concept dat in de economie wordt gebruikt in de zin van “inkomensgelijkheid”, “eigendomsgelijkheid”, “gelijkheid van kansen”, zodat... ... Handleiding voor technische vertalers

In de logica en de wiskunde is dit de relatie van de onderlinge vervangbaarheid van objecten, die juist vanwege deze vervangbaarheid als gelijkwaardig worden beschouwd (a = b). De gelijkheidsrelatie heeft de eigenschappen van reflexiviteit (elk object is gelijk aan zichzelf), symmetrie (als een ... Groot encyclopedisch woordenboek

Boeken

• Gelijkheid, Danny Dorling. Het boek "Gelijkheid" van Danny Dorling is rijk aan zeer interessante ideeën. Grotere gelijkheid verbetert de feitelijke levenskwaliteit van de overgrote meerderheid van de bevolking. Het verbetert de kwaliteit...