Het onderwerp "De hoekcoëfficiënt van de raaklijn als de raaklijn van de hellingshoek" in het certificeringsexamen krijgt meerdere taken tegelijk. Afhankelijk van hun toestand kan van de afgestudeerde worden verlangd dat hij zowel een volledig als een kort antwoord geeft. Bij de voorbereiding op het examen wiskunde moet de student zeker de taken herhalen waarbij het nodig is om de helling van de raaklijn te berekenen.

Het educatieve portaal Shkolkovo helpt u hierbij. Onze experts hebben theoretisch en praktisch materiaal zo toegankelijk mogelijk voorbereid en gepresenteerd. Nadat ze er kennis mee hebben gemaakt, zullen afgestudeerden van elk opleidingsniveau in staat zijn om met succes problemen op te lossen die verband houden met afgeleiden, waarbij het nodig is om de raaklijn van de helling van de raaklijn te vinden.

Basismomenten

Om de juiste en rationele oplossing voor dergelijke taken in het USE te vinden, is het noodzakelijk om de basisdefinitie in herinnering te brengen: de afgeleide is de snelheid waarmee de functie verandert; het is gelijk aan de raaklijn van de helling van de raaklijn die op een bepaald punt aan de grafiek van de functie wordt getrokken. Het is net zo belangrijk om de tekening te voltooien. Hiermee kunt u de juiste oplossing vinden voor de USE-problemen op de afgeleide, waarbij het nodig is om de raaklijn van de helling van de raaklijn te berekenen. Voor de duidelijkheid kun je het beste een grafiek in het OXY-vlak tekenen.

Als u al vertrouwd bent met het basismateriaal over het onderwerp afgeleide en klaar bent om problemen op te lossen voor het berekenen van de raaklijn van de helling van de raaklijn, vergelijkbaar met de USE-taken, kunt u dit online doen. Voor elke taak, bijvoorbeeld taken over het onderwerp "Relatie van de afgeleide met de snelheid en versnelling van het lichaam", hebben we het juiste antwoord en het oplossingsalgoritme opgeschreven. In dit geval kunnen studenten oefenen met het uitvoeren van taken van verschillende niveaus van complexiteit. Indien nodig kan de oefening worden opgeslagen in de sectie "Favorieten", zodat u de beslissing later met de docent kunt bespreken.

In de wiskunde is een van de parameters die de positie van een rechte lijn op het cartesiaanse coördinatenvlak beschrijft de helling van deze rechte lijn. Deze parameter karakteriseert de helling van de rechte lijn naar de x-as. Om te begrijpen hoe u de helling kunt vinden, moet u eerst de algemene vorm van de vergelijking van een rechte lijn in het XY-coördinatensysteem in gedachten houden.

Over het algemeen kan elke lijn worden weergegeven met de uitdrukking ax+by=c, waarbij a, b en c willekeurige reële getallen zijn, maar noodzakelijkerwijs a 2 + b 2 ≠ 0.

Met behulp van eenvoudige transformaties kan een dergelijke vergelijking in de vorm y=kx+d worden gebracht, waarbij k en d reële getallen zijn. Het getal k is een helling, en de vergelijking van een dergelijke rechte lijn wordt een vergelijking met een helling genoemd. Het blijkt dat om de helling te vinden, je alleen maar de originele vergelijking naar de bovenstaande vorm hoeft te brengen. Overweeg een specifiek voorbeeld voor een beter begrip:

Taak: Zoek de helling van de lijn gegeven door de vergelijking 36x - 18y = 108

Oplossing: Laten we de oorspronkelijke vergelijking transformeren.

Antwoord: De gewenste helling van deze lijn is 2.

Als we tijdens de transformatie van de vergelijking een uitdrukking hebben verkregen van het type x = const en als gevolg daarvan kunnen we y niet weergeven als functie van x, dan hebben we te maken met een rechte lijn evenwijdig aan de X-as. zo'n rechte lijn is gelijk aan oneindig.

Voor lijnen die worden uitgedrukt door een vergelijking als y = const, is de helling nul. Dit is typisch voor rechte lijnen evenwijdig aan de x-as. Bijvoorbeeld:

Taak: Zoek de helling van de lijn gegeven door de vergelijking 24x + 12y - 4(3y + 7) = 4

Oplossing: We brengen de oorspronkelijke vergelijking naar een algemene vorm

24x + 12j - 12j + 28 = 4

Het is onmogelijk om y uit te drukken op basis van de resulterende uitdrukking, daarom is de helling van deze lijn gelijk aan oneindig, en zal de lijn zelf evenwijdig zijn aan de Y-as.

geometrische zin

Laten we voor een beter begrip naar de afbeelding kijken:

In de figuur zien we een grafiek van een functie van het type y = kx. Ter vereenvoudiging nemen we de coëfficiënt c = 0. In de driehoek OAB zal de verhouding van de zijde BA tot AO gelijk zijn aan de helling k. Tegelijkertijd is de verhouding BA / AO de raaklijn van een scherpe hoek α in een rechthoekige driehoek OAB. Het blijkt dat de helling van een rechte lijn gelijk is aan de raaklijn van de hoek die deze rechte lijn maakt met de x-as van het coördinatenrooster.

Als we het probleem oplossen van hoe we de helling van een rechte lijn kunnen vinden, vinden we de raaklijn van de hoek tussen deze lijn en de x-as van het coördinatenraster. De grensgevallen, wanneer de beschouwde lijn evenwijdig is aan de coördinaatassen, bevestigen het bovenstaande. Voor een rechte lijn beschreven door de vergelijking y=const is de hoek tussen deze lijn en de x-as gelijk aan nul. De raaklijn van de nulhoek is ook nul en de helling is ook nul.

Voor rechte lijnen loodrecht op de x-as en beschreven door de vergelijking x=const, is de hoek tussen deze lijnen en de x-as 90 graden. De raaklijn van een rechte hoek is gelijk aan oneindig, en de helling van soortgelijke rechte lijnen is gelijk aan oneindig, wat bevestigt wat hierboven is geschreven.

Tangente helling

Een veel voorkomende, in de praktijk vaak voorkomende taak is ook om op een gegeven moment de helling van de raaklijn aan de functiegrafiek te vinden. De raaklijn is een rechte lijn, daarom is het concept van helling er ook op van toepassing.

Om erachter te komen hoe we de helling van een raaklijn kunnen vinden, moeten we ons het concept van een afgeleide herinneren. De afgeleide van elke functie op een bepaald punt is een constante numeriek gelijk aan de raaklijn van de hoek die zich vormt tussen de raaklijn op het opgegeven punt aan de grafiek van deze functie en de abscis-as. Het blijkt dat om de helling van de raaklijn op het punt x 0 te bepalen, we de waarde van de afgeleide van de oorspronkelijke functie op dit punt k \u003d f "(x 0) moeten berekenen. Laten we een voorbeeld bekijken:

Taak: Zoek de helling van de lijn die raakt aan de functie y = 12x 2 + 2xe x bij x = 0,1.

Oplossing: Vind de afgeleide van de oorspronkelijke functie in algemene vorm

y "(0,1) = 24. 0.1 + 2. 0.1. e 0.1 + 2. e 0.1

Antwoord: De gewenste helling op het punt x = 0,1 is 4,831

Laten we op een vlak met een rechthoekig Cartesisch coördinatensysteem een ​​rechte lijn noemen l gaat door het punt M 0 evenwijdig aan de richtingsvector A (Afb. 96).

Als het recht is l kruist de O-as X(in punt N), en vervolgens onder een hoek van een rechte lijn l met O-as X we zullen de hoek α begrijpen waarmee het nodig is om de as O te roteren X rond het punt N in de richting tegengesteld aan de rotatie van de wijzer, zodat de as O X viel samen met de lijn l. (Dit verwijst naar een hoek van minder dan 180°.)

Deze hoek heet hellingsgraad direct. Als het recht is l evenwijdig aan de O-as X, dan wordt aangenomen dat de hellingshoek nul is (Fig. 97).

De raaklijn van de helling van een rechte lijn wordt genoemd helling van een rechte lijn en wordt meestal aangeduid met de letter k:

tga = k. (1)

Als α = 0, dan k= 0; dit betekent dat de lijn evenwijdig is aan de o-as X en de helling ervan is nul.

Als α = 90°, dan k= tg α heeft geen zin: dit betekent dat de lijn loodrecht op de O-as staat X(d.w.z. evenwijdig aan de O-as bij), heeft geen helling.

De helling van een rechte lijn kan worden berekend als de coördinaten van twee willekeurige punten van deze rechte lijn bekend zijn. Laten we twee punten van een rechte lijn geven: M 1 ( X 1 ; bij 1) en M2 ( X 2 ; bij 2) en laat bijvoorbeeld 0 zijn< α < 90°, а X 2 > X 1 , bij 2 > bij 1 (Afb. 98).

Dan vinden we uit een rechthoekige driehoek M 1 RM 2

$$ k=tga = \frac(|M_2 P|)(|M_1 P|) = \frac(y_2 - y_1)(x_2 - x_1) $$

$$ k=\frac(y_2 - y_1)(x_2 - x_1) \;\; (2)$$

Op dezelfde manier bewijzen we dat formule (2) ook waar is in het geval van 90°< α < 180°.

Formule (2) verliest zijn betekenis als X 2 - X 1 = 0, d.w.z. als de lijn l evenwijdig aan de O-as bij. Voor dergelijke lijnen bestaat de helling niet.

Taak 1. Bepaal de helling van de prima die door de punten gaat

M1 (3; -5) en M2 (5; -7).

Door de coördinaten van de punten M 1 en M 2 in formule (2) te vervangen, verkrijgen we

\(k=\frac(-7-(-5))(5-3) \) of k = -1

Taak 2. Bepaal de helling van de rechte lijn die door de punten M 1 (3; 5) en M 2 (3; -2) gaat.

Omdat X 2 - X 1 = 0, dan verliest gelijkheid (2) zijn betekenis. Want deze directe helling bestaat niet. De rechte lijn M 1 M 2 is evenwijdig aan de O-as bij.

Taak 3. Bepaal de helling van de rechte lijn die door de oorsprong en het punt M 1 gaat (3; -5)

In dit geval valt het punt M2 samen met de oorsprong. Door formule (2) toe te passen, verkrijgen we

$$ k=\frac(y_2 - y_1)(x_2 - x_1)=\frac(0-(-5))(0-3)= -\frac(5)(3); \;\; k= -\frac(5)(3) $$

Stel de vergelijking op van een rechte lijn met een helling k door het punt gaan

M1 ( X 1 ; bij 1). Volgens formule (2) wordt de helling van een rechte lijn gevonden op basis van de coördinaten van de twee punten. In ons geval is het punt M 1 gegeven, en als tweede punt kun je elk punt M( X; bij) van de gewenste regel.

Als het punt M op een rechte lijn ligt die door het punt M 1 gaat en een helling heeft k, dan hebben we met formule (2).

$$ \frac(y-y_1)(x-x_1)=k \;\; (3) $$

Als het punt M niet op een rechte lijn ligt, geldt gelijkheid (3) niet. Daarom is gelijkheid (3) de vergelijking van een rechte lijn die door het punt M 1 ( X 1 ; bij 1) met helling k; deze vergelijking wordt meestal geschreven als

j- j 1 = k(X - X 1). (4)

Als de lijn de O-as snijdt bij op een gegeven moment (0; B), dan neemt vergelijking (4) de vorm aan

bij - B = k (X- 0),

j = kx + b. (5)

Deze vergelijking wordt genoemd vergelijking van een rechte lijn met helling k en initiële ordinaat b.

Taak 4. Bereken de hellingshoek van een rechte lijn √3 x+ 3bij - 7 = 0.

We brengen deze vergelijking naar de vorm

$$ y= =\frac(1)(\sqrt3)x + \frac(7)(3) $$

Vandaar, k= tg α = - 1 / √ 3 , vandaar α = 150°

Taak 5. Stel de vergelijking op van een rechte lijn die door het punt P (3; -4) gaat, met een helling k = 2 / 5

Vervanging k = 2 / 5 , X 1 = 3, j 1 = - 4 in vergelijking (4), krijgen we

bij - (- 4) = 2 / 5 (X- 3) of 2 X - 5bij - 26 = 0.

Taak 6. Stel de vergelijking samen van een rechte lijn die door het punt Q (-3; 4) gaat en een component met een positieve richting van de O-as X hoek 30°.

Als α = 30°, dan k= bruin 30° = √ 3 / 3 . Vervanging van de waarden in vergelijking (4). X 1 , j 1 en k, we krijgen

bij -4 = √ 3 / 3 (X+ 3) of √3 X-3j + 12 + 3√3 = 0.

Numeriek gelijk aan de raaklijn van de hoek (die de kleinste rotatie vormt van de Ox-as naar de Oy-as) tussen de positieve richting van de x-as en de gegeven rechte lijn.

De tangens van een hoek kan worden berekend als de verhouding tussen het tegenoverliggende been en het aangrenzende been. k is altijd gelijk aan , dat wil zeggen de afgeleide van de rechte lijnvergelijking met betrekking tot X.

Met positieve waarden van de hoekcoëfficiënt k en nulwaarde van de verschuivingscoëfficiënt B lijn zal in het eerste en derde kwadrant liggen (waarin X En j zowel positief als negatief). Tegelijkertijd grote waarden van de hoekcoëfficiënt k een steilere rechte lijn komt overeen, en een kleinere - een vlakkere.

Lijnen en staan ​​loodrecht als , en evenwijdig als .

Opmerkingen

Wikimedia Stichting. 2010.

• Ifit (koning van Elis)
• Lijst met besluiten van de president van de Russische Federatie "Over het toekennen van staatsprijzen" voor 2001

Kijk wat de "Lijnhelling" is in andere woordenboeken:

helling (recht)- — Onderwerpen olie- en gasindustrie NL helling … Handboek voor technisch vertalers

Helling- (wiskundig) getal k in de vergelijking van een rechte lijn op het vlak y \u003d kx + b (zie Analytische geometrie), dat de helling van de rechte lijn ten opzichte van de abscis-as karakteriseert. In een rechthoekig coördinatensysteem U. tot. k \u003d tg φ, waarbij φ de hoek is tussen ... ... Grote Sovjet-encyclopedie

Lijnvergelijkingen

ANALYTISCHE MEETKUNDE- een tak van de geometrie die de eenvoudigste geometrische objecten onderzoekt door middel van elementaire algebra op basis van de coördinatenmethode. De creatie van analytische meetkunde wordt gewoonlijk toegeschreven aan R. Descartes, die de grondslagen ervan schetste in het laatste hoofdstuk van zijn ... ... Collier-encyclopedie

Reactietijd- Het meten van de reactietijd (RT) is waarschijnlijk het meest eerbiedwaardige onderwerp in de empirische psychologie. Het ontstond in 1823 op het gebied van de astronomie, met het meten van individuele verschillen in de snelheid waarmee wordt waargenomen dat een ster de gezichtslijn van een telescoop passeert. Deze … Psychologische encyclopedie

WISKUNDIGE ANALYSE- een deel van de wiskunde dat methoden aanreikt voor de kwantitatieve studie van verschillende veranderingsprocessen; houdt zich bezig met de studie van de snelheid van verandering (differentiaalrekening) en de bepaling van de lengtes van curven, gebieden en volumes van figuren begrensd door gebogen contouren en ... Collier-encyclopedie

Direct- Deze term heeft andere betekenissen, zie Direct (betekenissen). Een rechte lijn is een van de basisconcepten van de geometrie, dat wil zeggen dat er geen exacte universele definitie voor bestaat. In een systematische presentatie van de geometrie wordt een rechte lijn meestal opgevat als één ... ... Wikipedia

Rechte lijn- Afbeelding van rechte lijnen in een rechthoekig coördinatensysteem Een rechte lijn is een van de basisconcepten van de geometrie. Bij een systematische presentatie van de geometrie wordt meestal een rechte lijn als een van de initiële concepten genomen, die slechts indirect wordt bepaald ... ... Wikipedia

Direct- Afbeelding van rechte lijnen in een rechthoekig coördinatensysteem Een rechte lijn is een van de basisconcepten van de geometrie. Bij een systematische presentatie van de geometrie wordt meestal een rechte lijn als een van de initiële concepten genomen, die slechts indirect wordt bepaald ... ... Wikipedia

Kleine as- Niet te verwarren met de term "Ellipsis". Ellips en zijn brandpunten Ellips (ander Grieks ἔλλειψις nadeel, in de zin van gebrek aan excentriciteit tot 1) de plaats van punten M van het Euclidische vlak, waarvoor de som van de afstanden tot twee gegeven punten F1 ... ... Wikipedia

Taken voor het vinden van de afgeleide van de raaklijn zijn opgenomen in het examen wiskunde en worden daar jaarlijks afgelegd. Tegelijkertijd laten de statistieken van de afgelopen jaren zien dat dergelijke taken bepaalde problemen voor afgestudeerden veroorzaken. Daarom, als een student goede scores verwacht te behalen op basis van de resultaten van het behalen van het examen, dan moet hij zeker leren omgaan met de taken uit de sectie 'Hoekfactor van een raaklijn als de waarde van de afgeleide op het contactpunt ”, opgesteld door de specialisten van het educatieve portaal Shkolkovo. Nadat hij het algoritme heeft behandeld om ze op te lossen, kan de student de certificeringstest met succes overwinnen.

Basismomenten

Als u begint met het oplossen van USE-problemen over dit onderwerp, is het noodzakelijk om de basisdefinitie in herinnering te brengen: de afgeleide van een functie op een punt is gelijk aan de helling van de raaklijn aan de grafiek van de functie op dit punt. Dit is de geometrische betekenis van de afgeleide.

Een andere belangrijke definitie moet worden vernieuwd. Het klinkt als volgt: de helling is gelijk aan de raaklijn van de hellingshoek van de raaklijn aan de x-as.

Welke andere belangrijke punten moeten in dit onderwerp worden opgemerkt? Bij het oplossen van problemen voor het vinden van de afgeleide in USE moet er rekening mee worden gehouden dat de hoek die de raaklijn vormt kleiner, groter dan 90 graden of gelijk aan nul kan zijn.

Hoe bereid je je voor op het examen?

Om de taken in het GEBRUIK over het onderwerp "De helling van de raaklijn als de waarde van de afgeleide op het contactpunt" vrij gemakkelijk aan u te kunnen geven, gebruikt u bij het voorbereiden de informatie in deze sectie op het educatieve portaal van Shkolkovo voor de laatste proef. Hier vindt u het nodige theoretische materiaal, verzameld en overzichtelijk gepresenteerd door onze experts, en kunt u tevens de oefeningen oefenen.

Voor elke taak, bijvoorbeeld taken over het onderwerp "De hoekcoëfficiënt van de raaklijn als de raaklijn van de hellingshoek", hebben we het juiste antwoord en het oplossingsalgoritme opgeschreven. Tegelijkertijd kunnen studenten online oefeningen van verschillende niveaus van complexiteit uitvoeren. Indien nodig kan de taak worden opgeslagen in de sectie "Favorieten", zodat u de oplossing later met de docent kunt bespreken.