Enhver polygon kan ligge ved foten av prismen - trekant, firkant, etc. Begge basene er absolutt de samme, og følgelig, som vinklene til de parallelle flatene er forbundet med hverandre, er alltid parallelle. Ved foten av et vanlig prisme ligger en vanlig polygon, det vil si en der alle sider er like. I et rett prisme er kantene mellom sideflatene vinkelrett på basen. I dette tilfellet kan en polygon med et hvilket som helst antall vinkler ligge ved foten av et rett prisme. Et prisme hvis base er et parallellogram kalles parallellpiped. Et rektangel er et spesialtilfelle av et parallellogram. Hvis denne figuren ligger ved basen, og sideflatene er plassert i rett vinkel mot basen, kalles parallellpiped rektangulær. Det andre navnet på denne geometriske kroppen er rektangulært.

Hvordan hun ser ut

Det er ganske mange rektangulære prismer omgitt av det moderne mennesket. Dette er for eksempel den vanlige papp fra under sko, datamaskinkomponenter, etc. Se deg rundt. Selv i et rom vil du sannsynligvis se mange rektangulære prismer. Dette er et datamaskinveske, en bokhylle, et kjøleskap, en garderobe og mange andre ting. Formen er ekstremt populær, hovedsakelig fordi den lar deg bruke plassen så effektivt som mulig, uansett om du skal dekorere interiøret eller pakke ting i pappkasser før du flytter.

Rektangulære prismeegenskaper

Et rektangulært prisme har en rekke spesifikke egenskaper. Et hvilket som helst par ansikter kan tjene som det, siden alle tilstøtende ansikter er plassert til hverandre i samme vinkel, og denne vinkelen er 90 °. Volumet og overflatearealet til et rektangulært prisme er lettere å beregne enn noe annet. Ta ethvert objekt i form av et rektangulært prisme. Mål lengde, bredde og høyde. For å finne volumet er det nok å multiplisere disse målingene. Det vil si at formelen ser slik ut: V = a * b * h, hvor V er volumet, a og b er sidene av basen, h er høyden, som for denne geometriske kroppen faller sammen med sidekanten. Basisarealet beregnes ved hjelp av formelen S1 = a * b. For en sideflate må du først beregne omkretsen av basen ved å bruke formelen P = 2 (a + b), og deretter multiplisere den med høyden. Det viser seg at formelen S2 = P * h = 2 (a + b) * h. Legg til to ganger basisarealet og sideområdet for å beregne det totale overflatearealet til et rektangulært prisme. Du får formelen S = 2S1 + S2 = 2 * a * b + 2 * (a + b) * h = 2

Ulike prismer er ikke like. Samtidig har de mye til felles. For å finne området til basis av et prisme, må du finne ut hva slags det har.

Generell teori

Et prisme er et hvilket som helst polyeder, hvis sider er i form av et parallellogram. Videre kan ethvert polyeder være i basen - fra en trekant til en n -gon. Dessuten er prismenes grunnlag alltid lik hverandre. Det gjelder ikke sideflatene - de kan variere betydelig i størrelse.

Når du løser problemer, oppdages ikke bare området på basis av prismen. Kunnskap om sideoverflaten, det vil si alle flater som ikke er baser, kan være nødvendig. Hele overflaten vil allerede være foreningen av alle ansiktene som utgjør prismen.

Noen ganger inkluderer oppgavene høyde. Det er vinkelrett på basene. Diagonalen til et polyeder er et segment som to og to forbinder to hjørner som ikke tilhører samme ansikt.

Det skal bemerkes at området på basen til et rett eller skrått prisme ikke er avhengig av vinkelen mellom dem og sideflatene. Hvis de har de samme formene øverst og nederst, vil arealene være like.

Trekantet prisme

Den har en figur med tre hjørner, det vil si en trekant. Det er kjent for å være annerledes. Hvis det er nok å huske at området er bestemt av halve benproduktet.

Den matematiske notasjonen ser slik ut: S = ½ av.

For å finne ut arealet av basen i generell form, er formlene nyttige: Heron og den der halvparten av siden er tatt til høyden trukket til den.

Den første formelen skal skrives slik: S = √ (p (p-a) (p-c) (p-c)). Denne oppføringen inneholder en halvperimeter (p), det vil si summen av tre sider delt på to.

For det andre: S = ½ n a * a.

Hvis du vil kjenne området til bunnen av et trekantet prisme, som er vanlig, viser trekanten seg å være likesidet. Det er en formel for det: S = ¼ a 2 * √3.

Firkantet prisme

Basen er en av de kjente firkantene. Det kan være et rektangel eller firkant, parallellpiped eller rombe. I hvert tilfelle trenger du en annen formel for å beregne arealet til prismen.

Hvis basen er et rektangel, bestemmes arealet slik: S = ab, hvor a, b er sidene av rektanglet.

Når det gjelder et firkantet prisme, beregnes basisarealet til et vanlig prisme ved hjelp av formelen for et kvadrat. For det er han som viser seg å være på bunnen. S = a 2.

I tilfellet når basen er parallellpiped, vil følgende likhet være nødvendig: S = a * na. Det hender at siden av parallelepiped og ett av hjørnene er gitt. For å beregne høyden må du deretter bruke en tilleggsformel: n a = b * sin A. Videre er vinkelen A ved siden av "b", og høyden er n motsatt til denne vinkelen.

Hvis det er en rombe ved foten av prismen, vil den samme formelen være nødvendig for å bestemme arealet som for et parallellogram (siden det er det spesielle tilfellet). Men du kan også bruke dette: S = ½ d 1 d 2. Her er d 1 og d 2 to diagonaler av romben.

Vanlig femkantet prisme

Denne saken innebærer å dele polygonen i trekanter, hvis områder er lettere å finne ut. Selv om det hender at tallene kan være med et annet antall hjørner.

Siden grunnlaget for prismen er en vanlig femkant, kan den deles i fem likesidede trekanter. Deretter er arealet av prismens base lik arealet til en slik trekant (formelen kan ses ovenfor), multiplisert med fem.

Vanlig sekskantet prisme

I henhold til prinsippet beskrevet for et femkantet prisme, er det mulig å dele den grunnleggende sekskanten i 6 likesidede trekanter. Formelen for basisarealet for et slikt prisme er lik den forrige. Bare i det skal multipliseres med seks.

Formelen vil se slik ut: S = 3/2 og 2 * √3.

Oppgaver

№ 1. Gitt en riktig rett linje. Diagonalet er 22 cm, høyden på polyederet er 14 cm. Beregn arealet av prismen og hele overflaten.

Løsning. Basen på prismen er en firkant, men siden er ikke kjent. Du kan finne verdien fra kvadratets diagonale (x), som er relatert til prismen (d) og dens høyde (h). x 2 = d 2 - n 2. På den annen side er dette segmentet "x" en hypotenuse i en trekant, hvis ben er lik siden av firkanten. Det vil si x 2 = a 2 + a 2. Dermed viser det seg at a 2 = (d 2 - n 2) / 2.

Erstatt 22 i stedet for d, og erstatt "n" med verdien - 14, så viser det seg at siden av firkanten er 12 cm. Finn nå ut arealet av basen: 12 * 12 = 144 cm 2 .

For å finne ut arealet av hele overflaten må du legge til to ganger grunnarealet og firedoble siden. Sistnevnte finner du enkelt ved å bruke formelen for et rektangel: multipliser høyden på polyederet og siden av basen. Det vil si 14 og 12, dette tallet vil være 168 cm 2. Prismens totale overflateareal er 960 cm 2.

Svar. Basarealet til prismen er 144 cm 2. Hele overflaten er 960 cm 2.

№ 2. Dana Ved basen ligger en trekant med en side på 6 cm. I dette tilfellet er diagonalen på sideflaten 10 cm. Beregn områdene: base og sideflate.

Løsning. Siden prismen er vanlig, er basen en likesidet trekant. Derfor er arealet lik 6 kvadrat, multiplisert med ¼ og kvadratroten til 3. En enkel beregning fører til resultatet: 9√3 cm 2. Dette er området til en base av prismen.

Alle sideflater er like og er rektangler med sider på 6 og 10 cm. For å beregne arealene er det nok å multiplisere disse tallene. Multipliser dem deretter med tre, fordi det er nøyaktig så mange sideflater av prismen. Da viser det laterale overflatearealet seg å være 180 cm 2 sår.

Svar. Områder: base - 9√3 cm 2, prisma på siden - 180 cm 2.

Prisme. Parallellpiped

Prisme kalles et polyeder hvis to flater er like n-gons (begrunnelse) ligger i parallelle plan, og de resterende n -sidene er parallellogram (sideflater) . Side ribbe et prisme er siden av sideflaten som ikke tilhører basen.

Et prisme hvis sidekanter er vinkelrett på planene til basene kalles rett prisme (fig. 1). Hvis sidekantene ikke er vinkelrett på planene til basene, kalles prismen skrå . Riktig Et prisme er et rett prisme, hvis baser er vanlige polygoner.

Høyde prisme kalles avstanden mellom basene. Diagonal prisme kalles et segment som forbinder to hjørner som ikke tilhører samme ansikt. Diagonal seksjon delen av et prisme kalles et plan som går gjennom to sidekanter som ikke tilhører det ene flaten. Vinkelrett snitt delen av et prisme kalles et plan vinkelrett på prismenes sidekant.

Sideoverflate prisme kalles summen av arealene på alle sideflater. Hele overflaten kalt summen av områdene til alle flater av prismen (dvs. summen av sidene og sidene av basene).

For et vilkårlig prisme er følgende formler gyldige:

hvor l- lengden på sidebenet;

H- høyde;

P

Sp

S side

S full

S main- området til basene;

V Er volumet av prismen.

For et rett prisme er følgende formler riktige:

hvor s- grunn omkrets;

l- lengden på sidebenet;

H- høyde.

Parallellpiped kalt et prisme, hvis grunnlag er et parallellogram. En parallellpiped med sidekanter vinkelrett på basene kalles direkte (fig. 2). Hvis sidekantene ikke er vinkelrett på basene, kalles parallellpiped skrå ... En rett parallellpiped, hvis base er et rektangel, kalles rektangulær. En rektangulær parallellpiped med alle kanter like kalles terning.

Ansiktene til en parallellpiped som ikke har felles hjørner kalles motarbeider ... Lengden på kantene som går ut fra et toppunkt kalles målinger parallellpiped. Siden en parallellpiped er et prisme, er dens hovedelementer definert på samme måte som de er definert for prismer.

Satser.

1. Parallellepipedens diagonaler krysser på et tidspunkt og halveres av det.

2. I en rektangulær parallellpiped er kvadratet på diagonal lengde lik summen av kvadratene i de tre dimensjonene:

3. Alle fire diagonaler av en rektangulær parallellpiped er lik hverandre.

For en vilkårlig parallellpiped er følgende formler sanne:

hvor l- lengden på sidebenet;

H- høyde;

P- omkretsen av den vinkelrette delen;

Sp- Arealet av den vinkelrette seksjonen;

S side- sideoverflate;

S full- totalt overflateareal;

S main- området til basene;

V Er volumet av prismen.

For en rett parallellpiped er følgende formler sanne:

hvor s- grunn omkrets;

l- lengden på sidebenet;

H- høyden på den rette parallelle pipen.

For en rektangulær parallellpiped er følgende formler sanne:

(3)

hvor s- grunn omkrets;

H- høyde;

d- diagonal;

a, b, c- målinger av parallellpiped.

For en kube er følgende formler riktige:

hvor en- ribblengde;

d Er kubens diagonale.

Eksempel 1. Diagonalen til en rektangulær parallelepiped er 33 dm, og dens dimensjoner er relatert til 2: 6: 9. Finn dimensjonene til parallellepiped.

Løsning. For å finne dimensjonene til parallelepiped bruker vi formel (3), dvs. ved at kvadratet til hypotenusen til en rektangulær parallellpiped er lik summen av kvadratene av dens dimensjoner. La oss betegne med k proporsjonalitetskoeffisient. Da vil dimensjonene til parallellpiped være 2 k, 6k og 9 k... La oss skrive formelen (3) for problemdataene:

Løser denne ligningen for k, vi får:

Dette betyr at dimensjonene til parallelepiped er 6 dm, 18 dm og 27 dm.

Svar: 6 dm, 18 dm, 27 dm.

Eksempel 2. Finn volumet til et skrå trekantet prisme, hvis base er en likesidet trekant med en side på 8 cm, hvis sidekanten er lik siden av basen og er skrå i en vinkel på 60º mot basen.

Løsning . La oss lage en tegning (fig. 3).

For å finne volumet på et skrått prisme, er det nødvendig å kjenne basisområdet og høyden. Basisområdet til dette prismen er arealet til en likesidet trekant med en side på 8 cm. La oss beregne det:

Høyden på et prisme er avstanden mellom dens baser. Fra toppen EN 1 på den øvre basen, senker vi vinkelrett på planet til den nedre basen EN 1 D... Lengden vil være høyden på prismen. Vurder D EN 1 AD: siden dette er helningsvinkelen til sidebåren EN 1 EN til basenes plan, EN 1 EN= 8 cm. Fra denne trekanten finner vi EN 1 D:

Nå beregner vi volumet med formelen (1):

Svar: 192 cm 3.

Eksempel 3. Sidekanten av et vanlig sekskantet prisme er 14 cm. Arealet av den største diagonale delen er 168 cm 2. Finn det totale overflaten av prismen.

Løsning. La oss lage en tegning (fig. 4)

Største diagonale seksjon - rektangel AA 1 DD 1, siden diagonalen AD vanlig sekskant A B C D E F er størst. For å beregne arealet av prismeets sideoverflate, er det nødvendig å kjenne siden av basen og lengden på lateral ribbe.

Når vi kjenner området til den diagonale delen (rektangel), finner vi diagonalet til basen.

Siden da

Siden da AB= 6 cm.

Deretter er omkretsen av basen:

La oss finne arealet til prisma:

Arealet til en vanlig sekskant med en side på 6 cm er:

Finn det totale overflaten av prismen:

Svar:

Eksempel 4. Basen på rektanglet er en rombe. Arealene på de diagonale seksjonene er 300 cm 2 og 875 cm 2. Finn området på sideflaten til en parallellpiped.

Løsning. La oss lage en tegning (fig. 5).

La oss betegne siden av romben gjennom en, rombens diagonaler d 1 og d 2, høyden på parallellpiped h... For å finne arealet på sideflaten til en rett parallellpiped, multipliser omkretsen av basen med høyden: (formel (2)). Base omkrets p = AB + BC + CD + DA = 4AB = 4a, fordi ABCD- rombe. H = AA 1 = h... At. Trenger å finne en og h.

Vurder diagonale snitt. AA 1 SS 1 - rektangel, hvorav den ene siden er rombens diagonal SOM = d 1, den andre er en lateral ribbe AA 1 = h, deretter

Tilsvarende for seksjonen BB 1 DD 1 får vi:

Ved å bruke egenskapen til et parallellogram slik at summen av kvadratene til diagonalene er lik summen av kvadratene på alle sidene, oppnår vi likheten: Vi får følgende.

Arealet av prismenes sideoverflate. Hallo! I denne publikasjonen vil vi analysere en gruppe problemer innen stereometri. Tenk på en kombinasjon av kropper - et prisme og en sylinder. På dette øyeblikket denne artikkelen avslutter hele artikkelserien relatert til vurdering av typer oppgaver i solid geometri.

Hvis det dukker opp nye i oppgavebanken, vil det selvfølgelig komme tillegg på bloggen i fremtiden. Men det som allerede er der, er nok til at du kan lære å løse alle problemer med et kort svar som en del av eksamen. Det vil være nok materiale i årene som kommer (matematikkprogrammet er statisk).

De presenterte oppgavene er knyttet til beregning av prisma. Vær oppmerksom på at et rett prisme (og følgelig en rett sylinder) er vurdert nedenfor.

Uten å kjenne noen formler, forstår vi at prismenes sideflate er alle sideflater. For et rett prisme er sideflatene rektangler.

Lateraloverflaten til et slikt prisme er lik summen av arealene på alle sideflatene (det vil si rektangler). Hvis vi snakker om det riktige prismen, som sylinderen er innskrevet i, så er det klart at alle flatene til dette prismen er LIKE rektangler.

Formelt kan området på sideflaten til et vanlig prisme reflekteres som følger:

27064. Et vanlig firkantet prisme er beskrevet om en sylinder hvis grunnradius og høyde er lik 1. Finn arealet til prismaets sideoverflate.

Sideflaten til dette prismen består av fire rektangler med samme areal. Høyden på ansiktet er 1, kanten på prismen er 2 (dette er to radier av sylinderen), derfor er sideflatenes område:

Sideoverflate:

73023. Finn arealet på sideflaten til et vanlig trekantet prisme som er omkranset rundt en sylinder hvis grunnradius er √0,12 og høyden er 3.

Det laterale overflatearealet til dette prismen er lik summen av arealene til de tre sideflatene (rektangler). For å finne området på sideflaten må du kjenne høyden og lengden på grunnkanten. Høyden er tre. La oss finne lengden på kanten av basen. Vurder projeksjonen (ovenfra):

Vi har en vanlig trekant der en sirkel med en radius på √0,12 er innskrevet. Fra den rettvinklede trekanten AOC kan vi finne AC. Og så AD (AD = 2AC). Per definisjon av tangent:

Så AD = 2АС = 1.2. Dermed er det laterale overflatearealet lik:

27066. Finn arealet på sideflaten til et vanlig sekskantet prisme omkranset rundt en sylinder hvis grunnradius er √75 og høyden er 1.

Det nødvendige området er lik summen av arealene på alle sideflater. For et vanlig sekskantet prisme er sideflatene like rektangler.

For å finne ansiktsområdet må du kjenne høyden og lengden på grunnkanten. Høyden er kjent, den er lik 1.

La oss finne lengden på kanten av basen. Vurder projeksjonen (ovenfra):

Vi har en vanlig sekskant der en sirkel med radius √75 er innskrevet.

Tenk på en rettvinklet trekant ABO. Vi kjenner OB -benet (dette er sylinderens radius). vi kan også bestemme vinkelen AOB, den er lik 300 (trekant AOC er likesidet, OB er bisektoren).

La oss bruke definisjonen av tangent i en rettvinklet trekant:

AC = 2AB, siden OB er medianen, det vil si at den deler AC i to, noe som betyr AC = 10.

Dermed er arealet på sideflaten 1 ∙ 10 = 10 og området på sideflaten er:

76485. Finn området på sideflaten til et vanlig trekantet prisme innskrevet i en sylinder med en grunnradius på 8√3 og en høyde på 6.

Det laterale overflatearealet til det spesifiserte prismen på tre like store arealer (rektangler). For å finne området må du kjenne lengden på kanten av prismen (vi kjenner høyden). Hvis vi vurderer projeksjonen (ovenfra), så har vi en vanlig trekant innskrevet i en sirkel. Siden av denne trekanten uttrykkes i form av radius som:

Detaljer om dette forholdet. Så det blir likt

Da er sideflaten: 24 ∙ 6 = 144. Og det nødvendige området:

245354. Et vanlig firkantet prisme er beskrevet rundt en sylinder hvis basisradius er 2. Arealet på prismenes sideoverflate er 48. Finn høyden på sylinderen.

Polyhedra

Hovedformålet med å studere stereometri er romlige kropper. Kropp er en del av rommet avgrenset av en bestemt overflate.

Polyeder kalles et legeme, hvis overflate består av et begrenset antall flate polygoner. Et polyeder kalles konveks hvis det er plassert på den ene siden av planet til hver flat polygon på overflaten. Den vanlige delen av et slikt plan og overflaten på et polyeder kalles kant... Ansiktene til en konveks polytop er flate konvekse polygoner. Sidene av ansiktene kalles kantene på et polyeder og hjørnene er toppunktene til polyederet.

For eksempel består en kube av seks firkanter som er dens ansikter. Den inneholder 12 kanter (sidene på rutene) og 8 hjørner (toppen av rutene).

De enkleste polyeder er prismer og pyramider, som vi vil studere videre.

Prisme

Definisjon og egenskaper til et prisme

Prisme kalles et polyeder som består av to plane polygoner som ligger i parallelle plan kombinert med parallell translasjon, og alle segmenter som forbinder de tilsvarende punktene til disse polygonene. Polygoner kalles prisme baser, og segmentene som forbinder de tilsvarende toppunktene til polygonene er sidekanter av prismen.

Prismenes høyde er avstanden mellom planene til basene (). Et segment som forbinder to hjørner av et prisme som ikke tilhører samme ansikt kalles diagonal prisme(). Prismen kalles n-vinkel hvis det er en n-gon ved basen.

Enhver prisme har følgende egenskaper, som følge av at prismenes baser er justert ved parallell overføring:

1. Grunnlaget for prismen er like.

2. Sidekantene på prismen er parallelle og like.

Overflaten på prismen består av baser og sideflate... Prismens sideoverflate består av parallellogram (dette følger av prismenes egenskaper). Arealet av prisma på sideflaten er summen av sidene av sideflatene.

Rett prisme

Prismen kalles rett hvis sidekantene er vinkelrett på basene. Ellers kalles prismen skrå.

Ansiktene til et rett prisme er rektangler. Høyden på et rett prisme er lik sideflatene.

Full prismeoverflate kalt summen av det laterale overflatearealet og områdene til basene.

Riktig prisme kalt et rett prisme med en vanlig polygon ved basen.

Teorem 13.1... Arealet av sideflaten til et rett prisme er lik produktet av omkretsen med høyden på prismen (eller, som er det samme, ved sidekanten).

Bevis. Sideflatene til et rett prisme er rektangler, hvis baser er sidene av polygonene ved prismen, og høyden er prismenes sidekanter. Så, per definisjon, er det laterale overflatearealet:

,

hvor er omkretsen av bunnen av det rette prismen.

Parallellpiped

Hvis det er parallellogrammer i prismenes baser, kalles det parallellpiped... Alle ansikter på en parallellpiped er parallellogram. I dette tilfellet er de motsatte sidene til parallelepiped parallelle og like.

Teorem 13.2... Parallellpipedens diagonaler krysser på ett punkt og skjæringspunktet halveres.

Bevis. Tenk for eksempel på to vilkårlige diagonaler og. Fordi ansiktene til parallellepiperte er parallellogram, da og, og derfor, ifølge T omtrent to rette linjer parallelt med den tredje. I tillegg betyr dette at linjene og ligger i samme plan (plan). Dette planet skjærer parallelle plan og langs parallelle linjer og. Dermed er en firkant et parallellogram, og ved egenskapen til et parallellogram, er dets diagonaler og skjæringspunkt og skjæringspunktet delt i to, noe som var nødvendig for å bevise.

En rektangulær parallellpiped hvis base er et rektangel kalles rektangulær parallellpiped... Alle flater på en rektangulær parallellpiped er rektangler. Lengden på de ikke-parallelle kantene til en rektangulær parallellpiped kalles dens lineære dimensjoner (målinger). Det er tre slike størrelser (bredde, høyde, lengde).

Teorem 13.3... I en rektangulær parallellpiped er kvadratet på en hvilken som helst diagonal lik summen av kvadratene i de tre dimensjonene (bevist ved hjelp av en todelt applikasjon av T Pythagoras).

En rektangulær parallellpiped med alle kanter like kalles terning.

Oppgaver

13.1 Hvor mange diagonaler gjør n- vinkelprisme

13.2 I et skrått trekantet prisme er avstandene mellom sidebordene 37, 13 og 40. Finn avstanden mellom den større sidekanten og den motsatte sidekanten.

13.3 Gjennom siden av den nedre basen av det vanlige trekantede prismen, tegnes et plan som skjærer sideflater langs segmentene, vinkelen mellom. Finn helningsvinkelen til dette planet til prismen.