Denne artikkelen inneholder bord med siner, cosinus, tangenter og cotangents... Først gir vi en tabell over hovedverdiene for trigonometriske funksjoner, det vil si en tabell over siner, cosinus, tangenter og cotangenter i vinklene 0, 30, 45, 60, 90, ..., 360 grader ( 0, π / 6, π / 4, π / 3, π / 2, ..., 2π radian). Etter det vil vi gi en tabell med siner og cosinus, samt en tabell over tangenter og cotangenter til V.M. Bradis, og vise hvordan du bruker disse tabellene når du finner verdiene til trigonometriske funksjoner.

Sidenavigasjon.

Tabell over siner, cosinus, tangenter og cotangents for vinkler 0, 30, 45, 60, 90, ... grader

Bibliografi.

• Algebra: Lærebok. for 9 cl. onsdag skole / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky.- M.: Education, 1990.- 272 s.: Ill.- ISBN 5-09-002727-7
• Bashmakov M.I. Algebra og begynnelsen på analyse: Lærebok. for 10-11 cl. onsdag shk. - 3. utg. - M.: Utdanning, 1993.- 351 s.: Ill. -ISBN 5-09-004617-4.
• Algebra og begynnelsen på analysen: Lærebok. for 10-11 cl. allmennutdanning. institusjoner / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn og andre; Ed. A. N. Kolmogorov. - 14. utg. - M.: Education, 2004. - 384 s.: Ill. - ISBN 5-09-013651-3.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematikk (manual for søkere til tekniske skoler): Lærebok. manuell. - M. Høyere. shk., 1984.-351 s., ill.
• Bradis V.M. Firesifrede matematiske tabeller: For generell utdanning. studere. institusjoner. - 2. utg. - M.: Bustard, 1999.- 96 s.: Ill. ISBN 5-7107-2667-2

Tabell for trigonometriske funksjonsverdier

Merk... Denne tabellen med trigonometriske funksjonsverdier bruker √ -tegnet for å indikere kvadratroten. For å betegne en brøkdel - symbolet "/".

se også nyttige materialer:

Til bestemme verdien av den trigonometriske funksjonen, finn den i skjæringspunktet mellom den trigonometriske funksjonslinjen. For eksempel sinus 30 grader - se etter en kolonne med overskriften sin (sinus) og finn skjæringspunktet mellom denne kolonnen i tabellen med linjen "30 grader", i krysset deres leser vi resultatet - ett sekund. På samme måte finner vi cosinus 60 grader, sinus 60 grader (igjen, i krysset mellom sin kolonne (sinus) og 60 graders rad, finner vi verdien sin 60 = √3 / 2), etc. På samme måte finnes verdiene til siner, cosinus og tangenter i andre "populære" vinkler.

Sinus av pi, cosinus av pi, tangens av pi og andre vinkler i radianer

Tabellen over cosinus, siner og tangenter nedenfor er også egnet for å finne verdien av trigonometriske funksjoner hvis argument gitt i radianer... For å gjøre dette, bruk den andre kolonnen med vinkelverdier. Takket være dette kan verdien av populære vinkler konverteres fra grader til radianer. La oss for eksempel finne en vinkel på 60 grader i den første linjen og lese verdien i radianer under den. 60 grader er lik π / 3 radianer.

Tallet pi uttrykker unikt avhengigheten av omkretsen av vinkelmålet. Dermed er pi -radianer lik 180 grader.

Et hvilket som helst tall uttrykt i form av pi (radian) kan enkelt konverteres til et grademål ved å erstatte pi (π) med 180.

Eksempler av:
1. Sine pi.
sin π = sin 180 = 0
dermed er sinen til pi den samme som sinussen på 180 grader og er null.

2. Cosine pi.
cos π = cos 180 = -1
dermed er cosinus for pi den samme som cosinus på 180 grader og er lik minus en.

3. Tangent pi
tg π = tg 180 = 0
dermed er tangens av pi den samme som tangenten på 180 grader og er null.

Tabell over sinus, cosinus, tangensverdier for vinkler 0 - 360 grader (vanlige verdier)

verdien av vinkelen α (grader)	verdien av vinkelen α i radianer (gjennom tallet pi)	synd (sinus)	cos (cosinus)	tg (tangent)	ctg (cotangent)	sek (sekant)	cosec (cosecant)
0	0	0	1	0	-	1	-
15	π / 12			2 - √3	2 + √3
30	π / 6	1/2	√3/2	1/√3	√3	2/√3	2
45	π / 4	√2/2	√2/2	1	1	√2	√2
60	π / 3	√3/2	1/2	√3	1/√3	2	2/√3
75	5π / 12			2 + √3	2 - √3
90	π / 2	1	0	-	0	-	1
105	7π / 12		-	- 2 - √3	√3 - 2
120	2π / 3	√3/2	-1/2	-√3	-√3/3
135	3π / 4	√2/2	-√2/2	-1	-1	-√2	√2
150	5π / 6	1/2	-√3/2	-√3/3	-√3
180	π	0	-1	0	-	-1	-
210	7π / 6	-1/2	-√3/2	√3/3	√3
240	4π / 3	-√3/2	-1/2	√3	√3/3
270	3π / 2	-1	0	-	0	-	-1
360	2π	0	1	0	-	1	-

Hvis en strek (tangent (tg) 90 grader, cotangent (ctg) 180 grader) er angitt i tabellen med verdier for trigonometriske funksjoner i stedet for funksjonsverdien, har funksjonen ingen bestemt betydning ved denne verdien av gradmålingen av vinkelen. Hvis det ikke er noen bindestrek - cellen er tom, har vi ennå ikke angitt den nødvendige verdien. Vi er interessert i hvilke forespørsler brukerne kommer til oss og supplerer tabellen med nye verdier, til tross for at de nåværende dataene om verdiene til cosinus, siner og tangenter for de mest vanlige vinkelverdiene er ganske nok til å løse de fleste problemene.

Tabell over verdier for trigonometriske funksjoner sin, cos, tg for de mest populære vinklene
0, 15, 30, 45, 60, 90 ... 360 grader
(numeriske verdier "som i Bradis -tabeller")

verdien av vinkelen α (grader)	verdien av vinkelen α i radianer	synd (sinus)	cos (cosinus)	tg (tangent)	ctg (cotangent)
0	0
15		0,2588	0,9659	0,2679
30		0,5000		0,5774
45		0,7071
		0,7660
60		0,8660	0,5000	1,7321
	7π / 18

1. Trigonometriske funksjoner er elementære funksjoner hvis argument er injeksjon... Trigonometriske funksjoner brukes til å beskrive forholdet mellom sidene og spisse vinkler i en rettvinklet trekant. Anvendelsesområdene for trigonometriske funksjoner er ekstremt mangfoldige. Så for eksempel kan alle periodiske prosesser representeres som en sum av trigonometriske funksjoner (Fourier -serien). Disse funksjonene vises ofte når vi løser differensielle og funksjonelle ligninger.

2. Trigonometriske funksjoner inkluderer følgende 6 funksjoner: sinus, cosinus, tangent,cotangent, sekant og kosekant... For hver av disse funksjonene er det en invers trigonometrisk funksjon.

3. Det er praktisk å introdusere den geometriske definisjonen av trigonometriske funksjoner ved å bruke enhetssirkel... Bildet nedenfor viser en sirkel med radius r = 1. Punktet M (x, y) er merket på sirkelen. Vinkelen mellom radiusvektoren OM og okseaksens positive retning er α.

4. Sinus vinkel α er forholdet mellom ordinat y for punktet M (x, y) til radius r:
sinα = y / r.
Siden r = 1, er sinus lik ordinaten til punktet M (x, y).

5. Kosinus vinkel α er forholdet mellom abscissen x til punktet M (x, y) og radius r:
cosα = x / r

6. Tangent vinkel α er forholdet mellom y-ordinatet til punktet M (x, y) og ee abscissa x:
tanα = y / x, x ≠ 0

7. Cotangent vinkel α er forholdet mellom abscissen x til punktet M (x, y) og dets ordinat y:
cotα = x / y, y ≠ 0

8. Sekant vinkel α er forholdet mellom radius r og abscissen x til punktet M (x, y):
sekα = r / x = 1 / x, x ≠ 0

9. Cosecant vinkel α er forholdet mellom radius r og ordinat y til punktet M (x, y):
cscα = r / y = 1 / y, y ≠ 0

10. I enhetssirkelen danner anslagene x, y av punktene M (x, y) og radius r en rettvinklet trekant, der x, y er beina, og r er hypotenusen. Derfor er definisjonene ovenfor av trigonometriske funksjoner i applikasjonen til en rettvinklet trekant formulert som følger:
Sinus vinkelen α kalles forholdet mellom det motsatte benet og hypotenusen.
Kosinus vinkel α er forholdet mellom det tilstøtende benet til hypotenusen.
Tangent vinkelen α kalles det motsatte benet til det tilstøtende.
Cotangent vinkelen α kalles det tilstøtende benet til det motsatte.
Sekant vinkel α er forholdet mellom hypotenusen og det tilstøtende benet.
Cosecant vinkel α er forholdet mellom hypotenusen og det motsatte benet.

11. Sinusfunksjonsgraf
y = sinx, domene: x∈R, område: −1≤sinx≤1

12. Cosinus funksjonsgraf
y = cosx, domene: x∈R, område: −1≤cosx≤1

13. Tangentfunksjonsgraf
y = tanx, domene: x∈R, x ≠ (2k + 1) π / 2, område: −∞

14. Cotangent funksjonsgraf
y = cotx, domene: x∈R, x ≠ kπ, område: −∞

15. Sikker funksjonsgraf
y = secx, domene: x∈R, x ≠ (2k + 1) π / 2, område: secx∈ (−∞, −1] ∪∪. Alle forstår at de blir lurt, men ingen forstår hva som er bedrag.

Fra matematikkens synspunkt demonstrerte Zeno i sin aporia tydelig overgangen fra størrelse til. Denne overgangen innebærer applikasjon i stedet for konstanter. Så vidt jeg forstår, er det matematiske apparatet for å anvende variable måleenheter enten ennå ikke utviklet, eller så har det ikke blitt brukt på Zenos aporia. Å bruke vår vanlige logikk fører oss inn i en felle. Vi, ved tanketreghet, bruker konstante måleenheter for tid til det gjensidige. Fra et fysisk synspunkt ser det ut som tidsutvidelse til det stopper helt i det øyeblikket Achilles er i nivå med skilpadden. Hvis tiden stopper, kan Achilles ikke lenger overhale skilpadden.

Hvis vi snu logikken vi er vant til, faller alt på plass. Akilles løper i konstant fart. Hvert påfølgende segment av banen er ti ganger kortere enn den forrige. Derfor er tiden brukt på å overvinne den ti ganger mindre enn den forrige. Hvis vi bruker begrepet "uendelig" i denne situasjonen, ville det være riktig å si "Achilles vil uendelig raskt ta igjen skilpadden."

Hvordan kan du unngå denne logiske fellen? Hold deg i enheter med konstant tid og ikke gå bakover. På Zenos språk ser det slik ut:

I løpet av tiden Achilles vil løpe tusen trinn, vil skilpadden krype hundre trinn i samme retning. I løpet av det neste tidsintervallet, lik det første, vil Achilles løpe ytterligere tusen trinn, og skilpadden vil krype hundre trinn. Nå er Achilles åtte hundre skritt foran skilpadden.

Denne tilnærmingen beskriver tilstrekkelig virkeligheten uten logiske paradokser. Men dette er ikke en komplett løsning på problemet. Einsteins utsagn om uoverkommeligheten til lysets hastighet er veldig lik Zeno aporia "Achilles and the Turtle". Vi må fortsatt studere, tenke nytt og løse dette problemet. Og løsningen må ikke søkes i et uendelig stort antall, men i måleenheter.

En annen interessant aporia Zeno forteller om en pil som flyr:

Den flygende pilen er ubevegelig, siden den i hvert øyeblikk hviler, og siden den er i ro i hvert øyeblikk, er den alltid i ro.

I denne aporia blir det logiske paradokset overvunnet veldig enkelt - det er nok å presisere at i hvert øyeblikk hviler en flygende pil på forskjellige punkter i rommet, som faktisk er bevegelse. Et annet poeng bør nevnes her. Fra et enkelt fotografi av en bil på veien, er det umulig å bestemme verken det er bevegelse eller avstanden til den. For å fastslå det faktum at bilen beveger seg, er det nødvendig med to fotografier, tatt fra samme punkt på forskjellige tidspunkter, men avstanden kan ikke bestemmes fra dem. For å bestemme avstanden til bilen trenger du to fotografier tatt fra forskjellige punkter i rommet samtidig, men du kan ikke bestemme bevegelsens faktum fra dem (selvfølgelig trenger du fortsatt tilleggsdata for beregninger, trigonometri vil hjelpe deg) . Det jeg vil trekke spesiell oppmerksomhet til er at to tidspunkter og to punkter i rommet er forskjellige ting som ikke bør forveksles, fordi de gir forskjellige muligheter for forskning.

Onsdag 4. juli 2018

Skillet mellom sett og multisett er veldig godt beskrevet i Wikipedia. Vi ser.

Som du kan se, "kan det ikke være to identiske elementer i et sett", men hvis det er identiske elementer i et sett, kalles et slikt sett for et "multiset". En slik absurd logikk vil aldri bli forstått av rasjonelle vesener. Dette er nivået på snakkende papegøyer og trente aper, som mangler intelligens fra ordet "helt". Matematikere fungerer som vanlige trenere og forkynner sine absurde ideer for oss.

En gang var ingeniørene som bygde broen i en båt under broen under testene av broen. Hvis broen kollapset, døde den inkompetente ingeniøren under steinsprutene i hans skapelse. Hvis broen kunne tåle belastningen, ville en talentfull ingeniør bygge andre broer.

Uansett hvordan matematikere gjemmer seg bak uttrykket "chur, I'm in the house", eller rettere sagt "matematikk studerer abstrakte begreper", er det en navlestreng som uløselig forbinder dem med virkeligheten. Denne navlestrengen er penger. La oss bruke matematisk settteori til matematikerne selv.

Vi studerte matematikk veldig bra, og nå sitter vi ved kassen og gir ut lønn. Her kommer en matematiker for pengene sine. Vi teller hele beløpet for ham og legger oss på bordet i forskjellige hauger, der vi legger sedler av samme valør. Deretter tar vi en regning fra hver haug og gir matematikeren sitt "matematiske sett med lønn". La oss forklare matematikken at han vil motta resten av regningene bare når han beviser at et sett uten identiske elementer ikke er lik et sett med identiske elementer. Det er her moroa begynner.

Først og fremst vil logikken til varamedlemmer fungere: "Du kan bruke dette på andre, du kan ikke søke på meg!" Videre vil vi begynne å forsikre oss om at det er forskjellige valørnummer på regninger med samme valør, noe som betyr at de ikke kan betraktes som de samme elementene. Ok, la oss telle lønnen i mynter - det er ingen tall på myntene. Her vil matematikeren begynne å huske fysikk febrilsk: forskjellige mynter har forskjellige mengder smuss, krystallstrukturen og arrangementet av atomer i hver mynt er unik ...

Og nå har jeg det mest interessante spørsmålet: hvor er grensen som elementene i et multisett blir til elementer av et sett og omvendt? En slik linje eksisterer ikke - alt avgjøres av sjamaner, vitenskapen lå ikke i nærheten av her.

Se her. Vi velger fotballstadioner med samme bane. Arealet til feltene er det samme, noe som betyr at vi har et multisett. Men hvis vi vurderer navnene på de samme stadionene, får vi mye, fordi navnene er forskjellige. Som du kan se, er det samme settet med elementer både et sett og et multisett samtidig. Hvordan er det riktig? Og her tar matematikeren-sjamanen-schuller et trumf-es ut av ermet og begynner å fortelle oss enten om settet eller om multisettet. Uansett vil han overbevise oss om at han har rett.

For å forstå hvordan moderne sjamaner opererer med settteori og knytte den til virkeligheten, er det nok å svare på ett spørsmål: hvordan skiller elementene i ett sett seg fra elementene i et annet sett? Jeg skal vise deg, uten noen "tenkelig som ikke en eneste helhet" eller "ikke tenkelig som en helhet."

Søndag 18. mars 2018

Summen av sifrene i tallet er en dans av sjamaner med en tamburin, som ikke har noe med matematikk å gjøre. Ja, i matematikkundervisningen lærer vi å finne summen av sifrene i et tall og bruke det, men det er derfor de er sjamaner for å lære sine etterkommere sine ferdigheter og visdom, ellers dør sjamaner rett og slett ut.

Trenger du bevis? Åpne Wikipedia og prøv å finne siden Sum of Digits of a Number. Det finnes ikke. Det er ingen formel i matematikk som du kan finne summen av sifrene i et hvilket som helst tall. Tross alt er tall grafiske symboler, ved hjelp av hvilke vi skriver tall og i matematikkens språk høres oppgaven slik ut: "Finn summen av grafiske symboler som representerer et hvilket som helst tall." Matematikere kan ikke løse dette problemet, men sjamaner - det er elementært.

La oss se hva og hvordan vi gjør for å finne summen av sifrene i et gitt tall. La oss få tallet 12345. Hva bør vi gjøre for å finne summen av sifrene i dette tallet? La oss gå gjennom alle trinnene i rekkefølge.

1. Vi skriver ned tallet på et stykke papir. Hva har vi gjort? Vi har konvertert tallet til det grafiske symbolet for tallet. Dette er ikke en matematisk operasjon.

2. Vi kutter det resulterende bildet i flere bilder som inneholder separate tall. Å kutte et bilde er ikke en matematisk operasjon.

3. Konverter individuelle grafiske symboler til tall. Dette er ikke en matematisk operasjon.

4. Legg sammen de resulterende tallene. Nå er det matematikk.

Summen av sifrene til 12345 er 15. Dette er "klipp- og sykursene" fra sjamaner som ble brukt av matematikere. Men det er ikke alt.

Fra matematikkens synspunkt spiller det ingen rolle i hvilket tallsystem vi skriver tallet. Så i forskjellige tallsystemer vil summen av sifrene i det samme tallet være forskjellig. I matematikk er tallsystemet angitt som et abonnement til høyre for tallet. Med et stort tall 12345, vil jeg ikke lure hodet, tenk på tallet 26 fra artikkelen om. La oss skrive dette tallet i binære, oktale, desimale og heksadesimale tallsystemer. Vi vil ikke se på hvert trinn under et mikroskop, det har vi allerede gjort. La oss se resultatet.

Som du kan se, er summen av sifrene i det samme tallet i forskjellige tallsystemer forskjellig. Dette resultatet har ingenting å gjøre med matematikk. Det er det samme som om du ville få helt andre resultater når du bestemte arealet til et rektangel i meter og centimeter.

Null i alle tallsystemer ser det samme ut og har ingen sum av sifre. Dette er et annet argument for at. Et spørsmål til matematikere: hvordan er noe som ikke er et tall angitt i matematikk? Hva, for matematikere, eksisterer ingenting annet enn tall? For sjamaner kan jeg tillate dette, men for forskere - nei. Virkeligheten handler ikke bare om tall.

Det oppnådde resultatet bør betraktes som et bevis på at tallsystemer er måleenheter for tall. Tross alt kan vi ikke sammenligne tall med forskjellige måleenheter. Hvis de samme handlingene med forskjellige måleenheter av samme mengde fører til forskjellige resultater etter sammenligningen, har dette ingenting å gjøre med matematikk.

Hva er ekte matematikk? Dette er når resultatet av en matematisk handling ikke avhenger av størrelsen på tallet, måleenheten som brukes og av hvem som utfører denne handlingen.

Logg på døren Åpner døren og sier:

Au! Er ikke dette et dametoalett?
- Ung kvinne! Dette er et laboratorium for studier av sjeles uregelmessige hellighet under himmelfart! Halo over og pilen peker opp. Hvilket annet toalett?

Kvinne ... Nimbus over og pil ned er hann.

Hvis et designkunst som dette blinker for øynene dine flere ganger om dagen,

Da er det ikke overraskende at du i bilen din plutselig finner et merkelig ikon:

Personlig gjør jeg en innsats for meg selv slik at jeg hos en poopende person (ett bilde) kan se minus fire grader (en sammensetning av flere bilder: minustegn, nummer fire, graderbetegnelse). Og jeg tror ikke denne jenta er en tosk som ikke kan fysikk. Hun har bare en stereotype oppfatning av grafiske bilder. Og matematikere lærer oss stadig dette. Her er et eksempel.

1A er ikke "minus fire grader" eller "en a". Dette er "pooping man" eller tallet "tjueeks" i heksadesimal notasjon. De menneskene som stadig jobber i dette tallsystemet oppfatter automatisk tallet og bokstaven som ett grafisk symbol.