MOSKVA UTDANNINGSDEPARTEMENT

STATSBUDSJETT PROFESJONELL

UTDANNINGSINSTITUTION i Moskva

"Polyteknisk høyskole nr. 47 oppkalt etter V.G. Fedorov"

Lekse

i faget matematikk

"Trigonometriske ligninger redusert til kvadratisk"

Lærer

Protasevich Olga Nikolaevna

YRKE: Maskinvare- og programvareingeniør

DISIPLIN: Matematikk

VI VIL : 1

SEMESTER : 2

GRUPPE :

Leksjonsemne:

"Trigonometriske ligninger redusert til kvadratiske ligninger."

Leksjonstype: kombinert leksjon

Leksjonsformat: kollektiv opplæring etter metodikken til V.K. Dyachenko

(utdanning i små gruppesystemer)

Leksjonens mål:

Pedagogisk – vurdere generelle tilnærminger, oppsummere informasjon om typene og metodene for å løse trigonometriske ligninger som kan reduseres til kvadratiske; å utvikle ferdigheter og evner til å anvende kunnskap ved løsning av grunnleggende ligninger og anvendelse av tilegnet kunnskap i profesjonelle aktiviteter.

Utviklingsmessig – fremme utviklinglogisk tenkning blant studenter, utvikle ferdighetene til å analysere, resonnere, sammenligne, trekke konklusjoner, forstå materialet;

Pedagogisk – fremme kognitiv interesse, elementer i en kommunikasjonskultur, oppmuntre studenter til å overvinne vanskeligheter i prosessen med mental aktivitet, utvikle ferdigheter til å jobbe i et arbeids- og pedagogisk team.

Leksjonens mål:

Å gjøre studentene kjent med hovedtyper og metoder for å løse trigonometriske ligninger som kan reduseres til kvadratiske.

Støtte (ressurser):

Maskinvare: datamaskin, multimediaprojektor.

Programvare:Microsoftutmerke.

Enkle konsepter:

Kvadratisk ligning; enkle trigonometriske ligninger; inverse trigonometriske funksjoner; trigonometriske ligninger redusert til kvadratisk.

Litteratur:

Bashmakov M.I. Matematikk: lærebok for grunnskole og videregående opplæring – M.; "Akademi", 2010. - 256 s.

Dyachenko V.K. - M.; "Offentlig utdanning", 2001. - 496 s.

Metodisk litteratur:

Bashmakov M.I. Matematikk: en bok for lærere. Metodehåndbok - M.; « Akademiet", 2013 - 224 s.

Elektroniske ressurser:

Materialer på nettstedetsosial og pedagogisk bevegelse for å skape en kollektiv måte å undervise på:www.kco-kras.ru.

Leksjonstrinn

Organisering av tid.

Sjekker lekser.

Oppdatering av grunnleggende kunnskap.

Lære nytt stoff.

Konsolidering og systematisering av ervervet kunnskap.

Speilbilde. Oppsummering. Hjemmelekser.

I løpet av timene

Organisering av tid.

Læreren setter leksjonsmål for elevene:

1) Introduser hovedtypene av trigonometriske ligninger som kan reduseres til kvadratiske;

2) Introdusere standardmetoder for å løse trigonometriske ligninger som kan reduseres til andregradslikninger.

3) Lære hvordan du bruker tilegnet kunnskap og ferdigheter for å løse standardligninger;

4) Lære å arbeide med informasjon presentert i ulike former, utøve gjensidig kontroll og selvkontroll, og anvende den ervervede kunnskapen i faglig virksomhet.

II . Sjekker lekser.

Læreren inkluderer en "Lekse"-presentasjon, hvor elevene selvstendig sjekker leksene sine og om nødvendig foretar endringer og rettelser i arbeidet.

På forespørsel fra elevene kommenterer læreren løsningene på ligningene som skapte vanskeligheter, hvoretter han annonserer navnene på elevene som på slutten av timen leverer ut notatbøkene sine for kontroll.

№ 1

Svar:

№ 2

Svar:

№ 3

Svar:

№ 4

fordi da har ligningen ingen røtter

Svar: ingen røtter

№ 5

Svar:

№ 6

Svar:

III . Oppdatering av grunnleggende kunnskap.

Læreren danner studiegrupper/par og foreslår å bruke de medfølgende skjemaene for å etablere samsvar mellom ligningene og svarene: «Foran dere ligger et lysbilde med en pedagogisk oppgave. Match likningene (venstre side av tabellen) med svarene (høyre side av tabellen). Skriv ned tallene til de riktige setningsparene i notatboken din.»

De angitte oppgavene dupliseres i den medfølgende presentasjonen.

Kamp

p/p

Ligningen

p/p

Svar

ingen røtter

På slutten av arbeidet intervjuer læreren grupperepresentantene frontalt, hvoretter han slår på presentasjonssiden med de riktige løsningene.

Riktige svar

p/p

Ligningen

p/p

Svar

ingen røtter

ingen røtter

11.

13.

10.

12.

IV . Lære nytt stoff.

Læreren inkluderer presentasjon av nytt materiale «Trigonometriske ligninger redusert til kvadratisk. Typer ligninger og metoder for deres løsninger."

Inviterer elevene til å skrive ned de nødvendige punktene og begynner å kommentere hvert lysbilde, hvoretter de slår på presentasjonen.

La oss introdusere konseptet:

Generell visning av en kvadratisk ligning:

1 type trigonometriske ligninger som kan reduseres til andregradsligninger – ligninger som er algebraiske med hensyn til en av de trigonometriske funksjonene.

Læreren forklarer løsningene.

1. Direkte substitusjon

Erstatning ,

Og

ingen røtter

Svar:

Formlikninger har en lignende løsning

Erstatning

Erstatning

2. Ligninger som krever konvertering ved å bruke den trigonometriske enhetsformelen

Erstatning , så tar ligningen formen

Og

ingen røtter

Svar:

Formlikninger har en lignende løsning:

vi vil erstatte , ved å bruke den trigonometriske enhetsformelen

.

Vi får en ligning som inneholder bare én trigonometrisk funksjon :

Erstatning

3. Ligninger som krever transformasjon ved hjelp av forbindelsesformelen tgx Og Med tgx

Vi bruker formelen:

La oss multiplisere ligningen med

Erstatning , så tar ligningen formen

Og

Svar:

Type 2 trigonometriske ligninger som reduserer til andregradsligninger– homogene ligninger der hvert ledd har samme grad.

Del ligningen med

Erstatning , så tar ligningen formen

Og

Svar:

Læreren foreslår å oppsummere det presenterte materialet og stiller spørsmål: «Hvor mange typer er trigonometriske ligninger som kan reduseres til andregradsligninger deles inn i? Navnet deres? Nevn måter å løse trigonometriske ligninger som kan reduseres til andregradslikninger."

Læreren veileder elevenes handlinger i å lage en algoritme for å løse denne typen ligninger.

Trigonometriske ligninger som reduserer til kvadratiske ligninger er delt inn i to hovedtyper:

tgx Og Med tgx :

Type 2 - homogene ligninger der hvert ledd har samme grad:

Læreren gjør en justert Løsningsalgoritme:

1. Bestem type ligning. Om nødvendig, omorganiser ligningen slik at den inneholder bare én trigonometrisk funksjon. For å gjøre dette, velg ønsket formel: eller eller dele opp i

2. En erstatning introduseres (f.eks, sinx = t , cosx = t , tgx = t ).

5. Skriv ned svaret.

For å konsolidere den ervervede kunnskapen foreslår læreren å etablere en samsvar mellom likningene og mulige metoder for å løse dem: «Foran deg ligger et lysbilde med en treningsoppgave.

1. Klassifiser ligninger etter løsningsmetoder i henhold til tabellen nedenfor

(trykte versjoner av bordet ligger på pultene dine).

2. Skriv inn nummeret til løsningsmetoden i den aktuelle boksen.

Fyll bordet".

Arbeidet utføres i par.

p/p

Ligningen

metode

Metoder:

1) Skriv inn en ny variabel.

2) Skriv inn en ny variabel

3) Skriv inn en ny variabel.

4) Transformer ligningen ved å bruke formelen og introduser en ny variabel.

5) Transformer ligningen ved å bruke formelen, introduser en ny variabel.

6) Del hvert ledd i ligningen med, introduser en ny variabel.

7) Transformer likningen ved å bruke formelen, multipliser vilkårene i likningen med, skriv inn en ny variabel.

Oppgaven sjekkes i form av en frontalsamtale.

Lærer: «Foran deg ligger et lysbilde med de riktige svarene på den pedagogiske oppgaven. . Sjekk ved å krysse av for de riktige svarene på læringsoppgaven. Arbeid med feilene i notatboken din."

Oppgavearkene samles på slutten av timen.

p/p

Ligningen

metode

2

4

2

1

7

1

3

5

6

3

6

2

6

VI . Konsolidering og systematisering av ervervet kunnskap.

Læreren inviterer elevene til å jobbe videre i grupper.

Lærer: «Løs likningene. Sjekk resultatet i editoren Microsoft utmerke . På slutten av løsningen går en representant for gruppen til tavlen og presenterer løsningen til ligningen som er fullført av gruppen." Læreren sjekker løsningen, vurderer gruppens arbeid og påpeker om nødvendig feil.»

Lærer:

1 ) Diskuter løsninger i gruppe.

2) Skriv ned løsningen og svaret mottatt i notatboken.

3) Sjekk resultatet i editoren Microsoft utmerke .

4) Gi beskjed til læreren din om at du er klar.

5) Forklar beslutningen din ved å skrive den på tavlen til medlemmer av andre grupper.

6) Lytt ettertenksomt til talene til kameratene dine, still spørsmål om nødvendig.

Studiegrupper som har fullført oppgavene i sin helhet inviteres til å gjennomføre oppgavene til andre grupper. Vellykkede grupper belønnes med en økning i sluttpoengsummen med én enhet.

Første gruppe:

Vi bruker formelen:

Og

ingen røtter

fordi

Svar:

Andre gruppe:

Vi bruker formelen:

Substitusjon, så blir ligningen

Og

Svar: ;

Tredje gruppe:

Vi bruker formelen:

La oss multiplisere ligningen med

Substitusjon, så blir ligningen

Og

Svar:

Fjerde gruppe:

Del ligningen med

Substitusjon, så blir ligningen

Og

Svar:

Femte gruppe:

Substitusjon, så blir ligningen

Og

Svar:; .

VII . Speilbilde. Oppsummering. Hjemmelekser.

Lærer: La oss oppsummere arbeidet ditt, og korrelere resultatene av aktivitetene dine med målet ditt.

La oss gjenta begreper:

• "Trigonometriske ligninger som reduseres til kvadratiske ligninger ved transformasjon og endring av variabel kalles trigonometriske ligninger som kan reduseres til kvadratiske."

Type 1 - ligninger, algebraiske med hensyn til en av de trigonometriske funksjonene:

- direkte substitusjon - erstatning eller;

- ligninger som krever konvertering ved å bruke den trigonometriske enhetsformelen;

- ligninger som krever transformasjon i henhold til forbindelsesformelen tgx og med tgx :

Type 2 - homogene ligninger der hvert ledd har samme grad: del ligningen med, og erstatt deretter.

Løsningsalgoritme:

1. Bestem type ligning. Om nødvendig, omorganiser ligningen slik at den inneholder bare én trigonometrisk funksjon.

For å gjøre dette, velg ønsket formel:

eller eller dele opp i

2. En erstatning introduseres (for eksempel sinx = t , cosx = t , tgx = t ).

3. Løs den andregradsligningen.

4. Den omvendte substitusjonen gjøres, og den enkleste trigonometriske ligningen er løst.

5. Skriv ned svaret.

Læreren evaluerer arbeidet til elever og studiegrupper og kunngjør karakterer.

Lærer: «Skriv ned leksene dine: Bashmakov M.I. Matematikk: lærebok for grunnskole og videregående fagpersoner. utdanning. – M.; "Akademi", 2010. S. 114-115. I nummer 10 løser du ligning nummer 4,5,7,9. s. 118. Sjekk resultatet i editoren Microsoft utmerke ».

Leksjonsemne: "Løse trigonometriske ligninger ved å introdusere en ny variabel"

Leksjonstype: leksjon om å lære nytt materiale

Leksjonens mål: Pedagogisk: konsolidere kunnskap og ferdigheter i å løse enkleste problemer

trigonometriske ligninger, lære hvordan du løser trigonometriske ligninger

ved å introdusere en ny variabel.

Utviklingsmessig: utvikle evnen til å løse trigonometriske ligninger, utvikle

evnen til raskt og korrekt å bestemme type ligning og hvordan den løses.

Pedagogisk: skape en arbeidskultur og respekt for hverandre.

Leksjonsplan: 1. Organisering av tid.

2. Sjekker lekser.

3. Oppdatering av kunnskap.

4. Lære nytt stoff.

5. Konsolidering av nytt materiale.

6. Kroppsøvingsminutt.

7. Primær kunnskapskontroll.

8. Oppsummering.

9. Speilbilde.

10. Hjemmelekser.

I løpet av timene.

1. Organisatorisk øyeblikk .

2. Sjekke lekser. 18 nr. 13(c)

3. Oppdatering av kunnskap. Løs ligningen:

sin x = 0

cosx = 1

cosx = 2

tg x =

Medtgx = 0

1. X 2 + 3x =0

   X 2 – 9 = 0

   3x 2 + 29 = 0

   X 2 +5x +6 = 0

   X 4 +2x 2 – 3 = 0

Hva heter ligningene skrevet i venstre kolonne? i høyre kolonne?

Hvilke metoder ble brukt for å løse likningene i venstre kolonne?

synd 2 x - 6 synd x + 5 =0

Hva tror du temaet for leksjonen vil være i dag?

Vi åpnet notatbøkene våre og skrev ned nummeret, klassearbeidet, leksjonens emne: "Løse trigonometriske ligninger ved å introdusere en ny variabel."

Hva er målet vårt for timen?Lær å løse trigonometriske ligninger ved å bruke variabelerstatningsmetoden.

4. Studere nytt materiale.

Denne leksjonen vil dekke den vanligste metoden for å løse trigonometriske ligninger.

Trigonometriske ligninger redusert til andregradsligninger .

Denne klassen kan inkludere ligninger som inkluderer en funksjon (sinus eller cosinus, tangens eller cotangens) eller to funksjoner av samme argument, men en av dem reduseres til den andre ved å bruke grunnleggende trigonometriske identiteter.ENsynd 2 x + bsinx + c =0, en.

For eksempel hviscOsx skriver inn ligningen i partalls potenser, så erstatter vi den med 1-synd 2 x, Hvissynd 2 x, så erstatter vi den med 1-cos 2 x.

5. Konsolidering av nytt materiale.

Eksempel.

Løs ligningen:synd 2 x - 6 syndx + 5 =0, 2 synd 2 x - 3cosx -3 = 0.

6. Kroppsøvingsminutt.

En oppgave for å lindre øyetretthet: du bør ikke bevege hendene, men bare øynene dine. Tabellen inneholder tall fra 1 til 20, men fire tall mangler. Din oppgave: navngi disse tallene.

7. Primærkontroll

Arbeid i par: løse ligningen:

1. 3tg 2 x +2 tg x-1=0;

2,5 sin 2 x+ 6cos x -6 = 0.

Vi diskuterer løsninger på ligninger, løser, og sjekker deretter løsningene med tavlen.

1. 3 tg 2 x +2 tgx-1= 0

Latgx = t.

3 t 2 + 2 t – 1 = 0

D = 16

t 1 = , t 2 = -1.

tgx= ellertgx = -1

x = arctg + Z x = - + Z

2. 5 synd 2 x + 6cos x - 6 = 0

5( 1 - Med os 2 x ) + 6cos x - 6 = 0

5 cos 2 x - 6cos x +1 = 0

Lacos x =t.

5 t 2 - 6 t + 1 = 0

D = 16

t 1 = , t 2 = 1.

La oss gå tilbake til den opprinnelige variabelen:

cosx= ellercosx = 1

x = arccos + Z x = Z

8. Konsolidering.

Løs ligningene:

1. 2 Medtg 2 x+3Medtg x + 3= 5;

2.2sin 2 -syndX + 2 = 3.

1. Løs ligningen 2 cos 2 x - 3 cos (x) - 3 = 0. Angi røttene som tilhører segmentet [ - ; ].

2. 3tg x - 2Medtan x = 5

Hvert alternativ løser likningene og sjekker svarene på tavlen. Gutta vurderer seg selv for dette arbeidet. Blader med løsninger leveres inn. Ved neste leksjon vil jeg kunngjøre karakterene for dette arbeidet.

8. Oppsummering .

Husk: Hva er temaet for leksjonen? Hva er målet vårt for dagens leksjon? Har vi nådd målet vårt?

9. Refleksjon.

"I dagens leksjon fant jeg ut...";

«Jeg ville prist meg selv...»;

"Jeg likte spesielt...";

«I dag klarte jeg...»;

"Jeg klarte...";

"Det var vanskelig…";

"Jeg innså at...";

"Nå kan jeg…";

"Jeg følte at...";

"Jeg lærte…";

"Jeg ble overrasket..."

10. Lekser.

1) §18, nr. 6(c), 8(b), 9(a), 21(a).

2) §18, nr. 7(b), 9(d). Oppgave nr. 1 eller 2.

1. Løs ligningen + 4tgx- 6 = 0. Angi røttene som tilhører segmentet [; ].

2. = 0.

Arbeid i par

1. 3 tg 2 x +2 tg x -1=0;

2. 5 synd 2 x + 6 cos x -6 = 0.

Arbeid i par

1. 3tg 2 x +2 tg x-1=0;

2,5 sin 2 x+ 6cos x -6 = 0.

Arbeid i par

1. 3 tg 2 x +2 tg x -1=0;

2. 5 synd 2 x + 6 cos x -6 = 0.

Arbeid i par

1. 3 tg 2 x +2 tg x -1=0;

2. 5 synd 2 x + 6 cos x -6 = 0.

Arbeid i par

1. 3tg 2 x +2 tg x-1=0;

2,5 sin 2 x+ 6cos x -6 = 0.

Hjemmelekser:

1. Løs ligningen + 4tgx

[ ; ].

2. Løs ligningen

Hjemmelekser:

1. Løs ligningen + 4tgx- 6 = 0. Angi røttene som tilhører segmentet

[ ; ].

2. Løs ligningen

Hjemmelekser:

1. Løs ligningen + 4tgx- 6 = 0. Angi røttene som tilhører segmentet

[ ; ].

2. Løs ligningen

Hjemmelekser:

1. Løs ligningen + 4tgx- 6 = 0. Angi røttene som tilhører segmentet

[ ; ].

2. Løs ligningen

Hjemmelekser:

1. Løs ligningen + 4tgx- 6 = 0. Angi røttene som tilhører segmentet

[ ; ].

2. Løs ligningen

Hjemmelekser:

1. Løs ligningen + 4tgx- 6 = 0. Angi røttene som tilhører segmentet

[ ; ].

2. Løs ligningen

Hjemmelekser:

1. Løs ligningen + 4tgx- 6 = 0. Angi røttene som tilhører segmentet

[ ; ].

2. Løs ligningen

Hjemmelekser:

1. Løs ligningen + 4tgx- 6 = 0. Angi røttene som tilhører segmentet

[ ; ].

2. Løs ligningen

Hjemmelekser:

1. Løs ligningen + 4tgx- 6 = 0. Angi røttene som tilhører segmentet

[ ; ].

2. Løs ligningen

Hjemmelekser:

1. Løs ligningen + 4tgx- 6 = 0. Angi røttene som tilhører segmentet

[ ; ].

2. Løs ligningen

Du kan bestille en detaljert løsning på problemet ditt!!!

En likhet som inneholder en ukjent under tegnet til en trigonometrisk funksjon (`sin x, cos x, tan x` eller `ctg x`) kalles en trigonometrisk ligning, og det er deres formler vi skal vurdere nærmere.

De enkleste ligningene er `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, hvor `x` er vinkelen som skal finnes, `a` er et hvilket som helst tall. La oss skrive ned rotformlene for hver av dem.

1. Ligning `sin x=a`.

For `|a|>1` har den ingen løsninger.

Når `|a| \leq 1` har et uendelig antall løsninger.

Rotformel: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. Ligning `cos x=a`

For `|a|>1` - som for sinus, har den ingen løsninger blant reelle tall.

Når `|a| \leq 1` har et uendelig antall løsninger.

Rotformel: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

Spesielle tilfeller for sinus og cosinus i grafer.

3. Ligning `tg x=a`

Har et uendelig antall løsninger for alle verdier av `a`.

Rotformel: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. Ligning `ctg x=a`

Har også et uendelig antall løsninger for alle verdier av `a`.

Rotformel: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

Formler for røttene til trigonometriske ligninger i tabellen

For sinus:
For kosinus:
For tangent og cotangens:
Formler for å løse ligninger som inneholder inverse trigonometriske funksjoner:

Metoder for å løse trigonometriske ligninger

Å løse enhver trigonometrisk ligning består av to trinn:

• ved hjelp av å transformere den til den enkleste;
• løs den enkleste ligningen oppnådd ved å bruke rotformlene og tabellene skrevet ovenfor.

La oss se på de viktigste løsningsmetodene ved å bruke eksempler.

Algebraisk metode.

Denne metoden innebærer å erstatte en variabel og erstatte den med en likhet.

Eksempel. Løs ligningen: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

gjør en erstatning: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, deretter `2y^2-3y+1=0`,

vi finner røttene: `y_1=1, y_2=1/2`, hvorfra to tilfeller følger:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

Svar: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

Faktorisering.

Eksempel. Løs ligningen: `sin x+cos x=1`.

Løsning. La oss flytte alle leddene i likheten til venstre: `sin x+cos x-1=0`. Ved å bruke transformerer og faktoriserer vi venstre side:

`sin x — 2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,

1. `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
2. `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Svar: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Reduksjon til en homogen ligning

Først må du redusere denne trigonometriske ligningen til en av to former:

`a sin x+b cos x=0` (homogen ligning av første grad) eller `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (homogen ligning av andre grad).

Deretter deler du begge delene med `cos x \ne 0` - for det første tilfellet, og med `cos^2 x \ne 0` - for det andre. Vi får ligninger for `tg x`: `a tg x+b=0` og `a tg^2 x + b tg x +c =0`, som må løses med kjente metoder.

Eksempel. Løs ligningen: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.

Løsning. La oss skrive høyre side som `1=sin^2 x+cos^2 x`:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x -` ` sin^2 x — cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0`.

Dette er en homogen trigonometrisk ligning av andre grad, vi deler venstre og høyre side med `cos^2 x \ne 0`, vi får:

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) — \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

`tg^2 x+tg x — 2=0`. La oss introdusere erstatningen `tg x=t`, som resulterer i `t^2 + t - 2=0`. Røttene til denne ligningen er `t_1=-2` og `t_2=1`. Deretter:

1. `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
2. `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

Svar. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

Flytter til halv vinkel

Eksempel. Løs ligningen: `11 sin x - 2 cos x = 10`.

Løsning. La oss bruke dobbeltvinkelformlene, noe som resulterer i: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`

`4 tg^2 x/2 — 11 tg x/2 +6=0'

Ved å bruke den algebraiske metoden beskrevet ovenfor får vi:

1. `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
2. `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Svar. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Innføring av hjelpevinkel

I den trigonometriske ligningen `a sin x + b cos x =c`, der a,b,c er koeffisienter og x er en variabel, del begge sider med `sqrt (a^2+b^2)`:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2) ) +b^2))`.

Koeffisientene på venstre side har egenskapene til sinus og cosinus, nemlig summen av kvadratene deres er lik 1 og modulene deres er ikke større enn 1. La oss betegne dem som følger: `\frac a(sqrt (a^2) +b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2)) =C`, deretter:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

La oss se nærmere på følgende eksempel:

Eksempel. Løs ligningen: `3 sin x+4 cos x=2`.

Løsning. Del begge sider av likheten med `sqrt (3^2+4^2)`, vi får:

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))`

`3/5 sin x+4/5 cos x=2/5`.

La oss betegne `3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi`. Siden `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, tar vi `\varphi=arcsin 4/5` som en hjelpevinkel. Så skriver vi vår likestilling i formen:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

Ved å bruke formelen for summen av vinkler for sinusen, skriver vi vår likhet i følgende form:

`sin (x+\varphi)=2/5`,

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Svar. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Fraksjonelle rasjonelle trigonometriske ligninger

Dette er likheter med brøker hvis tellere og nevnere inneholder trigonometriske funksjoner.

Eksempel. Løs ligningen. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.

Løsning. Multipliser og del høyre side av likheten med `(1+cos x)`. Som et resultat får vi:

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

Tatt i betraktning at nevneren ikke kan være lik null, får vi `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`.

La oss likestille telleren til brøken til null: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Deretter `sin x=0` eller `1-sin x=0`.

1. `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
2. `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.

Gitt at ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, er løsningene `x=2\pi n, n \in Z` og `x=\pi /2+2\pi n` , `n \i Z`.

Svar. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

Trigonometri, og spesielt trigonometriske ligninger, brukes i nesten alle områder av geometri, fysikk og ingeniørfag. Studiet begynner i 10. klasse, det er alltid oppgaver for Unified State Exam, så prøv å huske alle formlene for trigonometriske ligninger - de vil definitivt være nyttige for deg!

Imidlertid trenger du ikke engang å huske dem, det viktigste er å forstå essensen og være i stand til å utlede den. Det er ikke så vanskelig som det ser ut til. Se selv ved å se videoen.

De viktigste metodene for å løse trigonometriske likninger er: å redusere likningene til de enkleste (ved å bruke trigonometriske formler), introdusere nye variabler og faktorisering. La oss se på bruken deres med eksempler. Vær oppmerksom på formatet for å skrive løsninger til trigonometriske ligninger.

En nødvendig betingelse for å lykkes med å løse trigonometriske ligninger er kunnskap om trigonometriske formler (emne 13 i arbeid 6).

Eksempler.

1. Ligninger redusert til de enkleste.

1) Løs ligningen

Løsning:

Svar:

2) Finn røttene til ligningen

(sinx + cosx) 2 = 1 – sinxcosx, som tilhører segmentet.

Løsning:

Svar:

2. Ligninger som reduserer til kvadratisk.

1) Løs ligningen 2 sin 2 x – cosx –1 = 0.

Løsning: Ved å bruke formelen sin 2 x = 1 – cos 2 x, får vi

Svar:

2) Løs ligningen cos 2x = 1 + 4 cosx.

Løsning: Ved å bruke formelen cos 2x = 2 cos 2 x – 1, får vi

Svar:

3) Løs ligningen tgx – 2ctgx + 1 = 0

Løsning:

Svar:

3. Homogene ligninger

1) Løs ligningen 2sinx – 3cosx = 0

Løsning: La cosx = 0, så 2sinx = 0 og sinx = 0 – en selvmotsigelse med at sin 2 x + cos 2 x = 1. Dette betyr cosx ≠ 0 og vi kan dele ligningen på cosx. Vi får

Svar:

2) Løs ligningen 1 + 7 cos 2 x = 3 sin 2x

Løsning:

Vi bruker formlene 1 = sin 2 x + cos 2 x og sin 2x = 2 sinxcosx, får vi

sin 2 x + cos 2 x + 7cos 2 x = 6sinxcosx
sin 2 x – 6sinxcosx+ 8cos 2 x = 0

La cosx = 0, så sin 2 x = 0 og sinx = 0 – en selvmotsigelse med det faktum at sin 2 x + cos 2 x = 1.
Dette betyr cosx ≠ 0 og vi kan dele ligningen med cos 2 x . Vi får

tg 2 x – 6 tgx + 8 = 0
La oss betegne tgx = y
y 2 – 6 y + 8 = 0
y1 = 4; y2=2
a) tgx = 4, x= arctan4 + 2 k, k
b) tgx = 2, x= arctan2 + 2 k, k .

Svar: arctg4 + 2 k, arctan2 + 2 k,k

4. Formlikninger en sinx + b cosx = s, s≠ 0.

1) Løs ligningen.

Løsning:

Svar:

5. Ligninger løst ved faktorisering.

1) Løs ligningen sin2x – sinx = 0.

Roten til ligningen f (X) = φ ( X) kan bare tjene som tallet 0. La oss sjekke dette:

cos 0 = 0 + 1 – likheten er sann.

Tallet 0 er den eneste roten til denne ligningen.

Svar: 0.

Leksjon og presentasjon om emnet: "Løse enkle trigonometriske ligninger"

Ytterligere materialer
Kjære brukere, ikke glem å legge igjen kommentarer, anmeldelser, ønsker! Alt materiale er sjekket av et antivirusprogram.

Manualer og simulatorer i Integral nettbutikk for klasse 10 fra 1C
Vi løser problemer innen geometri. Interaktive oppgaver for bygging i rommet
Programvaremiljø "1C: Mathematical Constructor 6.1"

Hva vi skal studere:
1. Hva er trigonometriske ligninger?

3. To hovedmetoder for å løse trigonometriske ligninger.
4. Homogene trigonometriske ligninger.
5. Eksempler.

Hva er trigonometriske ligninger?

Gutter, vi har allerede studert arcsine, arccosine, arctangent og arccotangent. La oss nå se på trigonometriske ligninger generelt.

Trigonometriske ligninger er ligninger der en variabel er inneholdt under tegnet til en trigonometrisk funksjon.

La oss gjenta formen for å løse de enkleste trigonometriske ligningene:

1)Hvis |a|≤ 1, så har ligningen cos(x) = a en løsning:

X= ± arccos(a) + 2πk

2) Hvis |a|≤ 1, så har ligningen sin(x) = a en løsning:

3) Hvis |a| > 1, da har ligningen sin(x) = a og cos(x) = a ingen løsninger 4) Ligningen tg(x)=a har en løsning: x=arctg(a)+ πk

5) Ligningen ctg(x)=a har en løsning: x=arcctg(a)+ πk

For alle formler er k et heltall

De enkleste trigonometriske ligningene har formen: T(kx+m)=a, T er en trigonometrisk funksjon.

Eksempel.

Løs ligningene: a) sin(3x)= √3/2

Løsning:

A) La oss betegne 3x=t, så vil vi omskrive ligningen vår i formen:

Løsningen på denne ligningen vil være: t=((-1)^n)arcsin(√3 /2)+ πn.

Fra verditabellen får vi: t=((-1)^n)×π/3+ πn.

La oss gå tilbake til variabelen vår: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

Da er x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3

Svar: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, hvor n er et heltall. (-1)^n – minus én i potensen av n.

Flere eksempler på trigonometriske ligninger.

Løs ligningene: a) cos(x/5)=1 b)tg(3x- π/3)= √3

Løsning:

A) La oss denne gangen gå direkte til å beregne røttene til ligningen med en gang:

X/5= ± arccos(1) + 2πk. Da er x/5= πk => x=5πk

Svar: x=5πk, der k er et heltall.

B) Vi skriver det på formen: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. Vi vet at: arctan(√3)= π/3

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

Svar: x=2π/9 + πk/3, hvor k er et heltall.

Løs ligningene: cos(4x)= √2/2. Og finn alle røttene på segmentet.

Løsning:

La oss løse ligningen vår i generell form: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x= ± π/4 + 2πk;

X= ± π/16+ πk/2;

La oss nå se hvilke røtter som faller på vårt segment. Ved k Ved k=0, x= π/16, er vi i det gitte segmentet.
Med k=1, x= π/16+ π/2=9π/16, treffer vi igjen.
For k=2, x= π/16+ π=17π/16, men her traff vi ikke, noe som betyr at for stor k vil vi selvsagt heller ikke treffe.

Svar: x= π/16, x= 9π/16

To hovedløsningsmetoder.

Vi så på de enkleste trigonometriske ligningene, men det er også mer komplekse. For å løse dem brukes metoden for å introdusere en ny variabel og metoden for faktorisering. La oss se på eksempler.

La oss løse ligningen:

Løsning:
For å løse ligningen vår vil vi bruke metoden for å introdusere en ny variabel, som betegner: t=tg(x).

Som et resultat av erstatningen får vi: t 2 + 2t -1 = 0

La oss finne røttene til den kvadratiske ligningen: t=-1 og t=1/3

Så tg(x)=-1 og tg(x)=1/3, får vi den enkleste trigonometriske ligningen, la oss finne røttene.

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Svar: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Et eksempel på å løse en ligning

Løs ligninger: 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0

Løsning:

La oss bruke identiteten: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1

Vår ligning vil ha formen: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 cos 2 (x) - 3 cos(x) -2 = 0

La oss introdusere erstatningen t=cos(x): 2t 2 -3t - 2 = 0

Løsningen på vår andregradsligning er røttene: t=2 og t=-1/2

Deretter cos(x)=2 og cos(x)=-1/2.

Fordi cosinus kan ikke ta verdier større enn én, da har cos(x)=2 ingen røtter.

For cos(x)=-1/2: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

Svar: x= ±2π/3 + 2πk

Homogene trigonometriske ligninger.

Definisjon: Ligninger av formen a sin(x)+b cos(x) kalles homogene trigonometriske ligninger av første grad.

Formens ligninger

homogene trigonometriske ligninger av andre grad.

For å løse en homogen trigonometrisk ligning av første grad, del den med cos(x): Du kan ikke dele med cosinus hvis den er lik null, la oss sørge for at dette ikke er tilfelle:
La cos(x)=0, så asin(x)+0=0 => sin(x)=0, men sinus og cosinus er ikke lik null samtidig, vi får en motsigelse, så vi kan trygt dele med null.

Løs ligningen:
Eksempel: cos 2 (x) + sin(x) cos(x) = 0

Løsning:

La oss ta ut den felles faktoren: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

Da må vi løse to ligninger:

Cos(x)=0 og cos(x)+sin(x)=0

Cos(x)=0 ved x= π/2 + πk;

Tenk på ligningen cos(x)+sin(x)=0 Del vår ligning med cos(x):

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

Svar: x= π/2 + πk og x= -π/4+πk

Hvordan løse homogene trigonometriske ligninger av andre grad?
Gutter, følg alltid disse reglene!

1. Se hva koeffisienten a er lik, hvis a=0 vil ligningen vår ha formen cos(x)(bsin(x)+ccos(x)), et eksempel på løsningen som er på forrige lysbilde

2. Hvis a≠0, må du dele begge sider av ligningen med cosinus i annen, får vi:

Vi endrer variabelen t=tg(x) og får ligningen:

Løs eksempel nr.:3

Løs ligningen:
Løsning:

La oss dele begge sider av ligningen med cosinuskvadrat:

Vi endrer variabelen t=tg(x): t 2 + 2 t - 3 = 0

La oss finne røttene til den kvadratiske ligningen: t=-3 og t=1

Deretter: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk

Tg(x)=1 => x= π/4+ πk

Svar: x=-arctg(3) + πk og x= π/4+ πk

Løs eksempel nr.:4

Løs ligningen:

Løsning:
La oss forvandle uttrykket vårt:

Vi kan løse slike ligninger: x= - π/4 + 2πk og x=5π/4 + 2πk

Svar: x= - π/4 + 2πk og x=5π/4 + 2πk

Løs eksempel nr.:5

Løs ligningen:

Løsning:
La oss forvandle uttrykket vårt:

La oss introdusere erstatningen tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0

Løsningen på vår andregradsligning vil være røttene: t=-2 og t=1/2

Da får vi: tg(2x)=-2 og tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2

2x= arctg(1/2) + πk => x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Svar: x=-arctg(2)/2 + πk/2 og x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Problemer for uavhengig løsning.

1) Løs ligningen

A) sin(7x)= 1/2 b) cos(3x)= √3/2 c) cos(-x) = -1 d) tg(4x) = √3 d) ctg(0,5x) = -1,7

2) Løs ligningene: sin(3x)= √3/2. Og finn alle røttene på segmentet [π/2; π].

3) Løs ligningen: barneseng 2 (x) + 2 barneseng (x) + 1 =0

4) Løs ligningen: 3 sin 2 (x) + √3sin (x) cos(x) = 0

5) Løs ligningen: 3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0

6) Løs ligningen: cos 2 (2x) -1 - cos(x) =√3/2 -sin 2 (2x)