Производная алгебраической суммы функций. Производная функции

Операция отыскания производной называется дифференцированием.

В результате решения задач об отыскании производных у самых простых (и не очень простых) функций по определению производной как предела отношения приращения к приращению аргумента появились таблица производных и точно определённые правила дифференцирования. Первыми на ниве нахождения производных потрудились Исаак Ньютон (1643-1727) и Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646-1716).

Поэтому в наше время, чтобы найти производную любой функции, не надо вычислять упомянутый выше предел отношения приращения функции к приращению аргумента, а нужно лишь воспользоваться таблицей производных и правилами дифференцирования. Для нахождения производной подходит следующий алгоритм.

Чтобы найти производную , надо выражение под знаком штриха разобрать на составляющие простые функции и определить, какими действиями (произведение, сумма, частное) связаны эти функции. Далее производные элементарных функций находим в таблице производных, а формулы производных произведения, суммы и частного - в правилах дифференцирования. Таблица производных и правила дифференцирования даны после первых двух примеров.

Пример 1. Найти производную функции

Решение. Из правил дифференцирования выясняем, что производная суммы функций есть сумма производных функций, т. е.

Из таблицы производных выясняем, что производная "икса" равна единице, а производная синуса - косинусу. Подставляем эти значения в сумму производных и находим требуемую условием задачи производную:

Пример 2. Найти производную функции

Решение. Дифференцируем как производную суммы, в которой второе слагаемое с постоянным множителем, его можно вынести за знак производной:

Если пока возникают вопросы, откуда что берётся, они, как правило, проясняются после ознакомления с таблицей производных и простейшими правилами дифференцирования. К ним мы и переходим прямо сейчас.

Таблица производных простых функций

1. Производная константы (числа). Любого числа (1, 2, 5, 200...), которое есть в выражении функции. Всегда равна нулю. Это очень важно помнить, так как требуется очень часто
2. Производная независимой переменной. Чаще всего "икса". Всегда равна единице. Это тоже важно запомнить надолго
3. Производная степени. В степень при решении задач нужно преобразовывать неквадратные корни.
4. Производная переменной в степени -1
5. Производная квадратного корня
6. Производная синуса
7. Производная косинуса
8. Производная тангенса
9. Производная котангенса
10. Производная арксинуса
11. Производная арккосинуса
12. Производная арктангенса
13. Производная арккотангенса
14. Производная натурального логарифма
15. Производная логарифмической функции
16. Производная экспоненты
17. Производная показательной функции

Правила дифференцирования

1. Производная суммы или разности
2. Производная произведения
2a. Производная выражения, умноженного на постоянный множитель
3. Производная частного
4. Производная сложной функции

Правило 1. Если функции

дифференцируемы в некоторой точке , то в той же точке дифференцируемы и функции

причём

т.е. производная алгебраической суммы функций равна алгебраической сумме производных этих функций.

Следствие. Если две дифференцируемые функции отличаются на постоянное слагаемое, то их производные равны , т.е.

Правило 2. Если функции

дифференцируемы в некоторой точке , то в то же точке дифференцируемо и их произведение

причём

т.е. производная произведения двух функций равна сумме произведений каждой из этих функций на производную другой.

Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак производной :

Следствие 2. Производная произведения нескольких дифференцируемых функций равна сумме произведений производной каждого из сомножителей на все остальные.

Например, для трёх множителей:

Правило 3. Если функции

дифференцируемы в некоторой точке и , то в этой точке дифференцируемо и их частное u/v , причём

т.е. производная частного двух функций равна дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя на производную числителя и числителя на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего числителя.

Где что искать на других страницах

При нахождении производной произведения и частного в реальных задачах всегда требуется применять сразу несколько правил дифференцирования, поэтому больше примеров на эти производные - в статье "Производная произведения и частного функций " .

Замечание. Следует не путать константу (то есть, число) как слагаемое в сумме и как постоянный множитель! В случае слагаемого её производная равна нулю, а в случае постоянного множителя она выносится за знак производных. Это типичная ошибка, которая встречается на начальном этапе изучения производных, но по мере решения уже нескольких одно- двухсоставных примеров средний студент этой ошибки уже не делает.

А если при дифференцировании произведения или частного у вас появилось слагаемое u "v , в котором u - число, например, 2 или 5, то есть константа, то производная этого числа будет равна нулю и, следовательно, всё слагаемое будет равно нулю (такой случай разобран в примере 10).

Другая частая ошибка - механическое решение производной сложной функции как производной простой функции. Поэтому производной сложной функции посвящена отдельная статья. Но сначала будем учиться находить производные простых функций.

По ходу не обойтись без преобразований выражений. Для этого может потребоваться открыть в новых окнах пособия Действия со степенями и корнями и Действия с дробями .

Если Вы ищете решения производных дробей со степенями и корнями, то есть, когда функция имеет вид вроде , то следуйте на занятие "Производная суммы дробей со степенями и корнями ".

Если же перед Вами задача вроде , то Вам на занятие "Производные простых тригонометрических функций".

Пошаговые примеры - как найти производную

Пример 3. Найти производную функции

Решение. Определяем части выражения функции: всё выражение представляет произведение, а его сомножители - суммы, во второй из которых одно из слагаемых содержит постоянный множитель. Применяем правило дифференцирования произведения: производная произведения двух функций равна сумме произведений каждой из этих функций на производную другой:

Далее применяем правило дифференцирования суммы: производная алгебраической суммы функций равна алгебраической сумме производных этих функций. В нашем случае в каждой сумме второе слагаемое со знаком минус. В каждой сумме видим и независимую переменную, производная которой равна единице, и константу (число), производная которой равна нулю. Итак, "икс" у нас превращается в единицу, а минус 5 - в ноль. Во втором выражении "икс" умножен на 2, так что двойку умножаем на ту же единицу как производную "икса". Получаем следующие значения производных:

Подставляем найденные производные в сумму произведений и получаем требуемую условием задачи производную всей функции:

Пример 4. Найти производную функции

Решение. От нас требуется найти производную частного. Применяем формулу дифференцирования частного: производная частного двух функций равна дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя на производную числителя и числителя на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего числителя. Получаем:

Производную сомножителей в числителе мы уже нашли в примере 2. Не забудем также, что произведение, являющееся вторым сомножителем в числителе в текущем примере берётся со знаком минус:

Если Вы ищете решения таких задач, в которых надо найти производную функции, где сплошное нагромождение корней и степеней, как, например, , то добро пожаловать на занятие "Производная суммы дробей со степенями и корнями" .

Если же Вам нужно узнать больше о производных синусов, косинусов, тангенсов и других тригонометрических функций, то есть, когда функция имеет вид вроде , то Вам на урок "Производные простых тригонометрических функций" .

Пример 5. Найти производную функции

Решение. В данной функции видим произведение, один из сомножителей которых - квадратный корень из независимой переменной, с производной которого мы ознакомились в таблице производных. По правилу дифференцирования произведения и табличному значению производной квадратного корня получаем:

Пример 6. Найти производную функции

Решение. В данной функции видим частное, делимое которого - квадратный корень из независимой переменной. По правилу дифференцирования частного, которое мы повторили и применили в примере 4, и табличному значению производной квадратного корня получаем:

Чтобы избавиться от дроби в числителе, умножаем числитель и знаменатель на .

Вопросы к экзамену по учебной дисциплине «Элементы высшей математики»

для специальности 230115 «Программирование в компьютерных системах »

2012\2013уч.год.

Матрицы и действия над ними.

(О. Нулевой матрицей называется матрица все элементы которой равны 0.

О. Две матрицы одинаковой размерности mxn называются равными , если на пересечении i-й строки и j-го столбца в одной и в другой матрице стоит одно и то же число; i=1, 2, ..., m ; j=1, 2, ..., n .

Пусть A = (a ij) – некоторая матрица и g–произвольное число,тогда g A = (g a ij), то есть при умножении матрицы A на число g все числа, составляющие матрицу A, умножаются на число g.

Пусть A и B – матрицы одинаковой размерности A = (a ij), B = (b ij), тогда их сумма A + B – матрица C = (c ij) той же размерности, определяемая из формулы c ij = a ij + b ij , то есть при сложении двух матриц попарно складываются одинаково расположенные в них числа.

Матрицу A можно умножить на матрицу B, то есть найти матрицу C = AB, если число столбцов n матрицы A равно числу строк матрицы B, при этом матрица C будет иметь столько строк, сколько строк у матрицы A и столько столбцов, сколько столбцов у матрицы B. Каждый элемент матрицы C определяется формулой.

Элемент c ij матрицы-произведения C равен сумме произведений элементов i -строки первой матрицы- сомножителя на соответствующие элементы j -го столбца второй матрицы - сомножителя.

Понятие определителя и его свойства.

У этого термина существуют и другие значения, см. Определитель (значения) .

Определи́тель (или детермина́нт ) - одно из основных понятий линейной алгебры . Определитель матрицы является многочленом от элементов квадратной матрицы (то есть такой, у которой количество строк и столбцов равно). В общем случае матрица может быть определена над любым коммутативным кольцом , в этом случае определитель будет элементом того же кольца.

СВОЙСТВО 1. Величина определителя не изменится, если все его строки заменить столбцами, причем каждую строку заменить столбцом с тем же номером, то есть

СВОЙСТВО 2. Перестановка двух столбцов или двух строк определителя равносильна умножению его на -1.

СВОЙСТВО 3. Если определитель имеет два одинаковых столбца или две одинаковые строки, то он равен нулю.

СВОЙСТВО 4. Умножение всех элементов одного столбца или одной строки определителя на любое число k равносильно умножению определителя на это число k.

СВОЙСТВО 5. Если все элементы некоторого столбца или некоторой строки равны нулю, то сам определитель равен нулю. Это свойство есть частный случае предыдущего (при k=0).

СВОЙСТВО 6. Если соответствующие элементы двух столбцов или двух строк определителя пропорциональны, то определитель равен нулю.

СВОЙСТВО 7. Если каждый элемент n-го столбца или n-й строки определителя представляет собой сумму двух слагаемых, то определитель может быть представлен в виде суммы двух определителей, из которых один в n-м столбце или соответственно в n-й строке имеет первые из упомянутых слагаемых, а другой - вторые; элементы, стоящие на остальных местах, у вех трех определителей одни и те же.

СВОЙСТВО 8. Если к элементам некоторого столбца (или некоторой строки) прибавить соответствующие элементы другого столбца (или другой строки), умноженные на любой общий множитель, то величина определителя при этом не изменится. Например. Дальнейшие свойства определителей связаны с понятием алгебраического дополнения и минора. Минором некоторого элемента называется определитель, получаемый из данного путем вычеркиванием строки и столбца, на пересечении которых расположен этот элемент.

Алгебраическое дополнение любого элемента определителя равняется минору этого элемента, взятому со своим знаком, если сумма номеров строки и столбца, на пересечении которых расположен элемент, есть число четное, и с обратным знаком, если это число нечетное.

Алгебраическое дополнение элемента мы будем обозначать большой буквой того же наименования и тем же номером, что и буква, кторой обозначен сам элемент.

СВОЙСТВО 9. Определитель равен сумме произведений элементов какого-либо столбца (или строки) на их алгебраические дополнения. Иначе говоря, имеют место следующие равенства:

Вычисление определителей.

Вычисление определителей основывается на их известных свойствах, которые относятся к определителям всех порядков. Вот эти свойства:

1. Если переставить две строки (или два столбца) определителя, то определитель изменит знак.

2. Если соответствующие элементы двух столбцов (или двух строк) определителя равны или пропорциональны, то определитель равен нулю.

3. Значение определителя не изменится, если поменять местами строки и столбцы, сохранив их порядок.

4. Если все элементы какой-либо строки (или столбца) имеют общий множитель, то его можно вынести за знак определителя.

5. Значение определителя не изменится, если к элементам одной строки (или столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (или столбца), умноженные на одно и то же число. Для определителей третьего порядка это свойство может быть записано, например, так:

6. Определитель второго порядка вычисляется по формуле

7. Определитель третьего порядка вычисляется по формуле

Существует удобная схема для вычисления определителя третьего порядка (см. рис. 1 и рис. 2).

По схеме, приведенной на рис. 1, произведения соединеных элементов берутся со своим знаком, а по схеме рис. 2 - с обратным. Величина определителя равна алгебраической сумме полученных шести произведений.

Системы линейных уравнений. Основные понятия и определения.

Система mр линейных алгебраических уравнений с n неизвестными (или, линейная система , также употребляется аббревиатура СЛА́У ) в линейной алгебре - это система уравнений вида

Система линейных уравнений от трёх переменных определяет наборплоскостей . Точка пересечения является решением.

Здесь - количество уравнений, а - количество неизвестных. x 1 , x 2 , …, x n - неизвестные, которые надо определить. a 11 , a 12 , …, a mn - коэффициенты системы - и b 1 , b 2 , … b m - свободные члены - предполагаются известными . Индексы коэффициентов (a ij ) системы обозначают номера уравнения (i ) и неизвестного (j ), при котором стоит этот коэффициент, соответственно .

Система (1) называется однородной , если все её свободные члены равны нулю (b 1 = b 2 = … = b m = 0), иначе - неоднородной .

Система (1) называется квадратной , если число m уравнений равно числу n неизвестных.

Решение системы (1) - совокупность n чисел c 1 , c 2 , …, c n , таких что подстановка каждого c i вместо x i в систему (1) обращает все её уравнения в тождества .

Система (1) называется совместной , если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной , если у неё нет ни одного решения.

Совместная система вида (1) может иметь одно или более решений.

Решения c 1 (1) , c 2 (1) , …, c n (1) и c 1 (2) , c 2 (2) , …, c n (2) совместной системы вида (1) называются различными , если нарушается хотя бы одно из равенств:

c 1 (1) = c 1 (2) , c 2 (1) = c 2 (2) , …, c n (1) = c n (2) .

Совместная система вида (1) называется определённой , если она имеет единственное решение; если же у неё есть хотя бы два различных решения, то она называетсянеопределённой . Если уравнений больше, чем неизвестных, она называется переопределённой .

Методы решения систем линейных уравнений (метод Крамера и Гаусса).

Ме́тод Га́усса - классический метод решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Это метод последовательного исключения переменных , когда с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе треугольного вида, из которой последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные .

Метод Крамера (правило Крамера) - способ решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем основной матрицы (причём для таких уравнений решение существует и единственно). Назван по имени Габриэля Крамера (1704–1752), придумавшего метод.

Векторы. Линейные операции над ними.

Вектором называется направленный отрезок. Если начало вектора находится в точке А, а конец – в точке В, то вектор обозначается АВ. Если же начало и конец вектора не указываются, то его обозначают строчной буквой латинского алфавита a, b, c ,…. Через BA обозначают вектор, направленный противоположно вектору АВ. Вектор, у которого начало и конец совпадают, называется нулевым и обозначается ō. Его направление является неопределенным.

Длиной или модулем вектора называется расстояние между его началом и концом. Записи |АВ| и |a| обозначают модули векторов АВ и a.

Векторы называются коллинеарными, если они параллельны одной прямой, и компланарными, если они параллельны одной плоскости.

Два вектора называются равными, если они коллинеарны, одинаково направлены и равны по длине.

К линейным операциям над векторами относятся:

1) умножение вектора на число (Произведением вектора a и числа α называется вектор, обозначаемый α∙a. (или наоборот a∙α), модуль которого равен |α a| =|α||a|, а направление совпадает с направлением вектора a, если α>0, и противоположно ему, если α< 0.

2) сложение векторов (Суммой векторов называется вектор, обозначаемый , начало которого находится в начале первого вектора a 1 , а конец – в конце последнего вектора a n , ломаной линии, составленной из последовательности слагаемых векторов. Это правило сложения называется правилом замыкания ломаной. В случае суммы двух векторов оно равносильно правилу параллелограмма)

Прямая е с заданным на ней направлением, принимаемым за положительное, называется осью е.

Линейной комбинацией векторов a i называется вектор a, определяемый по формуле , где – некоторые числа.

Если для системы n векторов a i равенство

верно только в случае, когда эта система называется линейно независимой. Если же равенство (1) выполняется для , хотя бы одно из которых отлично от нуля, то система векторов aі называется линейно зависимой. Например, любые коллинеарные векторы, три компланарных вектора, четыре и более векторов в трехмерном пространстве всегда линейно зависимы.

Три упорядочных линейно независимых вектора ē 1 , ē 2 , ē 3 в пространстве называется базисом. Упорядоченная тройка некомпланарных векторов всегда образует базис. Любой вектор a в пространстве можно разложить по базису ē 1 , ē 2 , ē 3 , т. е. представить a в виде линейной комбинации базисных векторов: a= xē 1 + yē 2 + zē 3 , где x, y, z являются координатами вектора a в базисе ē 1 , ē 2 , ē 3 . Базис называется ортонормированным, если его векторы взаимно перпендикулярны и имеют единичную длину. Обозначают такой базис i, j, k, т. е. i=(1, 0, 0), j=(0, 1, 0), k=(0, 0, 1).

Пример 5. Векторы заданы в ортонормированном базисе i, j, k координатами: a=(2;-1;8), е 1 = (1,2,3), е 2 = (1,-1,-2), е 3 = (1,-6,0). Убедиться, что тройка е 1 ,е 2 ,е 3 образует базис, и найти координаты вектора в этом базисе.

Решение. Если определитель , составленный из координат векторов е 1 , е 2 , е 3 , не равен 0, то векторы е 1 ,е 2 ,е 3 линейно независимы и, следовательно, образуют базис. Убеждаемся, что = -18-4+3-12=-31 Таким образом, тройка е 1 , е 2 , е 3 - базис.

Обозначим координаты вектора a в базисе е 1 , е 2 , е 3 через x,y,z. Тогда а = (x,y,z) = хе 1 + yе 2 + zе 3 . Так как по условию а = 2i – j +8k , е 1 = i +2j +3k , е 2 = i – j -2k, е 3 = i – 6j , то из равенства а = хе1 + yе 2 + zе 3 следует, что 2i – j +8k = xi + 2xj + 3xk + yi – yj -2yk +zi -6zj = (x+y+z)i +(2x-y-6z)j +(3x-2y)k..Как видно, вектор в левой части полученного равенства равен вектору в правой его части, а это возможно только в случае равенства их соответствующих координат. Отсюда получаем систему для нахождения неизвестных x, y, z:

Ее решение: x = 2, y = -1, z = 1. Итак, а = 2е 1 – е 2 + е 3 = (2,-1,1).

Разложение векторов. Скалярное произведение векторов.

Скаля́рное произведе́ние иногда внутреннее произведение - операция над двумя векторами , результатом которой является число (скаляр ), не зависящее от системы координат и характеризующее длины векторов-сомножителей и угол между ними. Данной операции соответствует умножение длины вектора x на проекцию вектора y на вектор x. Эта операция обычно рассматривается как коммутативная и линейная по каждому сомножителю.

Обычно используется одно из следующих обозначений:

или (обозначение Дирака , часто применяемое в квантовой механике для векторов состояния):

Обычно предполагается, что скалярное произведение положительно определено, то есть

Для всех .

Если этого не предполагать, то произведение называется индефинитным .

Скалярным произведением в векторном пространстве над полем комплексных (или вещественных ) чисел называется функция для элементов , принимающая значения в (или ), определенная для каждой пары элементов и удовлетворяющая следующим условиям:

Заметим, что из п.2 определения следует, что . Поэтому п.3 имеет смысл, несмотря на комплексные (в общем случае) значения скалярного произведения .

Векторное произведение векторов.

Векторное произведение - это псевдовектор , перпендикулярный плоскости, построенной по двум сомножителям, являющийся результатом бинарной операции «векторное умножение» над векторами в трёхмерном Евклидовом пространстве . Произведение не является ни коммутативным , ни ассоциативным (оно является антикоммутативным ) и отличается от скалярного произведения векторов . Во многих задачах инженерии и физики нужно иметь возможность строить вектор, перпендикулярный двум имеющимся - векторное произведение предоставляет эту возможность. Векторное произведение полезно для «измерения» перпендикулярности векторов - длина векторного произведения двух векторов равна произведению их длин, если они перпендикулярны, и уменьшается до нуля, если векторы параллельны либо антипараллельны.

Определить векторное произведение можно по-разному, и теоретически, в пространстве любой размерности n можно вычислить произведение n-1 векторов, получив при этом единственный вектор, перпендикулярный к ним всем. Но если произведение ограничить нетривиальными бинарными произведениями с векторным результатами, то традиционное векторное произведение определено только в трёхмерном и семимерном пространствах. Результат векторного произведения, как и скалярного, зависит от метрики Евклидова пространства.

В отличие от формулы для вычисления по координатам векторов скалярного произведения в трёхмерной прямоугольной системе координат , формула для векторного произведения зависит от ориентации прямоугольной системы координат или, иначе, её «хиральности ».

Смешанное произведение векторов

Сме́шанное произведе́ние векторов - скалярное произведение вектора на векторное произведение векторов и :

Иногда его называют тройным скалярным произведением векторов, по всей видимости из-за того, что результатом является скаляр (точнее - псевдоскаляр ).

Геометрический смысл: Модуль смешанного произведения численно равен объёму параллелепипеда , образованного векторами .

Смешанное произведение кососимметрично по отношению ко всем своим аргументам:

т. е. перестановка любых двух сомножителей меняет знак произведения. Отсюда следует, что

В частности,

Смешанное произведение удобно записывается с помощью символа (тензора) Леви-Чивита :

(в последней формуле в ортонормированном базисе все индексы можно писать нижними; в этом случае эта формула совершенно прямо повторяет формулу с определителем, правда, при этом автоматически получается множитель (-1) для левых базисов).

Декартова прямоугольная система координат на плоскости.

Возьмем на плоскости две взаимно перпендикулярные прямые – две оси координат Ох и Оу с указанными на них положительными направлениями (рис.1). Прямые Ох и Оу называются координатными осями, точка их пересечения О – началом координат.

Координатные оси Ох, Оу с выбранной единицей масштаба называются декартовой прямоугольной (или прямоугольной) системой координат на плоскости.

Произвольной точке М плоскости поставим в соответствие два числа: абсциссу х, равную расстоянию от точки М до оси Оу, взятому со знаком «+», если М лежит правее Оу, и со знаком «-» ,если М лежит левее Оу; ординату у, равную расстоянию от точки М до оси Ох, взятому со знаком «+», если М лежит выше Ох, и со знаком «-», если М лежит ниже Ох. Абсцисса х и ордината у называются декартовыми прямоугольными координатами точки М(х;у).

Начало координат имеет координаты (0;0). Оси координат делят плоскость на четыре части, называемые четвертями или квадрантами (иногда их также называют координатными углами). Часть плоскости, заключенная между положительными полуосями Oх и Oу, называется первым квадрантом. Дальше нумерация квадрантов идет против часовой стрелки (рис. 2). Для всех точек I квадранта х>0, у>0; для точек I I квадранта х<0, у>0, в I I I квадранте х<0, у<0 и в IV квадранте х>0, у<0.

Полярные координаты.

Полярная система координат - двухмерная система координат, в которой каждая точка на плоскости определяется двумя числами - полярным углом и полярным радиусом. Полярная система координат особенно полезна в случаях, когда отношения между точками проще изобразить в виде радиусов и углов; в более распространённой, декартовой или прямоугольной системе координат, такие отношения можно установить только путём применения тригонометрических уравнений.

Полярная система координат задаётся лучом, который называют нулевым или полярной осью. Точка, из которой выходит этот луч, называется началом координат или полюсом. Любая точка на плоскости определяется двумя полярными координатами: радиальной и угловой. Радиальная координата (обычно обозначается ) соответствует расстоянию от точки до начала координат. Угловая координата, также называется полярным углом или азимутом и обозначается , равна углу, на который нужно повернуть против часовой стрелки полярную ось для того, чтобы попасть в эту точку.

Определённая таким образом радиальная координата может принимать значения от нуля до бесконечности , а угловая координата изменяется в пределах от 0° до 360°. Однако, для удобства область значений полярной координаты можно расширить за предел

Уравнение прямой на плоскости

Определение. Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка

Ах + Ву + С = 0,

причем постоянные А, В не равны нулю одновременно. Это уравнение первого порядка называют общим уравнением прямой. В зависимости от значений постоянных А,В и С возможны следующие частные случаи:

C = 0, А ≠0, В ≠ 0 – прямая проходит через начало координат

А = 0, В ≠0, С ≠0 { By + C = 0}- прямая параллельна оси Ох

В = 0, А ≠0, С ≠ 0 { Ax + C = 0} – прямая параллельна оси Оу

В = С = 0, А ≠0 – прямая совпадает с осью Оу

А = С = 0, В ≠0 – прямая совпадает с осью Ох

Уравнение прямой может быть представлено в различном виде в зависимости от каких – либо заданных начальных условий.

Основные задачи использования уравнения прямой

Не могу ответить

Кривые второго порядка

Кривая второго порядка - геометрическое место точек, декартовы прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида

в котором по крайней мере один из коэффициентов отличен от нуля.

Предел числовой последовательности и функции

Предел числовой последовательности. Рассмотрим числовую последовательность, общий член которой приближается к некоторому числу a приувеличении порядкового номера n . В этом случае говорят, что числовая последовательность имеет предел . Это понятие имеет более строгоеопределение.

Это определение означает, что a есть предел числовой последовательности, если её общий член неограниченно приближается к a при возрастании n . Геометрически это значит, что для любого > 0 можно найти такое число N , что начиная с n > N все члены последовательности расположены внутри интервала (a a ). Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся ; в противном случае – расходящейся .

Последовательность называется ограниченной , если существует такое число M , что | u n | M   для всех n . Возрастающая или убывающая последовательность называется монотонной .

Основные теоремы о пределах и их применение

Теорема 1 . (о предельном переходе в равенстве) Если две функции принимают одинаковые значения в окрестности некоторой точки, то их пределы в этой точке совпадают.

Теорема 2. (о предельном переходе в неравенстве) Если значения функции f (x ) в окрестности некоторой точки не превосходят соответствующих значений функции g (x ) , то предел функции f (x ) в этой точке не превосходит предела функции g (x ) .

Теорема 3 . Предел постоянной равен самой постоянной.

Доказательство. f (x )=с , докажем, что .

Возьмем произвольное >0. В качестве  можно взять любое

положительное число. Тогда при

Теорема 4. Функция не может иметь двух различных пределов в

одной точке.

Доказательство. Предположим противное. Пусть

и .

По теореме о связи предела и бесконечно малой функции :

f (x )- A = - б.м. при ,

f (x )- B = - б.м. при .

Вычитая эти равенства, получим:

B -A = - .

Переходя к пределам в обеих частях равенства при , имеем:

B -A =0, т.е. B =A . Получаем противоречие, доказывающее теорему.

Теорема 5. Если каждое слагаемое алгебраической суммы функций имеет предел при , то и алгебраическая сумма имеет предел при , причем предел алгебраической суммы равен алгебраической сумме пределов.

Доказательство. Пусть , , .

Тогда, по теореме о связи предела и б .м . функции :

где - б.м. при .

Сложим алгебраически эти равенства:

f (x )+ g (x )- h (x )-(А+В-С) = ,

где б.м. при .

По теореме о связи предела и б.м. функции:

А+В-С = .

Теорема 6. Если каждый из сомножителей произведения конечного числа функций имеет предел при , то и произведение имеет предел при , причем предел произведения равен произведению пределов.

Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак предела.

Теорема 7. Если функции f (x ) и g (x ) имеют предел при ,

причем , то и их частное имеет предел при , причем предел частного равен частному пределов.

, .

Непрерывность функции

На рис. 15, а изображен график функции . Его естественно назвать непрерывным графиком, потому что он может быть нарисован одним движением карандаша без отрыва от бумаги. Зададим произвольную точку (число) . Близкая к ней другая точка может быть записана в виде , где есть число положительное или отрицательное, называемое приращением . Разность

называется приращением функции в точке , соответствующим приращению . Здесь имеется в виду такое, что . На рис. 15, а равно длине отрезка .

Будем стремить к нулю; тогда для рассматриваемой функции, очевидно, и будет стремиться к нулю:

. (1)

Рассмотрим теперь график на рис 15, б. Он состоит из двух непрерывных кусков и . Однако эти куски не соединены непрерывно, и потому график естественно назвать разрывным. Чтобы график изображал однозначную функцию в точке , условимся, что равно длине отрезка, соединяющего и ; в знак этого точка изображена на графике кружком, в то время как у точки нарисована стрелка, указывающая, что не принадлежит графику. Если бы точка принадлежала графику, то функция была бы двузначной в точке .

Придадим теперь приращение и определим соответствующее приращение функции:

Если мы будем стремить к нулю, то теперь уже нельзя сказать, что будет стремиться к нулю. Для отрицательных , стремящихся к нулю, это так, но для положительных вовсе не так: из рисунка видно, что если , оставаясь положительным, стремится к нулю, то соответствующее приращение при этом стремится к положительному числу, равному длине отрезка.

После этих рассмотрений естественно функцию , заданную на отрезке , называть непрерывной в точке этого отрезка, если приращение ее в этой точке, соответствующее приращению , стремится к нулю при любом способе стремления к нулю. Это (свойство непрерывности в ) записывается в виде соотношения (1) или еще так:

Запись (2) читается так: предел равен нулю, когда стремится к нулю по любому закону. Впрочем, выражение «по любому закону» обычно опускают, подразумевая его.

Если определенная на функция не является непрерывной в точке , т. е. если для нее не выполняется свойство (2) хотя бы при одном способе стремления к нулю, то она называется разрывной в точке .

Функция, изображенная на рис. 15, а, непрерывна в любой точке , функция же, изображенная на рис. 15, б, очевидно, непрерывна в любой точке , за исключением точки , потому что для последней соотношение (2) не выполняется, когда , оставаясь положительным.

Функция, непрерывная в любой точке отрезка (интервала), называется непрерывной на этом отрезке (интервале).

Непрерывная функция математически выражает свойство, с которым нам приходится часто встречаться на практике, заключающееся в том, что малому приращению независимой переменной соответствует малое же приращение зависимой от нее переменной (функции). Прекрасными примерами непрерывной функции могут служить различные законы движения тел , выражающие зависимости пути , пройденного телом, от времени . Время и пространство непрерывны. Тот или иной закон движения устанавливает между ними определенную непрерывную связь, характеризующуюся тем, что малому приращению времени соответствует малое приращение пути.

К абстракции непрерывности человек пришел, наблюдая окружающие его, так называемые, сплошные среды – твердые, жидкие или газообразные, например металлы, воду, воздух. На самом деле, всякая физическая среда представляет собой скопление большого числа отделенных друг от друга движущихся частиц. Однако эти частицы и расстояния между ними настолько малы по сравнению с объемами сред, с которыми приходится иметь дело в макроскопических физических явлениях, что многие такие явления можно достаточно хорошо изучать, если считать приближенно массу изучаемой среды непрерывно распределенной без всяких просветов в занятом ею пространстве. На таком допущении базируются многие физические дисциплины, например гидродинамика, аэродинамика, теория упругости. Математическое понятие непрерывности, естественно, играет в этих дисциплинах, как и во многих других, большую роль.

Непрерывные функции образуют основной класс функций, с которыми оперирует математический анализ.

Примерами непрерывных функций могут служить элементарные функции (см. ниже § 3.8). Они непрерывны на интервалах изменения , где они определены.

Разрывные функции в математике отражают скачкообразные процессы, встречающиеся в природе. При ударе, например, величина скорости тела меняется скачкообразно. Многие качественные переходы сопровождаются скачками. Например, зависимость между температурой одного грамма воды (льда) и количеством калорий находящегося в ней тепла, когда изменяется между и , если принять условно, что при величина , выражается следующими формулами:

Мы считаем, что теплоемкость льда равна 0,5. При эта функция оказывается неопределенной – многозначной; можно для удобства условиться, что при она принимает вполне определенное значение, например . Функция , очевидно, разрывная при , изображена на рис. 16.

Дадим определение непрерывности функции в точке.

Функция называется непрерывной в точке , если она определена в некоторой окрестности этой точки, в том числе в самой точке , и если ее приращение в этой точке, соответствующее приращению аргумента , стремится к нулю при :

Если положить , то получим следующее эквивалентное определение непрерывности в : функция непрерывна в точке , если она определена в некоторой окрестности этой точки, в том числе в самой точке , и если

; (4)

или еще на языке , : если для всякого найдется такое, что

Равенство (4) можно еще записать следующим образом:

. (4’)

Оно показывает, что под знаком непрерывной функции можно переходить к пределу.

П р и м е р 1. Постоянная есть функция, непрерывная в любой точке . В самом деле, точке соответствует значение функции, точке соответствует то же значение . Поэтому и

П р и м е р 2. Функция непрерывна для любого значения , потому что и, следовательно, при .

П р и м е р 3. Функция непрерывна для любого . В самом деле,

Но для любого имеет место неравенство

Если , то это следует из рис. 17, где изображена окружность радиуса 1 (дуга длины больше стягиваемой ею хорды, имеющей длину ). При неравенство (6) обращается в равенство. Если же , то . Наконец, если , то . Из (5) на основании (6) следует

Но тогда, очевидно,

Можно еще сказать, что для всякого можно найти , именно такое, что

Отметим важную теорему.

Т е о р е м а 1. Если функции и непрерывны в точке , то непрерывны также в этой точке их сумма, разность, произведение и частное (при ).

Эта теорема непосредственно вытекает из теоремы 6 §3.2, если учесть, что в данном случае

Справедлива также важная теорема о непрерывности функции от функции (сложной функции).

Т е о р е м а 2. Пусть задана функция , непрерывная в точке , и еще другая функция , непрерывная в точке , и пусть . Тогда сложная функция непрерывна в точке .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Заметим, что по определению непрерывности функции в точке следует, что она определена в некоторой окрестности этой точки. Поэтому

Здесь введена подстановка и учтена непрерывность в точке .

П р и м е р 4. Функция

где - постоянные коэффициенты, называется многочленом степени . Она непрерывна для любого . Ведь чтобы получить , надо, исходя из постоянных чисел и функции , произвести конечное число арифметических действий - сложения, вычитания и умножения. Но постоянная есть непрерывная функция (см. пример 1), а функция тоже непрерывна (см. пример 2), поэтому непрерывность следует из теоремы 1.

П р и м е р 5. Функция непрерывна. Она является композицией двух непрерывных функций: , .

П р и м е р 6. Функция

непрерывна для указанных , потому что (см. теорему 1) она равна частному от деления непрерывных функций и при этом делитель не равен нулю (при указанных ).

П р и м е р 7. Функция

непрерывна для любого , потому что она является композицией непрерывных функций: , , (см. теорему. 2).

П р и м е р 8. Функция непрерывна, потому что

П р и м е р 9. Если функция непрерывна в точке, то непрерывна также в этой точке и функция .

Это следует из теоремы 2 и примера 8, потому что функция есть композиция двух непрерывных функций, .

Отметим еще две теоремы, которые непосредственно следуют из соответствующих теорем 1 и 2 §3.2 для предела функции.

Т е о р е м а 3. Если функция непрерывна в точке , то существует окрестность этой точки, на которой ограничена.

Т е о р е м а 4. Если функция непрерывна в точке и , то существует окрестность точки , на которой

Больше того, если , то

а если , то

Понятие производной.

Произво́дная (функции в точке) - основное понятие дифференциального исчисления , характеризующее скорость изменения функции (в данной точке). Определяется как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю , если такой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке).

Процесс вычисления производной называется дифференци́рованием . Обратный процесс - нахождение первообразной - интегрирование .

Геометрический и механический смысл производной..

Правила дифференцирования.

Производная алгебраической суммы функций

Теорема 1. Производная суммы (разности) двух дифференцируемых функций равна сумме (разности) производных этих функций:

(u±v)" = u"±v"

Следствие. Производная конечной алгебраической суммы дифференцируемых функций равна такой же алгебраической сумме производных слагаемых. Например,

(u - v + w)" = u" - v" + w"

Производную произведения функций определяет

Теорема 2. Производная произведения двух дифференцируемых функций равна произведению первой функции на производную второй плюс произведение второй функции на производную первой, т. е.

(uv)" = u"v + uv"

Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак производной (cv)" = cv" (с = const).

Следствие 2. Производная произведения нескольких дифференцируемых функций равна сумме произведений производной каждой из них на все остальные.

Например, (uvw)" = u"vw + uv"w + uvw"

Производная частного двух функций

выражается следующей теоремой.

Теорема 3. Производная частного двух дифференцируемых функций определяется формулой

Производную сложной функции выражает

Теорема 4. Если y = f(u) и и = (ф(х)) - дифференцируемые функции своих аргументов, то производная сложной функции у = f (ф(х)) существует и равна произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по независимой переменной, т. е.

Очень часто в контрольных по математике на производные даются сложные функции, например, y = sin(cos5x). Производная такой функции равна -5sin5x*sin(cos5x)

Смотрите пример вычисления сложной функции на следующем видео

Производные элементарных функций.

Производные элементарных функций простого аргумента	Функция y = f (kx +b )	Производные элементарных функций сложного аргумента
y =x n	y =n x n −1	y =(kx +b )n	y =n k (kx +b )n −1
		y =(kx +b )

ции, в силу чего равенство (3.10) играет большую роль как в теоретических исследованиях, так и в приближенных вычислениях.

Операции нахождения производной и дифференциала функции называются дифференцированием этой функции. Общее название обеих операций объясняется их очевидной зависимостью. В силу формулы (3.8) дифференциал функции получается простым умножением ее произ-

носительную погрешности, которые возникают при замене приращения функции ее дифференциалом.

Найдём приращение и дифференциал функции

y = 3(x+ x) 2 + (x+ x) − 3 x2 − x= 6 x x+ 3(x) 2 + x= (6 x+ 1) x+ (x) 2 .

Тогда dy = (6 x + 1) x . Вычислимy иdy в точкеx = 1 , еслиx = 0 , 1 y = 7 0 , 1 + 3 0 , 01 = 0 , 73 ; dy = 7 0 , 1 = 0 , 7 .

Абсолютная погрешность y − dy = 0 , 73 − 0 , 7 = 0 , 03 , а относительная погрешность

y = 0 0 , , 03 73 ≈0 ,04 .

3.5. Производная суммы, произведения и частного функций

Напомним известные из курса средней школы правила дифференцирования, которые позволяют в некоторых случаях находить производные функций, не прибегая непосредственно к определению.

Теорема 3.3. Если функцииu = u (x ) иv = v (x )

в точке x , то в этой точке

	(u+ v)

	(uv )		U v+ v u;

		u v − v u		V =v (x ) ≠0 .

дифференцируемы

Умножив эти равенства почленно на dx , получим те же правила, записанные в терминах дифференциалов

d (u+ v) = du+ dv;
d (uv) = udv+ vdu;

					udv − vdu

Доказательство. Так как для всех частей теоремы доказательство проводится совершенно единообразно, докажем одну из них, например, вторую.

Обозначим y = uv . Придадимx приращениеx , и пусть

u ,Δ v ,Δ y будут приращения функцийu , v , y в точке							x , соответствую-
щие приращению		x , аргумента. Тогда
y = (u+ u)(v+ v) − uv= v u+ u v+ u v.
Учитывая, что u	и v - значения функций в точке					x не зависят от при-
ращения аргумента		x , в силу определения (3.1) и свойств предельного
перехода (см. формулы (2.14),(2.15) находим
y ′ =lim		V lim	U lim	v + lim
x→ 0		x→ 0	x→ 0		x→ 0	x→ 0
Функция v = v (x )	в рассматриваемой точке				x по условию теоремы диф-

ференцируема, а значит, и непрерывна (теорема 3.2), следовательно

	v = 0 (определение непрерывности 2.17) и предыдущее равенство
x→ 0				y ′ = vu ′+ uv ′+ u ′ 0 . Подставив сюда
дает выражение для производной:
y = uv , придем к формуле (3.12).						y = C (здесь
	Производная и дифференциал постоянной функции
С -	постоянное число при всех x X )				равны нулю.
	x X C
				dC = C dx= 0 .
Действительно, в любых точках множества X такая функция имеет одно
и то же значение, в силу чего для нее					y ≡ 0 при любых	x иx таких
	x , x + x X . Отсюда,		в силу определения производной и диффе-
ренциала, следуют формулы (3.17).
	Формула (3.11) обобщается на случай любого конечного числа сла-
гаемых функций.
	При u = C , где	C − const , формулы (3.12) и (3.15),				в силу (3.17),
			d (Cv ) = Cdv . То есть, постоянный множи-
дают равенства: (Cv )

тель можно выносить за знаки производной и дифференциала.

Для случая трех сомножителей, последовательно применяя формулу

(3.12), находим

(uvw) ′ = ((uv) w) ′ = (uv) ′ w+ (uv) w′+ (u′ v+ uv′ ) w+ uvw′ = = u ′ vw + uv ′ w + uvw ′.

Аналогичное правило справедливо при дифференцировании произведения любого числа сомножителей.

В следующих пунктах будут получены производные основных элементарных функций.

3.6. Производные от тригонометрических функций

Найдем производные от тригонометрических функций, а именно


	Cosx			= − sinx
(sin x )			(cos x )
(tgx) ′ =			(ctgx) ′

		cos2 x			sin2 x

Получим первую из них. Приращение функции y = sin x в точкеx , со-

ответствующее приращение				аргумента, будет
y = sin(x+		x )− sinx = 2sin				x cos(x +		x ) .
Учитывая, что sin 2 x		2 x при
					x → 0	и используя определение произ-
водной, находим				2sin 2 x cos(x +			2x )
y ′ =lim		y = lim

	x→ 0		x→ 0
	2 2 x cos(x +		2x )		Limcos(x +		x )= cosx .

x→ 0					x→ 0

Вторая формула доказывается аналогично. Третья и четвертая формулы получаются, если тангенс и котангенс выразить через синус и косинус и воспользоваться формулой (3.13).

3.7. Дифференцирование логарифмических функций

Имеют место формулы
		loga e

	(loga x )		2. (lnx )

Докажем первую из них. Приращение функции y = log a x в точкеx , со-

ответствующее приращению x	аргумента, будет
y = loga (x + x )− loga x = loga	x + x	Loga (1+	x )= loga e ln(1+	x ) ;

(мы воспользовались здесь тождеством log a A = log a e ln A ).

Так как ln(1 + x x ) x x		x → 0		То по определению производной
получаем:	y = loga e lim						x )=
y ′ =lim					ln(1+

x→ 0			x→ 0
Loga e lim						loga e .

	x→ 0

3.8. Дифференцирование сложной функции.

Производные от степенной и показательной функций

Пусть сложная функция y аргументаx задана формуламиy = f (u ) ,

u = ϕ (x ) (см. пункт 1.4.3)

Теорема 3.4 (о производной сложной функции). Если функции

y = f (u ) , u = ϕ (x ) дифференцируемы		в соответствующих	друг другу
точках u иx , то сложная функция		f [ ϕ (x )] тоже дифференцируема в
	x , причем	y ′x =y ′u u ′x .
	y ′ =f ′(u ) u ′или
Доказательство. Независимой переменнойx придадим прираще-
	x , тогда функцияu = ϕ (x ) получит приращениеu ,		что вызовет

приращение y функцииy = f (u ) . Так как функцияy = f (u ) по условию теоремы дифференцируема в рассматриваемой точкеu , то ее приращение в этой точке можно представить в виде (см.определение 3.4)

		u , гдеα (		u ) → o приu → 0 .
y = f(u) u+ α (u)		u , гдеα (		u ) → o приu → 0 .


			f (u)	x + α (u )
Функция u = ϕ (x )		дифференцируема, а значит и непрерывна в точ-
ке x , соответствующей рассмотренной выше точкеu						(теорема 3.2).
Следовательно,			непрерывности		lim u = 0,	а поэтому
					x→ 0
lim α (u )= 0.
x→ 0
Учитывая это,	переходе в			последнем	равенстве к	пределу при

x → 0 , придем к (3.18).

Умножив равенство (3.18) почленно на dx , получим выражение для дифференциала сложной функции

dy = f′ (u) du.

Замечание. Дифференциал функцииy = f (u ) имел бы точно такой же вид и в том случае, если бы аргументu был не функцией, а независимой переменной. В этом состоит так называемоесвойство инвариантности (независимости) формы дифференциала по отношению к аргументу. Следует иметь в виду, что еслиu - независимая переменная, тоdu = u есть ее произвольное приращение, если жеu - промежуточный аргумент (то есть функция), тоdu - дифференциал этой функции, то есть величина, не совпадающая с ее приращениемu .

С помощью последней теоремы легко получить формулы дифференци-

рования степенной и показательной функции:

α− 1

2). (a

ln a ;

3). (e

1). (x

) = α x

Действительно,

предполагая

x > 0 ,

прологарифмируем обе части

формулы y = x α ; ln y = α ln x . Здесьy

Это функция от x , в силу чего

левая часть последнего равенства является сложной функцией отx . Продифференцировав обе части последнего равенства поx (левую - как сложную функцию), получим

1 y y ′ =a 1 x ,

y ′ =ay x =ax x a =ax a − 1 .

Легко показать, что этот результат верен и при x < 0 , если только при

этом x α имеет смысл. Ранее был получен результат для случаяα = n . Аналогично получается и вторая формула, из которой в частном случае приa = e вытекает последняя формула.

Замечание. Прием предварительного логарифмирования, который был использован при получении формулы дифференцирования степенной функции, имеет самостоятельное значение и называется в совокупности с последующим нахождением производной логарифма функции

lnx ) "= cosx lnx + sin x x .

Следовательно,

y ′ = x sin x (cosx lnx + sin x x )

Замечание. Правило дифференцирования сложной функции может быть применено и для отыскания производной функции, заданной неявно.

Действительно, если зависимость между x иy задана в формеF (x , y ) = 0 и это уравнение разрешимо относительноy , то производнуюy ′ можно найти из уравнения


				(F (x , y (x ))= 0.
				(F (x , y (x ))= 0.
Пример 3.4.							y = f (x ) , заданной не-
Пример 3.4.		Найти производную функции					y = f (x ) , заданной не-
явно уравнением		arctg(y) − y+ x= 0 .			y функцией отx :
Дифференцируем равенство по x , считая					y функцией отx :
	y′					1 +y
			− y ′+ 1= 0, откуда		y ′ =
	1 +y 2		− y ′+ 1= 0, откуда		y ′ =

3.9. Дифференцирование обратной функции.

Дифференцирование обратных тригонометрических функций

Пусть даны две взаимно обратные функции y = f (x ) иx = ϕ (y )

(см.п. 1.4.8).

Теорема 3.5 (о производной обратной функции). Если функции

y = f(x) ,

x = ϕ (y)

возрастают (убывают) и в точке x функцияf (x )

дифференцируема,

f ′ (x) ≠ 0 , то в соответствующей точке

функция ϕ (y ) тоже дифференцируема (поy ), причем

Доказательство.

зададим приращение

x = ϕ (y)

возрастает

(убывает)

x = ϕ (y + y )− ϕ (y )≠ 0и

В условиях теоремы

x = ϕ (y)

x → 0

y → 0

непрерывна (теорема 3.2), в силу чего

Начальный уровень

Производная функции. Исчерпывающее руководство (2019)

Представим себе прямую дорогу, проходящую по холмистой местности. То есть она идет то вверх, то вниз, но вправо или влево не поворачивает. Если ось направить вдоль дороги горизонтально, а - вертикально, то линия дороги будет очень похожа на график какой-то непрерывной функции:

Ось - это некий уровень нулевой высоты, в жизни мы используем в качестве него уровень моря.

Двигаясь вперед по такой дороге, мы также движемся вверх или вниз. Также можем сказать: при изменении аргумента (продвижение вдоль оси абсцисс) изменяется значение функции (движение вдоль оси ординат). А теперь давай подумаем, как определить «крутизну» нашей дороги? Что это может быть за величина? Очень просто: на сколько изменится высота при продвижении вперед на определенное расстояние. Ведь на разных участках дороги, продвигаясь вперед (вдоль оси абсцисс) на один километр, мы поднимемся или опустимся на разное количество метров относительно уровня моря (вдоль оси ординат).

Продвижение вперед обозначим (читается «дельта икс»).

Греческую букву (дельта) в математике обычно используют как приставку, означающую «изменение». То есть - это изменение величины, - изменение; тогда что такое? Правильно, изменение величины.

Важно: выражение - это единое целое, одна переменная. Никогда нельзя отрывать «дельту» от «икса» или любой другой буквы! То есть, например, .

Итак, мы продвинулись вперед, по горизонтали, на. Если линию дороги мы сравниваем с графиком функции, то как мы обозначим подъем? Конечно, . То есть, при продвижении вперед на мы поднимаемся выше на.

Величину посчитать легко: если в начале мы находились на высоте, а после перемещения оказались на высоте, то. Если конечная точка оказалась ниже начальной, будет отрицательной - это означает, что мы не поднимаемся, а спускаемся.

Вернемся к «крутизне»: это величина, которая показывает, насколько сильно (круто) увеличивается высота при перемещении вперед на единицу расстояния:

Предположим, что на каком-то участке пути при продвижении на км дорога поднимается вверх на км. Тогда крутизна в этом месте равна. А если дорога при продвижении на м опустилась на км? Тогда крутизна равна.

А теперь рассмотрим вершину какого-нибудь холма. Если взять начало участка за полкилометра до вершины, а конец - через полкилометра после него, видно, что высота практически одинаковая.

То есть, по нашей логике выходит, что крутизна здесь почти равна нулю, что явно не соответствует действительности. Просто на расстоянии в км может очень многое поменяться. Нужно рассматривать более маленькие участки для более адекватной и точной оценки крутизны. Например, если измерять изменение высоты при перемещении на один метр, результат будет намного точнее. Но и этой точности нам может быть недостаточно - ведь если посреди дороги стоит столб, мы его можем просто проскочить. Какое расстояние тогда выберем? Сантиметр? Миллиметр? Чем меньше, тем лучше!

В реальной жизни измерять расстояние с точностью до милиметра - более чем достаточно. Но математики всегда стремятся к совершенству. Поэтому было придумано понятие бесконечно малого , то есть величина по модулю меньше любого числа, которое только можем назвать. Например, ты скажешь: одна триллионная! Куда уж меньше? А ты подели это число на - и будет еще меньше. И так далее. Если хотим написать, что величина бесконечно мала, пишем так: (читаем «икс стремится к нулю»). Очень важно понимать, что это число не равно нулю! Но очень близко к нему. Это значит, что на него можно делить.

Понятие, противоположное бесконечно малому - бесконечно большое (). Ты уже наверняка сnалкивался с ним, когда занимался неравенствами: это число по модулю больше любого числа, которое только можешь придумать. Если ты придумал самое большое из возможных чисел, просто умножь его на два, и получится еще больше. А бесконечность еще больше того, что получится. Фактически бесконечно большое и бесконечно малое обратны друг другу, то есть при, и наоборот: при.

Теперь вернемся к нашей дороге. Идеально посчитанная крутизна - это куртизна, вычисленная для бесконечно малого отрезка пути, то есть:

Замечу, что при бесконечно малом перемещении изменение высоты тоже будет бесконечно мало. Но напомню, бесконечно малое - не значит равное нулю. Если поделить друг на друга бесконечно малые числа, может получиться вполне обычное число, например, . То есть одна малая величина может быть ровно в раза больше другой.

К чему все это? Дорога, крутизна… Мы ведь не в автопробег отправляемся, а математику учим. А в математике все точно так же, только называется по-другому.

Понятие производной

Производная функции это отношение приращения функции к приращению аргумента при бесконечно малом приращение аргумента.

Приращением в математике называют изменение. То, насколько изменился аргумент () при продвижении вдоль оси, называется приращением аргумента и обозначается То, насколько изменилась функция (высота) при продвижении вперед вдоль оси на расстояние, называется приращением функции и обозначается.

Итак, производная функции - это отношение к при. Обозначаем производную той же буквой, что и функцию, только со штрихом сверху справа: или просто. Итак, запишем формулу производной, используя эти обозначения:

Как и в аналогии с доро́гой здесь при возрастании функции производная положительна, а при убывании - отрицательна.

А бывает ли производная равна нулю? Конечно. Например, если мы едем по ровной горизонтальной дороге, крутизна равна нулю. И правда, высота ведь не совсем меняется. Так и с производной: производная постоянной функции (константы) равна нулю:

так как приращение такой функции равно нулю при любом.

Давай вспомним пример с вершиной холма. Там получалось, что можно так расположить концы отрезка по разные стороны от вершины, что высота на концах оказывается одинаковой, то есть отрезок располагается параллельно оси:

Но большие отрезки - признак неточного измерения. Будем поднимать наш отрезок вверх параллельно самому себе, тогда его длина будет уменьшаться.

В конце концов, когда мы будем бесконечно близко к вершине, длина отрезка станет бесконечно малой. Но при этом он остался параллелен оси, то есть разность высот на его концах равна нулю (не стремится, а именно равна). Значит, производная

Понять это можно так: когда мы стоим на самой вершине, меленькое смещение влево или вправо изменяет нашу высоту ничтожно мало.

Есть и чисто алгебраическое объяснение: левее вершины функция возрастает, а правее - убывает. Как мы уже выяснили ранее, при возрастании функции производная положительна, а при убывании - отрицательна. Но меняется она плавно, без скачков (т.к. дорога нигде не меняет наклон резко). Поэтому между отрицательными и положительными значениями обязательно должен быть. Он и будет там, где функция ни возрастает, ни убывает - в точке вершины.

То же самое справедливо и для впадины (область, где функция слева убывает, а справа - возрастает):

Немного подробнее о приращениях.

Итак, мы меняем аргумент на величину. Меняем от какого значения? Каким он (аргумент) теперь стал? Можем выбрать любую точку, и сейчас будем от нее плясать.

Рассмотрим точку с координатой. Значение функции в ней равно. Затем делаем то самое приращение: увеличиваем координату на. Чему теперь равен аргумент? Очень легко: . А чему теперь равно значение функции? Куда аргумент, туда и функция: . А что с приращением функции? Ничего нового: это по-прежнему величина, на которую изменилась функция:

Потренируйся находить приращения:

Найди приращение функции в точке при приращении аргумента, равном.
То же самое для функции в точке.

Решения:

В разных точках при одном и том же приращении аргумента приращение функции будет разным. Значит, и производная в каждой точке своя (это мы обсуждали в самом начале - крутизна дороги в разных точках разная). Поэтому когда пишем производную, надо указывать, в какой точке:

Степенная функция.

Степенной называют функцию, где аргумент в какой-то степени (логично, да?).

Причем - в любой степени: .

Простейший случай - это когда показатель степени:

Найдем ее производную в точке. Вспоминаем определение производной:

Итак, аргумент меняется с до. Каково приращение функции?

Приращение - это. Но функция в любой точке равна своему аргументу. Поэтому:

Производная равна:

Производная от равна:

b) Теперь рассмотрим квадратичную функцию (): .

А теперь вспомним, что. Это значит, что значением приращения можно пренебречь, так как оно бесконечно мало, и поэтому незначительно на фоне другого слагаемого:

Итак, у нас родилось очередное правило:

c) Продолжаем логический ряд: .

Это выражение можно упростить по-разному: раскрыть первую скобку по формуле сокращенного умножения куб суммы, или же разложить все выражение на множители по формуле разности кубов. Попробуй сделать это сам любым из предложенных способов.

Итак, у меня получилось следующее:

И снова вспомним, что. Это значит, что можно пренебречь всеми слагаемыми, содержащими:

Получаем: .

d) Аналогичные правила можно получить и для больших степеней:

e) Оказывается, это правило можно обобщить для степенной функции с произвольным показателем, даже не целым:

(2)

Можно сформулировать правило словами: «степень выносится вперед как коэффициент, а потом уменьшается на ».

Докажем это правило позже (почти в самом конце). А сейчас рассмотрим несколько примеров. Найди производную функций:

(двумя способами: по формуле и используя определение производной - посчитав приращение функции);

. Не поверишь, но это степенная функция. Если у тебя возникли вопросы типа «Как это? А где же степень?», вспоминай тему « »!
Да-да, корень - это тоже степень, только дробная: .
Значит, наш квадратный корень - это всего лишь степень с показателем:
.
Производную ищем по недавно выученной формуле:
Если в этом месте снова стало непонятно, повторяй тему « »!!! (про степень с отрицательным показателем)
. Теперь показатель степени:
А теперь через определение (не забыл еще?):
;
.
Теперь, как обычно, пренебрегаем слагаемым, содержащим:
.
. Комбинация предыдущих случаев: .

Тригонометрические функции.

Здесь будем использовать один факт из высшей математики:

При выражение.

Доказательство ты узнаешь на первом курсе института (а чтобы там оказаться, надо хорошо сдать ЕГЭ). Сейчас только покажу это графически:

Видим, что при функция не существует - точка на графике выколота. Но чем ближе к значению, тем ближе функция к. Это и есть то самое «стремится».

Дополнительно можешь проверить это правило с помощью калькулятора. Да-да, не стесняйся, бери калькулятор, мы ведь не на ЕГЭ еще.

Итак, пробуем: ;

Не забудь перевести калькулятор в режим «Радианы»!

и т.д. Видим, что чем меньше, тем ближе значение отношения к.

a) Рассмотрим функцию. Как обычно, найдем ее приращение:

Превратим разность синусов в произведение. Для этого используем формулу (вспоминаем тему « »): .

Теперь производная:

Сделаем замену: . Тогда при бесконечно малом также бесконечно мало: . Выражение для принимает вид:

А теперь вспоминаем, что при выражение. А также, что если бесконечно малой величиной можно пренебречь в сумме (то есть при).

Итак, получаем следующее правило: производная синуса равна косинусу :

Это базовые («табличные») производные. Вот они одним списком:

Позже мы к ним добавим еще несколько, но эти - самые важные, так как используются чаще всего.

Потренируйся:

Найди производную функции в точке;
Найди производную функции.

Решения:

Сперва найдем производную в общем виде, а затем подставим вместо его значение:
;
.
Тут у нас что-то похожее на степенную функцию. Попробуем привести ее к
нормальному виду:
.
Отлично, теперь можно использовать формулу:
.
.
. Ээээээ….. Что это????

Ладно, ты прав, такие производные находить мы еще не умеем. Здесь у нас комбинация нескольких типов функций. Чтобы работать с ними, нужно выучить еще несколько правил:

Экспонента и натуральный логарифм.

Есть в математике такая функция, производная которой при любом равна значению самой функции при этом же. Называется она «экспонента», и является показательной функцией

Основание этой функции - константа - это бесконечная десятичная дробь, то есть число иррациональное (такое как). Его называют «число Эйлера», поэтому и обозначают буквой.

Итак, правило:

Запомнить очень легко.

Ну и не будем далеко ходить, сразу же рассмотрим обратную функцию. Какая функция является обратной для показательной функции? Логарифм:

В нашем случае основанием служит число:

Такой логарифм (то есть логарифм с основанием) называется «натуральным», и для него используем особое обозначение: вместо пишем.

Чему равен? Конечно же, .

Производная от натурального логарифма тоже очень простая:

Примеры:

Найди производную функции.
Чему равна производная функции?

Ответы: Экспонента и натуральный логарифм - функции уникально простые с точки зрения производной. Показательные и логарифмические функции с любым другим основанием будут иметь другую производную, которую мы с тобой разберем позже, после того как пройдем правила дифференцирования.

Правила дифференцирования

Правила чего? Опять новый термин, опять?!...

Дифференцирование - это процесс нахождения производной.

Только и всего. А как еще назвать этот процесс одним словом? Не производнование же... Дифференциалом математики называют то самое приращение функции при. Происходит этот термин от латинского differentia — разность. Вот.

При выводе всех этих правил будем использовать две функции, например, и. Нам понадобятся также формулы их приращений:

Всего имеется 5 правил.

Константа выносится за знак производной.

Если - какое-то постоянное число (константа), тогда.

Очевидно, это правило работает и для разности: .

Докажем. Пусть, или проще.

Примеры.

Найдите производные функций:

в точке;
в точке;
в точке;
в точке.

Решения:

(производная одинакова во всех точках, так как это линейная функция, помнишь?);

Производная произведения

Здесь все аналогично: введем новую функцию и найдем ее приращение:

Производная:

Примеры:

Найдите производные функций и;
Найдите производную функции в точке.

Решения:

Производная показательной функции

Теперь твоих знаний достаточно, чтобы научиться находить производную любой показательной функции, а не только экспоненты (не забыл еще, что это такое?).

Итак, где - это какое-то число.

Мы уже знаем производную функции, поэтому давай попробуем привести нашу функцию к новому основанию:

Для этого воспользуемся простым правилом: . Тогда:

Ну вот, получилось. Теперь попробуй найти производную, и не забудь, что эта функция - сложная.

Получилось?

Вот, проверь себя:

Формула получилась очень похожая на производную экспоненты: как было, так и осталось, появился только множитель, который является просто числом, но не переменной.

Примеры:
Найди производные функций:

Ответы:

Это просто число, которое невозможно посчитать без калькулятора, то есть никак не записать в более простом виде. Поэтому в ответе его в таком виде и оставляем.

Производная логарифмической функции

Здесь аналогично: ты уже знаешь производную от натурального логарифма:

Поэтому, чтобы найти произвольную от логарифма с другим основанием, например, :

Нужно привести этот логарифм к основанию. А как поменять основание логарифма? Надеюсь, ты помнишь эту формулу:

Только теперь вместо будем писать:

В знаменателе получилась просто константа (постоянное число, без переменной). Производная получается очень просто:

Производные показательной и логарифмической функций почти не встречаются в ЕГЭ, но не будет лишним знать их.

Производная сложной функции.

Что такое «сложная функция»? Нет, это не логарифм, и не арктангенс. Данные функции может быть сложны для понимания (хотя, если логарифм тебе кажется сложным, прочти тему «Логарифмы» и все пройдет), но с точки зрения математики слово «сложная» не означает «трудная».

Представь себе маленький конвейер: сидят два человека и проделывают какие-то действия с какими-то предметами. Например, первый заворачивает шоколадку в обертку, а второй обвязывает ее ленточкой. Получается такой составной объект: шоколадка, обернутая и обвязанная ленточкой. Чтобы съесть шоколадку, тебе нужно проделать обратные действия в обратном порядке.

Давай создадим подобный математический конвейер: сперва будем находить косинус числа, а затем полученное число возводить в квадрат. Итак, нам дают число (шоколадка), я нахожу его косинус (обертка), а ты затем возводишь то, что у меня получилось, в квадрат (обвязываешь ленточкой). Что получилось? Функция. Это и есть пример сложной функции: когда для нахождения ее значения мы проделываем первое действие непосредственно с переменной, а потом еще второе действие с тем, что получилось в результате первого.

Мы вполне можем проделывать те же действия и в обратном порядке: сначала ты возводишь в квадрат, а я затем ищу косинус полученного числа: . Несложно догадаться, что результат будет почти всегда разный. Важная особенность сложных функций: при изменении порядка действий функция меняется.

Другими словами, сложная функция - это функция, аргументом которой является другая функция : .

Для первого примера, .

Второй пример: (то же самое). .

Действие, которое делаем последним будем называть «внешней» функцией , а действие, совершаемое первым - соответственно «внутренней» функцией (это неформальные названия, я их употребляю только для того, чтобы объяснить материал простым языком).

Попробуй определить сам, какая функция является внешней, а какая внутренней:

Ответы: Разделение внутренней и внешней функций очень похоже на замену переменных: например, в функции

Первым будем выполнять какое действие? Сперва посчитаем синус, а только потом возведем в куб. Значит, внутренняя функция, а внешняя.
А исходная функция является их композицией: .
Внутренняя: ; внешняя: .
Проверка: .
Внутренняя: ; внешняя: .
Проверка: .
Внутренняя: ; внешняя: .
Проверка: .
Внутренняя: ; внешняя: .
Проверка: .

производим замену переменных и получаем функцию.

Ну что ж, теперь будем извлекать нашу шоколадку - искать производную. Порядок действий всегда обратный: сначала ищем производную внешней функции, затем умножаем результат на производную внутренней функции. Применительно к исходному примеру это выглядит так:

Другой пример:

Итак, сформулируем, наконец, официальное правило:

Алгоритм нахождения производной сложной функции:

Вроде бы все просто, да?

Проверим на примерах:

Решения:

1) Внутренняя: ;

Внешняя: ;

2) Внутренняя: ;

(только не вздумай теперь сократить на! Из под косинуса ничего не выносится, помнишь?)

3) Внутренняя: ;

Внешняя: ;

Сразу видно, что здесь трехуровневая сложная функция: ведь - это уже сама по себе сложная функция, а из нее еще извлекаем корень, то есть выполняем третье действие (шоколадку в обертке и с ленточкой кладем в портфель). Но пугаться нет причин: все-равно «распаковывать» эту функцию будем в том же порядке, что и обычно: с конца.

То есть сперва продифференцируем корень, затем косинус, и только потом выражение в скобках. А потом все это перемножим.

В таких случаях удобно пронумеровать действия. То есть, представим, что нам известен. В каком порядке будем совершать действия, чтобы вычислить значение этого выражения? Разберем на примере:

Чем позже совершается действие, тем более «внешней» будет соответствующая функция. Последовательность действий - как и раньше:

Здесь вложенность вообще 4-уровневая. Давай определим порядок действий.

1. Подкоренное выражение. .

2. Корень. .

3. Синус. .

4. Квадрат. .

5. Собираем все в кучу: