স্থানাঙ্ক পদ্ধতি মহাকাশে স্টেরিওমেট্রিক বস্তুর মধ্যে যেকোনো কোণ বা দূরত্ব খুঁজে বের করার একটি অত্যন্ত কার্যকর এবং বহুমুখী উপায়। আপনার গণিত শিক্ষক যদি উচ্চ যোগ্য হয়, তাহলে তার এটি জানা উচিত। অন্যথায়, আমি আপনাকে "সি" অংশের জন্য টিউটর পরিবর্তন করার পরামর্শ দেব। গণিত C1-C6 পরীক্ষার জন্য আমার প্রস্তুতিতে সাধারণত নিচে বর্ণিত মৌলিক অ্যালগরিদম এবং সূত্রগুলির বিশ্লেষণ অন্তর্ভুক্ত থাকে।

a এবং b সরলরেখার মধ্যে কোণ

মহাকাশে সরলরেখার মধ্যবর্তী কোণ হল তাদের সমান্তরাল ছেদকারী সরলরেখার মধ্যবর্তী কোণ। এই কোণটি এই সরল রেখাগুলির দিক ভেক্টরগুলির মধ্যে কোণের সমান (বা এটি 180 ডিগ্রি পর্যন্ত পরিপূরক)।

একটি কোণ খুঁজে পেতে একটি গণিত শিক্ষক কোন অ্যালগরিদম ব্যবহার করেন?

1) যেকোনো ভেক্টর বেছে নিন এবং, সরলরেখা a এবং b (তাদের সমান্তরাল) এর দিকনির্দেশ রয়েছে।
2) ভেক্টরগুলির স্থানাঙ্কগুলি এবং তাদের শুরু এবং শেষগুলির সংশ্লিষ্ট স্থানাঙ্কগুলি দ্বারা নির্ধারণ করুন (শুরুতে স্থানাঙ্কগুলি অবশ্যই ভেক্টরের শেষের স্থানাঙ্ক থেকে বিয়োগ করতে হবে)।
3) সূত্রে পাওয়া স্থানাঙ্কগুলি প্রতিস্থাপন করুন:
... কোণ নিজেই খুঁজে পেতে, আপনাকে ফলাফলের বিপরীত কোসাইন খুঁজে বের করতে হবে।

প্লেনে স্বাভাবিক

এই সমতলে লম্ব যে কোনো ভেক্টরকে সমতলের স্বাভাবিক বলা হয়।
কিভাবে স্বাভাবিক খুঁজে পেতে?স্বাভাবিকের স্থানাঙ্কগুলি খুঁজে বের করার জন্য, প্রদত্ত সমতলে থাকা যে কোনও তিনটি বিন্দু M, N এবং K এর স্থানাঙ্কগুলি খুঁজে বের করাই যথেষ্ট। এই স্থানাঙ্কগুলি ব্যবহার করে, আমরা ভেক্টরগুলির স্থানাঙ্কগুলি খুঁজে পাই এবং এবং শর্তগুলির পরিপূর্ণতা এবং প্রয়োজন। ভেক্টরের স্কেলার গুণফলকে শূন্যে সমান করে, আমরা তিনটি ভেরিয়েবল সহ একটি সমীকরণের সিস্টেম রচনা করি, যেখান থেকে স্বাভাবিকের স্থানাঙ্কগুলি পাওয়া যায়।

গণিত শিক্ষকের নোট : সিস্টেমটি সম্পূর্ণরূপে সমাধান করার জন্য এটি মোটেই প্রয়োজনীয় নয়, কারণ এটি কমপক্ষে একটি সাধারণ চয়ন করার জন্য যথেষ্ট। এটি করার জন্য, আপনি যেকোন অজানা স্থানাঙ্কের পরিবর্তে যেকোনো সংখ্যা (উদাহরণস্বরূপ, একটি) প্রতিস্থাপন করতে পারেন এবং অবশিষ্ট দুটি অজানা দিয়ে দুটি সমীকরণের সিস্টেম সমাধান করতে পারেন। যদি এটির কোন সমাধান না থাকে, তাহলে এর মানে হল যে স্বাভাবিক পরিবারে এমন কেউ নেই যার নির্বাচিত ভেরিয়েবলের জন্য একটি আছে। তারপর অন্য একটি পরিবর্তনশীল (অন্য স্থানাঙ্ক) এর জন্য একটি প্রতিস্থাপন করুন এবং একটি নতুন সিস্টেম সমাধান করুন। আপনি যদি আবার মিস করেন, তবে আপনার স্বাভাবিকের শেষ স্থানাঙ্কে একটি থাকবে এবং এটি নিজেই কিছু স্থানাঙ্ক সমতলের সমান্তরাল হয়ে উঠবে (এই ক্ষেত্রে, এটি একটি সিস্টেম ছাড়াই এটি খুঁজে পাওয়া সহজ)।

ধরুন যে দিক ভেক্টর এবং স্বাভাবিকের স্থানাঙ্ক দ্বারা আমাদের একটি সরল রেখা এবং একটি সমতল দেওয়া হয়েছে
একটি সরলরেখা এবং একটি সমতলের মধ্যে কোণ নিম্নলিখিত সূত্র ব্যবহার করে গণনা করা হয়:

প্রদত্ত প্লেনের যেকোনো দুটি স্বাভাবিক হতে দিন। তারপর সমতলগুলির মধ্যে কোণের কোসাইন স্বাভাবিকের মধ্যে কোণের কোসাইনের মডুলাসের সমান:

মহাকাশে একটি সমতলের সমীকরণ

সমতাকে সন্তুষ্টকারী পয়েন্টগুলি স্বাভাবিকের সাথে একটি সমতল গঠন করে। সহগ একই নির্দিষ্ট স্বাভাবিকের সাথে দুটি সমতলের মধ্যে বিচ্যুতির পরিমাণের (সমান্তরাল স্থানান্তর) জন্য দায়ী। সমতলের সমীকরণ লিখতে, আপনাকে প্রথমে এটির স্বাভাবিক (উপরে বর্ণিত হিসাবে) খুঁজে বের করতে হবে এবং তারপর সমীকরণে পাওয়া স্বাভাবিকের স্থানাঙ্কের সাথে সমতলের যেকোনো বিন্দুর স্থানাঙ্ক প্রতিস্থাপন করতে হবে এবং সহগ খুঁজে বের করতে হবে।

11 শ্রেণীতে জ্যামিতি পাঠ

বিষয়: "মহাকাশে স্থানাঙ্কের পদ্ধতি "।

লক্ষ্য: শিক্ষার্থীদের তাত্ত্বিক জ্ঞান, ভেক্টর, ভেক্টর-সমন্বয় পদ্ধতি ব্যবহার করে সমস্যা সমাধানে এই জ্ঞান প্রয়োগ করার জন্য তাদের দক্ষতা এবং ক্ষমতা পরীক্ষা করতে।

কাজ:

1 জ্ঞান এবং দক্ষতার আত্তীকরণের জন্য নিয়ন্ত্রণের (আত্ম-নিয়ন্ত্রণ, পারস্পরিক নিয়ন্ত্রণ) শর্ত তৈরি করুন।

2. গাণিতিক চিন্তাভাবনা, বক্তৃতা, মনোযোগ বিকাশ করুন।

3. কার্যকলাপ, গতিশীলতা, যোগাযোগ দক্ষতা, শিক্ষার্থীদের সাধারণ সংস্কৃতি প্রচার করুন।

পরিচালনার ফর্ম: দলবদ্ধ কাজ.

সরঞ্জাম এবং তথ্য উত্স: স্ক্রিন, মাল্টিমিডিয়া প্রজেক্টর, নলেজ অ্যাকাউন্টিং টেবিল, ক্রেডিট কার্ড, পরীক্ষা।

ক্লাস চলাকালীন

1 গতিশীল মুহূর্ত.

সিএসআর ব্যবহার করে পাঠ; শিক্ষার্থীদের 3টি গতিশীল গ্রুপে বিভক্ত করা হয়েছে, যার মধ্যে শিক্ষার্থীরা গ্রহণযোগ্য, সর্বোত্তম এবং উন্নত স্তরের। প্রতিটি গ্রুপে, একজন সমন্বয়কারী নির্বাচন করা হয় যিনি পুরো গ্রুপের কাজের নেতৃত্ব দেন।

2 ... প্রত্যাশার উপর ভিত্তি করে শিক্ষার্থীদের স্ব-সংকল্প।

কাজ:স্কিম অনুযায়ী লক্ষ্য নির্ধারণ: মনে রাখবেন - শিখুন - সক্ষম হবেন।

প্রবেশিকা পরীক্ষা - শূন্যস্থান পূরণ করুন (প্রিন্টআউটে)

প্রবেশিকা পরীক্ষার

শূন্যস্থান পূরণ করুন...

1. মহাশূন্যের একটি বিন্দুর মাধ্যমে তিনটি জোড়ভিত্তিক লম্ব রেখা আঁকা হয়।

নির্বাচিত হয়, সেগুলির প্রতিটিতে বিভাগগুলির পরিমাপের দিক এবং একক নির্বাচন করা হয়,

তারপর তারা বলে যে এটা সেট করা হয়েছে…………. স্থান.

2. সরল রেখাগুলির উপর যে দিকনির্দেশগুলি বেছে নেওয়া হয়েছে তাকে বলা হয় ………………..,

এবং তাদের সাধারণ পয়েন্ট হল …………. ...

3. একটি আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায়, মহাকাশের প্রতিটি বিন্দু M একটি ত্রিগুণ সংখ্যার সাথে যুক্ত থাকে যা একে ……………….. বলে।

4. মহাশূন্যের একটি বিন্দুর স্থানাঙ্ককে ……………….. বলা হয়।

5. যে ভেক্টরের দৈর্ঘ্য একের সমান তাকে ……….. বলে।

6. ভেক্টর iykডাকল ………….

7. মতভেদ এক্সyzপচে ক= এক্সi + yj + zkডাকা

…………… ভেক্টর ক .

8. দুই বা ততোধিক ভেক্টরের সমষ্টির প্রতিটি স্থানাঙ্ক ……………….. এর সমান।

9. দুটি ভেক্টরের পার্থক্যের প্রতিটি স্থানাঙ্ক ……………… এর সমান।

10. একটি ভেক্টর এবং একটি সংখ্যার গুণফলের প্রতিটি স্থানাঙ্ক ……………….. এর সমান।

11. ভেক্টরের প্রতিটি স্থানাঙ্ক …………… এর সমান।

12. সেগমেন্টের মধ্যবিন্দুর প্রতিটি স্থানাঙ্ক ……………… এর সমান।

13. ভেক্টর দৈর্ঘ্য ক { এক্সyz) সূত্র দ্বারা গণনা করা হয় ………………………

14. বিন্দুর মধ্যে দূরত্ব М 1 (এক্স 1 ; y 1; z 1) এবং এম 2 (এক্স 2; y 2 ; z2) সূত্র দ্বারা গণনা করা হয়………………

15. দুটি ভেক্টরের স্কেলার গুণফলকে …………….. বলে।

16. অশূন্য ভেক্টরের স্কেলার গুণফল শূন্যের সমান ………………..

17. ভেক্টরের ডট গুণফলক{ এক্স 1; y 1; z 1} খ { এক্স 2 ; y 2 ; z 2) মধ্যে সূত্র দ্বারা প্রকাশ করা হয় ………………

ইনপুট পরীক্ষার ক্রস-চেক। স্ক্রিনে পরীক্ষামূলক কাজের উত্তর।

মূল্যায়ন মানদণ্ড:

1-2 ত্রুটি - "5"

3-4 ত্রুটি - "4"

5-6 ত্রুটি - "3"

অন্যান্য ক্ষেত্রে - "2"

3. কাজ সম্পাদন। (কার্ড দ্বারা)।

প্রতিটি কার্ডে দুটি কাজ রয়েছে: নং 1 - প্রমাণ সহ তাত্ত্বিক, নং 2 টাস্ক অন্তর্ভুক্ত৷

কাজের অন্তর্ভুক্ত কাজের জটিলতার মাত্রা ব্যাখ্যা কর। গ্রুপ একটি কাজ সঞ্চালন, কিন্তু 2 অংশ আছে. একজন গ্রুপ কোঅর্ডিনেটর পুরো গ্রুপের কাজের নেতৃত্ব দেন। একাধিক অংশীদারের সাথে একটি তথ্যের আলোচনা শুধুমাত্র তাদের নিজস্ব সাফল্যের জন্যই নয়, সম্মিলিত কাজের ফলাফলের জন্যও দায়িত্ব বাড়ায়, যা দলের মাইক্রোক্লাইমেটে ইতিবাচক প্রভাব ফেলে।

কার্ড # 1

1. একটি সেগমেন্টের মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্কগুলিকে তার প্রান্তের স্থানাঙ্কগুলির পরিপ্রেক্ষিতে প্রকাশ করে সূত্রগুলি বের করুন।

2.সমস্যা: 1) প্রদত্ত পয়েন্ট A (-3; 1; 2) এবং B (1; -1; 2)

অনুসন্ধান:

ক) AB রেখাংশের মাঝখানের স্থানাঙ্ক

b) AB ভেক্টরের স্থানাঙ্ক এবং দৈর্ঘ্য

2) একটি ঘনক্ষেত্র ABSDA1 B1 C1 D1 দেওয়া হয়েছে। স্থানাঙ্ক পদ্ধতি ব্যবহার করে কোণ খুঁজুন

সরলরেখা AB1 এবং A1 D এর মধ্যে।

কার্ড # 2

একটি ভেক্টরের স্থানাঙ্ক দ্বারা দৈর্ঘ্য গণনা করার জন্য সূত্রটি আউটপুট করুন।

সমস্যা: 1) প্রদত্ত পয়েন্ট M (-4; 7; 0),এন(0; -1; 2)। M রেখাংশের উৎপত্তি থেকে মধ্যবিন্দুর দূরত্ব নির্ণয় করএন.

→ → → → →

2) প্রদত্ত ভেক্টর কএবং খ... অনুসন্ধান b (a + b),যদি a (-2; 3; 6), b = 6i-8k

কার্ড # 3

প্রদত্ত স্থানাঙ্ক সহ বিন্দুগুলির মধ্যে দূরত্ব গণনা করার জন্য একটি সূত্র আউটপুট করুন।

সমস্যা: 1) প্রদত্ত পয়েন্ট A (2; 1; -8), B (1; -5; 0), C (8; 1; -4)।

প্রমাণ করুন যে ∆ABC সমদ্বিবাহু এবং পার্শ্বীয় বাহুর মধ্যবিন্দুকে সংযোগকারী ত্রিভুজের মধ্যরেখার দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

2) AB এবং SD সরলরেখার মধ্যে কোণ গণনা করুন, যদি A (1; 1; 0),

বি (3; -1; 2), ডি (0; 1; 0)।

কার্ড # 4

প্রদত্ত স্থানাঙ্কের সাহায্যে অশূন্য ভেক্টরের মধ্যে কোণের কোসাইনের সূত্রগুলি আউটপুট করুন।

সমস্যা: 1) AVSD সমান্তরালগ্রামের তিনটি শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক দেওয়া হল:

A (-6; -; 4; 0), B (6; -6; 2), C (10; 0; 4)। D বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।

2) AB এবং SD সরলরেখার মধ্যে কোণটি সন্ধান করুন, যদি A (1; 1; 2), B (0; 1; 1), C (2; -2; 2), D (2; -3; 1) .

কার্ড # 5

এই রেখাগুলির দিকনির্দেশ ভেক্টর ব্যবহার করে মহাকাশে দুটি লাইনের মধ্যে কোণ কীভাবে গণনা করা যায় তা আমাকে বলুন। →→

সমস্যা: 1) ভেক্টরের ডট গুণফল নির্ণয় করকএবং খ, যদি:

→ → → ^ →

ক) | ক| =4; | খ| =√3 (কখ)=30◦

খ) ক {2 ;-3; 1}, খ = 3 i +2 k

2) পয়েন্ট A (0; 4; 0), B (2; 0; 0), C (4; 0; 4) এবং D (2; 4; 4) দেওয়া হয়েছে। প্রমাণ করুন যে AVSD একটি রম্বস।

4. কার্ড দ্বারা গতিশীল গোষ্ঠীর কাজ পরীক্ষা করা.

আমরা দলগুলোর প্রতিনিধিদের পারফরম্যান্স শুনি। ছাত্রদের অংশগ্রহণে শিক্ষক দ্বারা দলগুলোর কাজ মূল্যায়ন করা হয়।

5. প্রতিফলন। অফসেটের জন্য গ্রেড।

চূড়ান্ত বহুনির্বাচনী পরীক্ষা (প্রিন্টআউট)।

1) প্রদত্ত ভেক্টর ক {2 ;-4 ;3} খ(-3; ─; 1)। ভেক্টরের স্থানাঙ্কগুলি খুঁজুন

→ 2

গ = ক+ খ

ক) (-5; 3 -; 4); খ) (-1; -3.5; 4) গ) (5; -4 -; 2) ঘ) (-1; 3.5; -4)

2) প্রদত্ত ভেক্টর ক(4; -3; 5) এবং খ(-3; 1; 2)। ভেক্টরের স্থানাঙ্কগুলি খুঁজুন

গ=2 ক – 3 খ

ক) (7; -2; 3); খ) (11; -7; 8); গ) (17; -9; 4); d) (-1; -3; 4)।

→ → → → → →

3) ভেক্টরগুলির ডট গুণফল গণনা করুনমিএবং n, যদি মি = ক + 2 খ- গ

→ → → → →^ → → → → →

n= 2 ক - খযদি | ক|=2 , ‌| খ |=3, (কখ‌) = ৬০°, গ ┴ ক , গ ┴ খ.

ক) -1; খ)-27; 1 এ; ঘ) 35।

4) ভেক্টর দৈর্ঘ্য ক { এক্সyz) 5 এর সমান। a, যদি ভেক্টরের স্থানাঙ্ক নির্ণয় করএক্স=2, z=-√5

ক) 16; খ) 4 বা -4; 9 টা; d) 3 বা -3।

5) ক্ষেত্রফল ∆ABS খুঁজুন, যদি A (1; -1; 3); B (3; -1; 1) এবং C (-1; 1; -3)।

ক) 4√3; খ) √3; গ) 2√3; ঘ) √8।

পরীক্ষার ক্রস-চেক। স্ক্রিনে পরীক্ষার আইটেমগুলির জন্য উত্তর কোড: 1 (b); 2 (গ);

3 (ক); 4 (খ); 5 (গ)।

মূল্যায়ন মানদণ্ড:

সবকিছু সঠিক - "5"

1 ত্রুটি - "4"

2টি ত্রুটি - "3"

অন্যান্য ক্ষেত্রে - "2"

শিক্ষার্থীদের জ্ঞানের টেবিল

কাজ

তাস

চূড়ান্ত

পরীক্ষা

পাসের জন্য স্কোর

কাজ

তত্ত্ব

অনুশীলন করা

১ম দল

২য় দল

গ্রুপ 3

ক্রেডিট জন্য ছাত্র প্রস্তুতি মূল্যায়ন.

জ্যামিতিক সমস্যা সমাধানের জন্য সমন্বয় পদ্ধতির সারমর্ম

সারাংশ সমস্যা সমাধানেস্থানাঙ্ক পদ্ধতি ব্যবহার করা হল আমাদের জন্য একটি সুবিধাজনক স্থানাঙ্ক সিস্টেমে প্রবেশ করা এক বা অন্য ক্ষেত্রে এবং এটি ব্যবহার করে সমস্ত ডেটা পুনরায় লেখা। এর পরে, সমস্ত অজানা পরিমাণ বা প্রমাণ এই সিস্টেম ব্যবহার করে বাহিত হয়. কিভাবে প্রবেশ করবেন পয়েন্ট স্থানাঙ্কযেকোন সমন্বয় ব্যবস্থায়, আমরা অন্য একটি নিবন্ধে বিবেচনা করেছি - আমরা এখানে এটি নিয়ে আলোচনা করব না।

স্থানাঙ্ক পদ্ধতিতে ব্যবহৃত প্রধান বিবৃতিগুলির সাথে পরিচয় করিয়ে দেওয়া যাক।

বিবৃতি 1:স্থানাঙ্ক ভেক্টরএই ভেক্টরের শেষ এবং এর শুরুর সংশ্লিষ্ট স্থানাঙ্কগুলির মধ্যে পার্থক্য দ্বারা নির্ধারিত হবে।

বিবৃতি 2:সেগমেন্টের মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্কগুলি এর সীমানাগুলির সংশ্লিষ্ট স্থানাঙ্কগুলির অর্ধ-সমষ্টি হিসাবে নির্ধারিত হবে।

বিবৃতি 3:প্রদত্ত স্থানাঙ্ক $ (δ_1, δ_2, δ_3) $ সহ যেকোনো ভেক্টর $ \ ওভারলাইন (δ) $ এর দৈর্ঘ্য সূত্র দ্বারা নির্ধারিত হবে

$ | \ ওভারলাইন (δ) | = \ sqrt (δ_1 ^ 2 + δ_2 ^ 2 + δ_3 ^ 2) $

বিবৃতি 4:স্থানাঙ্ক $ (δ_1, δ_2, δ_3) $ এবং $ (β_1, β_2, β_3) $ দ্বারা প্রদত্ত যেকোনো দুটি বিন্দুর মধ্যে দূরত্ব সূত্র দ্বারা নির্ধারিত হবে

$ d = \ sqrt (δ_1-β_1) ^ 2 + (δ_2-β_2) ^ 2 + (δ_3-β_3) ^ 2) $

স্থানাঙ্ক পদ্ধতি ব্যবহার করে জ্যামিতিক সমস্যা সমাধানের পরিকল্পনা

স্থানাঙ্ক পদ্ধতি ব্যবহার করে জ্যামিতিক সমস্যাগুলি সমাধান করতে, এই স্কিমটি ব্যবহার করা ভাল:

টাস্কে কী দেওয়া হয়েছে তা বিশ্লেষণ করুন:

• টাস্কের জন্য সবচেয়ে উপযুক্ত সমন্বয় সিস্টেম সেট করুন;
• সমস্যার অবস্থা, সমস্যার প্রশ্ন, গাণিতিকভাবে লেখা হয়, এই সমস্যার জন্য একটি অঙ্কন তৈরি করা হয়।

1. নির্বাচিত স্থানাঙ্ক সিস্টেমের স্থানাঙ্কে সমস্ত টাস্ক ডেটা রেকর্ড করুন।

2. সমস্যার অবস্থা থেকে প্রয়োজনীয় সম্পর্কগুলি তৈরি করুন এবং এই সম্পর্কগুলিকে যা পাওয়া দরকার তার সাথে সংযুক্ত করুন (সমস্যা প্রমাণ করুন)।
3. প্রাপ্ত ফলাফল জ্যামিতির ভাষায় অনুবাদ করা হয়।

সমন্বয় পদ্ধতি দ্বারা সমাধান করা সমস্যার উদাহরণ

সমন্বয় পদ্ধতির দিকে পরিচালিত প্রধান কাজগুলি হল নিম্নলিখিত (আমরা তাদের সমাধানগুলি এখানে উপস্থাপন করব না):

1. একটি ভেক্টরের শেষ এবং শুরুতে স্থানাঙ্ক খুঁজে বের করার কাজ।
2. যে কোনো ক্ষেত্রে একটি অংশকে ভাগ করার সাথে সম্পর্কিত কাজ।
3. প্রমাণ যে তিনটি বিন্দু একই সরলরেখায় থাকে বা চারটি বিন্দু একই সমতলে থাকে।
4. দুটি প্রদত্ত বিন্দুর মধ্যে দূরত্ব খুঁজে বের করার কাজ।
5. ভলিউম এবং জ্যামিতিক আকারের ক্ষেত্র খুঁজে বের করার কাজ।

প্রথম এবং চতুর্থ সমস্যা সমাধানের ফলাফলগুলি আমাদের দ্বারা উপরের প্রধান বিবৃতি হিসাবে দেওয়া হয়েছে এবং প্রায়শই স্থানাঙ্ক পদ্ধতি ব্যবহার করে অন্যান্য সমস্যাগুলি সমাধান করতে ব্যবহৃত হয়।

স্থানাঙ্কের পদ্ধতি প্রয়োগের কাজের উদাহরণ

উদাহরণ 1

একটি নিয়মিত পিরামিডের দিকটি সন্ধান করুন যার উচ্চতা $3 $ সেমি যদি বেসের দিকটি $ 4 $ সেমি হয়।

আমাদের একটি নিয়মিত পিরামিড $ ABCDS $ দেওয়া যাক, যার উচ্চতা $ SO $। চলুন চিত্র 1-এর মতো একটি স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা চালু করি।

যেহেতু বিন্দু $ A $ হল স্থানাঙ্ক সিস্টেমের কেন্দ্র যা আমরা তৈরি করেছি

যেহেতু $B$ এবং $D$ পয়েন্টগুলি যথাক্রমে $Ox$ এবং $Oy$ অক্ষের অন্তর্গত, তাহলে

$B = (4,0,0) $, $D = (0,4,0) $

যেহেতু বিন্দু $ C$ সমতল $ Oxy $ এর অন্তর্গত, তারপর

যেহেতু পিরামিডটি সঠিক তাই $O$ হল $$ সেগমেন্টের মাঝখানে। বিবৃতি 2 অনুযায়ী, আমরা পাই:

$ O = (\ frac (0 + 4) (2), \ frac (0 + 4) (2), \ frac (0 + 0) (2)) = (2,2,0) $

যেহেতু $SO$ এর উচ্চতা

সমন্বয় পদ্ধতি ব্যবহার করার জন্য, আপনাকে সূত্রগুলি ভালভাবে জানতে হবে। তাদের মধ্যে তিনটি আছে:

প্রথম নজরে, এটি ভয়ঙ্কর দেখায়, তবে সামান্য অনুশীলন এবং সবকিছু দুর্দান্ত কাজ করবে।

টাস্ক। a = (4; 3; 0) এবং b = (0; 12; 5) ভেক্টরের মধ্যে কোণের কোসাইন খুঁজুন।

সমাধান। যেহেতু ভেক্টরগুলির স্থানাঙ্কগুলি আমাদের দেওয়া হয়েছে, আমরা তাদের প্রথম সূত্রে প্রতিস্থাপন করি:

টাস্ক। M = (2; 0; 1), N = (0; 1; 1) এবং K = (2; 1; 0) বিন্দুগুলির মধ্য দিয়ে যাওয়া সমতলের জন্য একটি সমীকরণ তৈরি করুন, যদি এটি জানা যায় যে এটি অতিক্রম করে না মূল

সমাধান। সমতলের সাধারণ সমীকরণ: Ax + By + Cz + D = 0, কিন্তু যেহেতু কাঙ্ক্ষিত সমতল স্থানাঙ্কের উৎপত্তির মধ্য দিয়ে যায় না - বিন্দু (0; 0; 0) - তাহলে আমরা D = 1 রাখি। সমতল M, N এবং K বিন্দুর মধ্য দিয়ে যায়, তারপর এই বিন্দুগুলির স্থানাঙ্কগুলি সমীকরণটিকে সঠিক সংখ্যাসূচক সমতায় পরিণত করবে।

M = (2; 0; 1) বিন্দুর x, y এবং z স্থানাঙ্কের পরিবর্তে প্রতিস্থাপন করুন। আমাদের আছে:
A 2 + B 0 + C 1 + 1 = 0 ⇒ 2A + C + 1 = 0;

একইভাবে, N = (0; 1; 1) এবং K = (2; 1; 0) বিন্দুগুলির জন্য আমরা সমীকরণগুলি পাই:
A 0 + B 1 + C 1 + 1 = 0 ⇒ B + C + 1 = 0;
A 2 + B 1 + C 0 + 1 = 0 ⇒ 2A + B + 1 = 0;

সুতরাং, আমাদের তিনটি সমীকরণ এবং তিনটি অজানা আছে। আসুন সমীকরণের সিস্টেমটি রচনা এবং সমাধান করি:

আমরা পেয়েছি যে সমতলের সমীকরণটির ফর্ম রয়েছে: - 0.25x - 0.5y - 0.5z + 1 = 0।

টাস্ক। সমতলটি 7x - 2y + 4z + 1 = 0 সমীকরণ দ্বারা দেওয়া হয়েছে। প্রদত্ত তলটির লম্ব ভেক্টরের স্থানাঙ্কগুলি খুঁজুন।

সমাধান। তৃতীয় সূত্রটি ব্যবহার করে, আমরা n = (7; - 2; 4) পাই - এটাই সব!

ভেক্টরের স্থানাঙ্ক গণনা করা

কিন্তু সমস্যায় কোন ভেক্টর না থাকলে কী হবে - সরলরেখায় শুধু বিন্দু আছে, এবং আপনাকে এই সরল রেখার মধ্যে কোণ গণনা করতে হবে? এটি সহজ: বিন্দুগুলির স্থানাঙ্কগুলি জেনে - ভেক্টরের শুরু এবং শেষ - আপনি নিজেই ভেক্টরের স্থানাঙ্কগুলি গণনা করতে পারেন।

একটি ভেক্টরের স্থানাঙ্ক খুঁজে পেতে, এর শেষের স্থানাঙ্ক থেকে শুরুর স্থানাঙ্কগুলি বিয়োগ করুন।

এই উপপাদ্য সমতলে এবং মহাকাশে একইভাবে কাজ করে। "বিয়োগ স্থানাঙ্ক" অভিব্যক্তিটির অর্থ হল যে একটি বিন্দুর x স্থানাঙ্ক থেকে অন্যটির x স্থানাঙ্ক বিয়োগ করা হয়, তারপর y এবং z স্থানাঙ্কের সাথে একই কাজ করা আবশ্যক। এখানে কিছু উদাহরন:

টাস্ক। মহাকাশে তিনটি বিন্দু রয়েছে, তাদের স্থানাঙ্ক দ্বারা প্রদত্ত: A = (1; 6; 3), B = (3; - 1; 7) এবং C = (- 4; 3; - 2)। AB, AC এবং BC ভেক্টরের স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।

একটি ভেক্টর AB বিবেচনা করুন: এর উত্স A বিন্দুতে এবং এর শেষ B বিন্দুতে। অতএব, এর স্থানাঙ্ক খুঁজে পেতে, বিন্দুর স্থানাঙ্ক থেকে A বিন্দুর স্থানাঙ্কগুলিকে বিয়োগ করতে হবে:
AB = (3 - 1; - 1 - 6; 7 - 3) = (2; - 7; 4)।

একইভাবে, ভেক্টর AC এর শুরুটি এখনও একই বিন্দু A, কিন্তু শেষটি C বিন্দু। তাই, আমাদের আছে:
AC = (- 4 - 1; 3 - 6; - 2 - 3) = (- 5; - 3; - 5)।

অবশেষে, BC ভেক্টরের স্থানাঙ্কগুলি খুঁজে পেতে, আপনাকে বি বিন্দুর স্থানাঙ্কগুলি C বিন্দুর স্থানাঙ্ক থেকে বিয়োগ করতে হবে:
BC = (- 4 - 3; 3 - (- 1); - 2 - 7) = (- 7; 4; - 9)।

উত্তর: AB = (2; - 7; 4); এসি = (- 5; - 3; - 5); BC = (- 7; 4; - 9)

শেষ বিসি ভেক্টরের স্থানাঙ্কের গণনার দিকে মনোযোগ দিন: নেতিবাচক সংখ্যার সাথে কাজ করার সময় অনেকে ভুল করে। এটি ভেরিয়েবল y এর সাথে সম্পর্কিত: বিন্দু B এর y = - 1 এবং বিন্দু C y = 3 আছে। আমরা ঠিক 3 - (- 1) = 4 পাই, এবং 3 - 1 না, যেমন অনেকে বিশ্বাস করে। এমন বোকা ভুল করবেন না!

সরলরেখার জন্য দিক ভেক্টরের গণনা

আপনি যদি সমস্যা C2 মনোযোগ সহকারে পড়েন তবে আপনি অবাক হবেন যে সেখানে কোন ভেক্টর নেই। শুধুমাত্র সরল রেখা এবং সমতল আছে.

সরলরেখা দিয়ে শুরু করা যাক। এখানে সবকিছুই সহজ: যেকোনো সরলরেখায় কমপক্ষে দুটি ভিন্ন বিন্দু থাকে এবং বিপরীতভাবে, যেকোনো দুটি ভিন্ন বিন্দু একটি একক সরলরেখাকে সংজ্ঞায়িত করে...

আগের অনুচ্ছেদে কি লেখা আছে তা কি কেউ বোঝেন? আমি নিজে এটি বুঝতে পারিনি, তাই আমি এটি আরও সহজ করে ব্যাখ্যা করব: C2 সমস্যায়, সরল রেখাগুলি সর্বদা এক জোড়া বিন্দু দ্বারা দেওয়া হয়। যদি আমরা একটি স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা প্রবর্তন করি এবং এই পয়েন্টগুলিতে একটি শুরু এবং শেষ সহ একটি ভেক্টর বিবেচনা করি, আমরা একটি সরল রেখার জন্য তথাকথিত দিকনির্দেশনা ভেক্টর পাই:

কেন এই ভেক্টর প্রয়োজন? বিন্দু হল দুটি সরল রেখার মধ্যবর্তী কোণটি তাদের দিক ভেক্টরের মধ্যবর্তী কোণ। এইভাবে, আমরা বোধগম্য সরল রেখা থেকে নির্দিষ্ট ভেক্টরগুলিতে চলে যাই, যার স্থানাঙ্কগুলি গণনা করা সহজ। এটা কত সহজ? উদাহরণগুলি একবার দেখুন:

টাস্ক। ঘনক্ষেত্রে ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 লাইন AC এবং BD 1 আঁকা হয়েছে। এই রেখাগুলির দিক ভেক্টরগুলির স্থানাঙ্কগুলি সন্ধান করুন।

যেহেতু ঘনক্ষেত্রের প্রান্তের দৈর্ঘ্য শর্তে নির্দিষ্ট করা নেই, তাই আমরা AB = 1 সেট করি। আমরা A বিন্দুতে উৎপত্তির সাথে একটি স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা প্রবর্তন করি এবং AB, AD এবং AA 1 রেখা বরাবর নির্দেশিত অক্ষ x, y, z, যথাক্রমে একক অংশটি AB = 1 এর সমান।

এখন আমরা লাইন AC এর জন্য দিক ভেক্টরের স্থানাঙ্কগুলি খুঁজে পাব। আমাদের দুটি পয়েন্ট দরকার: A = (0; 0; 0) এবং C = (1; 1; 0)। এখান থেকে আমরা AC = (1 - 0; 1 - 0; 0 - 0) = (1; 1; 0) ভেক্টরের স্থানাঙ্কগুলি পাই - এটি হল দিক ভেক্টর।

এখন সোজা লাইন বিডি 1 নিয়ে কাজ করা যাক। এর দুটি পয়েন্টও রয়েছে: B = (1; 0; 0) এবং D 1 = (0; 1; 1)। আমরা দিক ভেক্টর BD 1 = (0 - 1; 1 - 0; 1 - 0) = (- 1; 1; 1) পাই।

উত্তরঃ AC = (1; 1; 0); বিডি 1 = (- 1; 1; 1)

টাস্ক। একটি নিয়মিত ত্রিভুজাকার প্রিজমে ABCA 1 B 1 C 1, যার সমস্ত প্রান্ত 1 এর সমান, রেখা AB 1 এবং AC 1 আঁকা হয়েছে। এই রেখাগুলির দিক ভেক্টরগুলির স্থানাঙ্কগুলি সন্ধান করুন।

আসুন স্থানাঙ্ক ব্যবস্থাটি চালু করা যাক: উত্সটি A বিন্দুতে, x-অক্ষটি AB এর সাথে মিলে যায়, z-অক্ষটি AA 1 এর সাথে মিলে যায়, y-অক্ষটি x-অক্ষের সাথে OXY সমতল গঠন করে, যা ABC সমতলের সাথে মিলে যায় .

প্রথমে, AB 1 সরলরেখা নিয়ে কাজ করা যাক। এখানে সবকিছুই সহজ: আমাদের পয়েন্ট A = (0; 0; 0) এবং B 1 = (1; 0; 1) রয়েছে। আমরা দিক ভেক্টর AB 1 = (1 - 0; 0 - 0; 1 - 0) = (1; 0; 1) পাই।

এখন আমরা AC 1 এর জন্য দিক ভেক্টর খুঁজে পাব। সব একই - শুধুমাত্র পার্থক্য হল যে বিন্দু C 1 এর অযৌক্তিক স্থানাঙ্ক রয়েছে। সুতরাং, A = (0; 0; 0), তাই আমাদের আছে:

উত্তরঃ AB 1 = (1; 0; 1);

শেষ উদাহরণ সম্পর্কে একটি ছোট কিন্তু খুব গুরুত্বপূর্ণ নোট. যদি ভেক্টরের উৎপত্তি উৎপত্তির সাথে মিলে যায়, তাহলে গণনাগুলি অনেক সরলীকৃত হয়: ভেক্টরের স্থানাঙ্কগুলি কেবল প্রান্তের স্থানাঙ্কের সমান। দুর্ভাগ্যবশত, এটি শুধুমাত্র ভেক্টরের জন্য সত্য। উদাহরণস্বরূপ, প্লেনগুলির সাথে কাজ করার সময়, তাদের উপর উত্সের উপস্থিতি কেবল গণনাকে জটিল করে তোলে।

প্লেনের জন্য সাধারণ ভেক্টর গণনা করা হচ্ছে

সাধারণ ভেক্টরগুলি এমন ভেক্টর নয় যা ভাল করে বা করে। সংজ্ঞা অনুসারে, একটি সমতলের একটি সাধারণ ভেক্টর (স্বাভাবিক) সেই সমতলের লম্ব একটি ভেক্টর।

অন্য কথায়, একটি সাধারণ একটি প্রদত্ত সমতলের যেকোনো ভেক্টরের সাথে লম্ব একটি ভেক্টর। অবশ্যই আপনি এই ধরনের একটি সংজ্ঞা পূরণ করেছেন - যাইহোক, ভেক্টরের পরিবর্তে, আমরা সরল রেখা সম্পর্কে কথা বলছিলাম। যাইহোক, ঠিক উপরে এটি দেখানো হয়েছে যে সমস্যা C2 এ আপনি যেকোনো সুবিধাজনক বস্তুর সাথে কাজ করতে পারেন - এমনকি একটি সরল রেখা, এমনকি একটি ভেক্টর।

আমি আপনাকে আবার মনে করিয়ে দিই যে যেকোন সমতলকে মহাকাশে Ax + By + Cz + D = 0 সমীকরণ দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়, যেখানে A, B, C এবং D কিছু সহগ। দ্রবণের সাধারণতা হারানো ছাড়া, আমরা ধরে নিতে পারি D = 1 যদি সমতলটি উৎপত্তিস্থলের মধ্য দিয়ে না যায়, অথবা যদি এটি করে তবে D = 0। যাই হোক না কেন, এই সমতলে স্বাভাবিক ভেক্টরের স্থানাঙ্ক হল n = (A; B; C)।

সুতরাং, প্লেনটি সফলভাবে একটি ভেক্টর দ্বারা প্রতিস্থাপিত হতে পারে - একই স্বাভাবিক। মহাকাশে যে কোনো সমতলকে তিন বিন্দু দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়। সমতলের সমীকরণটি কীভাবে খুঁজে পাওয়া যায় (এবং তাই স্বাভাবিক), আমরা ইতিমধ্যে নিবন্ধের একেবারে শুরুতে আলোচনা করেছি। যাইহোক, এই প্রক্রিয়াটি অনেকের জন্য সমস্যা সৃষ্টি করে, তাই আমি আরও কয়েকটি উদাহরণ দেব:

টাস্ক। ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 কিউবে A 1 BC 1 ধারা টানা হয়েছে। এই বিভাগের সমতলের জন্য সাধারণ ভেক্টরটি সন্ধান করুন যদি উত্স A বিন্দুতে থাকে এবং x, y এবং z অক্ষগুলি যথাক্রমে AB, AD এবং AA 1 প্রান্তের সাথে মিলে যায়।

যেহেতু প্লেনটি উৎপত্তির মধ্য দিয়ে যায় না, তার সমীকরণটি এইরকম দেখায়: Ax + By + Cz + 1 = 0, i.e. সহগ D = 1. যেহেতু এই সমতলটি A 1, B এবং C 1 বিন্দুর মধ্য দিয়ে যায়, তাই এই বিন্দুগুলির স্থানাঙ্কগুলি সমতলের সমীকরণটিকে সঠিক সংখ্যাসূচক সমতায় পরিণত করে।

A 0 + B 0 + C 1 + 1 = 0 ⇒ C + 1 = 0 ⇒ C = - 1;

একইভাবে, পয়েন্ট B = (1; 0; 0) এবং C 1 = (1; 1; 1) এর জন্য আমরা সমীকরণগুলি পাই:
A 1 + B 0 + C 0 + 1 = 0 ⇒ A + 1 = 0 ⇒ A = - 1;
A 1 + B 1 + C 1 + 1 = 0 ⇒ A + B + C + 1 = 0;

কিন্তু আমরা ইতিমধ্যেই A = - 1 এবং C = - 1 সহগগুলি জানি, তাই এটি B সহগ খুঁজে বের করতে রয়ে গেছে:
B = - 1 - A - C = - 1 + 1 + 1 = 1।

আমরা সমতলের সমীকরণ পাই: - A + B - C + 1 = 0, অতএব, স্বাভাবিক ভেক্টরের স্থানাঙ্কগুলি n = (- 1; 1; - 1) এর সমান।

টাস্ক। ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ঘনক্ষেত্রে AA 1 C 1 C বিভাগটি আঁকা হয়েছে। এই বিভাগের সমতলের জন্য সাধারণ ভেক্টরটি সন্ধান করুন যদি উত্সটি A বিন্দুতে থাকে এবং x, y, এবং z অক্ষগুলি এর সাথে মিলে যায় প্রান্ত যথাক্রমে AB, AD এবং AA 1।

এই ক্ষেত্রে, সমতলটি মূলের মধ্য দিয়ে যায়, তাই সহগ D = 0, এবং সমতল সমীকরণটি এইরকম দেখায়: Ax + By + Cz = 0। যেহেতু সমতলটি A1 এবং C বিন্দুর মধ্য দিয়ে যায়, তাই এই বিন্দুগুলির স্থানাঙ্ক সমতল সমীকরণটিকে সঠিক সংখ্যাসূচক সমতায় পরিণত করুন।

বিন্দু A 1 = (0; 0; 1) এর x, y এবং z স্থানাঙ্কের পরিবর্তে প্রতিস্থাপন করুন। আমাদের আছে:
A 0 + B 0 + C 1 = 0 ⇒ C = 0;

একইভাবে, C = (1; 1; 0) বিন্দুর জন্য আমরা সমীকরণ পাই:
A 1 + B 1 + C 0 = 0 ⇒ A + B = 0 ⇒ A = - B;

আমরা B = 1 রাখি। তারপর A = - B = - 1, এবং পুরো সমতলের সমীকরণটির ফর্ম রয়েছে: - A + B = 0, অতএব, সাধারণ ভেক্টরের স্থানাঙ্কগুলি n = (- 1; 1; 0)।

সাধারণভাবে বলতে গেলে, উপরের সমস্যাগুলিতে সমীকরণের একটি সিস্টেম রচনা করা এবং এটি সমাধান করা প্রয়োজন। তিনটি সমীকরণ এবং তিনটি ভেরিয়েবল থাকবে, তবে দ্বিতীয় ক্ষেত্রে তাদের একটি বিনামূল্যে থাকবে, অর্থাৎ নির্বিচারে মান নিন। সেজন্য আমাদের B = 1 বসানোর অধিকার আছে - সমাধানের সাধারণতা এবং উত্তরের শুদ্ধতার প্রতি কোনো কুসংস্কার ছাড়াই।

প্রায়শই C2 সমস্যায় এমন পয়েন্টগুলির সাথে কাজ করা প্রয়োজন যা সেগমেন্টটিকে অর্ধেক ভাগ করে। সেগমেন্টের প্রান্তের স্থানাঙ্কগুলি জানা থাকলে এই ধরনের বিন্দুগুলির স্থানাঙ্কগুলি সহজেই গণনা করা যায়।

সুতরাং, বিভাগটিকে তার প্রান্ত দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা যাক - বিন্দু A = (x a; y a; z a) এবং B = (x b; y b; z b)। তারপর সেগমেন্টের মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্কগুলি - আমরা এটিকে H বিন্দু দ্বারা চিহ্নিত করি - সূত্র দ্বারা পাওয়া যাবে:

অন্য কথায়, একটি রেখাংশের মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্কগুলি হল তার প্রান্তের স্থানাঙ্কগুলির গাণিতিক গড়।

টাস্ক। একক ঘনক ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় স্থাপন করা হয়েছে যাতে x, y এবং z অক্ষগুলি যথাক্রমে AB, AD এবং AA 1 প্রান্ত বরাবর নির্দেশিত হয় এবং উৎপত্তি A বিন্দু K এর সাথে মিলে যায় প্রান্ত A 1 B এক এর মধ্যবিন্দু। এই বিন্দুর স্থানাঙ্ক খুঁজুন।

যেহেতু K বিন্দু A 1 B 1 সেগমেন্টের মধ্যবিন্দু, তাই এর স্থানাঙ্কগুলি প্রান্তের স্থানাঙ্কগুলির গাণিতিক গড়ের সমান। শেষের স্থানাঙ্কগুলি লিখি: A 1 = (0; 0; 1) এবং B 1 = (1; 0; 1)। এখন K বিন্দুর স্থানাঙ্কগুলি খুঁজে বের করা যাক:

টাস্ক। একক ঘনক ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় স্থাপন করা হয়েছে যাতে x, y এবং z অক্ষগুলি যথাক্রমে AB, AD এবং AA 1 প্রান্ত বরাবর নির্দেশিত হয় এবং উৎপত্তি A বিন্দুর সাথে মিলে যায়। L বিন্দুর স্থানাঙ্ক যেখানে তারা A 1 B 1 C 1 D 1 বর্গক্ষেত্রের কর্ণকে ছেদ করে।

প্ল্যানিমেট্রি কোর্স থেকে জানা যায় যে একটি বর্গক্ষেত্রের কর্ণগুলির ছেদ বিন্দুটি তার সমস্ত শীর্ষবিন্দু থেকে সমান দূরত্বের। বিশেষ করে, A 1 L = C 1 L, i.e. বিন্দু L হল সেগমেন্ট A 1 C 1 এর মধ্যবিন্দু। কিন্তু A 1 = (0; 0; 1), C 1 = (1; 1; 1), তাই আমাদের আছে:

উত্তর: L = (0.5; 0.5; 1)