... Kornet. Osnovni koncepti.

Definicija. Kornet je geometrijska figura dobijena rotacijom pravokutnog trougla oko jednog od njegovih krakova. Noga u odnosu na koju dolazi do rotacije - osa konus, brojčano jednak njegovoj visini; druga etapa - radijus osnova; hipotenuza - generatrix (formira bočnu površinu konusa tokom rotacije).

M- vrh konusa, O- centar baze, MO- os konusa, MO = H- visina konusa, OA = OV =…= R- poluprečnik osnove, AM= BM =…= l- generatrisa konusa. Aksijalni presjek konusa - jednakokraki trokut (na primjer, trokut AMB). Presjek stošca ravninom koja je paralelna bazi je kružnica slična bazi.

Rasklop površine konusa sastoji se od kruga i sektora kružnice.

... Frustum.

Definicija. Krnji konus naziva se geometrijska figura dobijena rotacijom pravokutnog trapeza oko njegove manje bočne strane. Drugim riječima: krnji konus je dio konusa zatvoren između baze i presjeka konusa paralelnog bazi. Aksijalni presek - jednakokraki trapez (npr. ABB 1 A 1 ) .

B 1 A 1

... Zapremina i površina konusa.

	skraćeno

Evo R- radijus donje baze, r- radijus gornje osnove, H- visina, l- generator.

Pitanja i zadaci

Papirna vrećica je presavijena u obliku konusa polumjera osnove 5 cm i visine 10 cm. Odredite površinu vrećice.

Generator konusa je 2 cm, a poluprečnik osnove 1 cm. Objasnite da li je njegova ukupna površina veća ili manja od 6 cm 2.

Pronađite ukupnu površinu stošca ako:

a) poluprečnik njegove osnove je 2, a generatriksa je 4;

b) poluprečnik osnove je 3, a visina 4;

c) poluprečnik osnove je 4, a ugao nagiba generatrike prema osnovici je 30 0.

Pronađite zapreminu stošca ako:

a) poluprečnik njegove osnove je 2, a visina 3;

b) poluprečnik njegove osnove je 3, a generator 5;

c) poluprečnik osnove je 2, a generatriksa je nagnuta prema ravni baze pod uglom od 30°;

d) poluprečnik osnove je 3, a površina aksijalnog preseka je 12.

a i b (a < b) prvo se okreće oko jednog od njih, a zatim oko drugog. uporedi:

a) površina bočnih površina rezultirajućih čunjeva;

b) površina punih površina nastalih konusa.

Jednakokraki pravougaoni trougao sa kracima dužine 2 rotira se oko hipotenuze. Pronađite površinu rezultirajuće površine.

Pravougli trokut sa katetama 3 i 4 rotira se oko hipotenuze. Pronađite površinu rezultirajuće površine.

Pravougaoni trokut sa kracima od 6 cm i 8 cm rotira oko manjeg kraka. Izračunajte površine bočnih i ukupnih površina konusa nastalog tokom ove rotacije.

Pravougaoni trougao sa kracima a i b rotirati oko hipotenuze. Odrediti zapreminu rezultirajućeg tijela okretanja.

Paralelogram sa stranicama 6 cm i 8 cm i uglom od 60 0 rotira se oko prave linije koja sadrži veću stranu paralelograma. Pronađite površinu rezultirajuće površine.

Ugao između generatrike i ose konusa je 45 °, generatriksa je 6,5 cm. Nađite površinu bočne površine konusa.

Aksijalni poprečni presjek konusa je 0,6 cm². Visina stošca je 1,2 cm. Izračunajte ukupnu površinu stošca.

Odredite zapreminu stošca ako je njegova osnovna površina Q, a bočna površina P.

Visina stošca jednaka je prečniku njegove osnove. Nađite zapreminu konusa ako je njegova visina H.

Nađite zapreminu konusa ako je njegova generatriksa 13 cm, a površina osnog presjeka 60 cm².

Poluprečnici osnova krnjeg konusa su 3 m i 6 m, a generatriksa je 5 m. Nađite zapreminu krnjeg konusa.

Razmatra se konus sa polumjerom osnove od 5 cm i generatricom od 3 cm. Kroz tačku generatrise koja se nalazi na udaljenosti od 1 cm od vrha povučen je presjek paralelan s osnovom konusa. Dovršite sljedeće zadatke redom:

a) pronađite površinu ovog odseka;

b) nađi površinu bočne površine datog konusa;

c) pronađite površinu bočne površine konusa odsječenog nacrtanom ravninom;

d) pronađite površinu bočne površine krnjeg konusa odsječenog nacrtanom ravninom;

e) pronaći ukupnu površinu ovog krnjeg konusa.

Naći generatrisu skraćenog konusa ako su polumjeri osnove 3 cm i 6 cm, a visina 4 cm.

Površina osnove stošca je 12 cm², njegova visina je 6 cm. Nađite površinu njegovog poprečnog presjeka paralelnog s bazom i nacrtanog:

a) kroz sredinu visine;

b) na udaljenosti od 2 cm od vrha konusa;

c) na udaljenosti od 4 cm od vrha konusa.

Naći zapremine čunjeva čije su osnove razmatrani preseci, a vrh je vrh datog konusa.

Površina osnove stošca je 25 cm², a visina 5 cm. Na udaljenosti od 1 cm od vrha povlači se presjek paralelan s bazom. Pronađite zapreminu skraćenog konusa odsečenog presekom.

Visina konusa je 5 cm.Na udaljenosti od 2 cm od vrha preseca ga ravan paralelna sa bazom. Nađite zapreminu originalnog konusa ako je zapremina manjeg konusa odsečenog od originala 24 cm³.

Visina u krnjem konusu je poznata h generisanje l i površine S bočna površina. Pronađite aksijalnu površinu i volumen frustum.

§ 24. Tela revolucije.

Cilindar, konus i krnji konus.

1. Kvadrat sa stranom a okreće se oko okomice na dijagonalu povučenu kroz njegov kraj. Odredite volumen i površinu rezultirajućeg tijela.

2. Kvadrat sa stranom a rotira oko vanjske ose, koja je paralelna njegovoj strani i udaljena je od nje dužinom stranice. Potrebno: 1) odrediti zapreminu i površinu nastalog tela; 2) odrediti u kom će omjeru volumen nastao rotacijom kvadrata biti podijeljen s površinom, koja će biti opisana njegovom dijagonalom.

3. Jednakostranični trokut rotira oko okomite na stranu, povučen kroz njegov kraj. Kakav je odnos između površina opisanih stranicama trokuta?

4. Jednakostranični trokut rotira prvo oko stranice, a zatim oko paralele stranice povučene kroz vrh. Drugi put, zapremina i površina su duplo veći nego prvi put. Dokazati.

5. Jednakostranični trokut sa stranicom a rotira oko vanjske ose, koja je paralelna sa stranicom i udaljena od nje na udaljenosti jednakoj apotemi trokuta. Odredite volumen i površinu rezultirajućeg tijela.

6. Jedna od strana a jednakostraničnog trougla se produži na istu dužinu, a na njega je povučena okomita kroz kraj nastavka. Odredite volumen i površinu tijela, što će ispasti ako zarotirate trokut oko ove okomice.

7. Visina jednakostraničnog trougla je produžena izvan vrha do njegove dužine, a na njega je povučena okomica kroz kraj nastavka. Pored a odrediti volumen i površinu tijela nastalog rotacijom trokuta oko ove okomice.

8. Stranice kvadrata služe kao stranice jednakostraničnih trokuta izgrađenih s vanjske strane, a rezultirajuća figura rotira oko prave linije koja povezuje vanjske vrhove dva suprotna trokuta. Strana kvadrata je a ... Odredite volumen i površinu rezultirajućeg tijela.

9. Pored a pravilnog šestougla odrediti zapreminu i površinu tela koja nastaju njegovom rotacijom: 1) oko prečnika; 2) oko apoteme.

10. Pored a pravilnog šestougla za određivanje zapremine i površine tijela nastalog njegovom rotacijom oko stranice.

11. a rotira oko ose koja prolazi kroz njegov vrh okomito na poluprečnik povučen ovom vrhu. Odrediti zapreminu i površinu tijela okretanja.

12. Pravilni šestougao sa stranom a rotira oko vanjske ose, koja je paralelna sa stranicom i udaljena je od nje za dužinu apoteme. Odredite volumen i površinu rezultirajućeg tijela.

13. Pravougaoni trougao sa katetama 5 cm i 12 cm rotira oko vanjske ose, koja je paralelna sa većom krakom i udaljena je od nje 3 cm. Odrediti zapreminu i površinu tijela okretanja.

14. Pravougaoni trokut s kracima od 15 cm i 20 cm rotira oko okomice na hipotenuzu povučenu kroz vrh većeg oštrog ugla. Odrediti zapreminu i površinu tijela okretanja.

15. Trokut sa stranicama od 9 cm, 10 cm i 17 cm rotira oko visine povučene od vrha njegovog manjeg ugla. Odredite volumen i površinu rezultirajućeg tijela.

16. Trokut sa stranicama od 8 cm i 5 cm, koji zatvara ugao od 60 °, rotira oko ose koja prolazi kroz vrh ovog ugla okomito na manju od njegovih stranica. Odrediti zapreminu i površinu tijela okretanja.

17. Zapremine nastale rotacijom paralelograma uzastopno oko dvije susjedne strane obrnuto su proporcionalne ovim stranicama. Dokazati.

18. Romb s površinom jednakom Q rotira oko stranice. Odredite površinu rezultirajućeg tijela.

19. 1) Romb sa stranom a i sa oštrim uglom od 60° rotira oko ose povučene kroz vrh ovog ugla okomito na stranu. Odrediti zapreminu i površinu tijela okretanja.

2) Isti problem za ugao od 45°.

20. Jednakokraki trapez, kod kojeg je oštar ugao 45°, a bočna strana jednaka manjoj osnovici, rotira se oko bočne strane. Po svojoj dužini a odrediti volumen i površinu tijela okretanja.

21. Trapez je upisan u polukrug polumjera R tako da je njegova donja osnova promjer ovog kruga, a bočna strana skuplja luk od 30°. Odredite zapreminu i površinu tijela nastalog rotacijom ovog trapeza oko poluprečnika okomitog na njegovu osnovu.

22. AB je prečnik datog polukruga poluprečnika R; BC-luk koji sadrži 60°. Povučena je tetiva AC i tangenta CD, gdje je D tačka na produžetku prečnika AB. Odredite zapreminu i površinu tela dobijenu rotacijom ACD trougla oko AD ose.

Lopta i njeni dijelovi.

23. Na polukrugu poluprečnika R od kraja njegovog prečnika AB položen je IUD luk od 60°, a tačka C spojena je na A. Odrediti zapreminu i površinu tela koje nastaje ako se figura rotira oko AB. , ograničen prečnikom AB, tetivom AC i lukom spirale.

24. Na polukrugu poluprečnika R od kraja njegovog prečnika AB, položen je BMC luk pod uglom od 45°, povučena je tangentna linija iz tačke C, koja siječe nastavak AB prečnika u tački D. Slika omeđena pravim linijama BD i CD i luk BMC rotira oko BD. Odredite volumen i površinu rezultirajućeg tijela.

25. O - centar luka AMC poluprečnika R; B-tačka na proširenju radijusa OA; BC-tangenta na luk AMC; CD - okomito na poluprečnik OA. Figura se rotira oko OB ose. Odredite udaljenost OD ako površina formirana rotacijom AMC luka prepolovi volumen nastao rotacijom OCV trokuta oko OB ose.

26. AMC, CND i DPB - uzastopne trećine polukruga prečnika AB i centra O. Povučeni su poluprečnici OC i OD i tetive AC i AD, a figura se okreće oko prečnika AB. Dokažite da će brojke ACND i OCND opisati jednake zapremine koje čine svaku polovinu zapremine lopte.

27. Kružni segment rotira oko prečnika paralelnog tetivi. Dokažite da je rezultirajući volumen jednak volumenu kugle čiji je prečnik jednak tetivi segmenta.

28. 1) AOB - kvadrant sa centrom O i poluprečnikom R; AMC - luk koji sadrži 60 °; AD - tangenta, a D je tačka njenog preseka sa nastavkom radijusa OS. Figura ograničena segmentima AD i CD i lukom AMC rotira oko poluprečnika OB. Odredite volumen i površinu rezultirajućeg tijela.

2) Isti problem za AMC luk jednak 45°.

Guldenove teoreme.

29. Provjerite obje Guldenove teoreme za slučajeve rotacije:

1) pravougaonik oko jedne od njegovih stranica;

2) romb sa stranicom a i visina h oko jedne od njegovih strana;

3) pravilan trougao sa stranicom a oko ose koja prolazi kroz vrh paralelno sa bazom;

4) pravougli trougao oko jedne od kateta;

5) pravougli trougao oko hipotenuze.

30. Presjek gvozdenog prstena - kvadrat sa stranom a = 4 cm; prosečan prečnik prstena d = 80 cm, a njegova specifična težina je 8,6. Pronađite težinu prstena.

31. Kolut za spašavanje, čiji je poprečni presjek kružnica, može se smatrati tijelom koje nastaje rotacijom kružnice oko ose. Prečnik preseka d = 12 cm; vanjski prečnik koluta za spašavanje D = 75 cm Izračunajte površinu kruga za spašavanje i njegovu zapreminu.

32. Depo lokomotiva ima oblik poluprstena u tlocrtu (sl. 44), čiji je unutrašnji prečnik 20 m; širina poluprstena 9 m; u poprečnom presjeku depoa izgleda kao pravougaoni trapez ABCD, čije su paralelne stranice 4,25 m i 6,5 m. Odrediti zapreminu depoa.

33. Stranice trougla su 9 cm, 10 cm i 17 cm. Trokut rotira oko svoje veće visine. Odrediti zapreminu površine okretnog tijela.

34. Dokažite da su zapremine dobijene rotacijom trougla oko osnove i oko prave linije paralelne sa osnovom koja prolazi kroz vrh trokuta povezane kao 1:2.

Stranica 2

Pravokutni trouglovi formirani od tačaka O, (a b) / 2, t i 0, (a a) / 2, t su zapravo slični.

Pravougaoni trougao sa 5 ježevih nogu i 12 cm rotira oko spoljne ose, koja je paralelna sa većom nogom i udaljena je od nje 3 cm. Odrediti zapreminu i površinu tela obrtanja.

Pravougaoni trokut s kracima od 15 cm i 20 cm rotira oko okomice na hipotenuzu, povučenu kroz vrh većeg oštrog ugla.

Pravokutni trouglovi su slični ako imaju jednak oštar ugao.

Pravokutni trokuti su slični ako su katete jednog proporcionalne katetama drugog.

Pravougli trougao može imati stranice, od kojih je svaka cijeli broj. Skup od tri cijela broja za stranice pravouglog trougla naziva se Pitagorina trojka. Ove tri stranice moraju zadovoljiti sljedeći odnos: zbir kvadrata dva kraka jednak je kvadratu hipotenuze. Koristite trostruko ugniježđenu for petlju koja samo ponavlja sve mogućnosti. Ovo je primjer izračunavanja grube sile. Za mnoge to ne donosi estetsko zadovoljstvo. Ali postoji mnogo razloga zašto su ove metode važne. Prvo, sa snagom računarstva koja raste tako neobičnom brzinom, rješenja za koja bi bile potrebne godine ili čak stoljećima kompjuterskog vremena da stignu koristeći tehnologiju koja je korištena prije samo nekoliko godina sada se mogu dobiti za sati, minute ili čak sekunde ... Moderna mikroprocesorska kola mogu obraditi preko 100 miliona operacija u sekundi. A 90-ih bi se, po svoj prilici, trebala pojaviti mikroprocesorska kola koja mogu obraditi milijardu operacija u sekundi. Drugo, kao što ćete naučiti iz kontinuiranih kurseva informatike, postoji mnogo zanimljivih problema za koje su nepoznati algoritamski pristupi osim grube sile.

Pravougaoni trokut sa kracima od 12 cm i 16 cm rotira oko hipotenuze.

Pravokutni trouglovi čije se stranice mjere cijelim brojevima.

Pravougaoni trokut sa katetama 8 cm i 15 cm rotira oko većeg kraka.

Pravokutni trokut površine S i oštrim uglom a rotira oko ose koja sadrži hipotenuzu.

Pravougli trokut površine S i oštrim uglom a rotira oko ose povučene kroz vrh pravog ugla paralelne hipotenuzi.

Pravougli trokut sa krakom a i suprotnim uglom od 30 rotira oko hipotenuze.

Pravokutni trokut se kreće u ravni tako da vrhovi njegovih oštrih uglova klize duž dvije međusobno okomite prave linije. Koji oblik formiraju vrhovi pravog ugla ovog trougla.

Draw

6.1. Neka to bude ispravna prizma. Prijenos je postavljen vektorom: a) 0,5AB; b) AO, gdje je O centar donje baze. Nacrtajte sliku prizme ovim prijenosom. Nacrtajte spoj i presjek originalne i rezultirajuće prizme.

6.2. Dat je pravilan tetraedar. Nacrtaj tetraedar, koji se dobija iz datog kao rezultat: a) centralne simetrije oko sredine visine; b) zrcalna simetrija u odnosu na ravan koja prolazi kroz sredinu visine koja je okomita na nju; c) okrenuti za 60° oko svoje visine; d) zarotirajte za 90" oko linije koja povezuje sredine njegovih suprotnih ivica. Nacrtajte spoj i presek originalnog i rezultirajućeg tetraedra.

6.3. Dao kocku. Nacrtaj kocku koja se dobija iz datog kao rezultat: a) prenosa na vektor usmeren duž njegove dijagonale, pola ove dijagonale; b) centralna simetrija oko tačke koja se nalazi na njenoj dijagonali i koja je deli u omjeru 2:1; c) zrcalna simetrija u odnosu na ravan koja je seče duž pravilnog šestougla; d) Rotirajte 90" oko prave linije koja prolazi središtem dvaju paralelnih ivica koje ne leže na istoj strani. Nacrtajte spoj i presek originalne i rezultirajuće kocke.

6.4. Nacrtajte tijela koja možete dobiti rotiranjem kruga

6.5. Nacrtaj tijela koja se dobijaju rotacijom: a) kocku oko ivice; b) kocka oko dijagonale; c) pravilan tetraedar oko ivice; d) konus oko prave paralelne osi i koja prolazi izvan nje.

Planiraju

6.6. Kako pronaći volumen i površinu oblika - spojeva i sjecišta - iz zadataka 6.1, 6.2?

6.7. Kako pronaći volumen i površinu oblika iz Zadatka 6.5?

Predstavljamo

6.8. Može li centar simetrije tijela ne pripadati njemu?

6.9. Dva jednaka segmenta: a) paralelna; b) imaju tačno jednu zajedničku tačku; c) ukrštanje. Kojim pokretom se jedan od njih može prikazati na drugom?

6.10. Dva segmenta su simetrična jedan prema drugom u odnosu na dvije ravni. Kakav će biti oblik ako su njihovi krajevi uzastopno povezani segmentima?

6.11. Sve moguće ravni su povučene kroz neku pravu liniju. Ova tačka se reflektuje sa svih ovih ravni. Kakav oblik formiraju sve dobijene tačke?

6.12. Da li je tačno da: a) kosi paralelepiped, čija su dva lica okomita na osnovu, ima ravan simetrije; b) postoje pravougaonici među plohama paralelepipeda sa ravninom simetrije; c) da li je paralelepiped koji ima dvije ravni simetrije pravougaoni?

6.13. Kako iseći kocku na tri jednake piramide?

Mi procenjujemo

6.14. Pravougli trougao sa hipotenuzom d rotira oko jedne od kateta. Pod kojim uslovom će zapremina tela obrtanja biti najveća?

6.15. Opseg jednakokračnog trougla je P. Ovaj trokut se okreće oko osnove. Koji od ovih trouglova daje najveći volumen tijela okretanja?

Mi mislimo

6.16. Centar kocke se reflektuje u ravni svake njene strane. Dokazati da su dobijene tačke vrhovi oktaedra. Mogu li se na ovaj način dobiti drugi pravilni poliedri?

6.17. Ova lopta sadrži:

a) pravilni tetraedar;

b) kocka. Lica ovog poliedra su proširena da se presecaju sa sferom. Na koje se figure podijelila sfera? Na koje se figure podijelila lopta? Koliko ih je međusobno jednakih?

Istraživanje

6.18. Da li je kretanje prostora takva transformacija koja stavlja tačku sa koordinatama u korespondenciju sa tačkom sa koordinatama:

6.19. Poliedar ima centar simetrije, centar opisane lopte, centar upisane kugle i centar mase. Koliko se ovih bodova može podudarati?

Ulazimo na univerzitet

6.20. Od kraja prečnika lopte povlači se tetiva tako da površina nastala rotacijom oko ovog prečnika deli zapreminu lopte na dva jednaka dela. Odredite ugao između tetive i prečnika.

6.21. Jednakostranični trokut sa stranom a rotira oko vanjske ose koja je paralelna sa stranicom trokuta i udaljena je od nje na udaljenosti jednakoj polovini visine trokuta. Odrediti zapreminu tijela okretanja.

6.22. Trokut rotira oko simetrale AD. Dokazati da su površine površina koje su opisane stranicama AB i AC povezane kao zapremine dobijene rotacijom dijelova ABD i

6.23. Jednakokraki trokut, čija je osnova jednaka a, a ugao u osnovi a, rotira oko prave linije koja prolazi kroz jedan od krajeva baze okomito na nju. Pronađite površinu rezultirajućeg tijela okretanja.

6.24. Dio kvadrata ABCD, ostavljen nakon četvrtine kruga sa centom na vrhu D i poluprečnikom jednakim stranici kvadrata koji je izrezan iz njega, rotira oko ose koja prolazi kroz D paralelno sa dijagonalom AC. Odredite zapreminu rezultujućeg tela okretanja ako je stranica kvadrata jednaka a.

6.25. Površina pravokutnog trapeza ABCD je jednaka, dužina visine AB jednaka je h, veličina oštrog ugla ADC trapeza je

je jednako a. Na strani CD-a uzeta je tačka E tako da. Odredite zapreminu tela dobijenu rotacijom četvorougla ABED oko prave AB.

6.26. Odredite zapreminu tela dobijenu rotacijom pravilnog šestougla oko njegove stranice jednake a

6.27. Tačke A i B su date na kružnici polukruga polumjera R. Ako je N jedan od krajeva prečnika, a O centar kružnice, onda Odredite površinu ukupne površine formiranog tijela rotacijom kružnog sektora AOB oko prečnika.

6.28. Dat vam je pravilan tetraedar ABCD. Svaki od njegovih vrhova se simetrično reflektuje u odnosu na ravan suprotnog lica, zbog čega se dobijaju KLMN tačke, respektivno. Pronađite omjer volumena originalnog i rezultirajućeg tetraedra.

6.29. U tetraedru su nacrtani segmenti koji povezuju njegove vrhove sa presječnim točkama medijana suprotnih strana. Svi se sijeku u tački O. Drugi tetraedar je simetričan prvom u odnosu na tačku O. Zapremina originalnog tetraedra je V. Nađite zapreminu zajedničkog dijela dva tetraedra.

Odgovor: 0,5V.

6.30. Stranica osnove pravilne prizme ima dužinu a, a bočna ivica 1,125a Tačka E je sredina ivice AB, a tačka M leži na segmentu EC i EM EC. Druga prizma je simetrična prizmu u odnosu na pravu liniju.Nađi zapreminu zajedničkog dijela ovih prizmi.

6.31. Dat je pravilan tetraedar zapremine V. Drugi tetraedar se dobija od prvog okretanjem pod uglom

i oko prave linije koja povezuje sredine preseka ivica tetraedra. Odredite zapreminu zajedničkog dela ova dva tetraedra.

6.32. Kocka sa rubom a rotira se za 90" oko prave linije koja spaja sredine dvaju paralelnih ivica koje ne leže na istoj strani. Odrediti zapreminu zajedničkog dijela originalne i rotirane kocke.

6.33. Pravilna trokutasta piramida sa osnovnom stranom a rotira se oko ose simetrije pod uglom od 60. Odredi zapreminu zajedničkog dela originalne i rotirane piramide, ako su bočne strane pravougli trouglovi.

6.34. Pravilan tetraedar je upisan u kuglu poluprečnika R. Okretanjem pod uglom dobija se novi tetraedar oko visine, upisane u kuglu. Odredite zapreminu dijela lopte koji je izvan oba tetraedra.

6.35. Konus rotacije oko ose je prava linija okomita na njenu visinu i koja prolazi kroz vrh. Nađite površinu poprečnog presjeka rezultirajućeg tijela okretanja ravninom koja prolazi kroz os rotacije ako je generatrisa stošca 5, a visina 4.

ZADACI ZA § 26

Dopunjavanje teorije

6.36. Dokažite da ravan ide u ravan paralelnu s njom (ako ne u sebe) kao rezultat:

a) transfer; b) centralna simetrija.

Planiraju

6.37. U kocki, tačka O je centar lica ABCD. Kako izračunati ugao između prave B, O i:

a) ravna ravan

d) avion

6.38. Neka je PABCD piramida sa rombom ABCD u osnovi. RVTSAVS). Površina RBC-a je jednaka S. Kroz tačku K - sredinu ivice AD ​​- povučen je presjek paralelan s ravninom RAB. Kako da pronađem njegovu oblast?

6.39. Svaka bočna strana pravilnog tetraedra rotirana je oko ivica osnove pod istim uglom prema van. To je rezultiralo poliedrom sa šest vrhova i jednakim rubovima. Pod kojim uglom su se okrenula lica?

Predstavljamo

6.40. Hoće li u jednoj ravni biti dva jednaka kružna presjeka za dva nejednaka konusa, ako stoje na istoj ravni s jedne strane?

6.41. Dva kruga su centralno simetrična i ne leže u istoj ravni. Da li je tačno da leže na površini: a) jedne sfere; b) jedan cilindar? A ako su ti krugovi zrcalno simetrični?

6.42. U tom slučaju su dva jednaka:

a) lopta; b) cilindar; c) da li su konusi centralno simetrični? Ogledalo simetrično?

6.43. Kako možeš okrenuti loptu na sebe?

6.44. Ono što okreće jednu od ovih figura prikazuje se na drugoj, ako su ove figure: a) dvije prave; b) dvije ravni; c) dvije jednake lopte? Postoji li takva rotacija koja će preslikati drugu figuru na prvu?

6.45. Da li uvijek dobijemo konveksno tijelo rotacijom konveksnog oblika?

Mi mislimo

6.46. Koristeći svojstva prijenosa, dokazati da su: a) dvije okomice na jednu ravan paralelne; b) dvije ravni okomite na jednu pravu su paralelne; c) ako je prava paralelna pravoj okomitoj na ravan, onda je ona okomita na ravan; d) linearni uglovi diedarskog ugla su međusobno jednaki.

6.47. Dokazati da je unija dvije ravni figura: a) centralno simetrična; b) zrcalno simetrično.

6.48. Prava b se dobija od prave a refleksijom u ravni a. Ove linije imaju zajedničku tačku. Dokazati da ova tačka leži u ravni a.

6.49. U kugli poluprečnika R dvije ravni su povučene kroz centar, formirajući ugao jedna s drugom. Kako znate u kom su omjeru srušili volumen lopte?

6.50. Kroz simetralu ugla povučena je ravan. Dokažite da strane ugla sa njim čine jednake uglove.

Istraživanje

6.51. Da li je moguće ispuniti cijeli prostor jednakim paralelepipedima? Može li se to učiniti drugim jednakim poliedrima?

6.52. Hoće li presjek centralno simetričnog tijela koji prolazi kroz centar simetrije biti centralno simetričan?

6.53. Tijelo je centralno simetrično. Hoće li njegova ortogonalna projekcija biti centralno simetrična? Da li bi bilo suprotno?

6.54. Svako od dva tijela je centralno simetrično. Hoće li biti centralno simetrične: a) ujedinjenje; b) raskrsnica?

6.55. Centralno simetrično tijelo podijeljeno je ravninom. Ispostavilo se da je jedan njegov dio centralno simetričan. Hoće li i drugi dio biti isti?

6.56. Postoji li poliedar s bilo kojim unaprijed određenim brojem ravni simetrije?

ZADACI ZA § 27

Dopunjavanje teorije

6.57. Dokazati da je kompozicija dva odraza u ravnima koje se seku rotacija, au dve paralelne ravni paralelna translacija.

6.58. Nacrtajte oblik koji se pretvara u sebe kao rezultat: a) zavrtnja; b) rotacija ogledala; c) odraz paše.

6.59. Pustite kocku. Kao rezultat nekog kretanja, prelazi u drugu kocku. Nacrtajte ovu drugu kocku ako je kretanje ovako: a) vijak sa osom rotacije koja prolazi kroz središta površina

vektorom a, ugao rotacije jednak je rotaciji zrcala na sa osom rotacije, i refleksiji u ravni okomitoj na pravu liniju i koja prolazi kroz centar kocke; c) klizna refleksija, gdje se refleksija javlja u ravni okomitoj na dijagonalu kocke i koja prolazi kroz centar kocke, a vektor je jednak AC.

6.60. Neka je PABC pravilan tetraedar. Kao rezultat kretanja, prelazi u drugi tetraedar. Nacrtajte ovaj drugi tetraedar ako je kretanje:

a) vijak sa osom rotacije, središte baze), ugao rotacije od 60" i vektor

b) rotacija zrcala sa osom rotacije PQ, uglom rotacije 60° i ravninom refleksije koja je okomita na PQ i koja prolazi kroz sredinu visine

c) pašnjačka refleksija sa ravninom refleksije koja prolazi kroz PB i K - sredinu AC, i vektorom od 0,5 KB.

Predstavljamo

6.61. Da li je orijentacija osnove očuvana: a) transfer; b) centralna simetrija; c) zrcalna simetrija; d) skretanje; e) vijak; f) rotacija ogledala; g) klizeći odraz?

6.62. Da li kretanje ima fiksne tačke, ako ovo kretanje: a) transfer; b) centralna simetrija; c) zrcalna simetrija; d) skretanje; e) vijak; f) rotacija ogledala; g) klizeći odraz?

6.63. Dana su dva jednaka jednakokračna trougla. Koji pokreti se mogu kombinovati ako im je zajedničko: a) vrh jednakih stranica; b) stranu osnove; c) bočna strana; d) medijana osnove; e) srednja linija stranica?

c) jedna od njegovih visina prema drugoj;

d) segment koji povezuje sredine suprotnih ivica sa drugim sličnim segmentom;

e) presek od jedne ravni simetrije do druge je isti;

f) presek, koji je kvadrat, je isti za drugi? Da li će u takvom pokretu i druga figura biti prikazana na prvoj?

6.66. Kao rezultat toga koji se pokreti prikazuju na sebi:

a) segment; b) ravno; c) krug; d) kvadrat; e) pravilan poligon; f) romb; g) avion; h) diedarski ugao?

6.67. Kao rezultat kakvih kretanja se PAVS tetraedar prikazuje na sebi, u kojem: a); b)

6.68. Tijelo je spoj dvije lopte, a ne lopte. Kojim pokretima se prikazuje na sebi?

6.69. U četvorougaonoj piramidi: a) sve bočne ivice su jednake, a suprotni ravni uglovi na vrhu jednaki;

b) svi ravni vršni uglovi su jednaki, a suprotne bočne ivice jednake. Kojim pokretima se može samoporavnati?

6.70. Koje pokrete antiprizma pokazuje na sebi?

6.71. Kako podijeliti kocku na: a) 8 jednakih kocki; b) 6 jednakih piramida; c) 3 jednake piramide; d) 4 jednake trouglaste prizme?

6.72. Kako podijeliti ravnu trouglastu prizmu na 3 jednaka tetraedra? Ima li među njima jednakih?

6.73. Kako podijeliti paralelepiped na: a) 6 jednakih piramida; b) tri jednake piramide? Ima li među njima jednakih?

6.74. U kugli poluprečnika 1 izvučena su tri poluprečnika OA, OB, OS, od kojih su svaka dva okomita. Koji je dio zapremine sfere ograničen četvrtinama velikih krugova sfere OAB, OAS, OBC i površine? Koji dio površine?

Mi mislimo

6.75. Dvije pravilne četverokutne piramide i imaju zajedničku osnovu ABCD. Tačka K je središte ivice, tačka L je središte ivice, tačka M je tačka preseka medijana u licu, tačka N je tačka preseka medijana u licu. dokazati da:

e) udaljenost od tačke K do ravni je jednaka udaljenosti od tačke L do ravni RHVS.

Istraživanje

6.76. Uzmite kompoziciju od bilo koja dva kretanja koja znate i saznajte: a) da li mijenja orijentaciju ravnine; b) da li ima fiksne tačke?

6.77. Koliko fiksnih tačaka može imati svaki pokret koji poznajete? Kako se nalaze? I koliko fiksnih pravih može imati? Avioni?

6.78. Prava b se dobija iz linije a nekim kretanjem. Odredite lokaciju ovih pravih linija između sebe, ako je ovo kretanje: a) vijak; b) rotacija ogledala; c) odraz ogledala.

Mi menjamo

6.79. Žica je namotana na cilindar poluprečnika R i visine H. Kako znate njegovu dužinu?

6.80. Morate dizajnirati spiralno stepenište. Kako ćete dalje?

6.81. Možete li objasniti kako radi ugaoni reflektor? Sastoji se od tri upareno okomita ogledala.

Kada proučavate materijal teme, morate naučiti:

· Vrste tijela revolucije;

· Definicije tijela revolucije;

· Definicije elemenata tijela revolucije;

· Koncepti zamaha cilindra i konusa;

· Određivanje i proračun bočne i pune površine cilindra i konusa;

· Određivanje tangentne ravni na sferu i njenih svojstava;

· Koncept površine sfere;

· Definicija poliedra upisanog u sferu i opisanog oko nje.

U procesu rješavanja problema provjeravaju se sljedeće vještine:

· Prikaz tijela revolucije;

· Izračunati elemente tijela okretanja;

· Prikazati dijelove tijela;

· Izračunati površinu bočne i pune površine cilindra i konusa;

· Napravite jednačinu sfere.

Teorijska pitanja

Opcija 1

1. Pojam cilindrične površine i njeni elementi. Formulirajte definiciju cilindra i njegovih članova.

2. Izvedite formulu za izračunavanje površine kugle.

3. Odrediti omjer bočne površine i aksijalnog presjeka konusa.

Opcija 2

1. Koncept konične površine. Formulirajte definiciju konusa i njegovih elemenata.

2. Odrediti položaj središta sfere opisane oko pravilne četvorougaone piramide. Dokažite svoju izjavu.

3. Pronađite omjer bočnih površina i aksijalnog presjeka cilindra.

Opcija 3

1. Formulirajte definiciju krnjeg konusa i njegovih elemenata.

2. Odrediti položaj centra sfere upisane u pravilnu trouglastu piramidu. Dokažite svoju izjavu.

3. Dokažite da je puna površina jednakostraničnog konusa jednaka površini lopte čiji je prečnik visina konusa.

Opcija 4

1. Formulirajte definicije kugle i lopte. Zapišite jednadžbe sfere polumjera R sa centrom u tački O (0; 0; 0) i u tački A (x0; y0; z0).

2. Izvedite formulu za izračunavanje bočne površine konusa.

3. Dokazati da je ukupna površina cilindra jednaka površini bočne površine drugog cilindra istog polumjera čija je visina jednaka zbiru polumjera i visine datog cilindar.

Samostalni rad 17

Opcija 1

1. Površina aksijalnog presjeka cilindra je 16. Nađite površinu presjeka ovog cilindra, koji je paralelan s osi i nalazi se od nje na udaljenosti jednakoj polovini poluprečnika baze cilindra.

2. Polukrug je presavijen u konusnu površinu. Pronađite ugao između generatrike i visine konusa.

3. Polumjeri dviju kuglica su 16 i 20 dm, razmak između njihovih centara je 25 dm. Odredite dužinu kružnice duž koje se njihove površine sijeku.

Opcija 2

1. Poluprečnik osnove cilindra je 26 cm, što čini 4,8 dm. Na kojoj udaljenosti od ose cilindra treba povući presjek koji je paralelan s osi i ima oblik kvadrata?

2. Radijus sektora je 3 m, njegov ugao je 120°. Sektor je presavijen u konusnu površinu. Pronađite poluprečnik osnove stošca.

3. Dijagonale romba su 30 i 40 cm.Sferna površina dodiruje sve strane romba. Odrediti udaljenost od centra lopte do ravnine romba ako je polumjer lopte 13 cm.

Opcija 3

1. Polumjer osnove cilindra je 12 cm.Nađite razmak između aksijalnog presjeka i presjeka sa polovinom površine.

2. Ugao zahvata bočne površine konusa je 120°. Generator konusa je 15 cm Izračunajte prečnik osnove konusa.

3. Na lopticu je postavljen romb, poluprečnika 10 cm, tako da svaka njegova strana, jednaka 12,5 cm, dodiruje loptu. Ravan romba je 8 cm od centra lopte. Nađite površinu romba.

Opcija 4

1. Kroz generatrisu cilindra povučena su dva međusobno okomita presjeka čije su površine jednake 60 i 80 dm. Pronađite površinu aksijalnog presjeka.

2. Poluprečnik osnove stošca je 12 cm i čini 40 cm Izračunajte ugao zamaha ovog konusa.

3. Stranice trougla su 10 inča, 10 inča i 12 inča. Odredite udaljenost od ravnine trokuta do središta lopte tangente na stranice trokuta. Poluprečnik sfere je 5 dm.

Samostalni rad 18

Opcija 1

1. Dijagonala aksijalnog presjeka cilindra je 25% veća od prečnika njegove osnove. Pronađite punu površinu cilindra ako je razmak između njegovih središta 15 cm.

2. Razvoj bočne površine cilindra - kvadrat sa stranicom od 4 inča. Pronađite zapreminu cilindra.

3. Dijagonale aksijalnog presjeka krnjeg konusa su međusobno okomite, visina konusa H, tvoreći l. Pronađite stranu konusa.

4. Poluprečnik osnove stošca je 12 cm, tvori 40 cm. Pronađite ugao zamaha bočne površine konusa.

5. Generator krnjeg konusa je 10 cm, razlika između osnova je 6 cm, površina aksijalnog presjeka je 112 cm2. Pronađite stranu konusa.

6. Paralelogram, čije su stranice 21 cm i 89 cm, a dijagonala 100 cm, rotira oko manje stranice. Odrediti zapreminu tijela okretanja.

7. Pravougaoni trougao sa kracima od 16 i 12 cm rotira oko hipotenuze. Pronađite volumen i površinu rotacije.

Opcija 2

1. Bočna površina cilindra je polovina njegove pune površine. Pronađite punu površinu cilindra ako je dijagonala aksijalnog presjeka 10 inča.

2. Ukupna površina cilindra je 500 p cm2, prečnik njegove osnove je 20 cm.Nađi zapreminu cilindra.

3. Generator krnjeg konusa se odnosi na njegovu visinu kao 41:40. Polumjeri osnove su 24 cm i 6 cm. Pronađite bočnu površinu konusa.

4. Ugao zamaha bočne površine konusa je 120°. Generator konusa je 15 cm Nađite punu površinu konusa.

5. Odredite visinu krnjeg konusa ako je njegova bočna površina jednaka zbiru površina osnove, a polumjeri baze su R i r.

6. Jednakokraki trapez sa osnovama 12 i 18 cm i oštrim uglom od 60° rotira oko manje osnove. Nađi površinu i zapreminu tijela okretanja.

7. Trougao sa dve strane jednake 5 cm i 8 cm, koji obuhvata ugao od 60°, okreće se oko najveće stranice. Nađi površinu i zapreminu tijela okretanja.

Samostalni rad 19

Opcija 1

1. Pravougaoni trougao sa kracima od 16 i 12 cm rotira oko hipotenuze. Pronađite površinu tijela revolucije.

2. Poluprečnici osnova kugličnog pojasa su 63 i 39 cm, a njegova visina je 36 cm.Nađi površinu kugličnog pojasa.

3. Visina pravilne trouglaste piramide h. Bočna rebra su međusobno okomite. Pronađite polumjer opisane sfere.

4. U pravilnoj trouglastoj skraćenoj piramidi visina je 17 cm, poluprečnici krugova opisanih oko osnova su 5 i 12 cm.Nađi poluprečnik opisane sfere.

5. Kvadrat sa stranom jednakom a rotira oko okomice na dijagonalu povučenu kroz njegov kraj. Pronađite površinu rezultirajućeg tijela.

Opcija 2

1. Trougao sa dve strane jednake 5 i 8 cm, koji obuhvata ugao od 60°, okreće se oko najveće stranice. Pronađite površinu tijela revolucije.

2. Puna površina segmenta lopte je S. Odredite visinu segmenta ako je poluprečnik lopte R.

3. Osnova piramide je pravilan trougao sa stranicom jednakom 3 inča. Jedna od bočnih ivica je 2 inča i okomita je na bazu. Pronađite polumjer opisane sfere.

4. Stranice osnova pravilne pravougaone krnje piramide 7 i 1 dm. Bočno rebro je pod uglom od 45° u odnosu na bazu.Nađi poluprečnik opisane lopte.

5. Pravilan šestougao sa stranom a rotira oko vanjske ose, koja je paralelna sa stranicom i udaljena je od nje dužinom apotema. Pronađite površinu rezultirajućeg tijela.

Samostalni rad 20

Opcija 1

1. Bočna ivica pravilne trouglaste piramide jednaka je b i čini ugao a sa osnovnom ravninom. U piramidu je upisan jednakostranični cilindar tako da ravan osnove leži u ravni osnove piramide. Pronađite zapreminu cilindra.

2. Osnova piramide je pravilan trougao. Jedna bočna ivica je okomita na osnovnu ravninu i jednaka je l, a druge dvije tvore ugao a sa osnovnom ravninom. U piramidu je upisana ravna prizma čija tri vrha leže na bočnim ivicama piramide, a ostala tri - na osnovi piramide; dijagonala bočne strane prizme je sa ravni osnove Ð b . Odredite visinu prizme.

3. U pravilnoj četvorougaonoj prizmi, površina bočne strane je q. Pronađite površinu dijagonalnog presjeka.

4. Ravan okomita na prečnik lopte deli je na delove od 3 i 9 cm.Na koje delove se deli zapremina lopte?

Opcija 2

1. Ugao na vrhu aksijalnog presjeka konusa je 2b. Obim baze je c. Odredite bočnu površinu stošca.

2. Dijagonale aksijalnog presjeka skraćenog konusa podijeljene su točkom presjeka u omjeru 2: 1, računajući od velike baze. Ugao između dijagonala okrenutih prema osnovi je a. Dijagonala je jednaka l. Pronađite zapreminu konusa.

3. Bočna ivica pravougaonika je 5 cm, stranice osnovice su 6 i 8 cm, jedna od dijagonala osnove je 12 cm.Nađi dijagonale paralelepipeda.

4. Koliki dio zapremine sfere je zapremina sfernog segmenta visine 0,1 prečnika sfere?

Opcija 3

1. Geneatrisa konusa jednaka je l i nagnuta je prema ravni osnove pod uglom a. Odrediti ukupnu površinu upisane kocke.

2. U osnovi konusa je upisan kvadrat čija je stranica a. Ravan koja prolazi kroz jednu od stranica ovog kvadrata i vrh stošca, kada se preseku sa površinom stošca, formira jednakokraki trougao sa uglom pri vrhu jednakim a. Pronađite zapreminu konusa.

3. Stranica osnove pravilne četvorougaone prizme je 15 cm, a visina 20 cm Nađite najkraću udaljenost od stranice osnove do dijagonale prizme koja je ne seče.

4. Dvije jednake kugle smještene su tako da centar jedne leži na površini druge. Kako je zapremina ukupnog dijela loptica povezana sa zapreminom cijele lopte?

Opcija 4

1. U konus je upisana ravna trouglasta prizma jednakih ivica, čija je tvornica nagnuta prema ravni osnove pod uglom a. Nađite zapreminu prizme ako je poluprečnik osnove stošca R.

2. Zapremina stošca je V. U konus je upisana piramida u čijem dnu leži jednakokraki trougao sa uglom a između bočnih stranica. Pronađite zapreminu piramide.

3. U pravougaonom paralelepipedu, bočna ivica je 1 m, stranice osnove su 23 inča i 11 inča, dijagonale osnove su 2: 3. Pronađite površine dijagonalnih presjeka.

4. Sa osnovne strane a i bočnog rebra b pronađite punu površinu pravilne šesterokutne prizme.