Video tutorial 2: Rješenje kvadratnih jednadžbi

Predavanje: Kvadratne jednadžbe

Jednadžba

Jednadžba - Ovo je jedna jednakost, u kojima postoji varijabla.

Riješite jednadžbu - To znači pronaći takav broj umjesto varijable koji će je dovesti do istinske jednakosti.

Jednadžba može imati jedno rješenje ili nekoliko, ili da ga uopće nema.

Da biste riješili bilo koju jednadžbe, treba ga lako pojednostaviti u obrazac:

Linearno: a * x \u003d b;

Trg: a * x 2 + b * x + c \u003d 0.

To je, svaka jednadžba prije rješenja mora se pretvoriti u standardne vrste.

Svaka jednadžba može se riješiti na dva načina: analitički i grafički.

Na grafikonu rješavanjem jednadžbe razmatraju se bodovi u kojem raspored prelazi osi oh.

Kvadratne jednadžbe

Jednadžba se može nazvati kvadratom ako dobije prikaz kada je pojednostavljeno:

a * x 2 + b * x + c \u003d 0.

Gde a, B, C su koeficijenti jednadžbe koji se razlikuju od nule. Ali "X" - Korijen jednadžbe. Vjeruje se da kvadratna jednadžba ima dva korijena ili možda nema rješenja. Rezultirajuće korijene mogu biti iste.

"Ali" - koeficijent koji stoji pred korijenom na trgu.

"B" - Prije je nepoznato u prvom stepenu.

"Od" - Besplatan član jednadžbe.

Ako, na primjer, imamo jednadžbu obrasca:

2x 2 -5x + 3 \u003d 0

U njemu je "2" koeficijent sa starijim članom jednadžbe, "-5" - drugi koeficijent i "3" - besplatan član.

Rješenje kvadratne jednadžbe

Postoji ogroman skup načina za rješavanje kvadratne jednadžbe. Međutim, u školskom toku matematike, rješenje se proučava na teoriji Viete, kao i uz pomoć diskriminacije.

Odluka o diskriminaciji:

Prilikom rješavanja korištenja ove metode potrebno je izračunati diskriminatoru formulom:

Ako ste, kada ste se proračuni stekli da je diskriminantna manja od nule, to znači da ova jednadžba nema rješenja.

Ako je diskriminantna nula, jednadžba ima dva identična rješenja. U ovom slučaju, polinom se može srušiti formulom skraćenog umnožavanja u kvadrat iznosa ili razlike. Nakon toga, da ga riješimo kao linearnu jednadžbu. Ili iskoristite formulu:

Ako je diskriminantniji veći od nule, potrebno je koristiti sljedeću metodu:

Vieta Theorem

Ako je jednadžba, odnosno koeficijent u starijem članu jednak je jedan, a zatim možete koristiti vieta Theorem.

Dakle, pretpostavimo da jednadžba izgleda kao:

Korijeni jednadžbe su sljedeće:

Nepotpuna kvadratna jednadžba

Postoji nekoliko opcija za dobivanje nepotpune kvadratne jednadžbe, čija vrsta ovisi o prisutnosti koeficijenata.

1. Ako je drugi i treći koeficijent nula (B \u003d 0, c \u003d 0)Kvadratna jednadžba pogledat će:

Ova jednadžba će imati jedinstveno rješenje. Ravnopravnost će biti tačna samo kada je jednadžba nula kao rješenje.

Kvadratna jednadžba - jednostavno se riješi! * Sljedeći u tekstu "ku".Prijatelji se naizgled moglo biti lakše u matematici nego rješenje takve jednadžbe. Ali nešto mi je sugeriralo da mnogi imaju problema sa njim. Odlučio sam vidjeti koliko utisaka na zahtjev mjesečno daje Yandex. To se dogodilo, vidi:

Šta to znači? To znači da oko 70.000 ljudi traži ove informacije mjesečno, šta je ovo ljeto, a šta će biti među školskoj godini - zahtjevi će biti dvostruko više. Nije iznenađujuće, jer oni momci i djevojke koji su dugo diplomirali na školu i pripremaju se za ispit, oni traže ove informacije, a školarci ga žele osvježiti u sjećanju.

Uprkos činjenici da postoji puno lokacija u kojima je opisano kako riješiti ovu jednadžbu, odlučio sam dati svoj doprinos i objaviti materijal. Prvo, želim doći na svoju stranicu za ovaj zahtjev, a posjetioci su došli na moju stranicu; Drugo, u ostalim člancima, kada će govor "Ku" dati referencu na ovaj članak; Treće, reći ću vam o njegovoj odluci nešto više nego što se obično utvrđuje na drugim web lokacijama. Baister!Sadržaj članka:

Kvadratna jednadžba je jednadžba obrasca:

gdje koeficijenti ab. i sa proizvoljnim brojevima, sa nečim a ≠ 0.

U školskom kursu materijal se daje u sljedećem obliku - odvajanje jednadžbi po tri klase je uvjetno završeno:

1. Imajte dva korijena.

2. * Postoji samo jedan korijen.

3. Nemate korijene. Ovdje vrijedi napomenuti da nemaju valjane korijene

Kako se izračunavaju korijenje? Jednostavno!

Izračunati diskriminator. Pod ovom "strašnom" riječ laži prilično jednostavna formula:

Korijenske formule imaju sljedeći obrazac:

* Ove formule trebaju znati srcem.

Možete odmah pisati i odlučiti:

Primjer:

1. Ako d\u003e 0, jednadžba ima dva korijena.

2. Ako je d \u003d 0, jednadžba ima jedan korijen.

3. Ako je D.< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Pogledajmo jednadžbu:

Ovom prilikom, kada je diskriminantna nula, u školskom toku kaže se da se pojavljuje jedan korijen, evo, evo, jednak je devet. Tako je i tu je, ali ...

Ovaj pogled je pomalo netačan. Zapravo se dobivaju dva korijena. Da, nemojte se iznenaditi, dobivaju se dva jednaka korijena, a ako ste matematički precizni, tada se dva korijena treba zabilježiti u odgovoru:

x 1 \u003d 3 x 2 \u003d 3

Ali ovo je tako lagano povlačenje. U školi može pisati i reći da je korijen jedan.

Sada je sljedeći primjer:

Kao što znamo - korijen negativnog broja ne uklanja se, tako da u ovom slučaju ne postoji rješenja.

To je čitav proces rješenja.

Kvadratna funkcija.

Ovdje se pokazuje kako rješenje izgleda geometrijski. Izuzetno je važno razumjeti (u budućnosti, u jednom od članaka, detaljno ćemo rastvoriti rješenje kvadratnih nejednakosti).

Ovo je funkcija obrasca:

gde su x i y varijable

a, B, C - postavljeni brojevi, sa onim što je ≠ 0

Raspored je parabola:

To jest, ispada da je odlučivanje kvadratne jednadžbe na "y" jednakoj nuli pronalazimo tačku raskrsnice parabole sa osi oh. Ove točke mogu biti dva (diskriminantna pozitivna), jedna (diskriminantna je nula), a ne niti jedan (negativan diskriminator). Detalj o kvadratnom funkciji možete pogledati Članak Inne Feldman.

Razmotrite primjere:

Primjer 1: Riješite 2x 2 +8 x.–192=0

a \u003d 2 b \u003d 8 c \u003d -192

D \u003d B. 2 -4ac \u003d 8 2 -4 ∙ 2 ∙ (-192) \u003d 64 + 1536 \u003d 1600

Odgovor: x 1 \u003d 8 x 2 \u003d -12

* Bilo je moguće odmah lijevo i desno od jednadžbe za podjelu 2, odnosno kako bi ga pojednostavio. Proračuni će biti lakši.

Primjer 2: Odlučiti x 2–22 x + 121 \u003d 0

a \u003d 1 b \u003d -22 c \u003d 121

D \u003d b 2 -4ac \u003d (- 22) 2 -4 ∙ 1 ∙ 121 \u003d 484-484 \u003d 0

Dobiveno da je x 1 \u003d 11 i x 2 \u003d 11

Kao odgovor, dozvoljeno je pisati x \u003d 11.

Odgovor: X \u003d 11

Primjer 3: Odlučiti x 2 -8x + 72 \u003d 0

a \u003d 1 b \u003d -8 c \u003d 72

D \u003d b 2 -4ac \u003d (- 8) 2 -4 ∙ 1 ∙ 72 \u003d 64-288 \u003d -224

Diskriminantno je negativno, ne postoje rješenja u valjanim brojevima.

Odgovor: Nema rješenja

Diskriminator je negativan. Rješenje je!

Ovdje će se raspravljati o rješavanju jednadžbe u slučaju kada se dobije negativan diskriminator. Znate li nešto o integriranim brojevima? Neću detaljno razgovarati o tome zašto i gdje su se pojavili i koja je njihova specifična uloga i potreba za matematikom tema je za veliki odvojeni članak.

Koncept složenog broja.

Malo teorije.

Složeni broj z nazivali su broj vrsta

z \u003d A + BI

tamo gdje su A i B valjani brojevi, ja - takozvana imaginarna jedinica.

a + BI - Ovo je jedan broj, a ne dodatak.

Zamišljena jedinica jednaka je korijenu minus jedinica:

Sada razmislite o jednadžbi:

Primio dva konjugirana korijena.

Nepotpuna kvadratna jednadžba.

Razmotrite privatne slučajeve, to je kada je koeficijent "B" ili "C" nula (ili oba nula). Lako se rješavaju bez ikakvih diskriminanata.

Slučaj 1. Koeficijent B \u003d 0.

Jednadžba stječe obrazac:

Transformiramo:

Primjer:

4x 2 -16 \u003d 0 \u003d\u003e 4x 2 \u003d 16 \u003d\u003e x 2 \u003d 4 \u003d\u003e x 1 \u003d 2 x 2 \u003d -2

Slučaj 2. C \u003d 0 Koeficijent.

Jednadžba stječe obrazac:

Transformaciju se transformiramo na množitelje:

* Rad je nula kada je barem jedan od multiplikatora nula.

Primjer:

9x 2 -45x \u003d 0 \u003d\u003e 9x (x-5) \u003d 0 \u003d\u003e x \u003d 0 ili x-5 \u003d 0

x 1 \u003d 0 x 2 \u003d 5

Slučaj 3. Koeficijenti B \u003d 0 i C \u003d 0.

Ovdje je jasno da će rješenje jednadžbe uvijek biti x \u003d 0.

Korisna svojstva i obrasci koeficijenata.

Postoje svojstva koja omogućavaju rješavanje jednadžbi sa velikim koeficijentima.

alix. 2 + bX.+ c.=0 Radi se jednakost

sVEDOK JOVANOVIĆ - ODGOVOR: + b. + C \u003d 0,to

- Ako za koeficijente jednadžbe alix. 2 + bX.+ c.=0 Radi se jednakost

sVEDOK JOVANOVIĆ - ODGOVOR: + C \u003d.b., to

Ova svojstva pomažu u rješavanju određene vrste jednadžbe.

Primjer 1: 5001 x. 2 –4995 x. – 6=0

Zbroj koeficijenata je 5001+ ( – 4995)+(– 6) \u003d 0, to znači

Primjer 2: 2501 x. 2 +2507 x.+6=0

Radi se jednakost sVEDOK JOVANOVIĆ - ODGOVOR: + C \u003d.b., Tako

Zakoni koeficijenata.

1. Ako je u 1 + BX + C \u003d 0 jednadžba, koeficijent "B" jednak (A 2 +1), a koeficijent "C" je numerički jednak koeficijentu "A", njeni korijeni su jednaki

aX 2 + (A 2 +1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d -a x 2 \u003d -1 / a.

Primjer. Razmotrite jednadžbu 6x 2 + 37x + 6 \u003d 0.

x 1 \u003d -6 x 2 \u003d -1/6.

2. Ako je u AX 2 - BX + C \u003d 0 jednadžba, koeficijent "B" jednak je (i 2 +1), a koeficijent "C" je numerički jednak koeficijentu "A", korijenje su jednaki

aX 2 - (A 2 +1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d A x 2 \u003d 1 / a.

Primjer. Razmotrite jednadžbu 15x 2 -226x +15 \u003d 0.

x 1 \u003d 15 x 2 \u003d 1/15.

3. Ako je u jednadžbiaX 2 + BX - C \u003d 0 Koeficijent "B" jednak (2 - 1), a koeficijent "C" numerički jednak koeficijentu "A", tada su njegovi korijeni jednaki

aX 2 + (A 2 -1) ∙ X - A \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d - A x 2 \u003d 1 / a.

Primjer. Razmotrite jednadžbu 17x 2 + 288x - 17 \u003d 0.

x 1 \u003d - 17 x 2 \u003d 1/17.

4. Ako u AX 2 - BX - C \u003d 0 Jednadžba, koeficijent "B" jednak je (A 2 - 1), a koeficijent je numerički jednak koeficijentu "A", njenih korijena je jednak

aX 2 - (A 2 -1) ∙ x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d A x 2 \u003d - 1 / a.

Primjer. Razmotrite jednadžbu 10x 2 - 99x -10 \u003d 0.

x 1 \u003d 10 x 2 \u003d - 1/10

Vieta teorema.

Teorem Vieta naziva se imenom poznate francuske matematike Francois Vieta. Koristeći teorem Vieta, možete izraziti iznos i proizvod korijena proizvoljnog Kua kroz njegove koeficijente.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

Ukratko, broj 14 dat je samo 5 i 9. Ovo su korijeni. Uz određenu vještinu, koristeći teoremu koju predstavljaju brojne kvadratne jednadžbe koje možete odlučiti da li da dođemo usmeno.

Vieta teorema, osim toga. Prikladno je jer nakon rješavanja kvadratne jednake na uobičajen način (kroz diskriminatorni), dobijeni korijeni mogu se provjeriti. Preporučujem da to radim uvijek.

Metoda prolaska

U ovoj metodi koeficijent "A" množi se slobodnim članom, kao da se "kreće", pa se zove metoda "tranzita".Ova metoda se koristi kada možete lako pronaći korijenje jednadžbe pomoću teoreme Vieta i, što je najvažnije, kada je diskriminantni tačan kvadrat.

Ako a ali± b + C.≠ 0, tada se recepcija koristi, na primjer:

2h. 2 – 11x +.5 = 0 (1) => h. 2 – 11x +.10 = 0 (2)

Vieta teoremom u jednadžbi (2) Lako je utvrditi da je x 1 \u003d 10 x 2 \u003d 1

Dobiveni korijeni jednadžbe moraju se podijeliti u 2 (kao što je dva puta od x 2 "premještena), dobivamo

x 1 \u003d 5 x 2 \u003d 0,5.

Šta je opravdanje? Pogledajte što se događa.

Jednadžbe za diskriminante (1) i (2) su jednake:

Ako pogledate korijene jednadžbi, dobivaju se samo različiti nazivnici, a rezultat ovisi o koeficijentu na x 2:

Drugi (modifikovani) korijeni se dobivaju 2 puta više.

Stoga, rezultat i podjela za 2.

* Ako izbacimo putovanje, rezultat je odvojen 3, itd.

Odgovor: x 1 \u003d 5 x 2 \u003d 0,5

Sq. Ur-ye i Ege.

Reći ću o njegovoj važnosti. Vrlo mnogo zadataka uključenih u zadatke korištenja smanjuju se za rješavanje kvadratne jednadžbe (geometrijska uključujući).

Šta proslaviti!

1. Oblik evidentiranja jednadžba može biti "implicitna". Na primjer, ovaj je unos moguć:

15+ 9x 2 - 45x \u003d 0 ili 15x + 42 + 9x 2 - 45x \u003d 0 ili 15 -5x + 10x 2 \u003d 0.

Morate ga donijeti u standardni obrazac (kako se ne bi zbunili prilikom rješavanja).

2. Zapamtite da je x nepoznata vrijednost i može se označiti bilo kojim drugim slovom - t, q, p, h i drugo.

Prvi nivo

Kvadratne jednadžbe. Iscrpni vodič (2019)

U pogledu "kvadratnih jednadžbi", ključ je riječ "kvadrat". To znači da varijabla mora biti prisutna u jednadžbi (istom IX) na trgu, a u trećem (i većoj) diplomi ne bi trebalo biti ICS-a.

Rješenje mnogih jednadžbi smanjuje se na rješavanje preciznih kvadratnih jednadžbi.

Naučimo kako utvrditi da imamo kvadratnu jednadžbu, a ne još niti drugo.

Primjer 1.

Svaki član jednadžbe na nazivom i dominira

Sve prenosimo ulijevo i članove postavljamo u silaznu narudžbu stupnjeva ICA

Sada možete sa pouzdanjem reći da je ta jednadžba kvadratna!

Primer 2.

Domaća lijeva i desna strana na:

Ova jednadžba, iako je prvobitno bila u njemu, nije kvadratna!

Primjer 3.

Doming na sve strane:

Zastrašujuće? Četvrti i drugi stepen ... Međutim, ako zamenimo, tada ćemo vidjeti da imamo jednostavnu kvadratnu jednadžbu:

Primjer 4.

Čini se da je, ali pogledajmo pažljivo. Sve prenosimo ulijevo:

Vidite, smanjite se - a sada je to jednostavna linearna jednadžba!

Sada pokušajte odrediti koja su od sljedećih jednadžbi kvadrata, a koja ne:

Primjeri:

Odgovori:

1. kvadrat;
2. kvadrat;
3. nije kvadrat;
4. nije kvadrat;
5. nije kvadrat;
6. kvadrat;
7. nije kvadrat;
8. trg.

Matematika konvencionalno podijeli sve kvadratne jednadžbe o vrsti:

• Potpune kvadratne jednadžbe - Jednadžbe u kojima koeficijenti i, kao i besplatni član nisu jednaki nuli (kao u primjeru). Pored toga, među punim kvadratnim jednakostima raspoređuju predstavljen - To su jednadžbe u kojima koeficijent (jednadžba iz primjera jedan nije potpuna samo, već i dat!)

• Nepotpune kvadratne jednadžbe - jednadžbe u kojima je koeficijent i besplatni član nula:

  Nepotpuno, jer im nedostaje neka vrsta predmeta. Ali jednadžba bi uvijek trebala biti prisutna na trgu !!! Inače, neće biti kvadratni, već i neke druge jednadžbe.

Zašto si smislio takvu diviziju? Čini se da na trgu ima x i u redu. Takva podjela nastaje zbog metoda rješenja. Razmislite o svakom od njih detaljnije.

Odluka nepotpunih kvadratnih jednadžbi

Za početak se zaustavljamo u rješavanju nepotpunih kvadratnih jednadžbi - oni su mnogo jednostavniji!

Nepotpune kvadratne jednadžbe su vrste:

1. U ovoj jednačini, koeficijent je jednak.
2. U ovoj jednačini je besplatan član jednak.
3. U ovoj jednačini su koeficijent i besplatni član jednaki.

1. I. Kao što znamo kako izvlačiti kvadratni korijen, izričimo iz ove jednadžbe

Izraz može biti i negativan i pozitivan. Broj postavljen u kvadrat ne može biti negativan, jer s množenjem dva negativna ili dva pozitivna brojeva - rezultat će uvijek biti pozitivan broj, tako da ako jednadžba nema rješenja.

A ako dobijete dva korijena. Ove formule ne treba memorirati. Glavna stvar koju biste trebali znati i sjećate uvijek da možda neće biti manje.

Pokušajmo riješiti nekoliko primjera.

Primjer 5:

Odlučite jednadžbu

Sada ostaje da se ukloni s lijeve i desne strane. Na kraju krajeva, sjećate se kako izvlačiti korijene?

Odgovor:

Nikada ne zaboravite na korijenje s negativnim znakom !!!

Primjer 6:

Odlučite jednadžbu

Odgovor:

Primjer 7:

Odlučite jednadžbu

Oh! Trg broja ne može biti negativan, što znači jednadžbu

nema korijena!

Za takve jednadžbe u kojima nema korijena, matematika se pojavila posebnom ikonom - (prazan set). A odgovor se može napisati kao:

Odgovor:

Dakle, ovakva jednačka jednadžba ima dva korijena. Ovdje nema ograničenja, jer nismo uklonili korijen.
Primjer 8:

Odlučite jednadžbu

Sažet ću zagrade:

Na ovaj način,

Ova jednadžba ima dva korijena.

Odgovor:

Najlakši tip nepotpunih kvadratnih jednadžbi (iako su sve jednostavne, zar ne?).) Očito, ova jednadžba uvijek ima samo jedan korijen:

Ovdje ćemo učiniti bez primjera.

Rješavanje punih kvadratnih jednadžbi

Podsjećamo vas da je cjelokupna kvadratna jednadžba jednadžba jednadžbe gdje

Rješenje kompletnih kvadratnih jednadžbi malo je složenije (vrlo malo) nego gore navedeno.

Zapamti, svaka kvadratna jednadžba može se riješiti uz pomoć diskriminacije! Čak i nepotpuno.

Ostatak načina pomoći će vam brže, ali ako imate problema sa kvadratnim jednadžbama, za početak, rješenje se naziva uz pomoć diskriminacije.

1. Rješenje kvadratnih jednadžbi uz pomoć diskriminacije.

Rješenje kvadratnih jednadžbi na ovaj način je vrlo jednostavno, glavna stvar je pamtiti slijed radnje i nekoliko formula.

Ako jednadžba ima korijen posebne pažnje za plaćanje koraka. Diskriminantni () označava nas na broju korijena jednadžbe.

• Ako se, onda se formula svodi na. Dakle, jednadžba će imati čitav korijen.
• Ako, nećemo moći izdvojiti korijen iz diskriminantnog u koraku. To ukazuje da jednadžba nema korijene.

Vratimo se na svoje jednadžbe i razmotrimo nekoliko primjera.

Primjer 9:

Odlučite jednadžbu

Korak 1 Preskočimo.

Korak 2.

Smatramo diskriminatosti:

Dakle, jednadžba ima dva korijena.

Korak 3.

Odgovor:

Primjer 10:

Odlučite jednadžbu

Jednadžba je prikazana u standardnom obliku, tako Korak 1 Preskočimo.

Korak 2.

Smatramo diskriminatosti:

Dakle, jednadžba ima jedan korijen.

Odgovor:

Primjer 11:

Odlučite jednadžbu

Jednadžba je prikazana u standardnom obliku, tako Korak 1 Preskočimo.

Korak 2.

Smatramo diskriminatosti:

Neće moći izvući korijen iz diskriminacije. Korijeni jednadžbe ne postoji.

Sada znamo kako pisati takve odgovore na pravilno.

Odgovor:Nema korijena

2. Rješenje kvadratnih jednadžbi pomoću teoreme Vieta.

Ako se sjećate, odnosno takve vrste jednadžbi koje se nazivaju predstavljene (kada je koeficijent A jednak):

Takve su jednadžbe vrlo lako riješiti korištenjem Theorem Vieta:

Zbroj korijena specificiran Kvadratna jednadžba je jednaka, a proizvod korijena je jednak.

Primer 12:

Odlučite jednadžbu

Ova jednadžba je pogodna za rješavanje koristeći teoremu Vieta, jer .

Iznos korijena jednadžbe je jednak, i.e. Dobijamo prvu jednadžbu:

A rad je:

Takođe ćemo odlučiti u sistemu:

• i. Iznos je jednak;
• i. Iznos je jednak;
• i. Iznos je jednak.

i su rješenje sistema:

Odgovor: ; .

Primjer 13:

Odlučite jednadžbu

Odgovor:

Primjer 14:

Odlučite jednadžbu

Jednadžba je data, a samim tim:

Odgovor:

Kvadratne jednadžbe. Prosječni nivo

Šta je kvadratna jednadžba?

Drugim riječima, kvadratna jednadžba jednačina je vrste u kojima je nepoznato neki broj i.

Broj se naziva starijeg ili prvi koeficijent Kvadratna jednadžba - drugi koeficijent, ali - besplatan član.

Zašto? Jer ako jednadžba odmah postane linearna, jer nestaju.

Istovremeno, i može biti nula. U ovoj stolici jednadžba se naziva nepotpuna. Ako su sve komponente uspostavljene, odnosno jednadžba je završena.

Rješenja različitih vrsta kvadratnih jednadžbi

Metode za rješavanje nepotpunih kvadratnih jednadžbi:

Za početak, analizirat ćemo metode rješenja nepotpunih kvadratnih jednadžbi - oni su lakše.

Možete odabrati vrstu takvih jednadžbi:

I., u ovoj jednadžbi, koeficijent i besplatni član su jednaki.

II. U ovoj jednačini, koeficijent je jednak.

III. U ovoj jednačini je besplatan član jednak.

Sada razmislite o rješenju svakog od ovih podtipova.

Očito, ova jednadžba uvijek ima samo jedan korijen:

Broj postavljen u kvadrat ne može biti negativan, jer s množenjem dva negativna ili dva pozitivna broja, rezultat će uvijek biti pozitivan broj. Stoga:

ako jednadžba nema rješenja;

ako smo naučili dva korijena

Ove formule ne treba memorirati. Glavna stvar zapamtiti da možda nije manje.

Primjeri:

Rješenja:

Odgovor:

Nikada ne zaboravite na korijenje s negativnim znakom!

Trg broja ne može biti negativan, što znači jednadžbu

nema korijena.

Da biste ukratko zabilježili da zadatak nema rješenja, koristite praznu ikonu set.

Odgovor:

Dakle, ova jednadžba ima dva korijena: i.

Odgovor:

Sažet ću fabriku za nosače:

Proizvod je nula, ako je barem jedan od multiplikatora nula. To znači da jednadžba ima rešenje kada:

Dakle, ovakva četvrtana jednadžba ima dva korijena: i.

Primjer:

Odlučiti jednadžba.

Odluka:

Raširite lijevi dio tvorničke jednadžbe i pronađite korijenje:

Odgovor:

Metode rješavanja punih kvadratnih jednadžbi:

1. Diskriminiran

Rješavanje kvadratnih jednadžbi na ovaj način jednostavno, glavno je pamtiti redoslijed radnji i nekoliko formula. Zapamtite, svaka kvadratna jednadžba može se riješiti uz pomoć diskriminacije! Čak i nepotpuno.

Jeste li primijetili korijen iz diskriminacije u korijenskoj formuli? Ali diskriminator može biti negativan. Šta učiniti? Moramo obratiti posebnu pažnju na korak 2. Diskriminator nam ukazuje na broj korijena jednadžbe.

• Ako, jednadžba ima korijen:
• Ako jednadžba ima isti korijen, a u stvari je jedan korijen:

  Takvi korijeni se nazivaju dvostrukim.

• Ako se korijen diskriminacije ne uklanja. To ukazuje da jednadžba nema korijene.

Zašto je moguće različit broj korijena? Okrenimo se geometrijskom značenju kvadratne jednadžbe. Grafikon funkcije je parabola:

U određenom slučaju, što je kvadratna jednadžba. A to znači da su korijeni kvadratnog jednadžbe tačke sjecišta sa osi apsissa (osi). Parabola možda ne može uopće preći osovinu ili preći u jednom (kada vrh parabole nalazi na osovini) ili dvije točke.

Pored toga, koeficijent je odgovoran za smjer grana Parabole. Ako su grane parabole usmjerene prema gore, a ako je dolje.

Primjeri:

Rješenja:

Odgovor:

Odgovor :.

Odgovor:

Dakle, nema rješenja.

Odgovor :.

2. Vieta teorema

Vieta teorema vrlo je jednostavna za upotrebu: samo trebate pokupiti takvu par brojeva, čiji je proizvod jednak besplatnom članu jednadžbe, a iznos je drugi koeficijent koji se poduzima sa suprotnim znakom.

Važno je zapamtiti da se teorema Viete može koristiti samo u smanjene kvadratne jednadžbe ().

Razmotrite nekoliko primjera:

Primjer broj 1:

Odlučiti jednadžba.

Odluka:

Ova jednadžba je pogodna za rješavanje koristeći teoremu Vieta, jer . Preostali koeficijenti:; .

Iznos korijena jednadžbe je:

A rad je:

Odabrat ćemo takve parove brojeva, čiji je proizvod jednak i provjeriti je li njihova svota jednaka:

• i. Iznos je jednak;
• i. Iznos je jednak;
• i. Iznos je jednak.

i su rješenje sistema:

Dakle, korijenje naše jednadžbe.

Odgovor :; .

Primjer broj 2:

Odluka:

Odabrat ćemo takve parove brojeva koji su dati u radu, a zatim provjerite je li njihova svota jednaka:

i: u iznosu koji daju.

i: u iznosu koji daju. Da biste dobili dovoljno samo da promijenite znakove navodnih korijena: i, jer posao.

Odgovor:

Primjer broj 3:

Odluka:

Besplatni član jednadžbe je negativan, što znači proizvod korijena - negativan broj. To je moguće samo ako je jedan od korijena negativan, a drugi je pozitivan. Stoga je količina korijena jednaka razlike svojih modula.

Odabit ćemo takve parove brojeva koji su navedeni u radu, a čija je razlika jednaka:

i: njihova je razlika jednaka - nije prikladna;

i: - Nije prikladno;

i: - Nije prikladno;

i: - pogodno. Ostaje samo za pamćenje da je jedan od korijena negativan. Budući da njihov iznos treba biti jednak, tada negativan treba biti manji korijenski modul :. Provjerite:

Odgovor:

Primjer broj 4:

Odlučiti jednadžba.

Odluka:

Jednadžba je data, a samim tim:

Besplatni član je negativan, pa je proizvod korijena negativan. A to je moguće samo kada je jedan korijen jednadžbe negativan, a drugi je pozitivan.

Biramo takve parove brojeva, čiji je proizvod jednak, a zatim definiramo koji korijeni trebaju imati negativan znak:

Očito je da su samo korijeni pogodni za prvo stanje i:

Odgovor:

Primjer broj 5:

Odlučiti jednadžba.

Odluka:

Jednadžba je data, a samim tim:

Iznos korijena je negativan, što znači da je barem jedan od korijena negativan. Ali otkad je njihov rad pozitivan, znači oba korijena s minus znakom.

Birat ćemo takve parove brojeva, od kojih je proizvod:

Očito su korijeni brojevi i.

Odgovor:

Slažete se, vrlo je zgodno - izmisliti korijenje usmeno, umjesto da razmotre ovu gadnu diskriminaciju. Pokušajte koristiti teoru o Vietu što je više moguće.

Ali teorema Vieta potrebna je za olakšavanje i ubrzavanje nalaza korijena. Da biste je lakše iskoristili, morate donijeti akciju za automatizam. I za to, klevetuje više pete primjera. Ali ne skaliranje: diskriminator se ne može koristiti! Samo Vieta Theorem:

Radna rešenja za nezavisni rad:

Zadatak 1. ((x) ^ (2)) - 8x + 12 \u003d 0

Na teorem Vieta:

Kao i obično, započinjemo izbor rada:

Ne odgovara jer iznos;

: Iznos - ono što vam treba.

Odgovor :; .

Zadatak 2.

I opet, naša omiljena teorema Vieta: u iznosu bi se trebalo ispasti, a rad je jednak.

Ali jer ne bi trebao biti, ali promijenite znakove korijena: i (u iznosu).

Odgovor :; .

Zadatak 3.

Hmm ... i gdje je šta?

Potrebno je prenijeti sve uvjete u jedan dio:

Iznos korijena je jednak, rad.

Dakle, stani! Jednadžba se ne daje. Ali teorema Vieta primjenjuje se samo u gore navedenim jednadžbima. Prvo prvo morate donijeti jednadžbu. Ako ne radite, bacite ovu ideju i odlučite na drugačiji način (na primjer, diskriminantnim). Podsjetim da donesete kvadratnu jednadžbu - znači napraviti viši koeficijent na:

Odlično. Tada je količina korijena jednaka, a rad.

Ovdje je lakše pokupiti jednostavno: nakon svega, jednostavan broj (izvinite za tautologiju).

Odgovor :; .

Zadatak 4.

Besplatni član je negativan. Šta je posebno u ovome? I činjenica da će korijeni biti različiti znakovi. A sada tijekom izbora ne provjeravamo količinu korijena, već razliku između njihovih modula: ova razlika je jednaka i djelo.

Dakle, korijeni su jednaki i, ali jedan od njih sa minusom. Teorem Vieta govori nam da je količina korijena jednaka drugom koeficijentu sa suprotnim znakom, odnosno. Dakle, minus će biti u manjem korijenu: i od tada.

Odgovor :; .

Zadatak 5.

Šta treba prvo učiniti? Tačno, donesite jednadžbu:

Opet: Mi odabiremo množitelje broja i njihova razlika treba biti jednaka:

Korijeni su jednaki i, ali jedan od njih s minusom. Šta? Njihov iznos trebao bi biti jednak, znači da će minus biti veći korijen.

Odgovor :; .

Sažet ću:

1. Vieta Theorem koristi se samo u datim kvadratnim jednadžbima.
2. Koristeći teoreme Vieta možete pronaći korijene po izboru, usmeno.
3. Ako jednadžba nije data ili ne postoji prikladan par multiplikatora besplatnog člana, što znači da nema čitavih korijena, a potrebno je riješiti drugu metodu (na primjer, diskriminantnim).

3. Način raspodjele punog kvadrata

Ako se svi izrazi koji sadrže nepoznat, da predstave u obliku komponenti skraćenog umnožavanja zbroja zbroja ili razlike, zatim može biti predstavljena jednadžba u obliku nepotpune kvadratne jednadžbe tipa .

Na primjer:

Primjer 1:

Odlučite jednadžbu :.

Odluka:

Odgovor:

Primjer 2:

Odlučite jednadžbu :.

Odluka:

Odgovor:

Općenito, transformacija će izgledati ovako:

To podrazumijeva:.

Ništa ne podseća? Ovo je diskriminator! To je to, formula diskriminacije i dobila.

Kvadratne jednadžbe. Ukratko o glavnoj stvari

Kvadratna jednadžba- Ovo je jednadžba vrsta, gdje - nepoznata, - koeficijenti kvadratnog jednadžbe, slobodan je član.

Potpuna kvadratna jednadžba - jednadžba u kojoj koeficijenti nisu jednaki nuli.

Smanjena kvadratna jednadžba - jednadžba u kojoj je koeficijent, to :.

Nepotpuna kvadratna jednadžba - jednadžba u kojoj je koeficijent i besplatni član nula:

• ako je koeficijent, jednadžba :,
• ako je besplatan član, jednadžba ima obrazac:,
• ako, jednadžba ima obrazac :.

1. Algoritam rješavanje nepotpunih kvadratnih jednadžbi

1.1. Nepotpuna kvadratna jednadžba vrsta gde ,:

1) Izrazite nepoznato:

2) Provjera znaka izražavanja:

• ako jednadžba nema rješenja,
• ako jednadžba ima dva korijena.

1.2. Nepotpuna kvadratna jednadžba vrsta gde ,:

1) Sažet ću fabriku za nosače:

2) Proizvod je nula, ako je barem jedan od multiplikatora nula. Stoga jednadžba ima dva korijena:

1.3. Nepotpuna kvadratna jednadžba vrsta, gdje:

Ova jednadžba uvijek ima samo jedan korijen:.

2. Algoritam za rješavanje punih kvadratnih jednadžbi vrste gdje

2.1. Rješenje uz pomoć diskriminacije

1) Dajemo jednadžbu u standardni obrazac:,

2) izračunati diskriminatoru prema formuli: što ukazuje na broj korijena jednadžbe:

3) Pronađite korijene jednadžbe:

• ako, jednadžba ima korijen koji su u formuli:
• ako jednadžba ima korijen, koji je formulom:
• ako jednadžba nema korijene.

2.2. Rješenje pomoću teoreme Vieta

Zbroj korijena smanjene kvadratne jednadžbe (jednadžba obrasca, gdje je jednak, a proizvod korijena je jednak, I.E. , ali.

2.3. Metoda rešenja Metoda punog kvadrata

Jednostavno. Prema formulama i jasno jednostavnim pravilima. U prvoj fazi

potrebno je za navedenu jednadžbu dovesti do standardnog oblika, I.E. Na umu:

Ako je jednadžba dana u ovom obliku - prva faza nije potrebna. Najvažnije je u pravu

odredite sve koeficijente ali, b. i c..

Formula za pronalaženje korijena kvadratne jednadžbe.

Izraz pod znakom korijena naziva se diskriminiran . Kao što vidite, za pronalazak Iqua, mi

upotreba samo A, B i sa. Oni. Koeficijenti iz kvadratna jednadžba. Samo uredno zamijenjen

vrijednosti a, b i sa U ovoj formuli i smatramo. Zamjena tako nestašan Znakovi!

na primjer, u jednadžbi:

ali =1; b. = 3; c. = -4.

Zamjenjujemo vrijednosti i pišemo:

Primjer se praktično riješi:

Ovo je odgovor.

Najčešća grešaka - zbrka sa znakovima vrijednosti a, B.i od. Radije, sa zamjenom

negativne vrijednosti u formuli korijena. Ovdje se delikasu detaljan unos formule

sa određenim brojevima. Ako postoje problemi sa računanjem, uradite to!

Pretpostavimo da je potrebno riješiti takav primjer:

Ovdje sVEDOK JOVANOVIĆ - ODGOVOR: = -6; b. = -5; c. = -1

Sve opisujemo detaljno, pažljivo, ne propuštam ništa sa svim znakovima i zagradama:

Često, kvadratne jednadžbe izgledaju malo drugačije. Na primjer, ovako:

A sada primijetite na znanje praktične tehnike koje dramatično smanjite broj grešaka.

Prijem prvo. Nemojte biti lijeni prije rješavanjem kvadratne jednadžbe Donesite ga u standardni obrazac.

Šta to znači?

Pretpostavimo, nakon svih transformacija ste dobili takvu jednadžbu:

Ne žurite za pisanje korijenske formule! Skoro vjerovatno zbunjujete koeficijente a, b i s.

Ispravno izgradite primjer. Prvo, X je na trgu, a zatim bez kvadrata, a zatim slobodan kurac. Volim ovo:

Riješite se minus. Kako? Potrebno je umnožiti cjelokupnu jednadžbu na -1. Dobijamo:

Ali sada možete sigurno snimiti formulu za korijenje, razmotrite diskriminatorni i primjer.

Dorim se. Morate imati korijenje 2 i -1.

Recepcija sekunda. Provjerite korijene! Od vieta Theorem.

Da biste riješili navedene kvadratne jednadžbe, I.E. Ako koeficijent

x 2 + bx + c \u003d 0,

onda x 1 x 2 \u003d c

x 1 + x 2 \u003d -b.

Za kompletnu kvadratnu jednadžbu u kojoj a ≠ 1.:

x 2 +.b.x +.c.=0,

sve jednadžbe podijelimo ali:

→ →

gde x 1 i x. 2 - Korijenska jednadžba.

Uzimanje treće. Ako u vašoj jednadžbi postoje frakcijski koeficijenti, - riješite se frakcija! Domiranje

jednadžba na zajedničkom nazivniku.

Izlaz. Praktični savjeti:

1. Prije rješavanja dajemo kvadratnu jednadžbu u standardni oblik, izgradite ga pravo.

2. Ako negativan koeficijent stoji na kvadratu na kvadratu na kvadratu, eliminirajte ga umnožavanjem

jednadžbe na -1.

3. Ako frakcijski koeficijenti eliminiraju frakciju množenjem čitave jednadžbe na odgovarajuće

faktor.

4. Ako je X na kvadratu - čist, koeficijent je jednak jednom, rješenje se može lako provjeriti

Kvadratne jednadžbe proučavaju se u 8. razredu, tako da ovdje nema ništa teško. Sposobnost njihovog rješavanja je apsolutno neophodna.

Kvadratna jednadžba je jednadžba forme AX 2 + BX + C \u003d 0, gdje su koeficijenti A, B i C proizvoljni brojevi i ≠ 0.

Prije proučavanja posebnih načina odlučivanja, primjećujemo da sve kvadratne jednadžbe mogu se podijeliti u tri klase:

1. Nemaju korijenje;
2. Imaju tačno jedan korijen;
3. Imaju dva različita korijena.

Ovo je važna razlika između kvadratnih jednadžbi od linearnog, gdje korijen uvijek postoji i jedinstven je. Kako odrediti koliko korijena ima jednadžbu? Za to postoji divna stvar - diskriminiran.

Diskriminiran

Pustite kvadratnu jednadžbu AX 2 + BX + C \u003d 0. Zatim je diskriminantno samo broj d \u003d b 2 - 4ac.

Ova formula mora biti poznata po srcu. Tamo gde poprima - sada nije važno. Ostalo je važno: diskriminirajući znak se može odrediti koliko korijena ima kvadratnu jednadžbu. Naime:

1. Ako d< 0, корней нет;
2. Ako je d \u003d 0, postoji potpuno jedan korijen;
3. Ako je d\u003e 0, bit će dva korijena.

Napominjemo: diskriminator ukazuje na broj korijena, a uopšte ne na njihovim znakovima, kao iz nekog razloga, mnogi smatraju. Pogledajte primjere - i shvatit ćete sve:

Zadatak. Koliko su korijena kvadratne jednadžbe:

1. x 2 - 8x + 12 \u003d 0;
2. 5x 2 + 3x + 7 \u003d 0;
3. x 2 - 6x + 9 \u003d 0.

Izbavljamo koeficijente za prvu jednadžbu i pronalazimo diskriminatoru:
a \u003d 1, b \u003d -8, c \u003d 12;
D \u003d (-8) 2 - 4 · 1 · 12 \u003d 64 - 48 \u003d 16

Dakle, diskriminator je pozitivan, pa jednadžba ima dva različita korijena. Slično tome, rastavljaju drugu jednadžbu:
a \u003d 5; b \u003d 3; C \u003d 7;
D \u003d 3 2 - 4 · 5 · 7 \u003d 9 - 140 \u003d -131.

Diskriminantni je negativan, bez korijena. Posljednja jednačina ostaje:
a \u003d 1; B \u003d -6; c \u003d 9;
D \u003d (-6) 2 - 4 · 1 · 9 \u003d 36 - 36 \u003d 0.

Diskriminantna je nula - korijen će biti jedan.

Imajte na umu da su za svaku jednadžbu koeficijenti otpušteni. Da, dugo je vrijeme, da, to je mučno - ali nećete brkati koeficijente i ne dozvolite gluposti greške. Odaberite sebe: brzinu ili kvalitetu.

Usput, ako "napunite ruku", nakon nekog vremena više ne treba pisati sve koeficijente. Takve operacije će vam se izvoditi u glavi. Većina ljudi to počinje raditi negdje nakon 50-70 riješenih jednadžbi - uopšte, ne toliko.

Kretna jednadžba

Sada se zaustavljamo, zapravo, na odluku. Ako diskriminator D\u003e 0, korijenje mogu pronaći formulama:

Osnovna formula korijena kvadratne jednadžbe

Kada je d \u003d 0, možete koristiti bilo koju od ovih formula - to će biti isti broj koji će biti odgovor. Napokon, ako d< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 - 2x - 3 \u003d 0;
2. 15 - 2x - x 2 \u003d 0;
3. x 2 + 12x + 36 \u003d 0.

Prva jednadžba:
x 2 - 2x - 3 \u003d 0 ⇒ a \u003d 1; B \u003d -2; C \u003d -3;
D \u003d (-2) 2 - 4 · 1 · (-3) \u003d 16.

D\u003e 0 ⇒ jednadžba ima dva korijena. Pronađite ih:

Druga jednadžba:
15 - 2x - x 2 \u003d 0 ⇒ a \u003d -1; B \u003d -2; c \u003d 15;
D \u003d (-2) 2 - 4 · (-1) · 15 \u003d 64.

D\u003e 0 ⇒ jednadžba ponovo ima dva korijena. Mi ih nalazimo

\\ [\\ početi (poravnati) i ((x) _ (1)) \u003d \\ frac (2+ \\ sqrt (64)) (2 \\ CDOT \\ lijevo (-1 \\ desno)) \u003d - 5; \\\\ & ((x) _ (2)) \u003d \\ frac (2- \\ sqrt (64)) (2 \\ cdot \\ lijevo (-1 \\ desno)) \u003d 3. \\\\ \\ end (uskladiti) \\]

Konačno, treća jednadžba:
x 2 + 12x + 36 \u003d 0 ⇒ a \u003d 1; b \u003d 12; C \u003d 36;
D \u003d 12 2 - 4 · 1 · 36 \u003d 0.

D \u003d 0 ⇒ jednadžba ima jedan korijen. Možete koristiti bilo koju formulu. Na primjer, prvi:

Kao što se može vidjeti iz primjera, sve je vrlo jednostavno. Ako znate formulu i moći ćete razmotriti, neće biti problema. Najčešće se pojavljuju pogreške tokom zamjene u formuli negativnih koeficijenata. Evo, opet opisani prijem pomoći će: pogledati formulu doslovno, slikajte svaki korak - i vrlo brzo se riješite grešaka.

Nepotpune kvadratne jednadžbe

Dešava se da je kvadratna jednadžba nešto drugačija od onoga što je dato u definiciji. Na primjer:

1. x 2 + 9x \u003d 0;
2. x 2 - 16 \u003d 0.

Lako je vidjeti da u ovim jednačinama nema nikoga od uvjeta. Takve kvadratne jednadžbe su još jednostavnije od standardnog: ne trebaju ni razmatrati diskriminatoru. Dakle, uvodimo novi koncept:

AX 2 + BX + C \u003d 0 jednadžba se naziva nepotpuna kvadratna jednadžba ako je b \u003d 0 ili c \u003d 0, tj. Koeficijent s varijablom x ili besplatnim elementom je nula.

Potpuno je moguć potpuno težak slučaj kada su oba ova koeficijenti nula: b \u003d c \u003d 0. U ovom slučaju jednadžba uzima obrazac AX 2 \u003d 0. Očigledno je da takva jednadžba ima jedan korijen: x \u003d 0 .

Razmotrite preostale slučajeve. Neka B \u003d 0 bude 0, tada dobivamo nepotpunu kvadratnu jednadžbu obrasca AX 2 + C \u003d 0. Pobjelimo ga malo:

Budući da aritmetički kvadratni korijen postoji samo iz negativnog broja, potonju ravnopravnost ima smisla isključivo na (-c / a) ≥ 0. Zaključak:

1. Ako je u nepotpunoj kvadratnoj jednadžbi obrasca AX 2 + C \u003d 0, nejednakost (-c / a) vrši se ≥ 0, bit će dva korijena. Formula je gore navedena;
2. Ako (-c / a)< 0, корней нет.

Kao što vidite, diskriminantno nije potrebno - u nepotpunim kvadratnim jednadžbima nema složenog računanja. U stvari, čak i nije potrebno pamtiti nejednakost (-c / a) ≥ 0. Dovoljno je izraziti vrijednost x 2 i vidjeti šta stoji na drugoj strani znaka ravnopravnosti. Ako postoji pozitivan broj - korijenje će biti dvije. Ako negativno - korijenje neće biti uopšte.

Sada ćemo razumjeti s jednadžbima obrasca AX 2 + BX \u003d 0, u kojoj je besplatni element nula. Ovdje je sve jednostavno: korijenje će uvijek biti dvije. Dovoljno je raspadati polinom za množine:

Multiplikator za nosač

Rad je nula, kada je barem jedan od multiplikatora nula. Odavde su korijeni. Zaključno, analizirat ćemo nekoliko takvih jednadžbi:

Zadatak. Jednadžbe kvadratnih kvadrata:

1. x 2 - 7x \u003d 0;
2. 5x 2 + 30 \u003d 0;
3. 4x 2 - 9 \u003d 0.

x 2 - 7x \u003d 0 ⇒ x · (x - 7) \u003d 0 ⇒ x 1 \u003d 0; x 2 \u003d - (- 7) / 1 \u003d 7.

5x 2 + 30 \u003d 0 ⇒ 5x 2 \u003d -30 ⇒ x 2 \u003d -6. Nema korijena, jer Kvadrat ne može biti jednak negativnom broju.

4x 2 - 9 \u003d 0 ⇒ 4x 2 \u003d 9 ⇒ x 2 \u003d 9/4 ⇒ x 1 \u003d 3/2 \u003d 1,5; x 2 \u003d -1,5.