Očigledno, brojevi sa potencijama se mogu sabirati, kao i druge veličine , dodavanjem jednog po jednog sa njihovim znakovima.

Dakle, zbir a 3 i b 2 je a 3 + b 2.
Zbir a 3 - b n i h 5 -d 4 je a 3 - b n + h 5 - d 4.

Odds isti stepeni istih varijabli može se dodati ili oduzeti.

Dakle, zbir 2a 2 i 3a 2 je 5a 2.

Takođe je očigledno da ako uzmete dva kvadrata a, ili tri kvadrata a, ili pet kvadrata a.

Ali stepeni različite varijable i različitim stepenima identične varijable, moraju se dodati njihovim dodavanjem sa svojim znakovima.

Dakle, zbir 2 i 3 je zbir 2 + a 3.

Očigledno je da kvadrat a i kocka od a nisu jednaki dvostrukom kvadratu od a, već dvostrukom kocki od a.

Zbir a 3 b n i 3a 5 b 6 je a 3 b n + 3a 5 b 6.

Oduzimanje stepeni se vrši na isti način kao i sabiranje, samo što se predznaci oduzetog moraju u skladu s tim promijeniti.

Ili:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5 (a - h) 6 - 2 (a - h) 6 = 3 (a - h) 6

Množenje stepeni

Brojevi sa stepenom mogu se množiti, kao i druge veličine, pisanjem jedan za drugim, sa ili bez znaka množenja između njih.

Dakle, rezultat množenja a 3 sa b 2 je a 3 b 2 ili aaabb.

Ili:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

Rezultat u posljednjem primjeru može se urediti dodavanjem istih varijabli.
Izraz će imati oblik: a 5 b 5 y 3.

Uspoređujući nekoliko brojeva (varijabli) sa potencijama, možemo vidjeti da ako se bilo koja dva od njih pomnože, onda je rezultat broj (varijabla) sa stepenom jednakim suma stepeni pojmova.

Dakle, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5.

Ovdje je 5 snaga rezultata množenja, jednaka 2 + 3, zbir potencija članova.

Dakle, a n .a m = a m + n.

Za a n, a se uzima kao faktor onoliko puta koliko je snaga n jednaka;

A m se uzima kao faktor onoliko puta koliko je snaga m;

Zbog toga, stepeni sa istim stabljima mogu se pomnožiti dodavanjem eksponenata.

Dakle, a 2 .a 6 = a 2 + 6 = a 8. I x 3 .x 2 .x = x 3 + 2 + 1 = x 6.

Ili:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n + 1

Pomnožite (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Odgovor: x 4 - y 4.
Pomnožite (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Ovo pravilo važi i za brojeve čiji su eksponenti - negativan.

1. Dakle, a -2 .a -3 = a -5. Ovo se može napisati kao (1 / aa).(1 / aaa) = 1 / aaaaa.

2.y -n .y -m = y -n-m.

3.a -n .a m = a m-n.

Ako se a + b pomnoži sa a - b, rezultat je a 2 - b 2: tj

Rezultat množenja zbira ili razlike dva broja jednak je zbroju ili razlici njihovih kvadrata.

Ako se zbir i razlika dva broja podignu na kvadrat, rezultat će biti jednak zbroju ili razlici ovih brojeva u četvrto stepen.

Dakle, (a - y). (A + y) = a 2 - y 2.
(a 2 - y 2) ⋅ (a 2 + y 2) = a 4 - y 4.
(a 4 - y 4) ⋅ (a 4 + y 4) = a 8 - y 8.

Podjela stepena

Brojevi stepena mogu se podijeliti, kao i drugi brojevi, oduzimanjem od djelitelja ili stavljanjem u oblik razlomaka.

Dakle, a 3 b 2 podijeljeno sa b 2 jednako je a 3.

Ili:
$ \ frac (9a ^ 3y ^ 4) (- 3a ^ 3) = -3y ^ 4 $
$ \ frac (a ^ 2b + 3a ^ 2) (a ^ 2) = \ frac (a ^ 2 (b + 3)) (a ^ 2) = b + 3 $
$ \ frac (d \ cdot (a - h + y) ^ 3) ((a - h + y) ^ 3) = d $

5 podijeljeno sa 3 izgleda kao $ \ frac (a ^ 5) (a ^ 3) $. Ali ovo je jednako 2. U nizu brojeva
a +4, a +3, a +2, a +1, a 0, a -1, a -2, a -3, a -4.
bilo koji broj se može podijeliti s drugim, a eksponent će biti jednak razlika eksponenti djeljivih brojeva.

Prilikom dijeljenja stupnjeva s istom osnovom, njihovi indikatori se oduzimaju..

Dakle, y 3: y 2 = y 3-2 = y 1. To jest, $ \ frac (yyy) (yy) = y $.

I a n + 1: a = a n + 1-1 = a n. To jest, $ \ frac (aa ^ n) (a) = a ^ n $.

Ili:
y 2m: y m = y m
8a n + m: 4a m = 2a n
12 (b + y) n: 3 (b + y) 3 = 4 (b + y) n-3

Pravilo važi i za brojeve sa negativan vrijednosti stupnjeva.
Rezultat dijeljenja -5 sa -3 je -2.
Također, $ \ frac (1) (aaaaa): \ frac (1) (aaa) = \ frac (1) (aaaaa). \ Frac (aaa) (1) = \ frac (aaa) (aaaaa) = \ frac (1) (aa) $.

h 2: h -1 = h 2 + 1 = h 3 ili $ h ^ 2: \ frac (1) (h) = h ^ 2. \ frac (h) (1) = h ^ 3 $

Neophodno je vrlo dobro savladati množenje i dijeljenje potencija, budući da se takve operacije vrlo široko koriste u algebri.

Primjeri rješavanja primjera sa razlomcima koji sadrže brojeve sa stepenom

1. Smanji eksponente u $ \ frac (5a ^ 4) (3a ^ 2) $ Odgovor: $ \ frac (5a ^ 2) (3) $.

2. Smanjite eksponente u $ \ frac (6x ^ 6) (3x ^ 5) $. Odgovor: $ \ frac (2x) (1) $ ili 2x.

3. Smanjite eksponente a 2 / a 3 i a -3 / a -4 i dovedite ih na zajednički imenilac.
a 2 .a -4 je -2 prvi brojilac.
a 3 .a -3 je a 0 = 1, drugi brojilac.
a 3 .a -4 je -1, zajednički brojnik.
Nakon pojednostavljenja: a -2 / a -1 i 1 / a -1.

4. Smanjite eksponente 2a 4 / 5a 3 i 2 / a 4 i dovedite ih na zajednički imenilac.
Odgovor: 2a 3 / 5a 7 i 5a 5 / 5a 7 ili 2a 3 / 5a 2 i 5 / 5a 2.

5. Pomnožite (a 3 + b) / b 4 sa (a - b) / 3.

6. Pomnožite (a 5 + 1) / x 2 sa (b 2 - 1) / (x + a).

7. Pomnožite b 4 / a -2 sa h -3 / x i a n / y -3.

8. Podijelite a 4 / y 3 sa 3 / y 2. Odgovor: a/y.

9. Podijelite (h 3 - 1) / d 4 sa (d n + 1) / h.

Svaka aritmetička operacija ponekad postane preglomazna za pisanje i oni pokušavaju da je pojednostave. Nekada je tako bilo i sa operacijom sabiranja. Ljudi su trebali izvršiti višestruka dodavanja iste vrste, na primjer, kako bi izračunali cijenu sto perzijskih tepiha, čija je cijena po 3 zlatnika. 3 + 3 + 3 +… + 3 = 300. Zbog glomaznosti, smatralo se da se rekord svede na 3 * 100 = 300. Zapravo, zapis "tri puta sto" znači da treba uzeti sto trostruki i zbrojite. Umnožavanje se ukorijenilo i steklo opću popularnost. Ali svijet ne stoji mirno, a u srednjem vijeku postalo je potrebno izvršiti višestruko umnožavanje istog tipa. Sjećam se stare indijske zagonetke o mudracu koji je tražio sljedeću količinu zrna pšenice kao nagradu za svoj rad: tražio je jedno zrno za prvo polje šahovske ploče, dva za drugo, četiri za treće, osam za peti, i tako dalje. Tako se pojavilo prvo množenje stepena, jer je broj zrnaca bio jednak dva sa stepenom broja ćelije. Na primjer, u posljednjoj ćeliji bilo bi 2 * 2 * 2 * ... * 2 = 2 ^ 63 zrna, što je jednako broju od 18 znakova, što je, zapravo, značenje zagonetke.

Operacija dizanja na stepen se prilično brzo ukorijenila, a brzo je postalo potrebno i sabiranje, oduzimanje, dijeljenje i množenje potencija. Ovo posljednje vrijedi detaljnije razmotriti. Formule za dodavanje stepena su jednostavne i lako se pamte. Osim toga, vrlo je lako razumjeti odakle dolaze ako se operacija snage zamijeni množenjem. Ali prvo morate razumjeti osnovnu terminologiju. Izraz a ^ b (čitaj "a na stepen b") znači da broj a treba pomnožiti sam sa sobom b puta, a "a" se naziva baza stepena, a "b" se naziva eksponentom stepena . Ako su baze stupnjeva iste, onda se formule izvode prilično jednostavno. Konkretan primjer: pronađite vrijednost izraza 2 ^ 3 * 2 ^ 4. Da biste znali šta bi trebalo da ispadne, trebalo bi da saznate odgovor na računaru pre nego što počnete sa rešenjem. Nakon što smo ovaj izraz ukucali u bilo koji onlajn kalkulator, pretraživač, ukucali "množenje stepeni sa različitim bazama i istim" ili matematički paket, rezultat će biti 128. Sada ćemo napisati ovaj izraz: 2 ^ 3 = 2 * 2 * 2 i 2 ^ 4 = 2 * 2 * 2 * 2. Ispada da je 2 ^ 3 * 2 ^ 4 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 2 ^ 7 = 2 ^ (3 + 4). Ispada da je proizvod stepeni sa istom bazom jednak osnovici podignutoj na stepen jednak zbiru dva prethodna stepena.

Možda mislite da je ovo nesreća, ali ne: bilo koji drugi primjer može samo potvrditi ovo pravilo. Dakle, generalno, formula izgleda ovako: a ^ n * a ^ m = a ^ (n + m). Takođe postoji pravilo da je bilo koji broj u nultom stepenu jednak jedan. Ovdje treba zapamtiti pravilo negativnih snaga: a ^ (- n) = 1 / a ^ n. To jest, ako je 2 ^ 3 = 8, onda je 2 ^ (- 3) = 1/8. Koristeći ovo pravilo, možemo dokazati jednakost a ^ 0 = 1: a ^ 0 = a ^ (nn) = a ^ n * a ^ (- n) = a ^ (n) * 1 / a ^ (n), a ^ (n) se može poništiti i samo jedan ostaje. Otuda i pravilo da je količnik stepeni sa istim bazama jednak ovoj bazi na stepen jednakom količniku eksponenta dividende i delioca: a ^ n: a ^ m = a ^ (n-m). Primjer: Pojednostavite izraz 2 ^ 3 * 2 ^ 5 * 2 ^ (- 7) * 2 ^ 0: 2 ^ (- 2). Množenje je komutativna operacija, stoga prvo morate dodati eksponente množenja: 2 ^ 3 * 2 ^ 5 * 2 ^ (- 7) * 2 ^ 0 = 2 ^ (3 + 5-7 + 0) = 2 ^ 1 = 2. Sljedeći korak je rješavanje dijeljenja negativnim eksponentom. Od indeksa dividende potrebno je oduzeti indeks djelitelja: 2 ^ 1: 2 ^ (- 2) = 2 ^ (1 - (- 2)) = 2 ^ (1 + 2) = 2 ^ 3 = 8. Ispada da je operacija dijeljenja negativnim stepenom identična operaciji množenja sa sličnim pozitivnim eksponentom. Dakle, konačni odgovor je 8.

Postoje primjeri gdje se odvija nekanonsko množenje stupnjeva. Množenje stepena sa različitim bazama je često mnogo teže, a ponekad čak i nemoguće. Treba navesti nekoliko primjera različitih mogućih tehnika. Primer: pojednostavite izraz 3 ^ 7 * 9 ^ (- 2) * 81 ^ 3 * 243 ^ (- 2) * 729. Očigledno, postoji množenje stepena sa različitim bazama. Ali, treba napomenuti da su sve baze različitih stupnjeva tripleta. 9 = 3 ^ 2,1 = 3 ^ 4,3 = 3 ^ 5,9 = 3 ^ 6. Koristeći pravilo (a ^ n) ^ m = a ^ (n * m), trebali biste prepisati izraz u prikladnijoj formi: 3 ^ 7 * (3 ^ 2) ^ (- 2) * (3 ^ 4) ^ 3 * ( 3 ^ 5) ^ (- 2) * 3 ^ 6 = 3 ^ 7 * 3 ^ (- 4) * 3 ^ (12) * 3 ^ (- 10) * 3 ^ 6 = 3 ^ (7 -4 + 12 -10 + 6) = 3 ^ (11). Odgovor: 3 ^ 11. U slučajevima kada postoje različite osnove, pravilo a ^ n * b ^ n = (a * b) ^ n radi za jednake pokazatelje. Na primjer, 3 ^ 3 * 7 ^ 3 = 21 ^ 3. U suprotnom, kada postoje različite baze i indikatori, nemoguće je napraviti puno množenje. Ponekad je moguće djelomično pojednostaviti ili pribjeći pomoći kompjuterske tehnologije.

Prvi nivo

Stepen i njegova svojstva. Sveobuhvatan vodič (2019.)

Zašto su potrebne diplome? Gdje će vam biti od koristi? Zašto trebate odvojiti vrijeme da ih proučite?

Kako biste saznali sve o diplomama, čemu služe, kako iskoristiti svoje znanje u svakodnevnom životu, pročitajte ovaj članak.

I naravno, poznavanje diploma će vas približiti uspješnom polaganju OGE ili USE i upisu na univerzitet iz snova.

Idemo... (Idemo!)

Važna napomena! Ako umjesto formula vidite besmislicu, obrišite keš memoriju. Da biste to učinili, pritisnite CTRL + F5 (na Windowsima) ili Cmd + R (na Macu).

PRVI NIVO

Eksponencijacija je ista matematička operacija kao sabiranje, oduzimanje, množenje ili dijeljenje.

Sada ću sve objasniti ljudskim jezikom koristeći vrlo jednostavne primjere. Obrati pažnju. Primjeri su elementarni, ali objašnjavaju važne stvari.

Počnimo sa sabiranjem.

Nema šta da se objašnjava. Sve već znate: ima nas osam. Svaka ima dvije boce kole. Koliko kole ima? Tako je - 16 boca.

Sada množenje.

Isti primjer kole može se napisati drugačije:. Matematičari su lukavi i lijeni ljudi. Prvo primjećuju neke obrasce, a onda smišljaju način da ih brzo "prebroje". U našem slučaju, primijetili su da svaki od osam ljudi ima isti broj boca kole i smislili tehniku ​​zvanu množenje. Slažem se, smatra se lakšim i bržim od.

Dakle, da biste brojali brže, lakše i bez grešaka, samo trebate zapamtiti tablica množenja... Možete, naravno, sve sporije, teže i sa greškama! Ali…

Evo tablice množenja. Ponovi.

I još jedno, ljepše:

Koje su još pametne trikove brojanja smislili lijeni matematičari? desno - podizanje broja na stepen.

Podizanje broja na stepen

Ako trebate pomnožiti broj sam po sebi pet puta, onda matematičari kažu da ovaj broj trebate podići na peti stepen. Na primjer, . Matematičari se sjećaju da je dva do petog stepena. I takve probleme rješavaju u glavi – brže, lakše i bez grešaka.

Sve što treba da uradite je zapamtite šta je istaknuto u tabeli stepena brojeva... Vjerujte, ovo će vam mnogo olakšati život.

Uzgred, zašto se zove drugi stepen kvadrat brojevi, a treći - kocka? Šta to znači? To je veoma dobro pitanje. Sada ćete imati i kvadrate i kocke.

Životni primjer broj 1

Počnimo s kvadratom ili drugim stepenom broja.

Zamislite bazen veličine kvadratni metar po metar. Bazen je u vašoj kući na selu. Vruće je i stvarno želim plivati. Ali ... bazen bez dna! Potrebno je obložiti dno bazena pločicama. Koliko pločica vam treba? Da biste to odredili, morate znati površinu dna bazena.

Možete jednostavno izbrojati, bockajući prstom, da se dno bazena sastoji od kockica metar po metar. Ako imate pločicu metar po metar, trebat će vam komadi. Lako je... Ali gdje ste vidjeli takve pločice? Pločica je vjerojatnije cm po cm, a onda će vas mučiti "prebrojavanje prstiju". Onda morate množiti. Dakle, na jednu stranu dna bazena postavljamo pločice (komade), a na drugu takođe pločice. Množenjem sa, dobijate pločice ().

Jeste li primijetili da smo sami pomnožili isti broj kako bismo odredili površinu dna bazena? Šta to znači? Kada se isti broj pomnoži, možemo koristiti tehniku ​​"eksponencijacije". (Naravno, kada imate samo dva broja, i dalje ih množite ili dižete na stepen. Ali ako ih imate puno, onda je podizanje na stepen mnogo lakše i ima manje grešaka u računanju. ispit, ovo je veoma važno).
Dakle, trideset na drugom stepenu će biti (). Ili možete reći da će biti trideset na kvadrat. Drugim riječima, drugi stepen broja uvijek se može predstaviti kao kvadrat. Suprotno tome, ako vidite kvadrat, to je UVIJEK drugi stepen broja. Kvadrat je reprezentacija drugog stepena broja.

Primjer iz stvarnog života #2

Evo vam zadatak, izbrojite koliko je polja na šahovskoj tabli koristeći kvadrat broja... Na jednoj strani ćelije i na drugoj također. Da biste prebrojali njihov broj, trebate pomnožiti osam sa osam ili ... ako primijetite da je šahovska ploča kvadrat sa stranicom, tada možete kvadratirati osam. Dobićete ćelije. () Pa?

Životni primjer br.3

Sada kocka ili treći stepen broja. Isti bazen. Ali sada morate saznati koliko vode treba uliti u ovaj bazen. Morate izračunati zapreminu. (Usput, zapremine i tečnosti mere se kubnim metrima. Iznenađujuće, zar ne?) Nacrtajte bazen: dno je veličine metar i duboko metar i pokušajte da izračunate koliko će kubnih metara po metar ući u vaš bazen.

Pokažite prstom i brojite! Jedan, dva, tri, četiri... dvadeset dva, dvadeset tri... Koliko je ispalo? Niste izgubljeni? Da li je teško brojati prstom? Tako da! Uzmite primjer od matematičara. Oni su lijeni, pa su primijetili da za izračunavanje volumena bazena morate pomnožiti njegovu dužinu, širinu i visinu jedno s drugim. U našem slučaju, zapremina bazena će biti jednaka kockama... Lakše, zar ne?

Sada zamislite koliko su matematičari lijeni i lukavi kada bi i ovo pojednostavili. Sve su sveli na jednu akciju. Primetili su da su dužina, širina i visina jednake i da se isti broj množi sam sa sobom... Šta to znači? To znači da možete iskoristiti diplomu. Dakle, ono što ste jednom brojali prstom, rade u jednoj radnji: tri u kocki je jednako. Napisano je ovako:.

Ostaje samo zapamtite tabelu stepeni... Osim ako, naravno, niste lijeni i lukavi kao matematičari. Ako volite naporno raditi i griješiti, možete nastaviti da brojite prstom.

Pa da bi vas konačno uvjerili da su diplome izmislili neradnici i lukavi ljudi da rješavaju svoje životne probleme, a ne da vam prave probleme, evo još par primjera iz života.

Životni primjer br.4

Imate milion rubalja. Na početku svake godine zaradite još milion od svakog miliona. Odnosno, svaki vaš milion na početku svake godine se udvostručuje. Koliko ćeš novca imati za godine? Ako sada sjedite i "brojite prstom", onda ste vrlo vrijedna osoba i.. glupa. Ali najvjerovatnije ćete dati odgovor za par sekundi, jer ste pametni! Dakle, prve godine - dva puta dva ... druge godine - ono što se dogodilo bilo je još dva, treće godine ... Stani! Primijetili ste da se broj jednom množi sam sa sobom. Dakle, dva na peti stepen je milion! Sad zamislite da imate konkurenciju i te milione će dobiti onaj ko brže računa... Vrijedi li pamtiti stepene brojeva, šta mislite?

Primjer iz stvarnog života br

Imaš milion. Na početku svake godine zaradite dva više na svaki milion. Sjajno, zar ne? Svaki milion se utrostručuje. Koliko ćeš novca imati za godine? Hajde da prebrojimo. Prva godina - pomnoži sa, pa rezultat sa drugom... Već je dosadno, jer si već sve shvatio: tri puta se množi samo po sebi. Dakle, četvrti stepen je jednak milionu. Samo trebate zapamtiti da je tri na četvrti stepen ili.

Sada znate da ćete podizanjem broja na stepen uvelike olakšati svoj život. Hajde da pogledamo šta možete da uradite sa diplomama i šta treba da znate o njima.

Termini i pojmovi ... da se ne zbunite

Dakle, prvo, hajde da definišemo koncepte. Šta ti misliš, šta je eksponent? Vrlo je jednostavno - ovo je broj koji je "na vrhu" snage broja. Nije naučno, ali razumljivo i lako za pamćenje...

Pa, u isto vreme i to takvu osnovu stepena? Još jednostavnije - ovo je broj koji je ispod, u osnovi.

Evo crteža da budemo sigurni.

Pa, generalno, da bi se generalizovao i bolje zapamtio... Stepen sa osnovom "" i indikatorom "" čita se kao "u stepenu" i piše se na sledeći način:

Brojni stepen sa prirodnim eksponentom

Verovatno ste do sada pogodili: jer je eksponent prirodan broj. Da, ali šta jeste prirodni broj? Osnovno! Prirodni brojevi su oni koji se koriste u brojanju pri popisivanju objekata: jedan, dva, tri... Kada brojimo predmete, ne kažemo: "minus pet", "minus šest", "minus sedam". Takođe ne kažemo: „jedna trećina“, ili „nula poena, pet desetinki“. Ovo nisu prirodni brojevi. Šta mislite koji su to brojevi?

Brojevi poput "minus pet", "minus šest", "minus sedam" se odnose cijeli brojevi. Općenito, cijeli brojevi uključuju sve prirodne brojeve, brojeve suprotne prirodnim brojevima (tj. uzeti sa predznakom minus) i broj. Nulu je lako razumjeti - ovo je kada nema ničega. Šta znače negativni ("minus") brojevi? Ali oni su izmišljeni prvenstveno za označavanje dugova: ako imate rublje na telefonu, to znači da dugujete operateru rublje.

Bilo koji razlomci su racionalni brojevi. Šta mislite kako su nastali? Veoma jednostavno. Prije nekoliko hiljada godina naši su preci otkrili da im nedostaju prirodni brojevi za mjerenje dužine, težine, površine itd. I oni su smislili racionalni brojevi... Zanimljivo, zar ne?

Postoje i iracionalni brojevi. Koji su to brojevi? Ukratko, beskonačan decimalni razlomak. Na primjer, ako podijelite obim kruga njegovim prečnikom, dobićete iracionalan broj.

Sažetak:

Definirajmo pojam stepena čiji je eksponent prirodan broj (tj. cijeli i pozitivan).

1. Bilo koji broj u prvom stepenu jednak je samom sebi:
2. Kvadratirati broj znači pomnožiti ga sam sa sobom:
3. Kockati broj znači pomnožiti ga sam sa sobom tri puta:

Definicija. Podići broj na prirodni stepen znači pomnožiti broj sam sa sobom puta:
.

Svojstva snage

Odakle su ove nekretnine? Sada ću ti pokazati.

Da vidimo: šta je i ?

A-prioritet:

Koliko faktora ima ukupno?

Vrlo je jednostavno: množiocima smo dodali množitelje, a zbroj su množitelji.

Ali po definiciji, to je stepen broja sa eksponentom, to jest, kako se traži da se dokaže.

Primjer: Pojednostavite izraz.

Rješenje:

primjer: Pojednostavite izraz.

Rješenje: Važno je napomenuti da u našem pravilu obavezno moraju imati iste baze!
Stoga kombiniramo stupnjeve s bazom, ali ostaje poseban faktor:

samo za proizvod stepeni!

Ni u kom slučaju to ne možete napisati.

2.odnosno -ti stepen broja

Kao i kod prethodnog svojstva, okrenimo se definiciji stepena:

Ispada da se izraz množi sam sa sobom jednom, odnosno, prema definiciji, ovo je th stepen broja:

U suštini, ovo se može nazvati "stavljanjem indikatora u zagrade". Ali ovo nikada ne biste trebali raditi ukupno:

Prisjetimo se skraćenih formula za množenje: koliko puta smo htjeli napisati?

Ali to ipak nije istina.

Stepen sa negativnom bazom

Do sada smo samo raspravljali o tome kakav bi eksponent trebao biti.

Ali šta bi trebalo da bude osnova?

U stepenima sa prirodna stopa osnova može biti bilo koji broj... Zaista, možemo množiti bilo koje brojeve jedni s drugima, bilo da su pozitivni, negativni ili parni.

Razmislimo o tome koji će znakovi ("" ili "") imati moći pozitivnih i negativnih brojeva?

Na primjer, hoće li broj biti pozitivan ili negativan? A? ? S prvim je sve jasno: bez obzira koliko pozitivnih brojeva pomnožimo jedan s drugim, rezultat će biti pozitivan.

Ali negativno je malo zanimljivije. Uostalom, sjećamo se jednostavnog pravila iz 6. razreda: "minus po minus daje plus". To je, ili. Ali ako pomnožimo sa, radi.

Sami odlučite koji će znak imati sljedeći izrazi:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Jeste li uspjeli?

Evo odgovora: U prva četiri primjera, nadamo se da je sve jasno? Samo gledamo bazu i eksponent i primjenjujemo odgovarajuće pravilo.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

U primjeru 5) sve također nije tako strašno kao što se čini: nije važno čemu je baza jednaka - stepen je paran, što znači da će rezultat uvijek biti pozitivan.

Pa, osim ako je baza nula. Temelji nisu jednaki, zar ne? Očigledno nije, jer (jer).

Primjer 6) više nije tako lako!

6 primjera za obuku

Raščlanjivanje rješenja 6 primjera

Ako zanemarimo osmi stepen, šta vidimo ovde? Podsjećamo na program 7. razreda. Pa, sećaš se? Ovo je formula za skraćeno množenje, odnosno razliku kvadrata! Dobijamo:

Pogledajmo izbliza imenilac. Mnogo liči na jedan od množitelja u brojiocu, ali šta nije u redu? Pogrešan redosled termina. Ako bi se oni poništili, pravilo bi se moglo primijeniti.

Ali kako to učiniti? Ispostavilo se da je to vrlo lako: ovdje nam pomaže paran stepen nazivnika.

Termini su magično obrnuti. Ovaj "fenomen" je primjenjiv na bilo koji izraz u jednakoj mjeri: možemo slobodno mijenjati znakove u zagradama.

Ali važno je zapamtiti: svi znakovi se mijenjaju u isto vrijeme!

Vratimo se na primjer:

I opet formula:

Cijeli nazivamo prirodne brojeve suprotne njima (tj. uzete sa znakom "") i broj.

pozitivan cijeli broj, ali se ne razlikuje od prirodnog, onda sve izgleda tačno kao u prethodnom odeljku.

Pogledajmo sada neke nove slučajeve. Počnimo s indikatorom jednakim.

Bilo koji broj u nultom stepenu jednak je jedan:

Kao i uvijek, postavimo sebi pitanje: zašto je to tako?

Razmislite o stepenu sa bazom. Uzmite, na primjer, i pomnožite sa:

Dakle, pomnožili smo broj sa, i dobili smo isti kao što je bio -. A koji broj treba pomnožiti da se ništa ne promijeni? Tako je, na. Sredstva.

Isto možemo učiniti i sa proizvoljnim brojem:

Ponovimo pravilo:

Bilo koji broj u nultom stepenu jednak je jedan.

Ali postoje izuzeci od mnogih pravila. I ovdje je također tu - ovo je broj (kao osnova).

S jedne strane, trebalo bi da bude jednako u bilo kom stepenu - koliko god da množite sami sa sobom, i dalje ćete dobiti nulu, ovo je jasno. Ali s druge strane, kao i svaki broj u nultom stepenu, on mora biti jednak. Pa šta je od ovoga istina? Matematičari su odlučili da se ne miješaju i odbili su podići nulu na nulu. Odnosno, sada ne možemo ne samo podijeliti sa nulom, već i podići na nulti stepen.

Idemo dalje. Osim prirodnih brojeva i brojeva, negativni brojevi pripadaju cijelim brojevima. Da bismo razumjeli šta je negativan stepen, učinimo isto kao prošli put: pomnožimo neki normalan broj sa istom negativnom potencijom:

Odavde je već lako izraziti ono što tražite:

Sada ćemo rezultujuće pravilo proširiti na proizvoljan stepen:

Dakle, formulirajmo pravilo:

Broj u negativnom stepenu je inverzan istom broju u pozitivnom stepenu. Ali istovremeno osnova ne može biti null:(jer ne možete podijeliti po).

Hajde da rezimiramo:

I. Izraz nije naveden u slučaju. Ako onda.

II. Bilo koji broj do nultog stepena jednak je jedan:.

III. Broj koji nije jednak nuli je u negativnom stepenu obrnutom istom broju u pozitivnom stepenu:.

Zadaci za samostalno rješavanje:

Pa, i, kao i obično, primjeri za nezavisno rješenje:

Analiza zadataka za samostalno rješavanje:

Znam, znam, brojke su strašne, ali na ispitu moraš biti spreman na sve! Riješite ove primjere ili analizirajte njihova rješenja ako niste mogli riješiti i naučit ćete kako se lako nositi s njima na ispitu!

Nastavimo širiti krug brojeva "prikladnih" kao eksponent.

Sada razmislite racionalni brojevi. Koji se brojevi nazivaju racionalnim?

Odgovor: sve to može biti predstavljeno kao razlomak, gdje su i cijeli brojevi, štoviše.

Da razumem šta je Razlomak stepena, uzmi u obzir razlomak:

Podignimo obje strane jednadžbe na stepen:

Sada se prisjetimo pravila o "stepen do stepena":

Koji broj se mora podići na stepen da se dobije?

Ova formulacija je definicija th korijena.

Da vas podsjetim: korijen th stepena broja () je broj koji je, kada se podigne na stepen, jednak.

To jest, korijen th stepena je inverzna operacija eksponencijacije:.

Ispostavilo se da. Očigledno, ovaj konkretni slučaj se može proširiti:.

Sada dodajemo brojilac: šta je to? Odgovor se lako dobija pomoću pravila od stepena do stepena:

Ali može li baza biti bilo koji broj? Na kraju krajeva, korijen se ne može izdvojiti iz svih brojeva.

Nijedan!

Zapamtite pravilo: svaki broj podignut na paran stepen je pozitivan broj. To jest, ne možete izvući korijene parnog stepena iz negativnih brojeva!

A to znači da se takvi brojevi ne mogu podići na razlomak s parnim nazivnikom, odnosno izraz nema smisla.

Šta je sa izražavanjem?

Ali tu nastaje problem.

Broj se može predstaviti kao drugi, poništivi razlomci, na primjer, ili.

I ispostavilo se da postoji, ali ne postoji, ali to su samo dva različita zapisa istog broja.

Ili drugi primjer: jednom, onda možete pisati. Ali ako indikator zapišemo na drugačiji način, opet ćemo dobiti smetnju: (odnosno, dobili smo potpuno drugačiji rezultat!).

Da bismo izbjegli takve paradokse, smatramo samo pozitivan radiks sa razlomkom eksponenta.

Sta ako:

• - prirodni broj;
• - cijeli broj;

primjeri:

Racionalni eksponenti su vrlo korisni za pretvaranje ukorijenjenih izraza, na primjer:

5 primjera za obuku

Analiza 5 primjera za obuku

A sada najteži dio. Sada ćemo analizirati iracionalni stepen.

Sva pravila i svojstva stupnjeva ovdje su potpuno ista kao za stepen sa racionalnim eksponentom, sa izuzetkom

Zaista, po definiciji, iracionalni brojevi su brojevi koji se ne mogu predstaviti kao razlomak, gdje su i cijeli brojevi (to jest, iracionalni brojevi su svi realni brojevi osim racionalnih).

Prilikom proučavanja stepena sa prirodnim, celim i racionalnim pokazateljem, svaki put smo pravili neku vrstu "slike", "analogije" ili opisa u poznatijim terminima.

Na primjer, prirodni eksponent je broj pomnožen sam sa sobom nekoliko puta;

...nulti stepen- to je, takoreći, broj pomnožen sam sa sobom jednom, odnosno još nije počeo da se množi, što znači da se sam broj nije ni pojavio - dakle, rezultat je samo neka vrsta "praznog broja “, odnosno broj;

...cjelobrojni negativni eksponent- kao da se desio nekakav "obrnuti proces", odnosno broj se nije množio sam od sebe, već dijelio.

Inače, u nauci se često koristi diploma sa složenim indikatorom, odnosno indikator nije čak ni pravi broj.

Ali u školi ne razmišljamo o takvim poteškoćama, imaćete priliku da shvatite ove nove koncepte na institutu.

GDJE SMO SIGURNI DA ĆETE ITI! (ako naučiš rješavati takve primjere :))

Na primjer:

Odlučite sami:

Analiza rješenja:

1. Počnimo s već uobičajenim pravilom za podizanje stepena na stepen:

Sada pogledajte indikator. Podsjeća li vas na nešto? Prisjećamo se formule za skraćeno množenje, razliku kvadrata:

U ovom slučaju,

Ispada da:

odgovor: .

2. Razlomke u eksponentima dovodimo u isti oblik: ili oba decimalna, ili oba obična. Uzmimo, na primjer:

Odgovor: 16

3. Ništa posebno, primjenjujemo uobičajena svojstva stupnjeva:

NAPREDNI NIVO

Određivanje stepena

Stepen je izraz oblika:, gdje je:

• — osnova stepena;
• - eksponent.

Stepen sa prirodnim eksponentom (n = 1, 2, 3, ...)

Podići broj na prirodni stepen n znači množenje broja sam po sebi puta:

Cjelobrojni stepen (0, ± 1, ± 2, ...)

Ako je eksponent potpuno pozitivno broj:

Erekcija na nulti stepen:

Izraz je neodređen, jer, s jedne strane, u bilo kom stepenu - ovo, a sa druge - bilo koji broj do th stepena - ovo.

Ako je eksponent cijeli negativan broj:

(jer ne možete podijeliti po).

Još jednom o nulama: izraz je nedefiniran u slučaju velikih i malih slova. Ako onda.

primjeri:

Racionalna ocjena

• - prirodni broj;
• - cijeli broj;

primjeri:

Svojstva snage

Da bismo olakšali rješavanje problema, pokušajmo razumjeti: odakle su ova svojstva došla? Dokažimo ih.

Da vidimo: šta je i?

A-prioritet:

Dakle, sa desne strane ovog izraza dobijamo sledeći proizvod:

Ali po definiciji, to je snaga broja s eksponentom, to jest:

Q.E.D.

Primjer : Pojednostavite izraz.

Rješenje : .

Primjer : Pojednostavite izraz.

Rješenje : Važno je napomenuti da u našem pravilu obavezno moraju imati iste baze. Stoga kombiniramo stupnjeve s bazom, ali ostaje poseban faktor:

Još jedna važna napomena: ovo pravilo je - samo za proizvod stepeni!

Nikako da to pišem.

Kao i kod prethodnog svojstva, okrenimo se definiciji stepena:

Preuredimo ovaj komad ovako:

Ispada da se izraz množi sam sa sobom jednom, odnosno, prema definiciji, ovo je th stepen broja:

U suštini, ovo se može nazvati "stavljanjem indikatora u zagrade". Ali ovo nikada ne biste trebali raditi u potpunosti!

Prisjetimo se skraćenih formula za množenje: koliko puta smo htjeli napisati? Ali to ipak nije istina.

Diploma sa negativnom bazom.

Do sada smo samo razgovarali kako bi to trebalo da bude index stepen. Ali šta bi trebalo da bude osnova? U stepenima sa prirodno indikator osnova može biti bilo koji broj .

Zaista, možemo množiti bilo koje brojeve jedni s drugima, bilo da su pozitivni, negativni ili parni. Razmislimo o tome koji će znakovi ("" ili "") imati moći pozitivnih i negativnih brojeva?

Na primjer, hoće li broj biti pozitivan ili negativan? A? ?

S prvim je sve jasno: bez obzira koliko pozitivnih brojeva pomnožimo jedan s drugim, rezultat će biti pozitivan.

Ali negativno je malo zanimljivije. Uostalom, sjećamo se jednostavnog pravila iz 6. razreda: "minus po minus daje plus". To je, ili. Ali ako pomnožimo sa (), dobićemo -.

I tako dalje do beskonačnosti: svakim sljedećim množenjem predznak će se mijenjati. Možete formulirati takva jednostavna pravila:

1. čak stepen, - broj pozitivno.
2. Negativan broj podignut na odd stepen, - broj negativan.
3. Pozitivan broj u bilo kom stepenu je pozitivan broj.
4. Nula na bilo koji stepen jednaka je nuli.

Sami odlučite koji će znak imati sljedeći izrazi:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Jeste li uspjeli? Evo odgovora:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

U prva četiri primjera, nadam se da je sve jasno? Samo gledamo bazu i eksponent i primjenjujemo odgovarajuće pravilo.

U primjeru 5) sve također nije tako strašno kao što se čini: nije važno čemu je baza jednaka - stepen je paran, što znači da će rezultat uvijek biti pozitivan. Pa, osim ako je baza nula. Temelji nisu jednaki, zar ne? Očigledno nije, jer (jer).

Primjer 6) više nije tako jednostavan. Ovdje trebate saznati šta je manje: ili? Ako se toga setite, postaje jasno, što znači da je baza manja od nule. Odnosno, primjenjujemo pravilo 2: rezultat će biti negativan.

I opet koristimo definiciju stepena:

Sve je kao i obično - zapišemo definiciju stupnjeva i, podijelimo ih jedni na druge, podijelimo ih u parove i dobijemo:

Prije ispitivanja posljednjeg pravila, riješimo nekoliko primjera.

Izračunajte vrijednosti izraza:

Rješenja :

Ako zanemarimo osmi stepen, šta vidimo ovde? Podsjećamo na program 7. razreda. Pa, sećaš se? Ovo je formula za skraćeno množenje, odnosno razliku kvadrata!

Dobijamo:

Pogledajmo izbliza imenilac. Mnogo liči na jedan od množitelja u brojiocu, ali šta nije u redu? Pogrešan redosled termina. Ako bi se oni obrnuli, moglo bi se primijeniti pravilo 3. Ali kako to učiniti? Ispostavilo se da je to vrlo lako: ovdje nam pomaže paran stepen nazivnika.

Ako to pomnožite sa, ništa se ne mijenja, zar ne? Ali sada se ispostavlja sledeće:

Termini su magično obrnuti. Ovaj "fenomen" je primjenjiv na bilo koji izraz u jednakoj mjeri: možemo slobodno mijenjati znakove u zagradama. Ali važno je zapamtiti: svi znakovi se mijenjaju u isto vrijeme! Ne može se zamijeniti mijenjanjem samo jednog nedostatka koji ne želimo!

Vratimo se na primjer:

I opet formula:

Dakle, sada poslednje pravilo:

Kako ćemo to dokazati? Naravno, kao i obično: proširimo pojam stepena i pojednostavimo:

Sada otvorimo zagrade. Koliko će slova biti? puta po množiteljima - kako to izgleda? Ovo nije ništa drugo do definicija operacije množenje: postojali su samo množitelji. To jest, to je, po definiciji, stepen broja sa eksponentom:

primjer:

Iracionalna ocjena

Pored informacija o stepenima za srednji nivo, analiziraćemo stepen sa iracionalnim eksponentom. Sva pravila i svojstva stupnjeva ovdje su potpuno ista kao i za stepen sa racionalnim eksponentom, s izuzetkom - na kraju krajeva, po definiciji, iracionalni brojevi su brojevi koji se ne mogu predstaviti kao razlomak, gdje su i cijeli brojevi (da je, iracionalni brojevi su svi realni brojevi osim racionalnih).

Prilikom proučavanja stepena sa prirodnim, celim i racionalnim pokazateljem, svaki put smo pravili neku vrstu "slike", "analogije" ili opisa u poznatijim terminima. Na primjer, prirodni eksponent je broj pomnožen sam sa sobom nekoliko puta; broj do nultog stepena je takoreći broj pomnožen sam sa sobom jednom, odnosno još nije počeo da se množi, što znači da se sam broj nije ni pojavio - dakle, rezultat je samo vrsta "praznog broja", odnosno broja; stepen sa negativnim celobrojnim eksponentom je kao da se desio neki "obrnuti proces", odnosno broj nije množen sam sa sobom, već podeljen.

Izuzetno je teško zamisliti stepen sa iracionalnim eksponentom (baš kao što je teško zamisliti 4-dimenzionalni prostor). Umjesto toga, to je čisto matematički objekt koji su matematičari stvorili kako bi proširili koncept stepena na cijeli prostor brojeva.

Inače, u nauci se često koristi diploma sa složenim indikatorom, odnosno indikator nije čak ni pravi broj. Ali u školi ne razmišljamo o takvim poteškoćama, imaćete priliku da shvatite ove nove koncepte na institutu.

Dakle, šta da radimo kada vidimo iracionalni eksponent? Trudimo se svim silama da ga se riješimo! :)

Na primjer:

Odlučite sami:

1)

2)

3)

Odgovori:

1. Prisjećamo se formule za razliku kvadrata. Odgovor: .
2. Razlomke dovodimo u isti oblik: ili oba decimalna mjesta, ili oba obična. Dobijamo, na primjer:.
3. Ništa posebno, primjenjujemo uobičajena svojstva stepena:

SAŽETAK ODJELJAKA I OSNOVNE FORMULE

Stepen naziva se izraz oblika:, gdje je:

Cjelobrojni stepen

stepen, čiji je eksponent prirodan broj (tj. cijeli i pozitivan).

Racionalna ocjena

stepen, čiji je eksponent negativan i razlomak.

Iracionalna ocjena

stepen, čiji je eksponent beskonačan decimalni razlomak ili korijen.

Svojstva snage

Karakteristike stepena.

• Negativan broj podignut na čak stepen, - broj pozitivno.
• Negativan broj podignut na odd stepen, - broj negativan.
• Pozitivan broj u bilo kom stepenu je pozitivan broj.
• Nula je jednaka bilo kojoj potenciji.
• Bilo koji broj do nultog stepena je jednak.

SADA VAŠA RIJEČ...

Kako vam se sviđa članak? Napišite u komentarima like sviđa li vam se ili ne.

Recite nam nešto o svom iskustvu sa diplomama.

Možda imate pitanja. Ili sugestije.

Pišite u komentarima.

I sretno na ispitima!

Naučno-matematički članci

Svojstva stepeni sa istom bazom

Postoje tri svojstva stupnjeva sa istim bazama i prirodnim vrijednostima. to

Posao suma

Privatno dva stepena sa istim osnovama jednako je izrazu, pri čemu je baza ista, a eksponent je razlika indikatori izvornih faktora.

Povećanje stepena broja na stepen jednak je izrazu u kojem je baza isti broj, a eksponent rad dva stepena.

Budi pazljiv! Pravila u vezi sabiranje i oduzimanje stepeni sa istim osnovama ne postoji.

Napišimo ova svojstva-pravila u obliku formula:

a m × a n = a m + n

a m ÷ a n = a m – n

(a m) n = a mn

Sada ćemo ih razmotriti na konkretnim primjerima i pokušati ih dokazati.

5 2 × 5 3 = 5 5 - ovdje smo primijenili pravilo; Sada zamislimo kako bismo riješili ovaj primjer da ne znamo pravila:

5 2 × 5 3 = 5 × 5 × 5 × 5 × 5 = 5 5 - pet na kvadrat je pet puta pet, a kocka je proizvod tri petice. Rezultat je proizvod pet petica, ali ovo je nešto drugo od pet na peti stepen: 5 5.

3 9 ÷ 3 5 = 3 9–5 = 3 4. Zapišimo dijeljenje kao razlomak:

Može se skratiti:

Kao rezultat, dobijamo:

Tako smo dokazali da se prilikom dijeljenja dva stepena sa istim osnovama moraju oduzeti njihovi pokazatelji.

Međutim, prilikom dijeljenja, nemoguće je da djelitelj bude jednak nuli (pošto ne možete dijeliti nulom). Osim toga, budući da razmatramo stupnjeve samo sa prirodnim eksponentima, ne možemo, kao rezultat oduzimanja eksponenata, dobiti broj manji od 1. Stoga se nameću ograničenja na formulu am ÷ an = am – n: a ≠ 0 i m > n.

Pređimo na treće svojstvo:
(2 2) 4 = 2 2 × 4 = 2 8

Napišimo u proširenom obliku:
(2 2) 4 = (2 × 2) 4 = (2 × 2) × (2 × 2) × (2 × 2) × (2 × 2) = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 2 8

Do ovog zaključka i rasuđivanja možete doći logično. Trebate pomnožiti dva na kvadrat četiri puta. Ali u svakom kvadratu postoje dvije dvojke, što znači da će biti ukupno osam dvojki.

scienceland.info

Svojstva diploma

Podsjećamo vas da ova lekcija razumije svojstva snage sa prirodnim pokazateljima i nulom. Racionalni stepeni i njihova svojstva biće obrađeni na časovima 8. razreda.

Prirodni eksponent ima nekoliko važnih svojstava koja olakšavaju izračunavanje u primjerima eksponenta.

Nekretnina broj 1
Proizvod stepeni

Prilikom množenja stupnjeva sa istim bazama, baza ostaje nepromijenjena, a eksponenti se sabiraju.

a m · a n = a m + n, gdje je "a" bilo koji broj, a "m", "n" su bilo koji prirodni brojevi.

Ovo svojstvo stepeni takođe utiče na proizvod od tri ili više stepeni.

Pojednostavite izraz.
b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15

Prisutno kao diploma.
6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17

Prisutno kao diploma.
(0,8) 3 (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15

Napominjemo da se u navedenom svojstvu radilo samo o množenju potencija sa istim bazama.... To se ne odnosi na njihovo dodavanje.

Ne možete zamijeniti iznos (3 3 + 3 2) sa 3 5. Ovo je razumljivo ako
izbroj (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 i 3 5 = 243

Nekretnina broj 2
Privatne diplome

Prilikom dijeljenja stupnjeva sa istim bazama, baza ostaje nepromijenjena, a eksponent djelitelja se oduzima od eksponenta dividende.

Napišite količnik kao stepen
(2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5 - 3 = (2b) 2

Izračunati.

11 3 - 2 4 2 - 1 = 11 4 = 44
Primjer. Riješite jednačinu. Koristimo vlasništvo privatnih diploma.
3 8: t = 3 4

Odgovor: t = 3 4 = 81

Koristeći svojstva #1 i #2, možete lako pojednostaviti izraze i izvršiti proračune.

Primjer. Pojednostavite izraz.
4 5m + 6 4 m + 2: 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2: 4 4m + 3 = 4 6m + 8 - 4m - 3 = 4 2m + 5

Primjer. Pronađite vrijednost izraza koristeći svojstva stepena.

2 11 − 5 = 2 6 = 64

Napominjemo da smo u svojstvu 2 govorili samo o podjeli stepena sa istim osnovama.

Ne možete zamijeniti razliku (4 3 −4 2) sa 4 1. To je razumljivo ako izračunamo (4 3 −4 2) = (64 - 16) = 48 i 4 1 = 4

Nekretnina broj 3
Eksponencijacija

Kada se stepen podiže na stepen, baza stepena ostaje nepromijenjena, a eksponenti se množe.

(a n) m = a n · m, gdje je "a" bilo koji broj, a "m", "n" su bilo koji prirodni brojevi.

Imajte na umu da se svojstvo #4, kao i druga svojstva snage, primjenjuje obrnutim redoslijedom.

(a n b n) = (a b) n

To jest, da biste pomnožili stupnjeve s istim indikatorima, možete pomnožiti baze, a eksponent se može ostaviti nepromijenjen.

Primjer. Izračunati.
2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10.000

Primjer. Izračunati.
0,5 16 2 16 = (0,5 2) 16 = 1

U složenijim primjerima mogu postojati slučajevi kada množenje i dijeljenje moraju biti izvedeni preko stupnjeva s različitim bazama i različitim eksponentima. U tom slučaju savjetujemo vam da postupite na sljedeći način.

Na primjer, 4 5 3 2 = 4 3 4 2 3 2 = 4 3 (4 3) 2 = 64 12 2 = 64 144 = 9216

Primjer povećanja na decimalni stepen.

4 21 (−0,25) 20 = 4 4 20 (−0,25) 20 = 4 (4 (−0,25)) 20 = 4 (−1) 20 = 4 1 = 4

Svojstva 5
Stepen količnika (razlomak)

Da biste podigli količnik na stepen, možete podići odvojenu dividendu i djelitelj na ovaj stepen, a prvi rezultat podijeliti drugim.

(a: b) n = a n: b n, gdje su “a”, “b” bilo koji racionalni brojevi, b ≠ 0, n je bilo koji prirodan broj.

Primjer. Predstavite izraz u obliku privatnih stupnjeva.
(5: 3) 12 = 5 12: 3 12

Podsjećamo vas da se količnik može predstaviti kao razlomak. Stoga ćemo se na sljedećoj stranici detaljnije zadržati na temi dizanja razlomka na stepen.

Množenje i dijeljenje brojeva sa potencijama

Ako trebate podići određeni broj na stepen, možete koristiti tablicu stepena prirodnih brojeva od 2 do 25 u algebri. A sada ćemo se detaljnije zadržati svojstva stepeni.

Eksponencijalni brojevi otvaraju velike mogućnosti, omogućavaju nam da transformišemo množenje u sabiranje, a sabiranje je mnogo lakše nego množenje.

Na primjer, trebamo pomnožiti 16 sa 64. Proizvod množenja ova dva broja je 1024. Ali 16 je 4x4, a 64 je 4x4x4. To jest, 16 sa 64 = 4x4x4x4x4, što je takođe 1024.

Broj 16 se takođe može predstaviti kao 2x2x2x2, a 64 kao 2x2x2x2x2x2, a ako pomnožimo, opet dobijamo 1024.

A sada koristimo pravilo za podizanje broja na stepen. 16 = 4 2, ili 2 4, 64 = 4 3, ili 2 6, istovremeno 1024 = 6 4 = 4 5, ili 2 10.

Stoga se naš problem može napisati drugačije: 4 2 x4 3 = 4 5 ili 2 4 x2 6 = 2 10, i svaki put dobijemo 1024.

Možemo riješiti niz sličnih primjera i vidjeti da se množenje brojeva sa potencijama smanjuje na sabiranje eksponenata, ili eksponencijalno, naravno, pod uslovom da su baze faktora jednake.

Dakle, bez množenja, možemo odmah reći da je 2 4 x2 2 x2 14 = 2 20.

Ovo pravilo važi i za deljenje brojeva sa stepenom, ali u ovom slučaju, npr eksponent djelitelja se oduzima od eksponenta dividende... Dakle, 2 5: 2 3 = 2 2, što je u običnim brojevima 32: 8 = 4, odnosno 2 2. Hajde da rezimiramo:

a m h a n = a m + n, a m: a n = a m-n, gdje su m i n cijeli brojevi.

Na prvi pogled može izgledati šta jeste množenje i dijeljenje brojeva sa potencijama nije baš zgodno, jer prvo morate predstaviti broj u eksponencijalnom obliku. Nije teško predstaviti brojeve 8 i 16 u ovom obliku, odnosno 2 3 i 2 4, ali kako to učiniti sa brojevima 7 i 17? Ili šta učiniti kada se broj može predstaviti u eksponencijalnom obliku, ali su osnove eksponencijalnih izraza brojeva veoma različite. Na primjer, 8 × 9 je 2 3 × 3 2, u kom slučaju ne možemo sabrati eksponente. Ni 2 5 ni 3 5 nije odgovor, niti se odgovor nalazi u intervalu između ova dva broja.

Da li se onda uopšte vredi baviti ovom metodom? Definitivno se isplati. Nudi ogromne prednosti, posebno za složena i dugotrajna izračunavanja.

Do sada smo pretpostavljali da je eksponent broj identičnih faktora. U ovom slučaju, minimalna vrijednost eksponenta je 2. Međutim, ako izvršimo operaciju dijeljenja brojeva, odnosno oduzimanja eksponencijala, možemo dobiti i broj manji od 2, što znači da nam stara definicija više ne može odgovarati. Pročitajte više u sljedećem članku.

Zbrajanje, oduzimanje, množenje i dijeljenje potencija

Sabirajte i oduzimajte potencije

Očigledno, brojevi sa potencijama se mogu sabirati, kao i druge veličine , dodavanjem jednog po jednog sa njihovim znakovima.

Dakle, zbir a 3 i b 2 je a 3 + b 2.
Zbir a 3 - b n i h 5 -d 4 je a 3 - b n + h 5 - d 4.

Odds isti stepeni istih varijabli može se dodati ili oduzeti.

Dakle, zbir 2a 2 i 3a 2 je 5a 2.

Takođe je očigledno da ako uzmete dva kvadrata a, ili tri kvadrata a, ili pet kvadrata a.

Ali stepeni različite varijable i različitim stepenima identične varijable, moraju se dodati njihovim dodavanjem sa svojim znakovima.

Dakle, zbir 2 i 3 je zbir 2 + a 3.

Očigledno je da kvadrat a i kocka od a nisu jednaki dvostrukom kvadratu od a, već dvostrukom kocki od a.

Zbir a 3 b n i 3a 5 b 6 je a 3 b n + 3a 5 b 6.

Oduzimanje stepeni se vrši na isti način kao i sabiranje, samo što se predznaci oduzetog moraju u skladu s tim promijeniti.

Ili:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5 (a - h) 6 - 2 (a - h) 6 = 3 (a - h) 6

Množenje stepeni

Brojevi sa stepenom mogu se množiti, kao i druge veličine, pisanjem jedan za drugim, sa ili bez znaka množenja između njih.

Dakle, rezultat množenja a 3 sa b 2 je a 3 b 2 ili aaabb.

Ili:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

Rezultat u posljednjem primjeru može se urediti dodavanjem istih varijabli.
Izraz će imati oblik: a 5 b 5 y 3.

Uspoređujući nekoliko brojeva (varijabli) sa potencijama, možemo vidjeti da ako se bilo koja dva od njih pomnože, onda je rezultat broj (varijabla) sa stepenom jednakim suma stepeni pojmova.

Dakle, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5.

Ovdje je 5 snaga rezultata množenja, jednaka 2 + 3, zbir potencija članova.

Dakle, a n .a m = a m + n.

Za a n, a se uzima kao faktor onoliko puta koliko je snaga n jednaka;

A m se uzima kao faktor onoliko puta koliko je snaga m;

Zbog toga, stepeni sa istim stabljima mogu se pomnožiti dodavanjem eksponenata.

Dakle, a 2 .a 6 = a 2 + 6 = a 8. I x 3 .x 2 .x = x 3 + 2 + 1 = x 6.

Ili:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n + 1

Pomnožite (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Odgovor: x 4 - y 4.
Pomnožite (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Ovo pravilo važi i za brojeve čiji su eksponenti - negativan.

1. Dakle, a -2 .a -3 = a -5. Ovo se može napisati kao (1 / aa).(1 / aaa) = 1 / aaaaa.

2.y -n .y -m = y -n-m.

3.a -n .a m = a m-n.

Ako se a + b pomnoži sa a - b, rezultat je a 2 - b 2: tj

Rezultat množenja zbira ili razlike dva broja jednak je zbroju ili razlici njihovih kvadrata.

Ako se zbir i razlika dva broja podignu na kvadrat, rezultat će biti jednak zbroju ili razlici ovih brojeva u četvrto stepen.

Dakle, (a - y). (A + y) = a 2 - y 2.
(a 2 - y 2) ⋅ (a 2 + y 2) = a 4 - y 4.
(a 4 - y 4) ⋅ (a 4 + y 4) = a 8 - y 8.

Podjela stepena

Brojevi stepena mogu se podijeliti, kao i drugi brojevi, oduzimanjem od djelitelja ili stavljanjem u oblik razlomaka.

Dakle, a 3 b 2 podijeljeno sa b 2 jednako je a 3.

5 podijeljeno sa 3 izgleda kao $ \ frac $. Ali ovo je jednako 2. U nizu brojeva
a +4, a +3, a +2, a +1, a 0, a -1, a -2, a -3, a -4.
bilo koji broj se može podijeliti s drugim, a eksponent će biti jednak razlika eksponenti djeljivih brojeva.

Prilikom dijeljenja stupnjeva s istom osnovom, njihovi indikatori se oduzimaju..

Dakle, y 3: y 2 = y 3-2 = y 1. To jest, $ \ frac = y $.

I a n + 1: a = a n + 1-1 = a n. To jest, $ \ frac = a ^ n $.

Ili:
y 2m: y m = y m
8a n + m: 4a m = 2a n
12 (b + y) n: 3 (b + y) 3 = 4 (b + y) n-3

Pravilo važi i za brojeve sa negativan vrijednosti stupnjeva.
Rezultat dijeljenja -5 sa -3 je -2.
Također, $ \ frac: \ frac = \ frac \ frac = \ frac = \ frac $.

h 2: h -1 = h 2 + 1 = h 3 ili $ h ^ 2: \ frac = h ^ 2. \ frac = h ^ 3 $

Neophodno je vrlo dobro savladati množenje i dijeljenje potencija, budući da se takve operacije vrlo široko koriste u algebri.

Primjeri rješavanja primjera sa razlomcima koji sadrže brojeve sa stepenom

1. Smanji eksponente u $ \ frac $ Odgovor: $ \ frac $.

2. Smanjite eksponente u $ \ frac $. Odgovor: $ \ frac $ ili 2x.

3. Smanjite eksponente a 2 / a 3 i a -3 / a -4 i dovedite ih na zajednički imenilac.
a 2 .a -4 je -2 prvi brojilac.
a 3 .a -3 je a 0 = 1, drugi brojilac.
a 3 .a -4 je -1, zajednički brojnik.
Nakon pojednostavljenja: a -2 / a -1 i 1 / a -1.

4. Smanjite eksponente 2a 4 / 5a 3 i 2 / a 4 i dovedite ih na zajednički imenilac.
Odgovor: 2a 3 / 5a 7 i 5a 5 / 5a 7 ili 2a 3 / 5a 2 i 5 / 5a 2.

5. Pomnožite (a 3 + b) / b 4 sa (a - b) / 3.

6. Pomnožite (a 5 + 1) / x 2 sa (b 2 - 1) / (x + a).

7. Pomnožite b 4 / a -2 sa h -3 / x i a n / y -3.

8. Podijelite a 4 / y 3 sa 3 / y 2. Odgovor: a/y.

Stepen i njegova svojstva. Prosječan nivo.

Želite li testirati svoju snagu i saznati rezultat koliko ste spremni za Jedinstveni državni ispit ili OGE?

Stepen naziva se izraz oblika:, gdje je:

Cjelobrojni stepen

stepen, čiji je eksponent prirodan broj (tj. cijeli i pozitivan).

Racionalna ocjena

stepen, čiji je eksponent negativan i razlomak.

Iracionalna ocjena

stepen, čiji je eksponent beskonačan decimalni razlomak ili korijen.

Svojstva snage

Karakteristike stepena.

čak stepen, - broj pozitivno.

Negativan broj podignut na odd stepen, - broj negativan.

Pozitivan broj u bilo kom stepenu je pozitivan broj.

Nula je jednaka bilo kojoj potenciji.

Bilo koji broj do nultog stepena je jednak.

Koliki je stepen broja?

Eksponencijacija je ista matematička operacija kao sabiranje, oduzimanje, množenje ili dijeljenje.

Sada ću sve objasniti ljudskim jezikom koristeći vrlo jednostavne primjere. Obrati pažnju. Primjeri su elementarni, ali objašnjavaju važne stvari.

Počnimo sa sabiranjem.

Nema šta da se objašnjava. Sve već znate: ima nas osam. Svaka ima dvije boce kole. Koliko kole ima? Tako je - 16 boca.

Sada množenje.

Isti primjer kole može se napisati drugačije:. Matematičari su lukavi i lijeni ljudi. Prvo primjećuju neke obrasce, a onda smišljaju način da ih brzo "prebroje". U našem slučaju, primijetili su da svaki od osam ljudi ima isti broj boca kole i smislili tehniku ​​zvanu množenje. Slažem se, smatra se lakšim i bržim od.

Dakle, da biste brojali brže, lakše i bez grešaka, samo trebate zapamtiti tablica množenja... Možete, naravno, sve sporije, teže i sa greškama! Ali…

Evo tablice množenja. Ponovi.

I još jedno, ljepše:

Koje su još pametne trikove brojanja smislili lijeni matematičari? desno - podizanje broja na stepen.

Podizanje broja na stepen.

Ako trebate pomnožiti broj sam po sebi pet puta, onda matematičari kažu da ovaj broj trebate podići na peti stepen. Na primjer, . Matematičari se sjećaju da je dva do petog stepena. I takve probleme rješavaju u glavi – brže, lakše i bez grešaka.

Sve što treba da uradite je zapamtite šta je istaknuto u tabeli stepena brojeva... Vjerujte, ovo će vam mnogo olakšati život.

Uzgred, zašto se zove drugi stepen kvadrat brojevi, a treći - kocka? Šta to znači? To je veoma dobro pitanje. Sada ćete imati i kvadrate i kocke.

Primjer iz života broj 1.

Počnimo s kvadratom ili drugim stepenom broja.

Zamislite bazen veličine kvadratni metar po metar. Bazen je u vašoj kući na selu. Vruće je i stvarno želim plivati. Ali ... bazen bez dna! Potrebno je obložiti dno bazena pločicama. Koliko pločica vam treba? Da biste to odredili, morate znati površinu dna bazena.

Možete jednostavno izbrojati, bockajući prstom, da se dno bazena sastoji od kockica metar po metar. Ako imate pločicu metar po metar, trebat će vam komadi. Lako je... Ali gdje ste vidjeli takve pločice? Pločica je vjerojatnije cm po cm, a onda će vas mučiti "prebrojavanje prstiju". Onda morate množiti. Dakle, na jednu stranu dna bazena postavljamo pločice (komade), a na drugu takođe pločice. Množenjem sa, dobijate pločice ().

Jeste li primijetili da smo sami pomnožili isti broj kako bismo odredili površinu dna bazena? Šta to znači? Kada se isti broj pomnoži, možemo koristiti tehniku ​​"eksponencijacije". (Naravno, kada imate samo dva broja, i dalje ih množite ili dižete na stepen. Ali ako ih imate puno, onda je podizanje na stepen mnogo lakše i ima manje grešaka u računanju. ispit, ovo je veoma važno).
Dakle, trideset na drugom stepenu će biti (). Ili možete reći da će biti trideset na kvadrat. Drugim riječima, drugi stepen broja uvijek se može predstaviti kao kvadrat. Suprotno tome, ako vidite kvadrat, to je UVIJEK drugi stepen broja. Kvadrat je reprezentacija drugog stepena broja.

Primjer iz stvarnog života #2.

Evo zadatka za vas, izbrojite koliko je polja na šahovskoj tabli koristeći kvadrat broja. Na jednoj strani ćelija i na drugoj također. Da biste prebrojali njihov broj, trebate pomnožiti osam sa osam ili ... ako primijetite da je šahovska ploča kvadrat sa stranicom, tada možete kvadratirati osam. Dobićete ćelije. () Pa?

Primjer iz stvarnog života br.

Sada kocka ili treći stepen broja. Isti bazen. Ali sada morate saznati koliko vode treba uliti u ovaj bazen. Morate izračunati zapreminu. (Usput, zapremine i tečnosti mere se kubnim metrima. Iznenađujuće, zar ne?) Nacrtajte bazen: dno je veličine metar i duboko metar i pokušajte da izračunate koliko će kubnih metara po metar ući u vaš bazen.

Pokažite prstom i brojite! Jedan, dva, tri, četiri... dvadeset dva, dvadeset tri... Koliko je ispalo? Niste izgubljeni? Da li je teško brojati prstom? Tako da! Uzmite primjer od matematičara. Oni su lijeni, pa su primijetili da za izračunavanje volumena bazena morate pomnožiti njegovu dužinu, širinu i visinu jedno s drugim. U našem slučaju, zapremina bazena će biti jednaka kockama... Lakše, zar ne?

Sada zamislite koliko su matematičari lijeni i lukavi kada bi i ovo pojednostavili. Sve su sveli na jednu akciju. Primetili su da su dužina, širina i visina jednake i da se isti broj množi sam sa sobom... Šta to znači? To znači da možete iskoristiti diplomu. Dakle, ono što ste jednom brojali prstom, rade u jednoj radnji: tri u kocki je jednako. Napisano je ovako:.

Ostaje samo zapamtite tabelu stepeni... Osim ako, naravno, niste lijeni i lukavi kao matematičari. Ako volite naporno raditi i griješiti, možete nastaviti da brojite prstom.

Pa da bi vas konačno uvjerili da su diplome izmislili neradnici i lukavi ljudi da rješavaju svoje životne probleme, a ne da vam prave probleme, evo još par primjera iz života.

Primjer iz stvarnog života #4.

Imate milion rubalja. Na početku svake godine zaradite još milion od svakog miliona. Odnosno, svaki vaš milion na početku svake godine se udvostručuje. Koliko ćeš novca imati za godine? Ako sada sjedite i "brojite prstom", onda ste vrlo vrijedna osoba i.. glupa. Ali najvjerovatnije ćete dati odgovor za par sekundi, jer ste pametni! Dakle, prve godine - dva puta dva ... druge godine - ono što se dogodilo bilo je još dva, treće godine ... Stani! Primijetili ste da se broj jednom množi sam sa sobom. Dakle, dva na peti stepen je milion! Sad zamislite da imate konkurenciju i te milione će dobiti onaj ko brže računa... Vrijedi li pamtiti stepene brojeva, šta mislite?

Primjer iz stvarnog života #5.

Imaš milion. Na početku svake godine zaradite dva više na svaki milion. Sjajno, zar ne? Svaki milion se utrostručuje. Koliko ćeš novca imati za godine? Hajde da prebrojimo. Prva godina - pomnoži sa, pa rezultat sa drugom... Već je dosadno, jer si već sve shvatio: tri puta se množi samo po sebi. Dakle, četvrti stepen je jednak milionu. Samo trebate zapamtiti da je tri na četvrti stepen ili.

Sada znate da ćete podizanjem broja na stepen uvelike olakšati svoj život. Hajde da pogledamo šta možete da uradite sa diplomama i šta treba da znate o njima.

Termini i koncepti.

Dakle, prvo, hajde da definišemo koncepte. Šta ti misliš, šta je eksponent? Vrlo je jednostavno - ovo je broj koji je "na vrhu" snage broja. Nije naučno, ali razumljivo i lako za pamćenje...

Pa, u isto vreme i to takvu osnovu stepena? Još je jednostavnije - ovo je broj koji je ispod, u osnovi.

Evo crteža da budemo sigurni.

Pa, generalno, da bi se generalizovao i bolje zapamtio... Stepen sa osnovom "" i indikatorom "" čita se kao "u stepenu" i piše se na sledeći način:

"Stepen broja sa prirodnim eksponentom"

Verovatno ste do sada pogodili: jer je eksponent prirodan broj. Da, ali šta jeste prirodni broj? Osnovno! Prirodni brojevi su oni koji se koriste u brojanju pri popisivanju objekata: jedan, dva, tri... Kada brojimo predmete, ne kažemo: "minus pet", "minus šest", "minus sedam". Takođe ne kažemo: „jedna trećina“, ili „nula poena, pet desetinki“. Ovo nisu prirodni brojevi. Šta mislite koji su to brojevi?

Brojevi poput "minus pet", "minus šest", "minus sedam" se odnose cijeli brojevi. Općenito, cijeli brojevi uključuju sve prirodne brojeve, brojeve suprotne prirodnim brojevima (tj. uzeti sa predznakom minus) i broj. Nulu je lako razumjeti - ovo je kada nema ničega. Šta znače negativni ("minus") brojevi? Ali oni su izmišljeni prvenstveno za označavanje dugova: ako imate rublje na telefonu, to znači da dugujete operateru rublje.

Bilo koji razlomci su racionalni brojevi. Šta mislite kako su nastali? Veoma jednostavno. Prije nekoliko hiljada godina naši su preci otkrili da im nedostaju prirodni brojevi za mjerenje dužine, težine, površine itd. I oni su smislili racionalni brojevi... Zanimljivo, zar ne?

Postoje i iracionalni brojevi. Koji su to brojevi? Ukratko, beskonačan decimalni razlomak. Na primjer, ako podijelite obim kruga njegovim prečnikom, dobićete iracionalan broj.

Prirodni brojevi su brojevi koji se koriste u brojanju, tj. itd.

Cijeli brojevi - svi prirodni brojevi, prirodni brojevi sa minusom i brojem 0.

Razlomci se smatraju racionalnim.

Iracionalni brojevi su beskonačan decimalni razlomak

Stepen sa prirodnim eksponentom

Definirajmo pojam stepena čiji je eksponent prirodan broj (tj. cijeli i pozitivan).

1. Bilo koji broj u prvom stepenu jednak je samom sebi:
2. Kvadratirati broj znači pomnožiti ga sam sa sobom:
3. Kockati broj znači pomnožiti ga sam sa sobom tri puta:

Definicija. Podići broj na prirodni stepen znači pomnožiti broj sam sa sobom puta:

Pojam diplome iz matematike uvodi se u 7. razred na času algebre. I u budućnosti, tokom studija matematike, ovaj koncept se aktivno koristi u svojim različitim oblicima. Stepeni su prilično teška tema, koja zahtijeva pamćenje značenja i sposobnost pravilnog i brzog brojanja. Za brži i bolji rad sa stepenom, matematičari su izmislili svojstva stepena. Oni pomažu da se smanje velika izračunavanja, da se veliki primjer konvertuje u jedan broj u određenoj mjeri. Nema toliko svojstava, a sve ih je lako zapamtiti i primijeniti u praksi. Stoga se u članku razmatraju glavna svojstva diplome, kao i gdje se primjenjuju.

Svojstva diploma

Razmotrit ćemo 12 svojstava stepena, uključujući svojstva stupnjeva sa istim bazama, i dati primjer za svako svojstvo. Svako od ovih svojstava pomoći će vam da brže riješite zadatke na stepenu, kao i da će vas spasiti od brojnih računskih grešaka.

1. vlasništvo.

Mnogi ljudi vrlo često zaborave na ovo svojstvo, prave greške, predstavljajući broj u nultom stepenu kao nulu.

2. vlasništvo.

3rd property.

Morate imati na umu da se ovo svojstvo može primijeniti samo kod množenja brojeva, ne radi sa zbrojem! I ne smijemo zaboraviti da se ova i sljedeća svojstva odnose samo na stupnjeve sa istim bazama.

4th property.

Ako se broj u nazivniku podiže na negativan stepen, tada se tokom oduzimanja, snaga imenioca uzima u zagradi kako bi se pravilno zamijenio predznak u daljim proračunima.

Svojstvo radi samo za dijeljenje, ne vrijedi za oduzimanje!

5. vlasništvo.

6th property.

Ovo svojstvo se može primijeniti u suprotnom smjeru. Jedinica podijeljena brojem je u određenoj mjeri ovaj broj u minus snage.

7th property.

Ovo svojstvo se ne može primijeniti na zbir i razliku! Kada se zbroj ili razlika diže na stepen, koriste se skraćene formule množenja, a ne svojstva stepena.

8. vlasništvo.

9. vlasništvo.

Ovo svojstvo radi za bilo koji razlomak stepena sa brojnikom jednakim jedan, formula će biti ista, samo će se snaga korena promeniti u zavisnosti od nazivnika stepena.

Također, ovo svojstvo se često koristi obrnutim redoslijedom. Korijen bilo kojeg stepena broja može se predstaviti kao broj na stepen jedinice podijeljen potencijom korijena. Ovo svojstvo je vrlo korisno u slučajevima kada se korijen broja ne može izdvojiti.

10. vlasništvo.

Ovo svojstvo radi za više od kvadratnog korijena i drugog stepena. Ako se stepen korijena i stepen do kojeg je ovaj korijen podigao poklapaju, onda će odgovor biti radikalan izraz.

11. vlasništvo.

Morate biti u mogućnosti da vidite ovo svojstvo na vrijeme prilikom donošenja odluke kako biste se spasili velikih kalkulacija.

12. vlasništvo.

Svako od ovih svojstava naići će na vas više puta u zadacima, može se dati u svom čistom obliku ili može zahtijevati neke transformacije i korištenje drugih formula. Dakle, za ispravno rješenje nije dovoljno poznavati samo svojstva, potrebno je uvježbati i povezati ostalo matematičko znanje.

Primjena diploma i njihova svojstva

Aktivno se koriste u algebri i geometriji. Diplome iz matematike imaju posebno, važno mjesto. Uz njihovu pomoć rješavaju se eksponencijalne jednadžbe i nejednačine, a po stupnjevima se često usložnjavaju jednačine i primjeri vezani za druge grane matematike. Stepeni pomažu da se izbjegnu velika i dugačka izračunavanja, stepene je lakše skratiti i izračunati. Ali da biste radili sa velikim stepenima, ili sa stepenima velikih brojeva, morate znati ne samo svojstva stepena, već i kompetentno raditi sa bazama, biti u stanju da ih razložite kako biste olakšali svoj zadatak. Radi praktičnosti, trebali biste znati i značenje brojeva podignutih na stepen. Ovo će skratiti vaše vrijeme donošenja odluka, eliminirajući potrebu za dugim proračunima.

Koncept stepena igra posebnu ulogu u logaritmima. Pošto je logaritam, u suštini, snaga broja.

Skraćene formule za množenje su još jedan primjer upotrebe potencija. Svojstva stupnjeva u njima se ne mogu primijeniti, oni se rastavljaju prema posebnim pravilima, ali su stupnjevi uvijek prisutni u svakoj formuli za skraćeno množenje.

Diplome se također aktivno koriste u fizici i informatici. Svi prijevodi u SI sistem se vrše korištenjem stepena, a u budućnosti se pri rješavanju zadataka primjenjuju svojstva stepena. U informatici se aktivno koriste stupnjevi dvojke, radi lakšeg brojanja i pojednostavljivanja percepcije brojeva. Daljnji proračuni za konverzije mjernih jedinica ili proračuna problema, kao u fizici, se dešavaju koristeći svojstva stepena.

Stepeni su takođe veoma korisni u astronomiji, gde se retko koriste svojstva stepena, ali se sami stepeni aktivno koriste za skraćivanje snimanja različitih veličina i udaljenosti.

Stepeni se koriste i u svakodnevnom životu, kada se računaju površine, zapremine, udaljenosti.

Uz pomoć stepena u svim oblastima nauke se bilježe vrlo velike i vrlo male vrijednosti.

Eksponencijalne jednadžbe i nejednačine

Svojstva stepena zauzimaju posebno mesto upravo u eksponencijalnim jednačinama i nejednačinama. Ovi zadaci su veoma česti, kako na školskom kursu tako i na ispitima. Svi oni se rješavaju primjenom svojstava stepena. Nepoznato je uvijek u samom stepenu, stoga, poznavajući sva svojstva, neće biti teško riješiti takvu jednačinu ili nejednakost.