Bilo koji poligon može ležati u podnožju prizme - trokut, četverokut itd. Obje baze su potpuno iste, pa su prema tome, s kojima su kutovi paralelnih lica međusobno povezani, uvijek paralelne. U osnovi pravilne prizme nalazi se pravilan poligon, to jest onaj u kojem su sve stranice jednake. U ravnoj prizmi, rubovi između bočnih strana okomiti su na bazu. U tom slučaju poligon s bilo kojim brojem kutova može ležati u podnožju ravne prizme. Prizma čija je osnova paralelogram naziva se paralelepiped. Pravokutnik je poseban slučaj paralelograma. Ako ovaj lik leži u podnožju, a bočna lica se nalaze pod pravim kutom u odnosu na bazu, paralelepiped se naziva pravokutnim. Drugo ime ovog geometrijskog tijela je pravokutno.

Kako izgleda

Postoji nekoliko pravokutnih prizmi okruženih modernim čovjekom. Ovo je, na primjer, uobičajeni karton ispod cipela, komponente računara itd. Pogledaj okolo. Čak ćete i u prostoriji vjerojatno vidjeti mnoge pravokutne prizme. Ovo je kućište za računar, polica za knjige, frižider, ormar i mnogi drugi predmeti. Oblik je iznimno popularan uglavnom zato što vam omogućuje da koristite prostor što učinkovitije, bez obzira na to ukrašavate li unutrašnjost ili pakirate stvari u karton prije selidbe.

Svojstva pravokutne prizme

Pravokutna prizma ima niz specifičnih svojstava. Kao par može poslužiti bilo koji par lica, budući da su sva susjedna lica smještena jedno pod drugim pod istim kutom, a taj kut je 90 °. Zapreminu i površinu pravokutne prizme lakše je izračunati nego bilo koju drugu. Uzmite bilo koji predmet u obliku pravokutne prizme. Izmjerite njegovu dužinu, širinu i visinu. Da biste pronašli volumen, dovoljno je pomnožiti ova mjerenja. Odnosno, formula izgleda ovako: V = a * b * h, gdje je V volumen, a i b stranice osnove, h je visina na kojoj se ovo geometrijsko tijelo podudara sa bočnom ivicom. Osnovna površina izračunava se formulom S1 = a * b. Za bočnu površinu najprije morate izračunati opseg baze koristeći formulu P = 2 (a + b), a zatim je pomnožiti s visinom. Ispada formula S2 = P * h = 2 (a + b) * h. Dodajte dva puta osnovnu površinu i bočnu površinu kako biste izračunali ukupnu površinu pravokutne prizme. Dobivate formulu S = 2S1 + S2 = 2 * a * b + 2 * (a + b) * h = 2

Različite prizme nisu iste. Istovremeno, imaju mnogo toga zajedničkog. Da biste pronašli površinu osnove prizme, morate shvatiti kakvu vrstu ima.

Opšta teorija

Prizma je svaki poliedar čije su stranice u obliku paralelograma. Štaviše, bilo koji poliedar može biti u njegovoj osnovi - od trougla do n -kutnika. Štaviše, osnove prizme su uvek jednake jedna drugoj. To se ne odnosi na bočne strane - one se mogu značajno razlikovati po veličini.

Pri rješavanju problema ne susreće se samo područje osnove prizme. Može biti potrebno poznavanje bočne površine, odnosno svih lica koja nisu baze. Puna površina već će biti spoj svih lica koja čine prizmu.

Ponekad zadaci uključuju visinu. Okomita je na baze. Dijagonala poliedra je segment koji u parovima povezuje bilo koja dva vrha koja ne pripadaju istom licu.

Treba napomenuti da površina osnove ravne ili nagnute prizme ne ovisi o kutu između njih i bočnih strana. Ako imaju iste oblike na gornjem i donjem rubu, tada će im površine biti jednake.

Trouglasta prizma

U osnovi ima lik s tri vrha, odnosno trokut. Poznato je da je drugačije. Ako je tada dovoljno zapamtiti da je njegovo područje određeno polovicom proizvoda nogu.

Matematički zapis izgleda ovako: S = ½ av.

Da bi se općenito utvrdilo područje baze, korisne su formule: čaplja i ona u kojoj je polovica stranice podignuta na visinu koja joj je privučena.

Prvu formulu treba napisati ovako: S = √ (p (p-a) (p-c) (p-c)). U ovom zapisu postoji poluperimetar (p), to jest zbir tri strane podijeljen s dva.

Drugo: S = ½ n a * a.

Ako želite znati površinu osnove trokutaste prizme koja je pravilna, tada će se trokut pokazati jednakostraničnim. Za to postoji formula: S = ¼ a 2 * √3.

Četvorougaona prizma

Njegova baza je bilo koji od poznatih četverokuta. To može biti pravokutnik ili kvadrat, paralelepiped ili romb. U svakom slučaju, za izračunavanje površine osnove prizme trebat će vam drugačija formula.

Ako je osnova pravokutnik, tada se njegova površina određuje na sljedeći način: S = ab, gdje su a, b stranice pravokutnika.

Kada je u pitanju četverougaona prizma, osnovna površina pravilne prizme se izračunava pomoću formule za kvadrat. Jer ispostavlja se da je on na dnu. S = a 2.

U slučaju kada je baza paralelepiped, bit će potrebna sljedeća jednakost: S = a * na. Dešava se da su data stranica paralelepipeda i jedan od uglova. Zatim, da biste izračunali visinu, morat ćete upotrijebiti dodatnu formulu: n a = b * sin A. Štaviše, kut A je u blizini stranice "b", a visina je n a suprotna ovom kutu.

Ako u osnovi prizme postoji romb, bit će potrebna ista formula za određivanje njegove površine kao i za paralelogram (budući da je to njegov poseban slučaj). Ali možete koristiti i ovo: S = ½ d 1 d 2. Ovdje su d 1 i d 2 dvije dijagonale romba.

Pravilna peterokutna prizma

Ovaj slučaj uključuje podjelu poligona na trokute čija se područja lakše otkrivaju. Iako se događa da figure mogu biti s različitim brojem vrhova.

Budući da je osnova prizme pravilan peterokut, može se podijeliti na pet jednakostraničnih trokuta. Tada je površina osnove prizme jednaka površini jednog takvog trokuta (formula se može vidjeti gore) pomnožena s pet.

Pravilna šesterokutna prizma

Prema principu opisanom za peterokutnu prizmu, moguće je podijeliti osnovni šesterokut na 6 jednakostraničnih trokuta. Formula za baznu površinu takve prizme slična je prethodnoj. Samo u njemu treba pomnožiti sa šest.

Formula će izgledati ovako: S = 3/2 i 2 * √3.

Zadaci

№ 1. S obzirom na ispravnu ravnu liniju, čija je dijagonala 22 cm, visina poliedra 14 cm. Izračunajte površinu osnove prizme i cijelu površinu.

Rešenje. Osnova prizme je kvadrat, ali njegova strana nije poznata. Njegovu vrijednost možete pronaći iz dijagonale kvadrata (x), koja je povezana s dijagonalom prizme (d) i njegovom visinom (h). x 2 = d 2 - n 2. S druge strane, ovaj segment "x" je hipotenuza u trokutu, čiji su krakovi jednaki stranici kvadrata. To jest, x 2 = a 2 + a 2. Dakle, ispada da je a 2 = (d 2 - n 2) / 2.

Zamijenite 22 umjesto d, a "n" zamijenite njegovom vrijednošću - 14, tada se ispostavlja da je stranica kvadrata 12 cm. Sada samo saznajte površinu baze: 12 * 12 = 144 cm 2 .

Da biste saznali površinu cijele površine, morate dvaput dodati osnovnu površinu i četverostruku stranu. Potonje se lako može pronaći pomoću formule za pravokutnik: pomnožite visinu poliedra i stranicu osnove. Odnosno, 14 i 12, ovaj broj bit će jednak 168 cm 2. Ukupna površina prizme je 960 cm 2.

Odgovor. Osnovna površina prizme je 144 cm 2. Cijela površina iznosi 960 cm 2.

№ 2. Dana U podnožju leži trokut stranice 6 cm, u tom slučaju dijagonala bočne strane je 10 cm. Izračunajte površine: podnožje i bočnu površinu.

Rešenje. Pošto je prizma pravilna, njena osnova je jednakostranični trougao. Stoga je njegova površina jednaka 6 na kvadrat, pomnožena sa ¼ i kvadratnim korijenom iz 3. Jednostavna računica dovodi do rezultata: 9√3 cm 2. Ovo je područje jedne osnove prizme.

Sve bočne strane su iste i pravokutne su stranica 6 i 10 cm. Za izračunavanje njihovih površina dovoljno je pomnožiti ove brojeve. Zatim ih pomnožite s tri, jer postoji točno toliko bočnih strana prizme. Tada se ispostavi da je bočna površina rana od 180 cm 2.

Odgovor. Površine: baza - 9√3 cm 2, bočna površina prizme - 180 cm 2.

Prizma. Paralelepiped

Prizma naziva se poliedar čija su dva lica jednaka n-gonovima (osnova) koji leže u paralelnim ravninama, a preostalih n lica su paralelogrami (bočna lica) . Bočno rebro prizma je stranica bočne strane koja ne pripada bazi.

Zove se prizma čije su bočne ivice okomite na ravnine baza ravno prizma (slika 1). Ako bočni rubovi nisu okomiti na ravnine baza, prizma se naziva koso . Tačno Prizma je ravna prizma čije su osnove pravilni poligoni.

Visina prizmom nazivamo udaljenost između ravnina baza. Dijagonala prizmom se naziva segment koji povezuje dva vrha koji ne pripadaju istom licu. Dijagonalni presjek presjek prizme naziva se ravnina koja prolazi kroz dvije bočne ivice koje ne pripadaju jednom licu. Okomiti presjek presjek prizme naziva se ravnina okomita na bočni rub prizme.

Bočna površina prizma se naziva zbroj površina svih bočnih strana. Cijela površina naziva se zbroj površina svih lica prizme (tj. zbroj površina bočnih lica i površina baza).

Za proizvoljnu prizmu vrijede sljedeće formule:

gdje l- dužina bočnog rebra;

H- visina;

P

P

S strana

S pun

S main- područje baza;

V Je volumen prizme.

Za ravnu prizmu ispravne su sljedeće formule:

gdje str- perimetar baze;

l- dužina bočnog rebra;

H- visina.

Paralelepiped naziva prizma čija je osnova paralelogram. Paralelepiped sa bočnim ivicama okomitim na baze naziva se direktna (slika 2). Ako bočni rubovi nisu okomiti na baze, tada se naziva paralelepiped koso ... Ravni paralelepiped čija je osnova pravokutnik naziva se pravougaona. Pravokutni paralelepiped sa jednakim ivicama naziva se kocka.

Lica paralelepipeda koja nemaju zajedničke vrhove nazivaju se suprotstavljen ... Dužine rubova koji izlaze iz jednog vrha se nazivaju merenja paralelepiped. Budući da je paralelepiped prizma, njegovi glavni elementi definirani su na isti način kao što su definirani za prizme.

Teoreme.

1. Dijagonale paralelepipeda sijeku se u jednoj točki i time se prepolovljuju.

2. U pravokutnom paralelepipedu kvadrat dijagonalne duljine jednak je zbroju kvadrata njegove tri dimenzije:

3. Sve četiri dijagonale pravokutnog paralelepipeda jednake su jedna drugoj.

Za proizvoljni paralelepiped vrijede sljedeće formule:

gdje l- dužina bočnog rebra;

H- visina;

P- obod okomitog presjeka;

P- područje okomitog presjeka;

S strana- bočna površina;

S pun- ukupna površina;

S main- područje baza;

V Je volumen prizme.

Za ravni paralelepiped vrijede sljedeće formule:

gdje str- perimetar baze;

l- dužina bočnog rebra;

H- visina ravnog paralelepipeda.

Za pravokutni paralelopiped ispravne su sljedeće formule:

(3)

gdje str- perimetar baze;

H- visina;

d- dijagonala;

a, b, c- mjerenja paralelepipeda.

Za kocku su sljedeće formule točne:

gdje a- dužina rebra;

d Je dijagonala kocke.

Primjer 1. Dijagonala pravokutnog paralelepipeda je 33 dm, a njegove mjere povezane su kao 2: 6: 9. Pronađite dimenzije paralelepipeda.

Rešenje. Da bismo pronašli dimenzije paralelepipeda, koristimo formulu (3), tj. činjenicom da je kvadrat hipotenuze pravokutnog paralelepipeda jednak zbroju kvadrata njegovih dimenzija. Označimo sa k koeficijent proporcionalnosti. Tada će dimenzije paralelepipeda biti 2 k, 6k i 9 k... Napisimo formulu (3) za podatke o problemu:

Rješavanje ove jednadžbe za k, dobijamo:

To znači da su dimenzije paralelepipeda 6 dm, 18 dm i 27 dm.

Odgovor: 6 dm, 18 dm, 27 dm.

Primjer 2. Pronađite volumen nagnute trokutaste prizme čija je osnova jednakostranični trokut sa stranom od 8 cm, ako je bočni rub jednak stranici osnove i nagnut je pod kutom od 60º prema podnožju.

Rešenje . Napravimo crtež (slika 3).

Da bi se pronašao volumen nagnute prizme, potrebno je znati njenu osnovnu površinu i visinu. Površina osnove ove prizme je površina jednakostraničnog trokuta sa stranicom 8 cm. Izračunajmo je:

Visina prizme je rastojanje između njenih osnova. S vrha A 1 gornje baze, spuštamo okomicu na ravninu donje baze A 1 D... Njegova dužina će biti visina prizme. Razmotrite D A 1 AD: budući da je ovo kut nagiba bočnog rebra A 1 A u ravninu baze, A 1 A= 8 cm. Iz ovog trougla nalazimo A 1 D:

Sada izračunavamo volumen koristeći formulu (1):

Odgovor: 192 cm 3.

Primjer 3. Bočni rub pravilne šesterokutne prizme iznosi 14 cm, a površina najvećeg dijagonalnog presjeka 168 cm 2. Nađi ukupnu površinu prizme.

Rešenje. Napravimo crtež (slika 4)

Najveći dijagonalni presjek - pravokutnik aa 1 DD 1, budući da je dijagonala AD pravilan šesterokut ABCDEF je najveći. Da bi se izračunala površina bočne površine prizme, potrebno je znati stranu baze i dužinu bočnog rebra.

Poznavajući površinu dijagonalnog presjeka (pravokutnika), nalazimo dijagonalu baze.

Od tada

Od tada AB= 6 cm.

Tada je opseg baze:

Pronađimo površinu bočne površine prizme:

Površina pravilnog šesterokuta sa stranom od 6 cm je:

Nađi ukupnu površinu prizme:

Odgovor:

Primjer 4. Osnova pravokutnika je romb. Površine dijagonalnih presjeka su 300 cm 2 i 875 cm 2. Pronađi površinu bočne površine paralelepipeda.

Rešenje. Napravimo crtež (slika 5).

Označimo stranu romba kroz a, dijagonale romba d 1 i d 2, visina paralelepipeda h... Da biste pronašli površinu bočne površine ravnog paralelepipeda, pomnožite opseg baze s visinom: (formula (2)). Obod baze p = AB + BC + CD + DA = 4AB = 4a, jer A B C D- romb. H = AA 1 = h... To. Treba pronaći a i h.

Razmotrite dijagonalne presjeke. aa 1 SS 1 - pravokutnik čija je jedna strana dijagonala romba AS = d 1, drugo je bočno rebro aa 1 = h, onda

Slično za odjeljak BB 1 DD 1 dobijamo:

Koristeći svojstvo paralelograma takvo da je zbir kvadrata dijagonala jednak zbroju kvadrata svih njegovih stranica, dobivamo jednakost.

Područje bočne površine prizme. Zdravo! U ovoj publikaciji ćemo analizirati grupu problema u stereometriji. Razmotrimo kombinaciju tijela - prizmu i cilindar. Uključeno ovaj trenutak Ovaj članak završava čitav niz članaka koji se odnose na razmatranje vrsta zadataka u čvrstoj geometriji.

Ako se novi zadaci pojave u banci zadataka, onda će, naravno, ubuduće biti dodataka na blogu. Ali čak i ono što već postoji dovoljno je da naučite kako riješiti sve probleme kratkim odgovorom u sklopu ispita. Godinama će biti dovoljno materijala (matematički program je statičan).

Predstavljeni zadaci odnose se na proračun površine prizme. Imajte na umu da se dolje razmatra ravna prizma (i, prema tome, ravni cilindar).

Ne znajući nikakve formule, razumijemo da su bočna površina prizme sve njene bočne strane. Za ravnu prizmu bočna lica su pravokutnici.

Bočna površina takve prizme jednaka je zbroju površina svih njenih bočnih strana (to jest pravokutnika). Ako govorimo o pravilnoj prizmi, u koju je upisan cilindar, onda je jasno da su sve strane ove prizme jednaki pravokutnici.

Formalno, površina bočne površine pravilne prizme može se odraziti na sljedeći način:

27064. Opisana je pravilna četverougaona prizma oko valjka čiji su radijus i visina osnove jednaki 1. Pronađite površinu bočne površine prizme.

Bočna površina ove prizme sastoji se od četiri pravokutnika jednake površine. Visina lica je 1, rub osnove prizme je 2 (to su dva radijusa cilindra), stoga je površina bočne strane:

Bočna površina:

73023. Pronađite površinu bočne površine pravilne trokutaste prizme opisane oko cilindra čiji je radijus osnove √0,12, a visina 3.

Bočna površina ove prizme jednaka je zbroju površina tri bočna lica (pravokutnika). Da biste pronašli područje bočne strane, morate znati njezinu visinu i dužinu ruba osnove. Visina je tri. Pronađimo dužinu ruba baze. Razmislite o projekciji (pogled odozgo):

Imamo pravilan trokut u koji je upisan krug polumjera √0,12. Iz pravokutnog trokuta AOC možemo pronaći AC. Zatim AD (AD = 2AC). Po definiciji tangente:

Dakle AD = 2AS = 1.2. Dakle, bočna površina jednaka je:

27066. Pronađite površinu bočne površine pravilne šesterokutne prizme opisane oko cilindra čiji je radijus osnove √75, a visina 1.

Tražena površina jednaka je zbroju površina svih bočnih strana. Za pravilnu šesterokutnu prizmu, bočne strane jednaki su pravokutnici.

Da biste pronašli površinu lica, morate znati njegovu visinu i dužinu ruba osnove. Visina je poznata, jednaka je 1.

Pronađimo dužinu ruba baze. Razmislite o projekciji (pogled odozgo):

Imamo pravilan šesterokut u koji je upisan krug polumjera √75.

Razmotrimo pravokutni trokut ABO. Znamo OB nogu (ovo je polumjer cilindra). možemo odrediti i kut AOB, jednak je 300 (trokut AOC je jednakostraničan, OB je simetrala).

Upotrijebimo definiciju tangente u pravokutnom trokutu:

AC = 2AB, budući da je OB medijana, odnosno dijeli AC na pola, što znači AC = 10.

Dakle, površina bočne strane je 1 ∙ 10 = 10, a površina bočne površine je:

76485. Pronađite površinu bočne površine pravilne trokutaste prizme upisane u cilindar s radijusom osnove 8√3 i visinom 6.

Bočna površina navedene prizme od tri lica jednake površine (pravokutnika). Da biste pronašli područje, morate znati dužinu ruba osnove prizme (znamo visinu). Ako uzmemo u obzir projekciju (pogled odozgo), tada imamo pravilan trokut upisan u krug. Stranica ovog trokuta izražena je u radijusu kao:

Detalji ove veze. Tako će biti jednako

Tada je površina bočne strane: 24 ∙ 6 = 144. I potrebno područje:

245354. Pravilna četverougaona prizma opisana je oko valjka čiji je radijus osnove 2. Površina bočne površine prizme je 48. Nađite visinu cilindra.

Poliedri

Glavni predmet proučavanja stereometrije su prostorna tijela. Body je dio prostora omeđen određenom površinom.

Poliedar naziva se tijelo čija se površina sastoji od konačnog broja ravnih poligona. Poliedar se naziva konveksan ako se nalazi na jednoj strani ravnine svakog ravnog poligona na njegovoj površini. Zajednički dio takve ravni i površina poliedra naziva se rub... Lica konveksnog politopa ravni su konveksni poligoni. Stranice lica se nazivaju rubovi poliedra a vrhovi su temena poliedra.

Na primjer, kocka se sastoji od šest kvadrata koji su njena lica. Sadrži 12 rubova (stranice kvadrata) i 8 vrhova (vrhovi kvadrata).

Najjednostavniji poliedri su prizme i piramide, koje ćemo dalje proučavati.

Prizma

Definicija i svojstva prizme

Prizma naziva se poliedar koji se sastoji od dva ravna poligona koji leže u paralelnim ravninama spojeni paralelnim translacijom i svih segmenata koji povezuju odgovarajuće točke tih poligona. Poligoni se zovu osnove prizme, a segmenti koji povezuju odgovarajuće vrhove poligona su bočne ivice prizme.

Visina prizme naziva se udaljenost između ravnina njegovih baza (). Segment koji povezuje dva vrha prizme koji ne pripadaju istom licu naziva se dijagonalna prizma(). Prizma se naziva n-sided ako u njegovoj bazi postoji n-kut.

Svaka prizma ima sljedeća svojstva, koja proizlaze iz činjenice da su osnove prizme poravnate paralelnim prijenosom:

1. Osnove prizme su jednake.

2. Bočne ivice prizme su paralelne i jednake.

Površinu prizme čine baze i bočna površina... Bočna površina prizme sastoji se od paralelograma (to proizlazi iz svojstava prizme). Površina bočne površine prizme je zbir površina bočnih lica.

Ravna prizma

Prizma se naziva ravno ako su mu bočni rubovi okomiti na baze. U suprotnom se prizma naziva koso.

Lica ravne prizme su pravokutnici. Visina ravne prizme jednaka je njenim bočnim stranama.

Puna površina prizme naziva se zbroj bočne površine i površina baza.

Ispravna prizma koja se naziva ravna prizma sa pravilnim poligonom u osnovi.

Teorem 13.1... Površina bočne površine ravne prizme jednaka je proizvodu perimetra po visini prizme (ili, što je isto, po bočnoj ivici).

Dokaz. Bočne strane ravne prizme su pravokutnici čije su osnove stranice poligona na osnovama prizme, a visine su bočne ivice prizme. Tada je, po definiciji, bočna površina:

,

gdje je opseg osnove ravne prizme.

Paralelepiped

Ako postoje paralelogrami u bazama prizme, tada se naziva paralelepiped... Sva lica paralelepipeda su paralelogrami. U ovom slučaju, suprotna lica paralelepipeda su paralelna i jednaka.

Teorem 13.2... Dijagonale paralelepipeda se sijeku u jednoj tački, a tačka sjecišta je prepolovljena.

Dokaz. Razmotrimo dvije proizvoljne dijagonale, na primjer, i. Jer lica paralelepipeda su paralelogrami, tada i i, prema tome, prema T o dvije prave linije paralelne s trećom. Osim toga, to znači da prave i leže u istoj ravnini (ravnini). Ova ravnina siječe paralelne ravnine i duž paralelnih pravaca i. Dakle, četverokut je paralelogram, a po svojstvu paralelograma njegove dijagonale i siječi se, a točka sjecišta je podijeljena na pola, što smo morali dokazati.

Zove se pravokutni paralelepiped čija je osnova pravokutnik pravokutnog paralelepipeda... Sva lica pravokutnog paralelepipeda su pravokutnici. Dužine neparalelnih rubova pravokutnog paralelepipeda nazivaju se njegove linearne dimenzije (mjere). Postoje tri takve veličine (širina, visina, dužina).

Teorem 13.3... U pravokutnom paralelepipedu kvadrat bilo koje dijagonale jednak je zbroju kvadrata njegove tri dimenzije (dokazano uz pomoć dvostruke primjene T Pitagore).

Pravokutni paralelepiped sa jednakim ivicama naziva se kocka.

Zadaci

13.1 Koliko dijagonala radi n- ugaona prizma

13.2 U nagnutoj trokutastoj prizmi, udaljenosti između bočnih rubova su 37, 13 i 40. Nađite udaljenost između veće bočne ivice i suprotne bočne ivice.

13.3 Kroz stranicu donje osnove pravilne trokutaste prizme povučena je ravnina koja siječe bočna lica duž segmenata, kut između kojih. Nađi kut nagiba ove ravnine prema bazi prizme.