Faktorovanje složenih brojeva u proste faktore. Prosti i složeni brojevi

Repair

Bilo koji složeni broj može se predstaviti kao proizvod njegovih prostih djelitelja:

28 = 2 2 7

Desne strane rezultirajućih jednakosti se nazivaju početna faktorizacija brojevi 15 i 28.

Faktorirati dati složeni broj u proste faktore znači predstaviti ovaj broj kao proizvod njegovih prostih faktora.

Dekompozicija datog broja na proste faktore izvodi se na sljedeći način:

Prvo treba da izaberete najmanji prost broj iz tabele prostih brojeva koji deli dati složeni broj bez ostatka i izvršite deljenje.
Zatim morate ponovo odabrati najmanji prost broj kojim će se već dobijeni količnik podijeliti bez ostatka.
Druga radnja se ponavlja dok se ne dobije jedan u količniku.

Kao primjer, razložimo broj 940 na proste faktore. Pronađite najmanji prost broj koji dijeli 940. Ovaj broj je 2:

Sada biramo najmanji prost broj koji je djeljiv sa 470. Ovaj broj je opet 2:

Najmanji prost broj koji je djeljiv sa 235 je 5:

Broj 47 je prost, što znači najmanji prost broj, koji dijeli 47, bit će sam ovaj broj:

Tako dobijamo broj 940, rastavljen u proste faktore:

940 = 2 470 = 2 2 235 = 2 2 5 47

Ako je dekompozicija broja na proste faktore rezultirala sa nekoliko identičnih faktora, onda se radi kratkoće mogu zapisati u obliku stepena:

940 = 2 2 5 47

Najpogodnije je zapisati dekompoziciju na proste faktore na sljedeći način: prvo zapišemo ovaj složeni broj i povučemo okomitu liniju desno od njega:

Desno od linije pišemo najmanji prosti djelitelj kojim je dati složeni broj podijeljen:

Izvodimo dijeljenje i rezultujući količnik zapisujemo ispod dividende:

Sa količnikom postupamo na isti način kao i sa datim složenim brojem, tj. odaberemo najmanji prost broj kojim je djeljiv bez ostatka i izvršimo dijeljenje. I ponavljamo ovo dok ne dobijemo jedinicu u količniku:

Imajte na umu da ponekad može biti prilično teško razložiti broj u proste faktore, jer tokom faktorizacije možemo naići na veliki broj za koji je teško odmah odrediti da li je prost ili kompozitni. A ako je složen, onda nije uvijek lako pronaći njegov najmanji prosti djelitelj.

Pokušajmo, na primjer, faktorizirati broj 5106 u proste faktore:

Nakon dostizanja količnika 851, teško je odmah odrediti njegov najmanji djelitelj. Okrećemo se tabeli prostih brojeva. Ako u njemu postoji broj koji nas dovodi u poteškoću, onda je djeljiv samo sam sa sobom i jedinicom. Broj 851 se ne nalazi u tabeli prostih brojeva, što znači da je složen. Ostaje samo da ga podijelimo sekvencijalnim pretraživanjem na proste brojeve: 3, 7, 11, 13, ..., i tako dalje dok ne nađemo odgovarajući prosti djelitelj. Grubom silom nalazimo da je 851 deljivo sa brojem 23.

Šta znači faktoring? Kako uraditi? Šta možete naučiti iz rastavljanja broja u proste faktore? Odgovori na ova pitanja ilustrirani su konkretnim primjerima.

definicije:

Broj koji ima tačno dva različita djelitelja naziva se prost.

Broj koji ima više od dva djelitelja naziva se složen.

Proširiti prirodni broj faktorizovati znači predstaviti ga kao proizvod prirodnih brojeva.

Faktorirati prirodni broj u proste činioce znači predstaviti ga kao proizvod prostih brojeva.

napomene:

U proširenju prostog broja, jedan od faktora jednako jedan, a drugi - na sam ovaj broj.
Nema smisla govoriti o faktorskom jedinstvu.
Složeni broj može se razložiti u faktore, od kojih je svaki različit od 1.

	Razložimo broj 150 na faktor. Na primjer, 150 je 15 puta 10. 15 je složeni broj. Može se rastaviti na osnovne faktore 5 i 3. 10 je složeni broj. Može se rastaviti na osnovne faktore 5 i 2. Upisujući njihove dekompozicije na proste faktore umjesto na 15 i 10, dobili smo dekompoziciju broja 150.
	Broj 150 može se razložiti na drugi način. Na primjer, 150 je proizvod brojeva 5 i 30. 5 je prost broj. 30 je složeni broj. Može se smatrati proizvodom 10 i 3. 10 je složeni broj. Može se rastaviti na osnovne faktore 5 i 2. Dobili smo faktorizaciju 150 u proste faktore na drugačiji način.
	Imajte na umu da su prvo i drugo proširenje iste. Razlikuju se samo po redoslijedu faktora. Uobičajeno je pisati faktore uzlaznim redoslijedom.
Svaki složeni broj može se razložiti u proste faktore na jedinstven način, do reda faktora.

Tokom raspadanja veliki brojevi Za primarne faktore koristite notaciju stupaca:

Najmanji prost broj koji je djeljiv sa 216 je 2.

Podijelite 216 sa 2. Dobijamo 108.

Rezultirajući broj 108 podijeljen je sa 2.

Uradimo podjelu. Rezultat je 54.

Prema testu djeljivosti sa 2, broj 54 je djeljiv sa 2.

Nakon dijeljenja, dobijamo 27.

Broj 27 završava se neparnom cifrom 7. To

Nije djeljivo sa 2. Sljedeći prost broj je 3.

Podijelite 27 sa 3. Dobijamo 9. Najmanje prosto

Broj sa kojim je 9 deljivo je 3. Tri je sam po sebi prost broj, deljiv je sam sa sobom i jedan. Podijelimo 3 sami. Na kraju smo dobili 1.

Broj je djeljiv samo onim prostim brojevima koji su dio njegove dekompozicije.
Broj je djeljiv samo na one složene brojeve čija je dekompozicija na proste faktore u potpunosti sadržana u njemu.

Pogledajmo primjere:

4900 je djeljivo prostim brojevima 2, 5 i 7 (oni su uključeni u proširenje broja 4900), ali nije djeljivo sa, na primjer, 13.

11 550 75. To je tako jer je dekompozicija broja 75 u potpunosti sadržana u dekompoziciji broja 11550.

Rezultat dijeljenja će biti proizvod faktora 2, 7 i 11.

11550 nije djeljivo sa 4 jer postoji dodatna dva u proširenju četiri.

Naći količnik dijeljenja broja a brojem b, ako se ovi brojevi razlože na proste faktore na sljedeći način: a=2∙2∙2∙3∙3∙3∙5∙5∙19; b=2∙2∙3∙3∙5∙19

Dekompozicija broja b u potpunosti je sadržana u dekompoziciji broja a.

Rezultat dijeljenja a sa b je proizvod tri broja preostala u proširenju a.

Dakle, odgovor je: 30.

Bibliografija

Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematika 6. - M.: Mnemosyne, 2012.
Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Matematika 6. razred. - Gimnazija. 2006.
Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. Iza stranica udžbenika matematike. - M.: Obrazovanje, 1989.
Rurukin A.N., Čajkovski I.V. Zadaci za predmet matematike za 5-6 razred. - M.: ZŠ MEPhI, 2011.
Rurukin A.N., Sočilov S.V., Čajkovski K.G. Matematika 5-6. Priručnik za učenike 6. razreda dopisne škole MEPhI. - M.: ZŠ MEPhI, 2011.
Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O., Volkov M.V. Matematika: Udžbenik-sagovornik za 5-6 razred srednja škola. - M.: Obrazovanje, Biblioteka nastavnika matematike, 1989.

Internet portal Matematika-na.ru ().
Internet portal Math-portal.ru ().

Zadaća

Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematika 6. - M.: Mnemosyne, 2012. br. 127, br. 129, br. 141.
Ostali zadaci: br. 133, br. 144.

Šta znači faktoring? To znači pronalaženje brojeva čiji je proizvod jednak originalnom broju.

Da bismo razumjeli šta znači faktor, pogledajmo primjer.

Primjer faktoringa broja

Faktor broj 8.

Broj 8 se može predstaviti kao proizvod 2 sa 4:

Predstavljanje 8 kao proizvoda 2 * 4 znači faktorizaciju.

Imajte na umu da ovo nije jedina faktorizacija od 8.

Na kraju krajeva, 4 je razloženo na faktore ovako:

Odavde 8 može biti predstavljeno:

8 = 2 * 2 * 2 = 2 3

Hajde da proverimo naš odgovor. Hajde da nađemo čemu je faktorizacija jednaka:

Odnosno, dobili smo originalni broj, odgovor je tačan.

Faktori broj 24 u proste faktore

Kako rastaviti broj 24 na proste faktore?

Broj se naziva prostim ako je djeljiv samo jednim i samim sobom.

Broj 8 se može predstaviti kao proizvod 3 sa 8:

Ovdje je broj 24 faktoriziran. Ali zadatak kaže "razbijte broj 24 u proste faktore", tj. To su primarni faktori koji su potrebni. I u našoj ekspanziji, 3 je prost faktor, a 8 nije prost faktor.

Bilo koji složeni broj može se razložiti u proste faktore. Može postojati nekoliko metoda razgradnje. Bilo koja metoda daje isti rezultat.

Kako rastaviti broj u proste faktore većinu na zgodan način? Pogledajmo kako to najbolje učiniti na konkretnim primjerima.

Primjeri. 1) Faktori broj 1400 u proste faktore.

1400 je djeljivo sa 2. 2 je prost broj, nema potrebe da se čini faktorima. Dobijamo 700. Podijelimo sa 2. Dobijamo 350. Također dijelimo 350 sa 2. Dobiveni broj 175 može se podijeliti sa 5. Rezultat je 35 - podijeliti ponovo sa 5. Ukupno - 7. Može se podijeliti samo sa 7. Dobijamo 1, podjela je završena.

Isti broj se može različito faktorisati:

Zgodno je podijeliti 1400 sa 10. 10 nije prost broj, pa ga treba rastaviti na proste faktore: 10=2∙5. Rezultat je 140. Ponovo ga dijelimo sa 10=2∙5. Dobijamo 14. Ako se 14 podijeli sa 14, onda i njega treba razložiti na proizvod prostih faktora: 14=2∙7.

Tako smo ponovo došli do iste dekompozicije kao u prvom slučaju, ali brže.

Zaključak: prilikom dekompozicije broja nije potrebno dijeliti ga samo na proste činioce. Dijelimo onim što je zgodnije, na primjer, sa 10. Samo trebate zapamtiti da složene djelitelje razložite na jednostavne činioce.

2) Faktori broj 1620 u proste faktore.

Najpogodniji način da se broj 1620 podijeli sa 10. Pošto 10 nije prost broj, predstavljamo ga kao proizvod prostih faktora: 10=2∙5. Dobili smo 162. Zgodno ga je podijeliti sa 2. Rezultat je 81. Broj 81 se može podijeliti sa 3, ali je zgodnije sa 9. Pošto 9 nije prost broj, proširimo ga kao 9=3∙3. Dobijamo 9. Također ga podijelimo sa 9 i proširimo u proizvod prostih faktora.

Šta se desilo faktorizacija? Ovo je način da se nezgodan i složen primjer pretvori u jednostavan i sladak.) Vrlo moćna tehnika! Nalazi se na svakom koraku kako u osnovnoj tako i u višoj matematici.

Takve transformacije u matematičkom jeziku nazivaju se identičnim transformacijama izraza. Za one koji nisu upoznati, pogledajte link. Tu je vrlo malo, jednostavno i korisno.) Značenje svake transformacije identiteta je snimanje izraza u drugom obliku zadržavajući svoju suštinu.

Značenje faktorizacija krajnje jednostavno i jasno. Odmah iz samog imena. Možda ćete zaboraviti (ili ne znate) šta je množitelj, ali možete shvatiti da ova riječ dolazi od riječi "množiti"?) Faktoring znači: predstavljaju izraz u obliku množenja nečega nečim. Neka mi oproste matematika i ruski jezik...) To je sve.

Na primjer, trebate proširiti broj 12. Možete sigurno napisati:

Dakle, predstavili smo broj 12 kao množenje 3 sa 4. Imajte na umu da su brojevi na desnoj strani (3 i 4) potpuno drugačiji nego na lijevoj (1 i 2). Ali mi savršeno dobro razumijemo da su 12 i 3 4 isto. Suština broja 12 iz transformacije nije se promijenilo.

Da li je moguće razložiti 12 drugačije? Lako!

12=3·4=2·6=3·2·2=0,5·24=........

Opcije dekompozicije su beskrajne.

Faktoring brojeva je korisna stvar. Mnogo pomaže, na primjer, kada radite s korijenima. Ali faktoriranje algebarskih izraza nije samo korisno, nego jeste neophodno! Samo na primjer:

Pojednostavite:

Oni koji ne znaju kako da faktorizuju izraz ostaju po strani. Oni koji znaju kako - pojednostavite i dobiju:

Efekat je nevjerovatan, zar ne?) Inače, rješenje je prilično jednostavno. Uvjerićete se u nastavku. Ili, na primjer, ovaj zadatak:

Riješite jednačinu:

x 5 - x 4 = 0

Usput, odlučuje se u mislima. Korištenje faktorizacije. U nastavku ćemo riješiti ovaj primjer. odgovor: x 1 = 0; x 2 = 1.

Ili, ista stvar, ali za starije):

Riješite jednačinu:

U ovim primjerima sam pokazao glavna svrha faktorizacija: pojednostavljivanje frakcijskih izraza i rješavanje nekih vrsta jednačina. Preporučujem da zapamtite pravilo:

Ako pred sobom imamo strašni frakcijski izraz, možemo pokušati rastaviti brojnik i nazivnik. Vrlo često se razlomak smanjuje i pojednostavljuje.

Ako imamo jednadžbu ispred sebe, gdje je na desnoj strani nula, a na lijevoj - ne razumijem šta, možemo pokušati razložiti lijevu stranu. Ponekad pomaže).

Osnovne metode faktorizacije.

Evo ih, najpopularnijih metoda:

4. Proširivanje kvadratnog trinoma.

Ove metode se moraju zapamtiti. Tačno tim redosledom. Provjeravaju se složeni primjeri za sve mogući načini raspadanje. I bolje je provjeravati redom kako se ne bi zbunili... Pa krenimo redom.)

1. Izuzimanje zajedničkog faktora iz zagrada.

Jednostavan i pouzdan način. Ništa loše ne dolazi od njega! Desi se ili dobro ili nikako.) Zato je on na prvom mjestu. Hajde da to shvatimo.

Svi znaju (vjerujem!) pravilo:

a(b+c) = ab+ac

Ili više opšti pogled:

a(b+c+d+.....) = ab+ac+ad+....

Sve jednakosti rade i s lijeva na desno i obrnuto, s desna na lijevo. Možete napisati:

ab+ac = a(b+c)

ab+ac+ad+.... = a(b+c+d+.....)

To je cijela poenta uzimanja zajedničkog faktora iz zagrada.

Na lijevoj strani A - zajednički množitelj za sve termine. Pomnoženo sa svime što postoji). Na desnoj strani je najviše A se već nalazi izvan zagrada.

Praktična upotreba Pogledajmo metodu koristeći primjere. U početku je opcija jednostavna, čak primitivna.) Ali na ovoj opciji ću napomenuti ( zeleno) Vrlo važne tačke za bilo koju faktorizaciju.

Faktoriziraj:

ah+9x

Koji general da li se množitelj pojavljuje u oba izraza? X, naravno! Izbacićemo to iz zagrada. Uradimo ovo. Odmah pišemo X izvan zagrada:

ax+9x=x(

A u zagradi pišemo rezultat dijeljenja svaki termin baš na ovom X. U redu:

To je sve. Naravno, nema potrebe to tako detaljno opisivati, to se radi u mislima. Ali preporučljivo je razumjeti šta je šta). Zapisujemo u memoriju:

Zajednički faktor pišemo izvan zagrada. U zagradama pišemo rezultate dijeljenja svih pojmova ovim zajedničkim faktorom. U redu.

Dakle, proširili smo izraz ah+9x po množiteljima. Pretvorio je u množenje x sa (a+9). Napominjem da je u originalnom izrazu bilo i množenje, čak dva: a·x i 9·x. Ali to nije faktorizovano! Jer pored množenja, ovaj izraz je sadržavao i zbrajanje, znak “+”! I u izrazu x(a+9) Ne postoji ništa osim množenja!

Kako to!? - čujem ogorčeni glas naroda - I u zagradi!?)

Da, postoji zbrajanje unutar zagrada. Ali trik je u tome što dok zagrade nisu otvorene, mi ih razmatramo kao jedno slovo. I sve radnje radimo sa zagradama u potpunosti, kao sa jednim slovom. U tom smislu, u izrazu x(a+9) Ne postoji ništa osim množenja. Ovo je cijela poenta faktorizacije.

Usput, da li je moguće nekako provjeriti da li smo sve uradili kako treba? Lako! Dovoljno je da pomnožite ono što ste izbacili (x) zagradama i vidite da li radi original izraz? Ako radi, sve je super!)

x(a+9)=ax+9x

Desilo se.)

U ovom primitivnom primjeru nema problema. Ali ako postoji nekoliko pojmova, pa čak i sa različiti znakovi... Ukratko, svaki treći učenik zabrlja). dakle:

Ako je potrebno, provjerite faktorizaciju inverznim množenjem.

Faktoriziraj:

3ax+9x

Tražimo zajednički faktor. Pa sa X je sve jasno, može se izvaditi. Ima li još general faktor? Da! Ovo je trojka. Izraz možete napisati ovako:

3x+3 3x

Ovdje je odmah jasno da će zajednički faktor biti 3x. Evo ga izvadimo:

3x+3 3x=3x(a+3)

Raširiti.

Šta će se desiti ako ga izvadite samo x? Ništa posebno:

3ax+9x=x(3a+9)

Ovo će također biti faktorizacija. Ali u ovome uzbudljiv proces Uobičajeno je da se sve rasporedi što je dalje moguće dok je to moguće. Ovdje u zagradama postoji prilika za izbacivanje trojke. Ispostaviće se:

3ax+9x=x(3a+9)=3x(a+3)

Ista stvar, samo sa jednom dodatnom radnjom.) Zapamtite:

Prilikom uzimanja zajedničkog faktora iz zagrada, pokušavamo da izvadimo maksimum zajednički faktor.

Hoćemo li nastaviti zabavu?)

Faktorirajte izraz:

3akh+9h-8a-24

Šta ćemo oduzeti? Tri, X? Ne... Ne možeš. Podsjećam vas da možete samo izvaditi general multiplikator tj u svemu termini izraza. Zato je on general. Ovdje nema tog množitelja... Šta, ne morate ga širiti!? Pa da, bili smo presrećni... Upoznajte:

2. Grupisanje.

Zapravo, teško je imenovati grupu na nezavisan način faktorizacija. To je više način da se izađe složen primjer.) Moramo grupisati pojmove tako da sve funkcionira. To se može pokazati samo primjerom. Dakle, imamo izraz:

3akh+9h-8a-24

Jasno je da neki uobičajena slova i brojevi su tu. ali... Generale ne postoji multiplikator koji bi bio u svim terminima. Nemojmo klonuti duhom i razbiti izraz na komade. Grupisanje. Tako da svaki komad ima zajednički faktor, ima se šta oduzeti. Kako da ga razbijemo? Da, samo stavljamo zagrade.

Da vas podsjetim da se zagrade mogu staviti bilo gdje i kako god želite. Samo suština primjera nije se promijenilo. Na primjer, možete učiniti ovo:

3akh+9h-8a-24=(3ah+9h)-(8a+24)

Obratite pažnju na druge zagrade! Prethodi im znak minus i 8a I 24 postalo pozitivno! Ako, radi provjere, otvorimo zagrade natrag, znakovi će se promijeniti, i dobićemo original izraz. One. suština izraza iz zagrada se nije promijenila.

Ali ako ste upravo umetnuli zagrade bez uzimanja u obzir promjene predznaka, na primjer, ovako:

3akh+9h-8a-24=(3x+9x) -(8a-24 )

to bi bila greška. Desno - već ostalo izraz. Otvorite zagrade i sve će postati vidljivo. Ne morate dalje da odlučujete, da...)

No, vratimo se faktorizaciji. Pogledajmo prve zagrade (3x+9x) i mislimo, postoji li nešto što možemo izvaditi? Pa, riješili smo ovaj primjer iznad, možemo ga uzeti 3x:

(3x+9x)=3x(a+3)

Proučimo druge zagrade, tamo možemo dodati osmicu:

(8a+24)=8(a+3)

Naš ceo izraz će biti:

(3ax+9x)-(8a+24)=3x(a+3)-8(a+3)

Faktorisano? br. Rezultat razgradnje bi trebao biti samo množenje ali kod nas znak minus sve pokvari. Ali... Oba pojma imaju zajednički faktor! Ovo (a+3). Nisam uzalud rekao da su čitave zagrade takoreći jedno slovo. To znači da se ove zagrade mogu izvaditi iz zagrada. Da, upravo tako zvuči.)

Radimo kako je gore opisano. Pišemo zajednički faktor (a+3), u drugoj zagradi upisujemo rezultate dijeljenja pojmova sa (a+3):

3x(a+3)-8(a+3)=(a+3)(3x-8)

Sve! Na desnoj strani nema ništa osim množenja! To znači da je faktorizacija uspješno završena!) Evo ga:

3ax+9x-8a-24=(a+3)(3x-8)

Da ukratko ponovimo suštinu grupe.

Ako izraz nije general multiplikator za svima termine, rastavljamo izraz u zagrade tako da se unutar zagrada nalazi zajednički faktor bio. Izvadimo ga i vidimo šta će biti. Ako imate sreće i u zagradama su ostali apsolutno identični izrazi, pomeramo ove zagrade iz zagrada.

Dodaću da je grupisanje kreativan proces). Ne uspije uvijek prvi put. Uredu je. Ponekad morate zamijeniti uslove i razmisliti različite varijante grupe dok se ne pronađe uspješan. Ovdje je glavna stvar ne klonuti duhom!)

Primjeri.

Sada, obogativši se znanjem, možete riješiti škakljive primjere.) Na početku lekcije bila su tri ovakva...

Pojednostavite:

U suštini, ovaj primjer smo već riješili. Mi sami ne znamo.) Podsjećam vas: ako nam je dat užasan razlomak, pokušavamo rastaviti brojilac i imenilac. Druge opcije pojednostavljenja jednostavno ne.

Pa imenilac ovde nije proširen, već brojilac... Brojilac smo već proširili tokom lekcije! Volim ovo:

3ax+9x-8a-24=(a+3)(3x-8)

Rezultat proširenja zapisujemo u brojilac razlomka:

Prema pravilu redukcije razlomaka (glavno svojstvo razlomka), možemo podijeliti (istovremeno!) brojilac i imenilac istim brojem, odnosno izrazom. Dio iz ovoga se ne mijenja. Dakle, podijelimo brojilac i imenilac izrazom (3x-8). I tu i tamo ćemo ih dobiti. Konačan rezultat pojednostavljenja:

Želio bih posebno naglasiti: smanjenje razlomka je moguće ako i samo ako u brojniku i nazivniku, pored množenja izraza nema ničega. Zato je transformacija zbira (razlike) u množenje toliko važno za pojednostavljenje. Naravno, ako su izrazi drugačiji, onda se ništa neće smanjiti. Desiće se. Ali faktorizacija daje šansu. Ova šansa bez dekompozicije jednostavno ne postoji.

Primjer sa jednadžbom:

Riješite jednačinu:

x 5 - x 4 = 0

Izbacujemo zajednički faktor x 4 van zagrada. Dobijamo:

x 4 (x-1)=0

Shvatili smo da je proizvod faktora jednak nuli tada i samo tada, kada je bilo koji od njih nula. Ako ste u nedoumici, pronađite mi nekoliko brojeva koji nisu nula koji će, kada se pomnože, dati nulu.) Dakle, pišemo, prvo prvi faktor:

Uz takvu jednakost, drugi faktor nas se ne tiče. Bilo ko može, ali na kraju će i dalje biti nula. Koji broj na četvrti stepen daje nula? Samo nula! I ništa drugo... Stoga:

Otkrili smo prvi faktor i pronašli jedan korijen. Pogledajmo drugi faktor. Sada nas više ne zanima prvi faktor.):

Ovdje smo pronašli rješenje: x 1 = 0; x 2 = 1. Bilo koji od ovih korijena odgovara našoj jednadžbi.

Veoma važna napomena. Napominjemo da smo riješili jednačinu komad po komad! Svaki faktor je bio jednak nuli, bez obzira na druge faktore. Inače, ako u takvoj jednačini ne postoje dva faktora, kao što je naš, već tri, pet, koliko hoćete, riješićemo slično. Komad po komad. Na primjer:

(x-1)(x+5)(x-3)(x+2)=0

Svako ko otvori zagrade i sve pomnoži, zaglaviće se u ovoj jednačini zauvek.) Ispravan učenik će odmah videti da na levoj strani nema ništa osim množenja, a na desnoj nula. I on će početi (u svom umu!) da izjednačava sve zagrade u nulu. I on će dobiti (za 10 sekundi!) tačno rješenje: x 1 = 1; x 2 = -5; x 3 = 3; x 4 = -2.

Cool, zar ne?) Ovako elegantno rješenje je moguće ako je lijeva strana jednadžbe faktorizirano. Imate nagoveštaj?)

Pa, posljednji primjer, za starije):

Riješite jednačinu:

Donekle je sličan prethodnom, zar ne?) Naravno. Vrijeme je da se prisjetimo da se u algebri sedmog razreda ispod slova mogu sakriti sinusi, logaritmi i sve ostalo! Faktoring djeluje u cijeloj matematici.

Izbacujemo zajednički faktor LG 4 x van zagrada. Dobijamo:

log 4 x=0

Ovo je jedan korijen. Pogledajmo drugi faktor.

Evo konačnog odgovora: x 1 = 1; x 2 = 10.

Nadam se da ste shvatili moć faktoringa u pojednostavljivanju razlomaka i rješavanju jednačina.)

U ovoj lekciji naučili smo o uobičajenom faktoringu i grupisanju. Ostaje razumjeti formule za skraćeno množenje i kvadratni trinom.