Kanalieva Dana

U ovom radu proučavali smo i analizirali manifestaciju brojeva Fibonaccijevog niza u stvarnosti koja nas okružuje. Pronašli smo nevjerojatnu matematičku vezu između broja spirala u biljkama, broja grana u bilo kojoj vodoravnoj ravni i broja Fibonaccijevog niza. Takođe smo vidjeli rigoroznu matematiku u ljudskoj strukturi. Molekula ljudske DNK, u kojoj je šifriran čitav program za razvoj čovjeka, respiratorni sistem, struktura uha - sve se pokorava određenim numeričkim omjerima.

Uvjerili smo se da priroda ima svoje zakone izražene matematikom.

A matematika je vrlo važan alat za učenje tajne prirode.

Skinuti:

Preview:

MBOU "Prvomajska srednja škola"

Okrug Orenburg regije Orenburg

ISTRAŽIVANJE

"Zagonetka brojeva

Fibonacci "

Dovršila: Kanalieva Dana

Učenik 6. razreda

Naučni savetnik:

Gazizova Valeria Valerievna

Nastavnik matematike najviše kategorije

p. Eksperimentalno

2012g

Objašnjenje ………………………………………………………………… ........ 3.

Uvod. Istorija Fibonaccijevih brojeva. ........................................... ................. ...... 4.

Poglavlje 1. Fibonačijevi brojevi u divljini ....... ....... …………………………………... pet.

Poglavlje 2. Fibonačijeva spirala ............................................ . .......... …………… ..... devet.

Poglavlje 3. Fibonačijevi brojevi u ljudskim izumima ......... …………………………… .. 13

Poglavlje 4. Naše istraživanje …………………………………………………………… .... 16.

Poglavlje 5. Zaključak, zaključci ………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………… … .. 19.

Popis korištene literature i Internet stranica ………………………………… ........ 21.

Predmet proučavanja:

Čovjek, matematičke apstrakcije koje je čovjek stvorio, izumi čovjeka, okolna flora i fauna.

Predmet proučavanja:

oblik i struktura istraženih predmeta i pojava.

Svrha studije:

proučavati manifestaciju Fibonaccijevih brojeva i pripadajući zakon zlatnog reza u strukturi živih i neživih predmeta,

pronaći primjere upotrebe Fibonaccijevih brojeva.

Radni zadaci:

Opišite metodu za konstrukciju Fibonaccijeve serije i Fibonaccijeve spirale.

Uvidjeti matematičke obrasce u strukturi ljudi, flore i nežive prirode sa stanovišta fenomena Zlatnog preseka.

Novina u istraživanju:

Otkriće Fibonaccijevih brojeva u stvarnosti koja nas okružuje.

Praktični značaj:

Koristeći stečena znanja i vještine istraživačkog rada u izučavanju ostalih školskih predmeta.

Vještine i sposobnosti:

Organizacija i provođenje eksperimenta.

Upotreba posebne literature.

Sticanje sposobnosti pregleda prikupljenog materijala (izvještaj, prezentacija)

Prijava rada crtežima, dijagramima, fotografijama.

Aktivno učešće u diskusiji o njihovom radu.

Metode istraživanja:

empirijski (posmatranje, eksperiment, mjerenje).

teorijski (logički nivo znanja).

Objašnjenje.

„Brojevi vladaju svijetom! Broj je snaga koja vlada nad bogovima i smrtnicima! " - tako su govorili drevni pitagorejci. Da li je ova osnova Pitagorinih učenja relevantna danas? Proučavajući nauku o brojevima u školi, želimo biti sigurni da su fenomeni cijelog Svemira podložni određenim numeričkim omjerima, kako bismo pronašli tu nevidljivu vezu između matematike i života!

Je li to zaista u svakom cvijetu

I u molekulu i u galaksiji,

Numerički obrasci

Ova stroga suha matematika?

Okrenuli smo se modernom izvoru informacija - Internetu i čitali o Fibonaccijevim brojevima, o čarobnim brojevima koji su ispunjeni velikom misterijom. Ispostavilo se da se ove brojke mogu naći u suncokretima i šišarkama, u krilima vretenca i morskih zvijezda, u ritmovima ljudskog srca i u muzičkim ritmovima ...

Zašto je ovaj redoslijed brojeva tako čest u našem svijetu?

Željeli smo znati o tajnama Fibonaccijevih brojeva. Ovaj istraživački rad rezultat je naše aktivnosti.

Hipoteza:

u stvarnosti oko nas sve je izgrađeno prema iznenađujuće skladnim zakonima s matematičkom preciznošću.

Sve na svijetu promišlja i izračunava naš najvažniji dizajner - Priroda!

Uvod. Istorija Fibonaccijeve serije.

Nevjerovatne brojeve otkrio je talijanski matematičar srednjeg vijeka Leonardo iz Pise, poznatiji kao Fibonacci. Putujući na Istok, upoznao se sa dostignućima arapske matematike, doprinio njihovom prenošenju na Zapad. U jednom od svojih djela pod naslovom "Knjiga računanja" upoznao je Evropu s jednim od najvećih otkrića svih vremena i naroda - decimalnim brojevnim sistemom.

Jednom se zbunio oko rješenja matematičkog problema. Pokušavao je stvoriti formulu koja opisuje uzgojni slijed zečeva.

Ključ je bio niz brojeva, od kojih je svaki sljedeći broj zbroj dva prethodna:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, ...

Brojevi koji čine ovu sekvencu nazivaju se "Fibonaccijevi brojevi", a sam niz naziva se Fibonaccijev niz.

"Pa šta?" - kažete, - "Mali, možemo li mi sami doći do takvih numeričkih serija koje rastu u određenom napretku?" Zaista, kada se pojavila Fibonaccijeva serija, niko, uključujući njega samog, nije sumnjao koliko je blizu uspio da se približi rješavanju jedne od najvećih misterija svemira!

Fibonacci je vodio povučeni način života, proveo je puno vremena u prirodi i, šetajući šumom, primijetio je da su ga ove brojke počele doslovno proganjati. Svugdje u prirodi iznova je sretao ove brojeve. Na primjer, latice i lišće biljaka strogo se uklapaju u određeni niz brojeva.

Zanimljiva je karakteristika Fibonaccijevih brojeva: količnik dijeljenja sljedećeg Fibonaccijevog broja s prethodnim, kako sami brojevi rastu, ima tendenciju na 1,618. Taj stalni broj podjela u srednjem vijeku nazivao se Božanskim proporcijama, a sada se naziva zlatnim rezom ili zlatnim proporcijama.

U algebri se ovaj broj označava grčkim slovom phi (F)

Dakle, φ = 1.618

233 / 144 = 1,618

377 / 233 = 1,618

610 / 377 = 1,618

987 / 610 = 1,618

1597 / 987 = 1,618

2584 / 1597 = 1,618

Bez obzira na to koliko puta podijelimo jedan s drugim, susjedni broj, uvijek dobijemo 1. 618. A ako učinimo suprotno, odnosno podijelimo manji broj s većim, dobivamo 0,618, to je obrnuto od 1. 618, zvan i zlatni rez.

Fibonaccijeva serija mogla je ostati samo matematički incident, ako ne i činjenice da su svi istraživači zlatne podjele u biljnom i životinjskom svijetu, a da ne spominjemo umjetnost, neovisno dolazili do ove serije kao aritmetički izraz zakona zlatne podjele .

Znanstvenici su, analizirajući daljnju primjenu ove serije brojeva na prirodne pojave i procese, otkrili da se ti brojevi nalaze doslovno u svim objektima žive prirode, u biljkama, životinjama i ljudima.

Ispostavilo se da je neverovatna matematička igračka jedinstveni kod ugrađen u sve prirodne predmete od strane samog Stvoritelja Univerzuma.

Razmotrimo primjere gdje se Fibonaccijevi brojevi mogu naći u živoj i neživoj prirodi.

Fibonaccijevi brojevi u prirodi.

Ako pogledate biljke i drveće oko nas, možete vidjeti koliko lišća ima na svakom od njih. Iz daljine se čini da su grane i lišće na biljkama nasumično poredani, bez posebnog redoslijeda. Međutim, u svim biljkama, čudom, matematički precizno, planirano je iz koje će grane izrasti, kako će se grane i lišće nalaziti u blizini stabljike ili debla. Od prvog dana pojave, biljka u svom razvoju tačno slijedi ove zakone, odnosno niti jedan list, niti jedan cvijet se ne pojavi slučajno. Čak i prije nego što se pojavi, biljka je već precizno programirana. Koliko će grana biti na budućem drvetu, gdje će grane rasti, koliko će listova biti na svakoj grani i kako, kojim redoslijedom će se listovi nalaziti. Zajednički rad botaničara i matematičara rasvijetlio je ove nevjerovatne prirodne pojave. Pokazalo se da se u rasporedu lišća na grani (filotaksis), u broju okretaja na stabljici, u broju listova u ciklusu, manifestuje Fibonaccijev niz, pa se prema tome očituje i zakon zlatnog preseka sebe.

Ako krenete u pronalaženje numeričkih obrazaca u živoj prirodi, primijetit ćete da se ti brojevi često nalaze u različitim spiralnim oblicima kojima je biljni svijet tako bogat. Na primjer, reznice lišća se uz stabljiku priležu u spiralu koja prolazi između njihdva susjedna lista:pun zaokret - kod ljeske,- pored hrasta, - u blizini topole i kruške,- pored vrbe.

Sjeme suncokreta, Echinacea purpurea i mnogih drugih biljaka poredane su u spirale, a broj spirala u svakom smjeru je Fibonaccijev broj.

Suncokret, spirale 21 i 34. Ehinaceja, 34 i 55 spirala.

Jasan, simetričan oblik boja takođe podliježe strogom zakonu..

Mnogi cvjetovi imaju broj latica - tačno brojeve iz Fibonaccijeve serije. Na primjer:

iris, 3lep. maslačak, 5 st. zlatni cvijet, 8 lep. delphinium,

13 lep.

cikorija, 21kap. aster, 34 lep. tratinčice, 55lp.

Fibonaccijeva serija karakterizira strukturnu organizaciju mnogih živih sistema.

Već smo rekli da je omjer susjednih brojeva u Fibonaccijevoj seriji broj φ = 1.618. Ispostavilo se da je sama osoba samo skladište phi.

Proporcije različitih dijelova našeg tijela čine broj koji je vrlo blizu zlatnom rezu. Ako se ove proporcije podudaraju s formulom zlatnog reza, tada se izgled ili tijelo osobe smatra savršeno presavijenim. Princip izračunavanja zlatne mjere na ljudskom tijelu može se prikazati kao dijagram.

M / m = 1,618

Prvi primjer zlatnog reza u građi ljudskog tijela:

Ako točku pupka uzmemo kao središte ljudskog tijela, a udaljenost između stopala i točke pupka kao mjernu jedinicu, tada je visina osobe jednaka 1,618.

Ljudska ruka

Dovoljno je samo približiti dlan sada i pažljivo pogledati kažiprst i u njemu ćete odmah pronaći formulu zlatnog reza. Svaki prst naše ruke sastoji se od tri falange.
Zbir prve dvije falange prsta u odnosu na cijelu dužinu prsta daje broj zlatnog reza (isključujući palac).

Pored toga, omjer između srednjeg i malog prsta također je jednak zlatnom rezu.

Osoba ima 2 ruke, prsti na svakoj ruci sastoje se od 3 falange (isključujući palac). Svaka ruka ima 5 prstiju, odnosno ukupno 10, ali s izuzetkom dva bifalangealna palca, samo 8 prstiju stvoreno je po principu zlatnog reza. Dok su svi ovi brojevi 2, 3, 5 i 8 brojevi Fibonaccijeve sekvence.

Zlatna proporcija u strukturi ljudskih pluća

Američki fizičar B. D. West i dr. A.L. Goldberger je tokom fizičkih i anatomskih studija otkrio da zlatni rez postoji i u strukturi ljudskih pluća.

Posebnost bronhija koji čine ljudska pluća leži u njihovoj asimetričnosti. Bronhi se sastoji od dva glavna dišna puta, od kojih je jedan (lijevo) duži, a drugi (desno) kraći.

Utvrđeno je da se ta asimetrija nastavlja u granama bronhija, u svim manjim dišnim putovima. Štoviše, omjer dužine kratkog i dugog bronha također čini zlatni omjer i jednak je 1: 1,618.

Umjetnici, naučnici, modni dizajneri, dizajneri izračune, crteže ili skice izrađuju na osnovu omjera zlatnog reza. Koriste se mjerenjima iz ljudskog tijela, takođe stvorenim po principu zlatnog reza. Leonardo Da Vinci i Le Corbusier, prije stvaranja svojih remek-djela, uzeli su parametre ljudskog tijela, stvorenog prema zakonu Zlatne omjere.
Postoji još jedna, prozaičnija primjena proporcija ljudskog tijela. Na primjer, koristeći ove korelacije, kriminalni analitičari i arheolozi vraćaju izgled cjelini iz fragmenata dijelova ljudskog tijela.

Zlatne proporcije u strukturi molekule DNK.

Sve informacije o fiziološkim karakteristikama živih bića, bilo biljaka, životinja ili osoba, pohranjene su u mikroskopskom molekulu DNK, čija struktura također sadrži zakon zlatnog reza. Molekula DNA sastoji se od dvije vertikalno isprepletene spirale. Dužina svake od ovih spirala je 34 angstrema, a širina 21 angstrema. (1 angstrem je sto milioniti dio centimetra).

Dakle, 21 i 34 su brojevi koji se slijede u nizu Fibonaccijevih brojeva, odnosno omjer dužine i širine logaritamske spirale molekule DNK nosi formulu zlatnog reza 1: 1.618.

Ne samo dvonožne, već i sva plivanja, puzanja, letenja i skakanja nisu izbjegla sudbinu poštovanja broja phi. Ljudski srčani mišić smanjuje se na 0,618 zapremine. Struktura puževe ljuske odgovara Fibonaccijevim proporcijama. A takvih primjera ima u izobilju - postojala bi želja za istraživanjem prirodnih objekata i procesa. Svijet je toliko prožet Fibonaccijevim brojevima da se ponekad čini: samo njima se može objasniti Univerzum.

Fibonaccijeva spirala.

Ne postoji nijedan drugi oblik u matematici koji ima ista jedinstvena svojstva kao spirala, jer
spiralna struktura temelji se na pravilu Zlatni omjer!

Da bismo razumjeli matematičku konstrukciju spirale, ponovimo što je Zlatni presjek.

Zlatni rez je takva proporcionalna podjela segmenta na nejednake dijelove, u kojem se cijeli segment odnosi na veći dio, kao što se i sam veći dio odnosi na manji, ili, drugim riječima, manji segment odnosi se na veći kao veći u cjelini.

Odnosno, (a + b) / a = a / b

Pravougaonik s upravo ovim omjerom počeo se nazivati ​​zlatnim pravokutnikom. Njegove duge stranice uspoređuju se s kratkim stranicama u omjeru 1,168: 1.
Zlatni pravougaonik ima mnoštvo neobičnih svojstava. Odrezavši od zlatnog pravougaonika kvadrat čija je stranica jednaka manjoj strani pravougaonika,

opet ćemo dobiti manji zlatni pravokutnik.

Ovaj se postupak može nastaviti unedogled. Kako nastavljamo s izrezivanjem kvadrata, dobivat ćemo sve manje i manje zlatne pravokutnike. Štoviše, oni će biti smješteni duž logaritamske spirale, što je važno u matematičkim modelima prirodnih objekata.

Na primjer, spiralni oblik može se vidjeti u rasporedu sjemenki suncokreta, u ananasima, kaktusima, strukturi latica ruže itd.

Iznenađeni smo i divimo se spiralnoj strukturi školjki.

Većina puževa koji imaju školjke rastu u obliku spirale. Međutim, nema sumnje da ta nerazumna stvorenja nemaju pojma ne samo o spirali, već nemaju ni najjednostavnija matematička znanja kako bi sama stvorila spiralnu ljusku.
Ali kako su onda ta nerazumna bića mogla odrediti i odabrati za sebe idealan oblik rasta i postojanja u obliku spiralne ljuske? Da li bi ta živa bića, koja svjetski naučnici nazivaju primitivnim oblicima života, mogla izračunati da bi spiralni oblik školjke bio idealan za njihovo postojanje?

Pokušaj objašnjenja nastanka takvog čak i najprimitivnijeg oblika života slučajnim podudaranjem određenih prirodnih okolnosti u najmanju je ruku apsurdan. Jasno je da je ovaj projekat svjesna tvorevina.

I u čovjeku postoje spirale. Uz pomoć spirala čujemo:

Takođe, u unutrašnjem uhu osobe postoji organ koji se zove Pužnica ("Puž"), a koji obavlja funkciju prenošenja zvučnih vibracija. Ova struktura poput kostiju ispunjena je tečnošću i stvorena je u obliku puža koji u sebi ima zlatne proporcije.

Na našim dlanovima i prstima nalaze se spirale:

U životinjskom carstvu možemo naći i mnogo primjeraka spirala.

Rogovi i kljove životinja razvijaju se u obliku spirale, kandže lavova i kljunovi papagaja imaju logaritamski oblik i nalikuju obliku osi koja teži pretvaranju u spiralu.

Zanimljivo je da se orkanski, ciklonski oblaci spiralno uvijaju, a to je jasno vidljivo iz svemira:

U okeanskim i morskim valovima spirala se može matematički odraziti na grafikonu sa tačkama 1,1,2,3,5,8,13,21,34 i 55.

Svi će također prepoznati ovu "svakodnevnu" i "prozaičnu" spiralu.

Napokon, voda iz kupatila spiralno izlazi:

Da, i mi živimo u spirali, jer je galaksija spirala koja odgovara formuli Zlatnog preseka!

Dakle, otkrili smo da ako uzmete Zlatni pravokutnik i razbijete ga u manje pravougaonikeu tačnom Fibonaccijevom nizu, a zatim podijelite svaki od njih u takvim omjerima iznova i iznova, dobićete sistem koji se naziva Fibonaccijeva spirala.

Pronašli smo ovu spiralu u najneočekivanijim objektima i pojavama. Sada je jasno zašto se spirala naziva i "životnom krivuljom".
Spirala je postala simbol evolucije, jer se sve razvija u spirali.

Fibonaccijevi brojevi u ljudskim izumima.

Gledajući zakon izražen slijedom Fibonaccijevih brojeva iz prirode, naučnici i ljudi umjetnosti pokušavaju ga oponašati, utjelovljujući ovaj zakon u svojim kreacijama.

Proporcija phi omogućava vam stvaranje umjetničkih remek-djela, kako biste pravilno uklopili arhitektonske strukture u prostor.

Ne samo naučnici, već i arhitekti, dizajneri i umjetnici su zapanjeni ovom besprijekornom spiralom na ljusci nautilusa,

zauzimajući najmanji prostor i pružajući najmanje gubitke toplote. Američki i tajlandski arhitekti, nadahnuti primjerom "nautilusa s kamerama" u pogledu postavljanja maksimuma na minimalni prostor, zauzeti su razvojem odgovarajućih projekata.

Od pamtivijeka se Zlatni omjer smatrao najvećim udjelom savršenstva, harmonije, pa čak i božanstvenosti. Zlatni stav možemo pronaći u skulpturama, pa čak i u muzici. Primjer je muzika Mocarta. Čak i cijene dionica i hebrejska abeceda sadrže zlatni omjer.

Ali želimo se usredotočiti na jedinstveni primjer stvaranja efikasne solarne instalacije. Aidan Dwyer, američki srednjoškolac iz New Yorka, okupio je svoje znanje o drveću i otkrio da se efikasnost solarnih elektrana može poboljšati upotrebom matematike. Dok je bio u zimskoj šetnji, Dwyer se pitao zašto drveću treba takav "obrazac" grana i lišća. Znao je da su grane na drveću poredane prema Fibonaccijevom nizu, a lišće vrši fotosintezu.

U jednom trenutku, pametni dječačić odlučio je provjeriti pomaže li ovaj položaj grana da sakuplja više sunčeve svjetlosti. Aidan je u svom dvorištu izgradio pilot postrojenje sa malim solarnim pločama umjesto lišća i testirao ga na djelu. Ispostavilo se da u poređenju sa konvencionalnim ravnim solarnim panelom njegovo "drvo" sakuplja 20% više energije i efikasno radi 2,5 sata duže.

Dwyerov model solarnog stabla i grafovi koje je izgradio student.

"Također zauzima manje prostora od ravnog panela, sakuplja 50% više sunca zimi čak i tamo gdje nije okrenut prema jugu i ne akumulira toliko snijega. Pored toga, dizajn drveća je puno prikladniji za urbani pejzaž ", - napominje mladi izumitelj.

Aidan je prepoznat jedan od najboljih mladih prirodnjaka u 2011. Domaćin takmičenja za mlade prirodoslovce 2011. godine bio je Prirodoslovni muzej grada New Yorka. Aidan je podnio preliminarnu prijavu patenta za svoj izum.

Naučnici nastavljaju aktivno razvijati teoriju Fibonaccijevih brojeva i zlatnog reza.

Yu. Matiyasevich rješava Hilbertov deseti problem koristeći Fibonaccijeve brojeve.

Postoje sofisticirane metode za rješavanje brojnih kibernetičkih problema (teorija pretraživanja, igre, programiranje) pomoću Fibonaccijevih brojeva i zlatnog reza.

U Sjedinjenim Državama se čak stvara Matematičko udruženje Fibonacci, koje od 1963. izdaje poseban časopis.

Dakle, vidimo da je opseg Fibonaccijevog niza brojeva vrlo raznolik:

Promatrajući pojave koje se javljaju u prirodi, naučnici su donijeli zapanjujuće zaključke da je čitav niz događaja u životu, revolucija, krahova, bankrota, razdoblja prosperiteta, zakona i valova razvoja na berzi i deviznim tržištima, ciklusa porodičnog života i itd., organizirani su na vremenskoj traci u obliku ciklusa, valova. Ovi se ciklusi i valovi također distribuiraju prema Fibonaccijevoj seriji brojeva!

Na osnovu ovog znanja, osoba će naučiti predviđati razne događaje u budućnosti i upravljati njima.

4. Naše istraživanje.

Nastavili smo sa svojim zapažanjima i proučavali strukturu

Šišarka

stolisnik

komarac

čovjek

I bili smo uvjereni da su u ovim tako različitim objektima na prvi pogled nevidljivo prisutni sami brojevi Fibonaccijeve sekvence.

Dakle, korak 1.

Uzmimo šišarku:

Pogledajmo ga bliže:

Primjećujemo dvije serije Fibonaccijevih spirala: jednu u smjeru kazaljke na satu, drugu u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, njihov broj 8 i 13.

Korak 2

Uzmi stolisnik:

Pogledajmo izbliza strukturu stabljika i cvjetova:

Imajte na umu da svaka nova grana stolisnika raste iz njedara, a nove grane iz nove. Dodavanjem starih i novih grana pronašli smo Fibonaccijev broj u svakoj vodoravnoj ravni.

Korak 3

Da li se Fibonaccijevi brojevi manifestiraju u morfologiji različitih organizama? Razmotrimo dobro poznatog komarca:

Vidljivo: 3 parovi nogu, glava 5 antene - antene, trbuh je podijeljen na 8 segmenata.

Izlaz:

U našem istraživanju vidjeli smo da se u biljkama oko nas, živim organizmima, pa čak i u ljudskoj strukturi, manifestiraju brojevi iz Fibonaccijeve sekvence, što odražava sklad njihove strukture.

Šišarka, stolisnik, komarac, čovjek raspoređeni su s matematičkom preciznošću.

Tražili smo odgovor na pitanje: kako se Fibonaccijeva serija očituje u stvarnosti koja nas okružuje? Ali, odgovarajući na to, dobivali su sve više i više pitanja.

Odakle ti brojevi? Ko je ovaj arhitekta svemira koji je pokušao da ga učini savršenim? Da li se spirala uvija ili odmotava?

Kako nevjerovatno osoba uči ovaj svijet !!!

Pronašavši odgovor na jedno pitanje, dobiva sljedeće. Riješi to, nabavi dvije nove. Bavite se njima, pojavit će se još tri. Riješivši ih, dobit će pet neriješenih. Zatim osam, pa trinaest, 21, 34, 55 ...

Da li prepoznajete?

Zaključak.

Od samog tvorca u sve predmete

Položen je jedinstveni kod,

I to onaj koji voli matematiku

On će znati i razumjeti!

Proučavali smo i analizirali manifestaciju brojeva Fibonaccijeve sekvence u stvarnosti koja nas okružuje. Takođe smo saznali da se obrasci ove serije brojeva, uključujući obrasce "Zlatne" simetrije, manifestuju u energetskim prijelazima elementarnih čestica, u planetarnim i svemirskim sistemima, u genetskim strukturama živih organizama.

Pronašli smo nevjerojatnu matematičku vezu između broja spirala u biljkama, broja grana u bilo kojoj vodoravnoj ravni i brojeva u Fibonaccijevom nizu. Vidjeli smo kako se morfologija različitih organizama također pokorava ovom misterioznom zakonu. Takođe smo vidjeli rigoroznu matematiku u ljudskoj strukturi. Molekula ljudske DNK, u kojoj je šifriran čitav program za razvoj čovjeka, respiratorni sistem, struktura uha - sve se podvrgava određenim numeričkim omjerima.

Saznali smo da šišarke, ljuske puževa, okeanski talasi, rogovi životinja, oblaci ciklona i galaksije tvore logaritamske spirale. Čak i ljudski prst, koji se sastoji od tri falange u Zlatnom omjeru, poprima spiralni oblik kada se ugovara.

Vječnost vremena i svjetlosne godine svemira razdvajaju pineks i spiralnu galaksiju, ali struktura ostaje ista: koeficijent 1,618 ! Možda je ovo primarni zakon koji uređuje prirodne pojave.

Dakle, potvrđuje se naša hipoteza o postojanju posebnih numeričkih obrazaca koji su odgovorni za harmoniju.

Zapravo, sve na svijetu smišlja i izračunava naš najvažniji dizajner - Priroda!

Uvjerili smo se da priroda ima svoje zakone, izražene uz pomoć matematika. A matematika je vrlo važan alat.

radi poznavanja tajni prirode.

Popis literature i Internet stranica:

1. Vorobiev N.N. Fibonaccijevi brojevi. - M., Nauka, 1984.
2. Geek M. Estetika proporcija u prirodi i umjetnosti. - M., 1936.

3. Dmitriev A. Kaos, fraktali i informacije. // Nauka i život, br. 5, 2001.
4. Kashnitsky S. E. Harmonija satkana od paradoksa // Kultura i

Život. - 1982.- br. 10.
5. Malay G. Harmony - identitet paradoksa // MN. - 1982.- br. 19.
6. Sokolov A. Tajne zlatnog preseka // Tehnologija mladih. - 1978.- br. 5.
7. Stakhov AP Kodovi zlatne proporcije. - M., 1984.
8. Urmantsev Yu. A. Simetrija prirode i priroda simetrije. - M., 1974.
9. Urmantsev Yu. A. Zlatni presjek // Priroda. - 1968.- br. 11.

10. Shevelev I.Sh., Marutaev M.A., Shmelev I.P. Zlatni rez / Tri

Pogled na prirodu harmonije.-M., 1990.

11. Shubnikov A.V., Koptsik V.A.Simetrija u nauci i umjetnosti. -M.:

Ako pogledate biljke i drveće oko nas, možete vidjeti koliko lišća ima na svakom od njih. Iz daljine se čini da su grane i lišće na biljkama nasumično poredani, bez posebnog redoslijeda. Međutim, u svim biljkama, čudom, matematički precizno, planirano je iz koje će grane izrasti, kako će se grane i lišće nalaziti u blizini stabljike ili debla. Od prvog dana pojave, biljka u svom razvoju tačno slijedi ove zakone, odnosno niti jedan list, niti jedan cvijet se ne pojavi slučajno. Čak i prije nego što se pojavi, biljka je već precizno programirana. Koliko će grana biti na budućem drvetu, gdje će grane rasti, koliko će listova biti na svakoj grani i kako, kojim redoslijedom će se listovi nalaziti. Zajednički rad botaničara i matematičara rasvijetlio je ove nevjerovatne prirodne pojave. Pokazalo se da se u rasporedu lišća na grani (filotaksis), u broju okretaja na stabljici, u broju listova u ciklusu, manifestuje Fibonaccijev niz, pa se prema tome očituje i zakon zlatnog preseka sebe.

Ako krenete u pronalaženje numeričkih obrazaca u živoj prirodi, primijetit ćete da se ti brojevi često nalaze u različitim spiralnim oblicima kojima je biljni svijet tako bogat. Na primjer, reznice lišća se uz stabljiku spajaju u spirali koja prolazi između dva susjedna lista: puni zavoj - u lješnjaku, - u hrastu, - u topoli i kruški, - u vrbi.

Sjeme suncokreta, Echinacea purpurea i mnogih drugih biljaka poredane su u spirale, a broj spirala u svakom smjeru je Fibonaccijev broj.

Suncokret, spirale 21 i 34. Ehinaceja, 34 i 55 spirala.

Jasan, simetričan oblik boja takođe podliježe strogom zakonu.

Mnogi cvjetovi imaju broj latica - tačno brojeve iz Fibonaccijeve serije. Na primjer:

iris, 3lep. maslačak, 5 st. zlatni cvijet, 8 lep. delphinium,

cikorija, 21kap. aster, 34 lep. tratinčice, 55lp.

Fibonaccijeva serija karakterizira strukturnu organizaciju mnogih živih sistema.

Već smo rekli da je omjer susjednih brojeva u Fibonaccijevoj seriji broj φ = 1.618. Ispostavilo se da je sama osoba samo skladište phi.

Proporcije različitih dijelova našeg tijela čine broj koji je vrlo blizu zlatnom rezu. Ako se ove proporcije podudaraju s formulom zlatnog reza, tada se izgled ili tijelo osobe smatra savršeno presavijenim. Princip izračunavanja zlatne mjere na ljudskom tijelu može se prikazati kao dijagram.

M / m = 1,618

Prvi primjer zlatnog reza u građi ljudskog tijela:

Ako točku pupka uzmemo kao središte ljudskog tijela, a udaljenost između stopala i točke pupka kao mjernu jedinicu, tada je visina osobe jednaka 1,618.

Ljudska ruka

Dovoljno je samo približiti dlan sada i pažljivo pogledati kažiprst i u njemu ćete odmah pronaći formulu zlatnog reza. Svaki prst naše ruke sastoji se od tri falange.
Zbir prve dvije falange prsta u odnosu na cijelu dužinu prsta daje broj zlatnog reza (isključujući palac).

Pored toga, omjer između srednjeg i malog prsta također je jednak zlatnom rezu.

Osoba ima 2 ruke, prsti na svakoj ruci sastoje se od 3 falange (isključujući palac). Svaka ruka ima 5 prstiju, odnosno ukupno 10, ali s izuzetkom dva bifalangealna palca, samo 8 prstiju stvoreno je po principu zlatnog reza. Dok su svi ovi brojevi 2, 3, 5 i 8 brojevi Fibonaccijeve sekvence.

Zlatna proporcija u strukturi ljudskih pluća

Američki fizičar B. D. West i dr. A.L. Goldberger je tokom fizičkih i anatomskih studija otkrio da je to u strukturi ljudskih pluća tu je i zlatni rez.

Posebnost bronhija koji čine ljudska pluća leži u njihovoj asimetričnosti. Bronhi se sastoji od dva glavna dišna puta, od kojih je jedan (lijevo) duži, a drugi (desno) kraći.

Utvrđeno je da se ta asimetrija nastavlja u granama bronhija, u svim manjim dišnim putovima. Štoviše, omjer dužine kratkog i dugog bronha također čini zlatni omjer i jednak je 1: 1,618.

Umjetnici, naučnici, modni dizajneri, dizajneri izračune, crteže ili skice izrađuju na osnovu omjera zlatnog reza. Koriste se mjerenjima iz ljudskog tijela, takođe stvorenim po principu zlatnog reza. Leonardo Da Vinci i Le Corbusier, prije stvaranja svojih remek-djela, uzeli su parametre ljudskog tijela, stvorenog prema zakonu Zlatne omjere.
Postoji još jedna, prozaičnija primjena proporcija ljudskog tijela. Na primjer, koristeći ove korelacije, kriminalni analitičari i arheolozi vraćaju izgled cjelini iz fragmenata dijelova ljudskog tijela.

Zlatni rez i brojevi Fibonaccijeve sekvence. 14. juna 2011

Prije nekog vremena obećao sam da ću komentirati Tolkačovljevu tvrdnju da se Sankt Peterburg gradi po principu Zlatnog preseka, a Moskva po principu simetrije i da su zato razlike u percepciji ova dva grada su tako opipljivi i zato Svetog ", a Moskovljanina" boli glava "kada dođe u Sankt Peterburg. Potrebno je neko vrijeme da se uskladite s gradom (kao kada letite prema državama - poravnanje je potrebno s vremenom).

Činjenica je da naše oko izgleda - osjećajući prostor uz pomoć određenih pokreta oka - sakada (u prijevodu - pamuk jedra). Oko „zaplješće“ i pošalje signal mozgu „došlo je do stiska. Sve je uredu. Informacije su takve i takve. " I tokom života oko se navikne na određeni ritam ovih sakada. A kad se ovaj ritam radikalno promijeni (od gradskog pejzaža do šume, od Zlatnog presjeka do simetrije), tada je potrebno neko moždano djelovanje da bi se ponovo konfiguriralo.

Sada detalji:
Definicija ZS je podjela segmenta na dva dijela u takvom omjeru u kojem se veći dio odnosi na manji, kao njihov zbroj (cijeli segment) na veći.

Odnosno, ako uzmemo cijeli segment c kao 1, tada će segment a biti jednak 0,618, segment b - 0,382. Dakle, ako uzmemo strukturu, na primjer, hram, izgrađen po principu ZS, tada će s njegovom visinom, recimo 10 metara, visina bubnja s kupolom biti 3,82 cm, a visina podnožja strukture će biti 6, 18 cm. (Jasno je da su brojke koje sam uzeo ravno radi jasnosti)

A kakav je odnos između ZS i Fibonaccijevih brojeva?

Fibonačijevi brojevi sekvenci su:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597…

Pravilnost brojeva je da je svaki sljedeći broj jednak zbiru dva prethodna broja.
0 + 1 = 1;
1 + 1 = 2;
2 + 3 = 5;
3 + 5 = 8;
5 + 8 = 13;
8 + 13 = 21, itd.,

a odnos susjednih brojeva približava se odnosu ZS.
Dakle, 21: 34 = 0,617 i 34: 55 = 0,618.

Odnosno, ZS se zasniva na brojevima Fibonaccijeve sekvence.
Ovaj video još jednom jasno pokazuje vezu između ZS i Fibonaccijevih brojeva.

Gdje se još susreću ZS princip i Fibonaccijevi brojevi sekvenci?

Listovi u biljkama opisani su Fibonaccijevim nizom. Sjemenke suncokreta, šišarke, latice cvijeta, ćelije ananasa takođe su poredane prema Fibonaccijevoj sekvenci.

Ptičje jaje

Dužine falanga ljudskih prstiju približno su iste kao i Fibonaccijevi brojevi. Zlatni rez vidljiv je u proporcijama lica.

Emil Rosenov istraživao je ZS u muzici baroka i klasicizma na primjeru djela Bacha, Mocarta, Beethovena.

Poznato je da je Sergej Ajzenštajn umjetno konstruirao film "Battleship Potemkin" prema pravilima AP-a. Prekinuo je traku na pet dijelova. U prva tri, radnja se odvija na brodu. U posljednja dva - u Odesi, gdje se odvija ustanak. Ovaj prijelaz u grad događa se upravo u točki zlatnog reza. I u svakom dijelu postoji prekretnica, koja se događa prema zakonu zlatnog preseka. U kadru, sceni, epizodi postoji određeni skok u razvoju teme: zaplet, raspoloženje. Eisenstein je vjerovao da se, budući da je takav prijelaz blizu točke zlatnog presjeka, doživljava kao najlogičniji i najprirodniji.

Mnogi ukrasni elementi, kao i fontovi, stvoreni su pomoću ZS-a. Na primjer, font A. Dürera (na slici slovo "A")

Smatra se da je pojam „Zlatni presjek“ uveo Leonardo Da Vinci, koji je rekao „neka se niko, ne matematicar, ne usuđuje čitati moja djela“ i pokazao proporcije ljudskog tijela u svom poznatom crtežu „Vitruvijev čovjek ”. „Ako ljudsku figuru - najsavršeniju tvorevinu Svemira - povežemo pojasom, a zatim izmjerimo udaljenost od struka do stopala, tada će se ova vrijednost odnositi na udaljenost od istog pojasa do tjemena glave, poput čitave visine osobe do dužine od struka do stopala ”.

Poznati portret Mona Lise ili Mona Lise (1503.) stvoren je po principu zlatnih trokuta.

Zapravo, sama zvijezda ili peterokut je konstrukcija ZP-a.

Brojni Fibonaccijevi brojevi vizualno su modelirani (materijalizirani) u obliku spirale

A u prirodi GS spirala izgleda ovako:

U isto vrijeme, spirala se uočava svuda.(u prirodi i ne samo):
- Sjeme u većini biljaka raspoređeno je u spiralu
- Pauk tka mrežu u spiralu
- Uragan se vrti u spirali
- Uplašeno stado irvasa rasprši se u spiralu.
- Molekula DNK je uvijena u dvostruku zavojnicu. Molekula DNK sastoji se od dvije vertikalno isprepletene spirale duge 34 i široke 21 angstrema. Brojevi 21 i 34 slijede se jedan za drugim u Fibonaccijevom nizu.
- Embrion se razvija u obliku spirale
- Spiralni "puž u unutrašnjem uhu"
- Voda spiralno teče u odvod
- Spiralna dinamika pokazuje spiralni razvoj ličnosti i vrijednosti osobe.
- I naravno, sama Galaxy ima oblik spirale

Stoga se može tvrditi da je sama priroda izgrađena po principu Zlatnog presjeka, zbog čega ljudsko oko skladnije percipira ovaj udio. Ne zahtijeva "korekciju" ili dodavanje rezultirajuće slike svijeta.

Sada o Zlatnom preseku u arhitekturi

Keopsova piramida predstavlja proporcije ZS. (Sviđa mi se fotografija - sa Sfingom posutom pijeskom).

Prema Le Corbusieru, u reljefu iz hrama faraona Setija I u Abidosu i u reljefu koji prikazuje faraona Ramzesa, proporcije likova odgovaraju zlatnom rezu. Fasada drevnog grčkog hrama Partenona takođe ima zlatne proporcije.

Katedrala "Notredame de Paris" u Parizu, Francuska.

Jedna od izvanrednih zgrada napravljenih na osnovu AP-a je katedrala Smolny u Sankt Peterburgu. Dve staze vode do katedrale uz rubove, a ako se katedrali približite uz njih, čini se da se uzdiže u zraku.

U Moskvi postoje i zgrade izrađene pomoću ZS-a. Na primjer, katedrala Svetog Vasilija

Međutim, prevladavaju zgrade koje koriste principe simetrije.
Na primjer, Kremlj i Spasskaya Tower.

Visina zidova Kremlja takođe nigdje ne odražava princip AP-a s obzirom na visinu tornjeva, na primjer. Ili uzmite hotel Rusija, ili hotel Cosmos.

Istovremeno, zgrade izgrađene na principu ZS predstavljaju veći procenat u Sankt Peterburgu, dok su to ulične zgrade. Liteiny prospect.

Dakle, Zlatni presjek koristi omjer 1,68 i simetriju 50/50.
Odnosno, simetrične zgrade grade se na principu jednakosti strana.

Druga važna karakteristika ZS-a je njegova dinamičnost i želja da se razvije, zbog niza Fibonaccijevih brojeva. Dok simetrija, naprotiv, predstavlja stabilnost, stabilnost i nepokretnost.

Pored toga, dodatni ZS uvodi u plan Sankt Peterburga obilje vodenih prostora koji su se prelili preko grada i diktiraju podređenost grada svojim zavojima. A sama Petrova shema istovremeno podsjeća na spiralu ili embrion.

Tata je, međutim, izrazio drugačiju verziju zašto Moskovljane i stanovnike Sankt Peterburga "boli glava" prilikom posjeta glavnim gradovima. Papa to naziva energijama gradova:
Sankt Peterburg - ima muški rod i, shodno tome, muške energije,
Pa, Moskva je - shodno tome - ženska i ima ženske energije.

Dakle, stanovnicima glavnih gradova, koji su se prilagodili određenoj ravnoteži muškog i ženskog u tijelu, teško je obnoviti se prilikom posjete susjednom gradu, a neko može imati poteškoća s percepcijom jedne ili druge energije, i stoga susjedni grad možda uopće nije zaljubljen!

Ovu verziju potvrđuje činjenica da su sve ruske carice vladale u Sankt Peterburgu, dok je Moskva vidjela samo muške careve!

Korišteni resursi.

Jeste li ikada čuli da matematiku nazivaju "kraljicom svih nauka"? Da li se slažete sa ovom izjavom? Sve dok vam matematika ostaje skup dosadnih zadataka u udžbeniku, teško možete osjetiti ljepotu, svestranost, pa čak i humor ove nauke.

Ali postoje teme iz matematike koje pomažu u znatiželjnim promatranjima stvari i pojava koje su nam zajedničke. Pa čak i pokušati prodrijeti kroz veo tajni stvaranja našeg svemira. U svijetu postoje neobični obrasci koji se mogu opisati matematikom.

Predstavljamo Fibonaccijeve brojeve

Fibonaccijevi brojevi nazivaju se elementima numeričkog niza. U njemu se svaki sljedeći broj u nizu dobiva zbrajanjem dva prethodna broja.

Primjer sekvence: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987 ...

Možete to napisati ovako:

F 0 = 0, F 1 = 1, F n = F n-1 + F n-2, n ≥ 2

Možete započeti seriju Fibonaccijevih brojeva s negativnim vrijednostima. n... U ovom slučaju, slijed je u ovom slučaju dvostrani (to jest, pokriva negativne i pozitivne brojeve) i teži beskonačnosti u oba smjera.

Primjer takvog niza: -55, -34, -21, -13, -8, 5, 3, 2, -1, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 , 34, 55.

Formula u ovom slučaju izgleda ovako:

F n = F n + 1 - F n + 2 ili možete učiniti ovo: F -n = (-1) n + 1 Fn.

Ono što danas znamo kao "Fibonaccijevi brojevi" bili su poznati drevnim indijskim matematičarima mnogo prije nego što su se koristili u Evropi. I uz ovo ime, općenito, jednu kontinuiranu povijesnu anegdotu. Za početak, sam Fibonacci se nikada za života nije nazivao Fibonaccijem - ovo ime primijenjeno je na Leonarda iz Pise samo nekoliko stoljeća nakon njegove smrti. Ali razgovarajmo o svemu po redu.

Leonardo iz Pise, zvani Fibonacci

Sin trgovca koji je postao matematičar, a potom je potomak dobio priznanje kao prvog velikog matematičara Evrope tokom srednjeg vijeka. Ne najmanje zahvaljujući Fibonaccijevim brojevima (koji se, podsjećamo, tada još nisu tako zvali). Koju je opisao početkom XIII veka u svom delu "Liber abaci" ("Knjiga o abakusu", 1202).

Putujući s ocem na Istok, Leonardo je učio matematiku kod arapskih učitelja (i u to su vrijeme bili u ovom poslu, kao i u mnogim drugim naukama, jedan od najboljih stručnjaka). Pročitao je djela matematičara antike i drevne Indije u arapskim prijevodima.

Nakon što je temeljito shvatio sve što je pročitao i povezao vlastiti radoznali um, Fibonacci je napisao nekoliko naučnih rasprava o matematici, uključujući već spomenutu "Knjigu o Abakusu". Pored nje, stvorio je:

• Practica geometriae (Geometrijska praksa, 1220);
• "Flos" ("Cvijet", 1225. - studija o kubnim jednačinama);
• "Liber quadratorum" ("Knjiga kvadrata", 1225 - problemi o neodređenim kvadratnim jednačinama).

Bio je veliki ljubitelj matematičkih turnira, pa je u svojim raspravama veliku pažnju posvećivao analizi različitih matematičkih problema.

O Leonardovom životu postoji vrlo malo biografskih podataka. Što se tiče imena Fibonacci, pod kojim je ušao u istoriju matematike, ono ga je zalijepilo tek u 19. vijeku.

Fibonacci i njegovi zadaci

Nakon Fibonaccija ostao je veliki broj problema koji su bili vrlo popularni među matematičarima u narednim stoljećima. Razmotrit ćemo problem kunića u čijem se rješenju koriste Fibonaccijevi brojevi.

Zečevi nisu samo dragocjeno krzno

Fibonacci je postavio sljedeće uvjete: postoji par novorođenih zečeva (mužjaka i ženki) tako zanimljive pasmine da oni redovito (počev od drugog mjeseca) daju potomstvo - uvijek jedan novi par zečeva. Takođe, kao što pretpostavljate, muško i žensko.

Ovi uslovni zečevi su smješteni u zatvoreni prostor i reproduciraju se s entuzijazmom. Također je određeno da nijedan kunić ne umire od neke misteriozne kunićeve bolesti.

Moramo izračunati koliko ćemo zečeva dobiti za godinu dana.

• Početkom 1 mjeseca imamo 1 par zečeva. Krajem mjeseca se pare.
• Drugi mjesec - već imamo 2 para zečeva (par - roditelji + 1 par - njihovo potomstvo).
• Treći mjesec: Prvi par rađa novi par, drugi par se pari. Ukupno - 3 para zečeva.
• Četvrti mjesec: Prvi par rađa novi par, drugi par ne gubi vrijeme, a također rađa novi par, treći par se za sada samo pari. Ukupno - 5 pari zečeva.

Broj zečeva u n-mi mjesec = broj parova kunića iz prethodnog mjeseca + broj novorođenih parova (postoji isti broj parova kunića 2 mjeseca prije sadašnjeg). I sve je to opisano formulom koju smo već gore dali: F n = F n-1 + F n-2.

Tako dobivamo ponavljanje (objašnjenje o rekurzija- dolje) numerički slijed. U kojem je svaki sljedeći broj jednak zbroju dva prethodna:

1. 1 + 1 = 2
2. 2 + 1 = 3
3. 3 + 2 = 5
4. 5 + 3 = 8
5. 8 + 5 = 13
6. 13 + 8 = 21
7. 21 + 13 = 34
8. 34 + 21 = 55
9. 55 + 34 = 89
10. 89 + 55 = 144
11. 144 + 89 = 233
12. 233+ 144 = 377 <…>

Slijed možete nastaviti dugo: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987<…>... Ali budući da smo postavili određeni termin - godinu dana, zanima nas rezultat dobiven 12. potezom. Oni. 13. član niza: 377.

Odgovor je u problemu: dobit će se 377 zečeva ako se ispune svi navedeni uvjeti.

Jedno od svojstava niza Fibonaccijevih brojeva vrlo je zanimljivo. Ako iz niza uzmete dva uzastopna para i veći broj podijelite s manjim, rezultat će se postupno približavati zlatni rez(više o tome možete pročitati kasnije u članku).

Na jeziku matematike, "Ograničenje veze a n + 1 do a n jednako zlatnom rezu ".

Više problema u teoriji brojeva

1. Pronađite broj koji se može podijeliti sa 7. Također, ako ga podijelite s 2, 3, 4, 5, 6, ostatak je jedan.
2. Pronađite kvadratni broj. O njemu je poznato da ako mu dodate 5 ili oduzmete 5, ponovo dobijete kvadratni broj.

Predlažemo da odgovore na ove probleme potražite sami. U komentarima na ovaj članak možete nam prepustiti svoje mogućnosti. A onda ćemo vam reći jesu li vaši proračuni bili tačni.

Objašnjenje rekurzije

Rekurzija- definicija, opis, slika predmeta ili procesa, koji sadrži sam objekt ili proces. To je, u osnovi, objekt ili proces dio sebe.

Rekurzija se široko koristi u matematici i računarstvu, pa čak i u umetnosti i popularnoj kulturi.

Fibonaccijevi brojevi određuju se upotrebom relacije ponavljanja. Za broj n> 2 n- broj je (n - 1) + (n - 2).

Objašnjenje Zlatnog preseka

Zlatni rez- dijeljenje cjeline (na primjer, segmenta) na dijelove koji su povezani prema sljedećem principu: veći dio odnosi se na manji na isti način kao i cijela vrijednost (na primjer zbroj dva segmenta) na veći dio.

Prvo spominjanje zlatnog reza može se naći kod Euklida u njegovoj raspravi "Počeci" (oko 300. pne.). U kontekstu konstrukcije pravilnog pravougaonika.

Izraz poznat nama 1835. godine uveo je u opticaj njemački matematičar Martin Ohm.

Ako približno opisujemo zlatni omjer, to je proporcionalna podjela na dva nejednaka dijela: približno 62% i 38%. Numerički, zlatni omjer je broj 1,6180339887 .

Zlatni presjek pronalazi praktičnu primjenu u likovnoj umjetnosti (slike Leonarda da Vincija i drugih renesansnih slikara), arhitekturi, kinematografiji ("Battleship Potemkin" S. Ezensteina) i drugim područjima. Dugo se vjerovalo da je zlatni rez najestetičniji omjer. Ovo mišljenje je danas popularno. Iako, prema rezultatima istraživanja, većina ljudi takav udio vizualno ne doživljava kao najuspješniju opciju i smatra je previše izduženom (nesrazmjernom).

• Dužina segmenta od = 1, ali = 0,618, b = 0,382.
• Stav od do ali = 1, 618.
• Stav od do b = 2,618

Vratimo se sada Fibonaccijevim brojevima. Uzmimo dva uzastopna izraza iz njegovog niza. Podijelite veći broj s manjim da biste dobili približno 1.618. I sada koristimo isti veći broj i sljedećeg člana serije (odnosno još veći broj) - njihov je omjer rano 0,618.

Evo primjera: 144, 233, 377.

233/144 = 1,618 i 233/377 = 0,618

Usput, ako pokušate napraviti isti eksperiment s brojevima s početka niza (na primjer, 2, 3, 5), ništa neće uspjeti. Skoro. Pravilo zlatnog reza se gotovo ne poštuje za početak sekvence. Ali izvrsno funkcionira dok se krećete duž reda i povećavate brojeve.

A da bi se izračunao čitav niz Fibonaccijevih brojeva, dovoljno je znati tri člana niza koji slijede jedan za drugim. Možete i sami vidjeti!

Zlatni pravougaonik i Fibonaccijeva spirala

Još jedna znatiželjna paralela između Fibonaccijevih brojeva i zlatnog reza omogućava nam da nacrtamo takozvani "zlatni pravokutnik": njegove stranice su u korelaciji u omjeru 1.618 prema 1. Ali mi već znamo koliki je broj 1.618, zar ne?

Na primjer, uzmimo dva uzastopna člana Fibonaccijeve serije - 8 i 13 - i konstruiramo pravougaonik sa sljedećim parametrima: širina = 8, dužina = 13.

A onda smo veliki pravougaonik podijelili na manje. Preduvjet: dužine stranica pravokutnika moraju odgovarati Fibonaccijevim brojevima. Oni. duljina stranica većeg pravougaonika mora biti jednaka zbiru stranica dva manja pravougaonika.

Način na koji se to radi na ovoj slici (radi praktičnosti, brojke su potpisane latiničnim slovima).

Usput, pravougaonike možete graditi obrnutim redoslijedom. Oni. započnite gradnju kvadratima sa stranicom 1. Na koju se, vođeni gornjim principom, dovršavaju likovi sa stranicama jednakim Fibonaccijevim brojevima. Teoretski se to može nastaviti unedogled - uostalom, Fibonaccijeva serija formalno je beskonačna.

Ako uglove pravokutnika dobivenih na slici povežemo glatkom linijom, dobivamo logaritamsku spiralu. Umjesto toga, njegov poseban slučaj je Fibonaccijeva spirala. Karakterizira ga naročito činjenica da nema granica i da ne mijenja oblik.

Slična spirala se često nalazi u prirodi. Školjke od školjki jedan su od najupečatljivijih primjera. Štaviše, neke galaksije koje se mogu vidjeti sa Zemlje imaju spiralni oblik. Ako obratite pažnju na vremenske prognoze na TV-u, možda ste primijetili da cikloni imaju sličan spiralni oblik kad se snimaju sa satelita.

Zanimljivo je da se i spirala DNA pokorava pravilu zlatnog presjeka - odgovarajući obrazac može se vidjeti u intervalima njegovih zavoja.

Takve neverovatne "slučajnosti" ne mogu a da ne uzbude um i podstaknu razgovore o određenom objedinjenom algoritmu, kojem se pokoravaju sve pojave u životu Svemira. Sad razumijete li zašto se ovaj članak tako zove? A koje vam divne svjetove matematika može otvoriti?

Fibonaccijevi brojevi u prirodi

Veza između Fibonaccijevih brojeva i zlatnog reza sugerira neke zanimljive obrasce. Toliko znatiželjan da je primamljivo pokušati pronaći nizove slične Fibonaccijevim brojevima u prirodi, pa čak i tokom istorijskih događaja. A priroda zaista rađa takve pretpostavke. Ali može li se sve u našem životu objasniti i opisati pomoću matematike?

Primjeri divljih životinja koji se mogu opisati pomoću Fibonaccijeve sekvence:

• redoslijed rasporeda lišća (i grana) u biljkama - razmaci između njih povezani su s Fibonaccijevim brojevima (filotaksija);

• mjesto sjemena suncokreta (sjeme je poredano u dva reda spirala, uvijenih u različitim smjerovima: jedan red u smjeru kazaljke na satu, drugi u smjeru suprotnom od kazaljke na satu);

• raspored ljuskica borove šišarke;
• latice cvijeća;
• ćelije ananasa;
• odnos dužina falanga prstiju na ljudskoj ruci (približno) itd.

Kombinatorni problemi

Fibonaccijevi brojevi se široko koriste u rješavanju kombinatornih problema.

Kombinatorika- ovo je grana matematike koja se bavi proučavanjem odabira određenog broja elemenata iz određenog skupa, nabrajanjem itd.

Pogledajmo primjere kombinatornih problema dizajniranih za srednjoškolski nivo (izvor - http://www.problems.ru/).

Zadatak broj 1:

Lesha se popne stepenicama od 10 stepenica. Odjednom skače ili jedan ili dva koraka. Na koliko načina se Lesha može popeti stepenicama?

Broj načina na koje se Lesha može popeti stepenicama n koraci, označiti i n. Otuda to slijedi a 1 = 1, a 2= 2 (uostalom, Lesha skače ili jedan ili dva koraka).

Takođe je predviđeno da Lesha skače uz stepenice n> 2 stepenice. Pretpostavimo da je prvi put preskočio dva koraka. Dakle, prema stanju problema, on mora skočiti na drugog n - 2 stepenice. Tada se opisuje broj načina za završetak uspona a n - 2... A ako pretpostavimo da je Lesha prvi put preskočio samo jedan korak, onda ćemo opisati broj načina da završim uspon kao a n - 1.

Stoga dobivamo sljedeću jednakost: a n = a n - 1 + a n - 2(izgleda poznato, zar ne?).

Jednom kad znamo a 1 i a 2 i sjetite se da prema stanju problema postoji 10 koraka, izračunali smo redom sve a n: a 3 = 3, a 4 = 5, a 5 = 8, a 6 = 13, a 7 = 21, a 8 = 34, a 9 = 55, a 10 = 89.

Odgovor: 89 načina.

Zadatak broj 2:

Potrebno je pronaći broj riječi dužine 10 slova, koje se sastoje samo od slova "a" i "b" i ne smiju sadržavati dva slova "b" u nizu.

Označimo sa a n broj riječi u dužini n slova koja se sastoje samo od slova "a" i "b" i ne sadrže dva slova "b" u nizu. Znači, a 1= 2, a 2= 3.

U nizu a 1, a 2, <…>, a n izrazit ćemo svaki sljedeći pojam kroz prethodne. Dakle, broj riječi dužine n slova koja, osim toga, ne sadrže udvostručeno slovo "b" i počinju slovom "a", ovo a n - 1... A ako je riječ duga n slova započinju slovom "b", logično je da je sljedeće slovo u takvoj riječi "a" (uostalom, ne mogu biti dva "b" prema iskazu problema). Dakle, broj riječi dužine n slova u ovom slučaju označavamo kao a n - 2... I u prvom i u drugom slučaju, bilo koja riječ (dužine n - 1 i n - 2 slova) bez udvostručenog "b".

Uspjeli smo potkrijepiti zašto a n = a n - 1 + a n - 2.

Izračunajmo sada a 3= a 2+ a 1= 3 + 2 = 5, a 4= a 3+ a 2= 5 + 3 = 8, <…>, a 10= a 9+ a 8= 144. I dobili smo poznati Fibonaccijev niz.

Odgovor: 144.

Zadatak broj 3:

Zamislite da postoji traka podijeljena u ćelije. Ide desno i traje beskrajno dugo. Postavite skakavca na prvi kvadrat vrpce. Na kojoj god ćeliji trake da se nalazi, on se može pomicati samo udesno: ili jednu ili dvije ćelije. Na koliko načina skakavac može skočiti s početka vrpce n th ćelija?

Označimo broj načina na koje se skakavac pomiče duž pojasa n th ćelija kao a n... U ovom slučaju a 1 = a 2= 1. Takođe u n + 1-tog kaveza, skakavac može dobiti bilo koji n-ta ćelija, ili preskakanjem preko nje. Odavde a n + 1 = a n - 1 + a n... Odakle a n = F n - 1.

Odgovor: F n - 1.

Slične probleme možete sami sastaviti i pokušati ih riješiti na satima matematike sa svojim školskim kolegama.

Fibonaccijevi brojevi u popularnoj kulturi

Naravno, takav neobičan fenomen kao Fibonaccijevi brojevi ne može a da ne privuče pažnju. U ovom strogo provjerenom obrascu još uvijek postoji nešto privlačno, pa čak i tajanstveno. Nije iznenađujuće što je Fibonaccijev niz nekako "osvijetljen" u mnogim djelima moderne masovne kulture različitih žanrova.

Reći ćemo vam o nekima od njih. A vi pokušajte ponovo da pretražite sebe. Ako ga pronađete, podijelite ga s nama u komentarima - i mi smo znatiželjni!

• Fibonaccijevi brojevi spominju se u bestseleru Dana Browna, Da Vincijev kod: Fibonaccijev niz služi kao kod kojim glavni likovi knjige otvaraju sef.
• U američkom filmu "Gospodin Nitko" iz 2009. godine, u jednoj od epizoda, kućna adresa je dio Fibonaccijeve sekvence - 12358. Pored toga, u drugoj epizodi glavni lik mora nazvati telefonski broj, koji je u osnovi isti, ali blago izobličen (dodatna znamenka iza broja 5) niza: 123-581-1321.
• U seriji "Komunikacija" iz 2012. godine, glavni lik, dječak sa autizmom, sposoban je razlikovati obrasce u događajima koji se događaju u svijetu. Uključujući i pomoću Fibonaccijevih brojeva. A upravljati tim događajima i pomoću brojeva.
• Programeri java-igre za mobilne telefone Doom RPG postavili su tajna vrata na jedan od nivoa. Kôd koji ga otvara je Fibonaccijeva sekvenca.
• Ruska rok grupa "Spleen" 2012. godine objavila je konceptualni album "Optical Illusion". Osma staza zove se "Fibonacci". U stihovima vođe grupe, Aleksandra Vasilieva, igra se redoslijed Fibonačijevih brojeva. Za svakog od devet uzastopnih članova postoji odgovarajući broj linija (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21):

0 Voz je krenuo

1 Jedan zglob je kliknuo

1 Jedan se rukav trznuo

2 Sve, uzmi stvari

Sve, uzmi stvari

3 Traženjem kipuće vode

Voz ide do rijeke

Voz ide u tajgi<…>.

• limerick (kratka pjesma određenog oblika - obično pet redaka, s određenom shemom rimovanja, komična po sadržaju, u kojoj se prvi i posljednji redak ponavljaju ili djelomično dupliciraju) James Lyndon također koristi referencu na Fibonaccijev niz kao šaljivi motiv:

Fibonaccijeva gusta hrana

Samo u korist njih je išlo, a ne drugačije.

Prema glasinama, žene su vagale

Svaka je poput prethodne dvije.

Sažimanje

Nadamo se da smo vam danas mogli reći puno zanimljivih i korisnih informacija. Na primjer, sada možete potražiti Fibonaccijevu spiralu u prirodi oko sebe. Odjednom ste vi ti koji ćete moći otkriti "tajnu života, svemira i uopšte".

Koristite Fibonaccijevu formulu pri rješavanju kombinatornih problema. Možete se nadovezati na primjere iz ovog članka.

web lokacija, s potpunim ili djelomičnim kopiranjem materijala, potrebna je veza do izvora.

Svijet oko nas, počevši od najmanjih nevidljivih čestica, a završavajući udaljenim galaksijama beskrajnog svemira, pun je mnogih nerazjašnjenih misterija. Međutim, nad nekim od njih već je podignut veo tajne zahvaljujući znatiželjnim umovima brojnih naučnika.

Jedan od takvih primjera je "Zlatni rez" i Fibonaccijevi brojevi koji čine njegov temelj. Ta se pravilnost odrazila u matematičkom obliku i često se nalazi u prirodi koja okružuje osobu, što još jednom isključuje vjerovatnoću da je nastala kao posljedica nesreće.

Fibonačijevi brojevi i njihov redoslijed

Niz Fibonačijevih brojeva naziva se nizom brojeva, od kojih je svaki zbroj prethodna dva:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377 …

Karakteristika ovog niza su numeričke vrijednosti koje se dobivaju dijeljenjem brojeva ove serije međusobno.

Brojni Fibonaccijevi brojevi imaju svoje zanimljive obrasce:

• U nizu Fibonaccijevih brojeva, svaki broj podijeljen sa sljedećim prikazivat će vrijednost kojoj teži 0,618 ... Što su brojevi dalje od početka reda, odnos će biti tačniji. Na primjer, brojevi uzeti na početku serije 5 i 8 pokazat će 0,625 (5/8=0,625 ). Ako uzmemo brojeve 144 i 233 , tada će prikazati odnos 0.618 .
• Zauzvrat, ako se u nizu Fibonaccijevih brojeva broj podijeli s prethodnim, tada će rezultat dijeljenja težiti 1,618 ... Na primjer, koriste se isti brojevi kao što je gore spomenuto: 8/5=1,6 i 233/144=1,618 .
• Broj podijeljen sa sljedećim nakon što će pokazati vrijednost koja se približava 0,382 ... I što su dalje od početka serije uzeti brojevi, to je tačnija vrijednost omjera: 5/13=0,385 i 144/377=0,382 ... Podijelom znamenki obrnutim redoslijedom dat će se rezultat 2,618 : 13/5=2,6 i 377/144=2,618 .

Koristeći gornje metode izračunavanja i povećavajući intervale između brojeva, mogu se izvesti slijedeće serije vrijednosti: 4.235, 2.618, 1.618, 0.618, 0.382, 0.236, koja se široko koristi u Fibonaccijevim instrumentima na forex tržištu.

Zlatni rez ili božanska proporcija

"Zlatni omjer" i Fibonaccijevi brojevi vrlo su jasno predstavljeni analogijom sa segmentom. Ako je segment AB podijeljen točkom C u takvom omjeru da je ispunjen uvjet:

AC / BC = BC / AB, tada će to biti "zlatni omjer"

PROČITAJTE I Sljedeće članke:

Iznenađujuće, upravo se taj omjer može pratiti u nizu Fibonaccijevih brojeva. Uzimajući nekoliko cifara iz serije, možete proračunom provjeriti je li to tako. Na primjer, takav niz Fibonaccijevih brojeva ... 55, 89, 144 ... Neka broj 144 bude cijeli gore spomenuti segment AB. Budući da je 144 zbroj dva prethodna broja, tada je 55 + 89 = AC + BC = 144.

Podijelom segmenata linija pokazat će se sljedeći rezultati:

AC / BC = 55/89 = 0,618

BC / AB = 89/144 = 0,618

Ako uzmemo segment AB kao cjelinu ili kao jedinicu, tada će AC = 55 biti 0,382 ove cjeline, a BC = 89 će biti jednako 0,618.

Gdje se susreću Fibonaccijevi brojevi

Grci i Egipćani su znali prirodni slijed Fibonaccijevih brojeva mnogo prije samog Leonarda Fibonaccija. Ovaj je broj ovo ime stekao nakon što je poznati matematičar osigurao široku distribuciju ovog matematičkog fenomena u naučnim redovima.

Važno je napomenuti da zlatni Fibonaccijevi brojevi nisu samo nauka, već i matematički prikaz svijeta oko nas. Mnogi prirodni fenomeni, predstavnici flore i faune, imaju "zlatni rez" u proporcijama. To su spiralni uvojci ljuske, i raspored sjemenki suncokreta, kaktusa, ananasa.

Spirala, čiji proporcije grana podliježu zakonima "zlatnog preseka", temelji se na formiranju uragana, tkanju paukove mreže, obliku mnogih galaksija, preplitanju molekula DNK i mnogim drugim pojavama.

Dužina repa guštera prema njegovom tijelu ima omjer 62 prema 38. Izboj cikorije izbacuje se prije puštanja lista. Nakon otpuštanja prvog lista, dolazi do drugog izbacivanja prije otpuštanja drugog lista, na snazi ​​jednakog 0,62 od konvencionalno prihvaćene jedinice snage prvog izbacivanja. Treći outlier je 0,38, a četvrti 0,24.

Za trgovca je takođe od velike važnosti da je kretanje cena na tržištu deviza često podložno obrascu zlatnih Fibonaccijevih brojeva. Na osnovu ovog niza stvoreni su brojni alati koje trgovac može koristiti u svom arsenalu.

Alat "", koji trgovci često koriste, može s velikom preciznošću prikazati ciljeve kretanja cijena, kao i nivoe njegove korekcije.