(osim 0 i 1) imaju najmanje dva djelitelja: 1 i sebe. Zovu se brojevi koji nemaju druge djelitelje jednostavno brojevi. Zovu se brojevi koji imaju druge djelitelje kompozitni(ili kompleks) brojevi. Postoji beskonačan broj prostih brojeva. Ovo su prosti brojevi koji ne prelaze 200:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43,

47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101,

103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151,

157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199.

Množenje- jedan od četiri glavna aritmetičke operacije, binarni matematička operacija, u kojem se jedan argument dodaje onoliko puta koliko pokazuje drugi. U aritmetici, množenje je kratak oblik sabiranja određenog broja identičnih pojmova.

Na primjer, oznaka 5*3 znači "saberi tri petice", odnosno 5+5+5. Rezultat množenja se zove rad, a brojevi koji se množe su množitelji ili faktori. Prvi faktor se ponekad naziva " množenik».

Svaki složeni broj može se razložiti na primarni faktori. Bilo kojom metodom se dobija ista ekspanzija, ako se ne uzme u obzir redosled kojim su faktori zapisani.

Faktorizacija broja (faktorizacija).

Faktorizacija (faktorizacija)- nabrajanje djelitelja - algoritam za faktorizaciju ili testiranje primarnosti broja potpunim nabrajanjem svih mogućih potencijalnih djelitelja.

one., jednostavnim jezikom, faktorizacija je naziv koji je dat procesu faktoringa brojeva, izražen naučnim jezikom.

Redoslijed radnji kada se faktorizuje na primarne faktore:

1. Provjerite je li predloženi broj prost.

2. Ako ne, onda, vođeni znacima dijeljenja, biramo djelitelj od prostih brojeva, počevši od najmanjeg (2, 3, 5 ...).

3. Ponavljamo ovu radnju dok ne bude količnik prost broj.

Bilo koji složeni broj može se razložiti u proste faktore. Može postojati nekoliko metoda razgradnje. Bilo koja metoda daje isti rezultat.

Kako rastaviti broj u proste faktore većinu na zgodan način? Pogledajmo kako to najbolje učiniti na konkretnim primjerima.

Primjeri. 1) Faktori broj 1400 u proste faktore.

1400 je djeljivo sa 2. 2 je prost broj, nema potrebe da se čini faktorima. Dobijamo 700. Podijelimo sa 2. Dobijamo 350. Također dijelimo 350 sa 2. Dobiveni broj 175 može se podijeliti sa 5. Rezultat je 35 - podijeliti ponovo sa 5. Ukupno - 7. Može se podijeliti samo sa 7. Dobijamo 1, podjela je završena.

Isti broj se može različito faktorisati:

Zgodno je podijeliti 1400 sa 10. 10 nije prost broj, pa ga treba rastaviti na proste faktore: 10=2∙5. Rezultat je 140. Ponovo ga dijelimo sa 10=2∙5. Dobijamo 14. Ako se 14 podijeli sa 14, onda i njega treba razložiti na proizvod prostih faktora: 14=2∙7.

Tako smo ponovo došli do iste dekompozicije kao u prvom slučaju, ali brže.

Zaključak: prilikom dekompozicije broja nije potrebno dijeliti ga samo na proste činioce. Dijelimo onim što je zgodnije, na primjer, sa 10. Samo trebate zapamtiti da složene djelitelje razložite na jednostavne činioce.

2) Faktori broj 1620 u proste faktore.

Najpogodniji način da se broj 1620 podijeli sa 10. Pošto 10 nije prost broj, predstavljamo ga kao proizvod prostih faktora: 10=2∙5. Dobili smo 162. Zgodno ga je podijeliti sa 2. Rezultat je 81. Broj 81 se može podijeliti sa 3, ali je zgodnije sa 9. Pošto 9 nije prost broj, proširimo ga kao 9=3∙3. Dobijamo 9. Također ga podijelimo sa 9 i proširimo u proizvod prostih faktora.

Svaki prirodni broj, osim jednog, ima dva ili više djelitelja. Na primjer, broj 7 je bez ostatka djeljiv samo sa 1 i 7, odnosno ima dva djelitelja. A broj 8 ima djelitelje 1, 2, 4, 8, odnosno čak 4 djelitelja odjednom.

Koja je razlika između prostih i složenih brojeva?

Brojevi koji imaju više od dva djelitelja nazivaju se složeni brojevi. Brojevi koji imaju samo dva djelitelja: jedan i sam broj nazivaju se prosti brojevi.

Broj 1 ima samo jednu podelu, odnosno sam broj. Jedan nije ni prost ni kompozitni broj.

• Na primjer, broj 7 je prost, a broj 8 je složen.

Prvih 10 prostih brojeva: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29. Broj 2 je jedini paran prost broj, svi ostali prosti brojevi su neparni.

Broj 78 je složen, jer je pored 1 i samog sebe djeljiv i sa 2. Kada se podijeli sa 2, dobijamo 39. To jest, 78 = 2*39. U takvim slučajevima kažu da je taj broj rastavljen u faktore 2 i 39.

Svaki složeni broj može se razložiti na dva faktora, od kojih je svaki veći od 1. Ovaj trik neće raditi s prostim brojem. Tako to ide.

Faktorovanje broja u proste faktore

Kao što je gore navedeno, svaki složeni broj može se razložiti na dva faktora. Uzmimo, na primjer, broj 210. Ovaj broj se može rastaviti na dva faktora 21 i 10. Ali brojevi 21 i 10 su također složeni, hajde da ih razložimo na dva faktora. Dobijamo 10 = 2*5, 21=3*7. I kao rezultat toga, broj 210 je razložen na 4 faktora: 2,3,5,7. Ovi brojevi su već prosti i ne mogu se proširiti. Odnosno, rastavili smo broj 210 u proste faktore.

Kada se složeni brojevi rastavljaju u proste faktore, oni se obično pišu uzlaznim redom.

Treba imati na umu da se bilo koji složeni broj može razložiti na proste faktore i to na jedinstven način, sve do permutacije.

• Obično, kada se broj razlaže na proste faktore, koriste se kriteriji djeljivosti.

Razložimo broj 378 u proste faktore

Zapisaćemo brojeve, odvajajući ih okomitom linijom. Broj 378 je djeljiv sa 2, jer se završava na 8. Kada se podijeli, dobijamo broj 189. Zbir cifara broja 189 je djeljiv sa 3, što znači da je sam broj 189 djeljiv sa 3. Rezultat je 63.

Broj 63 je također djeljiv sa 3, prema djeljivosti. Dobijamo 21, broj 21 se opet može podijeliti sa 3, dobijemo 7. Sedam je podijeljeno samo po sebi, dobijemo jedan. Ovim je podjela završena. Desno iza prave su prosti činioci na koje se razlaže broj 378.

378|2
189|3
63|3
21|3

U ovom članku ćete pronaći sve potrebne informacije odgovarajući na pitanje kako rastaviti broj u proste faktore. Prvo dato opšta ideja o dekompoziciji broja na proste faktore dati su primjeri dekompozicije. U nastavku je prikazan kanonski oblik dekomponovanja broja na proste faktore. Nakon toga je dat algoritam za dekomponovanje proizvoljnih brojeva na proste faktore i dati su primjeri dekomponiranja brojeva korištenjem ovog algoritma. Također se razmatra alternativnim načinima, koji vam omogućavaju da brzo faktorizirate male cijele brojeve u proste faktore koristeći testove djeljivosti i tablice množenja.

Navigacija po stranici.

Šta znači rastaviti broj u proste faktore?

Prvo, pogledajmo šta su primarni faktori.

Jasno je da budući da je riječ “faktori” prisutna u ovoj frazi, onda postoji proizvod nekih brojeva, a kvalifikujuća riječ “jednostavan” znači da je svaki faktor prost broj. Na primjer, u proizvodu oblika 2·7·7·23 postoje četiri osnovna faktora: 2, 7, 7 i 23.

Šta znači rastaviti broj u proste faktore?

To znači da ovaj broj mora biti predstavljen kao proizvod prostih faktora, a vrijednost ovog proizvoda mora biti jednaka originalnom broju. Kao primjer, razmotrimo proizvod tri prosta broja 2, 3 i 5, on je jednak 30, pa je dekompozicija broja 30 na proste faktore 2·3·5. Obično se dekompozicija broja na proste faktore zapisuje kao jednakost, u našem primjeru će biti ovako: 30=2·3·5. Posebno naglašavamo da se primarni faktori u ekspanziji mogu ponoviti. Ovo je jasno ilustrovano sljedećim primjerom: 144=2·2·2·2·3·3. Ali reprezentacija oblika 45=3·15 nije dekompozicija na proste faktore, pošto je broj 15 složeni broj.

Postavlja se sljedeće pitanje: "Koji se brojevi mogu rastaviti na proste faktore?"

U potrazi za odgovorom na njega, iznosimo sljedeće rezonovanje. Prosti brojevi, po definiciji, spadaju među one veće od jedan. Uzimajući u obzir ovu činjenicu i , Može se tvrditi da je proizvod nekoliko prostih faktora pozitivan cijeli broj veći od jedan. Stoga se faktorizacija u proste faktore događa samo za pozitivne cijele brojeve koji su veći od 1.

Ali mogu li se svi cijeli brojevi veći od jedan razračunati u proste faktore?

Jasno je da nije moguće rastaviti jednostavne cijele brojeve u proste faktore. To se objašnjava činjenicom da prosti brojevi imaju samo dva pozitivna djelitelja - jedan i sebe, pa se ne mogu predstaviti kao proizvod dva ili više primarni brojevi. Ako bi cijeli broj z mogao biti predstavljen kao proizvod prostih brojeva a i b, onda bi nam koncept djeljivosti omogućio da zaključimo da je z djeljiv i sa a i sa b, što je nemoguće zbog jednostavnosti broja z. Međutim, oni vjeruju da je svaki prost broj sam po sebi dekompozicija.

Šta je sa složenim brojevima? Da li se složeni brojevi rastavljaju na proste faktore i da li su svi složeni brojevi podložni takvoj dekompoziciji? Temeljna teorema aritmetike daje potvrdan odgovor na brojna ova pitanja. Osnovna aritmetička teorema kaže da se svaki cijeli broj a koji je veći od 1 može rastaviti na proizvod prostih faktora p 1, p 2, ..., p n, a dekompozicija ima oblik a = p 1 · p 2 · … · p n, a ovo proširenje je jedinstveno, ako se ne uzme u obzir redoslijed faktora

Kanonska faktorizacija broja u proste faktore

U proširenju broja, prosti faktori se mogu ponoviti. Ponavljajući se prosti faktori mogu se zapisati kompaktnije koristeći . Neka se u dekompoziciji broja prosti faktor p 1 pojavi s 1 puta, prosti faktor p 2 – s 2 puta, i tako dalje, p n – s n puta. Tada se prost faktorizacija broja a može zapisati kao a=p 1 s 1 ·p 2 s 2 ·…·p n s n. Ovaj oblik snimanja je tzv kanonska faktorizacija broja u proste faktore.

Navedimo primjer kanonske dekompozicije broja na proste faktore. Javite nam razlaganje 609 840=2 2 2 2 3 3 5 7 11 11, njegova kanonska notacija ima oblik 609 840=2 4 3 2 5 7 11 2.

Kanonska faktorizacija broja u proste faktore omogućava vam da pronađete sve djelitelje broja i broj djelitelja broja.

Algoritam za razlaganje broja u proste faktore

Da biste se uspješno nosili sa zadatkom dekompozicije broja na proste faktore, morate imati vrlo dobro poznavanje informacija u članku prosti i složeni brojevi.

Suština procesa dekomponovanja pozitivnog celog broja a koji prelazi jedan je jasna iz dokaza osnovne aritmetičke teoreme. Poenta je da se sekvencijalno pronađu najmanji prosti djelitelji p 1, p 2, ..., p n brojeva a, a 1, a 2, ..., a n-1, što nam omogućava da dobijemo niz jednakosti a=p 1 ·a 1, gdje je a 1 = a:p 1 , a=p 1 ·a 1 =p 1 ·p 2 ·a 2 , gdje je a 2 =a 1:p 2 , …, a=p 1 ·p 2 ·…·p n ·a n , gdje je a n =a n-1:p n . Kada se ispostavi da je a n =1, onda će nam jednakost a=p 1 ·p 2 ·…·p n dati željenu dekompoziciju broja a na proste faktore. Ovdje također treba napomenuti da p 1 ≤p 2 ≤p 3 ≤…≤p n.

Ostaje da shvatimo kako pronaći najmanje proste faktore u svakom koraku, a mi ćemo imati algoritam za dekomponovanje broja na proste faktore. Tabela prostih brojeva će nam pomoći da pronađemo proste faktore. Hajde da pokažemo kako ga koristiti da dobijemo najmanji prosti djelitelj broja z.

Uzimamo sekvencijalno proste brojeve iz tabele prostih brojeva (2, 3, 5, 7, 11 i tako dalje) i delimo dati broj z njima. Prvi prost broj kojim je z ravnomjerno podijeljen bit će njegov najmanji prosti djelitelj. Ako je broj z prost, tada će njegov najmanji prosti djelitelj biti sam broj z. Ovdje treba podsjetiti da ako z nije prost broj, tada njegov najmanji prosti djelitelj ne prelazi broj , gdje je od z. Dakle, ako među prostim brojevima koji ne prelaze , nije bilo niti jednog djelitelja broja z, onda možemo zaključiti da je z prost broj (više o tome piše u dijelu teorije pod naslovom Ovaj broj je prost ili kompozitni ).

Kao primjer, pokazat ćemo kako pronaći najmanji prosti djelitelj broja 87. Uzmimo broj 2. Podelite 87 sa 2, dobijamo 87:2=43 (preostalo 1) (ako je potrebno, pogledajte članak). Odnosno, kada se 87 dijeli sa 2, ostatak je 1, tako da 2 nije djelitelj broja 87. Uzimamo sljedeći prost broj iz tabele prostih brojeva, ovo je broj 3. Podelite 87 sa 3, dobijamo 87:3=29. Dakle, 87 je djeljivo sa 3, dakle, broj 3 je najmanji prost djelitelj broja 87.

Imajte na umu da u opštem slučaju, da razložimo broj a u proste faktore, potrebna nam je tabela prostih brojeva do broja koji nije manji od . Moraćemo da se pozivamo na ovu tabelu na svakom koraku, tako da je moramo imati pri ruci. Na primjer, da razložimo broj 95 u proste faktore, trebat će nam samo tabela prostih brojeva do 10 (pošto je 10 veće od ). A da biste razložili broj 846.653, već će vam trebati tabela prostih brojeva do 1.000 (pošto je 1.000 veće od ).

Sada imamo dovoljno informacija da zapišemo algoritam za razlaganje broja u proste faktore. Algoritam za dekomponovanje broja a je sledeći:

• Uzastopno sortirajući brojeve iz tabele prostih brojeva, nalazimo najmanji prosti djelitelj p 1 broja a, nakon čega izračunavamo a 1 =a:p 1. Ako je a 1 =1, onda je broj a prost, i sam je njegova dekompozicija na proste faktore. Ako a 1 nije jednako 1, tada imamo a=p 1 ·a 1 i prelazimo na sljedeći korak.
• Pronalazimo najmanji prosti djelitelj p 2 broja a 1 , da bismo to uradili, redom sortiramo brojeve iz tabele prostih brojeva, počevši od p 1 , a zatim izračunavamo a 2 =a 1:p 2 . Ako je a 2 =1, tada tražena dekompozicija broja a na proste faktore ima oblik a=p 1 ·p 2. Ako a 2 nije jednako 1, tada imamo a=p 1 ·p 2 ·a 2 i prelazimo na sljedeći korak.
• Prolazeći kroz brojeve iz tabele prostih brojeva, počevši od p 2, nalazimo najmanji prosti djelitelj p 3 broja a 2, nakon čega izračunavamo a 3 =a 2:p 3. Ako je a 3 =1, tada tražena dekompozicija broja a na proste faktore ima oblik a=p 1 ·p 2 ·p 3. Ako a 3 nije jednako 1, tada imamo a=p 1 ·p 2 ·p 3 ·a 3 i prelazimo na sljedeći korak.
• Najmanji prosti djelitelj p n broja a n-1 nalazimo sortiranjem prostih brojeva, počevši od p n-1, kao i a n =a n-1:p n, a n je jednako 1. Ovaj korak je poslednji korak algoritma, ovdje dobijamo traženu dekompoziciju broja a na proste faktore: a=p 1 ·p 2 ·…·p n .

Radi jasnoće, svi rezultati dobijeni u svakom koraku algoritma za dekomponovanje broja na proste faktore prikazani su u obliku sledeće tabele, u kojoj su brojevi a, a 1, a 2, ..., a n redom ispisani u koloni lijevo od okomite linije, a desno od prave - odgovarajući najmanji prosti djelitelji p 1, p 2, ..., p n.

Ostaje samo da razmotrimo nekoliko primjera primjene rezultirajućeg algoritma za dekomponovanje brojeva na proste faktore.

Primjeri početne faktorizacije

Sada ćemo detaljno pogledati primjeri faktoringa brojeva u proste faktore. Prilikom dekompozicije koristićemo algoritam iz prethodnog paragrafa. Počnimo s jednostavnim slučajevima, a postepeno ih komplikujemo kako bismo naišli na sve moguće nijanse koje nastaju prilikom razlaganja brojeva na proste faktore.

Primjer.

Faktori broj 78 u njegove proste faktore.

Rješenje.

Počinjemo potragu za prvim najmanjim prostim djeliteljem p 1 broja a=78. Da bismo to učinili, počinjemo sekvencijalno sortirati proste brojeve iz tablice prostih brojeva. Uzmimo broj 2 i podijelimo 78 s njim, dobijemo 78:2=39. Broj 78 je podijeljen sa 2 bez ostatka, pa je p 1 =2 prvi pronađeni prosti djelitelj broja 78. U ovom slučaju, a 1 =a:p 1 =78:2=39. Tako dolazimo do jednakosti a=p 1 ·a 1 koja ima oblik 78=2·39. Očigledno, 1 =39 se razlikuje od 1, pa prelazimo na drugi korak algoritma.

Sada tražimo najmanji prosti djelitelj p 2 broja a 1 =39. Počinjemo nabrajati brojeve iz tabele prostih brojeva, počevši od p 1 =2. Podelite 39 sa 2, dobijamo 39:2=19 (preostalo 1). Pošto 39 nije jednako djeljivo sa 2, onda 2 nije njegov djelitelj. Zatim uzimamo sledeći broj iz tabele prostih brojeva (broj 3) i sa njim podelimo 39, dobijamo 39:3=13. Dakle, p 2 =3 je najmanji prosti djelitelj broja 39, dok je a 2 =a 1:p 2 =39:3=13. Imamo jednakost a=p 1 ·p 2 ·a 2 u obliku 78=2·3·13. Pošto je 2 =13 različito od 1, prelazimo na sljedeći korak algoritma.

Ovdje trebamo pronaći najmanji prosti djelitelj broja a 2 =13. U potrazi za najmanjim prostim djeliteljem p 3 broja 13, redom ćemo sortirati brojeve iz tabele prostih brojeva, počevši od p 2 =3. Broj 13 nije deljiv sa 3, pošto je 13:3=4 (odmor 1), takođe 13 nije deljiv sa 5, 7 i 11, pošto je 13:5=2 (odmor 3), 13:7=1 (odmor 6) i 13:11=1 (odmor 2). Sljedeći prost broj je 13, a 13 je s njim djeljiv bez ostatka, stoga je najmanji prosti djelitelj p 3 od 13 sam broj 13, a a 3 =a 2:p 3 =13:13=1. Pošto je a 3 =1, ovaj korak algoritma je posljednji, a tražena dekompozicija broja 78 na proste faktore ima oblik 78=2·3·13 (a=p 1 ·p 2 ·p 3 ).

odgovor:

78=2·3·13.

Primjer.

Izrazite broj 83,006 kao proizvod prostih faktora.

Rješenje.

U prvom koraku algoritma za dekomponovanje broja na proste faktore, nalazimo p 1 =2 i a 1 =a:p 1 =83,006:2=41,503, od čega je 83,006=2·41,503.

U drugom koraku saznajemo da 2, 3 i 5 nisu prosti djelitelji broja a 1 =41,503, ali je broj 7, budući da je 41,503:7=5,929. Imamo p 2 =7, a 2 =a 1:p 2 =41,503:7=5,929. Dakle, 83,006=2 7 5 929.

Najmanji prosti djelitelj broja a 2 =5 929 je broj 7, jer je 5 929:7 = 847. Dakle, p 3 =7, a 3 =a 2:p 3 =5 929:7 = 847, od čega je 83 006 = 2·7·7·847.

Zatim nalazimo da je najmanji prosti djelitelj p 4 broja a 3 =847 jednak 7. Tada je a 4 =a 3:p 4 =847:7=121, dakle 83 006=2·7·7·7·121.

Sada nalazimo najmanji prosti djelitelj broja a 4 =121, to je broj p 5 =11 (pošto je 121 djeljivo sa 11, a ne sa 7). Tada je a 5 =a 4:p 5 =121:11=11, i 83 006=2·7·7·7·11·11.

Konačno, najmanji prosti djelitelj broja a 5 =11 je broj p 6 =11. Tada je a 6 =a 5:p 6 =11:11=1. Pošto je a 6 =1, ovaj korak algoritma za dekomponovanje broja na proste faktore je poslednji, a željena dekompozicija ima oblik 83 006 = 2·7·7·7·11·11.

Dobijeni rezultat se može zapisati kao kanonska dekompozicija broja na proste faktore 83 006 = 2·7 3 ·11 2.

odgovor:

83 006=2 7 7 7 11 11=2 7 3 11 2 991 je prost broj. Zaista, nema niti jedan prosti djelitelj koji ne prelazi ( može se grubo procijeniti kao , budući da je očito da je 991<40 2 ), то есть, наименьшим делителем числа 991 является оно само. Тогда p 3 =991 и a 3 =a 2:p 3 =991:991=1 . Следовательно, искомое разложение числа 897 924 289 на простые множители имеет вид 897 924 289=937·967·991 .

odgovor:

897 924 289 = 937 967 991 .

Korištenje testova djeljivosti za osnovnu faktorizaciju

U jednostavnim slučajevima, možete rastaviti broj na proste faktore bez korištenja algoritma dekompozicije iz prvog stava ovog članka. Ako brojevi nisu veliki, onda je za njihovo rastavljanje na proste faktore često dovoljno znati znakove djeljivosti. Dajemo primjere za pojašnjenje.

Na primjer, trebamo rastaviti broj 10 na proste faktore. Iz tablice množenja znamo da je 2·5=10, a brojevi 2 i 5 su očigledno prosti, tako da prost faktorizacija broja 10 izgleda kao 10=2·5.

Još jedan primjer. Koristeći tablicu množenja, broj 48 ćemo rastaviti u proste faktore. Znamo da je šest osam - četrdeset osam, odnosno 48 = 6·8. Međutim, ni 6 ni 8 nisu prosti brojevi. Ali znamo da je dva puta tri šest, a dva puta četiri je osam, odnosno 6=2·3 i 8=2·4. Tada je 48=6·8=2·3·2·4. Ostaje da zapamtimo da je dva puta dva četiri, tada dobijamo željenu dekompoziciju na proste faktore 48 = 2·3·2·2·2. Zapišimo ovo proširenje u kanonskom obliku: 48=2 4 ·3.

Ali kada broj 3.400 rastavljate u proste faktore, možete koristiti kriterije djeljivosti. Znaci djeljivosti sa 10,100 nam omogućavaju da kažemo da je 3.400 deljivo sa 100, sa 3.400=34·100, a 100 je deljivo sa 10, sa 100=10·10, dakle, 3.400=34·10·10. A na osnovu testa djeljivosti sa 2, možemo reći da je svaki od faktora 34, 10 i 10 djeljiv sa 2, dobijamo 3 400=34 10 10=2 17 2 5 2 5. Svi faktori u rezultujućoj ekspanziji su jednostavni, tako da je ovo proširenje željeno. Ostaje samo da prerasporedite faktore tako da idu uzlaznim redom: 3 400 = 2·2·2·5·5·17. Zapišimo i kanonsku dekompoziciju ovog broja na proste faktore: 3 400 = 2 3 ·5 2 ·17.

Kada razlažete dati broj na proste faktore, možete koristiti i znakove djeljivosti i tablicu množenja. Zamislimo broj 75 kao proizvod prostih faktora. Test djeljivosti sa 5 nam omogućava da kažemo da je 75 deljivo sa 5, i dobijamo da je 75 = 5·15. A iz tablice množenja znamo da je 15=3·5, dakle, 75=5·3·5. Ovo je potrebna dekompozicija broja 75 na proste faktore.

Bibliografija.

• Vilenkin N.Ya. i dr. Matematika. 6. razred: udžbenik za opšteobrazovne ustanove.
• Vinogradov I.M. Osnove teorije brojeva.
• Mikhelovich Sh.H. Teorija brojeva.
• Kulikov L.Ya. i dr. Zbirka zadataka iz algebre i teorije brojeva: Udžbenik za studente fizike i matematike. specijalnosti pedagoških instituta.

Bilo koji složeni broj može se predstaviti kao proizvod njegovih prostih djelitelja:

28 = 2 2 7

Desne strane rezultirajućih jednakosti se nazivaju početna faktorizacija brojevi 15 i 28.

Faktorirati dati složeni broj u proste faktore znači predstaviti ovaj broj kao proizvod njegovih prostih faktora.

Dekompozicija datog broja na proste faktore izvodi se na sljedeći način:

1. Prvo treba da izaberete najmanji prost broj iz tabele prostih brojeva koji deli dati složeni broj bez ostatka i izvršite deljenje.
2. Zatim morate ponovo odabrati najmanji prost broj kojim će se već dobijeni količnik podijeliti bez ostatka.
3. Druga radnja se ponavlja dok se ne dobije jedan u količniku.

Kao primjer, razložimo broj 940 na proste faktore. Pronađite najmanji prost broj koji dijeli 940. Ovaj broj je 2:

Sada biramo najmanji prost broj koji je djeljiv sa 470. Ovaj broj je opet 2:

Najmanji prost broj koji je djeljiv sa 235 je 5:

Broj 47 je prost, što znači da je najmanji prost broj koji se može podijeliti sa 47 sam broj:

Tako dobijamo broj 940, rastavljen u proste faktore:

940 = 2 470 = 2 2 235 = 2 2 5 47

Ako je dekompozicija broja na proste faktore rezultirala sa nekoliko identičnih faktora, onda se radi kratkoće mogu zapisati u obliku stepena:

940 = 2 2 5 47

Najpogodnije je zapisati dekompoziciju na proste faktore na sljedeći način: prvo zapišemo ovaj složeni broj i povučemo okomitu liniju desno od njega:

Desno od linije pišemo najmanji prosti djelitelj kojim je dati složeni broj podijeljen:

Izvodimo dijeljenje i rezultujući količnik zapisujemo ispod dividende:

Sa količnikom postupamo na isti način kao i sa datim složenim brojem, tj. odaberemo najmanji prost broj kojim je djeljiv bez ostatka i izvršimo dijeljenje. I ponavljamo ovo dok ne dobijemo jedinicu u količniku:

Imajte na umu da ponekad može biti prilično teško razložiti broj u proste faktore, jer tokom faktorizacije možemo naići na veliki broj za koji je teško odmah odrediti da li je prost ili kompozitni. A ako je složen, onda nije uvijek lako pronaći njegov najmanji prosti djelitelj.

Pokušajmo, na primjer, faktorizirati broj 5106 u proste faktore:

Nakon dostizanja količnika 851, teško je odmah odrediti njegov najmanji djelitelj. Okrećemo se tabeli prostih brojeva. Ako u njemu postoji broj koji nas dovodi u poteškoću, onda je djeljiv samo sam sa sobom i jedinicom. Broj 851 se ne nalazi u tabeli prostih brojeva, što znači da je složen. Ostaje samo da ga podijelimo sekvencijalnim pretraživanjem na proste brojeve: 3, 7, 11, 13, ..., i tako dalje dok ne nađemo odgovarajući prosti djelitelj. Grubom silom nalazimo da je 851 deljivo sa brojem 23.